信号与系统第5章习题答案

第5章连续时间信号的抽样与量化

5.1试证明时域抽样定理。

证明：设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为

T

(t)(tnT)

sn

由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：

1

F s ()F()T 2

()

1 T s

n

Fn

s

式中F()为原信号f(t)的频谱，T ()为单位冲激序列T (t)的频谱。可知抽样后信 号的频谱()

F 由F()以s 为周期进行周期延拓后再与1T s 相乘而得到，这意味着如果 s s2，抽样后的信号f s (t)就包含了信号f(t)的全部信息。如果s2m ，即抽样

m 间隔 1 T

sf

2

m

，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建 原信号。因此必须要求满足

1 T

sf

2 m

，f(t)才能由f s (t)完全恢复，这就证明了抽样定理。 5.2确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔：

2t （1）Sa(50t)（2）Sa(100)

2t （3）Sa(50t)Sa(100t)（4）(100)(60)

SatSa

解：抽样的最大间隔 T s 12f 称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率f s 2f m 称为奈奎

m

斯特速率，最低采样频率

s 2称为奈奎斯特频率。 m

（1）Sa(t[u(50)u(50)]，由此知m50rad/s ，则

50)

50

25 f ， m

由抽样定理得：最低抽样频率

50 f s 2f m ，奈奎斯特间隔

1 T 。 sf

50

s

2t

（2）)

Sa(100)(1

100200

脉宽为400，由此可得rads

m200/，则

100

f，由抽样定理得最低抽样频率m

200

f s2f m，奈奎斯特间隔

1

T。

sf

200

s

（3）Sa[(50)(50)]，该信号频谱的m50rad/s

(50t)uu

50

Sa(100t)[u(100)u(100)],该信号频谱的m100rad/s

100

50

Sa(50t)Sa(100t)信号频谱的m100rad/s,则f，由抽样定理得最低

m

抽样频率

100

f s2f m，奈奎斯特间隔

1

T。

sf

100

s

（4）Sa(100t)[u(100)u(100)],该信号频谱的m100

100

2t

Sa(60)(1)，该信号频谱的m120rad/s

60120

2t

所以(100)(60)

SatSa频谱的m120rad/s,则

60

f，由抽样定理得最m

低抽样频率

120

f s2f m，奈奎斯特间隔

1

T。

sf

120

s

5.3系统如题图5.3所示，f1(t)Sa(1000t)，f2(t)Sa(2000t)，

p(t)(tnT)，f(t)f1(t)f2(t)，f s(t)f(t)p(t)。

n

（1）为从f s(t)中无失真地恢复f(t)，求最大采样间隔T max。

（2）当TT max时，画出f s(t)的幅度谱F s()。

f1(tf(t)

)

时域相乘时域抽样f s(t )

f2(tp(t)

)

题图5.3

解：

（1）先求f(t)的频谱F(j)。

1000)] 1

f1(t)Sa(1000t)F1(j)[u(1000)u(

1000

1

f2(t)Sa(2000t)F2(j)[u(2000)u(

2000

2000)]

F(j) 1

2

F(j

1

)F(j

2

)

1 2

1

[(u(

1000

1000)u(1000))

1

2000

(u( 2000 ) u( 2000 )

]

1 4

6

10{(3000)[u(3000)u(1000)]

2000[u(1000)u(1000)](3000)[u(1000)u(3000)]}

由此知F(j)的频谱宽度为6000，且rads

m3000/，则f m1500Hz，抽样

11

的最大允许间隔s

T

max

2f m3000

（2）p(t)(tnT)，所以为用冲激序列对连续时间信号为f(t)进行采样，设原输n

入信号f(t)的频谱密度为F()，而单位冲激序列的频谱密度为：

2

p()(n)其中

s

T

n s

2

T

则根据频域卷积定理得抽样信号f(t)

s的频谱为：

11

F s()[F()*p()]F(n)

s

2T

n

2

而TT max，则s300026000rad/s

T

max ，幅度谱如下图所表示。

t

5.4对信号f(t)eu(t) 进行抽样，为什么一定会产生频率混叠效应？画出其抽样信

号的

频谱。