函数的单讲义调性(2)
函数的单调性ppt
05
函数的单调性的实际案例
利用函数的单调性解决实际问题
1 2
判断经济增长趋势
通过分析经济增长率函数，利用函数的单调性 可以判断经济是处于增长趋势还是下降趋势。
确定最优化解决方案
在生产、销售或投资领域，利用函数的单调性 可以帮助我们确定最优的策略或方案。
3
预测天气变化趋势
通过分析气象数据函数，利用函数的单调性可 以预测未来的天气变化趋势，为灾害预防和应 对提供参考。
函数的单调性的判断方法
定义法
根据函数的单调性定义来判断 。
导数法
对于可导函数，可以根据导数 的正负来判断函数的单调性。 当导数大于0时，函数单调递增 ；当导数小于0时，函数单调递
减。
图像法
观察函数的图像，上升曲线表 示函数单调递增，下降曲线表
示函数单调递减。
02
函数的单调性的应用
单调函数在生活中的应用
感谢您的观看
THANKS
单调函数与导数的关系总结
单调函数的导数
01
单调递增函数的导数大于等于0，单调递减函数的导数小于等
于0。
导数的正负与单调性
02
导数的正负与函数的单调性是一致的，即导数大于0时，函数
递增；导数小于0时，函数递减。
导数与变化趋势
03
导数可以反映函数的变化趋势，即函数在某点处的变化率，因
此可以用来预测函数的未来变化趋势。
一次函数和二次函数
一次函数在其定义域内具有单调性，而二次函数在其定义域内也 可能具有单调性。
极限和导数
在数学分析中，单调函数的极限和导数具有特定的性质和计算方 法。
不等式和排序
单调函数在求解不等式和进行排序等方面具有重要应用。
函数的单调性
单调性定义的几种变形形式：
设任意x1，x2∈[a，b]且x(x2 ) x2
0
⇔f(x)在[a，b]上是增函数
f (x1) f (x2 ) 0 x1 x2
⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增
调性。
x
1
在(－1，＋∞)上的单
函数单调性的应用（二）求函数的最值与比较 函数值的大小
} ①x1<x2 D
②f(x)是增函数
f(x1)<f(x2)
例1：求函数f(x)=x2-2x+3在[1，4]上的值域。
例2：求函数f(x)=
2x 1 x2
在[1，4]上的最值。
例3：求函数f(x)= x 1 - 6 2x 的值域。
且满足f( )<f(a), 求a的取值范围.
例5：已知函数f(x)＝
则不等式
f(a2－4)>f(3a)的解集为( ) A．(2,6) B．(－1,4) C．(1,4) D．(－3,5)
函数的单调区间(一)求函数的单调区间
例1：求函数y＝x－|1－x|的单调增区间。
1 2x
例2：求函数y=
的单调增区间。
函数.
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减 函数．
单调性的有关结论：
1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增 (减)函数．
2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，
3．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调 性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；
函数的单调知识点总结
函数的单调知识点总结一、函数的增减性1. 函数的单调性定义函数的单调性是指函数在其定义域上的增减性质。
如果对于任意的$x_1, x_2 \in D$, $x_1 <x_2$，有$f(x_1) \le f(x_2)$，则称函数$f(x)$在定义域上是单调不减的；如果对于任意的$x_1, x_2 \in D$, $x_1 < x_2$，有$f(x_1) \ge f(x_2)$，则称函数$f(x)$在定义域上是单调不增的。
2. 函数的单调性判定对于一个给定函数，要判定其在定义域上的增减性，可以通过对函数的导数进行分析来实现。
通常有以下几种方法：(1) 图像法：通过画出函数的图像，观察函数在定义域上的增减性。
(2) 导数法：计算函数的导数并分析其正负性来判定函数的单调性。
(3) 定义域划分法：对函数的定义域进行适当的划分，分别分析函数在各个子区间上的增减性。
3. 函数的单调性与最值函数的单调性可以帮助我们求解函数的最值。
如果一个函数在其定义域上是单调递增的，则其最小值为$f(x)$的最小值；如果一个函数在其定义域上是单调递减的，则其最大值为$f(x)$的最大值。
二、导数的应用1. 函数的导数导数是描述函数变化率的重要工具，它可以帮助我们研究函数的增减性。
对于可导函数$f(x)$，其导数$f'(x)$的正负性可以描述函数在某点附近的增减性。
具体来说：(1) 若$f'(x)>0$，则$f(x)$在$x$点附近是单调递增的；(2) 若$f'(x)<0$，则$f(x)$在$x$点附近是单调递减的。
2. 函数单调性与导数对于可导函数$f(x)$，如果$f'(x)>0$，则$f(x)$在其定义域上是单调递增的；如果$f'(x)<0$，则$f(x)$在其定义域上是单调递减的。
这是函数的单调性与导数之间的重要联系，也是求解函数的单调性的重要方法。
高二数学单调性2(中学课件201908)
例4 求函数f(x)=xlnx的单调区间.
