第二章 模糊集合论基础
合集下载
模糊集合基础
A = [ µ A ( x1 ) µ A ( x2 ) L µ A ( xn )]
模糊集合基础
在由整数1， ， 组成的论域中， 在由整数 ， 2， ……10组成的论域中 ， 即 U={1， 组成的论域中 ， 2，……，10}，讨论”几个”这一模糊概念，用模糊集 ， ， ，讨论”几个”这一模糊概念，用模糊集A 可表示。根据经验，可以定量地给出它们的隶属函数， 可表示。根据经验，可以定量地给出它们的隶属函数，模糊 集A可表示为 可表示为
µ (u, w) = ∨ ( µ Q (u , v) ∧ µ R (v, w))
Qo R
v∈V
祖父母—父母相像关系
父 祖父 祖母 0.2 0.6 母 0 0
父母---子女相像关系
子 父 母 0.4 0.5 女 0.6 0.3
祖父母—子女相像关系
0.2 0 0.4 0.6 0.2 0.2 S = QoR = o 0.5 0.3 = 0.4 0.6 0.6 0
4．Sigmoid型隶 ． 型隶 属函数
5．一般的钟型 ． 隶属函数
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 a=2 a=1
1 a=2 a=-2
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
2
4
6
8
10
0
0
2
4
6
8
10
0
0
2
4
6
8
10
f ( x) = e
−
( x − c )2 a2
f ( x) =
模糊集合基础
模糊关系
是两个非空集合， 设X，Y是两个非空集合，则直集 ， 是两个非空集合
第二章模糊控制理论基础
u U u U
经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的 关系，只是“属于”或“不属于”两种，两者必居其一 而且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素的组合。
用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。
对于诸如“速度的快慢”、“年龄的大小”、 “温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。
经典集合对事物只用"1"、"0"简单地表示“属于” 或“不属于”的分类；而模糊集合则用“隶属度 (Degree of membership)”来描述元素的隶属程度， 隶属度是0到1之间连续变化的值。
四种方法： 1、模糊统计法
基本思想：论域U上的一个确定的元素v0是否属于一个可变动的清 晰集合A*作出清晰的判断。
对于不同的实验者，清晰集合A*可以有不同的边界。但它们都对 应于同一个模糊集A。
模糊集A 年轻人
v0
清晰集A1* 清晰集A2*
论
17-30岁 20-35岁
域 U
所有人
计隶算属步度骤函：数在确每立次的统方计法中：，v0是固定的（如某一年龄）， A*的值是可变的，作n次试验,则
示。
uU表示元素（个体）u在集合论域（全体） U内。
集合表示法(经典集合)：
(1)列举法：将集合的元素全部列出的方法。 (2)定义法：用集合中元素的共性来描述集合的方法。
(3)归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的方法。 (4)特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼的明晰性 来表示集合。因为某一集合中的元素要么属于这个集合， 要么就不属于这个集合。
定义2-8 设A,B F(U),则定义代数运算： (1)A与B的代数积记作A • B，运算规则由下式确定：
A • B(u)= A(u)B(u)
第2章模糊数学基础
A A A a A , a A , , a , 12 r 1 1 2 2 rA r
由两个集合X和Y，各自的元素xX，yY构成序偶（x，y） 的集合称为集合X和Y的直积。 X Y
x 1 y X Y 1 x n
2019/2/16
பைடு நூலகம்
xy xy 11 1 2 xy 2 1 xy 2 2 y m xy n 1 xy n 2
[例2－2] 用序偶法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8， 9，10中讨论“几个”这一模糊概念。 [解]
F ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , 3 , 0 . 2 , 4 , 0 . 7 , 5 , 1 , 6 , 1 , 7 , 0 . 7 , 8 , 0 . 3 , 9 , 0 , ( 1 0 , 0 )
S 3 , 0 . 2 , 4 , 0 . 7 , 5 , 1 , 6 , 1 , 7 , 0 . 7 , 8 , 0 . 3
20
2019/2/16
3）向量表示法 将论域U中的隶属度F(ui)用来表示模糊集合F，则：
F F u , F u ,, F u 1 2 n
F u F u F u 1 2 n F u u u 1 2 n
用扎德法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8，9， [例2－1] 10中讨论“几个”这一模糊概念。
