高等数学下册第7章多元函数微分法及其应用 (7)
高数多元函数微分法及其应用共24页文档
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51、 天 下 之 事 常成 于困约 ,而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸,生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业,需 要决心 ,能力 ,组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
高数多元函数微分法及其应用
56、极端的法规,就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要,人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益, 而是为 了公共 的利益 ;一部 分靠有 害的强 制,一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ,那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
多元函数微分法及其应用
e x y cos y 解:函数 f ( x, y ) 2 是初等函数,它的定义域是 R2, x y2 1
根据初等函数的连续性知,函数在点 ( 0 , 0 ) 处连续,因此
e x y cos y lim 2 f(0, 0) 1 2 x0 x y 1
y0
例7、8
如果二元函数 z f ( x , y ) 在区域 D 上的每一点都连续,则称 函数 z f ( x , y ) 在 D 上连续。区域 D 上连续的二元函数的图象 是一张不间断、无裂缝的曲面。
二元函数连续函数的性质
如果二元函数 z f ( x , y ) 在有界闭区域 D 上连续,则该函
当 ( x , y ) ( 0 , 0 ) 时的极限。
解: 由于 lim f ( x , y ) lim
xlim 2 0 , 2 2 x0 x x 0
xx x2 1 lim lim f ( x , y ) lim 2 2 2 x0 x x x 0 2x x0 2
故所求函数的定义域是
y
o
3
2
x
D ( x, y ) | 3 x 2 y 2 4
y ⑵ z arcsin x arcsin 2
解:要使该函数的表达式有意义,必须有 y
2
例1(2)
1 x 1 ,即 y 1 1 2
1 x 1 2 y 2
设二元函数 z f ( x , y ) 的定义域为D,对 ( x , y ) D,空间中的点
( x , y , f ( x , y ) ) 构成的图形,一般是一张曲面(如下图),称为
函数 z f ( x , y )的图象。 z
多元函数微分法及其应用笔记
多元函数微分法及其应用笔记一、引言多元函数微分法是微积分中的重要内容之一,它涉及到多元函数的极限、连续性、可微性以及方向导数、梯度等概念。
在实际应用中,多元函数微分法有着广泛的应用,例如在物理、经济、生物等领域中都会遇到相关问题。
本文将详细探讨多元函数微分法的相关概念及其应用。
二、多元函数的极限与连续性2.1 多元函数的极限多元函数的极限与一元函数的极限类似,但需要考虑多维空间中的情况。
对于多元函数f(x,y),当点(x,y)靠近某一点(a,b)时,如果f(x,y)的数值趋近于一个确定的常数L,则称L为函数f(x,y)在点(a,b)处的极限,记作lim(x,y)→(a,b)f(x,y)=L。
2.2 多元函数的连续性与一元函数类似,多元函数的连续性也是建立在极限的基础上。
若函数f(x,y)在点(a,b)处极限存在且与函数在该点的数值相等,则称函数f(x,y)在点(a,b)处连续。
三、多元函数的偏导数3.1 偏导数的定义对于多元函数f(x,y),其偏导数表示函数在某一方向上的变化率,而不考虑其他方向的变化。
对于偏导数的计算,可以按照以下步骤进行: 1. 将函数中的其他自变量视为常数,仅对某一个自变量求导; 2. 将其他自变量恢复为原来的形式。
对于函数f(x,y),其对x的偏导数表示为∂f∂x ,对y的偏导数表示为∂f∂y。
3.2 高阶偏导数与一元函数类似,多元函数也可以计算高阶偏导数。
对于函数 f (x,y ),其二阶混合偏导数为 ∂2f ∂x ∂y 和 ∂2f∂y ∂x ,它们的求导顺序不同可能会得到不同的结果。
如果这两个混合偏导数相等,则称函数 f (x,y ) 具有混合偏导数的对称性。
四、方向导数与梯度4.1 方向导数的定义方向导数表示函数在某一给定方向上的变化率,通常用单位向量 u =(u 1,u 2) 表示给定的方向。
对于函数 f (x,y ),其在点 (x 0,y 0) 处沿方向 u 的方向导数定义如下:D u f (x 0,y 0)=lim ℎ→0f (x 0+ℎu 1,y 0+ℎu 2)−f (x 0,y 0)ℎ4.2 梯度的定义梯度是多元函数微分法中的一个重要概念,表示函数在某一点上变化最快的方向和变化率。
多元函数微分法及应用
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如,{( x, y ) | 1 x y 4}.
