结构力学中必须掌握的弯矩图
材料力学基础—结构力学弯矩图
q 2 q P
MM == P q L P L 2 =qL
L L L L L/2
( ( (1 19 0 )) ( ) 1)
P作用下的M图： qL2
2PL
qP
PL
qM=qL 2 q P=qL
LL
P=qL L
P=2qL
LL
L
( (21)1 () 2)
P作用下的M图：
( (( 31 3 )2 ))
先计算支反M= 力qL 2，再q作MP 图=q：L
(15) 1 M
(13)
2
L
q q qL
( L 1211 M)
L L (7)
P=qL
1 qL LP P= =q qL L 4
L M M L= =q qL L 142 2( qM L12 2q q )L81LqLP P= 2=q qL L
L L (8)L L
P作用下的M图：
4 qL 2
qL
1 2
M=qL 2 q
q作用q下的M图：
P=qP L
P
qL 2
L
L
L
L
(4)
qL2
q
q作q用下的M图：
1 qL 2 2
L
L
(5)
(12)
P与q作用下的M图：
3 qL 2 L
q
2
(13)
qL L L
(7)
P与q作用下的M图：
L
M
L/4
1
qL
(14)
2
L
L
2
(8)
P 2P
q LL L q q
(7)
L L L L L L
L ( ( (77 7 )) )
（结构力学课件）7_3.4.3弯矩图的绘制+3.5组合结构
=qa
∑MA＝0
Q CA=(qa2/2 － qa2/2)/a
=0
3
3m 1.5m
q=4kN/m
P59 例3-8类似(图3-36a)
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1.79
3.58
＋
6
αC
D
4.5
6 E
＋ －
M图（kN.m）
A
B
2kN
－ Q图（kN）7.16 ＋
2
2
2kN
3kN sin 1
5
3.13
－3
3m
三铰刚架弯矩图 9
4、主从结构绘制弯矩图
可以利用弯矩图与荷载、支承及连结之间的对应关系，不 求或只求部分约束力。
qa
q
qa
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
a
a
a
2a
a
a
a
qa2
qa
q
qa2/2
C ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa
F
G
AB
H qa2
DE qa2/2
M图（kN.m）
A
B
a
a
1.5a a
qa 2
D 0.6qa
1.5qa 2
q
0.9qa 2
0.6qa 2 F
qa 2
0.6qa B
qa
2
作刚架Q、N图的另一种方法：间接法
首先作出M图；然后取杆件为隔离体，建立力矩平衡方程，由杆端弯矩
求杆端剪力；最后取结点为隔离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
• 求解的关键点 选择恰当方法解决关键杆内力计算 选择截面时，要注意区分两类杆：二力杆和梁式杆 正确反映隔离体受力状态，不要遗漏外力
剪力图和弯矩图方法
剪力图和弯矩图方法
剪力图和弯矩图是结构力学中常用的分析工具，用于分析和设计结构的受力情况。
以下是剪力图和弯矩图的制作方法：
剪力图：
1. 绘制结构图：首先画出结构的几何形状和受力情况的示意图。
2. 确定剪力方向：根据结构受力情况，确定每个截面上的剪力方向，通常用箭头表示。
3. 确定剪力大小：根据结构受力平衡条件，确定每个截面上的剪力大小。
4. 画出剪力图：根据确定的剪力方向和大小，在结构示意图上相应位置上画出对应的剪力图。
弯矩图：
1. 绘制结构图：首先画出结构的几何形状和受力情况的示意图。
2. 确定截面位置：根据需要绘制弯矩图的位置，确定绘制弯矩图的截面位置。
3. 确定剪力大小：根据结构受力平衡条件，确定每个截面上的截面剪力大小。
4. 确定截面抵抗矩：根据截面形状，计算每个截面上的截面抵抗矩。
5. 计算弯矩：根据截面抵抗矩和截面剪力大小，计算每个截面上的弯矩大小。
6. 画出弯矩图：根据计算得到的弯矩大小，在结构示意图上相应位置上画出对应的弯矩图。
在绘制剪力图和弯矩图时，需要考虑结构的几何形状、支座条件、荷载情况等因
素，同时应满足受力平衡条件和连续性要求。
这些图形分析的结果可以帮助工程师评估结构的受力情况，进行结构设计和优化。
材料力学结构力学弯矩图
qL
(47)
B、A处无水平支反力，直接 作M图
q=20kN/m
25kN.m
25kN.m q
65kN.m 50kN 50kN
L
25kN.m 25kN.m