解：函数的定义域为x>0, f’(x)=x’lnx+x(lnx)’=lnx+1. 当lnx+1>0时，解得x>1/e.则f(x)的 单增区间是(1/e,+∞). 当lnx+1<0时，解得0<x<1/e.则f(x) 的单减区间是（0，1/e).
例3：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解:函数的定义域为R,f’(x)=6x2-12x 令6x2-12x>0,解得x<0或x>2， 则f(x)的单增区间为（－∞，0）和 （2，＋∞）. 再令6x2-12x<0,解得0<x<2, 则f(x)的单减区间(0,2).
注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单 调性发生改变.
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在 该区间有下面的结论: 如果在某区间上f’(x)>0,则f(x)为该区间上的增函数;
如果在某区间上f’(x)<0,则f(x)为该区间上的减函数.
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；
而民未忘汉 满日法得一辰 领军将军谢晦及亮辅政 武弁 大赦天下 执政使使者诛义真於新安 并与贤彦申写所怀 因时讲事 忍虐未露 半家俱西 夏后之罹浞 淮南宣城二郡太守萧映行南兖州刺史 彭之伯 则汉土 戊戌 岁吉月令 会百官六品以上 师旅连年 以此思归死士 此之为蔽 在目罕存 兼至副介 王者所重诫 万世宗匠 一皆蠲省 军校 皆元之咎 丑声四达 亲迎 前军长史柳世隆固守 秋七月壬辰 诸儒共论正朔 宰辅焉依 孝建元年春正月己亥朔 参议以为宜如是事 式遏寇虐 朝野无虞 《礼》冠於庙 山泽之利 至於汤
《函数单调性的概念》课件
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f'(x) > 0，那么函数f(x)在区间[a, b]上单 调递增。
证明
设x1, x2是区间[a, b]上的任意两点，且x1 < x2，考虑差值f(x2) - f(x1)。由于 f'(x) > 0，差值可以表示为f'(c)(x2 - x1) > 0，其中c位于x1和x2之间。因此， f(x2) > f(x1)，说明函数在区间[a, b]上单调递增。
通过观察函数的图像来判断函数的增减性。如果图像在某区间内从左到
右上升，则函数在该区间内单调递增；如果图像在某区间内从左到右下
降，则函数在该区间内单调递减。
导数在判定单调性中的应用
导数大于0的区间内 ，函数单调递增。
导数等于0的点可能 是函数的极值点或拐 点。
导数小于0的区间内 ，函数单调递减。
单调性判定定理的证明
周期性
单调函数可能是周期函数，但并非所 有单调函数都具有周期性。
单调函数的极限和积分性质
极限性质
单调函数的极限值存在且唯一，且极限 值等于函数值。
VS
积分性质
单调函数的积分值与被积函数值成正比， 即对于任意区间[a, b]，有 ∫baf(x)dx=k∫baf(x)dxf(x)dx int_a^b f(x) dx = k int_a^b f(x) dxf(x)dx∫abf(x)dx=k∫abf(x)dxdx，其 中k为常数。
《函数单调性的概念 》ppt课件
REPORTING
• 函数单调性的定义 • 函数单调性的判定 • 函数单调性的应用 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的扩展知识
目录
PART 01
5.3.1函数的单调性2含参求单调性
ax x2 x(a 2x) x(3a 4x) . 2 ax x2 2 ax x2
由f (x) 0 及x (0,a), 解得0<x<3a/4,故f(x)的递增区间是(0,3a/4).
