2020-2021学年八年级数学苏科版下册教案-12.1 二次根式
八年级数学苏科版下册教案-12.1 二次根式
12.1二次根式（1）【教学目标】1．根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数和结果都是非负数的理由. 2．能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系.3）2=a （a ≥0（a ≥0）,并理解其意义；4）2=a （a ≥0（a ≥0）进行化简．【教学过程】一、创设情境,得出概念问题1: 请同学们思考,如何用带有根号的式子表示下列问题中的数量． （1）5的算术平方根是 ；（2）面积为S 的正方形的边长为 ；（3）直角边长分别为a 、b 的直角三角形斜边的长等于 ； （4）一个物体下落h （m ）所需要的时间t （s ）满足关系式221gt h =,用含h 的式子表示t ,则t= ．第（1）题,5 ；第（2）题,S ；第（3）题,22b a + ；第（4）题,5h 。
问题2:请观察这四个式子,它们有什么共同特征？:）。
我们知道5表示5的算术平方根,那么S 表示什么？（齐答）22b a +呢？5h呢？（板书:算术平方根）对于“算术平方根”这个概念,我们并不陌生,同学们已经有了哪些认识？请你回忆一下。
（小组互相说一说,学生口答“定义、表示法、性质”）（ a 的算术平方根,正如同学们所说,在实数范围内,只有正数和0有算术平方根,负数没有算术平方根,所以,a 必须满足什么条件？（板书:a ≥0）一般地, （a ≥0）叫做二次根式,a 叫做被开方数. （板书:叫做二次根式,a 叫做被开方数.）从今天开始,我们共同研究二次根式。
（板书:二次根式）问题3:下列各式是二次根式吗?.2615041236232123-+<--x a m m ）（；）（）；（）（；）（；）（；）（学生口答,投影仪出示结果．第（6）个,生口答后,师说明:要使式子2-x 有意义,必须满足x －2≥0,即x ≥2．练习:要使下列各式有意义,x 应是怎样的实数？.431215122x x x x --+）：（）；（）；（）（学生独立完成,小组交流,投影仪展示正确解答．学生口答典型错误． 二、师生合作,探究性质（一）性质1:a 具有非负性问题1:我们知道要使形如a 的式子有意义,必须满足a ≥0,那么a 结果的范围是什么？为什么？学生口答,当a ＞0时,a ＞0；当a =0时,a =0,所以a ≥0,也就是说a 是非负数．这就是二次根式的第一条性质。
苏科版数学八年级下册《12.1 二次根式》教学设计2
苏科版数学八年级下册《12.1 二次根式》教学设计2一. 教材分析《苏科版数学八年级下册》中的“12.1 二次根式”是学生在学习了实数、有理数和无理数的基础上，进一步探讨二次根式及其性质和运算法则的一章。
本节内容不仅是后面学习二次根式混合运算的基础，而且对于学生理解数学中的抽象概念，培养逻辑思维能力具有重要意义。
教材通过具体的例子引入二次根式，然后逐步引导学生探讨其性质和运算法则，同时，通过大量的练习，使学生熟练掌握二次根式的相关知识。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数、有理数和无理数有了初步的认识。
他们在学习过程中，需要将已有的知识与新的知识进行衔接，理解二次根式的概念，并能运用二次根式的性质和运算法则进行计算。
同时，学生需要通过实例感受二次根式的实际应用，增强学习的兴趣和动力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算法则，能够进行二次根式的混合运算。
2.过程与方法目标：通过观察、猜想、归纳、验证等数学活动，培养学生的逻辑思维能力和数学抽象能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生在解决实际问题的过程中，体验数学的乐趣，增强学习的信心，提高学习的积极性。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的概念，二次根式的性质和运算法则。
2.难点：二次根式的混合运算，以及二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体例子，引导学生观察、猜想、归纳二次根式的性质和运算法则。
2.启发式教学法：在教学过程中，引导学生主动思考，积极参与，培养学生的逻辑思维能力。
3.实践教学法：通过大量的练习，使学生熟练掌握二次根式的相关知识。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2.学具：练习本、铅笔、橡皮。
3.教学资源：与本节课相关的教学课件、练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次根式的概念。
