卡诺定理的证明
5.2卡诺定理
W1 Q2 θ2 Q2
W1+W2
Q1 f 1 ,3 Q3 Q1 f 1 , 3 Q1 Q3 f , 而： 1 2 f 2 , 3 Q2 Q2 Q3
Q3
W2 Q3
§5.2 卡诺定理
一、引言
前面指出，一切与热相联系的自然现象中,其自发实现过程均是不可逆的。
这是热力学第二定律的实质，也是对实际过程的不可逆性的界定，但终究 是定性的。 马克思：一门科学只有在能够成功地运用数学时，才可以说它真正的发展了。 热力学第一定律的建立，是因为找到了内能这个态函数，才给出了第一定 律的数学表达式，它能很清楚的处理热力学过程中功与热量的转换问题。 热力学第二定律是要解决热力学过程的方向问题，即可逆不可逆的问题。 鉴如此，我们是否也要找一个与可逆不可逆过程相联系的态函数，进一步 揭示可逆不可逆的本质，从而建立热力学第二定律的数学表达式？
T1
Q1'
b任
' Q2
Q1
W'
Q2
a可 W
T2
Q1 Q2 Q1
Q1 Q2 Q '1
'
'
T1
｜Q1’｜-｜Q2’｜= ｜Q1｜-｜Q2｜ （1）
' '
Q1'
b任
Q1
Q1 Q2 Q1
由(1)、(2)得:
Q1 Q2 Q
' 1
W'
Q2
a可 W
（2）
' Q2
Q1 Q '1
（3）
T2
T1
卡诺-洛尔定理
卡诺-洛尔定理卡诺-洛尔定理（Carnot-Löhr theorem）是热力学中的一项基本定理，它表明，在进程的任何阶段，热机的效率都受限于两个恒定温度之差。
这个定理是由法国物理学家尼古拉·卡诺（Nicolas Léonard Sadi Carnot）于1824年提出的，当时他正在研究蒸汽机的效率问题。
卡诺通过思考理想化的热机，构建了一个数学模型，从而得到了这个定理。
后来，德国物理学家奥古斯特·洛尔（Rudolf Clausius）在1850年对卡诺的研究进行了扩展和完善，将其发展成为了一个完备的理论。
根据卡诺-洛尔定理，一个完全可逆的热机可以在两个不同温度的热源之间运行，输出功或吸收功，同时不引起温度变化。
这个定理的核心思想是，热机的效率只取决于温度差，而与具体的工作物质无关。
具体来说，卡诺-洛尔定理表明，一个求解功的完全可逆的热机的效率η只与两个温度T1和T2之差ΔT有关，无论是在汽车发动机、蒸汽机还是其他热机中，这个定理都成立。
卡诺-洛尔定理的表达式如下：η = 1 - (T2 / T1)其中，η表示热机的效率，T1表示高温热源的温度，T2表示低温热源的温度。
这个定理的推导涉及到热力学第一和第二定律。
根据第一定律，热机的输入热量Q1等于输出功W加上热机的内部能量变化ΔU：Q1 = W + ΔU根据第二定律，热机在两个绝热过程之间的循环过程中，系统的熵不变：ΔS = 0根据卡诺循环的特点，熵变可以表示为输入热量与温度之比：ΔS = Q1 / T1 - Q2 / T2 = 0由此可得：Q1 / T1 = Q2 / T2结合第一定律的等式，可以得到卡诺-洛尔定理的表达式：η = 1 - (T2 / T1)卡诺-洛尔定理虽然是一个理论定理，但它具有重要的实际应用价值。
热机的效率不仅仅是理论上的，也是工程应用上的。
对于相同的温度差，效率更高的热机可以输出更多的功。
第3节 卡诺循环与卡诺定理
W=W1+W3 (W2和W4抵消)
二、卡诺循环的效率(η)
任何热机从高温(T2)热源吸热Q2，一部分转 化为功W，另一部分Q1传给低温(T1)热源。将 热机所作的功与所吸的热之比值称为热机效率， 或称为热机转换系数，用η表示。
W Q2
三、卡诺循环的计算
根据绝热可逆过程方程式
1 1 T V T V 过程2： 2 2 1 3
W2 U CV (T1 T2 )
Q0
3、过程3：等温(T2)可逆压缩 由p3V3到p4V4(C ΔU3=0
V4 W3 nRT 1 ln V3
D)
Q1=-W3
4、过程4：绝热可逆压缩过程 由p4V4T1到p1V1T2(D
W4 U CV (T2 T1 )
A)
Q0
ηIR<ηR
