双曲线习题精选精讲

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双曲线专题经典练习及答案详解

双曲线专题 (优秀经典练习题及答案详解)

双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点渐近线x a by ±=x b a y ±=顶点坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（）A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,01.解析：C2.设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（）A ． ﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=12.解析A ：在椭圆C 1中，由，得椭圆C 1的焦点为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），曲线C 2是以F 1、F 2为焦点，实轴长为8的双曲线，故C 2的标准方程为：﹣=1，故选A ．3.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34 D.453.解析C ：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m .又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.4.已知双曲线的两个焦点为F 1（﹣，0）、F 2（，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|•|PF 2|=2，则该双曲线的方程是（） A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣y 2=1D.x 2﹣=14.解析C ：解：设双曲线的方程为﹣=1．由题意得||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（2）2=20．又∵|PF 1|•|PF 2|=2， ∴4a 2=20﹣2×2=16 ∴a 2=4，b 2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y 2=1．故选C ．5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 5.解析A ：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±ba x 上，得a ＝2b .结合c＝5，得4b 2＋b 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1. 6.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．86.解析C ：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C. 7.平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7.解析：双曲线的右焦点(4,0)，点M (3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.8.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为。

双曲线考点精讲

第 4 讲双曲线
考点一双曲线的定义及运用
1．已知 M 3, 0, N 3, 0, PM PN 6 ，则动点 P 的轨迹是
。
【答案】一条射线
【解析】因为 PM PN 6 MN ，故动点 P 的轨迹是一条射线，其方程为： y 0, x 3 ，
1 / 14
2．已知双曲线 C : y2 x2 25 144
又在直角三角形 F1QF2 中，由勾股定理得 9t2 (3t 2a)2 4c2 ，
所以 c2 5a2 ，又 c 2 a 2 b 2 ，所以 b 2a ，所以双曲线的渐近线方程为 y b x 2x ，
a
3．设
F1
、
F2
是双曲线
C
：
x a
2 2
y2 b2
1
(a
0,b 0) 的两个焦点， P 是 C 上一点，若
【答案】5
【解析】如下图所示，设点 M 为第一象限的点，设点 F1 、 F2 分别为双曲线 C 的左、右焦点，
设 MF1 m ，由双曲线的定义可得 MF1 MF2 2a ，则 MF2 m 2a ，
由已知条件可得 MF2 、 MF1 、 F1F2 成等差数列，且公差为 2a ， F1F2 m 2a ，
2．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的左、右焦点分别为
F1 ， F2 ，过 F1 的直线与 C 的左、右支分别交
于 P 、 Q 两点，若 PQ 2F1P ， F1Q F2Q 0 ，则 C 的渐近线方程为。
【答案】 y 2x
【解析】设 PF1 t ，由已知条件及双曲线的定义得 | PQ | 2t ， PF2 t 2a, QF2 3t 2a ，因为 F1Q F2Q ，所以在直角三角形 PQF2 中，由勾股定理得 4t2 (3t 2a)2 (t 2a)2 ，解得 3t 4a ．

高考数学(精讲+精练+精析)专题10_2 双曲线试题理(含解析)

专题10.2 双曲线【三年高考】1. 【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,3 【答案】A2．【2016高考新课标2理数】已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（）（A 2 （B ）32（C 3 （D ）2【答案】A【解析】因为1MF 垂直于x 轴，所以2212,2b b MF MF a a a ==+，因为211sin 3MF F ∠=，即2122132b MF ab MF a a==+，化简得b a=，故双曲线离心率12b e a =+=选A. 3．【2016高考天津理数】已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y -【答案】D4．【2016年高考北京理数】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________. 【答案】2【解析】∵OABC 是正方形，∴45AOB ∠=︒，即直线OA 方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意22OB =，∴222(22)a a +=，2a =．故填：2．5．【2016高考上海理数】双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点. （1）若l 的倾斜角为2π，1F AB ∆是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设3b =，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.【解析】（1）设(),x y A A A ．由题意，()2F ,0c ，21c b =+，()22241y b cb A =-=，因为1F ∆AB 是等边三角形，所以23c A =，即()24413bb+=，解得22b =．故双曲线的渐近线方程为2y x =．（2）由已知，()1F 2,0-，()2F 2,0．设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．由()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430k x k x k --++=．因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．设AB 的中点为(),x y M M M ．由()11F F 0A +B ⋅AB =即1F 0M⋅AB =，知1F M ⊥AB ，故1F 1k k M ⋅=-．而2122223x x k x k M +==-，()2623k y k x k M M =-=-，1F 2323k k k M =-，所以23123k k k ⋅=--，得235k =，故l的斜率为155±． 6. 【2015高考福建，理3】若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（）A ．11B ．9C ．5D ．3 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．7.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是( )（A ）（-33，33）（B ）（-36，36）（C ）（22-，22）（D ）（23-，23）【答案】A8.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D【解析】依题意，2221)(1ab a b a e +=+=，2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=，因为)()()(m a a a b m m a a am ab bm ab m a m b a b +-=+--+=++-，由于0>m ，0>a ，0>b ，所以当b a >时，10<<a b ，10<++<m a m b ，m a m b a b ++<，22)()(ma mb a b ++<，所以12e e <；当b a <时，1>a b，1>++m a m b ，而m a m b a b ++>，所以22)()(ma mb a b ++>，所以12e e >. 所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >.9.【2015高考重庆，理10】设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（） A 、(1,0)(0,1)- B 、(,1)(1,)-∞-+∞ C 、(2,0)(0,2)- D 、(,2)(2,)-∞-+∞【答案】A10.【2014新课标1，理4】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（）A 3B .3C 3mD .3m【答案】A【解析】化为标准方程为：22133x y m -=，则焦点F 3(1)m +，0）到渐近线方程为0x m +=距离3(1)1m m++3，故选A.11. 【2014天津，理5】已知双曲线22221x y a b 0,0a b 的一条渐近线平行于直线l ：210y x ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）（A ）221520x y （B ）221205x y （C ）2233125100x y （D ）2233110025x y【答案】A【解析】依题意得22225b a c c a b ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，所以25a，220b，双曲线的方程为221520x y ，故选A.12.【2014江西，理20】如图，已知双曲线C :2221x y a-=(0a >)的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）. （1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:20=-y y a x x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值 .【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对双曲线的考查以选择、填空为主，主要侧重以下几点：(1)双曲线定义的应用；（2）求双曲线的标准方程．(3)以双曲线的方程为载体，研究与参数,,,a b c e 及渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是考查的重点和热点，高考题中以选择、填空题为主，分值为5分，难度为容易题和中档题. 【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 双曲线的定义、标准方程、几何性质性质问题是高考考试的重点，每年必考，一般是小题形式出现,解答题很少考查,主要以利用性质求双曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求双曲线的离心率,最值或范围问题，过定点问题，定值问题等, 直线与双曲线的位置关系，难度一般不是太大, 故预测2016年高考仍会延续这种情形，以双曲线的方程与性质为主．备考时应熟练掌握双曲线的定义、求双曲线标准方程的方法，能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素,,a b c .另外，要深入理解参数,,a b c 的关系、渐近线及其几何意义，应注意与向量、直线、圆等知识的综合.【2017年高考考点定位】高考对双曲线的考查有两种主要形式：一是考双曲线的定义与标准方程；二是考查双曲线的几何性质；三是考查直线与双曲线的简单位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、平面向量、方程数学、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点. 【考点1】双曲线的定义与标准方程【备考知识梳理】1.双曲线的定义：把平面内与两定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12||F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：12||||2PF PF a -=±(122||a F F <).注意：（1）当122||a F F =时，轨迹是直线12F F 去掉线段12F F .(2)当122||a F F >时，轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>；焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>.给定椭圆221()x y m n m n+=与异号，要根据,m n 的正负判定焦点在哪个坐标轴上，焦点在分母为正的那个坐标轴上. (2)双曲线中,,a b c 关系为：222-a c b =.【规律方法技巧】1.利用双曲线的定义可以将双曲线上一点到两焦点的距离进行转化，对双曲线上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用双曲线的定义与正余弦定理去处理.2.求双曲线的标准方程方法(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之差（或距离之差的绝对值）为常数（常数小于两点之间的距离），符合双曲线的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为实轴长的双曲线，从而求出双曲线方程中的参数，写出双曲线的标准方程，注意是距离之差的绝对值是双曲线的两只，是距离之差是双曲线的一只，要注意是哪一只.(2)待定系数法，用待定系数法求双曲线标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是双曲线；②定位-判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量,,,a b c e 的关系式，解出参数即可求出双曲线的标准方程.3.若双曲线的焦点位置不定，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，也可设双曲线的方程为221Ax By +=，其中,A B 异号且都不为0，可避免分类讨论和繁琐的计算.4.若已知双曲线的渐近线方程为0ax bx ±=，则可设双曲线的标准方程为ax bx λ±=（0λ≠）可避免分类讨论.【考点针对训练】1. 【2016年江西师大附中模考】已知中心在原点的双曲线C 的离心率等于32,其中一条准线方程43x =-，则双曲线C 的方程是（）A .22145x = B ．22145x y -= C ．22125x y -=- D ．22125x =- 【答案】B2. 【2016届宁夏石嘴山三中高三下三模】过双曲线22145x y -=的左焦点1F ，作圆224x y +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点为M ，则||||MO MT -=_____________．【答案】25-【考点2】双曲线的几何性质【备考知识梳理】 1.双曲线的几何性质焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程22221(0,0)x y a b a b -=>> 22221(0,0)y x a b a b -=>> 焦点 (±c,0)(0，±c )焦距 |F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2+b 2) 范围|x |≥a ；y ∈Rx ∈R ；|y |≥a顶点实轴顶点(±a,0)，虚轴顶点(0，±b ) 实轴顶点(0，±a )，虚轴顶点(±b,0) 对称性曲线关于x 轴、y 轴、原点对称曲线关于x 轴、y 轴、原点对称离心率e ＝ca∈(1，+∞)，其中c ＝22a b +渐近线b y x a=±a y x b=±2.等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，，其标准方程为22(0)x y λλ-=≠，离心率为2，渐近线为y x =±. 【规律方法技巧】1.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析，围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、两个焦点、虚轴的两个端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心、焦点、虚轴端点构成的特征三角形，双曲线上一点与两个交点构成的三角形），研究它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出,,a b c 的等式或不等式，结合222c b a =+化出关于,a c 的式子，再利用ce a=，化成关于e 的等式或不等式，从而解出e 的值或范围.离心率e 与,a b 的关系为：222222c a b e a a +===221b a +⇒21b e a=-. 4.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，可变形为x ya b=±，即22220x y a b -=，所以双曲线的渐近线方程可以看作把其标准方程中的1换为0得来的.4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为22b a，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.5. 双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为[,c a -+∞).【考点针对训练】1. 【2016年湖北安庆一中高三一模测试】设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的右顶点和右焦点,直线2a x c=交双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（）A ．3B ．3C ．2D ．2 【答案】D222222()()()()()a a a c c a c a c c ⇒-+-=-22()()1a a c a c c c a +⇒+=-2211111e e e e +⇒+=-. 解得 2e =.故选D. 2. 【2016年河北石家庄高三二模】已知双曲线14222=+-m y m x 的一条渐近线方程为x y 3=，则实数m 的值为______. 【答案】54【考点3】直线与双曲线的位置关系【备考知识梳理】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，直线0Ax By C ++=，将直线方程与双曲线方程联立，消去y 得到关于x 的方程20mx nx p ++=.(1) 若m ≠0，当△＞0时，直线与双曲线有两个交点.当△=0时，直线与双曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切. 当△＜0时，直线与双曲线无公共点.（2）当m =0时，直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行. 【规律方法技巧】1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础． 2．直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y1y 2.3．对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】1. 【2016年江西师大附中鹰潭一中联考】过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A ．2)B ．10)C ．(2,10)D ．(5,10) 【答案】C2. 【2016届黑龙江大庆实验中学高三考前训练一】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点.若2ABF ∆为等边三角形，则该双曲线的离心率为________．【答案】7【解析】根据双曲线的定义，可得a BF BF 221=-，∵2ABF ∆是等边三角形，即AB BF =2，∴a BF BF 221=-，即a AF AB BF 211==-，又∵a AF AF 212=-，∴a a AF AF 4212=+=，∵21F AF ∆中，a AF 21=，a AF 42=，12021=∠AF F，∴ 120cos 2212221221AF AF AF AF F F ⋅-+=，即222228214221644a a a a a c =⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=，解之得a c 7=，由此可得双曲线C 的离心率7==ace ，故答案为：7.【应试技巧点拨】１．焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在双曲线上的三角形．(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：①双曲线的定义；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式．２．离心率的求法双曲线的离心率就是ca的值，有些试题中可以直接求出,a c 的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出,a c 的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于,a c 或,a b 的方程，通过这个方程解出ca或b a ，利用公式ce a=求出，对双曲线来说，221b e a =+，对椭圆来说，221b e a =-.3．有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视双曲线的定义的运用，以简化运算．①斜率为k 的直线与双曲线的交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得弦长21212||1||PP k x x =+-或122121||1||P P y y k=+-，其中求12||x x -与21||y y -时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： ()2121212||4x x x x x x -=+-，()2211212||4y y y y y y -=+-.②当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．4.求解双曲线的的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出,a c ，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于,a c 的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e 的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数．二年模拟1. 【2016届邯郸市一中高三十研】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆：22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（）A ．632或B ．23或C ．2323或 D ．23632或【答案】C2. 【2016年江西省九江市三模】过双曲线),0,0(1:222222b a c b a b y a x C +=>>=-的左焦点F 作圆⊙4222c y x =+的切线，且点为E ，延长PE 交双曲线C 右支于点P ，若E 为PF 的中点，，则双曲线C 的离心率为（ )A ．12+B ．212+C ．13+D ．213+ 【答案】C【解析】如图所示，设双曲线C 的右焦点为F '，依题意可得F P EO '∥，PF EO ⊥，则,3,c PF c F P =='∴c c a -=32，即13132+=-=e .3. 【2016届云南省玉溪一中高三下第八次月考】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为（）A ．25B ．23C ．43D ．45 【答案】A4. 【2016年河南省商丘市高三三模】已知抛物线x y 82=与双曲线1222=-y ax 的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若5=MF ，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．035=±y xB ．053=±y xC ．054=±y xD ．045=±y x 【答案】A【解析】依题意,抛物线焦点()2,0F ,设()00,M x y ,因为5MF =,所以0025,3x x +==,所以(3,26M ±,代入2221x y a -=得2299241,25a a -==,所以令2220x y a -=,得双曲线的渐近线为x y a=±,即035=±y x .5..【2016年湖南师大附中高三三模】已知点P 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，且|F 1F 2|＝b 2a，G 为三角形PF 1F 2的内心，若S △GPF 1＝S △GPF 2＋λS △GF 1F 2成立，则λ的值为（）A.1＋222B ．23－1 C.2＋1 D.2－1【答案】D6. 【2016届陕西省安康市高三第三次联考】设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线1x =-的一个交点的纵坐标为0y ,若02y <,则双曲线C 的离心率的取值范围是（）A ．(3B ．(5C ．)3,+∞D ．)5,+∞【答案】B【解析】由题意得0b y a =，所以222224515b c a a e e a<⇒-<⇒<⇒<< B. 7. 【2017届广州省惠州市高三第一次调研】双曲线M ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴的两个端点为A 、B ，点P 为双曲线M 上除A 、B 外的一个动点，若动点Q 满足,QA PA QB PB ⊥⊥,则动点Q 的轨迹为（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线【答案】C【解析】设2222(,),(,),1x y P m n Q x y M a b-=双曲线:,实轴的两个顶点(,0),(,0)A a B a -,(,),(,)QA x a y PA m a n =---=---∵QA ⊥PA ，∴()()0x a m a ny ----+=，可得,nym a x a+=-+同理根据QB ⊥PB ，可得ny m a x a -=--两式相乘可得222222n y m a x a-=-,∵点(,)P m n 为双曲线M 上除A 、B 外的一个动点，22221m n a b ∴-=，整理得22222()b n m a a=- 222221x b y a a -= 故选C ．8. 【2016届河南省禹州市名校高三三模】已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上的一点，点12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为7，若M 为12PF F ∆的内心，且1212PMF PMF MF F S S S λ∆∆∆=+，则λ的值为．【答案】249．【2016届天津市和平区高三三模】设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的半焦距为c ，原点到直线:l ax by ab +=的距离等于113c +，则c 的最小值为．【答案】6【解析】由题设原点O 到直线:l ax by ab +=的距离为c c ab b a ab d 31122+==+=,即ab c c 332=+.而222b a ab +≤（当且仅当b a =取等号）,所以)(2333222b a ab c c +≤=+,即22233c c c ≤+,解之得6≥c ,即的最小值为6.10. 【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】已知C ∆AB 的边AB 在直角坐标平面的x 轴上，AB 的中点为坐标原点，若C 12AB⋅A =AB，C 32BA ⋅B =BA，又E 点在C B 边上，且满足32C BE =E ，以A 、B 为焦点的双曲线经过C 、E 两点．（Ⅰ）求AB 及此双曲线的方程；（Ⅱ）若圆心为()0,0x T 的圆与双曲线右支在第一象限交于不同两点M ，N ，求T 点横坐标0x 取值范围．11.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by ax C 的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于（）A ．2B ．22C ．32D ．4 【答案】D 【解析】∵双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率为2，∴2ce a==，∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±，不妨设by x a =，即0bx ay -=，则2c a =，223b c a a -=，∵焦点到渐近线的距离为3，∴223d a b ==+223333223ac ac ca a a ===+2c =，则焦距为24c =．12.【2015届吉林省实验中学高三上学期第五次模拟】已知双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别是12,F F ，正三角形12AF F 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF =，则双曲线C 的离心率的值是（）A ．123+ B ．312+ C ．1313+ D ．1313+ 【答案】D【解析】设14AF m =，则1BF m =,所以22202221624cos6013,13BF m m m m m BF m =+-⨯⨯⨯==，因此离心率等于13113m m+=-，选D ． 13.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟考试】设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 是C 的右支上的点，射线PT 平分12F PF ∠,过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ,若121||||3MP F F =,则C 的离心率为（）A.32B.3C.2D.3 【答案】A14. 【山东省济南市2015届高三上学期期末考试】已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右两个焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是 A. ()1,2B.()23，C.()32，D. ()2+∞，【答案】D15.【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】我们把离心率215+=e 的双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 称为黄金双曲线．如图是双曲线()222222,0,01b a c b a by a x +=>>=-的图象，给出以下几个说法：①双曲线115222=+-y x 是黄金双曲线；②若ac b =2，则该双曲线是黄金双曲线；③若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，1B （0，b ），2B （0，﹣b ）且021190=∠A B F ，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN ⊥，090=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为．【答案】①②③④【解析】对于①，215,122+==b a ，则235222+=+=b a c ，2222215235⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==a c e ，215+=∴e ，所以双曲线是黄金双曲线；对于②，ac a c b =-=222，整理得012=--e e ，解得251+=e ，所以双曲线是黄金双曲线；对于③()2221222212211,,2c a A F a b A B b c B F +=+=+=，由勾股定理得()22222c a a b b c +=+++，整理得ac b =2由②可知251+=e 所以双曲线是黄金双曲线；对于④由于()0,2c F ，把c x =代入双曲线方程得12222=-b y a c ，解得a b y 2±=，ab NF 22=，由对称关系知2ONF ∆为等腰直角三角形，ab c 2=∴，即ac b =2，由①可知251+=e 所以双曲线是黄金双曲线．拓展试题以及解析1.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，直线y a =与双曲线两条渐近线的左、右交点分别为,A B ，若四边形21ABF F 的面积为5ab ，则双曲线的离心率为（）A ．23B ．2C ．3D ．5 【答案】A【入选理由】本题考查双曲线的方程及其几何性质,直线与双曲线的位置关系,面积公式等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.2.已知抛物线2(0)x ay a =>的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则=a （） A.4 B.8 C.41 D.18【答案】D 【解析】抛物线方程化为21y x a =，∴抛物线的焦点为1(,0)4F a ，双曲线22122x y -=的右焦点为()20，，∴124a =，∴18a =，故选D. 【入选理由】本题考查抛物线的方程及简单的几何性质，双曲线的性质等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.3.在双曲线),0,0(1222222b a c b a by a x +=>>=-中，已知b a c ,,成等差数列，则该双曲线的渐近线的斜率等于（）A. 43±B. 35±C. 34± D.53± 【答案】C【入选理由】本题考查双曲线的方程，双曲线的性质,等差数列等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.4.设双曲线2221(0)2x y b b-=>与抛物线28y x =交于两点A B 、，且=8AB ，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A ．13B ．23C ．4D ．6 【答案】C【解析】由已知得(2,4)A ，带入双曲线方程得21621b-=，则216,4b b ==，所以双曲线的渐近线方程为22y x =±，故该双曲线的焦点(32,0)到其渐近线的距离为22324d ⨯==，故选C ．【入选理由】本题考查抛物线的方程及简单的几何性质，双曲线的方程与简单性质等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.5.已知双曲线22221(0)x y a b a b=>>－与两条平行直线1l ：y x a =+与2l ：y x a =-相交所得的平行四边形的面积为26b ，则双曲线的离心率为（） A ．2 B ．233C ．3D ．2 【答案】B【入选理由】本题考查双曲线方程,双曲线的简单几何性质直线与双曲线的位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想和综合分析问题解决问题的能力，试题形式新颖，故选此题.6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与抛物线)0(22>=p px y 的准线的交点坐标为48(,)33-，且双曲线与抛物线的一个公共点M 的坐标0(,4)x ，则双曲线的方程为—————. 【答案】221520x y -=.【入选理由】本题考查抛物线的方程及简单的几何性质，双曲线的方程与简单性质等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.。