2 2
设 E 是平面上的一个非空点集, P 是 E 的一个点, 如果存在点 P 的一个去心邻域不含点集 E 的 点,则称 P 为 E 的孤立点.
多元函数的基本概念(52)
y
o
x
6
对于点集 E 如果存在正数 K ,使一切点 P E 与某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K , 即 AP K 对一切 P E 成立,则称 E 为有界点集,否 则称为无界点集. 例如, y
{( x , y ) | 1 x 2 y 2 4}
有界闭区域;
o
x
{( x , y ) | x y 0}
无界开区域.
多元函数的基本概念(52)
7
聚点: 设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上
的一个点,如果点 P 的任何一个邻域内总有无 限多个点属于点集 E,则称 P 为 E 的聚点.
特殊地当 n 1, 2, 3 时,便为数轴、平面、 空间两点间的距离; n维空间中邻域、区域等概念:
邻域: U ( P0 ) U ( P0 , ) P | | PP0 | , P R n
内点、边界点、区域、聚点等概念类似.
多元函数的基本概念(52) 11
二元函数:设 D 是平面上的一个点集,如果对于
如果非空点集 E 的点都是内点, 则称 E 为开集 .
例如,
2 2
P
E1 {( x , y ) 1 x y 4}
即为开集.
多元函数的基本概念(52)
E
4
如果点 P 的任一个邻域内既有属 于 E 的点, 也有不属于 E 的点(点 P 本身可以属于 E ,也 可以不属于 E ),则称 P 为 E 的边界点.
多元函数微分学及其应用归纳总结
多元函数微分学及其应用归纳总结一、多元函数的微分与偏导数1. 多元函数的微分定义为函数在其中一点上的线性逼近。
对于二元函数,微分为 dz=f_x*dx+f_y*dy,其中 f_x 和 f_y 分别为函数的偏导数。
对于一般的 n 元函数也可类似定义。
2.多元函数的偏导数表示函数沿着其中一个变量的变化率。
对于二元函数f(x,y),其偏导数f_x表示x方向上的变化率,f_y表示y方向上的变化率。
一般而言,当存在偏导数且连续时,函数在该点可微分。
3.偏导数的计算方法与一元函数相似,利用极限的定义求出偏导数表达式,对于高阶偏导数,可以反复求导。
4.混合偏导数表示函数在二个或二个以上变量上求偏导数后再对另外一个或另外几个变量求偏导数,其次序不影响结果。
二、多元函数的求导法则1. 多元函数的和、差、常数倍法则:设函数 f 和 g 在其中一点连续可导,则(f±g)'=f'±g',(kf)'=kf'。
2.多元函数的乘积法则:设函数f和g在其中一点连续可导,则(f·g)'=f'·g+g'·f。
3.多元函数的商法则:设函数f和g在其中一点连续可导且g不为零,则(f/g)'=(f'·g-g'·f)/g^24. 复合函数求导法则:设函数 y=f(u) 和 u=g(x) 在其中一点可导,则复合函数 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx=f'(u)·g'(x),其中 x 和 u 为中间变量。
三、多元函数的极值与梯度1.多元函数的极值包括极大值和极小值。
在二元函数中,极值的必要条件为偏导数为零,充分条件为偏导数存在且满足一定条件。
2.多元函数的梯度是一个向量,其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致,大小表示变化率的大小。
梯度为零的点可能为极值点。
第七章多元函数微分法及其应用
第七章多元函数微分法及其应用第七章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念一、平面点集n 维空间1.区域由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点p 与有序二元实数组(x , y )之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x , y )与平面上的点P 视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组)(y x ,的全体,即},),{(2R y x y x R R R ∈=?=就表示坐标平面。