将一个功率大于可逆机的不可逆热机与
一逆向可逆机联合操作。
卡诺定理的证明示意图
卡诺定理推论：
所有工作于同温热源与同温冷源之间的可逆 机，其热机效率都相等，即与热机的工作物质无关。 卡诺定理的意义：
（1）引入了一个不等号η I<ηR ，原则上解决了
化学反应的方向问题； （2）解决了热机效率的极限值问题。
如果将卡诺机倒开，就变成了致冷机，这时 环境对体系做功W，体系从低温(T1)热源吸热 Q1’，而放给高温(T2)热源Q2’的热量，将所吸的 热与所作的功之比值称为冷冻系数，用β 表示。
Q T1 W T2 T1
式中W表示环境对体系所作的功。
' 1
五、从卡诺循环得到的结论
W Q1 Q2 T1 T2 Q1 Q1 T1
过程4： T2V1 ∴
1
卡诺定理的内容
卡诺定理的内容
卡诺定理的内容是，对于一个有界闭区间(0，+∞)，内中任意一点M，当n趋向于无穷大时，如果点P(M)在距离区间的边界上，那么，一定存在一个x∈B(0， + ∞)使得0<|x|<1。
在数学里，在解析几何学、微分几何学或偏微分方程中常常使用以下几种近似： 0。
就是0，任何数0都可以看作一个变量为零的常数; 1。
就是1，即变量取任意值时，仍然等于1; +∞。
就是∞，无论正负号。
0和+∞都被称为局部近似值，而∞则被称为无限精确值。
注意：无论局部近似值还是无限精确值，都不能写成卡诺多项式。
2。
实数是连续的。
3。
实数都具有加法性质。
4。
实数的大小与其绝对值无关，即其绝对值可以为零。
5。
实数都有乘法性质。
以上几个例子都证明了0， 1，+∞这三个数是连续的。
(关于0，请参阅证明：数集是连续的。
)接着让我们来讨论另外一些东西： 1。
平行线。
实际上，每条直线都是一个圆，而任何两个圆都可以画到直线上去，所以，两条平行线在交点处一定相交，这是一个基本事实。
但是，无论怎样，它们之间只是互相平行，并没有真正重合。
实际上，直线之间的距离是有限的，在无穷远处，它们相交，但不重合。
因此，一条直线上的两点之间的最短距离可以是一个整数，也可以是一个非整数。
不过，我们希望以非整数作为这个整数。
- 1 -。
15热力学第五章2
5-4 熵、热力学第二定律的数学表达式
熵是与热力学第二定律紧密相关的状态 参数，是判断实际过程的方向，提供过程能 否实现、是否可逆的判据。
一、状态参数熵的导出
Aab c T
1
gf e
2
B S
可逆循环1A2B1，用无数 组 s 线细分，任意微元 过程abfga可近似看成卡 诺循环
70%
t
w q1
1200 2000
60%
可能
如果：W=1500 kJ
t
1500 2000
75%
不可能
1000 K
2000 kJ
A
1200 kJ 1500 kJ
800 kJ
500 kJ
300 K
卡诺定理分定理一
在相同温度的高温热源和相同温度的低温 热源之间工作的一切可逆循环，其热效率都 相等，与可逆循环的种类无关，与采用工质 无关。
不可逆绝热过程分析
S
Q
Tr
实际过程中除了与外界传热，还 有其它因素影响熵
不可逆绝热过程 Q 0
dS 0
不可逆因素会引起熵变化 总是熵增
本节总结
• 卡诺定理 • 熵的导出〔克劳修斯积分等式〕 • 克劳修斯积分不等式〔循环判据〕 • 过程熵变分析〔过程判据〕
课后作业
• 思考题5-6 • 5-7、5-8、5-10
2000 kJ
A
1200 kJ 1500 kJ
800 kJ
500 kJ
300 K
例题
• 有人设计一台热泵装置，在120～27℃之间工 作，热泵消耗的功由一台热机装置供给。热 机在温度为1200K和300K的两个恒温热源之间 工作，吸热量QH=1100kJ，循环净功Wnet＝， 问：〔1〕热机循环是否可行？是否可逆？ 〔2〕假设热泵设计供热量Q1=2400kJ，问热 泵循环是否可行？是否可逆？〔3〕求热泵循 环的理论最大供热量。
热3-热力学第二定律 卡诺定理
流行歌曲： 流行歌曲： “今天的你我怎能重复 昨天的故事!”