0.5m
0.5m
2m
(48)
B、A处无水平支反力，AC、 DB无弯曲变形，EC、ED也 无弯曲变形
P
E
L
C N=P/2
D
L
1.5L
4m
2qL2
2qL2
注：P力通过点弯矩为0
第8页/共72页
aa
用“局部悬臂梁法”直接作M图：
P
P
P
Pa
P
2Pa
A Pa
a Ba
a
a
(23)
注：AB段弯矩(2为3)常数。
(33)
2L 2L
LL
用“局部悬臂梁法”直接作M图：
P P
PL PL
3PL
L
L
L
L
((2344))
(24)
2PL 2PL
P P
qa
qa
第9页/共72页
L
L
L
q
2qL2
2qL2
A
L
(50)
(60)
P
利用反对称性，直接作M图
105
105
N=P/2
无弯矩 105 105
L
L
P (51)
P
2
2
(61)
第22页/共72页
a
先计算A或B处支反力，再作M图
B
Pa 2 P Pa 2
A
2a
((6522))
a
结构力学中必须掌握的弯矩图
结构力学中必须掌握的弯矩图弯矩图（Moment Diagram）是结构力学中非常重要的概念和工具，它用来描述杆件或梁在不同位置上的受力情况，是结构力学中必须掌握的一项技能。
本文将介绍弯矩图的作用、绘制方法和常见的弯矩图形状。
弯矩图的作用在结构力学中，弯矩图主要用于分析和设计杆件或梁在不同位置上的受力情况，其中弯矩和剪力是最常见的受力形态。
虽然弯矩图只描述了弯矩的变化情况，但结合剪力图可以得到杆件或梁上任意截面的完整受力情况。
弯矩图可以帮助我们识别和分析结构中的受力集中点，例如应力极值和断裂风险点。
在结构设计和优化中，弯矩图还可以用于优化结构的几何形状和材料以改善其负载能力。
弯矩图的绘制方法绘制弯矩图需要先绘制剪力图，剪力图是指杆件或梁在不同位置上的剪力大小和方向，是弯矩图的前置条件。
在绘制弯矩图时，我们需要知道杆件或梁的长度、支点位置、受力位置和受力大小等信息。
以杆件为例，假设我们已经绘制好了杆件在不同位置上的剪力图，并确定了截面在每个位置上的几何形状和材料性质。
下面以直杆为例介绍弯矩图的绘制方法：1.在剪力图的基础上，选择一个起点开始绘制弯矩图。
通常起点选择在杆件的左端或右端。
2.确定杆件上某一段的长度区间，并计算该区间的受力情况。
例如，假设我们要绘制杆件左端到一点的弯矩图。
3.根据杆件长度和受力情况，计算该区间内弯矩的变化情况。
弯矩是由剪力引起的，因此需要先计算剪力在该区间内的变化。
然后根据截面形状和材料性质计算弯矩大小。
4.将每个区间内计算得到的弯矩绘制在弯矩图上，并用平滑的曲线将它们连接起来，得到完整的弯矩图。
常见弯矩图形状弯矩图的形状和大小都取决于受力情况和杆件的几何形状和材料性质。
下面介绍一些常见的弯矩图形状。
单点荷载当杆件上只有一个点荷载时，弯矩图呈现为一个单峰形状，峰值在荷载位置。
两个点荷载当杆件上有两个点荷载时，弯矩图呈现为一个两端升高的波浪形状。
分布荷载当杆件上存在分布荷载时，弯矩图呈现为一个平滑曲线，并且曲线的最高点通常出现在荷载中点处。
经典__材料力学结构力学弯矩图
a a/2 L
Pa
Pa
2
2
Pa Pa
2 Pa
P
2
P
2Pa
a
a
((4335) )
三 、 简 支 式 刚 架
15qa2 4
21qa2 qa8 2qa2
PL
P
PL
L ( (4346) )
qa2
q
qa2
支座B无反力，AB段无变形 不用计算支反力， 直接作M图
计算A支座水平反力， 即可作M图
a
2m 2m
1 qa 2 2
q
qa 2
a
a
( 2 8 )
(38)
10010kN/m
P=40kN
60
100
80 40kN
2m 2m 2m 2m (30)
(39)
2m 2m
qL2+2cqoLs 22 α
qL2
2cos2αq
L
L
(33)
(40)
q
aa
q qa2 2
2
qa
qa
qa2
2
a
a
((4314))
15 3
3
计算A处支反力为0，直接作 M图
Pa/2 P Pa/2
A
a a/2 a/2
(55)
(65)
q=20kN/m
A
(54)
(47)
B、A处无水平支反力，直接 作M图
q=20kN/m
25kN.m
25kN.m q
65kN.m 50kN50kN
25kN.m 25kN.m
0.5m
0.5m
(48)
B、A处无水平支反力，AC、 DB无弯曲变形，EC、ED也 无弯曲变形
结构力学 区段叠加法作弯矩图
l
+
MA 1/8qL2
+
MB 1/8qL2 MA
+
MB
区段叠加法——用叠加法作某一段梁弯矩图的方法 用叠加法作某一段梁弯矩图的方法 区段叠加法 原理
