函数的单讲义调性(2)

一般地，设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D 上的任意 两个自变量的
值 x1， x 2 ，当 x1 x2 时，都有f(x1)f(x2) ，那么就说函数 y
f ( x ) 在区间D上是增函数 ．
f (x2) 上升
f (x1)
0
x1 x2
x
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（二）减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I:
函数的单调性(2)
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
第1课时 函数的单调性
2
我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化 的规律。
f(x2)
f (x1)
x 1x 2
函 数 函f数 (x)f= (x x在 ) Rx上 的函 图 数 像 值 随 ｘ
的 由 增 大 左而 到增 右大 是增上函升数的
V 减函数.
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证 明 ： 设 V 1 , V 2 是 定 义 域 （ 0 ， ） 上 的 任 意 两 个 实 数 ， 且 V 1 V 2 ,
p(V 1)p(V2)V k1V k2kV V 21 V2 V 1作. 差变形
取值
由 V 1 , V 2 ( 0 , ) ， 得 V 1 V 2 0 ; 由 V 1 V 2 , 得 V 2 V 1 0 .
如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的 值 x1， x 2 ，当 x1 x2 时，都有f(x1)f(x2) ，那么就说函数
y f ( x ) 在区间D上是减函数．
f (x1)
f (x2)
0
x1 x2
下降 x
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（三）单调性
如果函数 y f(x) 在区间D上是增函数或减函数，那么 就说函数 y f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，区 间D叫做 y f(x) 的单调区间．
证明你的结论。
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( 1 ) 函 数 的 定 义 域 是 ( - , 0 ) ( 0 , + ) .
(2)函 数 在 （ ， 0） 上 和 （ 0， ） 都 是 减 函 数 .
13源自文库
函 数 在 （ - ， 0 ） 单 调 递 减 的 证 明 如 下 ：
证 明 ： 任 取 x 1 ,x 2 ( ,0 ) ,且 x 1 x 2 ,
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想一想
判断下列说法是否正确
1则、函如数果f(对x)在于区区间间（（aa，，bb））上上是存增在函x1数。x错2 误，使得f(x1)f(x2)
2、如果对于区间（a，b）上的任意x有f(x)＞f(a)，则函数f(x)在 区间（a，b）上是增函数． 错误
3、函数f(x)在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当 a x 1 x 2 ... ... b 时，有f ( a ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) . . . . . . f ( b ) 则函数f(x)在区间（a，b）上是增函数。错误
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二、 对函数单调性的理解
（一）在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性, 即必须是f(x1)<f(x2) (或f(x1)>f(x2)),而不能是 f(x1)≤f(x2) (或f(x1)≥f(x2)); y （二）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的, 是局部概念; （三）学习函数的单调性,要注意0定义中条件和x 结论是 双向使用的.
函 在 函 的 在 数 ｙ 数 增 （ f轴 (f大 ０ x(的 )x而 ， = )右 =x 减 ＋ 侧 2 x在 小 2在 是 ） ｙ ， 减（ 上 上 轴 -升 函的 函， 的 数0左 数 ］ 。 侧 值 上是 随 函下 ｘ 数降 的 值的 增 随， 大 ｘ
而增大。增函数 3
一、函数是单调性的定义 （一）增函数
4、若f(x)是R上的增函数，且 f(x1)f(x2), 则 x1 x2 。正确
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典型例题
例1.下图是定义在闭区间 [5, 5] 上的函数 y f(x) ，根 据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上， 它是增函数还是减函数．
解：函数 y f(的x)单调区间有 [ 5 2 ) ， [ 2 ,1 ) ,[ 1 ,3 ) ,[ 3 ,5 ]
其中 y f(在x)区间
[上5是2)， 减[1,3函) 数，在区间
[2,1),[上3,5是] 增函数．
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例 2、 物 理 学 中 玻 意 耳 定 律 pk(k为 正 常 数 ） 告 诉 我 们 ， V
对 于 一 定 量 的 气 体 ， 当 其 体 积 减 小 时 ， 压 强 p将 增 大 .试 用 函 数 的 单 调 性 证 明 之 . 分析：即要求证明函数p k 在（0， ）上是
x
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1.请根据下图描述某装配线的 生产效率与生产线上工人数量 之间的关系.
解：在一定范围内，生产效率随着工人的数的增加而提 高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值， 而超过这个数量时，生产效率又随着工人数增加而降低。 结论：并不是工人数越多，生产效率越高。
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2.整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，中午（12： 00—13：00）时分一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴 风雨过后，天气转暖，直到太阳下山（18：00），才又开 始转凉.请画出这天8：00—20：00期间气温作为时间的函 数的一个可能图象，并说明所画函数的单调区间. 解：单调增区间是 [8,12）,[13,18）; 单调减区间是 [12,13）,[18,20].
又 k 0 ,于 是 p ( V 1 ) p ( V 2 ) 0 , 定号
即p(V1)p(V2). 判断
所 以 ， 函 数 p k 在 ( 0 , ) 上 是 减 函 数 . 结 论 得 证 . V
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1 画出反比例函数f(x)= x 的图像。 （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？
取值
则 f(x1)f(x2)x 11x 12x2 x1 x2 x1.
作差变形
由 x 1 ,x 2 ∈ (- ∞ ,0 )得 x 1 x 2 > 0 ;由 x 1 < x 2 得 x 2 -x 1 > 0 .
所 以 f(x 1 )-f(x 2 )> 0 ，
定号
即f(x1)f(x2） .
判断
根 据 函 数 单 调 性 的 定 义 ， 函 数 （ fx ) 1 在 （ ， 0 ） 上 是 减 函 数 .