初等数学研究第二章课件

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初等数学研究代数部分第二章多项式的因式分解

f (x1, x2 , , xi , , x j , , xn ) f (x1, x2, , x j , , xi , , xn ) ，
则称这个多项式是交代式．
比如 x y ， x2 y2 ， x3 y3 ，都是交代式．
交代式一定含有因式
(xi xj ) ．
1i jn
例 5 分解因式 x4 ( y z) y4 (z x) z4 (x y) ．解这是一个三元五次齐次交代式，则必有因式(x y)( y z)(z 3B) 0 ， f (1,1,1) 3A B 4 ．
解得 A 1， B 1，
∴ f (a,b, c) (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca) ．
特别地，若 a b c 0 ，则 a3 b3 c3 3abc ．
例 3 分解因式 x4 y4 (x y)4 ．
补充：多项式的结构拉格朗日插值公式设 f (x) 为次数不超过n 的多项式， xi 互不相同，
i 1, 2, , n 1 ，且 f (xi ) yi ，则
f
(x)
y1
(x x2 )(x x3) (x1 x2 )(x1 x3 )
(x xn1) (x1 xn1)
y2
(x x1)(x x3 ) (x2 x1)(x2 x3 )
2[(x y)2 xy]2
2 (x2 xy y2 )2 ．
例4
已知 x1 x2
x3
0 ，求证
x15
x25 5
x35
x13
x23 3
x33
x12
x22 2
x32
分析由 x1 x2 x3 0 ，得 x13 x23 x33 3x1x2 x3 以及
x12 x22 x32 (x1 x2 x3 )2 2x1x2 2x2 x3 2x3x1 2(x1x2 x2 x3 x3x1)

大学数学---初等数论 ppt课件

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4
初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中
的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
一、基本概念
1、自然数、整数 2、正整数、负整数 3、奇数、偶数一个性质：整数+整数=整数整数-整数=整数整数*整数=整数
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15
二、整除
1、定义：设a，b是整数，b≠0。如果存在一个整数q使得等式：
a=bq 成立，则称b能整除a或a能被b整除，记作 b∣a；如果这样的q不存在，则称b不能整除 a。
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21
3、最大公因数的性质
（1）当b∣a时，（a，b）=b. （2）a，b的一切公因数都是（a，b）的因数. （3）若a，b是正整数，m是任一正整数，则有
（am，bm）=（a，b）m. （4）若（a，b）=1，c为任一正整数，则有
（ac，b）=（c，b）（5）若（a，b）=1， b∣ac，则有b∣c. （6）若a，b，c是任意三个正整数，则（a，b）=d的充分必要条件是：
a bq r, 0＜ r ＜b ，
b rq1 r1,
0＜ r1 ＜ r ，
则有 (a,b) rn .
r r1q2 r2 ,
…
…
0＜ r2 ＜ r1 ，
rn2 rn1qn rn , 0＜ rn ＜ rn1 ，
rn1 rn qn1 rn1 , rn 1 0 ,
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18
4、带余除法

初等数论第二章2

况不能发生。况不能发生。
第二节方程 x2 + y2 = z2
(ⅱ) 2 ⅱ
| a，2b. 此时由式及式(12), 有及式 / ，此时, 由式(11)及式
x02 = 2ab，(a, 2b) = 1，a > b > 0. ，， (13)
利用引理可知，存在正整数，利用引理可知，存在正整数u，v1，使得 x0=uv1, a=u2, 2b=v12, (u,v1)= 1, u>0, v1 > 0. 由2b = v12推出 2v12，2v1，v1 = 2v，，因此，存在整数，，因此，存在整数u，v，使得 a =u2, b =2v2, (u, v)= 1，u> 0, v> 0. ， (14)
x0 y0 z0 也是方程(10)的解的解。 ( , , 也是方程的解。 ) 2 d d d
因此，的最小性，因此，由z0的最小性，可知 d = (x0, y 0) = 1，(x02, y02) = d 2 = 1。，。显然x 有不同的奇偶性.不妨设不妨设2 显然 02与y02有不同的奇偶性不妨设 x0,2 y/ . | 0
第二节方程 x2 + y2 = z2
由定理2，存在正整数，，由定理，存在正整数a，b，使得 (a, b) = 1，a > b > 0，，，其中a与b有不同的奇偶性，并且其中与有不同的奇偶性，有不同的奇偶性 x02 = 2ab，y02 = a2 − b2，z0 = a2 + b2. ，下面按照a与的奇偶性考察两种情况。的奇偶性，下面按照与b的奇偶性，考察两种情况。 (12) (11)
与式(5)是矛盾的式 (1)，式 (4)与式是矛盾的，因此，结论 ⅲ) ，与式是矛盾的，因此，结论(ⅲ 成立。证毕。成立。证毕。