0 0 0 . 2 0 . 7 1 1 0 . 7 0 . 3 0 0 [解] F 1 23 45 67 89 1 0
2019/2/16
11
（3）关系矩阵 二元关系R可用二维关系矩阵表示 设X = x ,,, x , Y y ,,, y , 1 2 x n 1 2 y m R是由X到Y的关系，则关系矩阵R的第i行第j列上的元素 rij定义为
模糊逻辑理论基础
（1）描述法，（2）列举法，（3）特征函数法
2.1 引言
Fuzzy: “模糊”，“不分明”等含义。 日常生活中许多事物都有Fuzzy性。
如： “大与小”“高与矮”，“快与慢”，“冷 与热” “远与近”，“美与丑”，“成年人” 等。 客观事物的不分明性，没有明确的外延。
1965年美国加州大学查德（L.A.ZADEH） 在其论文《Fuzzy Logical Set》中首次提到 用“隶属函数”概念来定量描述事物的 Fuzzy性集合理论，奠定了模糊数学的基础。
第二章 模糊逻辑理论基础
2.1 引言 2.2 模糊集合 2.3 隶属函数的确定方法 2.4 模糊关系与模糊矩阵 2.5 模糊逻辑 2.6 模糊语言 2.7 模糊推理句 2.8 模糊推理方法
经典集合
19世纪末，德国数学家康托创立的集合论，已成为现 代数学的基础。
1.集合的描述：集合与元素
2.集合的表示方法：
如: “老年人”集合，“胖子”集合 没有明确的外延概念。
查德1965年提出模糊集合概念 程度取值[0，1]。
论域：所有元素的全体，或研究事物的范围 {ui}U,i 1, 2, , n 电压：150v-220v
集合：给定论域，其中具有某种相同属性元素 组成的全体 A={x|x是正数}，A={x|x=a}={a} 单点集
若论域U={u1,u2,u3……un} ,则U上的模糊子集A表
示为：
A
n
u( ) Ai
u i1
i
u 其中
(
A
i) (i=1,2,3,……n)——隶属度
如：学习成绩好的模糊子集：
A
0.95 张三
0.9 李四
0.85 王五
又如: 设室温的论域： U={0，10，20，30，40} 单位：摄氏度
2.1 引言
Fuzzy: “模糊”，“不分明”等含义。 日常生活中许多事物都有Fuzzy性。
如： “大与小”“高与矮”，“快与慢”，“冷 与热” “远与近”，“美与丑”，“成年人” 等。 客观事物的不分明性，没有明确的外延。
1965年美国加州大学查德（L.A.ZADEH） 在其论文《Fuzzy Logical Set》中首次提到 用“隶属函数”概念来定量描述事物的 Fuzzy性集合理论，奠定了模糊数学的基础。
第二章 模糊逻辑理论基础
2.1 引言 2.2 模糊集合 2.3 隶属函数的确定方法 2.4 模糊关系与模糊矩阵 2.5 模糊逻辑 2.6 模糊语言 2.7 模糊推理句 2.8 模糊推理方法
经典集合
19世纪末，德国数学家康托创立的集合论，已成为现 代数学的基础。
1.集合的描述：集合与元素
2.集合的表示方法：
如: “老年人”集合，“胖子”集合 没有明确的外延概念。
查德1965年提出模糊集合概念 程度取值[0，1]。
论域：所有元素的全体，或研究事物的范围 {ui}U,i 1, 2, , n 电压：150v-220v
集合：给定论域，其中具有某种相同属性元素 组成的全体 A={x|x是正数}，A={x|x=a}={a} 单点集
若论域U={u1,u2,u3……un} ,则U上的模糊子集A表
示为：
A
n
u( ) Ai
u i1
i
u 其中
(
A
i) (i=1,2,3,……n)——隶属度
如：学习成绩好的模糊子集：
A
0.95 张三
0.9 李四
0.85 王五
又如: 设室温的论域： U={0，10，20，30，40} 单位：摄氏度
教案_第2章_模糊集合的基本理论
F (U) = {A | A: U → [0, 1]}
则称 F (U ) 为 U 的模糊幂集。显然，F (U ) 是一个经典集合，且有：P (U ) ⊆ F (U )。 2.1.2 模糊集合的表示
(2.2)
表示论域 U 上的模糊集合 A，原则上只需指明 U 中的每个元素 x 及其对应的隶属度 A(x)，并将它们用 一定的形式构造在一起。当然，模糊集本质上是论域到 [0, 1] 上映射，用隶属函数来表示模糊集是最基本 的方法。除此以外，人们还给出了三种常用的模糊集合的表示方法：Zadeh 表示法，序偶表示法和向量表 示法。 1. Zadeh 表示法 设 U 为论域，A 为 U 上的模糊集，即 A∈F (U )。 则模糊集 A 可表示为 (1) 若论域 U 为有限集或可列集，即 U = {x1, x2, …, xn} 或 U = {x1, x2, …, xn, …}，
-3-
数学系 • 张运杰 • 模糊数学课程教案
第 2 章 • 模糊集合的基本理论
相应的隶属函数示意图如图 5 所示。 上面的例子说明：① 因为模糊概念的特征(外延)是模糊的，其描述是不精确的，因而同一个模糊概 念可以用不同的模糊集(隶属函数)来刻画；② 但是，模糊集与隶属函数则是一一对应的，一个模糊集必 有一个独一无二的隶属函数与之对应，反之亦然；③ 模糊现象虽是模糊的，但表征其性质的隶属函数却 是精确的数学函数，一个模糊概念一旦用隶属函数表征出来，其固有的模糊性就被消除了；④ 隶属函数 可能是连续的，也可能是离散的，这取决于论域的情形。 由定义 1 不难看出：对于论域 U 上的某个模糊集 A，如果隶属函数 A(x) 仅取 0 和 1 两个数值，则 A 就 蜕化为经典集合，也就是说，经典集合是模糊集合的特殊形态。特别地，如果 A(x) ≡ 0，则 A 为空集 ∅； 如果 A(x) ≡ 1，则 A 为全集(论域)U。 在给定的论域 U 上可以定义多个模糊集。记 U 的模糊子集全体为 F (U )，即