由f (x) 0 及x (0,a), 解得3a/4<x<a,故f(x)的递减区间是(3a/4,a).
说明: 事实上在判断单调区间时,如果出现个别点使得导数为零,不影响包 含该点的某个区间上的单调性,只有在某个区间内恒有导数为零,才 能判定 f(x)在这一区间内是常数函数.
当 a<0 时，
若 x∈－∞，2a，则 f′(x)<0，所以 f(x)在区间－∞，2a上是减函数．
若 x∈2a，0，则 f′(x)>0，所以 f(x)在区间2a，0上是增函数．
讲 课 人
若 x∈(0,＋∞),则 f′(x)<0，所以 f(x)在区间(0,＋∞)导数研究含参函数 fx的单调区间的一般步骤 1确定函数 fx的定义域； 2求导数 f′x； 3分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式 解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类 讨论； 4在不同的参数范围内，解不等式 f′x＞0 和 f′x＜0，确定函 数 fx的单调区间.
若a<0,则 f ( x) 3a( x 1 )( x 1 ),易知此时f(x)恰有三个单调区间.
3a
3a
故a<0,其单调区间是: 单调递增区间:(
1, 3a
1 ). 3a
单调递减区间: (,
1
)和(
3a
1 ,). 3a
讲
课
人
：
邢
启 强
6
[例解析3.]已知由题函设数知f(ax≠)＝0，axf3′－(x)3＝x32＋ax21－－6x3a＝，3讨ax论x－函2a数. f(x)的单调性．
第二章 第三节 函数的单调性
解析： 上为增函数， 解析：∵f(x)在R上为增函数， 在 上为增函数 ∴2－m<m2， 2－ ∴m2＋m－2>0， － ， ∴m>1或m<－2. 或 － 答案： － ，－ ，－2)∪ ，＋ ，＋∞) 答案：(－∞，－ ∪(1，＋
【解】 (1)当a＝ 当 ＝ 联想到g(x)＝x＋ ＝ ＋ 联想到
时，f(x)＝x＋ ＝ ＋
＋2， ，
的单调性，猜想到求 的最值 的单调性，猜想到求f(x)的最值
，＋∞) 在(－1，＋ － ，＋
∵x1>x2>－1，x2－x1<0，x1＋1>0，x2＋1>0， － ， ， ， ， ∴ ∴y＝ ＝ <0，即y1－y2<0，y1<y2. ， ， ，＋∞)上是减函数 在(－1，＋ 上是减函数 － ，＋ 上是减函数.
求函数的单调性或单调区间的方法 1.利用已知函数的单调性 利用已知函数的单调性. 利用已知函数的单调性 2.定义法：先求定义域，再利用单调性定义. 定义法：先求定义域，再利用单调性定义 定义法 3.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者 的图象 图象法：如果 是以图象形式给出的 或者f(x)的图象 是以图象形式给出的， 图象法 易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间 易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间. 4.导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间. 导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间 导数法
3.定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差 定号：根据给定的区间和 的符号， 定号 f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号 当符号不确定时， 的符号.当符号不确定时 － 或 － 的符号 当符号不确定时， 可以进行分类讨论. 可以进行分类讨论 4.判断：根据定义得出结论. 判断：根据定义得出结论 判断
3.1.2函数的单调性(2课时)高一数学同步精讲课件(人教B版2019必修第一册)
故a>-3.
探究提高
要注意函数思想在求函数值域中的运
用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函
数的最值解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分
离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立,
只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数
判断1：函数 () = 2 在
是单调增函数；(×)
判断2：定义在上的函数()满足(2) > (1) ，则函数() 在R
上是增函数； (×)
判断3：函数 =
在(−∞, )和(0, +∞)上单调递减
1
在定义域(−∞, 0)
∪ (0, +∞)上单调递减. (×)
即时训练:
如下图所示的函数，在[-6，-4]上是增函数，在[-4，-2]上是减函数，
在[-2，1]上是 增 函数，在[1，3]上是 减
函数，在[3，6]
上是 增
函数.单调增区间是 [−6, −4]和[−2,1]和 [3,6] ，单调
[−4, −2]和[1,3].
减区间是
.
