武汉理工大学结构力学

12 →0
0 →0
10 →4
5
→0
集合过程
0
P
0 0
集合单元1
P
0 12 10
0
10
集合单元2 0 (4) 4
P
12 (0) 10 (5)
12 5
10 10
思考：
x y 当结构上同时存在非结点荷
载和结点荷载时如何处理？
小结
K11 K12
结点位移 结点力
☻单元集成法求等效结点荷载
P －FP
是由结点约束状态的结点约束力｛FP｝ 又是由各单元的固端约束力｛FP｝(e) 集 （1） 合而成（注意在结点处有多个杆端）。
FP e
集合
FP
反号
－FP
P
FP
0
FP
结点约束力
F (e) P
固端约束力 （单元杆端力）
将单元固端约束力的反号值－｛FP｝e 定 义为单元等效结点荷载｛P｝e ，由它们集
是原结构的结点位移。
求出后，按照位移思想，该状态下的
所有单元杆端内力即可解出。将它与结点 约束状态（1）下的固端力相叠加，即得到 原结构的单元杆端力（后面详细讲）。
（1） （2）
0
FP 结点约束力
+ FP
(e) 固端约束力 （单元杆端力）
P
P FP F ( e )
2 4.8kN/m
例10-3 求图示刚架等效结点荷载。
3 1
4 ①
解：各种编号已经于例10-2中完成
（1）局部坐标系下固端约束力FP e
8kN ②
（查表10-1）
FP 1 F xP1 F yP1 M P1 F xP2 F yP2
0 12 10 0 12 10T
T
M P2
FP 2 F xP1
F yP1
M P1
F xP2
F yP2
T
M P2
刚架的总体刚度矩阵
K
K
21
K 22
K
n1
Kn2
坐标
k e 变换
k e 换码 累加
刚架的总体刚度方程
K1n
K
2
n
K
nn
F K
单元集成法求整体等效结点荷载
集成结构
整体坐标系下单元
整体等效
等效结点荷载 P e
对号
结点荷载
入座
｛P｝
x
y
①
②
坐标变换
局部坐标系下的单元
等效结点荷载
e
P
反
0
0
4
0
P(2) T (2)T FP (2) 00
0 0
1 0
0 0
0 1
0 0
5 0
5
4
0 0 0 1 0 0 4 0
0
0
00
0
1 5
5
（3）求刚架的等效结点荷载
2 4.8kN/m
P
3 1
4 ①
(1) 1 2 3 0 0 4T 8kN ②
(2) 1 2 3 0 0 0T
符号
号
规则
单元的 e
固端约束力 F P
（表10－1）
杆件的
固端约束力 （表8－1）
矩阵位移法的基本方程
K P
各杆的杆端内力
Fe k e e FPe
K12 K22 K32
wenku.baidu.com
K13 K23 K33
12 3
F K
☺ Frame
x
y F2 F3
F4
F4
①
Assembled Stiffness Matrix
②
F1 K11 K12 K13 K14 1
F2 F3
K
21
K31
K22 K32
K23 K33
K24 K34
2 3
2
9-6 Equivalent Nodal Load
等效结点荷载
☻Nodal Load and General Load
结点荷载与非结点荷载
☺ Continuous Beam
F1 ①
F2 ②
1
2
Assembled Stiffness Matrix
3 F3
FF12 F3
K11 K21 K31
0 4 5 0 4 5T
（单位略）
（2）各单元在整体坐标系下等效结点荷载 2 4.8kN/m
3
4
1
①
单元1、2的倾角分别为：
1 0,2 90
8kN ②
P1 T 1T FP(1) I FP(1) FP(1) 0 12 10 0 12 10T
0 1 0 0 0 0 0 4
1
0
00
3
F4 K41 K42 K43 K44 4 1
①
0 4 0
F K
仅受到结点荷载作用
② 坐标变换
0
0
单元集成
0
定位向量
☻ 当有非结点荷载作用
时
（1）
结点位移
结点力 0
单元杆端力 F (e)
F FP 0 结点力
F(e) F(e)
单元杆端力
（2）
0
FP F ( e )
结点位移
结点约束力 固端约束力
0 →1
12
→2
P1
10 0
→3 →0
12 →0
10 →4
4 →1
0
→2
P(2)
5 →3
4
→0
0 →0
5
→0
2 4.8kN/m
0 →1
12
→2
4 →1
0
→2
3 1
4 ①
P1
10 0
→3 →0
P(2)
5
4
→3 →0
8kN ②
（单元杆端力）
F
F ( e )
结点位移 结点力
单元杆端力
K F
F FP 0
K FP 0
位移法基本方程
（1） 0 结点位移
FP
结点约束力
（2）
F
结点位移 结点力
☻等效结点荷载的概念
（1） 0 结点位移
FP
结点约束力
K FP 0
K －FP
等效结点荷载
P －FP
K P
（2）
F
以等效结点荷载表示的位移法基本方程
Pe TT P e＝－TT FP e
得整体坐标下单元等效结点荷载｛P｝e ，
再由它们集合成结构整体等效结点荷载。
0
FP
结点约束力
F (e) P
固端约束力 （单元杆端力）
FP ( e)
FP
FP e
单元集成法求整体等效结点荷载的步骤
集成结构
整体坐标系下单元
整体等效
x
等效结点荷载 P e
合成为整体结构的等效结点荷载。
FPe 反号－FPe Pe集合 P
FP ( e)
FP
FP e
FP
实际过程还有一个坐标变换问题：
由局部坐标下单元的固端约束力
F P e＝（F xP1
F xP2
F yP1 F yP2
M P1 M P2 )T
（1）
反号，即得局部坐标下单元的等效结点荷载：
P e － FP e
对号
结点荷载 y
①
入座
｛P｝
②
坐标变换
局部坐标系下的单元
e
等效结点荷载 P
反
符号
号
规则
单元的固端
约束力
e
FP
（表10－1）
杆件的
固端约束力 （表8－1）
☺ 结构结点位移与杆端内力的解 FP
求得结构整体的等效结点荷载{P}后，位
移法基本方程可求解：
K P
即可得到状态（2）的结点位移 ，也就