第15章 分布参数电路

第十五章 分布参数电路一、教学目标随着电路工作频率的增高和电路尺寸的增大，当集中化假设条件不满足，且只有横电磁波时，空间因素不能忽略，需采用分布参数电路模型。

通过本章学习，使学生建立分布参数的概念，进一步加深对集中化假设的理解，掌握均匀传输线的电报方程及其求解方法，熟练掌握含无损耗传输线网络的分析方法，并理解传输线上行波和驻波的特点以及波过程。

1.知识教学点均匀传输线及其方程（电报方程）；初始条件与边界条件均匀传输线的正弦稳态响应、传播常数与特性阻抗行波：正向行波与反向行波，反射、输入阻抗无损耗传输线：驻波、有限长线的应用（储能元件、阻抗变换）波过程2.能力训练点应用均匀传输线的电报方程分析问题掌握行波的概念和消除反射的方法分析含无损耗传输线的网络能分析无损耗线上的波过程二、教学方法1．教法指导复习集中化假设条件，说明集中参数电路的使用范围，通过实例引出分布参数电路。

在推导电报方程的过程中注意物理概念的解释。

回顾相量法，导出电报方程频域形式的复微分方程；求其通解，由边界条件确定具体的正弦稳态解。

讨论正弦稳态解各项的物理意义，引出行波的概念。

讨论行波的特点和反射的原因；定义输入阻抗。

由传输线高频应用引出无损耗线，讨论其正弦稳态解在终端开路和短路情况下的驻波特性，进而给出有限长线实现储能元件和阻抗变换等应用。

通过无损耗线介绍传输线的波过程（暂态分析），介绍波的反射、折射等概念。

2．学法指导预备知识数学方面：微分方程与偏微分方程电路方面：相量分析方法和经典分析方法本章指南牢固记忆均匀传输线的电报方程。

熟练掌握电报方程的正弦稳态解：一般可分为正向行波和反向行波的叠加，掌握正向行波和反向行波的形式以及副参数（传播常数和特性阻抗）与原参数之间的关系。

熟练掌握产生反射的原因和实现无反射的匹配条件。

无损耗线及其应用。

掌握一般输入阻抗公式与特定情况下输入阻抗公式的关系。

会利用输入阻抗公式等效化简无损耗传输线网络进行分析。

一般了解波过程。

三、 知识详解本章知识结构图均匀传输线⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎩⎪⎩⎩均匀传输线及其电报方程正弦稳态解行波正弦稳态分析行波与波的反射反射条件驻波无损耗线实现电容和电感应用阻抗变换特性暂态分析 ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩通解（波过程）反射与折射 知识点1 均匀传输线及其方程（电报方程）由于电路参数的分布性，均匀传输线上的电压u 和电流i 不仅是时间t 的函数，而且还与距离x 有关。

这是分布电路与集总电路显著的区别。

均匀传输线由下列偏微分方程（称为电报方程）描述： 00u i R i L x t ∂∂−=+∂∂ 00i uG u C x t∂∂−=+∂∂ 式中，0R 、0L 、0G 和0C 为均匀传输线单位长度的电阻、电感、电导和电容，统称为传输线的原始参数。

根据边界条件(传输线上某处0x x =的电流和电压，常见的是始端0x =或终端x l =，l 为线长)和初始条件(换路时刻的条件)，可以求解上述方程组。

知识点2 均匀传输线的正弦稳态响应、传播常数、特性阻抗与输入阻抗 均匀传输线的相量方程在正弦稳态之下，均匀传输线的相量方程为000d j d U R I L I Z I x ω−=+= 000d j d I G U C U Y U xω−=+= 式中，U 和I 分别表示u 和i 的相量，它们仅是距始端距离x 的函数；000j Z R L ω=+和000j Y G C ω=+分别为单位长度的串联阻抗和单位长度的并联导纳。

均匀传输线的正弦稳态解方程的通解为x x UAe Be γγ−=+ ， ()1x x CI Ae Be Z γγ−=−式中，j γαβ==+称为传播常数，其中α称为衰减常数，β为相位常数；c c Z Z ϕ==∠称为均匀传输线的特性阻抗。

γ和c Z 统称为传输线的副参数。

由边界条件可确定待定系数A 和B 。

均匀传输线的输入阻抗均匀传输线上距离终端'x 处向终端看入的输入阻抗为22tanh ()()()tanh c in c c Z Z x Ux Z x Z I x Z Z x γγ′′+′==′′+ 知识点3 行波和波的反射传输线上的电压和电流均可看作是入射波（即正向行波：由始端向终端传播的波）和反射波（即反向行波：由终端向始端传播的波）两种行波叠加的结果：UU U +−=+ ，I I I +−=− 其中，正向行波x x U Ae A e γγ′+−′== ，/c I U Z ++= ；反向行波x x U Be B e γγ′−−′== ，/cI U Z −−= 。

波的相位速度和波长分别为p v ωβ=和2πλβ=。

线上某处的反射系数N 定义为该处电压（电流）反射波与电压（电流）入射波之比，即 22x in cincZ Z U I N N e U I Z Zγ−−′−++−====+式中，222ccZ Z N Z Z −=+为终端处的反射系数，2Z 为传输线终端的负载阻抗。

