高三数学一轮复习教案：平面向量的数量积与应用举例 必修四

必修Ⅳ—08 平面向量的数量积与应用举例

１．已知两个非零向量a b 与，我们把数量 叫做a b 与的数量积（或内积），记作a b •，即规定

a b •= ，其中θ是a b 与的 ，cos b θ叫做向量b a 在方向上的 .零向量与任一向量的数量积为 . ２．设a b 与都是非零向量，由数量积的定义可得：a b ⊥⇔ ，a b 与同向时， a b •= ，a b 与反向时，a b •= ，a a •= ，即a = （此结论可以求出量的模）.a b •的几何意义：数量积a b •等于a 的长度 与b a 在方向上的投影 的乘积. ３．向量数量积的运算律有：a b •= （交换律）；()a b λ•= （结合律）

()a b c +•= （分配律）.

４．若1122(,),(,)a x y b x y ==则a b •= .若表示向量a 的有向线段AB 的起点11(,)A x y 和终点

22(,)B x y ，则a = （这是平面内两点间的距离公式）.

若1122(,),(,)a x y b x y ==则a b ⊥⇔ .,a b 的夹角为θ，则cos θ= .

５．向量在几何中的应用：平面几何图形的许多性质，如平移，全等，相似，长度，夹角等都可以

由 .向量方法解决平面几何问题“三步曲”（１）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将 ；（２）通过 研究几何元素之间的关系和距离、夹角等问题；（３）把运算结果 成几何关系.

6．向量在物理中的应用：由于力、速度是向量，它的分解与合成与向量的 相似，可以用向量的方法来解决.

例１．（２00５，北京）若1,2,()0a b a a b ==•+=则a b 与的夹角为（ ）

A 030

B 060

C 0120

D 090

例２．（２008，宁夏，海南）已知(1,3),(4,2),a b a b a λ=-=-+与垂直，则λ=（ ）

A —１

B １

C —２

D ２

例３．已知a b 与的夹角为060，||4,(2)(3)72b a b a b =+⋅-=-，求a .

例４．已知(3,),(4,3),a b λ==-若a b 与的夹角为锐角，求λ的取值范围.

例５．已知 1,3,a b ==向量a b 与的夹角为0120，求5a b -.

例6．（２007，江苏）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC m m =-=-=---

（１）若点,,A B C 不能构成三角形，求实数m 应满足的条件.

（２）若ABC ∆为直角三角形，求实数m 的值.

例7．已知两点(2,0),(2,0),M N P -点为坐标平面内的动点，满足0MN MP MN NP •+•=，求动点(,)

P x y 的轨迹方程.