例如，一个正方体的体积是8立方米，求这个正方体的棱长。
新苏科版八年级数学下册《12章 二次根式 12.1 二次根式》教案_4
第12章《二次根式》一、教学目标1．在算术平方根知识的基础上了解二次根式的概念、性质和运算。
2．类比整式和分式的学习经验，通过“实践和探索”活动，让学生猜测、归纳出二次根式加、减、乘、除运算法则，并感受最简二次根式、同类二次根式的概念。
3. 通过观察、尝试、归纳、类比等活动，体验二次根式运算法则的产生过程，发展学生思维能力，培养学生探究能力和创新意识。
二、教学重点、难点【教学重点】1. 从算术平方根的意义出发，让学生理解二次根式的概念和性质。
2. 根据举例、猜想、验证等方法，归纳出的运算法则，并进行简单的二次根式的运算。
【教学难点】理解从数到式的发展历程，类比整式、分式的学习方法来研究二次根式的概念、性质和运算。
三、教学方法与教学手段启发讲授、小组讨论、合作探究等方式辅助教学．四、教学过程设计（一）概念引入1.先从几个数谈起：（1）2，12，2；（2）a ，1a ，a .2.你认识a 吗？你能给它起个名字吗？3.谈谈你对2的认识。
4.类比前面整式和分式的学习，你想研究二次根式的哪些内容？5.回忆前面分式的学习，你能给二次根式下个定义吗？6.你能举几个二次根式吗？（二）深入探究1.类比算式平方根的知识，二次根式具有什么性质？（小组讨论）2.关于二次根式的运算，有没有你会的运算？请举例说明。
追问：（1）还有类似你会做的运算吗？（小组讨论）（2）你是运用以前我们学过的什么知识解决的？（3）你有几种方法解决这一问题？（提示：能否结合图形解决？）（4）通过以上探究，你有何发现？3.你能归纳出二次根式一般性的运算法则吗？（三）小结与思考1. 通过本节课的学习，你有什么心得体会？2. 关于“二次根式”的学习，你还有什么困难？3. 关于“二次根式”，你认为还可以研究哪些内容？（四）作业布置请你试着用我们今天的研究方式来探究二次根式的乘方运算.。
12.1 二次根式 教案 2021—2022学年苏科版数学八年级下册
12.1 二次根式教案2021—2022学年苏科版数学八年级下册教材名称: 2021—2022学年苏科版数学八年级下册教案作者: [您的姓名]一、教学目标1.理解二次根式的概念，并能够将其化简为最简形式；2.能够进行二次根式的加减运算；3.掌握二次根式的乘法和除法运算；4.通过实际问题，培养学生分析和解决问题的能力。
二、教学内容1.二次根式的概念–了解二次根式的定义；–理解二次根式中的被开方数和开方数的概念。
2.二次根式的化简–掌握化简二次根式的方法；–能够将二次根式化简为最简形式。
3.二次根式的加减运算–掌握二次根式的加法和减法运算法则；–能够进行二次根式的加减运算。
4.二次根式的乘法和除法运算–掌握二次根式的乘法和除法运算法则；–能够进行二次根式的乘法和除法运算。
三、教学准备1.呈现教材中关于二次根式的相关知识点；2.准备白板、马克笔等教学工具。
四、教学过程第一步：导入1.引入二次根式的概念，通过提问和例子引发学生的思考。
第二步：探究与讲解1.展示二次根式的定义和表示形式。
2.通过具体例子，让学生理解二次根式中的被开方数和开方数的含义。
第三步：示范和练习1.示范如何化简二次根式，重点介绍化简的原则和方法。
2.让学生进行练习，逐步掌握化简二次根式的技巧。
第四步：讲解与练习1.讲解二次根式的加减运算法则，引导学生掌握加减运算的步骤和要点。
2.让学生进行加减运算的练习，巩固所学知识。
第五步：讲解与练习1.讲解二次根式的乘法和除法运算法则，引导学生掌握乘法和除法运算的步骤和要点。
2.让学生进行乘法和除法运算的练习，加深对知识的理解和掌握。
第六步：拓展与应用1.设计一些实际问题，将二次根式的运算应用到解决问题中，培养学生分析和解决问题的能力。
第七步：总结与检测1.回顾所学内容，让学生总结二次根式的概念和运算法则。
2.开展一些小测验或练习，检测学生对知识的掌握情况。
五、教学反思通过本节课的教学活动，学生应该能够理解二次根式的概念，并能够进行二次根式的化简、加减运算以及乘法和除法运算。
2020-2021学年苏科版数学八年级下册 -12.1 二次根式 -课件
----二次根式的性质
复习回顾： 1．二次根式的概念；
a（a≥0）．
2．二次根式有意义的条件；a≥0
3．二次根式的性质
a 2 a（a≥0）
练习： 3 2 =3；- 1.21 2 =1.21；3 2 2 =18
探究:利用算术平方根的意义填空:
42 4
0.012 0.01
练一练：
1.若 a2 a,则a的取值范围是( D ) A.a>0 B.a<0 C.a 0 D.a 0
2.若 (1 若x)2 a2 1a则x;, 则xa的取0值范围为 ( A ) A. x≤1 B若. x≥1a2 C. a0则≤x≤1a D.一0切; 实数
3.计算或化简
1.