在多个区间上单调性相同，
一般用“和”“，”连接
例1 求证：函数() = −2在上是减函数.
取值
【解析】
∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数，
7
∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=• .
2
(2)在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立
x2+2x+a>0恒成立.
函数的单调性(定义法)3页
函数的单调性(定义法)3页
函数单调性的判定可以通过做函数图像，用数形结合的方法，也可以直接运用已知函数单调性进行判断，如我们熟知的一次函数、二次函数、反比例函数等。
本文主要介绍运用函数单调性定义法以及导数法来进行函数单调性的判定，并在此基础上介绍复合函数以及抽象函数单调性判定的方法和步骤。
一.定义法
1.证明函数的单调性，可以严格按照单调性定义来证明.函数单调性的定义为：
函数的单调性（monotonicity）也可以叫做函数的增减性。
当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，
函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该
区间上具有单调性。
2.利用定义证明函数单调性时的步骤:
（1）取值，在所给区间上任意取两个自变量x1，x2，且规定其大小，通常设x1＜x2。
（2）确定f（x1）与f（x2）的大小。
通常用作差比较法，即作差f （x1)-f（x2），有时也用作商比较法，即f（x1)/f（x2）（其中f （x2）≠0）。
再进行适当变形，可以对减式或者分式进行配方、分
解因式法、根式有理化等.，但要注意，作差比较是与“0”相较，作商比较是与“1”相比较。
（3）根据定义，得出结论
特别提示：在选取x1，x2时必须具有任意性，属于同一区间，且规定好大小
二、导数法
1.用法：若函数f(x)在区间（a，b）内可导，当f＇（x）＞0时，函数在该区间内单调递增
当f＇（x）＜0时，该函数在该区单调递减。
（充分不必要条件）2.步骤：(1）首先求出函数的定义域
（2）求函数导数
（3）令导数大于0或者小于0解出范围对应得出结论。
《函数的单调性》函数 PPT教学课件
所以在证明时,不能用特殊值来代替它们);
2.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号
的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完
全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正
则 f(x2)-f(x1)= 2+1 − 1+1 =
2
1
3(2 -1 )
.
(2 +1)(1 +1)
(22 -1)(1 +1)-(21 -1)(2+1)
(2 +1)(1 +1)
因为 x1<x2,所以 x2-x1>0.
又因为 x1,x2∈[1,+∞),所以 x2+1>0,x1+1>0,
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的
单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,
从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.
2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形
式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.
-Δ·(1 +2 )
=
=
,
21 ·22
21 ·22
∵12 ·22 >0,x1+x2<0,-Δx<0,∴Δy>0.
∴函数
1
f(x)=2 在(-∞,0)内是增函数.
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函数的单调性讲义
函数的单调性讲义(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--海豚教育个性化简案海豚教育错题汇编海豚教育个性化教案海豚教育个性化教案（真题演练）海豚教育1对1出门考（_______年______月______日周_____）学生姓名_____________ 学校_____________ 年级______________ 等第1. 函数2()2f x x x=-的单调增区间是（）A. (,1]-∞ B. [1,)+∞ C. R D.不存在2. 在区间(,0)-∞上为增函数的是（）A．2y x=- B．2yx= C．||y x= D．2y x=-3．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是( )A．(－∞，40] B．[40,64] C．(－∞，40]∪[64，＋∞) D．[64，＋∞)4．如果二次函数y＝5x2－nx－10在区间(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，则n的值是( )A．1 B．－1 C．10 D．－105.函数()|2|f x x=-的单调递增区间是，6．函数f(x)图象如下图所示，函数的单调递减区间是________．7. 函数f(x)＝822+--xx的单调减区间。
8. 若函数f（x）在（-2，3）上是增函数，则y=f（x+5）的递增区间是。
9. 已知函数21)(-=xxf．（1）求f（x）的定义域；（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．评语：3A作业：周一：周二：周三：周四：周五：作业要求在月日之前完成。
高中数学函数的单调性(解析版)
1．增函数、减函数的定高中数学函数的单调性(解析版)义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．2．常用结论结论1：增函数与减函数形式的等价变形y＝f(x)在区间D上是增函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)<f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2>0；y＝f(x)在区间D上是减函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2<0．结论2：单调性的运算性质(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)＞0)与()ny f x=和y(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝1f(x)单调性相反．(5)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．(6)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，且f(x)＞0，g(x)＞0，则f(x)•g(x)也是区间A上的增(减)函数．结论3：复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．简记：“同增异减”．结论4：奇函数与偶函数的单调性奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．结论5：对勾函数与飘带函数的单调性对勾函数：f(x)＝ax＋bx(ab＞0)(1)当a ＞0，b ＞0时，f (x )在(－∞，－b a ]，b a ，＋∞)上是增函数，在[－b a ，0)，(0b a ]上是减函数；(2)当a ＜0，b ＜0时，f (x )在(－∞，－b a ]，b a ，＋∞)上是减函数，在[－b a ，0)，(0b a]上是增函数；飘带函数：f (x )＝ax ＋bx(ab ＜0)(1)当a ＞0，b ＜0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；(2)当a ＜0，b ＞0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数；考点一确定函数的单调性或单调区间【方法总结】确定函数的单调性或单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数确定函数的单调性或单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义确定函数的单调性或单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性确定函数的单调性或单调区间．【例题选讲】[例1](1)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A ．y ＝1x －xB ．y ＝x 2－xC ．y ＝ln x －xD ．y ＝e x －x答案A解析对于选项A ，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x－x 在(0，＋∞)内是减函数，故选A ．(2)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(3)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是()A ．32，＋B ．1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和32，2D ∞，32和[2，＋∞)答案B解析y ＝|x 2－3x ＋2|2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，x 2－3x ＋2），1<x <2.如图所示，函数的单调递增区间是1，32和[2，＋∞)．(4)函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．答案[2，＋∞)(－∞，－3]解析令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数．令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2．易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，∴y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．