重难点13六种双曲线解题方法(核心考点讲与练新高考专用)(解析版)

重难点13六种双曲线解题方法（核心考点讲与练）题型一：待定系数法求双曲线方程一、单选题1．（2022·河南·模拟预测（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，一条渐近线方程为2y x =，过双曲线C 的右焦点2F 作倾斜角为3π的直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点，若1AF B △的周长为36，则双曲线C 的标准方程为（） A ．22124x y -=B ．22142x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=【答案】C【分析】由题意可得2b a =，则双曲线方程为22221(0)2x y a a a -=>，1(3,0)F a -，2(3,0)F a ，可得直线l 为3(3)y x a =-，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出AB ，再由双曲线的定义和 1AF B △的周长为36，可求出a ，从而可求出双曲线的方程【详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，所以2b a =，则双曲线方程为22221(0)2x y a a a-=>，1(3,0)F a -，2(3,0)F a ，所以直线l 为tan(3)3(3)3y x a x a π=-=-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2222123(3)x y a a y x a ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得2263110x ax a -+=，则2121263,11x x a x x a +==，所以2121213()4AB x x x x =+⋅+-2221084416a a a =-=，因为122AF AF a =+，122BF BF a =+，所以11224420AF BF AF BF a AB a a +=++=+=，因为1AF B △的周长为36，能力拓展所以1136AF BF AB ++=，所以201636a a +=，得1a =，所以双曲线方程为 2212y x -=，故选：C2．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））若等轴双曲线的焦距为4，则它的一个顶点到一条渐近线的距离为（） A ．1 B ．32C ．2D ．3【答案】A【分析】用坐标法求解，求出等轴双曲线的标准方程，得到顶点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】不妨设等轴双曲线的标准方程为22x y λ-=()0λ>2=，解得：2λ=. 所以等轴双曲线的标准方程为222x y -=.此时，顶点坐标)，其中一条渐近线方程为：y x =.1=.故选：A3．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））双曲线E 与椭圆22:162x y C +=焦点相同且离心率是椭圆C 离E 的标准方程为( ) A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122x y -=D ．2213x y -=【答案】C【分析】求出双曲线焦点坐标和离心率，求出双曲线的a 、b 、c 即可求其标准方程．【详解】双曲线E 与椭圆22:162x y C +=焦点相同，则焦点坐标为(20)，，设双曲线实半轴长为a ，虚半轴长为b ，焦距为2c ，则c =2，ca a==b =∴所求双曲线方程为：22122x y -=．故选：C ．4．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的两个焦点，R 是C 上的一点，且12120F RF =∠︒，1241::RF RF =，C 经过点232,3Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则C 的实轴长为（）A ．3B ．23C ．6D ．3【答案】B【分析】由双曲线定义及1241::RF RF =分别求出1238,23a RF F a R ==，再由余弦定理得22219c a =，进而结合C 经过点232,3Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭解出a 即可求解.【详解】由双曲线定义可得122RF RF a -=，又1241::RF RF =可得1238,23aRF F a R ==，由余弦定理可得222121212122cos F F RF RF RF RF F RF =+-∠，即2226448214299332a a a a c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭，化简得22219c a =，又222c a b =+，可得2243b a =；又C 经过点23Q ⎛ ⎝⎭，故224431a b -=，即22443143a a -=，解得23a =，故C 的实轴长为223a =. 故选：B. 二、多选题5．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）已知双曲线E ：()222210x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()13,0F -，()23,0F ，两条渐近线的夹角正切值为2直线l ：30kx y k --=与双曲线E 的右支交于A ，B 两点，设1F AB的内心为I ，则（）A ．双曲线E 的标准方程为22163x y -=B．满足AB =l 有2条C ．2IF AB ⊥D ．1F AB 与IAB △的面积的比值的取值范围是(]2,6【答案】ACD【分析】A :设其中一条渐近线的倾斜角为θ，02πθ<<，由题干条件可知tan 2θ=从而解出tan 2θ=，即b a =,a b ，从而求出双曲线方程；B ：直线过焦点，判断过焦点弦的最短弦可判断B ；C ：由双曲线的定义和切线的性质进行转化可判断；D ：将三角形的面积用内切圆的半径和边长计算，结合定义，可得到12F AB IABS S =△△△，由AB 的范围可求出比值的范围. 【详解】A 选项，设双曲线E 的一条渐近线的倾斜角为θ，02πθ<<，因为a b >，所以022πθ<<，从而22tan tan 21tan θθθ==-tan θ=tan θ=，所以b a =，又229a b +=，所以26a =，23b =，所以双曲线E 的标准方程为22163x y -=，故A 正确；B 选项，直线l 的方程kx -30y k -=，即()30k x y --=，则直线l 恒过右焦点2F ，又过焦点2F的弦最短为22b a ==AB 线l 只有1条，B 错误；C 选项，由双曲线的定义可知，121AF AF BF -==-2BF ，即1122AF BF AF BF -=-，因此2F 是1F AB 的内切圆在AB 边上的切点，因此2IF AB ⊥，C 正确； D 选项，由题知()121121212F AB IABIF AF BF AB S S IF AB ⋅++==⋅△△△2，因为AB (]12,6F AB IABS S ∈△△，D 正确.【点睛】知识点点睛：（1）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴所在的直线的弦），其长度为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长度为2a .（2）由圆外一点引圆的切线，切线长相等.6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22:1C mx ny +=，其焦点()0,5到渐近线的距离为3，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C 的方程为221169y x -=B ．双曲线C 的渐近线方程为34yx C ．双曲线C 的离心率为54D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为1【答案】ACD【分析】由题意知双曲线C 的焦点在y 轴上，设双曲线2222:1y xC a b-=，根据焦点()0,5到渐近线的距离为3，可求得,b a ，即可求得双曲线方程，再根据双曲线的性质逐一分析各选项即可的解.【详解】解：由题意知双曲线C 的焦点在y 轴上，设双曲线2222:1y x C ab-=，双曲线C 的渐近线方程为ay x b =±，取a y x b=，即焦点()0,5F 到渐近线0ax by -=555b bb c ===．所以3b =，所以4a ==，所以双曲线C 的方程为221169y x-=，故选项A 正确；双曲线C 的渐近线方程为43a y x xb =±=±故选项B 错误；离心率54c e a ==，故选项C 正确；双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为541c a -=-=，故选项D 正确. 故选：ACD ．7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线1C ：2222111x y a b -=（10a >，10b >）的一条渐近线的方程为y =，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，椭圆2C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距与双曲线1C 的焦距相同，且椭圆2C 的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交2C 于()11,A y （10y >），B 两点，则下列叙述正确的是（） A ．双曲线的离心率为2 B ．双曲线的实轴长为12C ．点B 的横坐标的取值范围为()2,1--D ．点B 的横坐标的取值范围为()3,1-- 【答案】AD【分析】通过计算求出双曲线1C 的离心率和实轴长，即可判断选项A 和B 的正误；联立直线AB 和椭圆的方程求出222318333B a x a a +=-=-+++，即得点B 的横坐标的取值范围，即可判断选项C 和D 的正误. 【详解】双曲线1C ：2222111x y a b -=（10a >，10b >）的一条渐近线的方程为y =，则设双曲线的方程为223y x λ-=（0λ≠），由双曲线且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，得314λ-=，得14λ=，∴双曲线1C 的方程为22443x y -1=，即2211344x y -=， ∴双曲线的离心率1212e ==，实轴的长为1，故选项A 正确，选项B 错误；易知椭圆2C 的两焦点为()11,0F -，()21,0F ，将()11,A y （10y >）代入22221x ya b+=（0a b >>）得212211y a b +=，∴21b y a=，∴直线AB 的方程为()212b y x a =+，联立()222221,21,b y x a x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()222321a x a x ++--2310a -=，()()()22222243310a a a +∆=-++>，根据根与系数的关系得221313B a a x +-=+⋅，则B x =222318333a a a +-=-+++．由21a >得234a +>，则28023a <<+， ∴31B x -<<-，故选项C 错误，选项D 正确，故选：AD ．三、填空题8．（2022·福建宁德·模拟预测）若过点)2的双曲线的渐近线为2y x =±，则该双曲线的标准方程是___________.【答案】2214y x -=【分析】由题设双曲线方程为()2204y x λλ-=≠，进而待定系数求解即可. 【详解】解：因为双曲线的渐近线为2y x =±，故设其方程为()2204y x λλ-=≠，因为点)2在双曲线上，所以，22214λ=-=，即所求方程为2214y x -=. 故答案为：2214y x -=四、解答题9．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为30 ，点(在双曲线E 上.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若动直线l 与双曲线E 相切，过点()2,0P 作直线l 的垂线，垂足为H ，试判断OH 是否为定值？如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)2213x y -=(2)【分析】（1）利用已知条件求出a ，b 的值即可求解；（2）由题意得出直线l 的斜率不为0，当切线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，联立直线与双曲线E 的方程得到m ，k 的关系式，联立直线PH 与l 表示出点H 坐标，再利用两点间的距离公式即可求解；当切线l 的斜率不存在时，结合双曲线的几何性质即可求解.(1)设双曲线E 的渐近线方程为b y x a =±，因为一条渐近线的倾斜角为30，所以b a =; 又双曲线E经过点(，所以221231a b-=，而0,0a b >>，故解得a =1b =，所以双曲线E 的标准方程为2213x y -=.(2)由题意可得直线l 的斜率不为0，当切线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()0y kx m k =+≠，联立直线l 和双曲线E 的方程得2213y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ ，消去y 并整理得()222136330kxkmx m ----=，因为直线l 与双曲线E 相切，即方程有两个相等的实数根，所以2130k -≠且()()222236413330k m k m ∆=--⋅--=，化简并整理得2221313m k k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，又因为直线PH 与l 垂直，()2,0P ，所以直线PH 的方程为()12y x k=--，联立()12y x x y kx m ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩ ，解得222121km x k k m y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ ，即点2222,11km k m H k k -+⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()()()22222221km k m OHk -++=+()222222441k m m k k +++=+()()()2222141km k ++=+2241m k +=+223331k k +==+，所以OH当切线l的斜率不存在时，直线:l x =()2,0P 作直线l 的垂线为0y =，此时)H或()H，则OH =综上所述，OH【点睛】本题以双曲线为背景，考查双曲线的标准方程､直线与双曲线的位置关系，考查逻辑推理､数学运算核心素养.，解得的关键是明确解题的思路，计算要准确.10．（2022·上海市七宝中学高三期中）双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）经过点)，且渐近线方程为y x =±． (1)求a ，b 的值；(2)点A ，B ，D 是双曲线C 上不同的三点，且B ，D 两点关于y 轴对称，ABD △的外接圆经过原点O ．求证：点A 与点B 的纵坐标互为倒数；(3)在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线AB 相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由．【答案】(1)222x y -=(2)证明见解析(3)存在定圆221x y +=与直线AB 相切【分析】（1）运用代入法,结合双曲线的渐近线方程进行求解即可;（2）设出直线AB 的方程,与双曲线方程联立,根据一元二次方程根与系数的关系,结合圆的性质进行求解即可（3）易求原点到直线AB 的距离为定值，故存在定圆与直线AB 相切 (1)22311a b a b⎧-=⎪⎨⎪=⎩,解得a b ==则22:2C x y -=(2)证明:易知直线AB 一定不为水平直线, 设为x my n =+,设()(112,,A x y B x ,)()222,y D x y -,联立222x y x my n ⎧-=⎨=+⎩,整理得()2221220m y mny n -++-=, 则212221n y y m -=-, 由于外接圆过原点且关于y 轴对称,设为220x y Ey ++=,则221112222200x y Ey x y Ey ⎧++=⎨++=⎩ ⇒()()2222211122,y x y y x y +=+ ⇒()22122y y +()21222y y =+ ⇒()()121210y y y y --=又12y y ≠，所以121y y =(3)因为2122211n y y m -==-, 所以221n m =+则原点到直线AB的距离1d ==,故存在定圆221x y +=与直线AB 相切11．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线C ：2221x y a-=（0a >）的右焦点F ，点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，,AB OB BF ⊥∥OA （O 为坐标原点）.(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点()()00,0o P x y y ≠的直线002:1x xl y y a -=与直线AF 相交于点M ，与直线32x =相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，MFNF恒为定值，并求此定值. 【答案】(1)22 1.3x y -=(2)23【分析】（1）表达出直线OB 方程，直线BF 的方程，联立后得到B 点坐标，得到直线AB 的斜率，根据垂直关系得到方程，求出23a =，从而求出双曲线方程；（2）求出M 点坐标，N 点坐标，表达出220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+-，结合220013x y -=得到2243MF NF =，从而得到MF NF恒为定值，并求此定值. (1)设(c,0)F ，因为1b =，所以21c a =+OB 方程为1y x a=-，直线BF 的方程为1()y x c a =-，解得：(,)22c cB a -，又直线OA 的方程为1y x a=，则3(,),.AB c A c k a a =又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a-=-，解得：23a =，故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=(2)由（1）知3a =l 的方程为0001(0)3x xy y y -=≠，即0033x x y y -=，因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y - 直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y-，则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+- 因为是C 上一点，则220013x y -=，代入上式得2222000222222000004(23)4(23)4(23)49[(2)]3(23)39[1(2)]3x x x MF x NF y x x x ---====+---+-，所求定值为233MF NF =. 12．（2022·河北衡水中学一模）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的离心率为2，实轴长为4.(1)求C 的方程；(2)如图，点A 为双曲线的下顶点，直线l 过点()0,P t 且垂直于y 轴（P 位于原点与上顶点之间），过P 的直线交C 于G ，H 两点，直线AG ，AH 分别与l 交于M ，N 两点，若O ，A ，N ，M 四点共圆，求点P 的坐标. 【答案】(1)22144-=y x (2)()0,1【分析】（1）根据双曲线的离心率结合实轴长，可求得a,b ,即得答案;（2）根据O ，A ，N ，M 四点共圆结合几何性质可推出1AN OM k k ⋅=，设()11,G x y ，()22,H x y ，(,)M M M x y ，从而可以用点的坐标表示出t ,再设直线:GH y kx t =+，联立双曲线方程，利用根与系数的关系式，代入t 的表达式中化简，可得答案.(1)因为实轴长为4，即24a =，2a =，又2ca=22c =2224b c a =-=，故C 的方程为22144-=y x .(2)由O ，A ，N ，M 四点共圆可知，ANM AOM π∠+∠=，又MOP AOM π∠+∠=，即ANM MOP ∠=∠，故1tan tan tan ANM MOP OMP∠=∠=∠，即1AN OMk k -=-，所以1AN OM k k ⋅=, 设()11,G x y ，()22,H x y ，(,)M M M x y ，由题意可知()0,2A -，则直线112:2y AG y x x +=-，直线222:2y AH y x x +=-，因为M 在直线l 上，所以M y t =，代入直线AG 方程，可知()1122M t x x y +=+，故M 坐标为()112,2t x t y +⎛⎫⎪+⎝⎭，所以()()1122OM t y k t x +=+，又222AN AH y k k x +==，由1AN OM k k ⋅=，则()()12122212t y y t x x ++⋅=+，整理可得()()1212222y y t t x x +++=，当直线GH 斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线:GH y kx t =+，代入双曲线方程：22144-=y x 中，可得()2221240k x ktx t -++-=，所以12221kt x x k -+=-，212241t x x k -=-，又()()()()12122222y y kx t kx t ++=++++()()()()()()22222212122222422222111t t kt k x x k t x x t k k t t k k k -+--=+++++=⋅++⋅++=---，所以()()()()()()22212221222222221204421t y y t t t k t t t x x t t k -+++-+-++-====+≠----, 故2t t =-，即1t =，所以点P 坐标为()0,1.【点睛】本题考查了双曲线方程的求解，以及直线和双曲线的位置关系的问题，解答时要注意明确点线的位置关系，能设相关点的坐标，从而表示出参数的表达式，再结合联立直线和双曲线方程，利用根与系数的关系式化简，难点在于较为繁杂的计算，要十分细心.13．（2022·河南·三模（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，a ，b ，c 成等差数列，过F 的直线交双曲线C 于P ､Q 两点，若双曲线C 过点165,3T ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过双曲线C 的左顶点A 作直线AP ､AQ ，分别与直线x m =交于M ､N 两点，是否存在实数m ，使得以MN 为直径的圆恒过F ，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)221916x y -=(2)存在，21m =或95m = 【分析】（1）利用待定系数法求双曲线方程；（2）假设存在实数m ，使得以MN 为直径的圆恒过F ，则0MF NF ⋅=，结合韦达定理可得m 的值. (1)由已知设双曲线方程为22221x y a b-=，又a ，b ，c 成等差数列，且双曲线过点165,3T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()2222222216531a c ba b c a b +=⎧⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭-=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得3a =，4b =，5c =，故所求方程为221916x y -=， (2)由（1）得()30A -,，设AP ､AQ 方程分别为()13y k x =+､()23y k x =+，则()()1,3M m k m +，()()2,3N m k m +，因为以MN 为直径的圆经过()5,0F ，所以MF NF ⊥即0MF NF ⋅=，即()()2212530m k k m -++=，设PQ 方程为5x ny =+，与221916x y -=联立得()221691602560n y ny -++=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122160169n y y n +=--，122256169y y n =-，所以()()()121212122121212123388864y y y y y y k k x x ny ny n y y n y y =⋅==+++++++，即()1222225649256128064169k k n n n ==--+-，所以()()2245309m m --+=，251141890m m -+=，解得21m =或95m =. 