2
5
16
2 2
2
比较分析 a 和 a2
2
a
a2
读法
根号a的平方 根号下a平方
运算顺序 先开方,后平方 先平方,后开方
a的取值范 围
运算结果
a≥0 a
a取全体实数 ∣a∣
练一练：
1. 数 a 在数轴上的位置如图,则 a2 ___0a_a_ .
a
a
a
0
1
a2 a
a(a 0) 0(a 0) a(a 0)
2.
2
a
a2
a 0
4、练习：实数p在数轴上的位置如图所示，
化简
(1 p)2
2
2 p
1 p (2 p) p 1 2 p 1
5、思 考 : 若二次根式 a2 的值为3，
求a的值
若 x 12 5,则x 6或-4.
12.1 二次根式（2）
课堂小结： 本节课的收获与体会？
苏科版八年级数学下册12.1二次根式(第1课时)优秀教案
4．如图，长3 米的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角 米，请求出梯子的顶端与地面的距离h米．
3
5．练习：《课本》P149第2题．
总结：
1．二次根式的意义；
2．二次根式有意义的条件；
3．二次根式的基本性质．
课后作业：
1．《课本》P151第1、2题．
2．思考：若实数x、y满足 ＋（y＋2）2＝0，求yx的值．
如果该圆的面积为Sm2，你知道该圆的半径是多少吗？
情景二
这是同学们常见的某跨江斜拉索大桥，若其中一根钢索的水平距离是9m，垂直距离是am．同学们知道这根钢索的长度吗？
课题引入：
、、、…．这些式子有什么共同的特征呢？你还能列举出符合这些特征的一些例子吗？
思考探索一：
1．例1下列哪些式子是二次根式？为什么？
2．练习：课本P149第1题．
思考探索三：
1． 的意义是什么？你会计算（）2吗？类似地，（）2、（）2、（ ）2、（ ）2的结果是什么？类比猜想：当a≥0时，（ ）2的结果是什么？
2．例3 计算：
（1）（ ）2；（2）（ ）2；
（3）（ ）Biblioteka （a＋b≥0）．3．例4 计算：
（1）（ ）2－（ ）2；
教学反思：
一次备课
二次备课
课题：12.1 二次根式第_1_课时
一、教学目标:
1．了解二次根式的概念，初步理解二次根式有意义的条件；
2．通过具体问题探求并掌握二次根式的性质，能运用性质进行一些简单的运算；
3．通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法．
二、教学重难点：
1．探求二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质，并能运用性质进行一些简单的运算．
苏科版八年级数学下册教案-12.1 二次根式
二、观察—思考—辨别
观察式子：
思考：(1)它们有何共同特征？能用字母表示吗？
(2)它们与平方根和算术平方根有何联系与区别.