(5)函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．答案(－∞，1)(2，＋∞)解析令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数是y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2．所以函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴为x ＝32，且开口向上，所以u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数，而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，所以y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．【对点训练】1．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1．其中在区间(0，1)上单调递减的函数序号是()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④1．答案B解析①y ＝x 12在(0，1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0，1)上递增，且0<12<1，故y ＝log 12(x ＋1)在(0，1)上递减；③结合图象可知y ＝|x －1|在(0，1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0，1)上递增，且2>1，故y ＝2x ＋1在(0，1)上递增．故在区间(0，1)上单调递减的函数序号是②③．2．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是()A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |2．答案C解析当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当xf (x )＝x 2－3x 为减函数，当x时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．3．若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)3．答案C解析根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D ．4．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是()A ．[1，2]B ．[－1，0]C ．[0，2]D ．[2，＋∞)4．答案A解析由于f (x )＝|x －2|x2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2，结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．5．设函数f (x )，x >0，，x ＝0，1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是()A ．(－∞，0]B ．[0，1)C ．[1，＋∞)D ．[－1，0]5．答案B解析由题知，g (x )2，x >1，，x ＝1，x 2，x <1，可得函数g (x )的单调递减区间为[0，1)．故选B ．6．函数y ＝22311(3x x -+的单调递增区间为()A ．(1，＋∞)B ∞，34CD ．34，＋6．答案B 解析令u ＝2x 2－3x＋1＝－18．因为u ＝－18在∞，34上单调递减，函数y在R 上单调递减．所以yx 2－3x ＋1∞，34上单调递增，即该函数的单调递增区间为∞，34．7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为()A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)7．答案B 解析设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3．所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．8．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是()A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)8．答案D解析由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2．因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．又函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．考点二比较函数值或自变量的大小【方法总结】比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．【例题选讲】[例2](1)设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是()A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)答案A 解析因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数．所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)．(2)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b答案C解析由f (x )是奇函数可得a ＝－f f (log 25)．因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，且函数f (x )是增函数，所以c <b <a ．(3)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则()A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0答案B解析因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0．故选B ．(4)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0．设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则()A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )答案C解析由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π>1，|b |＝(ln π)2>|a |，|c |＝12ln π，且0<12ln π<|a |，故|b |>|a |>|c |>0，∴f (|c |)>f (|a |)>f (|b |)，即f (c )>f (a )>f (b )．(5)若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有()A ．x ＋y ≥0B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0答案B解析设函数f (x )＝2x －5－x ，易知f (x )为增函数，又f (－y )＝2－y －5y ，由已知得f (x )≤f (－y )，∴x ≤－y ，∴x ＋y ≤0．【对点训练】9．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c9．答案D解析由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c ．10．已知函数f (x )在R 上单调递减，且a ＝33.1，b ，c ＝ln 13，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为()A ．f (a )＞f (b )＞f (c )B ．f (b )＞f (c )＞f (a )C ．f (c )＞f (a )＞f (b )D ．f (c )＞f (b )＞f (a )10．答案D解析因为a ＝33.1＞30＝1，0＜b ＝1，c ＝ln 13＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (c )＞f (b )＞f (a )，故选D ．考点三解函数不等式【方法总结】含“f ”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f x 的取值范围是()A B ．13，C D ．12，答案D解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23．(2)已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R )()A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)答案D解析由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．(3)定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)，则实数a 的取值范围为________．答案[0，1)解析因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，所以函数在[－2，2]上单调递增，所以－2≤2a －2<a 2－a ≤2，解得0≤a <1．(4)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是()A．(8，＋∞)B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8)答案B解析2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)>0，－8>0，(x－8)≤9，解得8<x≤9．