题型二：相同渐近线双曲线方程求法一、单选题1．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知双曲线C 的渐近线方程为340x y ±=，且焦距为10，则双曲线C 的标准方程是（） A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．221169x y -=或221916y x -= D ．221916x y -=或221169y x -=【答案】C【分析】根据共渐近线0bx ay ±=的双曲线的设法2222x y a bλ-=，结合题意分析求解．【详解】渐近线方程为340x y ±=的双曲线为22169x y λ-=，即221169x y λλ-=，故25||25λ=，故1λ=±，故选：C ．2．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线，且经过点(P -，则双曲线C 的离心率为（）．A B C ．4 D ．2【答案】D【解析】双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线，设双曲线C 的方程2226x y λ-=，其中λ≠0，又因为点(P -在双曲线上，再代入点P 的坐标即可得到双曲线C 的方程，然后求解焦距即可．【详解】双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线，设双曲线C 的方程2226x y λ-=，其中λ≠0，∵点(P -在双曲线上， ∴122λ-=，解之得32λ=，因此双曲线方程为22139x y -=,a c ==故离心率为2ce a==.故选：D .【点睛】本题考查双曲线的性质及离心率，根据题意列出未知数，解出a ，b ，c 即可求得离心率，属于中等题.3．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=【答案】B【解析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解. 【详解】∵双曲线C 与2214x y -=的渐近线相同，且焦点在y 轴上，∴可设双曲线C 的方程为2214y x k k -=，一个焦点为0,5，∴425k k +=，∴5k =，故C 的标准方程为221520y x -=.故选：B【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错. 二、多选题4．（2020·全国·高三阶段练习）已知双曲线C 过点(且渐近线为y =，则下列结论正确的是（） A ．C 的方程为2213y x -=B ．C 的离心率为2C ．曲线2331x y e -=-经过C 的一个焦点D 10y --=与C 有两个公共点【答案】BC【解析】设所求双曲线方程为()2230x y λλ-=≠，将点(代入可判断A ；由A 求出,,a b c ，即可求出离心率，判断B ；求出双曲线C 的右焦点的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，代入曲线方程即可判断C ；联立方程组可判断D.【详解】对于选项A ，由y =可得223y x =，从而可设所求双曲线方程为()2230x y λλ-=≠.又由双曲线C 过点(，代入得2231λ⨯-=，即1λ=，故选项A 错误；对于选项B ，由双曲线C 的方程可知a =1b =，c = 所以C 的离心率2ce a==，故选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 的右焦点的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，满足2331x y e -=-，故选项C 正确；对于选项D ，联立221031y x y --=-=⎪⎩，解得x =0y =，10y --=与双曲线C 只有一个交点⎫⎪⎪⎝⎭，故选项D 错误.故选：BC .【点睛】本题考查双曲线的几何性质､直线与双曲线的位置关系，考查运算求解､推理论证能力，考查直观想象､数学运算､逻辑推理核心素养，属于基础题.5．（2021·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（） A ．双曲线CB ．双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C ．若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D ．若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD【解析】根据渐近线所过的点可求,a b 的关系，从而可求渐近线的方程和离心率，故可判断A 、B 的正误，利用已知的条件和,a b 的关系可求基本量，从而可判断C 、D 的正误.【详解】渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ==A 错误.又渐近线的方程为y x =，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为y x =，故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =所以双曲线C 的方程为22184x y -=，故C 正确.直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a abc c⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =D 正确. 故选：BCD.【点睛】方法点睛：（1）求双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线的方程，一般是将等号右边的常数变为零；（2）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为b .三、填空题6．（2022·辽宁·模拟预测）焦点在x 轴上的双曲线C 与双曲线22149x y -=有共同的渐近线，且C 的焦点到一条渐近线的距离为C 的方程为______．【答案】221818x y -=【分析】由共渐近线的双曲线系方程可设()22:049x y C λλ-=>，根据焦点到渐近线距离为b 可构造方程求得λ，由此可得双曲线方程.【详解】由题意可设双曲线C 的方程为：()22049x y λλ-=>，即22149x y λλ-=；则24a λ=，29b λ=，双曲线焦点到渐近线距离为b ，∴2λ=， ∴双曲线C 的方程为：221818x y -=.7．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线2222:1y x C a b -=（0a >，0b >）与双曲线22:146x y D -=有相同的渐近线，且C 经过点()2,6，则C 的实轴长为_________【答案】【分析】根据给定条件求出a ，b 的关系，再由双曲线C 过的点即可计算作答.【详解】双曲线2222:1y x C a b -=的渐近线为a y x b =±，而双曲线22:146x y D -=的渐近线为y x =，依题意，a b =C 经过点()2,6，则223641a b -=，解得：a b == 所以双曲线C的实轴长为故答案为：四、解答题8．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与222:193x x C -=有相同的渐近线，点()2,0F 为1C 的右焦点，,A B 为1C 的左，右顶点.（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）若直线l 过点F 交双曲线1C 的右支于,M N 两点，设直线,AM BN 斜率分别为12,k k ，是否存在实数入使得12k k λ=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2213y x -=；（2）存在，13λ=-. 【分析】（1）根据2C的渐近线方程求出ba=c 的值，从而求双曲线1C 的标准方程；（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立消元写韦达；然后表示出直线,AM BN 斜率，根据韦达定理求12k k 的值，从而求出λ的值.【详解】（1）2C的渐近线为y =，b a∴22c a=+=，1,a b ∴==，所以双曲线1C 的标准方程2213y x -=. （2）由已知，()()()()11221,01,0,,,,,A B M x y N x y -，l 过点()2,0F 与右支交于两点，则l 斜率不为零，设:2l x my =+，由22132y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消元得()22311290m y my -++=，因为l 与双曲线右支交于两点，所以21223109031m y y m ⎧-≠⎪⎨=<⎪-⎩，解得m ⎛∈ ⎝⎭ ()()()2221249313610m m m ∆=-⨯-=+>，121222129,3131m y y y y m m ∴+=-=--， 121212,011y yk k x x ==≠+-，()()()()121211212212112211133y x y my k my y y k y x y my my y y -++∴===-++， 121212493y y m m y y +=-=-，()121234my y y y ∴=-+， ()()121121212212313144433933444y y y y y k k y y yy y -++-∴===--++-+，∴存在13λ=-使得12k k λ=.题型三：直接法解决离心率问题一、单选题1．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知双曲线的方程2214x y -=，则该双曲线的离心率为（） ABCD【答案】D【分析】由双曲线方程可求得2,1,a b c ==. 【详解】由2214x y -=可得：2,1,a b c ===，故离心率为c e a ==，故选：D2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ．且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（）A ．5B ．103C ．52D ．173【答案】D【分析】设2||AF m =，2||BF n =，由双曲线的定义可得1||AF ，1||BF ，在直角三角形1AF B 中，在12AF F △中，运用锐角三角函数的定义、勾股定理和余弦定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．【详解】解：设2||AF m =，2||BF n =，由双曲线的定义可得1||2AF a m =+，1||2BF a n =+，由3cos 5BAC ∠=-，可得12cos 53F AF ∠=，在直角三角形1AF B 中，122s 54in 2a n F AF a m +∠==+，① 222(2)()(2)a n m n a m +++=+，②在12AF F △中，可得2224(2)2(2)53c m a m m a m =++-+⋅③ 由①②可得23an =，43a m =，代入③可得222161008104993353a a a a c =+-⨯⨯，即为22917c a =，则173c e a ==，故选：D ．3．（2022·浙江金华·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，O 为坐标原点，F 为双曲线C 的左焦点，若C 的右支上存在一点P ，使得OFP △外接圆M 的半径为1，且四边形MFOP 为菱形，则双曲线C 的离心率是（） A ．21+ B ．31+C ．31-D ．2【答案】B【分析】设双曲线C 的右焦点为F '，连接PF '，易证FPF '为直角三角形，解出2a 与2c 代离心率的计算公式即可求解【详解】如图所示，设双曲线C 的右焦点为F '，连接PF '因为OFP △外接圆M 的半径为1，则1MO MF MP === 又四边形MFOP 为菱形，所以1OF OF MP '===则MOF △为正三角形，所以60∠=MFO ，30PFO FPO ∠=∠= 因为//OP MF ，所以60POF MFO '∠=∠=，又OP OF '= 所以OPF '△为正三角形，所以60OPF '∠=，所以90FPF '∠= 在Rt FPF '△中，22FF c '==，cos303PF FF '==1PF '= 所以312PF PF a '-= 所以231231c e a ===- 故选：B4．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，已知1F ，2F 为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F ，2F 分别作直线1l ，2l 交双曲线E 于A ，B ，C ，D 四点，使得四边形ABCD 为平行四边形，且以AD 为直径的圆过1F ，11DF AF =，则双曲线E 的离心率为（）A 2B 3C ．52D 10【答案】D【分析】利用双曲线的定义，几何关系以及对称性，再利用平行四边形的特点，以及点在圆周上的向量垂直特点，列方程可解. 【详解】设11DF AF x == ，则22DF x a =- ，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：21CF AF x == ，连接1CF ，则有1222CF CF x a =+=+ ，2222DC DF CF x a =+=-由于1F 在以AD 为直径的圆周上，11DF AF ∴⊥ ， ∵ABCD 为平行四边形，//AB CD ，1DF DC ∴⊥ ，在直角三角形1CDF 中，22211CF DF CD =+，()()222222x a x x a +=+- ，解得：3x a = ，123,DF a DF a == ；在直角三角形12F F D 中，2221212DF DF F F += ，()()22232a a c += ，得2252a c = ，10ce a= ，故选：D.5．（2022·贵州黔东南·一模（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，直线2x a =与C 交于A 、B 两点（A在B 的上方），DA AB =，点E 在y 轴上，且EA x ∥轴．若BDE 的内心到y 轴的距离为43a，则C 的离心率为（）. A ．62B ．103C ．6D ．10【答案】B【分析】根据题目信息画出准确图像，本题重难点在于合理利用三角形内心性质，以及角平分线定理，得到,a b 关系后即可求出离心率.【详解】因为A 在B 的上方，且这两点都在C 上，所以(2,3),(2,3)A a b B a b -，则||23AB b =．因为DA AB =，所以A 是线段BD 的中点，又EA x ∥轴，所以||||ED EB =，EA BD ⊥，所以BDE 的内心G 在线段EA 上．因为G 到y 轴的距离为43a ，所以4||||324||||23aEG ED a GA DA a ===-，所以60EDA ∠=︒，因此||23||23EA a DA b ==，即3a b =．故2101b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．故选：B 二、多选题6．（2022·山东烟台·一模）已知双曲线C ：22145x y -=，1F ，2F 为C 的左、右焦点，则（） A ．双曲线()221045x y m m m-=>++和C 的离心率相等B ．若P 为C 上一点，且1290F PF ∠=︒，则12F PF △的周长为6214+C ．若直线1y tx =-与C 没有公共点，则6t <6t >D ．在C 的左、右两支上分别存在点M ，N 使得114FM F N =【答案】BC【分析】求得双曲线()221045x y m m m-=>++和C 的离心率判断选项A ；求得12F PF △的周长判断选项B ；由直线与圆锥曲线位置关系的判定判断选项C ；求解满足题意条件的直线MN 判断选项D. 【详解】选项A ：双曲线C ：22145x y -=的离心率32e = 双曲线()221045x y m m m-=>++的离心率e =则双曲线()221045x y m m m -=>++和C 的离心率不一定相等.判断错误；选项B ：P 为C ：22145x y -=上一点，且1290F PF ∠=︒ 则有222112364PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，整理得12PF PF +=则12F PF △的周长为6+判断正确；选项C ：由221451x y y tx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，可得22(54)8240t x tx -+-=由题意可知，方程22(54)8240t x tx -+-=无解当2540t -=时，方程22(54)8240t x tx -+-=有解；当2540t -≠时，则有()()222540896540t t t ⎧-≠⎪⎨+-<⎪⎩，解之得t <t >故若直线1y tx =-与C没有公共点，则t <t >判断正确；选项D ：根据题意，过双曲线C 的左焦点1F 的直线MN 方程可设为3x ty =-令1122(,),(,)M x y N x y ，由114FM F N =，可得214y y = 由221453x y x ty ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，可得22(54)30250t y ty --+= 则有12212230542554t y y t y y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，则有122123055425454t y t y t ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，整理得2191000t +=，显然不成立.当过双曲线C 的左焦点1F 的直线MN 为水平直线时，方程为0y =则(2,0),(2,0)M N -，11(1,0),(5,0)FM F N ==，即115FM F N =. 综上可知，不存在分别在C 的左、右两支上M ，N 使得114FM F N =.判断错误. 故选：BC 三、填空题7．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（理））已知双曲线C ：22214x y b-=（0b >），以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是________________．【答案】⎛ ⎝⎭【分析】根据圆心到直线的距离小于半径，即可得c 的范围，进而可得离心率范围. 【详解】双曲线C 的渐近线方程为2by x =±，右焦点(c,0)F ，∵渐近线与圆相交，3<，即3b <，∴2=22413c b =+<， ∴双曲线C的离心率为：c e a =<1e >．∴e ⎛∈ ⎝⎭．故答案为：⎛ ⎝⎭8．（2022·山东日照·二模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且4cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为___________.【答案】102【分析】连接1F B ，1F A ，设2F B x =，则12F B x a =+，根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求出1sin F AB ∠，1tan F AB ∠，再根据锐角三角函数得到143AB F B =、1153F A F B =，从而得到方程求出x ，再在12F F B △利用勾股定理计算可得；【详解】解：如图，连接1F B ，1F A ，则1F ，A ，C 和1F ，B ，D 都三点共线，设2F B x =，则12F B x a =+. 由()14cos cos π5F AB BAC ∠=-∠=，所以2113sin 1cos 5F AB F AB ∠=-∠=所以111sin 3tan cos 4F AB F AB F AB ∠∠==∠，又AB BD ⊥，所以113tan 4F B F AB AB ∠==，即143AB F B =， 1113sin 5F B F AB F A ∠==，即1153F A F B =，又22F A AB F B =-，因此1242233F A F A x a a -=+=，即x a =，在12Rt F F B 中()()22222210c x a x a =++=，即2252c a =.故e =9．（2022·浙江·三模）已知双曲线222:1(0)4x y C b b -=>的两个焦点分别为12,F F ，点()00,P x y 是双曲线第一象限上一点，在点P 处作双曲线C 的切线l ，若点12,F F 到切线l 的距离之积为3，则双曲线C 的离心率为_______．【分析】设()00,P x y ()002,0x y >>，根据直线与双曲线的位置关系可求得在点P 处的切线方程，再根据点到直线的距离公式分别求出点12,F F 到切线l 的距离，列出方程，求出b ，即可求出离心率．【详解】设点()00,P x y ()002,0x y >>，有222222000021444x y y b x b b-=⇒=-．设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，联立双曲线方程，由0∆=可解得204b x k y =，所以切线方程为()()22440b x x y y b--=，1(,0)F c -到切线l距离221d ==，2(,0)F c 到切线l距离222d ==所以()422442240201242242222000041616316416b b x bb c x b d d b b x y b x b x b+--====++-，即b =所以2,a c ==，故e =四、解答题10．（2022·河北张家口·三模）已知0b a >>，点)A ，B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，动点P 满足|||PA PB =，点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)直线y kx m =+与曲线C 相切，与曲线2222:1x yE a b-=交于M ､N 两点，且π2MON ∠=（O 为坐标原点），求曲线E 的离心率.【答案】(1)222x y b +=；【分析】（1）根据两点间距离距离公式，结合已知等式进行求解即可；（2）根据曲线切线的性质，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系、平面向量垂直的性质、双曲线的离心率公式进行求解即可.(1)设(,)P x y ，由|||PA PB =222x y b +=即为曲线C ； (2)y kx m =+与曲线C 相切，b ∴=2221mb k=+. 设()11,M x y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入曲线E 整理得：222222222()2(0)b a k x a kmx a m a b ---+=，2220b a k -≠，222222()40a b m b a k ∆=+->，2122222a kmx x a k b-∴+=-，222212222a m a b x x a k b +=-.π2MON ∠=，0OM ON ∴⋅=，即12120x x y y +=.222222212121212222()()()k a b m b y y kx m kx m k x x km x x m a k b -=++=+++=-， 2222222222222220a m a b k a b m b a k b a k b+-∴+=--，整理得2222221m a b k b a =+-， 22222a b b b a∴=-，即222b a =，223c a =，e =故曲线E【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键. 题型四：构造齐次方程法求离心率的值或范围一、单选题1．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为1F ，2F ，记它们其中的一个交点为P ，且12120F PF ∠=︒，则该椭圆离心率1e 与双曲线离心率2e 必定满足的关系式为（） A ．1213e e 144+=B ．221231e e 144+= C ．22123114e 4e += D ．22121314e 4e += 【答案】C【分析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长2a ，焦距2c ，根据椭圆及双曲线的定义可以用12,a a 表示出12,PF PF ,在12F PF △中根据余弦定理可得到2212314e 4e +的值. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，112212,PF a a PF a a ∴=+=-，设121222,3π=∠=F F c F PF ，则在12PF F △中由余弦定理得()()()()22212121212242cos3c a a a a a a a a π=++--+-， ∴化简2221234a a c +=，该式变成22123114e 4e +=. 故选：C.2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若2||AB BF =，12BF F △23，双曲线C 的离心率为e ，则2e =（） A 3B ．2 C ．23+D ．523+【答案】D。