知识新授：一般地，式子 (a≥0)叫做二次根式，a叫做被开方数
双重非负性： 被开方数a≥
三、活学活用
利用下列代数式作为被开方数构造二次根式
四、自主学习反馈
1.（得分率53.5%）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中属于二次根式的有：________(填序号)
2.（得分率86.8%）当 为怎样的实数时，下列各式有意义？
3. _________ ________ _________
④ _______ _______ _____
要求：1.独立订正；2.组内释疑；3.代表发言
五、放飞思维
1.函数 的自变量x的取值范围为________
2.已知 ，则x+y=______
教学
流程
一、温故而知新
问题：9的平方根是____，9的算术平方根是___
回顾：平方根和算术平方根的概念
尝试：用根号的式子的长；
(2)面积为S的圆的半径；
(3)直角边长分别为a、b的直角三角形斜边的长；
(4)一个物体从静止状态自由下落的高度h（m）
与所需的时间t(s)满足关系式h=(1/2)gt(^2),试用
研究课教案
课题
12.1二次根式
教学
目标
1.了解二次根式的概念，初步理解二次根式有意义
的条件；
2.通过具体问题探求并掌握二次根式的性质：当 时， ；能运用性质进行一些简单的化简和计算。
重点
难点
重点：灵活应用二次根式的意义并确定被开方数中
八年级数学下册教案-12.1 二次根式5-苏科版
12.1 二次根式（第一课时）1教学内容苏科版《义务教育教科书﹒数学》八年级下册第十二章第一节“二次根式（第一课时）”。
二次根式是继整式与分式之后，是初二数学的最后一章，属于数与代数的范围有关的式子，是学习锐角三角函数、一元二次方程和二次函数等内容的重要基础，与已学的实数、整式和勾股定理密切相关。
在各地中考中，主要以选择题，填空题、计算题的形式出现，重点考查二次根式的有关概念，性质及运算，要特别注意其中的隐含条件及化简求值等。
2011年版《义务教育数学课程标准》也提出：了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。
2教学目标（1）在理解二次根式与数的开平方运算之间联系的基础上，知道二次根式的概念，体会二次根式是数、代数式及其运算的发展；（2）会运用不等式的知识探究二次根式有意义的条件；（3）掌握二次根式的性质：当a≥0时，（a）2＝a. 并能运用这一性质进行简单的计算；（4）通过概念、性质的探究，渗透从特殊到一般的数学思想，培养学生的符号意识。
3教学重点、难点重点：二次根式有意义的条件及二次根式的性质。
难点：运算中的符号问题。
4 教学过程设计4.1问题情境问题1：你能把上面的表格补充完整吗？问题2：你能给4、b2、b2＋2b＋1、3、8、s、s＋1这些式子分分类吗？问题3：像3、8、s、s＋1这样的式子有什么共同特征？预案：学生可能会有两种回答：其一是4、3、8分为一类，b2、b2＋2b＋1、s、s＋1分为一类；另一种是4、b2、b2＋2b＋1分为一类，3、8、s、s＋1分为一类。
根据学生的回答合理追问，你是如何分类的？引导学生思考，哪种分类更符合今天的需要？4.2 概念生成二次根式概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，其中，a叫被开方数．补充：这里有两点补充：①a≥0；②a≥0，为什么会有这样的结果，最本质的原因是算术平方根的定义。
新苏科版八年级数学下册《12章 二次根式 12.1 二次根式》教案_1
《12.1二次根式（第1课时）》教学设计案例一、内容和内容解析1．内容二次根式（1）2．内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念、二次根式的基本性质：当a≥0时，()2a= a；能运用这个性质进行一些简单的计算与化简。
它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了四个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节课的教学重点是：了解二次根式的概念以及二次根式的基本性质；本节课的教学难点是：经历知识产生的过程，探索新知识。
二、目标和目标解析1.教学目标(1) 了解二次根式的概念,初步理解二次根式有意义的条件.(2) 通过具体问题探求并掌握二次根式的基本性质：当a≥0时，()2a= a；能运用这个性质进行一些简单的计算与化简。
2. 教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．（3）利用基本性质：当a≥0时，()2a= a进行一些简单的计算.三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解的双重非负性，”即被开方数a≥0是非负数，a≥0也是非负数。