初等数学研究第二章

数学思想方法授课内容：1、数学思想、数学方法及数学思想方法；2、五种基本的数学思想系统及形成；3、数学思想与数学问题解决4、猜证结合思想：1.1基本观点及解题策略；1.2证明推理与基本方法；(1)综合法与分析法。

重难点：1、猜证结合思想：1.1基本观点及解题策略；1.2证明推理与基本方法；（1）综合法与分析法。

讲授方法和手段、讲授、讨论，边讲边练相结合。

一、基本概念：1、数学思想：是数学的基本观点，是对数学概念，原理、方法、发现法则的本质的认识。

对于解题而言，数学思想就是解题策略，它能沟通问题与知识及方法间的联系，调节解题，是解题的指导思想，属于策略性知识。

2、数学方法：是为了解决问题而采用的手段，步骤和程序，属于过程性知识。

由于数学思想常常表现为数学方法的形成（即以数学方法的形式表现出来），所以通常把二者称为：数学思想方法。

3、五种基本的数学思想（中学数学思想）：在数学的发展史上，形成了许多重要的数学思想，如：公理化思想；符号化思想，极限思想，固本思想等，但在中学主要学习下面五种数学思想：中学五中主要数学思想：1、猜证结合思想；2、分类与分步思想；3、化归与转化思想；4、数形结合思想；5、函数与方程思想。

我们学习五种数学思想的目标是：在头脑中主动的建构“五种数学思想系统，使自己的数学思想方法达到“系统化”和“明确化”。

第一章猜证结合思想（1）1.1猜证结合思想 1、推理的两种形式：（1）似真推理：归纳人推理与类比推理叫似真推理。

归纳推理：由个别的、特殊的结论，通过观察、实验分析，比较等手段，概括出一般性的结论。

这种推理叫∽。

类比推理：由特殊到特殊或由一般到一般的推理叫类比推理。

由归纳推理或类比推理得到的结论不一定正确。

∴叫似真推理。

但，似真推理是创造性的逻辑推理。

（2）证明推理：演绎推理叫证明推理，即：由一般原理推出个别的，特殊的结论的推理方法。

证明推理所得出的结论都是正确的。

总结上面内容我们得出：注两种推理：（1）似真推理（数学猜想）：⎧⎨⎩归纳:特殊到一般类比:特殊到特殊或者一般到一般（2）证明推理：演绎：一般到特殊2、基本观点与解题策略（1）数学猜想：似真推理就叫数学猜想。

数列—等差数列与等比数列(初等数学课件)

am an 2ap 。
例题讲解
例已知各项均为正数的两个数列 an 和 bn 满足 an1

+1 = 1 +

an bn
an2 bn2
b 2
∈ ∗ ，求证：数列 n 是等差数列。
an
证明由题意知
an1
an bn
an2 bn2
1

bn
an
bn
1
an
2ຫໍສະໝຸດ bn1 bn 1
an
2
n N ，

例题讲解
2
2
2
bn1 bn
bn
bn1
1
所以
1 ，从而
初等数学研究
等差数列
等差数列的概念
如果数列 an 满足

an1 an d n N , d为常数
那么这个数列就叫做等差数列，常数 d 叫做等差数列的公差。
等差数列 an 的通项公式为 an a1 n 1d ，其前 n 项的和为
等差数列的性质
（1）设 an 是公差为 d 的等差数列。则 an b, b都是常数是公差为 d
的等差数列。
（2）设 an ，bn 是等差数列，则 1an 2bn 1, 2都是常数也是等差数列。

（3）设 an ， bn 是等差数列，且 bn N ，则 abn 也是等差数列。
（ 4 ）若 m n p q ，则 am an ap aq 。特别地，当 m n 2 p 时，
an1
an1 an

初等数论简介PPT课件

杨辉[1250前后]，是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。著《详解九章算法》,《日用算法》等。
初等数论
费马 [法]1601-1665，是数学史上哥德巴赫 1690-1764，
最伟大的业余数学家，提出了费马德国数学家；曾担任中学
大、小定理；在坐标几何，无穷小，教师，1725年到俄国，
初等数论四、我国古代数学的伟大成就
1、周髀算经公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又
谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。
2、孙子算经约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不
清楚。现在传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成 “鹤龟算”。
初等数论一、初等数论及其主要内容
数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即质数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮
初等数论 4、最完美的数——完全数问题完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信徒发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和，如：6=1+2+3.
下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14. 接着是496和8128.他们称这类数为完美数.
欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:

初等函数—用初等方法讨论初等函数(初等数学课件)

4
方程有实数解的充要条件是（6 y 2） 36(1 y ) 0,即y
3
2
2
例题讲解
1
例 2 求函数 y 2
的值域
x x 3
解：把函数变形为关于 x 的二次方程
yx 2 yx 3 y 1 0
当 y 0 时，方程无解，故 y 0 不在函数值域中。
f ( x1 ) f ( x2 )
1 1 x2 x1

x1 x2
x1 x2
， x1 x2 ，所以 x2 - x1 0，x1x2 0
因为 x1，x2 0，
即
f ( x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x1 ) f ( x2 )
因此
函数 f x
任何非零实数都是它的周期，但它没有最小正周期。
例题讲解
例 1 求函数 y cos 2 x 的最小正周期。
解设 T 0 是函数 y cos 2 x 的周期，则对一切实数 x ，有
cos2 x T cos2 x
令 x0

2
，有 sin 2 T 0 。所以 T k k Z且k 0
数。
k
k为非零常数是在 x f x 0, x M 上以 T 为最小正周期的
（2）函数
f x
周期函数。
cos x T cos x 2
2
令 x 0 ，有 cosT 2 1 ，所以 T 2k k N
例题讲解

2
cos 2 1 2k cos4k 1

所以 2 2 1 k 2n n Z ，从而

初等代数研究(_第2章_)2011.9

2015-5-19
初等代数研究
21
§5
指数式与对数式
在历史上，英国数学家纳皮尔（1614）发表了第一张对数表,而现代指数记号的创设则始于笛卡儿（正整数指数，1637年）和牛顿（分数指数，1676年），18世纪欧拉研究了指数式和对数式的关系．
2015-5-19
初等代数研究
22
§5 指数式与对数式
2015-5-19 初等代数研究 2
c a b2
等.
§1
一、基本概念
式的概念
定义1 用运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫做解析式，约定：单独一个数或一个字母也看作是解析式．
初等运算代数运算：加、减、乘、除、乘方（指数为有理数）、开方初等超越运算：乘方（指数为无理数）、对数、三角、反三角等）
解法二（基函数法）：由插值条件，有
f ( x) ( x 0)( x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 0) 13 1 (1) 5 x 2 7 x 1 (1) (2) 1 (1) 2 1
2015-5-19
初等代数研究
n
AB n A n B ( A 0, B 0, n N , n 1).
A B
n n
n
A B
( A 0, B 0, n N , n 1).
初等代数研究 17
§4 根式
法则4 ( n A)m n Am 法则5
n m
( A 0, m, n N , n 1).
例5 分解因式
2015-5-19
f ( x) 3x 2 x 9 x 6
3 2
f ( x) x 6 x 11x 6

初等数学研究(PPT课件)

初等数学研究
感谢您的阅览
初等数学研究（PPT课件）
1
• 数学教育研究表明，人们认识负数比起认识无理数要容易些．但是，历史有独特的自身发展逻辑．
• 事实上，当人们还普遍怀疑负整数也是一种数时，人们就已经在研究正的有理数与无理数，甚至已经开始使用复数了．
初等数学研究（PPT课件）
2
• “数系”的历史扩展途径 • “数系”的逻辑扩展途径
• 接着是代数运算的需要，因减法、开方运算的需要产生了负数、无理数和复数．
• 到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，人们为了追求运算的无矛盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等等．
初等数学研究（PPT课件）
4
“新数”为何最初不被承认？
• 不能够测量 • 并非非有不可 • 不能够理解 • 逻辑基础不清楚
初等数学研究（PPT课件）
5“新数”为何最终获得Fra bibliotek认？“因为在数学中和在其他场合一样，成功是最高法庭，任何人都得服从它的裁决.”
D.Hilbert《论无限》
初等数学研究（PPT课件）
6
• 算法合理性是“新数”获得承认的主要原因 • 算术到代数的演进加速了数系的形成 • 广泛的应用促进广泛的承认 • “理想数” 的思想
初等数学研究（PPT课件）
7
1.2 数系的构造理论
初等数学研究（PPT课件）
8
1.2.1自然数的定义
• 自然数严格的抽象定义是由peano公理给出的，它刻画了自然数的本质属性，并导出了有关自然数的所有运算和性质。
• Peano公理陈述如下：
• （1）0是自然数；
• （2）每个自然数都有一个后继，a的后继记为a+ ；

初等函数—方程、方程组及其变形(初等数学课件)