双曲线与方程_知识点总结_例题习题精讲_详细答案

一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。

这两个定点叫双曲线的焦点。

要注意两点：（1）距离之差的绝对值。

（2）2a ＜|F 1F 2|。

当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。

2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。

二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。

a 不一定大于b 。

（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺..：龙奇迹学习资料网三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系 1、点与双曲线点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上220022-=1x y a b ⇔2、直线与双曲线代数法：设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b （1）0m =时，b bk a a-<<，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时，直线与双曲线没有交点；（2）0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a b ，abk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点；m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点；3、过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x（1）当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a <-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；（2）当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x bk a a y <<（00y ≠）或b k a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ； b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；（3）当点00(,)P x y 在双曲线外部时：当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺..：龙奇迹学习资料网四、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=2、若双曲线方程为12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）⇒渐近线方程：22220y x a b -= ay x b =±3、若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x , 0λ≠。

双曲线优秀经典例题讲解

双曲线是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）.解：如图8—17，建立直角坐标系xOy ，使A 圆的直径AA ′在x 轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC ′、BB ′平行于x 轴，且C C '=13×2 (m)，B B '=25×2 (m).设双曲线的方程为12222=-by a x （a >0,b >0）令点C 的坐标为（13，y ），则点B 的坐标为（25，y－55）.因为点B 、C 在双曲线上，所以,1)55(12252222=--b y .112132222=-by解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--(2)11213(1) 1)55(122522222222b y b y 由方程（2）得 b y 125= （负值舍去）.代入方程（1）得,1)55125(12252222=--bb化简得 19b 2+275b －18150=0 （3）解方程（3）得 b ≈25 (m).所以所求双曲线方程为：.162514422=-y x 例2. ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程．解：取BC 的中点O 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，因为4=BC ，所以B(0,2-)，)0,2(c ．利用正弦定理，从条件得2421=⨯=-b c ，即2=-AC AB ．由双曲线定义知，点A 的轨迹是B 、C 为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为32的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为1322=-y x (1>x )．变式训练3：已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，两条准线的距离为l .（1）求双曲线的方程；（2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N 的一点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值.典型例题（1）解：依题意有：.3,1,,12,3222222==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==b a c b a c aa b解得可得双曲线方程为.1322=-y x （2）解：设).,(,),,(0000y x N y x M --可得由双曲线的对称性,33,33,13.),,(222020220222020000-=-==---=++⋅--=⋅P P P P P P P P PNPM P P x y x y y x x x y y x x y y x x y y k k y x P 同理所以又则设所以.3333322202=-+--=⋅x x x x k k P P PNPM 例3. 设双曲线C ：1222=-y x 的左、右顶点分别为A 1、A 2，垂直于x 轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点P 、Q 。

双曲线专题复习考点技巧归纳+经典例题+变式训练+综合练习

双曲线专题复习讲义题型一双曲线定义的应用例题1已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M的中点，O 为坐标原点，2||||2ON NF b -=，则该双曲线的离心率为( )A B ．2 C D 【答案】C【解析】由N 为2F M 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故01260F MF ∠=， 2121||||(||||)2ON NF MF MF a ∴-=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，由224a b =可得222244()a b c a ==-，即c =，故双曲线的离心率为e =，故选C ．例题2已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为△12PF F 的内心，若121213IPF IPF IF F S S S =+成立，则双曲线的离心率为( )A ．3BCD ．4【答案】A【解析】设△12PF F 的内切圆的半径为r ．I 为△12PF F 的内心，由121213IPF IPF IF F SS S =+成立，可得121111||||22232PF r PF r c r ⋅=⋅+⨯⨯⋅．∴又12||||2PF PF a -=，1223a c ∴=⋅．232ce a∴==．故选A ．【解题技巧提炼】双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形.令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有(1)定义：|r 1－r 2|＝2a . (2)余弦公式：.(3)面积公式：一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.题型二与双曲线有关的轨迹问题例题1（2021•重庆质检）在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），则点P 的轨迹方程为( )A ．221(4)169x y x -=>B ．221(4)169x y x -=<-C ．221(4)2516x y x +=>D ．221(4)2516x y x +=<-【答案】A【解析】由题意，在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，圆的圆心在4x =上，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），与圆交于S ，T ，所以||||MA MS =，||||NA NT =，||||PS PT =，所以||||||||54(54)8PM PN AM AN -=-=+--=，P 满足双曲线的定义，是双曲线的右支，除去A 点，故选A ．【解题技巧提炼】求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上．题型三由双曲线的标准方程求其简单的几何性质例题1（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±．故选C ．【解题技巧提炼】由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. 2由标准方程确定焦点位置，确定a 、b 的值.3由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质.题型四利用几何性质求双曲线的标准方程例题1（2020•新疆模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(4,43)，则该双曲线的标准方程为( )A ．221416x y -=B ．221164y x -=C ．22128x y -=D ．22144176y x -=【答案】A【解析】1：根据题意知，2443⨯>(4,3)在渐近线方程2y x =的右下方，所以该双曲线的焦点在x 轴上，设标准方程为22221x y a b-=，且0a >，0b >；又2ba=，所以2b a =；又2216481a b -=，即2221648414a a a -==，解得24a =，216b =，所以双曲线的标准方程是221416x y -=．解法2：根据渐近线方程设双曲线的标准方程是22(0)4y x k k -=≠，代入点(4，43)，计算得481644k =-=，所以双曲线的标准方程为2244y x -=，即221416x y -=．故选A ．例题2 （2020秋•胶州市期末）与双曲线22:12x C y -=共渐近线，且经过10)点的双曲线的标准方程是()A ．22142x y -=B ．22124x y -=C ．22142y x -=D ．22124y x -=【答案】A【解析】根据题意，要求双曲线与双曲线22:12x C y -=共渐近线，设要求的双曲线为222x y t -=，(0)t ≠，又由双曲线经过点10，则有91024t -=，解可得2t =，则要求双曲线的标准方程为22142x y -=；故选A ．【解题技巧提炼】求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2＜λ＜a 2)．(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(5)渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．题型五求双曲线的离心率例题1（2021秋•镇海区校级期中）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b-=->>的离心率为2e ，则221211e e +的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．4【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为2e =2222222222122211111a b a b a b e e a b a b ++=+==+++．故选A ．例题2 （2021秋•遵义月考）已知曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>其中一条渐近线与直线:22l x y +=平行，则此双曲线的离心率是( ) ABC ．32D【解析】根据题意，双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则其渐近线方程为by x a=±，又由其一条渐近线与直线:22l x y +=平行，有12b a =，即12b a =，则c =，则其离心率c e a =B ．【解题技巧提炼】求离心率的方法与技巧(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca ；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba 后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围．题型六与渐进线有关的问题例题1（2021秋•洛阳期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．y =C ．13y x =±D ．y = 【答案】B【解析】依题意，要使点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则必有2AB BC a ==，2a ，整理可得2220c ac a --=，解得2c a =，即可得2224a a b =+，ba=所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=，故选B ．例题2 （2021秋•南湖区月考）已知双曲线221169x y -=的右支上一点P 到其渐近线的距离为d ，F 为双曲线的左焦点，则||PF d +的最小值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】由双曲线的方程可得216a =，29b =，所以22225c a b =+=，可得5c =，设双曲线的右焦点(5,0)F '，渐近线的方程为：043x y±=，即340x y ±=，所以右焦点F '到渐近线的距离||3DF '==，由双曲线的性质可得右支上的点P 到右焦点的距离||||2PF PF a '=-，||||2||2PF d PF a d DF a ''+=+++，当且仅当F '，P ，垂足三点共线，其值最小，所以||PF d +的最小值为：2324311a +=⨯+=，故选C ．【解题技巧提炼】1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ab x ，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．2．若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一：分两种情况设出方程进行讨论．方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可．显然方法二较好，避免了讨论． 3．有共同渐近线的双曲线的方程．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．若λ＞0，则实轴在x 轴上；若λ＜0，则实轴在y 轴上，再依据题设条件可确定λ．题型一双曲线定义的应用1．已知1F 、2F 分别是双曲线22124y x -=的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且12||||48PF PF ⋅=．则△12F PF 的面积为( )A ．8B ．16C ．24 D．【答案】C 【解析】P 是双曲线左支上的点，21||||2PF PF ∴-=，12||10F F =，在△12PF F 中，由余弦定理得222221212211212121212||||||(||||)2||||||4248100cos 02||||2||||248PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+-+⨯-∠====⨯，1290F PF ∴∠=︒，即12PF PF ⊥，∴△12F PF 的面积为1211||||482422PF PF ⋅=⨯=，故选C ． 2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若1||||AB AF =，且双曲线C 的离心率为2．则cos (θ=) A ．14B ．13C ．23D ．12【答案】A【解析】由双曲线的定义知，12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =，221||||||AF BF AF ∴+=，即122||||||2AF AF BF a -==，12||||24BF BF a a ∴=+=，在△12BF F 中，由余弦定理知，2222121212||||||cos 2||||BF F F BF BF F F θ+-=⋅，∴2222244163cos 2222a c a c a a c ac θ+--==⋅⋅，2c e a ==，∴431cos 44θ-==，故选A ．题型二与双曲线有关的轨迹问题1．（2021秋•海曙区校级期中）与圆22(2)2x y ++=外切，且与圆2240x y x +-=内切的圆的圆心在( ) A ．抛物线上 B ．圆上C ．双曲线的一支上D ．椭圆上【答案】C【解析】由题设，22(2)2x y ++=的圆心为(2,0)A -2240x y x +-=的圆心为(2,0)B ，半径为2，∴若所求圆的圆心为C ，半径为r ，由图及已知条件易得2r >，∴|||2AC r BC r =+=-，则||||2AC BC -=，由双曲线定义知：圆心C 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上．故选C ．题型三由双曲线的标准方程求其简单的几何性质1．（2021秋•福建期中）双曲线2214y x -=的右顶点到渐近线的距离为( )ABC ．1D ．2【答案】B【解析】由双曲线2214y x -=，得1a =，2b =，可得右顶点为(1,0)，一条渐近线方程为2y x =，即为20x y -=，可得右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为d =．故选B ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(1,4) C． D．【答案】B【解析】由214OQ OF =，知Q 在线段2OF 上，且234QF c =，又12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，所以1122554334c PF QF PF QF c ===，所以1253PF PF =，又122PF PF a -=，所以2223PF a =，又点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，所以2PF c a >-，所以226c a a -<，所以4ce a=<，又1e >，故14e <<．故选B ．题型四利用几何性质求双曲线的标准方程1．（2019秋•荔湾区期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为( )A ．221204x y -= B ．221412x y -= C ．2211648x y -=D ．2216416x y -=【答案】B【解析】由题意可设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，因为双曲线的焦距为8，则28c =，所以4c =，又双曲线的离心率为2ca=，所以2a =，则22216412b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为221412x y -=，故选B ．2．（2020•梅州二模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =±，且其一个焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】由双曲线的方程及渐近线的方程可得：34b a =，即34a b =，又由题意可得5c =，且222c a b =+，所以解得216a =，29b =，所以双曲线的方程为：221169x y -=，故选B ．题型五求双曲线的离心率1．（2021秋•河北期中）已知双曲线22:14x y C m -=(m = )A ．2B ．4C ．8D ．12【答案】B【解析】双曲线22:14x y C m -=，∴c a ==4m =．故选B ．题型六与渐进线有关的问题1．（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±．故选C ．2．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．1．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）若双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>率的取值范围是( )A ．)+∞B ．C ．)+∞D ．【答案】D【解析】依题意双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>经过一、三象限的渐近线斜率为k ，当k >时，可知a b >，则离心率c e a ==．故选D ．3．（2021秋•北海月考）已知双曲线22:1412x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 在C 的一条渐近线上，若2||||OP PF =，则△12PF F 的面积为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知1(4,0)F -，2(4,0)F，渐近线的方程为y =，因为2||||OP PF =，故点P 在线段2OF 的中垂线2x =上，故0||y = 所以△12PF F的面积为1201||||2F F y ⋅=．故选D ．4．（2021秋•河南期中）如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．若1||||AB AF =，且△1~F AB △21F F B ，则双曲线C 的离心率为()A ．2 BC ．32D ．4【答案】A【解析】由过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．所以12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =，所以，2||||2AB AF a -=，所以2||2BF a =，又12||||2BF BF a -=，所以1||4BF a =，因为△1~F AB △21F F B ，所以1121AF F F ABF B=，又1||||AB AF =，所以112||||BF F F =，所以42a c =，所以离心率2ce a==，故选A ． 5．（2021秋•福建期中）双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，直线y kx =与曲线C交于A ，B 两点，11||3||AF BF =，且1260F AF ∠=︒，则双曲线C 的离心率是．【解析】设1||BF t =，因为11||3||AF BF =，则1||3AF t =，2||AF t =，所以212||||32a BF BF t t t =-=-=，2||AF a =，1||3AF a =，在三角形12AF F 中，由余弦定理可得：22212941cos 232a a c AF F a a +-∠==⨯⨯，整理可得：2c =，所以离心率e =．6．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知点P 在双曲线22:1169x y C -=左支上，1F ，2F 是其左、右焦点，若1260F PF ∠=︒，1211||||PF PF -= ．【答案】29【解析】设1||PF m =，2||PF n =，由双曲线的定义可知8n m -=，在△12PF F 中，由余弦定理可得22100cos602m n mn+-︒=，22100m n mn ∴+-=，2()2100n m mn mn ∴-+-=，即36mn =， ∴211212||||1182||||||||369PF PF n m PF PF PF PF mn ---====，故答案为：29．。

高中双曲线基础练习题及讲解

高中双曲线基础练习题及讲解### 高中双曲线基础练习题及讲解#### 双曲线的定义与性质双曲线是圆锥曲线的一种，其定义为平面上所有点到两个固定点（焦点）距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。