生命过程是一个不可逆过程
二、热力学第二定律
1. 热力学第二定律的表述 (1)开尔文表述：不可能从单一热源吸取热量， (1)开尔文表述：不可能从单一热源吸取热量，使 开尔文表述 之完全变成有用的功,而不产生其它影响。 之完全变成有用的功,而不产生其它影响。 热力学第二定律：单热源热机（第二类永动机） 热力学第二定律：单热源热机（第二类永动机） 不存在： 不存在：
低温热源T 低温热源 2
Q'2-Q2
低温热源T 低温热源 2
′ →ηC ≤ηC
综合上述结果： 综合上述结果：
′ ηC =ηC
特别地， 对于以理想气体为工质的可逆热机， 特别地 ， 对于以理想气体为工质的可逆热机 ，
ηC =1−T2 / T ， 由此可得任意可逆热机的效率 1
均为
T2 ηC =1− T 1
第三章
热力学第二定律
前 言
热力学第一定律给出了各种形式的能量在相互 转化过程中必须遵循的规律， 转化过程中必须遵循的规律，但并未限定过程进行 方向。观察与实验表明， 的方向。观察与实验表明，自然界中一切与热现象 有关的宏观过程都是不可逆 不可逆的 或者说是有方向性 有关的宏观过程都是不可逆的，或者说是有方向性 例如， 的。例如，热量可以从高温物体自动地传给低温物 自动地从低温物体传到高温物体 但是却不能自动地从低温物体传到高温物体。 体，但是却不能自动地从低温物体传到高温物体。 对这类问题的解释需要一个独立于热力学第一定律 的新的自然规律，即热力学第二定律。 的新的自然规律，即热力学第二定律。
热传导 高温物体
自发传热 非自发传热
低温物体
热力学第二定律的实质 热力学第二定律的实质 自然界一切与热现象有关的实际宏观过 程都是不可逆的 . 完全 功 热 热功转换 不完全 有序 自发 无序 热传导 高温物体 非均匀、 非均匀、非平衡 自发传热 低温物体 非自发传热 均匀、 均匀、平衡 自发
卡诺定理的证明
Methods of Proving Carnot Theorem
DONG Yan - hong
( College of Natural Science , Jiamusi University , Jiamusi 154007 , China)
Abstract : This paper introduced and compared three methods to prove Carnot theorem in General Physics. A new testifying method using Clausius inequality was given. Thw proposed method is intelligible , simple and easy to un2 derstand.
二条 ,即η′≯η,故得η′= η,卡诺定理第一条得证.
设甲机效率η = 1 - W2 = 1 - Q2 ;乙机效率η′
Q1
Q1
=1-
W′2 Q′1
=
1
-
Q′2 Q′1
1) 调整卡诺机循环次数 ,使得 甲 、乙两机
与低温热源交换的热量相同 ,即设 NQ2 = N′Q′2
(1) 若甲机不可逆 , 在能量图中正循环 , 乙机 可逆 ,作逆循环 ,欲证 η ≯η′
Key words : Carnot theorem ; proving methods ; the second law of thermodynamics ; heat engine efficiency
高温热源交换的热量相同 ,即令 NQ1 = N′Q′1 .