都乘以 1 （它在原方程定义域内的值 x 2 处无意义），就会产生丟解 x 2 ； x2
若两边都乘以 x 1x 1时，其值为零，则会产生客解 x -1。
方程的同解变形
定理 4（因式分解定理）若方程 F 0 在定义域内有 F F1 • F2 •• Fk
则方程 F 0 的解集与 k 个方程 F1 0 ，或 F2 0，或 Fk 0 解集的并集相等。
方程的非同解变形
（2）倒数变形： F1 F2 1 2 ，使得方程的定义域产生了变化，因而 1 2 F1 F2
可能产生客解（方程 12 0 的解），也可能产生丟解（方程 F1F2 0 的解）。（3）对数变形：F1 F2 loga F1 loga F2 ，引起了方程定义域缩小，因而可
定义 3 对一个方程的两边施行变形或初等数学运算，得出的新方程叫做原方程的导出方程。
方程的同解变形
定理 1（恒等变形定理）若在集合 M 上有 F1 1，F2 2 ，则方程 F1 F2 和 1 2 在数集 M 上同解。
定理 1 表明对方程的两边实施恒等变形时，所得方程与原方程同解，如
x y2 2xy x2 2xy y2 2xy ，但变形过程中定义域没有改变这个条件是重
也相同的两个方程才是同解方程，如， x 1 0 和 x 12 0 不是同解方程。
（2）同解概念是相对的。两个给定的方程，可能在某一数集内同解而在另一数集内不同解。如，方程 x 1 0 和 x3 2x x2 2 在有理数集内同解而在实数集内不同解。
方程的同解变形
定义 2 若方程①的所有解都是方程②的解，则称方程②为方程①的结果方程，显然若方程①、②互为结果方程，则方程①、②同解。
要的，否则结论不一定成立。
方程的同解变形

解析式—多项式(初等数学课件)

初等数学研究待定系数法分解因式
待定系数法分解因式
定义在给定的数域上，把一个多项式分解成几个不可约多项式的乘积的形式，叫做多项式的因式分解。
分解因式的基本方法有提取公因式法、公式法、待定系数法和十字相乘法等。
待定系数法分解因式
为了求得某一代数式，可以根据这个代数式的一般形式引入待定的系数，然后根据条件列出方程组，再通过解方程组来确定待定的系数，这种确定未知代数式的方法叫做待定系数法。用待定系数法分解因式，首先要判定多项式分解后所成的因式乘积的形式，然后在列方程组确定待定系数的值。
解方程组，并去其中一解： a 1,b 1,c 2, d 3
所以 x4 x3 5x 3 x2 x 1 x2 2x 3
例题讲解
例 2 分解因式： 6x2 7xy 3y2 x 7 y 2
解先分解二次项：6x2 7xy 3y2 2x 3y3x y，再设 6x2 7xy 3y2 x 7 y 2 2x 3y a3x y b 6x2 7xy 3y2 3a 2bx a 3by ab
解析式
大十字相乘法
多项式的因式分解
定义在给定的数域上，把一个多项式分解成几个不可约多项式的乘积的形式，叫做多项式的因式分解。
分解因式的基本方法有提取公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法等
大十字相乘法 1）复习一元二次多项式的十字相乘法； 2）大十字相乘法主要用于形如：ax2 bxy cy2 dx ey f
的值都等于零，那么这个多项式的所有系数都等于零。
多项式的恒等
定理2 两个多项式 f x an xn an1xn1 a1x a0 gx bm xm bm1xm1 b1x b
恒等的充要条件是它们的次数相等，且对于项的系数相等，即

(完整版)初等数学研究资料

什么事说课？说课的概念有狭义和广义两种。

狭义概念上的说课是指的是教教师以讲述的方式，面向听的对象（如领导、同事、评委等），就某一个具体的教学内容，说自己对这一教学内容的分析及教学设计和理论根据的过程。

广义上的说课，指的是以上述说课为中心展开的，有多种内容组成的系列研究活动。

二、说课的具体要求所谓说课，就是让教师（或准教师）以语言为主要表述工具，在备课的基础上，面对同行、专家，系统而概括地解说自己对具体课程的理解，阐述自己的教学观点，表述自己具体执教某课题的教学设想、方法、策略以及组织教学的理论依据等。