双曲线有以下基本性质：1. 焦点距离：双曲线的两个焦点之间的距离是常数。

2. 实轴与虚轴：双曲线有两条对称轴，分别称为实轴和虚轴。

3. 离心率：双曲线的离心率大于1。

#### 练习题一：双曲线的标准方程给定一个双曲线，其焦点在x轴上，中心点为(0, 0)，且a=3，b=2，求双曲线的方程。

解答步骤：1. 根据双曲线的标准方程 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)。

2. 代入给定的a和b的值，得到 \(\frac{x^2}{3^2} -\frac{y^2}{2^2} = 1\)。

3. 简化得到 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\)。

#### 练习题二：双曲线的焦点坐标已知双曲线的中心点为(0, 0)，a=4，b=3，求双曲线的焦点坐标。

解答步骤：1. 计算离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。

2. 计算焦点到中心的距离 \(c = ae\)。

3. 由于焦点在x轴上，焦点坐标为 \((\pm c, 0)\)。

4. 代入数值计算，得到焦点坐标为 \((\pm 5, 0)\)。

#### 练习题三：双曲线的渐近线方程已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)，求其渐近线方程。

解答步骤：1. 渐近线方程形式为 \(y = \pm \frac{b}{a}x\)。

2. 代入a和b的值，得到 \(y = \pm \frac{3}{4}x\)。

#### 练习题四：双曲线的参数方程已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1\)，求其参数方程。

3.2.2 双曲线的简单几何性质(精练)高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(解析版)

3.2.2双曲线的简单几何性质【题组1由双曲线的方程求几何性质】1、求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程：（1）22149x y -=；（2）22194y x -=．【答案】（1）双曲线实轴长为4，虚轴长为6，顶点坐标为(20)±,，离心率为2，渐近线方程为32y x=±（2）实轴长为6，虚轴长为4，顶点坐标为(0,3)±，离心率为133，渐近线方程为32y x=±【解析】（1）由题意，双曲线方程为22149x y -=，故222224,9,13a b c a b ===+=故双曲线的实轴长为：24a =虚轴长为：26b =，顶点坐标为：(20)±,离心率为：c e a ==32b y x x a =±=±故双曲线实轴长为4，虚轴长为6，顶点坐标为(20)±,，离心率为132，渐近线方程为32y x=±（2）由题意，双曲线方程为22194y x -=，故222229,4,13a b c a b ===+=故双曲线的实轴长为：26a =虚轴长为：24b =，顶点坐标为：(0,3)±离心率为：c e a ==32a y x x b =±=±故双曲线实轴长为6，虚轴长为4，顶点坐标为(0,3)±，32y x=±2、（多选）已知双曲线22:184x y C -=，则下列说法正确的是（）A．渐近线方程为y =B．焦点坐标为()±C．顶点坐标为()±D．实轴长为【答案】BC【解析】对于双曲线22:184x y C -=，a =2b =，c =.所以，双曲线C 的渐近线方程为b y x a =±=，焦点坐标为()±，顶点坐标为()±，实轴长为因此，AD 选项错误，BC 选项正确.故选：BC.3、我们把方程分别为：22221x y a b -=和22221y x b a-=的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同（）A．离心率B．渐近线C．焦点D．顶点【答案】B【解析】共轭双曲线22221x y a b-=和22221y x b a -=的c =0a >，0b >，可得它们的焦点分别为(,0)c ±，(0,)c ±，渐近线方程均为by x a=±，离心率分别为c a 和cb，它们的顶点分别为(,0)a ±，(0,)b ±，故选：B．4、曲线221259x y -=与曲线221259+x y k k -=-（925k -<<）的（）A．顶点相同B．虚轴长相等C．焦点相同D．离心率相等【答案】C【解析】顶点坐标为()5,0±，虚轴长为6，焦点坐标为()考查曲线221259+x y k k-=-（925k -<<）的性质：顶点坐标为()，虚轴长为焦点坐标为()；据此可知两曲线的焦点相同.本题选择C 选项.5、（多选）已知双曲线222(0)3x y m m -=≠，则不因m 的值改变而改变的是（）A．焦距B．离心率C．顶点坐标D．渐近线方程【答案】BD【解析】∵双曲线222(0)3x y m m -=≠，∴222213x y m m-=，c =该双曲线焦距为：=顶点坐标为)和()0，渐近线方程为y =不因m 的值改变而改变的是离心率与渐近线方程.故选：BD.【题组2由几何性质求双曲线的标准方程】曲线的标准方程为（）A．2244x y -=1B．2244y x -=1C．2248y x -=1D．2284x y -=1【答案】B【解析】由方程组2222222a a b c a b c =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，得a =2，b =2.∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的标准方程为2244y x -=1.故选：B.2、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为（）A．2212x y -=B．22x y -C．222x y -=D．224x y -=【答案】D【解析】由一个焦点到一条渐近线的距离为2，得2b =，又因双曲线的实轴与虚轴相等，所以2a =，由双曲线焦点在x 轴上，可知双曲线方程为224x y -=.故选：D.3、已知双曲线的虚轴在y 轴上，且虚轴长为，离心率为3，则该双曲线方程为（）．A．2218y x -=B．2218y x -=C．22198x y -=D．2218x y -=【答案】A【解析】设双曲线方程22222221,x y a b c a b-=+=，32c b a⎧⎪⎨==⎪⎩，所以1,a b ==所以双曲线方程为2218y x -=，故选：A4、已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的实轴的长度比虚轴的长度大2，焦距为10，则双曲线的方程为（）A．221164x y -=B．221169x y -=C．221916x y -=D．221259x y -=【答案】B【解析】依题意可得222222500a b a b a b -=⎧⎪+=⎨⎪>>⎩，，得43a b =⎧⎨=⎩，所以双曲线的方程为221169x y -=．故选B．5、以椭圆22x y 143+=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（）A．22y x 13-=B．22y x 13-=C．22x y 143-=D．22x y 134-=【答案】B【解析】设双曲线为22221x y a b-=，由椭圆22143x y +=得焦点为（±1，0），顶点为（±2，0）．∴双曲线的顶点为（±1，0）焦点为（±2，0）．∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2﹣a 2＝3．∴双曲线为2213y x -=．故选B ．【题组3与双曲线的渐进线相关的问题】1、双曲线()221R x my m -=∈的右焦点坐标为()2,0，则该双曲线的渐近线方程为（）A．13y x =±B．3y x=±C．y =D．y x =【答案】C【解析】双曲线221(R)x my m -=∈，即2211y x m-=的右焦点坐标为()2,0，所以2112m +=，解得13m =，所以双曲线方程为2213y x -=，则双曲线的渐近线为y =；故选：C2、若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>）A．12y x =±B．y =C．y =D．2y x=±【答案】D【解析】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>即c a =，所以2222215a b b a a +=+=，则2ba=，故C 的渐近线方程为2y x =±.故选：D.3、与双曲线221x y -=有相同的渐近线，且过点()2,1的双曲线的标准方程为___________.【答案】22133y x -=【解析】由题意可知，设()220x y λλ-=≠，因为所求双曲线过点()2,1，所以2221λ-=，解得3λ=.所以所求双曲线的标准方程为：22133y x -=.故答案为：22133y x -=.4、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 为虚轴上的端点，若12AF F △是顶角为120︒的等腰三角形，则C 的渐近线方程为（）A．22y x =±B．y =C．2y x=±D．y =±【答案】A【解析】设原点为O ，由12AF F △是顶角为120︒的等腰三角形，可1||tan 303OA b OF c ==︒=，c ∴=，a =，22b a ∴=故C 的渐近线方程为22y x =.故选：A.5、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F且斜率为-直线与双曲线在第二象限交于点A ，M 为2AF 的中点，且120MF MF ⋅=，则双曲线C 的渐近线方程是（）A．y =B．3y x =±C．125y x =±D．512y x =±【答案】A【解析】由1AF k =-12tan AF F ∠=-又121212sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠=∠，且221212sin cos 1AF F AF F ∠+∠=，解得121cos 8AF F ∠=-或121cos 8AF F ∠=（舍去），由12MF MF ⊥且M 为2AF 的中点，知1122AF F F c ==，∴2222214422298AF c c c c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，∴23AF c =，∴212a AF AF c =-=，又222c a b =+，∴b =，∴渐近线方程为y =.故选：A【题组4求双曲线的离心率的值或取值范围】1、双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，则其离心率为（）A．3D．5【答案】A【解析】由条件可知b a =3c a =.故选：A2、设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，若双曲线上存在点M 满足1222MF MO MF ==，则双曲线的离心率为（）A．6B．3【答案】C【解析】因为1222MF MO MF ==,则2MO MF =，M 在双曲线右支上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为A ，则A 为2OF 的中点，所以22cAF =，132c AF =，设2MF m =，则12MF m =，故在1Rt MAF △中，2229||44MA m c =-.在Rt 2MAF 中，222||4cMA m =-，则22229444c m c m -=-，即2232m c =.因为122MF MF a -=，则2m a =，所以223(2)2a c ⨯=，即226c a =，所以ce a==3、已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积为S ，且满足232S p =，则该双曲线的离心率为（）A．32B．2C．2【答案】C【解析】由题意可得，121222MF MF a p MF MF ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1244p MF a p MF a⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又12F F 为直径，所以四边形12F NF M 为矩形，所以22124p S MF MF a ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，又232S p =，所以222324p p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2232p a =，由2221212MF MF F F +=，得222248p a c +=，即2232a c =，所以22232c e a ==，即2e =．故选：C．4、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，1A ，2A 是实轴顶点，F 是右焦点，(0,)B b 是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得12(1,2)i PA A i =△构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（）．A．⎭B．⎭C．⎛ ⎝⎭D．⎫+∞⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】以1A ，2A 为直径的圆与线段BF 有两个不同的交点，所以b a >，2222b c a a =->，解得ce a=>且圆心(0,0)到直线BF ：0bx cy bc +-=的距离d a =<，化简得2b ac <，所以22c a ac -<，210e e --<，又1e >，解得1e <e <<5、已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若221PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是（）A．()1,+∞B．(]2,3C．(]1,3D．(]1,2【答案】C【解析】1F ，2F 是左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，所以212PF PF a -=，代入221PF PF 得()22212111124448PF a PF a PF a a a PF PF PF +==+++= ，当且仅当12PF a =时取等号，即12PF a =，又点P 是双曲线左支上任意一点，所以1PF c a - ，即23a c a e -⇒ ，13e < .故选：C．【题组5直线与双曲线的位置关系】1、直线1y x =+与双曲线221x y -=的交点个数为______．【答案】1【解析】由2211y x x y =+⎧⎨-=⎩得：10x y =-⎧⎨=⎩，∴直线1y x =+与双曲线221x y -=有且仅有1个交点.故答案为：1.2、判断直线)1y x =-与双曲线221x y -=的公共点的个数．【答案】2.【解析】由)2211y x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，可得2320x x -+=，∴()234210∆=--⨯=>，∴直线)1y x =-与双曲线221x y -=的公共点的个数为2.3、已知双曲线22:13x C y -=，直线:10l x -=，求直线l 与双曲线C 的公共点的坐标．【答案】2,3⎛ ⎝⎭.【解析】直线l 与双曲线C的公共点的坐标就是方程组221013x x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩的解，解之得，2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线l 与双曲线C的公共点的坐标为⎛ ⎝⎭.4、（多选）下列曲线中与直线23y x =--有交点的是（）A．4210x y +-=B．223x y +=C．2212y x -=D．2212x y -=【答案】BCD【解析】对于A,直线23y x =--和4210x y +-=的斜率都是﹣2，所以两直线平行，不可能有交点．对于B,由22233y x x y =--⎧⎨+=⎩，得251260x x ++=，1441200∆=->，所以直线与B 中的曲线有交点．对于C,由222312y x y x =--⎧⎪⎨-=⎪⎩，得221270x x ++=，212560∆=->，所以直线与C 中的曲线有交点．对于D,由222312y x x y =--⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2724200x x ++=，2245600∆=->，所以直线与D 中的曲线有交点．故选：BCD5、过点P （4，4）且与双曲线221169x y -=只有一个交点的直线有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】D【解析】双曲线方程为：221169x y -=，当k 不存在时，直线为x ＝4，与221169x y -=1的图象有且只有一个公共点，当k 存在时，直线为：y ＝k （x ﹣4）+4，代入双曲线的方程可得：()()2222916128128256+5124000k x kk x k k -+---=，（1）若2916k -＝0，k 34=±时，y ＝34±（x ﹣4）+4与双曲线的渐近线y 34=±x 平行，所以与双曲线只有1个公共点，（2）k 34≠±时，()()()222212812849162565124000k k k k k ∆=----+=，即k 2532=，此时直线y 2532=（x ﹣4）+4与双曲线相切，只有1个公共点．综上过点P （4，4）且与该双曲线只有一个公共点的直线4条．故选：D.【题组6直线与双曲线相交弦长问题】1、过双曲线22136x y -=的右焦点作倾斜角为30°的直线l ，直线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，则AB 的长为______．【解析】双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F ，所以直线l的方程为3)y x =-．由221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得256270x x +-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-，所以1635AB ===．2、已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，与直线y ＝12x 交于A ，B 两点，若|AB |）A．x 2－y 2＝6B．x 2－y 2＝9C．x 2－y 2＝16D．x 2－y 2＝25【答案】B【解析】设等轴双曲线的方程为x 2－y 2＝a 2(a ＞0)，与y ＝12x 联立，得34x 2＝a 2，∴|AB×3aa ＝3故选B.3、已知双曲线x 223y -=1，过点P （2，1）作一条直线交双曲线于A ，B ，并使P 为AB 的中点，求AB 所在直线的方程和弦AB 的长【答案】AB 直线方程：6x ﹣y ﹣11＝0；AB的长为33.【解析】易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y ﹣1＝k （x ﹣2）由221213y k x y x -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩（）得（3﹣k 2）x 2+2k （2k ﹣1）x ﹣4（k 2﹣k +1）＝0设此方程两实根为x 1，x 2，则x 1+x 222213k k k -=-（）又P （2，1）为AB 的中点，所以22213k k k -=-（）4，解得，k ＝6当k ＝6时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的0∆>,所求直线AB 的方程为y ﹣1＝6（x ﹣2）化成一般式为6x ﹣y ﹣11＝0．∴|AB|4244233==．4、已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12，记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）若直线l ：3y x =-和曲线C 相交于E ，F 两点，求EF .【答案】（1）22142x y -=（2x ≠±）；（2）【解析】（1）设(),M x y ，则AM ，BM 的斜率分别为12yk x =+，22y k x =-，由已知得1222y y x x ⋅=+-，化简得22142x y -=（2x ≠±），即曲线C 的方程为22142x y -=（2x ≠±）；（2）联立221423x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩消去y 整理得212220x x -+=，设()11,E x y ，()22,F x y ，则1212x x +=，1222x x =，12EF x =-==5、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0）．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l ：y ＝x +2与双曲线交于A ，B 两点，求弦长|AB |．【答案】（1）23x -y 2＝1；【解析】（1）由已知得a =c ＝2，再由c 2＝a 2+b 2，得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为23x -y 2＝1．（2）由直线与双曲线联立得2x 2+12x +15＝0，解得x ＝﹣3±62,AB,∴|AB|=【题组7双曲线的中点弦与点差法】1、已知椭圆22154x y +=，倾斜角为4π的直线l 与椭圆分别相交于A .B 两点，点P 为线段AB的中点，O 为坐标原点，则直线OP 的斜率为（）A．15-B．45-C．15D．45【答案】B【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则22112222154154x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②整理得1212121211()()()()054x x x x y y y y +-++-=，又因为1212tan 14y y x x π-==-，则12120y y x x -=-≠，所以121211()()054x x y y +++=，又因为点P 为线段AB 的中点，则1201202,2x x x y y y +=+=，所以0021052x y +=，即0045y x =-，所以0045OP y k x ==-，即直线OP 的斜率为45-，故选：B.2、直线l 交双曲线2214x y -=于A 、B 两点，且(4,1)P 为AB 的中点，则l 的斜率为（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因点A ，B 在双曲线2214xy -=上，则221114x y -=，222214x y -=，两式相减得：121212121()(0)()()4x x x x y y y y +--+-=，因P 为AB 中点，则128x x +=，122y y +=，于是得2121y y x x --＝1，即直线l 的斜率为1，此时，直线l 的方程为：3y x =-，由22344y x x y =-⎧⎨-=⎩消去y 并整理得：2324400x x -+=，2244340960∆=-⨯⨯=>，即直线l 与双曲线2214x y -=交于两点，所以直线l 的斜率为1.故选：D3、已知直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，且AB 的中点坐标为（1，2），则直线l 的斜率为（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】C【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，由AB 的中点坐标为（1，2），则12x x ≠，且12122,4x x y y +=+=所以1212AB y y k x x -=-又A ，B 两点在双曲线2212y x -=上，所以221112y x -=，222212y x -=，由两式相减可得2222121222y y x x -=-，即()()()()121212122y y y y x x x x ---+=所以()()()121212122y y y y x x x x -++=-，即44AB k =,所以1AB k =此时直线l 的方程为：1y x =+由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2230x x --=，4+430∆=⨯>满足条件.故选：C4、已知双曲线224x y -=，若过点P 作直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则点P 的坐标可能是（）A．()1,1B．()1,2C．()2,1D．()2,2【答案】B【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，由题得22111212121222224()()()()04x y x x x x y y y y x y ⎧-=∴+--+-=⎨-=⎩，，所以1200120121202()2()0,y y xx x x y y y k x x y ----=∴==-.当P 的坐标为()1,2时，1,2k =直线AB 的方程为1132(1),222y x y x -=-∴=+.把1322y x =+代入双曲线方程得0∆>.对于选项A,C,D 中点P 的坐标经检验得，不满足0∆>.故选：B5、已知倾斜角为π4的直线与双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，相交于A ，B 两点，(1,3)M 是弦AB 的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（）A．B．3C．D．2±【答案】A【解析】设1122(,)(,)A x y A x y 、，则12121212++y y =1=3,122x x y y x x -=-，由22112222222211y x a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得()()()()12121212220y y y y x x x x a b -+-+-=则22620a b-=，即22=3a b，则a =则双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的渐近线的斜率为a b ±=的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP的斜率为C 的离心率为（）B．2D．3【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得2222121222x x y y a b --=，所以2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+.因为1202x x x +=，1202y y y +=，所以21202120-=⋅-y y b x x x a y .因为1212AB y y k x x -==-，00OP y k x ==2=224b a=，故e =【题组8双曲线的定点定值与最值问题】1、已知双曲线2221x y a-=的渐近线倾斜角分别为30°和150︒，F 为其左焦点，P 为双曲线右支上一个动点.（1）求||PF 的取值范围，并说明理由；（2）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为,Q R ，求证：||||PQ PR ⋅为定值.【答案】（1）)+∞，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）双曲线渐近线方程为y x =，又1b =，所以23a =，双曲线的标准方程为2213x y -=，则(F ，设00(,)P x y ，0)x ∈+∞则22220000||((13x PF x y x =++=++-200413x =++所以2||5PF ≥+…所以||PF 的取值范围是)+∞（2）因为2200|3|||||4x y PQ PR -⋅==又220013x y -=，所以3||||4PQ PR ⋅=为定值.2、已知P 是平面上的动点，且点P 与12(2,0),(2,0)F F -的距离之差的绝对值为P 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）设不与y 轴垂直的直线l 过点1F 且交曲线E 于M ，N 两点，曲线E 与x 轴的交点为A ，B ，当||MN ≥AM NB AN MB ⋅+⋅的取值范围．【答案】（1）22122x y -=；（2）(,4][12,)-∞-+∞【解析】（1）依题意，P 是平面上的动点，且点P 与12(2,0),(2,0)F F -的距离之差的绝对值为即12124PF PF F F -=<=，根据双曲线的定义，可得点P 的轨迹E 是以12(2,0)(2,0)F F -、为焦点，其中224a c ==，所以2a c ==，则b =所以轨迹E 的方程为22122x y -=．（2）设直线l 方程为(2)y k x =+，点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程组22(2)122y k x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()()222214420k x k x k ---+=，可得()222121222442,,81011k k x x x x k k k++==-∆=+>--且21k ≠．由弦长公式，可得221||1k MN k +=-因为||MN ≥22121k k +≥-，解得2113k ≤<或213k<≤因为(A B，所以())())11222211,,AM NB AN MB x y x y x y x y ⋅+⋅=+⋅--++⋅-()()21212121242242222x x y y x x k x x =--=--++()()222121228422481k x x k x x k k =-+-+-=-，因为2113k ≤<或213k <≤，所以28(,4][12,)1k ∈-∞-+∞-，所以AM NB AN MB ⋅+⋅的取值范围是(,4][12,)-∞-+∞．3、已知双曲线C 经过点(P ，它的两条渐近线分别为0x=和0x -=.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设双曲线C 的左､右焦点分别为1F ､2F ，过左焦点1F 作直线l 交双曲线的左支于A ､B 两点，求2ABF 周长的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）∞⎫+⎪⎪⎢⎭⎣【解析】（1）设双曲线C 的方程为223x y λ-=，代入点(P ，得22333λ=-=，所以双曲线C 的标准方程为2213x y -=.（2）双曲线C 的左焦点为)(12,0F -，设)(11,A x y ､)(22,B x y ，①若直线l 的斜率不存在，则:2l x =-，得A ､B的坐标分别为⎛- ⎭⎝和2,⎛- ⎭⎝，此时ABC的周长为3.②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)(2y k x =+，由)(22213y k x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩得)(222213121230k x k x k ----=，因为直线l 交双曲线的左支于A ､B 两点，所以)()()(222222122212213012413123012013123013k k k k k x x k k x x k ⎧-≠⎪⎪∆=----->⎪⎪⎨+=<⎪-⎪--⎪=>⎪-⎩，得213k >设2ABF 的周长为z，22112z AF BF AB AF BF AB AB =++=++=======设231t k =-，由213k >，得0t >，11163163333t z t t ++==+，0t >，所以,3z ∞⎛⎫∈+ ⎪⎪ ⎭⎝，综上，由①②可得2ABF 的周长的取值范围∞⎫+⎪⎪⎢⎭⎣.4、已知双曲线2212y x -=，斜率为k (0)k ≠的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点.（1）若直线l 过(0,1)P ，且3PB AP =，求直线l 的斜率k .（2）若线段AB 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为92，求k 的取值范围.【答案】（1）1；（2）,2)(((2,)-∞-+∞U U U 【解析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，因为3BP AP =，所以3PB AP →→=，即2211(,1)3(,1)x y x y -=--，所以2121343x x y y =-⎧⎨=-⎩，所以2211221112(43)(3)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，所以11x =-，10y =，即(10)A -，，所以1011AP k k -===.（2）设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．由2212y kx my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(2)220k x kmx m ----=．则12222km x x k +=-，212222m x x k --=-因为直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A，B 两点于是22k -≠0，且222(2)4(2)(2)0km k m ∆=-+-+>．整理得2220m k +->．设线段AB 的中点坐标00(,)x y ，则120222x x km x k +==-，00222my kx m k =+=-．所以AB 的垂直平分线方程为2221()22m kmy x k k k -=----．此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为23(,0)2km k -，23(0,)2mk -．由题可得221339||||2222km m k k ⋅=--．整理得222(2)||k m k -=，0k ≠．所以可得222(2)20||k k k -+->，整理得22(2)(||2)0k k k --->，0k ≠．解得0||k <<或||2k >．所以k的取值范围是,2)(((2,)-∞-+∞U U U ．5、在平面直角坐标系中，动点(),M x y 与定点()5,0F 的距离和M 到定直线16:5l x =的距离的比是常数54，设动点M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设()2,0P ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于,A B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.【答案】（1）221169x y -=；（2）证明见解析【解析】54=，即222162516(5)5x y x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，整理得221169x y -=；（2）设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，显然直线AP 斜率不为0，设直线AP 方程为2x my =+，联立2211692x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 并整理得()22916361080m y my -+-=，由题设29160m -≠且()22Δ(36)41089160m m =+⨯->，化简得243m >且2169m ≠，由韦达定理可得12236916m y y m -+=-，122108916y y m -=-，直线BD 的方程是()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =得()()()21112212112112121222x x y y my y my x y x y x xy y y y y y -++++=+==+++()1212121212221082222836my y y y y y m m y y y y m++==⨯+=⨯+=++，所以直线BD 过定点()8,0.。