教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断。
对于二次根式的性质，可通过具体的实例引导学生归纳出二次根式的性质，体会从特殊到一般的数学思想方法。
八年级数学下册第12章二次根式12.1二次根式教案(新版)苏科版
12.1二次根式（1）教学目标：1．了解二次根式的概念，初步理解二次根式有意义的条件；2．通过具体问题探求并掌握二次根式的性质，能运用性质进行一些简单的运算；3．通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法．教学重点：探求二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质，并能运用性质进行一些简单的运算．教学难点：1．通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳获得二次根式的性质；2．理解、掌握、运用二次根式性质（a）2＝a（a≥0）．教学过程：一、情景引入情景一：这是天安门广场前的大型音乐喷泉的图片，非常美丽壮观．仔细观察发现：水域部分是正方形，外围是圆．如果该正方形的面积为30m2，你知道该正方形的边长是多少米吗？如果该圆的面积为S m2，你知道该圆的半径是多少吗？情景二：这是同学们常见的某跨江斜拉索大桥，若其中一根钢索的水平距离是9m，垂直距离是a m．同学们知道这根钢索的长度吗？二、课题引入30 、Sπ、a2＋81 、…．这些式子有什么共同的特征呢？你还能列举出符合这些特征的一33 11些例子吗？思考探索一：1．下列哪些式子是二次根式？为什么？（1）35 ；（ 2）―(―3)2 ；（3）32 ；（4）xy （x 、y 异号）． 2．说一说，下列各式是二次根式吗？ 为什么？（1）32 ；（2）－12 ；（3）a 2＋1 ；（4）－m （m ≤0）.3．（1）当a ＜0时，a 有意义吗？为什么？（2）当a ≥0时，a 可能为负数吗？为什么？思考探索二：1．x 是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？ （1）1+x ；（2）22+x ；（3）2x -；（4）x 231-． 思考探索三：1．2的意义是什么？你会计算（ 2 ）2吗？类似地，（ 4 ）2、（9 ）2、（01.0）2、（30）2的结果是什么？类比猜想：当a ≥0时，（a ）2的结果是什么？ 2．计算：（1）（12）2； （2）（32）2； （3）（b a +）2（a ＋b ≥0）． 3．计算：（1）（12+x ）2－（2x ）2； （2）（36）2； （3）（－221）2． 4．如图，长33米的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角11米，请求出梯子的顶端与地面的距离h 米．三、总结：1．二次根式的意义；2．二次根式有意义的条件；3．二次根式的基本性质．12.1二次根式（2）教学目标：1．学会二次根式的性质a2＝｜a｜，并能运用这个性质化简二次根式；2．知道公式a2＝｜a｜与（a）2＝a（a≥0）的区别，并能在二次根式的化简和计算中正确运用；3．在探究二次根式性质的过程中，培养和掌握“转化”思想．教学重点：学会二次根式的性质a2＝｜a｜，并能运用这个性质化简二次根式．教学难点：知道公式a2＝｜a｜与（a）2＝a（a≥0）的区别，并能在二次根式的化简和计算中正确运用．教学过程：一、情境创设1．二次根式的概念；2．二次根式有意义的条件；3．（a）2＝a（a≥0）．二、探索活动观察下列各式的特点，找出各式的共同规律，并用表达式表示你发现的规律．22＝，52＝，102＝，(－2)2＝，(－5)2＝，(－10)2＝ ,02＝．通过观察，你得到的结论是什么，试着说一说．三、新知得出发现：当a≥0时，a2＝_____，当a＜0，a2＝______．根据绝对值的意义：当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝－a，由此可知：a2＝｜a｜．四、性质应用、学习例题计算：( ；（3（x≤1）．（1）4；（2）2)5.1五、学生练习1．计算．（1）25； （2）94； （3 （4x ≥2）． 2．指出下列运算过程中的错误．2211()22⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－，可以写2255(2)(2)22－＝－，552222－＝－，即1122＝－．六、拓展延伸1．二次根式a 与2a 中，a 可以是怎样的实数？2．2)(a 与2a 是否相等？。
2020—2021学年苏科版八年级下册数学 第十二章 二次根式 复习 教案
