双曲线习题精选精讲

x 2

【例1】若椭圆一

m

0与双曲线

X 2

1 (a b 0)有相同的焦点F 1, F 2,

P 是两条曲线的

一个交点，贝y |PF 1I • |PF 2I 的值是

1 m —m 2

A. m a

B.

C.

D.

V m T a

【解析】椭圆的长半轴为 T m , PF i

PF 2 27m

双曲线的实半轴为

2 2

1

2 M PR PF.

PF i

PF 2

2掐

PF 1 PF 2

故选A.

【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义, 是破解本题的关键

【例2】已知双曲线

2

y 27

1与点M( 5, 3) , F 为右焦点，若双曲线上有一点

P,使PM

2|PF |最小,

则P 点的坐标为

1

丄是什么？是双曲线离心率的

2

倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义

.

【解析】双曲线的右焦点 F (6, 0),离心率e 2,

3

右准线为I : X —.作MN I 于N ，交双曲线右支于 P , 【分析】待求式中的

连FP , 则PF

e PN 2 PN PN PF .此时

|PM I

1

2阿 I |PM I |PN I |MN I 5

7

为最小.

5

2

2

—J 1 中，令 y 3 , 得

9

27

12 X 2J 3.Qxf0,取 X 2^3.所求 P 点的坐标为(2^3,3).

(2) 对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有

双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范 围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多， 渐近线一一双曲线与直线相约天涯 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开

【例3】过点(1，3)且渐近线为y

所以这一性质被广泛应用于有关解题之中

1

-X 的双曲线方程是 2

双曲线习题精选精讲

(1) --------------------- 双曲线定义 与椭圆相伴相离 .

双曲线的定义与椭圆定义只有一字之差，它俩之间的和谐美与对立美闪耀图形之上，渗透方程之中 .

从定义的角度讲，双曲线与椭圆的主要区别有三： 1.

按第一定义，双曲线要求动点到两定点距离之 差为常数(小于两定点

间的距离)，而椭圆则要求动点到两定点距 离之和为常数(大于两定点间的距离)；

2. 按第二定义，双曲线要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数 定点和一条定直线的距离之比为常数

e (0< e < 1);

3. 按主要参数a 、b 、

的实，虚半轴和半焦距

e (e > 1),而椭圆则要求动点到一个

c 之间的关系，双曲线要求 c 2=a 2+b 2其中a, b, c 依次表示双曲线. .而椭圆则要求 a 2=b 2+c 2 其中a, b, c 分别表示椭圆的长，短半轴

Y

F(6,0)X

2 2

将双曲线02右1的实、虚轴互易，所得双曲线方程为: 它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.

【例4】两共轭双曲线的离心率分别为0,仓，证明:

1

—2

ei

1

—=1.

02

【解析】设所求双曲线为y2k

点（1, 3）代入: 1）：

X235 4y2

35 X2 35

【评注】在双曲线

2

X

~2

a

X

2

1中，令—

a

0即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双

2 曲线为冷a

2

耸k ,而无须考虑其实、虚轴的位置b

(3)共轭双曲线虚、实易位的孪生弟兄

2

爲 1.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线

a

X

2

X 【证明】双曲线缶

a 2 y

b21的离心率

2

ei

2

c

~~2

a

2 .2

a b

2

a

2 双曲线詁

2

y

2

a

1的离心

率

a2b2

b2

丄~2

01 丄

~2

02

2

a

~2TT

a b

b2

a2b2

1.

(4)等轴双曲线一一和谐对称与圆同美

实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴

【例5】设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角【证明】如图设等轴双曲线方程为X2y2a2

直线CD y=m.代入(1 )：X J x2m2.故有:

C V X2,m ,

D V X2,m .

取双曲线右顶点B a,0 .那么:

UULU

a,m ,BD a,m

uuL uuu Q

BC BD 2 c

m 0, uL

ur

BC

uuur

BD .即/ CBD=90 .