双曲线高中数学精讲(试题版)

专业专心专注第02讲双曲线(重点题型方法与技巧)题型一:双曲线的定义及辨析1设F 1，F 2分别是双曲线x 2-y 29=1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1 =3，则PF 2 =( )A.5 B.1 C.3 D.1或52已知双曲线C ：x 29-y 25=1的左右焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线C 的右支上，点P 关于原点的对称点为Q ，则PF 1 -QF 1 =( )A.4B.25C.6D.2133如图，F 为双曲线C :x 29-y 216=1的左焦点，双曲线C 上的点P i 与P 7-i i =1,2,3 关于y 轴对称，则P 1F +P 2F +P 3F -P 4F -P 5F -P 6F =______．OxyP 1P 2P 3P 4P 5P64已知双曲线C :x 2a2-y 227=1a >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，其一条渐近线倾斜角为π3，若点P 在双曲线上，且PF 1 =7，则PF 2 =．5已知双曲线C :x 24-y 25=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，已知点P 在双曲线右支上且在第一象限，点M 2,1 为三角形PF 1F 2的内心，则S △PMF 1-S △PMF 2=.题型二:双曲线的标准方程1x 2+(y -3)2-x 2+(y +3)2=4表示的曲线方程为( )A.x 24-y 25=1(x ≤-2) B.x 24-y 25=1(x ≥2)C.y 24-x 25=1(y ≤-2) D.y 24-x 25=1(y ≥2)2若方程x 2m 2+1-y 2m 2-3=1表示双曲线，则实数m 满足( )A.m ≠1且m ≠-3 B.m >1C.m <-3或m >3D.-3<m <13已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的焦距为25，点P 2,1 在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( )第1页共14页自信自强博观而约取厚积而薄发A.x 24-y 2=1B.x 2-y 24=1 C.x 220-y 25=1D.x 25-y 220=14南非双曲线大教堂由伦敦著名的建筑事务所完成．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2-x 2b 2=1(a >0，b >0)下支的一部分，且此双曲线过点1,-2 ，离心率为62，则此双曲线的方程为( )A.y 22-x 2=1B.y 22-x 23=1C.y 22-x 24=1D.y 23-x 23=15已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左顶点与抛物线y 2=2px p >0 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为-2,1 ，则双曲线的方程为( )A.x 236-y 29=1 B.x 23-y 22=1C.x 24-y 2=1D.x 24-y 22=16一动圆P 过定点M -4,0 ，且与已知圆N ：x -4 2+y 2=16相切，则动圆P 的轨迹方程是()A.x 24-y 212=1(x ≥2)B.x 24-y 212=1(x ≤2)C.y 24-x 212=1D.x 24-y 212=17已知m ∈R ，则“m >4”是“方程x 24-m +y 2m -3=1表示双曲线”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8已知动圆M 与圆C 1:x +2 2+y 2=1，圆C 2:x -2 2+y 2=4都外切，则动圆M 的圆心轨迹方程是；9求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a =4，经过点A 1,4103；(2)焦点y 轴上，且过点3,-42 ，94,5 .题型三:双曲线中的焦点三角形问题1角度：焦点三角形的边长或周长问题1已知F 为双曲线C :x 29-y 216=1的左焦点，P ，Q 为双曲线C 右支上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A 5,0 在线段PQ 上，则△PFQ 的周长为( )A.28B.36C.44D.48第2页共14页专业专心专注2设点P 在双曲线x 29-y 216=1上，若F 1､F 2为双曲线的两个焦点，且PF 1: PF 2 =1:3，则△F 1PF 2的周长等于( )A.22B.16C.14D.123已知双曲线y 2m -x 22=1m >0 ，直线l 过其上焦点F 2，交双曲线上支于A ，B 两点，且AB =4，F 1为双曲线下焦点，△ABF 1的周长为18，则m 值为( )A.8B.9C.10D.2544已知F 1，F 2分别为双曲线x 24-y 2=1的左右焦点，过F 2作一条直线l 与双曲线的右支交于P ，Q 两点，若PQ =2，则△PF 1Q 的周长为()A.8B.10C.12D.145已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，线段AB 的长为5，若2a =8，那么△ABF 2的周长是()A.16B.18C.21D.266已知F 1,F 2是离心率等于133的双曲线C :x 2m -y 24=1的左右焦点，过焦点F 2的直线l 与双曲线C 的右支相交于A ，B 两点，若△ABF 1的周长20，则|AB |等于()A.10B.8C.6D.42角度：焦点三角形的面积1设F 1-2,0 ，F 22,0 ，M x ,y 满足MF 1 -MF 2 =2，且x 2+y 2=4，则△F 1F 2M 的面积为( )A.3B.32C.9D.922已知P 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a ,b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1 ⋅PF 2=0，若△PF 1F 2的面积为9，则a +b 的值为__________.3已知F 1，F 2为双曲线C ：x 216-y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且PQ =F 1F 2 ，则四边形PF 1QF 2的面积为________．4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为3，焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上．若△AF 1F 2的周长为14a ，则△AF 1F 2的面积是.5已知F 1，F 2为双曲线x 24-y 28=1的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足PF 1=2PF 2，则△PF 1F 2的面积为．6已知F 1(-4,0)､F 2(4,0)是双曲线C :x 2m-y 24=1m >0 的两个焦点，点M 是双曲线C 上一点，且∠F 1MF 2=60°，求△F 1MF 2的面积.3角度：焦点三角形的其他问题第3页共14页自信自强博观而约取厚积而薄发1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2，C 的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 的右支上，PF 1的中点N 在圆O ：x 2+y 2=c 2上，其中c 为半焦距，则sin ∠F 1PF 2=( )A.74B.32C.34D.182已知双曲线C ：x 2-y 22=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点G 位于第一象限的双曲线C 上，∠F 1GF 2的角平分线GP 与x 轴的交点为P 33,0 ，则∠F 1GF 2=( )A.π6B.π4C.π3D.π23已知点P 是双曲线C :x 24-y 25=1右支上一点，F 1、F 2为双曲线C 的左、右焦点，若△PF 1F 2的周长为16，点O 为坐标原点，则PO ⋅F 1F 2=()A.20B.-20C.40D.-404已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2-y 2=2的左､右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=.题型四:双曲线中线段和、差最值1已知双曲线x 2m -y 25=1(m >0)的一条渐近线方程为5x +2y =0，左焦点为F ，点P 在双曲线右支上运动，点Q 在圆x 2+(y -4)2=1上运动，则|PQ |+|PF |的最小值为( )A.22+4B.8C.22+5D.92已知F 是双曲线x 24-y 212=1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |+|PA |的最小值为( )A.9B.8C.7D.63双曲线C 的渐进线方程为y =±233x ，一个焦点为F (0,-7)，点A (2,0)，点P 为双曲线的第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( )A.6B.10C.4+37D.3+374已知F 1,F 2双曲线C :x 2a2-y 216=1a >0 的左右焦点，点A 在双曲线的右支上，点P 7,2 是平面内一定点，若对任何实数m ，直线4x +3y +m =0与双曲线C 至多有一个公共点，则AP +AF 2 的最小值()A.237-6B.10-35C.8-37D.25-25已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 24-y 2=1的左、右焦点，动点P 在双曲线的左支上，点Q 为圆G :x 2+(y +2)2=1上一动点，则|PQ |+PF 2 的最小值为()A.6B.7C.3+5D.56已知双曲线x 23-y 2=1的左右焦点分别为F 1､F 2，P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为第4页共14页专业专心专注-2,3 ，则PQ +PF 1 的最小值为.7已知双曲线的方程为x 2-y 24=1，如图所示，点A -5,0 ，B 是圆x 2+y -5 2=1上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则MA +MB 的最小值为Oxy AMBC题型五:与双曲线有关的轨迹问题1动圆M 与圆C 1：x +4 2+y 2=1，圆C 2：x 2+y 2-8x +7=0，都外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 215+y 2=1B.x 2-y 215=1C.x 2-y 215=1x ≥1 D.x 2-y 215=1x ≤-1 2x 2+(y -3)2-x 2+(y +3)2=4表示的曲线方程为A.x 24-y 25=1(x ≤-2)B.x 25-y 24=1(x ≥2)C.y 24-x 25=1(y ≤-2)D.y 24-x 25=1(y ≥2)3一个动圆P 与两个定圆O 1:x 2+y 2=1，O 2:x -4 2+y 2=9均内切，那么动圆P 的圆心的轨迹方程是______.4已知F 1-3,0 ，F 23,0 ，若点P x ,y 满足PF 1 -PF 2 =m m ≥0 ，则P 点的轨迹是什么，并求点P 的轨迹方程.5如图所示，已知定圆F 1：x +5 2+y 2=1，定圆F 2：x -5 2+y 2=16，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．第5页共14页自律自信自强博观而约取厚积而薄发6设A 0,-4 ，B 0,4 ，PB -PA =2，则动点P 的轨迹方程为，P 到坐标原点的距离的最小值为．题型六:双曲线的离心率问题1角度：求双曲线的离心率或离心率取值范围1中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为( )A.6B.5C.62D.522若双曲线x 2-y 2b 2=1的一个焦点到渐近线的距离为3，则该双曲线的离心率为( )A.12B.22C.2D.23已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在直线x =c 上运动，若∠A 1PA 2的最大值为π3，则双曲线的离心率为( )A.233B.322C.2D.34已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若PF 12PF 2 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A.1,2B.1,3C.1,3D.2,45已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，A 1，A 2是实轴顶点，F 是右焦点，B (0,b )是虚轴端点，若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i =1,2)，使得△P i A 1A 2(i =1,2)构成以A 1A 2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是( )．A.2,6+12B.2,5+12C.1,5+12D.5+12,+∞6已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一个焦点F (c ,0)到C 的一条渐近线的距离为27c ，则C 的离心率为()A.11215B.335C.7515D.16157已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若PF 22PF 1 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是()A.1,+∞B.2,3C.1,3D.1,28已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2,F 1F 2 =4，若线段x -y +4=0-2≤x ≤8 上存在点M ，使得线段MF 2与E 的一条渐近线的交点N 满足：F 2N =14F 2M ，则E 的离第6页共14页专业专心专注心率的取值范围是.2角度：由双曲线的离心率求参数的取值范围1已知圆锥曲线mx 2+y 2=-1的离心率为2，则实数m 的值为( )A.-3B.-13C.13D.32已知双曲线C 1:y 2a 2-x 2b 2=1及双曲线C 2:x 2b 2-y 2a2=1a >0,b >0 ，且C 1的离心率为5，若直线y =kx k >0 与双曲线C 1、C 2都无交点，则k 的值是( )A.2B.12C.5D.13平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A 1，0 ，B 0，-2 ，点C 满足：OC =mOA +nOB其中m ,n ∈R ，且m -2n =1. 已知点C 的轨迹与双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0,a ≠b )交于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆过原点，若双曲线的离心率不大于3，则双曲线实轴长的取值范围为( )A.0，22B.0，33C.0，32D.0，14已知点F 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ，若△OAF (点O 为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率e ∈17,65 ，则a 的取值范围为__________．5双曲线x 2m -y 24=1的离心率为3，则实数m 的值为()A.±2B.2C.2D.36双曲线x 29-y 2k =1的离心率的取值范围为2,3 ，则实数k 的取值范围为()A.k >1B.k <9C.9<k <18D.1<k <97已知点F 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ，若△OAF (点O 为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率e ∈17,65 ，则a 的取值范围为()A.1,2B.1,2C.24,1D.22,18已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0，b >0 的右顶点为A ，若以点A 为圆心，以b 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，点O 为坐标原点，且OM =5ON，则双曲线C 的离心率为．题型七:双曲线渐近线问题1若直线x =4y +7与双曲线C ：ax 2-y 2=1a >0 的一条渐近线平行；则a 的值为( )A.116B.14C.4D.162实轴在x 轴上，实轴长为12，一条渐近线的方程为x3+y 2=0的双曲线方程为______．第7页共14页自信自强博观而约取厚积而薄发3已知双曲线Γ:y 2a 2-x 2b 2=1a >b >0 的上焦点为F (0,c )(c >0)，M 是双曲线下支上的一点，线段MF 与圆x 2+y 2-2c 3y +a 29=0相切于点D ，且MF =3DF ，则双曲线Γ的渐近线方程为_________.4以椭圆x 213+y 23=1的焦点为焦点，以直线y =±12x 为渐近线的双曲线方程为．5已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 在双曲线上，若F 1F 2 =2OP ，PF 2 =2PF 1 ，则此双曲线的渐近线方程为.6椭圆C 1：x 24+y 23=1与双曲线C 2：x 2a 2-y 2b2=1的离心率之积为1，则双曲线C 2的两条渐近线的倾斜角分别为，.题型八:双曲线中的弦长问题1角度：求双曲线中的弦长1已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y =x +2与双曲线交于A ，B 两点，求弦长|AB |．2已知曲线C ：x 22+m -y 2m +1=1.(1)若曲线C 是双曲线，求m 的取值范围；(2)设m =0，已知过曲线C 的右焦点F ，倾斜角为π4的直线l 交曲线C于A ，B 两点，求AB .3已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e =62，且双曲线C 过点P 2,1 ．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l :y =kx -1与双曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为-2，求线段AB 的长．4已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 与双曲线y 26-x 22=1的渐近线相同，且经过点2,3 ．(1)求双曲线C 的方程；(2)已知双曲线C 的左右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过F 2，斜率为-1，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的值．5已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为3，点3,0 是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．2角度：根据弦长求参数1已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1过点2,3 ，给出以下2个条件：①离心率为2，②与双曲线y 23-x 2=1有相同的渐近线．(1)选一个条件，求出双曲线的方程．第8页共14页专业专心专注(2)直线l 与直线4x -2y -1=0平行，l 被C 截得的弦长为45，求直线l 的方程．2已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1b >0 ，直线l 与Γ交于P 、Q 两点．(1)若点3,0 是双曲线Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；(2)若点P 的坐标为-1,0 ，直线l 的斜率等于1，且PQ =823，求双曲线Γ的离心率．3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的实轴长为23，一个焦点的坐标为(-5,0).(1)求双曲线的方程；(2)若斜率为2的直线l 交双曲线C 交于A ,B 两点，且AB =4，求直线l 的方程.4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)与双曲线x 216-y 24=1有相同的渐近线，且双曲线C 过点4,3 ．(1)若双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线C 上有一点P ，使得∠F 1PF 2=60°，求△F 1PF 2的面积；(2)过双曲线C 的右焦点F 2作直线l 与双曲线右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长是403，求直线l 的方程．题型九:双曲线中三角形(四边形)面积问题1角度：定值问题1已知过点M (2,23)的直线l 与双曲线E :x 24-y 23=1交于A ,B .(1)求与双曲线E :x 24-y 23=1共渐近线且过点M 的双曲线的方程；(2)若线段AB 的中点为M ，求直线l 的方程和三角形AOB 面积.2已知曲线C ：x 2-y 2=1及直线l ：y =kx -1．且直线l 与双曲线C 有两个不同的交点A ，B ．(1)求实数k 的取值范围；(2)O 是坐标原点，且ΔAOB 的面积为2，求实数k 的值．3设P 是双曲线C :x 24-y 216=1右支上任意一点，O 为坐标原点．(1)过点P 分别做两条渐近线的垂线，垂足分别是E 、F ，求|PE ⋅ PF |的值；(2)过点P 的直线与两条渐近线分别交于A 、B 两点，且满足AP =2PB，求△AOB 的面积．2角度：最值问题1设双曲线C :x 23-y 2=1，其右焦点为F ，过F 的直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点．(1)求直线l 倾斜角θ的取值范围；(2)直线AO (O 为坐标原点)与曲线C 的另一个交点为D ，求△ABD 面积的最小值，并求此时l 的方程．2已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的实轴长为22，F 为右焦点，M 0,1 ，N 0,-1 ，且△MNF 为等边三角形.(1)求双曲线E 的方程；(2)过点M 的直线l 与E 的左右两支分别交于P 、Q 两点，求△PQN 面积的取值范围.第9页共14页自信自强博观而约取厚积而薄发3在一张纸上有一圆C ：x +5 2+y 2=64，定点M 5,0 ，折叠纸片使圆C 上某一点M 1恰好与点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线M 1C 的交点为T .(1)求点T 的轨迹C 方程；(2)曲线C 上一点N ，点A 、B 分别为直线l 1：y =34x 在第一象限上的点与l 2：y =-34x 在第四象限上的点，若AN =λNB ，λ∈13,2，求△AOB 面积的取值范围.题型十:双曲线中的中点弦问题1角度：点差法1已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2，直线l 与C 交于P ,Q 两点，D 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则l 与OD 的斜率的乘积为( )A.2B.3C.4D.62如图，双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0，b >0 ，AB 是圆M :(x +2)2+(y -1)2=52的一条直径，若双曲线C 过A ，B 两点，且离心率为2，则直线AB 的方程为( )A.3x +y +7=0B.4x +y +6=0C.x +y +5=0D.2x +y +3=03已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 相交于B ，D 两点，且BD 的中点为M 1,3 ，则C 的离心率是______．