课题第十二章 小结与思考 课时 共1课时 本课第1课时 课型 复习 年级 八年级 主备人复备人 教学目标 1.理解二次根式的概念、有意义的条件、二次根式的性质，并能灵活运用. 2.掌握二次根式的各种运算方法，并能熟练的解决问题. 重点难点 二次根式的相关概念及运算.教 学 过 程 设 计个性设计 一、自主学习1.二次根式的定义：式子 叫做二次根式，其中ａ叫做被开方数．2. 二次根式有意义的条件：当a 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数 即可．3. 二次根式的性质一：即一个非负数的算术平方根是一个 ．4.性质二：2)(a = （a ≥0）可把任何一个非负数写成平方的形式，即可逆用，故因式分解可在实数范围内进行．5.性质三：2a = =(00(0)(0a a a a a ⎧⎪=⎨⎪-⎩＞）＜），6. 最简二次根式：满足下列三个条件的二次根式是最简二次根式： （１） ；（２） ．（3） 。
7. 二次根式的乘法与除法：：a ·b ＝ （a ≥0，b ≥0）、a b= （a ≥0， ） 8.同类二次根式：几个二次根式化成 以后，如果 ，这几个二次根式叫做同类二次根式.9.二次根式的加减：先把二次根式化成最简二次根式再 ． 10.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先 ，后 ，最后 ，有括号的先.算括号内的在运算过程中，有理数（式）中的运算率及乘法公式在二次根式的运算中依旧适用．练一练： （1） （2） ）223)(3-22(+()()()3-131-1-322+三、当堂有效测试1． 化简(－3)2 的结果是 （ ） A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．9 2． 一个三角形的三边长分别为22、3、11，这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 3．若=-)1(a a a 1-•a 成立，则a 的取值范围是_________． 4．若整数m 满足条件2)1(+m ＝1+m 且m ＜52，则m 的值是 ．5.计算：（1）341227++（2）)4831()15(2023-⨯-⨯（3）()01232822-+----（4）)523)(523(--++（选做）在实数范围内分解因式：494-y。
苏科版数学八年级下册教学设计12.1 二次根式(2)
苏科版数学八年级下册教学设计12.1 二次根式（2）一. 教材分析苏科版数学八年级下册第12.1节二次根式（2）主要包括了二次根式的性质和运算方法。
教材通过实例引导学生探究二次根式的性质，让学生在掌握二次根式的基本概念的基础上，进一步理解二次根式的运算方法。
本节内容是学生进一步学习二次根式的重要基础，同时也是进一步学习函数、不等式等知识的前提。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基本概念，对数学运算有一定的基础。
但部分学生对二次根式的理解可能还停留在表面，对二次根式的性质和运算方法的认识还不够深入。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。
三. 教学目标1.理解二次根式的性质，掌握二次根式的运算方法。
2.能够运用二次根式的性质和运算方法解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.二次根式的性质的理解和运用。
2.二次根式运算方法的掌握。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生探究二次根式的性质。
2.通过实例分析，让学生掌握二次根式的运算方法。
3.运用小组合作学习，促进学生之间的交流和思考。
4.采用多媒体教学，直观展示二次根式的运算过程。
六. 教学准备1.准备相关教学课件和教学素材。
2.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习实数、有理数、无理数等基本概念，引导学生回顾已学的数学知识。
然后，提出问题：“什么是二次根式？二次根式有哪些性质？”让学生思考并回答。
2.呈现（15分钟）展示教材中关于二次根式的性质和运算方法的内容，引导学生阅读并理解。
通过实例分析，讲解二次根式的运算方法，让学生在实际问题中感受二次根式的运用。
3.操练（15分钟）让学生分组进行讨论，每组选取一个实际问题，运用二次根式的性质和运算方法进行解决。
教师巡回指导，解答学生的问题，并给予鼓励和评价。
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12.1二次根式（1）
【教学目标】
1．根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数和结果都是非负数的理由.
2．能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系.