(1) 假设甲机可逆 ,效率为 η; 乙机不可逆 ,效
率为η′,则卡诺定理的第二条是η′≯η,欲证明η′
卡诺定理的简单证明
卡诺定理的简单证明一、背景介绍1.1 卡诺定理的定义在电子系统设计与分析中，卡诺定理是一种用于简化布尔函数表达式的方法。
它可以将复杂的布尔函数通过逻辑操作简化为最简形式，从而减少电路的逻辑门数量，提高电路效率。
1.2 卡诺图的概念卡诺图是一种用于表示布尔函数的图形工具。
它通过在二维平面上绘制布尔函数取值为1的区域，并根据布尔函数的特性进行拓展，最终得到最简形式。
二、卡诺图的绘制2.1 布尔函数的真值表首先，我们需要根据给定的布尔函数，列出其真值表。
真值表是一个将所有可能的输入组合对应的输出列出来的表格。
例如，我们考虑一个三变量的布尔函数F(A, B, C)，其真值表如下：A B C F0 0 0 10 0 1 00 1 0 10 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 01 1 1 12.2 绘制卡诺图接下来，我们将根据真值表的结果来绘制卡诺图。
卡诺图的绘制要求相邻格子中只能有一位二进制数不同。
对于三变量的布尔函数，我们可以绘制一个4格的卡诺图，如下所示：C\AB00 | 01 | 11 | 10----|----|----|----0 | - | X | 1 | -----|----|----|----1 | 0 | X | 0 | -绘制卡诺图的步骤是将真值表中取值为1的格子画上1，并根据布尔函数的特性进行格子的拓展。
2.3 写出卡诺图的最简形式通过观察卡诺图，我们可以找到布尔函数的最简形式。
最简形式是指将卡诺图中的格子进行合并，发现规律，并写出化简后的布尔函数。
根据前述卡诺图的示例，我们可以观察到以下合并规律： - 位1和位2合并：A’BC - 位3和位4合并：AC’因此，布尔函数F(A, B, C)的最简形式为：F = A’BC + AC’三、卡诺定理的证明接下来，我们将使用卡诺定理证明上述布尔函数的最简形式。
根据卡诺定理的定义，对于一个n变量的布尔函数，可以通过将相邻格子划线的方式，将布尔函数转化为最简形式。
卡诺定理及其意义
4.1 卡诺定理 (含两条内容) :
(2)在温度分别为T1 、 T2的两个给定热源之间工作的一切可逆热机,其效率相同,都等于理想气体可逆卡诺循环的效率,即=1–T2/T1;
(1) 在相同的高温、低温两个热源之间工作的一切不可逆热机,其效率不可能大于可逆热机的效率.
卡诺循环是理想的可逆循环.由可逆循环组成的热机叫做可逆机.可由热力学第二定律证明卡诺定理.
高温热源
Q1
Q1 +Q2
Q2
D
E
AT1T2Fra bibliotek热机致冷机
两种表述的等价性
还可由热传导过程的 不可逆性推断功变热过程的不可逆性。
涉及热力学第二定律的证明，往往采用反证法！
例题 : 试证明在P-V图上两条绝热线不能相交.
证:假定绝热线Ⅰ、Ⅱ交于A点.
A
Ⅲ
作一条等温线Ⅲ使它与两条绝热线组成一个循环,这个循环只用一个热源,把从热源吸收的热量全部变成了功.这违反了热力学第二定律,是不可能的.
卡诺定理指出提高热机效率的途径:①提高冷热源温度差; ②尽量接近可逆机.
§8.4 卡诺定理及其意义
4.2 卡诺定理的证明
热力学第二定律证明卡诺定理.
第一条的证明:
低温热源
高温热源
Q1
Q2
AR
Q1
I
Q2’
不可逆机
高温热源
卡诺可逆机
R
AI
欲证： I R
假设： I R ，即 AI AR
令R 逆向循环成为制冷机，并将I 对外作功一部分AR驱动这部制冷机工作，而剩下的一部分AI–AR输出。二者如此联合工作的效果是：高温热源恢复原状，只是从低温热源吸收热量,并完全转变为有用的功（AI-R），
工程热力学(清华大学) 卡诺定理——热二律的推论之一.
求证： tR1 = tR2
由卡诺定理
tR1 > tR2
tR2 > tR1
只有： tR1 = tR2
T1
Q1
Q1’
R1WR1 R2WR2
tR1 = tR2= tC
Q2
Q2’
与工质无关
T2
卡诺定理推论二
在两个不同温度的恒温热源间工作的任
2、反循环（卡诺循环）
T1 T2
（2）不可逆循环
Ñ Q Q1' Q2' 0 放热
假定 Q2 = Q2’
Q1' Q1
W’>W
Ñ ∴ Q Q1' Q2' 0
T
T1
T2
T1
Q1’ W’
IR
Q1 W
R
Q2’
Q2
T2
克劳修斯不等式推导总结
正循环（可逆、不可逆）
300 K
注意： 热量的正和负是站在循环的立场上
