高中数学必修系列：10.3《组合·第二课时》教案(旧人教版)
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性质1：C =C .
证明：由组合数性质有
C = ,
C = = ,
∴C =C .
［师］针对性质1，我们说明两点：
（1）为简化计算，当m＞ 时，通常将计算C 改为计算C ;
(2)为了使性质1在m=n时也能成立，我们规定：C =1.
［师］下面，我们来看一道例题.
［例1］一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.
（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C = =35.
［师］从此例题的结果我们能否发现什么？
［生］第（1）问的结果等于第（2）、（3）问的和，即C =C +C .
［师］你能对这一结果作出解释吗？
［生］从口袋内的8个球中所取出的3个球，可分为两类：一类含1个黑球；另一类不含有黑球.由分类计数原理可知上述等式成立.
组合数的性质.
●教学难点
转化思想的应用.
●教学方法
启发式
本节重点研究组合数公式，要求大家在对同一问题从不同角度、用不同方法解决时，给出不同的解释，从而获得组合数的性质.
对于组合数的两个性质，不必要求学生记忆，而是启发学生理解与Biblioteka Baidu相关的实际模型，并能从不同角度作出解释.
●教具准备
投影片.
第一张：问题一及解答（记作10.3.2 A）
［生］从10个元素中取出7个元素后，还剩下3个元素.就是说，从10个元素中每次取出7个元素的一个组合，与剩下的（10-7）个元素的组合是一一对应的.因此，从10个元素中取出7个元素的组合数，与从这10个元素中取出（10-7）个元素的组合数是相等的，即有C =C .
［师］回答得很好，如果上述情况加以推广，我们就可以得到组合数的性质1.
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
分析：此题三问只需将球取出即可，并无顺序，故对应的是组合数.
解：（1）从口袋内8球中取3个，取法是C = =56.
（2）从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C = =21.
10.3.2 组合（二）
●教学目标
（一）教学知识点
组合数的公式、组合数的性质.
（二）能力训练要求
1.进一步熟悉组合数的公式.
2.理解并掌握组合数的两个性质.
3.能够运用组合数公式及两个性质解决有关问题.
（三）德育渗透目标
通过组合数性质的推导过程，要求学生会用联系的观点看问题，用转化的思想解决问题.
●教学重点
［师］下面，我们将此类情形推广，便可得到组合数的性质2.
性质2：C =C +C .
证明：由组合数公式有
C +C
= +
=
=
= C .
C =C +C .
［师］对于这一性质的应用，我们将在下一小节看到.
［例2］求证：C +3 C +3C +C =C .
证明：C +3C +3C +C =（C + C ）+2(C +C )+( C +C )
=C +2C +C =( C +C )+( C +C )=C +C =C .
评述：此证明要求灵活应用组合数的相关性质.
Ⅲ.课堂练习
课本P99练习1、2、3、4、5、6.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求在理解并掌握组合数的两个性质的基础上，能够运用组合数公式及两个性质解决相关问题，并简单了解组合知识在实际中的应用.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P100习题10.3 2、6、7、8.
（二）1.预习课本P98～P99例3、例5.
2.预习提纲
（1）试归纳组合问题的应用类型.
（2）逆向思考方法在哪些题目中有应用.
●板书设计
10.3.2组合（二）
性质1例1例2
C =C 解答过程
性质2学生练习
C =C +C
第二张：性质一证明（记作10.3.2 B）
第三张：性质二证明（记作10.3.2 C）
第四张：本节例题（记作10.3.2 D）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节我们学习了组合数公式，下面我们来计算两个组合数.（给出投影片10.3.2 A）
C = = =120,
C = =120,
即C = C .
［师］为何不同组合数结果相同呢？怎样对这一结果进行解释呢？
证明：由组合数性质有
C = ,
C = = ,
∴C =C .
［师］针对性质1，我们说明两点：
（1）为简化计算，当m＞ 时，通常将计算C 改为计算C ;
(2)为了使性质1在m=n时也能成立，我们规定：C =1.
［师］下面，我们来看一道例题.
［例1］一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.
（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C = =35.
［师］从此例题的结果我们能否发现什么？
［生］第（1）问的结果等于第（2）、（3）问的和，即C =C +C .
［师］你能对这一结果作出解释吗？
［生］从口袋内的8个球中所取出的3个球，可分为两类：一类含1个黑球；另一类不含有黑球.由分类计数原理可知上述等式成立.
组合数的性质.
●教学难点
转化思想的应用.
●教学方法
启发式
本节重点研究组合数公式，要求大家在对同一问题从不同角度、用不同方法解决时，给出不同的解释，从而获得组合数的性质.
对于组合数的两个性质，不必要求学生记忆，而是启发学生理解与Biblioteka Baidu相关的实际模型，并能从不同角度作出解释.
●教具准备
投影片.
第一张：问题一及解答（记作10.3.2 A）
［生］从10个元素中取出7个元素后，还剩下3个元素.就是说，从10个元素中每次取出7个元素的一个组合，与剩下的（10-7）个元素的组合是一一对应的.因此，从10个元素中取出7个元素的组合数，与从这10个元素中取出（10-7）个元素的组合数是相等的，即有C =C .
［师］回答得很好，如果上述情况加以推广，我们就可以得到组合数的性质1.
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
分析：此题三问只需将球取出即可，并无顺序，故对应的是组合数.
解：（1）从口袋内8球中取3个，取法是C = =56.
（2）从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C = =21.
10.3.2 组合（二）
●教学目标
（一）教学知识点
组合数的公式、组合数的性质.
（二）能力训练要求
1.进一步熟悉组合数的公式.
2.理解并掌握组合数的两个性质.
3.能够运用组合数公式及两个性质解决有关问题.
（三）德育渗透目标
通过组合数性质的推导过程，要求学生会用联系的观点看问题，用转化的思想解决问题.
●教学重点
［师］下面，我们将此类情形推广，便可得到组合数的性质2.
性质2：C =C +C .
证明：由组合数公式有
C +C
= +
=
=
= C .
C =C +C .
［师］对于这一性质的应用，我们将在下一小节看到.
［例2］求证：C +3 C +3C +C =C .
证明：C +3C +3C +C =（C + C ）+2(C +C )+( C +C )
=C +2C +C =( C +C )+( C +C )=C +C =C .
评述：此证明要求灵活应用组合数的相关性质.
Ⅲ.课堂练习
课本P99练习1、2、3、4、5、6.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求在理解并掌握组合数的两个性质的基础上，能够运用组合数公式及两个性质解决相关问题，并简单了解组合知识在实际中的应用.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P100习题10.3 2、6、7、8.
（二）1.预习课本P98～P99例3、例5.
2.预习提纲
（1）试归纳组合问题的应用类型.
（2）逆向思考方法在哪些题目中有应用.
●板书设计
10.3.2组合（二）
性质1例1例2
C =C 解答过程
性质2学生练习
C =C +C
第二张：性质一证明（记作10.3.2 B）
第三张：性质二证明（记作10.3.2 C）
第四张：本节例题（记作10.3.2 D）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节我们学习了组合数公式，下面我们来计算两个组合数.（给出投影片10.3.2 A）
C = = =120,
C = =120,
即C = C .
［师］为何不同组合数结果相同呢？怎样对这一结果进行解释呢？