3）2=a （a ≥0（a ≥0），并理解其意义；
4）2=a （a ≥0（a ≥0）进行化简．
【教学过程】
一、创设情境，得出概念
问题1： 请同学们思考，如何用带有根号的式子表示下列问题中的数量．
（1）5的算术平方根是 ；
（2）面积为S 的正方形的边长为 ；
（3）直角边长分别为a 、b 的直角三角形斜边的长等于 ；
（4）一个物体下落h （m ）所需要的时间t （s ）满足关系式221gt h =
，用含h 的式子表示t ，则t= ．
第（1）题，5 ；第（2）题，S ；第（3）题，22b a + ；第（4）题， 5
h 。
问题2：请观察这四个式子，它们有什么共同特征？。
我们知道5表示5的算术平方根，那么S 表示什么？（齐答）22b a +呢？5
h 呢？（板书：算术平方根）对于“算术平方根”这个概念，我们并不陌生，同学们已经有了哪些认识？请你回忆一下。
（小组互相说一说，学生口答“定义、表示法、性质”）（ 板书定义）
表示a 的算术平方根，正如同学们所说，在实数范围内，只有正数和0有算术平方根，
a 必须满足什么条件？（板书：a ≥0）
（a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数. （板书：叫做二次根式，a 叫做被开方数.）
从今天开始，我们共同研究二次根式。
（板书：二次根式）
问题3：下列各式是二次根式吗? .2615041236232123-+<--x a m m ）（；）（）；（）（；）（；）（；）（
学生口答，投影仪出示结果．第（6）个，生口答后，师说明：要使式子2-x 有意义，
必须满足x －2≥0，即x ≥2．
练习：要使下列各式有意义，x 应是怎样的实数？
.431215122x x x x --+）：（）；（）；（）（
学生独立完成，小组交流，投影仪展示正确解答．学生口答典型错误．
二、师生合作，探究性质
（一）性质1：a 具有非负性
问题1：我们知道要使形如a 的式子有意义，必须满足a ≥0，那么a 结果的范围是
什么？为什么？
学生口答，当a ＞0时，a ＞0；当a =0时，a =0，所以a ≥0，也就是说a 是非
负数．这就是二次根式的第一条性质。
（板书：性质1：a （a ≥0）是非负数.）
问题2：请同学们回忆一下，在我们研究过的数学概念中，还有哪些也具有非负性？
学生回忆，如a ，2a 等．
练习：已知0422=-++y x ）（，则xy= ．
学生口答，投影仪出示结果．
（二）性质2：（a ）2=a （a ≥0）
我们继续研究二次根式的性质。
问题1：填空，并说出得到结论的依据．
=24）（ ；=291）（ ；=25）（ ．
前两条学生口答，第三问独立思考后，小组议论，然后全班交流．
问题2：请观察这几个式子和结果，你有什么发现？能不能用字母表示你的发现．有没
有需要纠正和补充的？（a 的取值范围a ≥0）．
问题3：a 2=a （a ≥0）成立的理由．
学生根据算术平方根的意义“如果正数x 满足x 2=a ，那么x 是a 的算术平方根，记作
x 2=a （a ≥0）成立的理由．
这样，我们根据算术平方根的意义得到二次根式的第二条性质。
（板书：性质2：）
2=a （a ≥0））
计算：
.234033
22312222））（）；（（））（；（））（；（））（（≥++b a b a 学生口答，投影仪出示结果．
（三）性质3a
问题1：我们研究发现，当a ≥0时，（
2=a 2）（a 一样吗？有哪些区别呢？
学生独立思考后，小组议论，然后全班交流：一是表示的意义不同（运算顺序不同）表示a 的平方的算术平方根，
2）（a 表示a 的算术平方根的平方；二是a 的取值范围不同，
a 可以取任意实数，
2）（a 中a ≥0．
问题2
师生活动：学生举例计算，并观察、归纳、发现结论，然后组内议论，全班交流．教师
点拨：（1a 可以取任意实数，那么在
举例的时候就要分三种情况讨论）；（2）当a >0a ；当a=0；当a<0
－a ；a ．（板书：性质3a ．）
问题3：a 成立的理由．
师生活动：a 成立的理由．a 2的算
术平方根，就是想（哪个非负数）2= a 2，因此当a >0a ；当a=0；
当a<0－a ”．
计算：
）
（）（）；（）（）；（）（）；（）（014135.12612222<---x x π 学生独立完成，投影仪展示正确解答．学生口答典型错误． 思考： 式子a a -=-112）（成立的条件是 ．
三、课堂小结，拓展延伸
请你回顾本节课的学习过程，进行梳理：
（1）你对二次根式有了哪些认识？
（2）我们是怎样研究二次根式的性质的？
（3）回顾研究分式的过程，我们还将研究二次根式的哪些内容？ 思考： 化简22)3()1(-+-a a = ．
四、板书设计
12.1二次根式
式子a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数．
性质1： a ≥0）是非负数. 性质2： ）2=a （a ≥0）. 性质3： a ． （算术平方根的意义）。