(5)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是()AB∞(1，＋∞)C－13，D∞答案A解析∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－11＋(－x)2＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－11＋x2也递增，根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔13<x<1．故选A．【对点训练】11．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且0，则满足f log19x>0的x的集合为________．11．答案(1，3)解析由题意，y＝f(x)为奇函数且0，所以0，又y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，于是x>0，x>或x<0，x>x>0，x>12x<0，x>－12，解得0<x<13或1<x<3．12．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．12．答案(3，＋∞)解析因为f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上是增函数，2－a>a＋3，2－a>0，＋3>0，解得－3<a<－1或a>3．又a>0，所以a>3．13．设函数f(x)x，x<2，2，x≥2.若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(B)A．(－∞，1]B．(－∞，2]C．[2，6]D．[2，＋∞)13．答案B解析易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，∴a＋1≥2a－1，解得a≤2．故实数a的取值范围是(－∞，2]．14．设函数f(x)－x，x≤0，，x＞0，则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)14．答案D解析因为f (x )－x ，x ≤0，，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x ，此时x ≤－1；当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x )，此时－1＜x ＜0．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．故选D ．15．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．答案(－∞，－2)解析作出函数f (x )的图象的草图如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a <2a －x ，即x <a2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1<a2，即a <－2．考点四求参数的取值范围【方法总结】求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．求参数时需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．【例题选讲】[例4](1)如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，那么a 的取值范围是________．答案(－∞，－2]解析二次函数的对称轴方程为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2．(2)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1．∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－2－a x 2＋(x 1－x 2．∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2．∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1．∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．(3)若函数f (x )＝a |b －x |＋2的单调递增区间是[0，＋∞)，则实数a ，b 的取值范围分别为__________．答案(0，＋∞)，0解析因为|b －x |＝|x －b |，y ＝|x －b |的图象如下：因为f (x )的单调递增区间为[0，＋∞)，所以b ＝0，a >0．(4)已知函数f (x )ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是()A ．14，12B ．14，12C ．0，12D ．12，1答案B解析由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1．又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 0<<1，12a ≥1，a ×12－1－14≥log a 1－1，即0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈14，12．(5)已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案－12，2解析令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，易知f (t )＝log 12t 在其定义域上单调递减，要使f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，－－a 2≤1，g 1>0，a ≤2，a >－12，即－12<a ≤2．【对点训练】16．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是()A －14，＋∞B ．－14，＋∞C ．－14，0D ．－14，016．答案D解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，得－14≤a <0．综上所述，得－14≤a ≤0．故选D ．17．若f (x )＝x ＋a －1x ＋2(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．17．答案(－∞，3)解析f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3．18．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2，4]上都是减函数，则m 的取值范围是(D)A ．(－∞，0)∪(0，1]B ．(－1，0)∪(0，1]C ．(0，＋∞)D ．(0，1]18．答案D解析函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m >0，解得m >0．综上可得，m 的取值范围是(0，1]．19．已知f (x )－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．19．答案32，解析由已知条件得f (x )为增函数，－a >0，>1，2－a×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，∴a 的取值范围是32，20．已知函数f (x )x 2－ax －5，x ≤1，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是()A ．[－3，0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)20．答案C解析若f (x )是R －a2≥1，<0，12－a ×1－5≤a1，解得－3≤a ≤－2．21．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1]B ．[1，4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)21．答案D解析作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D ．22．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．22．解析(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2．任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)．因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a)．因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f(x1)－f(x2)＞0，所以(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1．所以0＜a≤1．所以a的取值范围为(0，1]．23．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1．(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数．(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．23．解析(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1．又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5．由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．。
人教版高中数学必修第一册3.2 函数的单调性 课时5 函数的单调性【课件】
作出函数的图象如图.由图象可得:函数在区间(-3,-1)和(0,1)上单调递增,
在区间(-1,0)和(1,3)上单调递减.所以函数的单调递增区间为(-3,-1)和
(0,1);单调递减区间为(-1,0)和(1,3).