坐标平面上具有某种性质p 的点的集合,称为平面点集,记作 }),(),{(p y x y x E 具有性质= 邻域:设),(000y x P 是xOy 平面上的一个点,δ是某一正数与点),(000y x P 距离小于δ的点),(y x P 的全体称为点0P 的δ邻域记为),(0δP U ,即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P U 邻域的几何意义: U (P 0, δ)表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、δ>0为半径的圆的内部的点P(x , y )的全体.点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U, 即}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U.注: 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U.点与点集之间的关系:任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种: (1)内点: 如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )?E , 则称P 为E 的内点;(2)外点: 如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )?E =?, 则称P 为E 的外点;(3)边界点: 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点.E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作?E .E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E .聚点: 如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点.由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E . 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1<="" bdsfid="92" p="">满足1<x 2+y="" 2<2的一切点(x="" ,="" y="" )都是e="" 的内点;="" 满足x="" 2="1的一切点(x" 的边界点,="" 它们都不属于e="" ;="" )也是e="" 它们都属于e="" 点集e="" 以及它的界边?e="" 上的一切点都是e="" 的聚点.<="" p="" bdsfid="94">。
高等数学 多元函数微分法及其应用ppt课件
其余类推
fxy( x,
y)
lim
y0
fx(x, y
y) y
fx(x, y)
(2) 同样可得:三阶、四阶、…、以及n 阶偏导数。
(3) 【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
【例
1】设 z
x3
y2
3 xy 3
xy
1,求二阶偏导数及
3z x 3
.
【解】 z 3x2 y2 3 y3 y, x
x2 y2 sin x2 y2 ( x2 y2 )3 2
y0
换元,化为一元 函数的极限
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【阅读与练习】 求下列极限
5/51
x2
(1)lim sin( xy) (a 0); (2) lim (1 1 )x2 y2 ;
x0 x
x
x
ya
ya
1
(3)lim(1 sin xy)xy; x0
(2) 【复合函数求导链式法则】
①z
u
v
t t
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
u
x z z u z v y x u x v x
②z
v
x z z u z v
y y u y v y
③ z f (u, x, y)
u x z f f u
y x x u x
(
x,
y,
z)
lim
z0
z
.
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10/51
4. 【偏导数的几何意义】 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
高等数学下:7-5 多元函数微分学的几何应用
24
7.5.1 空间曲线的切线与法平面
x (t)
1
空间曲线由参数方程给出时
y
(t
)
t t0时,M ( x0 , y0 , z0 )处
752曲面的切平面与法线12由于位于上所以dtdzdtdydtdx每一条线的任意性曲线的切线13曲面上过点m且具有切线的任何曲线它们在点m处的切线都位于同一平面上此平面称为曲14过点m且垂直于切平面的直线称为曲面在m处的法线称为曲面在点m处的一个法向量法线与平行为法向量15曲面方程dydx16法向量求曲面的切平面与法线17曲面在m处的切平面方程为曲面在m处的法线方程为切平面上点的竖坐标的增量的全微分的全微分表示曲面切平面上的点的竖坐标的增量
3
x (t)
y
(t
)
z (t )
t t0时,M ( x0 , y0 , z0 )处的切线方程: x x0 y y0 z z0 .
(t0 ) (t0 ) (t0 )
注 上式中的分母不能全为零,如其中某一个分 母为零,则相应的分子也为零.
切向量: 切线的方向向量称为曲线的切向量.
n { fx , f y , 1}M0的方向是向下的
19
例 3 求曲面 z ez 2xy 3在点(1,2,0)处的
切平面及法线方程.