然后由大家进行评说。

1.说课标：要求精确精要地阐述课标对本课的教学内容、教学原则、教学方法和学生能力培养等方面的具体要求，明确各项教学内容所应达到的深度和广度。

2.说教材：即，分析本课内容在教材中的地位及其与前后教材的联系、阐明本课的教学目标、教学重点、难点等。

目标的确定要以素质教育为指针，难点的确定要符合学生的实际。

3.说学情：简单的说就是学情分析。

即，分析学生的知识层次、能力水平和学习习惯等方面的现状，对将要学习的知识的可接受程度，教学中可能出现的问题以及如何解决这些问题等。

在教学需要中，主要从两方面入手，一是学习者起点分析，另一便是学习者的终点认识。

学生起点分析，即关注学生进入教学前的学习状态，即原来具有的知识、技能、态度等。

学习目标分析，教学目标的确立有助于教师明确学生“学什么”和教师事后检验学生“学”的怎么样，有助于教师明确学生“怎么学”教师“怎么教”问题。

4.说教法：即，说出本节课使用的教学方法，是说课的主要内容。

（1）教学策略制定。

从宏观上，教学策略中首先要求创设适合于学生认知差异的教学组织形式和使用适合认知差异的教学手段，通过教师提供的良好的教学环境和措施来完成个体的认知建构。

从微观上，教学策略必须针对不同的知识类型和认识过程进行选择。

（2）教学策略实施。

即教材、教法、学法的解说与教学过程的叙述统一起来。

初等数论第二章课件

第二章不定方程不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制（比如要求解为正整数等）的方程。

是数论中最古老的分支之一。

古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。

中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘幻灯片2建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。

秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。

百鸡问题说：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。

百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。

这是一个三元不定方程组问题。

1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。

近年来，这个领域更有重要进展。

但从整体上来说，幻灯片3对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。

另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。

幻灯片4第一节二元一次不定方程研究不定方程一般需要要解决以下三个问题：①判断何时有解。

②有解时决定解的个数。

③求出所有的解。

本节讨论能直接利用整除理论来判定是否有解，以及有解时求出其全部解的最简单的不定方程———二元一次不定方程。

11(1)(,,,)(,)ax by ca b Z a b a b c +=∈、定理设二元一次不定方程不全为零有整数解的充要条件是：0000,1x y ax by c+=证：（必要条件）设为（）的一组整数解，则 00(,),(,),(,).a b a a b b a b ax by c ∴+=幻灯片6 11(,),(,),,,,00,,(,)(2)a b c c c a b c Z a b Z a b s t Z as bt a b =∈∈≠≠∈+=（充分条件）若设而对且，，则存在使得1111010100002(,)=,=1c asc btc a b c cx sc y tc ax by c x y +==+=在（）式两端同乘以得令，即得，故（）式有一组整数解，. 幻灯片7注：定理的证明过程实际给出求解方程（1）的方法：11()(1)(1)(,)(1),(1)n n n n n n n n n i Q a P b r a b s Q t P ---+-===-=-由辗转相除法等可求得，取；1010(),(,)(,)c c ii sc s x tc t y a b a b ====再取； 00(),(,)(,)1c c iii x s y t a b a b ==则就为方程组（）的一组整数解。

数系—自然数集(初等数学课件)

初等数学研究
皮亚诺公理
皮亚诺公理
定义 1 非空集合 N 中的元素叫做正整数，如果集合 N 的元素之间有一个基本关系“后继”(用“+”表示)，并满足下列公理：
（1）1 N . 即在 N 中存在一个元素 1；（2）对任意 a N ，有 a 1。即 1 不是 N 中任何元素的后继；
（3）对任意 a N ，存在唯一的后继元素 a N 。即若 a b,则a b ；（4）对任意 a，b N ，若 a b ，则 a b 。即 N 中任何元素最多只能作为一个元素的后继。
证明：设Card A a,Card B b,Card C c ，则
（1） A ~ A Card A Card A,即a a ；
正整数的顺序
（2） a b CardA CardB A ~ B B ~ A CardA CardB
b a；
（3）类似（2）可证；
正整数的顺序
（4）不等的反对称性：a b b a ；
成立，所有1 A ，即 a 1。这样，对于所有适合1 m a 的正整数m ， Pm成立。由（2）可知， Pa成立，即 a A ，这与假设a 是 A 的最小数矛盾。所以命题 Pn对任意正整数 n 都成立。
数学归纳法
第一数学归纳法设 Pn 是一个与正整数n 有关的命题，如果（1） P1 成立；
（2）假设 Pk 成立，则 Pk 1 即 Pk 也成立，
那么， Pn对任意正整数n 都成立。
数学归纳法
证明设 M 是使得命题成立的所有正整数的集合，则由（1）可知，1M 。又有（2）可知，若 k M ，则 k M 。于是，根据归纳公理， M N 。
（1）若 A ~ B ，则称a 等于b ，记作a b ；（2）若 A A ~ B ，则称 a 大于b ，记作a b ；（3）若 A ~ B B ，则称 a 小于b ，记作a b 。