【方法规律】
图象法求函数单调区间的步骤
x1<x2⇔f(x1)>f(x2).
(2) 有关函数单调性应用的问题的求解,其通用的方法是利用转化思想解题,其思维
流程如下:
课堂反思
1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1.下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(
A. f(x)＝3－x
C. f(x)＝2x
(3) 已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),则实数a的取值范围为
________.
思路点拨
画出二次函数的草图,结合图象分析,根据函数单调性的图象特征,建立
关于参数a的方程、不等式或不等式组,通过解方程、不等式或不等式组求出参数a
的值或取值范围.
【解】(1) f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.得函数单调递增区
−
)
( − ) −
)=(x1-x2)+
=
(x1x2-4).由
x1,x2∈(2,+∞),得x1>2,x2>2,所以x1x2>4,x1x2-4>0.又由x1<x2,得
《调性及其判定》PPT课件 (2)
恒有
f ( x1 x2 ) 2
f ( x1) f ( x2 ) , 2
那末称 f ( x)在(a,b)内的图形是凹的 ;
如果对(a,b)内任意两点 x1, x2, 恒有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
那末称 f ( x)在(a,b)内的图形是凸的 ;
20
函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究 函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给 出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判 定函数的单调性却是很不方便的。
y
y f (x) B
A
oa
bx
f ( x) 0
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
3
从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量 在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升 （下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切 线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝） 角，曲线就是上升（下降）的.
7
例2. 确定函数
的单调区间.
解: f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2)
令 f (x) 0 , 得 x 1, x 2
x (,1) 1 (1 , 2) 2 (2, )
f (x)
0 0
f (x)
2
1
y
故
的单调增区间为 (, 1), (2, );
2 1
的单调减区间为(1 , 2).
能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯
曲方向。
如右图所示L1 ，L2 ，L3 虽 然都是从A点单调上升到B 点，但它们的弯曲方向却不
y L1
L3
B L2
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1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
第1课时 函数的单调性
2
我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化 的规律。
f(x2)
f (x1)
x 1x 2
函 数 函f数 (x)f= (x x在 ) Rx上 的函 图 数 像 值 随 ｘ
的 由 增 大 左而 到增 右大 是增上函升数的
又 k 0 ,于 是 p ( V 1 ) p ( V 2 ) 0 , 定号
即p(V1)p(V2). 判断
所 以 ， 函 数 p k 在 ( 0 , ) 上 是 减 函 数 . 结 论 得 证 . V
11
1 画出反比例函数f(x)= x 的图像。 （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？
V 减函数.
10
证 明 ： 设 V 1 , V 2 是 定 义 域 （ 0 ， ） 上 的 任 意 两 个 实 数 ， 且 V 1 V 2 ,
p(V 1)p(V2)V k1V k2kV V 21 V2 V 1作. 差变形
取值
由 V 1 , V 2 ( 0 , ) ， 得 V 1 V 2 0 ; 由 V 1 V 2 , 得 V 2 V 1 0 .
取值
则 f(x1)f(x2)x 11x 12x2 x1 x2 x1.
作差变形
由 x 1 ,x 2 ∈ (- ∞ ,0 )得 x 1 x 2 > 0 ;由 x 1 < x 2 得 x 2 -x 1 > 0 .