§4-4 熵Entropy
热二律推论之一
卡诺定理给出热机的最高理想
热二律推论之二
克劳修斯不等式反映方向性
热二律推论之三
熵反映方向性
熵的导出
克劳修斯不等式
Ñ TQr 0
= 可逆循环 < 不可逆循环
可逆过程， Q ，q 代表某一状态函数。
TT
卡诺定理— 热二律的推论之一
Carnot principles
定理：在两个不同温度的恒温热源间工作的 所有热机，以可逆热机的热效率为最高。
即在恒温T1、T2下 t,任 t,R
卡诺提出：卡诺循环效率最高 结论正确，但推导过程是错误的 当时盛行“热质说”
卡诺定理的证明
卡诺定理的证明1、定义2、证明2.1、课堂上讲的证明2.2、⽹络版证明由于我对这个证明的理解有点模糊，所以⼜在⽹上重新找了⼀个证明，就是下⾯这个，结合⼀下就清晰了许多。
(1) 证明卡诺定理1：设有可逆机E和E'，令E'作正循环，E作逆循环，将它们组成复合机，如图所⽰，可以调节它们满⾜A = Q_1^{'} - Q_2^{'} = Q_1 - Q_2 \qquad \qquad ①⽤反证法：先假设它们的效率\eta^{'} > \eta，则\displaystyle\frac{Q_1^{'} - Q_2^{'}}{Q_1^{'}} > \displaystyle\frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} \qquad \qquad ②可得Q_2^{'} < Q_2, \ Q_1^{'} < Q_2。
作为复合机，结果成为外界没有对复合机做功，⽽复合机却能将热量Q_2 - Q_2^{'} = Q_1 - Q_1^{'}从低温热源送到⾼温热源，这违背了热⼒学第⼆定律的克劳修斯表述。
所以\eta^{'} > \eta为不可能，只有\eta \geq \eta^{'}。
类似地令E作正循环带动E^{'}作逆循环，可以证明\eta > \eta^{'}也是不可能的，只有\eta^{'} \geq \eta。
可见两种结论相较，只有\eta^{'} = \eta成⽴。
如果令E和E^{'}中任⼀热机为理想⽓体的可逆卡诺热机，即\eta^{'} = \eta = 1 - \displaystyle\frac{T_2}{T_1}。
(2) 证明卡诺定理2：如下图所⽰，如果⽤⼀个不可逆机E^{''}来代替“证明卡诺定理1”中的可逆机E^{'}，并⽤E^{''}推动E⼯作，按同样⽅法，可以证明\eta^{''} > \eta是不可能的，即只有\eta \geq \eta^{''}，由于E^{''}是不可逆机，因此⽆法证明\eta \leq \eta^{''}，所以在相同的⾼低温两热源间⼯作的不可逆机的效率不可能⼤于可逆机的效率。
卡诺定理推导
卡诺定理的证明过程如下：
设有两个热机A和B，高温热源1和低温热源2。
其中A是可逆热机。
它们在各自的工作循环中分别从高温热源吸收热量Q1和Q1'（Q1=Q1'），向低温热源释放热量Q2和Q2'，对外做功分别为W和W'。
则它们的工作效率：
1.ηA=W/Q1
2.ηB=W'/Q1'
由于Q1=Q1'，所以W=W'。
由于A是可逆热机，所以卡诺定理得证。
使用反证法证明：假设ηA<ηB，则由Q1=Q1'，结合（1）式可得W<W'。
已知A是可逆热机，现在我们利用W'的一部分（其值等于W）使A逆循环工作，成为制冷机。
根据可逆性，A从低温热源吸收的热量为Q2，向高温热源释放的热量为Q1。
当B作为热机，A作为制冷机循环一圈后，其内部的工作物质恢复原状。
在这个过程中，高温热源得到的热量为Q1-Q1'=0，低温热源释放的热量为Q2-Q2'，对外做的总功为W'-W。
由热力学第一定律：W+Q2=Q1，Q1'=Q2'+W'。
两式相减可得：W'-W=Q2-Q2'。
这个式子表示：循环终了时，低温热源被吸取了(Q2-Q2')的热量，对外做了(W'-W)的功。
而这与热力学第二定律的开尔文表述：“不可能从单一热源吸热，使之完全转化为有用功而不引起其它变化。
”相矛盾。
故原假设ηA<ηB错误，ηA≥ηB正确。
卡诺定理克劳修斯公式熵熵增原理
理想气体熵的计算
例. 求摩尔理想气体由态（T1,V1) 到态（T2,V2 )的熵增。
用热力学基本方程求熵
TdS dE pdV
解：
dS dE pdV CV ,mdT RdV
TT T
V
2
S dS C
T2 dT R V2 dV
1
V ,m T1
T
S
V2
R
dV
V V1
R
ln
V2 V1
与玻耳兹曼熵增相同。
克劳修斯熵与玻耳兹曼熵的关系：