4双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，经过C 的焦点垂直于x 轴的直线被C 所截得的弦长为12.(1)求C 的方程；(2)设A ，B 是C 上两点，线段AB 的中点为M 5,3 ，求直线AB 的方程.第10页共14页5不垂直于坐标轴的直线l 与双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的渐近线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M ，AB 和OM 的斜率满足k AB ⋅k OM =2，则顶点在坐标原点O ，焦点在x 轴上，且经过点P (a ,b )的抛物线方程是()A.y 2=4x B.y 2=2xC.y 2=2xD.y 2=22x 6已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，直线l 交双曲线两条渐近线于点A 、B ，M 为线段AB 的中点，设直线l 、OM 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1⋅k 2=32，则渐近线方程为．7设直线2x -y +1=0与椭圆x 23+y 24=1相交于A ､B 两点.(1)求弦长AB ；(2)已知椭圆具有性质：设A ､B 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1上任意两点，M 是线段AB 的中点，若直线AB ､OM 的斜率都存在，并记为k AB ､k OM ，则k AB ⋅k OM 为定值.试对双曲线x 2a 2-y 2b2=1写出具有类似特征的性质，并加以证明.2角度：韦达定理法1已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的实轴长为2，一条渐近线方程为2x -y =0(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知倾斜角为3π4的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程．2已知双曲线x 24-y 2=1，求过点A (3,-1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程.3已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的两条渐近线所成的锐角为60°且点2,3 是E 上一点．(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若过点P 1,1 的直线l 与E 交于A ，B 两点，点P 能否为线段AB 的中点？并说明理由．4已知a >b >0，如图，曲线Γ由曲线C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(y ≤0)和曲线C 2:x 2a 2-y 2b2=1(y >0)组成，其中点F 1，F 2为曲线C 1所在圆锥曲线的焦点，点F 3，F 4为曲线C 2所在圆锥曲线的焦点，F 2(2，0)，F 4(6，0).Oxy F 1F 2F 3F 4A B (1)求曲线Γ的方程；(2)如图，作直线l 平行于曲线C 2的渐近线，交曲线C 1于点A ，B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线C 2的博观而约取厚积而薄发另一条渐近线上.题型十一:双曲线中定点问题1已知F 2(1,0)为椭圆C 1的右焦点且F 为双曲线C 2的右顶点，椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点是M 233,33．若点P 是双曲线右支上的动点，直线PF 2交y 轴于点Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否恒过定点？证明你的结论．2在平面直角坐标系中，动点M x ,y 与定点F 5,0 的距离和M 到定直线l :x =165的距离的比是常数54，设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设P 2,0 ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于A ,B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.题型十二:双曲线中定值问题1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)过点2,2 ，且渐近线方程为y =±2x .直线l 过点0,1 ，且与C 交于M ，N 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)在y 轴上是否存在定点Q ，使得QM ⋅QN 为定值？若存在，求出点Q 坐标；若不存在，说明理由.2如图，在平面直角坐标系中，F 1,F 2分别为双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，双曲线离心率为2，若点A 为双曲线右支上一点，且AF 1 -AF 2 =22，直线AF 2交双曲线于B 点，点D 为线段F 1O 的中点，延长AD ,BD ，分别与双曲线Γ交于P ,Q 两点.(1)若A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，求证：x 1y 2-x 2y 1=2y 2-y 1 ；(2)若直线AB ,PQ 的斜率都存在，且依次设为k 1,k 2.试判断k 2k 1是否为定值，如果是，请求出k 2k 1的值；如果不是，请说明理由.3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线C 右支上一动点P x 0,y 0 到两条渐近线l 1，l 2的距离之积为4b 25．(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 是曲线C 在点P x 0,y 0 处的切线，且l 分别交两条渐近线l 1，l 2于M 、N 两点，O 为坐标原点，证明：△MON 面积为定值，并求出该定值．4已知双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1-1,0 、A 21,0 ，离心率为2，过点F 2,0 斜率不为0的直线l 与Γ交于P 、Q 两点．(1)求双曲线Γ的渐近线方程；(2)记直线A 1P 、A 2Q 的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1k 2为定值．5已知椭圆C 1：x 2a2+y 26=1a >6 ，C 1的左右焦点F 1，F 2是双曲线C 2的左右顶点，C 1的离心率为63，C 2的离心率为2，点E 在C 2上，过点E 和F 1，F 2分别作直线交椭圆C 1于F ，G 和M ，N 点，如图.O x yF 1F 2FM E GN (1)求C 1，C 2的方程；(2)求证：直线EF 1和EF 2的斜率之积为定值；(3)求证：1FG +1MN为定值.6已知双曲线C 1的离心率e =3，虚轴在y 轴上且长为2．(1)求双曲线C 1的标准方程；(2)若斜率为1的直线m 交C 1于A 、B 两点，且直线m 与圆x 2+y 2=1相切，求证：OA ⊥OB ；(3)已知椭圆C 2:4x 2+y 2=1，若P 、Q 分别是C 1、C 2上的动点，且OP ⊥OQ ，探究点O 到直线PQ 的距离d 是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．题型十三:双曲线中定直线问题1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，F 为双曲线C 的右焦点，(2，3)是双曲线C 上的一个点.(1)求双曲线C 的方程；(2)若过F 且不与渐近线平行的直线l (斜率不为0)与双曲线C 的两个交点分别为M ，N ，记双曲线C 在点M ，N 处的切线分别为l 1，l 2，点P 为直线l 1与直线l 2的交点，试判断点P 是否在一条定直线上，若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由.(注：若双曲线方程为x 2a2-y 2b 2=1，则该双曲线在点x 0,y 0 处博观而约取厚积而薄发的切线方程为x 0x a 2-y 0y b 2=1)2已知双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)过点4,13 ，离心率为14，直线l :x =9交x 轴于点A ，过点A 作直线交双曲线Γ于M ,N 两点.(1)求双曲线Γ的标准方程；(2)若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；(3)设P ,Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，直线PM 与QN 的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.题型十四:双曲线中向量问题1已知双曲线C 的方程为2y 2a2-2x 2=1(a >0)，离心率为2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过E (0,1)的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，求EM ⋅EN 的取值范围.2已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y =33x -2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM +ON =tOD (O 为坐标原点)，求t 的值及点D 的坐标．。

3.2.1 双曲线(第一课时)(精练)(解析版)

3.2.1 双曲线【题组一双曲线的定义】1．（2019·山东青岛二中高二月考）平面内，一个动点P ，两个定点1F ，2F ，若12PF PF -为大于零的常数，则动点P 的轨迹为（） A ．双曲线 B ．射线C ．线段D ．双曲线的一支或射线【答案】D【解析】两个定点的距离为12F F ,当1212PF PF F F -<时，P 点的轨迹为双曲线的一支；当1212PF PF F F -=时，P 点的轨迹为射线；不存在1212PF PF F F ->的情况. 综上所述，P 的轨迹为双曲线的一支或射线. 故选：D2．（2019·上海市宜川中学高二期末）设P 是双曲线22143y x -=上的动点，则P 到该双曲线两个焦点的距离之差为（）A ．4B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题得24,2a a =∴=.由双曲线的定义可知P 到该双曲线两个焦点的距离之差24a =. 故选：A3．已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝0(|x|≥13)C ．x ＝0(|y|≥13) D ．以上都不对【答案】C【解析】∵||PF 1|－|PF 2||＝|F 1F 2|，∴点P 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线．所以点P 的轨迹方程为x ＝0(|y|≥13).故答案为：C4．（2020·四川内江）一动圆与两圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【答案】C【解析】设动圆圆心(,)M x y ，半径为r ，圆x 2+y 2＝1的圆心为(0,0)O ，半径为1，圆x 2+y 2﹣8x +12＝0，得22(4)4x y -+=，则圆心(4,0)C ，半径为2，根据圆与圆相切，则||1MO r =+，||2MC r =+，两式相减得||||1MC MO -=，根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支. 故选：C5．（2020·渝中）若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（） A ．11 B ．9C ．6D ．5【答案】B【解析】由双曲线22:1916x y E -=，可得3a =，由双曲线的性质可得：126PF PF -=，可得29PF =或23PF =-(舍去)，故选：B.6．双曲线的左右焦点为F 1,F 2，过点F 2的直线l 与右支交于点P,Q ，若|PF 1|=|PQ|，则|PF 2|的值为（） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】B 【解析】因为双曲线的左右焦点为F 1,F 2，过点F 2的直线l 与右支交于点P,Q ，若|PF 1|=|PQ|，利用双曲线的定义，以及直线与双曲线联立方程组得到弦长，得到|PF 2|的值为6选B 【题组二双曲线定义的运用】1．（2020·四川省遂宁市第二中学校）已知双曲线221259x y -=上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，则点M到左焦点2F 的距离是（） A ．8 B ．28C ．12D ．8或28【答案】D【解析】双曲线221259x y -=的5a =，3b =，c ==由双曲线的定义得12||||||210MF MF a -==，即为21810MF -=，解得28MF =或28.检验若M 在左支上，可得15MF c a ≥-=，成立；若M 在右支上，可得15MF c a ≥+=+，成立.故选：D2．（2020·全国高二课时练习）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．C ．(0,3)D ．)【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n-=+-表示双曲线，所以10{30n n +>->，解得1{3n n >-<，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ． 3．（2020·全国）“35m -<<”是“方程22153x y m m -=-+表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】可以直接求出方程22153x y m m -=-+表示双曲线的充要条件，即为(5)(3)035m m m -+>⇔-<<，因此可知条件和结论之间的关系是充要条件，因此选C.4．（2019·绥德中学高二月考（理））方程22111x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（）A ．11k -<<B ．0k >C ．0k ≥D ．1k >或1k <-【答案】D【解析】方程22111x y k k+=+-表示双曲线，则()()k k +-<110，解得1k >或1k <-.故选：D.5．（2019·黑龙江龙凤大庆四中高二月考（文））方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（） A ．－3＜m ＜0 B ．－3＜m ＜2 C ．－3＜m ＜4 D ．－1＜m ＜3【答案】A【解析】由题意知，()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A.6．（2020·山东青岛）已知曲线C 的方程为()222126x y k k k-=∈--R ，则下列结论正确的是（）A ．当8k时，曲线C 为椭圆，其焦距为4B ．当2k =时，曲线C C ．存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线D ．当3k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆()2249x y -+=相切【答案】B【解析】对于A ，当8k 时，曲线C 的方程为221622x y +=，轨迹为椭圆，焦距2c ==，A 错误；对于B ，当2k =时，曲线C 的方程为22124x y -=，轨迹为双曲线，则a =c =∴离心率==ce a，B 正确；对于C ，若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则26020k k -<⎧⎨-<⎩，解集为空集， ∴不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 错误；对于D ，当3k =时，曲线C 的方程为22173x y -=，其渐近线方程为7y x =±，则圆()2249x y -+=的圆心到渐近线的距离4214323035214910d ±===≠+，∴双曲线渐近线与圆()2249x y -+=不相切，D 错误.故选：B .7.（2019·浙江高二期末）设F 1,F 2是双曲线x 25−y 24=1的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且|PF 1|:|PF 2|=2:1，则ΔPF 1F 2的面积等于__________．【答案】12 【解析】由于x 25−y 24=1，因此a =√5，c =3，故|F 1F 2|=2c =6，由于|PF 1|:|PF 2|=2:1即|PF 1|=2|PF 2|，而|PF 1|−|PF 2|=2a =2√5，所以|PF 1|=4√5，|PF 2|=2√5，cos∠F 1PF 2=PF 12+PF 22−F 1F 222PF 1⋅PF 2=45，所以sin∠F 1PF 2=35，因此S ΔPF 1F 2=12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2=12. 8．（2019·湖北高二期中（文））已知双曲线2214x y -=的两个焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为_______．【解析】因为22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠212121212(||||)2||||2||||cos PF PF PF PF PF PF F PF =-+-∠,所以21212π4(41)(22)2||||2||||cos3PF PF PF PF +=⨯+-，12121π||||=44sin 23PF F PF PF S∴=⨯⨯=，【题组三双曲线标准方程】1．（2020·全国高三其他（文））已知双曲线221(0)6x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（）A ．22124x y -=B ．22148x y -=C ．2218y x -=D ．22128x y -=【答案】D【解析】由题意可得：22,6a m b m ==+，则实轴长为：由题意有：2=，解得：2m =，代入2216x y m m -=+可得双曲线方程为22128x y -=.本题选择D 选项.2．（2020·全国高二月考（文））过双曲线C ：22221x y a b -=的左焦点F 的直线，恰好与圆222x y a +=相切，C 的右顶点为A ，且2AF =C 的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2213x y -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】B【解析】设左焦点为(),0F c -，则直线方程)y x c =+，0y -+=0y -+=恰好与圆222x y a +=相切，所以圆心()0,00y -+=的距离等于半径，即2a =a c =，则2a c =.则22AF a c c =+=+=解得2c =，a =则1b =.所以双曲线C 的标准方程为2213xy -=.故选:B .3．（2020·甘肃城关）已知双曲线C ：22221x y a b-=，O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C 的两条渐近线交于A ，B 两点，若OAB ∆是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．221124x y -=D ．221412x y -=【答案】A 【解析】由图可知，a =30，所以b a =1b =，所以双曲线C 的方程为2213x y -=.故选：A4．（2020·河南开封）已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(2,，则该双曲线的标准方程为（）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】B【解析】对于A 选项，双曲线的渐近线为12y x =±，不符合题意.对于B 选项，双曲线的渐近线为2y x =±，且过点(2,，符合题意.对于C 选项，双曲线的渐近线为2y x =±，但不过点(2,，不符合题意.对于D 选项，双曲线的渐近线为12y x =±，不符合题意.综上所述，本小题选B.5．（2020·湖南）已知双曲线C ，点(P 在C 上，则C 的方程为（）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22124x y -=D ．221147y x -=【答案】B【解析】当双曲线的焦点在x 轴，设双曲线的方程为：22221(a 0,b 0)x y a b-=>>.根据题意可得：22222821ca abc a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22714a b ，==，所以221714x y -=.当双曲线的焦点在y 轴，设双曲线的方程为：22221(a 0,b 0)y x a b-=>>.根据题意可得：22222281ca abc a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，方程无解.综上C 的方程为221714x y -=.故选B.【题组四双曲线的渐近线】1．（2020·河北石家庄二中高二月考）已知双曲线22142-=y x ，则其渐近线方程为( )A．y = B．2y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】A【解析】双曲线方程为22142-=y x，则渐近线方程为：02y =即y =．故选：A ． 2．（2020·河北承德第一中学高二月考）设焦点在x 轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为的渐近线方程（） A．y = B ．2y x =±C．2y x =±D ．12y x =±【答案】C【解析】因为焦点在x 轴上的双曲线虚轴长为2，焦距为22b =，2c =则有1b =，c =，则a ==22121x y-= ，该双曲线的渐近线方程为为：2y x =±故选：C ．3．（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（文））设双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e =则该双曲线的渐近线方程为（） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．4y x =±D ．y x =±【答案】B【解析】由题可知c e a ==，222c a b =+，解得2ba=，所以双曲线的渐近线方程为：2y x =±，选B.4．（2020·全国高三其他（文））设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，若点P 为双曲线左支上的一点，且直线1PA 、2PA 的斜率分别为1-，13-，则双曲线的渐近线方程为______________.【答案】3y x =±【解析】1PA 的方程为()y x a =-+，2PA 的方程为()13y x a =--，则()2,P a a -，将点P 的坐标，代入双曲线，则222241a a a b -=，则2213b a =，则b a =则双曲线渐近线方程为y x =.故答案为：y x =. 5.（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知双曲线22143y x -=,则焦点到渐近线的距离为。