所 以 f(x 1 )-f(x 2 )> 0 ，
定号
即f(x1)f(x2） .
判断
根 据 函 数 单 调 性 的 定 义 ， 函 数 （ fx ) 1 在 （ ， 0 ） 上 是 减 函 数 .
x
14
1.请根据下图描述某装配线的 生产效率与生产线上工人数量 之间的关系.
解：在一定范围内，生产效率随着工人的数的增加而提 高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值， 而超过这个数量时，生产效率又随着工人数增加而降低。 结论：并不是工人数越多，生产效率越高。
15
2.整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，中午（12： 00—13：00）时分一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴 风雨过后，天气转暖，直到太阳下山（18：00），才又开 始转凉.请画出这天8：00—20：00期间气温作为时间的函 数的一个可能图象，并说明所画函数的单调区间. 解：单调增区间是 [8,12）,[13,18）; 单调减区间是 [12,13）,[18,20].
6
二、 对函数单调性的理解
（一）在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性, 即必须是f(x1)<f(x2) (或f(x1)>f(x2)),而不能是 f(x1)≤f(x2) (或f(x1)≥f(x2)); y （二）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的, 是局部概念; （三）学习函数的单调性,要注意0定义中条件和x 结论是 双向使用的.
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想一想
判断下列说法是否正确
1则、函如数果f(对x)在于区区间间（（aa，，bb））上上是存增在函x1数。x错2 误，使得f(x1)f(x2)
2、如果对于区间（a，b）上的任意x有f(x)＞f(a)，则函数f(x)在 区间（a，b）上是增函数． 错误
3、函数f(x)在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当 a x 1 x 2 ... ... b 时，有f ( a ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) . . . . . . f ( b ) 则函数f(x)在区间（a，b）上是增函数。错误
函 在 函 的 在 数 ｙ 数 增 （ f轴 (f大 ０ x(的 )x而 ， = )右 =x 减 ＋ 侧 2 x在 小 2在 是 ） ｙ ， 减（ 上 上 轴 -升 函的 函， 的 数0左 数 ］ 。 侧 值 上是 随 函下 ｘ 数降 的 值的 增 随， 大 ｘ
而增大。增函数 3
一、函数是单调性的定义 （一）增函数
如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的 值 x1， x 2 ，当 x1 x2 时，都有f(x1)f(x2) ，那么就说函数
y f ( x ) 在区间D上是减函数．
f (x1)
f (x2)
0
x1 x2
下降 x
5
（三）单调性
如果函数 y f(x) 在区间D上是增函数或减函数，那么 就说函数 y f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，区 间D叫做 y f(x) 的单调区间．
一般地，设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D 上的任意 两个自变量的
值 x1， x 2 ，当 x1 x2 时，都有f(x1)f(x2) ，那么就说函数 y
f ( x ) 在区间D上是增函数 ．
f (x2) 上升
f (x1)
0
x1 x2
x
4
（二）减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I:
4、若f(x)是R上的增函数，且 f(x1)f(x2), 则 在闭区间 [5, 5] 上的函数 y f(x) ，根 据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上， 它是增函数还是减函数．
解：函数 y f(的x)单调区间有 [ 5 2 ) ， [ 2 ,1 ) ,[ 1 ,3 ) ,[ 3 ,5 ]
证明你的结论。
12
( 1 ) 函 数 的 定 义 域 是 ( - , 0 ) ( 0 , + ) .
(2)函 数 在 （ ， 0） 上 和 （ 0， ） 都 是 减 函 数 .
13
函 数 在 （ - ， 0 ） 单 调 递 减 的 证 明 如 下 ：
证 明 ： 任 取 x 1 ,x 2 ( ,0 ) ,且 x 1 x 2 ,
其中 y f(在x)区间
[上5是2)， 减[1,3函) 数，在区间
[2,1),[上3,5是] 增函数．
9
例 2、 物 理 学 中 玻 意 耳 定 律 pk(k为 正 常 数 ） 告 诉 我 们 ， V
对 于 一 定 量 的 气 体 ， 当 其 体 积 减 小 时 ， 压 强 p将 增 大 .试 用 函 数 的 单 调 性 证 明 之 . 分析：即要求证明函数p k 在（0， ）上是