这表明，反射是由不均匀点（称为反射点）引起的。

当2c Z Z =时，称传输线工作于匹配状态。

此时（1）20N =，0N =，线上无反射波存在；（2）线上任一处的输入阻抗等于特性阻抗，in c Z Z =；（3）传输到终端的功率称为自然功率。

半无限长的传输线上无反射波，可认为与匹配的有限长传输线状态相同。

知识点4 无损耗线单位长度电阻0R 和单位长度电导0G 均为零的传输线称为无损耗传输线，简称无损耗线。

无损耗线的传播常数γ和特性阻抗c Z分别为j j γβ==，c Z学习本部分内容要利用下列公式()()sinh j jsin x x ββ′′=，()()cosh j cos x x ββ′′=，()()tanh j jtan x x ββ′′= 输入阻抗公式变为22in 222j tanj tan 2j tan j tan c c cc c c Z Z x Z Z x Z Z Z Z Z x Z Z x πβλπβλ′+′+==′+′+ 已知始端（0x =）的1U 和1I 时，线上的电压和电流分别为1122cos j sin c U U x Z I x ππλλ=− ， 1122cos j sin c U I I x x Z ππλλ=−已知终端（x l =）的2U和2I 已知时，线上的电压和电流分别为 2222cos j sin c U U x Z I x ππλλ′′=+ ， 2222cos j sin c U I I x x Z ππλλ′′=+驻波终端开路或短路（包括接电容或电感）的无损耗线上的电压和电流均为驻波。

电压的波腹和波节相距4λ，交替出现，它们恰好是电流的波节和波腹。

无损耗线的应用无损耗短路线的输入阻抗为sc 2j tanc Z Z l πλ=。

当4l λ<时，无损耗短路线等效为电感。

无损耗开路线的输入阻抗为oc 2j cot c Z Z l πλ=−。

当4l λ<时，无损耗开路线等效为电容。

4λ无损耗线可用作阻抗变换器。

如图所示，阻抗变换公式为2in 2c Z Z Z =利用4λ无损耗线可实现阻抗匹配。

上述无损耗线应用中的3个阻抗公式都是无损耗线一般输入阻抗公式的特例。

知识点5 无损耗线的波过程 概述像集中参数的动态电路一样，当出现换路时，传输线上将发生暂态过程，称为波过程。

无损耗线上的暂态电压和暂态电流仍然可看作是波速为v 的入射波和反射波两种行波叠加的结果：u u u +−=+，i i i +−=− 且有c u z i ++=，c u z i −−=，其中c z = 波的反射与折射（1）波的反射反射也是由不均匀点（反射点）引起的。

显然，半无限长线上只有入射波，没有反射波。

对于有限长线，在入射波尚未到达终端（反射点）之前，波过程与半无限长线的情况相同。

反射点的反射波可用下列的柏德生法则计算。

柏德生法则：当入射波沿无损耗线投射到反射点时，对该反射点而言，传送入射波的无损耗线可等效为一个集中参数戴维南等效电路，其中电压源的电压等于反射点电压入射波的2倍，等效电阻等于无损耗线的波阻抗c z ，如下图所示。

2λ4λ无损耗线2222u+(a) 传输线网络 (b) 等效电路传输线网络及其等效电路当反射波抵达始端时，对始端来说又成了入射波。

如果始端电源内阻s R 与波阻抗不相等，则在始端也会产生反射波，它为传输线的第二次入射波。

第二次入射波再次向终端推进，到达终端后又一次产生反射，这样重复下去，就形成了多次反射。

（2）波的折射入射波行进到波阻抗不同的传输线连接处时，不仅会产生反射波，而且将有电压和电流行波进入到连接处以后的传输线。

这种进入另一条传输线的波称为折射波或透射波。

折射波与入射波之比称为折射系数。

电压折射系数和电流折射系数分别为221212c u c c z u u z z ρ++==+， 121212c i c c z ii z z ρ++==+电压和电流的折射波可用右图所示的等效电路计算。

波的折射有可能引起过电压现象，因此，在设计电器设备的绝缘水平时，必须考虑，以免遭受损坏。

四、 重点、难点和疑点及解决方法1.重点行波及反射输入阻抗（等效概念）的应用无损耗线及其应用 2.难点和疑点行波的概念无损耗传输线输入阻抗公式的灵活应用无损耗传输线的波过程 3. 考点行波及反射无损耗传输线及其应用 传输线的匹配五、 学时安排内容学 时 均匀传输线及其方程1 均匀传输线的正弦稳态解1z 2c z 12u+计算折射波的等效电路行波和波的反射 1 无损耗线及其线上的驻波2 波过程1六、 随堂例题与练习【例15-1】图15-1（a）所示均匀传输线正弦稳态电路中，电源两边的两段传输线完全相同，线长为l 、特性阻抗为c Z 、传播常数为γ。

试求线上的电压和电流相量。

UCZ CZ（a ） （b ）图 15-1 【例15-1】图【解】设线上电压的参考方向为上正下负，电流的参考方向为x 的正方向。

当0x l ≤≤时，线上只有反向行波，故()x Ux Ae γ= ，()x cA I x e Z γ=− 当2l x l ≤≤时，线上只有正向行波，故()x Ux Be γ−= ，()x cB I x e Z γ−= 从电流源两端分别向两边二端网络看进去的输入阻抗均为c Z ，所以，x l =处的等效电路如图15-1（b）所示。

电流源两端的电压为1()2c s U l Z I =则12l c s A Z I e γ−=，12l c s B Z I e γ= ，因此 ()1()2x l c s U x Z I e γ−= ，()1()2x l sI x I e γ−=− ()0x l ≤≤ ()1()2l x c s U x Z I e γ−= ，()1()2l x sI x I e γ−= ()2l x l ≤≤ 注:本题为涉及均匀传输线的行波、输入阻抗、阻抗匹配和边界条件的综合概念性题目。