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁 任意段梁都可以当作简支梁 并可以利用叠加法来作该段梁 的弯矩图
MA
q
MB B
梁分一段： 梁分一段： A端截面弯矩：M=MA 端截面弯矩： 端截面弯矩 B端截面弯矩： B端截面弯矩：M=MB 端截面弯矩
叠加法作弯矩图 教学目的： 教学目的：
1、掌握叠加原理； 、掌握叠加原理； 2、会用叠加法作弯矩图； 、会用叠加法作弯矩图； 3、会用区段叠加法作弯矩图 、
重 点
1、叠加法绘制弯矩图 、 2、区段叠加法绘制弯矩图。 2、区段叠加法绘制弯矩图。
难 点
区段叠加法绘制弯矩图
叠加原理： 叠加原理： 几个载荷共同作用的效果， 几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独作用效果之和 指载荷引起的反力、 “效果”——指载荷引起的反力、内力、应力或变形 效果” 指载荷引起的反力 内力、 “之和”——代数和 之和” 代数和 叠加原理成立的前提条件： 叠加原理成立的前提条件：小变形条件
A
l
A
B
MB
MA 1/8qL2
6kN
梁分两段： 段和 段和BD段 梁分两段：AB段和 段。 AB段A端弯矩 AB=0， 段 端弯矩 端弯矩M ， B端弯矩 BA=-4KN•m 端弯矩M 端弯矩 BD段B端弯矩 BD=-4KN•m 段 端弯矩 端弯矩M D端弯矩 DB=0 端弯矩M 端弯矩
2kN m
步骤： 步骤：
1. 荷载分解 2. 作分解荷载的弯矩图 3. 叠加作荷载共同作用下 的弯矩图
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1
各种结构弯矩图的绘制及图例：
一、方法步骤
1、确定支反力的大小和方向（一般情况心算即可计算出支反力）
●悬臂式刚架不必先求支反力；
●简支式刚架取整体为分离体求反力；
●求三铰式刚架的水平反力以中间铰C的某一边为分离体；
●对于主从结构的复杂式刚架，注意“先从后主”的计算顺序；
●对于复杂的组合结构，注意寻找求出支反力的突破口。
2、对于悬臂式刚架，从自由端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）；对于其它形式的刚架，从支座端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）。
2
3
二、 观察检验M 图的正确性
1、观察各个关键点和梁段的M 图特点是否相符 ●铰心的弯矩一定为零；
●集中力偶作用点的弯矩有突变，突变值与集中力偶相等； ●集中力作用点的弯矩有折角；
●均布荷载作用段的M 图是抛物线，其凹凸方向与荷载方向要符合“弓箭法则”； 2、结构中的链杆（二力杆）没有弯矩；
3、结构中所有结点的杆端弯矩必须符合平衡特点。
表1 简单载荷下基本梁的剪力图与弯矩图
梁的简图
剪力Fs 图
弯矩M 图
1
l
a
F
s
F F l
a F l a
l -+
-
F l
a l a )
(-+
M
4
2
l e
M
s
F l
M e +
M
e
M +
3
l
a
e
M
s
F l
M e +
M
e M l
a
l -e M l
a +
-
4
l
q
s
F +
-2
ql 2
ql
M
8
2ql +
2
l
5
l
q
a
s
F +
-l
a l qa 2)
2(-l
qa 22
M
2
228)2(l a l qa -+
l
a l qa 2)
(2
-l
a l a 2)2(-
6
l
q
s
F +
-3
0l q 6
0l q
M
3
920l q +
3
)33(l
-
5
7
a
F
l
s
F F
+
Fa
-M
8
a
l
e
M
s
F
+
e
M M
9
l
q
s F ql
+
M
2
2ql -
10
l
q
s
F 2
l q +
M
6
20l q -
注：外伸梁 = 悬臂梁 + 端部作用集中力偶的简支梁
2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10）（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6
（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7
（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8
（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9
各种结构弯矩图例如下：。