同：都是系统的状态函数，是系统内分子热运 动的无 序性的量度。
异：克劳修斯熵只对系统的平衡态才有意义，是 系统平衡态的函数；玻耳兹曼熵可以表示系统的 任何状态，平衡与非平衡态。
总结：玻耳兹曼熵更具有普遍意义， 克劳修斯熵是玻耳兹曼熵的最大值。
E正E’逆反之可证 不可能，即 1 T2
T1
(2)在温度为 T1的高温热源和温度为 T2的 低温热源之间工作的一切不可逆热机的效率 不可能大于可逆热机的效率。
1
T2 T1
同上的方法，用一不可逆热机 E代替
可逆热机 E
可证明:
得到
A A Q1 Q1
Q1 Q1
Q1 Q2 Q1 Q2 Q2 Q2
两部热机一起工作，成为一部复合机，结果外界不对
复合机作功，而复合机却将热量 Q2 Q2 Q1 Q'1
从低温热源送到高温热源，违反热力学第二定律。
所以 不可能，即
TdS
RT
V
dV
CV ,mdT
卡诺原理
卡诺定理百科名片以理想气体为工作物质的可逆卡诺循环，其热效率仅取决于高温及低温两个热源的温度。
以热力学第二定律为基础，可以将之推广为适用于任意可逆循环的普遍结论，称为“卡诺定理”。
卡诺定理在导出热力学第二定律的普遍判据--状态函数"S"--中具有重要作用。
热力学第二定律否定了第二类永动机，效率为1的热机是不可能实现的，那么热机的最高效率可以达到多少呢?从热力学第二定律推出的卡诺定理正是解决了这一问题。
卡诺认为：“所有工作于同温热源与同温冷源之间的热机，其效率都不能超过可逆机” ，这就是卡诺定理。
卡诺定理的表述卡诺定理是卡诺1824年提出来的，其表述如下：（1）在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切可逆热机，其效率都相等，与工作物质无关,与可逆循环的种类也无关。
（2）在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切不可逆热机，其效率都小于可逆热机的效率。
卡诺定理原理解释设在两个热源之间，有可逆机R(即卡诺机)和任意的热机I在工作(图2.2)。
调节两个热机使所作的功相等。
可逆机及从高温热源吸热Ql，作功W，放热(Ql-W)到低温热源，其热机效率为ηk = W/Q1(图中所示是可逆机R倒开的结果)。
另一任意热机I，从高温热源吸热Q1’，作功W，放热(Q1’-W)到低温热源，其效率为ηI = W/Q1’先假设热机I的效率大于可逆机R(这个假设是否合理，要从根据这个假定所得的结论是否合理来检验)。
即ηI>ηk，因此得Ql > Q1’今若以热机I带动卡诺可逆机R，使R逆向转动，卡诺机成为致冷机，所需的功W由热机I供给，如图2.2所示：及从低温热源吸热(Ql-W)，并放热Ql到高温热源。
整个复合机循环一周后，在两机中工作的物质均恢复原态，最后除热源有热量交换外，无其它变化。
从低温热源吸热：(Ql - W) - (Q1’ - W) = Ql-Q1’ > 0高温热源得到的热：Ql-Q1’净的结果是热从低温传到高温而没有发生其它的变化。
热力学第二定律.
S f
2 dQ 1T
系统熵的变化量与熵流之差定义为熵产，用“Sg”表示
Sg S2 S1 S f
(S2 S1) S f Sg
熵流是由于系统与外界的发生热交换而引起的，其取 值可正可负可为零，而熵产是过程不可逆性的度量， 可逆过程熵产为零，不可逆过程熵产大于零，任何过 程的熵产不可能小于零。
• (2)若把此热机当制冷机使用，同样由克劳修斯积分 判断
Q Q1 Q2 2000 800 0.585 kJ / K 0
T T1 T2 973 303
工质经过任意不可逆循环，克劳修斯积分必小于零， 因此循环不能进行。
• 若使制冷循环能从冷源吸热800kJ，假设至少 耗功Wmin，根据孤立系统熵增原理有△Siso=0：
因为工质恢复到原来状态，所以工质熵变
△SE=0
对热源而言，由于热源放热，所以
SH
Q1 T1
2000 973
2.055 kJ / K
• 对冷源而言，冷源吸热
S L
Q2 T2
800 303
2.64 k J
/K
代入得：
Siso (2.055) 2.64 0 0.585 kJ / K 0
2 Q
1T
对于微元过程：
ds
(
dq T
) re v
或 dS
dQ
( T
) re v
mds
由于熵是状态参数，所以不论过程是否可逆，熵 变只由初终状态决定。
可逆与不可逆的情况
S2
S1
2 1
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