解 令 F ( x, y, z) z e z 2xy 3,
Fx
(1,2,0)
2y (1,2,0)
4,
F y
(1,2,0)
2x (1,2,0)
2,
F z (1,2,0) 1 e z (1,2,0) 0, 切平面方程 4( x 1) 2( y 2) 0 (z 0) 0,
比较:平面上的曲线方程 F ( x, y) 0
微积分-D7_8 多元函数微分学的应用-PPT精品文档
xR c o s, yRsin, z k ; 例 1. 设圆柱螺旋线方程为:
求其在 2 所对应点处的切线方程和法平面方程。 时,曲线上对应的点的坐标为: P 0 k ; , R , 当 解: 0 2 2
x R s i n , y Rcos, z k ; 曲线上对应点处的切向量为: P R , 0 ,k , 0
x 1 , y x , z x 0 0 0
7. 8. 3 多 元 函 数 的 极 值
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第7 章
7. 8. 1 向量函数及其导数
1 . 向量 ( 值 ) 函数 定 义: 设 X 为一变量 , A 是一向(矢)量变量, 若 n X X R , 变向(矢)量 A 都有确定的向(矢)量 A X
与之对应,则称该对应法则为 X
为光滑的。
“光滑的曲线是指其切向量连续变动的曲线。” 简言之,
则称该曲线 若曲线Γ 可分为有限段, 且每一段为光滑的,
Γ 为分段光滑的。
,yt ,zt 0 0 0 的直线, 以 A t 0 为方向向量, 且过点 xt
t ,A t 0 , 设空间的曲线Γ 满足: 0 T 0
2
称为向量函数 A u, v 关于变量 u 的偏导向量; 向量
x u , v , y u , v , z u , v Av u,v ; v v v
DA u,v
称为向量函数 A u, v 关于变量 v 的偏导向量;矩阵
称为向量函数 A u , v 的Jacobi 矩阵(全导数)。
复习: 设平面光滑 (连续可导) 曲线 y f x , 在点 x0 , y0 处有 切线方程: y
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故当 y y0, x x0时,有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
5
说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值,
必有
f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) 0.
从几何上看,这时如果曲面 z f ( x, y) 在点
21
例6
求椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 的内接长方体,
使长方体的体积为最大.
解 设长方体与椭球面在第一卦限内的接点坐标为
(x, y, z),则内接长方体的体积为8x构yz造, 函数
F
( x,
y,
z)
8 xyz
(
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1),
得方程组
8
yz
2x a2
0,
8 xz
2y b2
求出实数解,得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ),
求出二阶偏导数的值A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号,再判定是否是极值.
8
例1 求函数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x的极值.
解 先解方程组
f x ( x, y) 3x2 6x 9 0,
x y 1 3,z 2 3 和 2
x y 1 3,z 2 3 2
dmax 9 5 3, dmin 9 5 3.
25
例8. 求函数f(x, y)=xy在闭区域x2 y2 1上的
最大值与最小值
解 由fx(x, y)=y=0, fy(x, y)得=x到=0函, 数在区域内 的唯一驻点为(0,0),且 f(0,0)下=0面.考虑函数在区域 的边界x2+ y2=1上的最大值与最小值.设
f
y
(
x
,
y
)
3
y
2
6
y
0,
求得驻点为(1,0)、(1,2)、(3,0)、(3,2).
再求出二阶偏导数
f xx ( x, y) 6 x 6, fxy ( x, y) 0,
f yy ( x, y) 6 y 6.
9
在点(1,0)处,AC B2 12 6 0,又A 0,所以函 数在(1,0)处有极小值f (1,0) 5;
在该圆上函数值均为零,因此
fmax (1,0) 1, fmin (D) 0.
13
例3 某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长 方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使
用料最省.
解
设水箱的长为
x m, 宽为y m,
则其高应为 2 m xy
此水箱所用材料的面积
A 2( xy y 2 x 2 ), xy xy
y0
a
a 3
a 3
a. 3
可见当三个数相等时,其乘积最大.
Smax
a 3
3.
17
7.8.2 条件极值
无条件极值:对自变量除了限制在定义域 内外,并无其他条件.
条件极值:对自变量有附加条件的极值.
对于有些实际问题,可以把条件极值化为无 条件极值.但在很多情形下,将条件极值化为无条件 极值并不简单.我们另有一种直接寻求条件极值的方 法,可以不必先把问题化到无条件极值的问题,这 就是拉格朗日乘数法.
的偏导数必然为零: f x ( x0, y0 ) 0, f y ( x0, y0 ) 0.
仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零
的点,均称为函数的驻点.
偏导数存在
注意: 驻点
极值点
例如, 点(0,0)是函 z xy的驻点,但不是极值点.
数
4
定理7.10 设函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数,且在点( x0 , y0 )处有极值,则它在该点
(1)AC B2 0时具有极值,
当 A 0时有极大值, 当A 0 时有极小值;
(2)AC B2 0时没有极值;
(3)AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值,
还需另作讨论.