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双曲线习题精选精讲(1)双曲线定义一一与椭圆相伴相离.双曲线的定义与椭圆定义只有一字之差，它俩之间的和谐美与对立美闪耀图形之上，渗透方程之中.从定义的角度讲，双曲线与椭圆的主要区别有三：1.按第一定义，双曲线要求动点到两定点距离之差为常数(小于两定点间的距离)，而椭圆则要求动点到两定点距离之和为常数(大于两定点间的距离)；2.按第二定义，双曲线要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e (e>l),而椭圆则要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e (0<e<l)；3.按主要参数a、b、c之间的关系，双曲线要求c2=a2+b2其中Q,》c依次表示双曲线的实，虚半轴和半焦距.而椭圆则要求a2=b2+c2其电1, c分别表示椭圆的长，短半轴和半焦距.2 2 2 2【例1】若椭圆—+ = 与双曲线工-匕=1(Q W A O)有相同的焦点F" F2, P是两条m n a b曲线的一个交点，则IPFJ - IPF2I的值是( )A. m - aB. -(m-a\C. m2- a2D.2【解析】椭圆的长半轴为S，.・.|PF]| + |FE| = 2^ (1)双曲线的实半轴为石,.・."用-"％| = ±2斯(2)-(2^ A\PF\]PF^ = ^m-a)^\PF\]PF^ = m-a ,故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.【例2】己知双曲线与点M(5, 3), F为右焦点，若双曲线上有-点P,使网|最小，则P点的坐标为【分析】待求式中的L是什么？是双曲线离心率的2倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F (6, 0),离心率。

=2,3右准线为/： % = -.作于N,交双曲线右支于P, 2连FP,则|PF| = e\PN\ = 2\PN\ => |PN| 二||PF|.此时PM I + —|PF | = \PM |+ \PN I = \M N\ = 5 - —= 2.为最小・在乏i= 1中，令y = 3,得尤2 =12=>1 = ±2右.・.・尤>0,.・.取1 = 2右.所求P点的坐标为(2右,3).9 27(2)渐近线一一双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的儿何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【解析】设所求双曲线为 (1) 1 35 点(1, 3)代入：& = 土一9 = 一旦代入44(1):35_4)广丈=1即为所求. M —)，2=_—n —4 ' 4 35 352 2 【评注】在双曲线》右=|中 0=>-±^- = 0即为其渐近线.根据这一点，可以简洁 a h9 2 地设待求双曲线为 >普“而无须考虑其实、虚轴的位置.【例4】两共钮双曲线的离心率分别为"，证明:1 1 [ -- 1 --- =12 2 乌 e【例3】过点(1, 3)且渐近线为y = 的双曲线方程是2(3) 共轴双曲线—— 虚、实易位的挛生弟兄9 2 7 0将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：这两个双曲线就是互相共轴的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【证明】双曲线］一1 = 1的离心率q =七=e ；=；, b~a a cr2 22 2 f 2双曲线的离心率1*千=等 .11 _ a2 b 2(4) 等轴双曲线一一和谐对称与圆同美实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.【例5】设CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.【证明】如图设等轴双曲线方程为尤2一尸=疽直线 CD ： y 二m.代入(1 )： x = ±\)x 2 +m 2 .故有： C^-Vx 2 +m 2,/77j,D^\lx 2,m).取双曲线右顶点B (o,0).那么：BC - (-Jx 1 + 冰-a, BD -1 \Jx 2 +/??2 - ci, m |0用为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,曲线的离心率为（(A) V3 (B) V5(C)季(D) 1 + V3YfiCBD = [^2-(6/2= O,/.BC±BD .即 ZCBD 二90° .同理可证：ZCAD=90° . •通法特法妙法（1）方程法一一为解析几何正名解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.2 2【例6】如图，片和E 分别是双曲线二-土 = 1（。

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x 2【例1】若椭圆一m0与双曲线X 21 (a b 0)有相同的焦点F 1, F 2,P 是两条曲线的一个交点，贝y |PF 1I • |PF 2I 的值是1 m —m 2A. m aB.C.D.V m T a【解析】椭圆的长半轴为 T m , PF iPF 2 27m双曲线的实半轴为2 212 M PR PF.PF iPF 22掐PF 1 PF 2故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义, 是破解本题的关键【例2】已知双曲线2y 271与点M( 5, 3) , F 为右焦点，若双曲线上有一点P,使PM2|PF |最小,则P 点的坐标为1丄是什么？是双曲线离心率的2倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点 F (6, 0),离心率e 2,3右准线为I : X —.作MN I 于N ，交双曲线右支于 P , 【分析】待求式中的连FP , 则PFe PN 2 PN PN PF .此时|PM I12阿 I |PM I |PN I |MN I 57为最小.522—J 1 中，令 y 3 , 得92712 X 2J 3.Qxf0,取 X 2^3.所求 P 点的坐标为(2^3,3).(2) 对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，渐近线一一双曲线与直线相约天涯双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开【例3】过点(1，3)且渐近线为y所以这一性质被广泛应用于有关解题之中1-X 的双曲线方程是 2双曲线习题精选精讲(1) --------------------- 双曲线定义与椭圆相伴相离 .双曲线的定义与椭圆定义只有一字之差，它俩之间的和谐美与对立美闪耀图形之上，渗透方程之中 .从定义的角度讲，双曲线与椭圆的主要区别有三： 1.按第一定义，双曲线要求动点到两定点距离之差为常数(小于两定点间的距离)，而椭圆则要求动点到两定点距离之和为常数(大于两定点间的距离)；2. 按第二定义，双曲线要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数定点和一条定直线的距离之比为常数e (0< e < 1);3. 按主要参数a 、b 、的实，虚半轴和半焦距e (e > 1),而椭圆则要求动点到一个c 之间的关系，双曲线要求 c 2=a 2+b 2其中a, b, c 依次表示双曲线. .而椭圆则要求 a 2=b 2+c 2 其中a, b, c 分别表示椭圆的长，短半轴YF(6,0)X2 2将双曲线02右1的实、虚轴互易，所得双曲线方程为: 它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例4】两共轭双曲线的离心率分别为0,仓，证明:1—2ei1—=1.02【解析】设所求双曲线为y2k点（1, 3）代入: 1）：X235 4y235 X2 35【评注】在双曲线2X~2aX21中，令—a0即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双2 曲线为冷a2耸k ,而无须考虑其实、虚轴的位置b(3)共轭双曲线虚、实易位的孪生弟兄2爲 1.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线aX2X 【证明】双曲线缶a 2 yb21的离心率2ei2c~~2a2 .2a b2a2 双曲线詁2y2a1的离心率a2b2b2丄~201 丄~2022a~2TTa bb2a2b21.(4)等轴双曲线一一和谐对称与圆同美实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴【例5】设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角【证明】如图设等轴双曲线方程为X2y2a2直线CD y=m.代入(1 )：X J x2m2.故有:C V X2,m ,D V X2,m .取双曲线右顶点B a,0 .那么:UULUa,m ,BD a,muuL uuu QBC BD 2 cm 0, uLurBCuuurBD .即/ CBD=90 .X同理可证：/ CAD=90 . • 通法特法妙法（1）方程法一一为解析几何正名解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式2 2X V【例6】如图，F 1和F 2分别是双曲线—笃 1（aa b0）的两个焦点， A 和B 是以O 为圆心，以|OF j 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为（（B ）753—c 代入双曲线方程:2取 e1•选 D.【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段（2）转换法一一为解题化归立意2 2【例7】直线I 过双曲线笃 y - 1的右焦点，斜率 a 2 b 2A .e> B.1< e< V s C.1<e<V^ D.e>【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握,【解析1】设AB 交x 轴于 M,并设双曲线半焦距为F 2AB 是等边三角形，•••。

叫2二］MA 忑2 c.点b 2 2c 2一 a 4a 2' 2 c 2 c 2 a 2 3a 2c 2 4a 2 c 2a 2 .化简得:c 2 28a c4a 4 8e 2 4 2^31.2^3 及 e 431舍去）故选 D.【解析2】连AF 1, 则^ AF 1F 2为直角三角形，且斜边F 1 F 2之长为2c.令AF 1「1,1AF 』「2.由直角三角形性质知:「2 「1 2a—「22c 2「1「2「2r 1 c2a c「124c 2,2 2 2 22a c c 4c 2a 2acc 2 02e 2 0.0,b (D ) 1两支上，则双曲线的离心率 e 的范围是k=2.若I 与双曲线的两个交点分别在左右但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与之相交.故有如下妙解.【解析】如图设直线I的倾斜角为a,双曲线渐近线m的倾斜角为B .显然。

个交点分别在左右两支上•••双曲线中e1, 故取e> T5 .选D.(3) 几何法一一使数形结合带上灵性的面积为((4)设而不求一一与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求tan tan2亠42 幵ae25.2I例8】设P为双曲线x212 1上的一点，F i, F2是该双曲线的两个焦点，若| PF i |:|PF2I 3: 2，则△PF1F212 C.12J3 24虚半轴和半焦距分别是：【解析】双曲线的实、临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.【例9】双曲线X21的一弦中点为(2, 1),则此弦所在的直线方程为A. y 2x 1B. y 2x 2C. 2x 3D. 2x【解析】设弦的两端分别为 A ⑺，B x2,y2 .则有:•••弦中点为(2,2 2X1 X2 2y1* y2X1 X2X2X1¥1 ¥21)，二X1X2y1y24.故直线的斜率k2X1 X2X1 X2 y1 y2l与双曲线的两当3>a时直线.由.请看下例:2.则所求直线方程为：y 1 2x2 y 2x 3，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用 .不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了:所得结论也是荒唐的.问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件【正解】在上述解法的基础上应当加以验证曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件结论；不存在符合题设条件的直线2【例10】在双曲线X 2 y -21上，是否存在被点 M( 1, 1) 平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法:A ( x i , y i ) ,B ( X 2, y 2).那么:2 X 12 X21 2尹11 2尹X-I X 2X-I X 212 y1y 2 y 1 y 2•- M( 1, 1) 为弦 AB 的中点,X 1 X 2代入1 :y 22X 1X 2 y 1 y 20,kABy 1 y 2 2X 1 X 2 故存在符合条件的直线 AB,其方程为:2X 1 .2其一：将点 M( 1, 1 )代入方程X2 —21，发现左式 1=1-— 2 -< 1，故点M( 1 , 1)在双曲线的外部；其二:2所求直线AB 的斜率k AB 2，而双曲线的渐近线为 y逅X •这里J 2 P 2 ,说明所求直线不可能与双曲线相交,当然X 2 2y 22x1 2x 21 22x 122x 2 4X 3 0这里16 24p 0,故方程(2)无实根,也就是所求直线不合条件此外, 上述解法还疏忽了一点：只有当X 1 X 2时才可能求出 k=2.若X 1 X 2,必有y 1 y 0 .说明这时直线与双(5)设参消参一一换元自如地阔天宽一道难度较大的解析几何综合题，往往牵涉到多个变量这就要用到参数法，先设参，再消参 .【例11】如图，点F 为双曲线C 的左焦点，左准线且线段PF 的中点M 在双曲线C 的左支上.(I)求双曲线 (n)若过点F C 的标准方程；的直线m 与双曲线C 的左右.要从中理出头绪, l 父X 轴于点Q ，点不能不恰当地处理那些非主要的变量,P 是I 上的一点，已知I PQ | | FQ | 1 ,两支分别交于A 、B 两点，设FB FA ，当[6,）时，求直线m 的斜率k 的取值范围. 【分析】第（I ）问中，线段 PF 的中点M 的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到点M 是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向第（n ）中，直线 m 的斜率k 是主要变量，其它包括入都是辅助变量.斜率k 的几何意义是有关直线倾斜角0的正切，所以设置直线 m 的参数方程，49t 1, 【解析】（I ）设所求双曲线为:由 I PQ I 1，得 p FP 的中点为c 2 a 2 2根据（1）与（2）2*「其左焦点为 2—,1)；由 |FQ| 1 cF （-c 。

0）;左准线:a 2b 2c. 1a 2a 21二，丄.代入双曲线方程:22a4c a c 24c2a 2cb 4a 2b 2,2 •所求双曲线方程为 x 2y 2 2.（n ）设直线m 的参数方程为:2 tcos cos2t 2 .那么已知直线 uurFB uu ar FA .注意到（4）代入 sec 2t 12 tcos y tsin •代入 x 22 得:2tsin 2 t cos2 4t cos0时,Q16cos 28 2cos 2t 2t 1t 24cos cos 2 2 cos2m 与双曲线C 的左右两支分别交于12 t ：5):50 8f 0B 两点,uur __ FB 与FA 同向,uur 相异二实根，设为0，.于是:1 t2 t 1 11t 2t ； t 12t 1t 2t 1[6,）上是增函数,4cos cos2tan 2492cos2t 1 2t 2址 2248cost 1t 2249 2cos2t 1 t 249 址 2621 50cos49•••双曲线2的渐近线斜率为 1，故直线 m 与双曲线的左右两支分别交必须k 1,1 .综合得直线 m 的斜率k 的取值范围是k1,1,1 . 7而后将参数入用0的三角式表示，是一个不错的选择49m双曲线 1已知中心在原点，顶点 A i 、A 2在x 轴上，离心率△ A i PA 2的重心G ,与双曲线交于不同的两点 M 、歹迺的双曲线过点3N ,问：是否存在直线 P(6, 6) (1)求双曲线方程.(2)动直线 I,使G 平分线段MN ，证明你的结论. I 经过.解 (1)如图，设双曲线方程为 2 X a 2 2 y =1 b 2" 62 由已知得q a 62 b 2 1,e 2 a 2 b 2 a 2 21 亍解得 2 1=1 12 2 a 2=9,b 2=12所以所求双曲线方程为 — 9 0)、(— 3, 0), •其重心 G MN ，设 (2)P 、A i 、A 2 的坐标依次为(6,6)、(3, 假设存在直线 I ，使G(2，2)平分线段 M (x i ,y i ), N(X 2,y 2). 的坐标为(2, 2) 则有 X i y i y 2 4 4’ 12xj 9Y 12 108 12x 22 9Y 22 108 y i y 2 X i X 2 12 4 ,••• kI=4 •••I 的方程为 9 3 3 1 y\1 l' 1/o ■A 2 ' IIx4 y=3 (X - 2)+2,由 2 2 12x 9y 108 4 ,消去 y,整理得 X 2 — 4x+28=0 •/ A =16 — 4X 28< 0, •所求直线 y3(X 2)I 不存在。