7
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤:
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
如果三元函数u =f (x,y,z)在点M0 ( x0 , y0 , z0 )具有
偏导数,则它在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件为
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0, f y ( x0 , y0 , z0 ) 0, fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
0,
8 xy
2z c2
0,
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
0,
x>0,y>0,z>
0
(1)
22
由方程组的前三个方程得到
x2 a2
y2 b2
z2 c2
,
将其代入到最后一个方程中,即得
x0
3 a, 3
y0
3 b, 3
z0
3c. 3
由于体积最大的内接长方体一定存在,方程组(1)的解
又是唯一的,故(
满足上述条件的点仍称为驻点.
若点M0是f(x, y, z)的驻点, f(x, y, z)在点M0处所有
的二阶偏导数都连续, 则当矩阵
f xx f xy f xz
ห้องสมุดไป่ตู้
H
f xy
f yy
f
yz
f xz f yz f zz
为正定阵时,点M0为极小值点; 为负定阵时,点M0为极大 值点;如矩阵不是正定阵,也不是负定阵, 则点M0不是极
3 a, 3
3 b, 3
3 3
c)就是所求的最大值
点.所求的最大体积为
V 8 3 a 3 b 3 c 8 3 abc.
333
9
23
例7.抛物面 z x2 y2被平面x y z 1截成一 椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离.
解 设椭圆上点的坐标为 ( x, y, z),则 d2 x2 y2 z2,
19
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况:
要找函数u f ( x, y, z,t) 在条件
(x, y, z,t) 0, ( x, y, z,t) 0
下的极值, 先构造函数
F(x, y,z,t) f (x, y,z,t)
1( x, y, z,t) 2 ( x, y, z,t) 其中1,2 均为常数,可由 偏导数为零及条件解出
的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,又
f x ( x0, y0 ) 0, f y ( x0, y0 ) 0, 令
f xx ( x0 , y0 ) A, fxy ( x0, y0 ) B, f yy ( x0, y0 ) C,
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下:
12
例2 求函数 f ( x, y) x2 y2 2x 2 在闭区域D
的最大值与最小值,其中D是 ( x 1)2 y2 1.
解由
f x 2( x2 y2 2x)( x 1) 0, f y 2( x2 y2 2x) y 0, 得f (x,y)在区域D内的唯一驻点(1,0),且 f (1,0)=1.
值点.
11
4 最大值,最小值
与一元函数相类似,我们可以利用函 数的极值来求函数的最大值和最小值. 求最值的一般方法:
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D
的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最 大者即为最大值,最小者即为最小值.
在通常遇到的实际问题中,所确定的 函数只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的 函数值就是最大值(最小值).
2
例 函数 z 3x2 4 y2 在 (0,0) 处有极小值.
例 函数 z x2 y2 在 (0,0) 处有极大值.
例 函数 z xy 在 (0,0) 处无极值.
z
xzy
x
y
z
y x
3
2 取极值的必要条件
定理7.10 设函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数,且在点( x0 , y0 )处有极值,则它在该点
15
例4
将一个正数a 表为三个正数之和, 使
这三个正数的积为最大.
解 设这三个正数分别是x、y、z, 则x+y+z=a.
它们的积为xyz,由于z =a–x–y,所以问题就变为求函数
S xy(a x y),
在区域D={(x, y)|x>0, y>0, x+y<a}内的最大值
问解题方.程组
s y(a 2x y) 0, x
( x0 , y0 , z0 ) 处有切平面,则切平面
z z0 fx ( x0, y0 )(x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 )
成为平行于xOy坐标面的平面z z0 0.
6
3 取极值的充分条件
定理7.11
设函数 z f ( x, y)在点 ( x0 , y0 )
满足 z x2 y2 0 和 x y z 1 0.
令
F x2 y2 z2 (z x2 y2 ) ( x y z 1),
分别对x, y, z求偏导,并使之为零,再结合条件,得
24
解出
2x 2x 0,
22zy
2y
0,
0,
z x2 y2 ,
x y z 1 0,
x, y, z,t, 即得极值点的坐标.
20
例5 某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长 方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使 用料最省.