第2章 数学基础-模糊集合与模糊关系
2 模糊集合与模糊关系2.1 经典集合的特征函数定义：经典集合的特征函数记为f A （x ），定义为1()0()A x A f x x A x A ∈⎧⎨∉∉⎩当当或 2.2模糊集合与隶属函数定义：论域U 上的模糊集合A 是用一个从U 到实区间[0，1]上的函数Αμ 来刻画的，Αμ 叫做模糊集合A 的隶属函数，函数值Αμ （x ）代表元素x 对集合A 的隶属度。
定义（严格的）：论域U 到实区间[0，1]的任一映射 Αμ：U →[0，1] ∀x ∈U ，x →Αμ （x ） 都确定U 上的一个模糊集合A ，Αμ 叫做A 的隶属函数，Αμ （x ）叫做x 对A 的隶属度。
2.3模糊关系：普通关系讨论的是每对元素是否存在关系R ，模糊关系讨论的是每对元素具有关系R 的程度。
定义：所谓从集合U 到集合V 的模糊关系R ，系指直积U*V 上的一个模糊集合R ，由隶属函数R μ 来刻画，函数值R μ （x ，y ）代表有序偶（x ，y ）具有关系R 的程度。
例 设V={v 1，v 2，v 3，v 4 } U={u 1，u 2，u 3 }Vμ v 1 v 2 v 3 v 4Uu 1 0.86 0.84 0 0u 20 0 0.95 0u 3 0.78 0 0 0.66则可用模糊矩阵表示如下：0.860.8400000.9500.78000.66R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2.4 模糊矩阵与布尔矩阵一般关系的关系矩阵是布尔矩阵只取1，0两个值，例如110000111001R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义：一个矩阵是模糊矩阵，当且仅当矩阵的所有元素r ij 都满足条件：0 ≤ r ij ≤ 1，i=1，2，……n ；j= 1，2，……m 。
特别的，当r ij 只取0和1两种数值时称为布尔矩阵。
2.5 模糊矩阵的运算2.5.1 相等：当且仅当两个模糊矩阵的一切元素两两相等时称两个模糊矩阵相等。
A =B 〈=〉 a ij =b ij i=1，2，……n ；j= 1，2，……m 。
模糊数学第二章
(A∩B)∩C=A∩(B∩C); （4）吸收律：A∩(A∪B)= A, A∪(A∩B)=A; （5）分配律: (A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C);
模糊集合运算性质
（6）0-1律：A∪Φ＝A, A∩Φ＝Φ;
U∪A=U,U∩A=A; （7）还原律：(Ac)c=A; （8）对偶律：(A∪B)c= Ac∩Bc, (A∩B)c= Ac∪Bc. 互余律不成立！！ 注意 Ac∪A≠ U, A∩Ac ≠ Φ
第二章 模糊子集
本章内容
模糊子集的定义 模糊子集的运算
分解定理扩张定理
模糊性度量
隶属函数的确定
精确数学vs模糊数学
精确数学：基础——经典集合论；一个对象和一个
集合的关系只有两种可能：属于、不属于；
模糊数学：基础——模糊集合论；一个对象和一个
模糊集合的关系：对象隶属于该模糊集合的程度 （隶属度）。
且 (b; a, b) 1 ；当 x b 时单调递增；当 x b 时单调递减。
模糊集合的表示法1－zadeh表示法
论域U是有限集｛x1, x2, …, xn｝,U的任一模糊子集 A，其隶属函数为μi =μA(xi) 模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi 注意 ―∑i=1n μi / xi‖不是分式求和，只是一 符 号而已。
1. 模糊子集的定义
设给定论域U，U到[0, 1]的任一映射μA ：U [0, 1]
都确定U的一个模糊子集A
μA叫做A的隶属函数，
μA(u) （ u∈U ）表示 u隶属于模糊子集A的程度，
称之为u对A的隶属度
模糊集合的例子
设论域U＝[0, 100]表示人的年龄，“年轻Y‖与“年老
模糊数学讲义第二章
则称T是一个t 模.
常见的t-模：
(1)Tmin ( x, y ) min( x, y ) x y; (2) TL ( x, y) max(0, x y 1);
x (3) T0 ( x, y ) y 0
(4) T ( x, y ) xy.
y 1 x 1 其它
随着x增加，Y (x)减小
Y (25) 1, Y (30) 0.5 Y (60) 0.02
1
0 .5 25 30 60
注记：
• 普通集合是模糊集的特例，特征函数即为隶属函数
• 空集 的隶属函数为 ( x) 0 • 全集 X 的隶属函数为 X ( x) 1 • 模糊集的定义与上下文有关 • 表示法 (i) 论域无限时由隶属函数表出; (ii) 论域有限时表出方法如下：
不小 Ac , 不大 Bc , 不小也不大 Ac Bc c c c c A (1) 1 A(1) 0, A (2) 0.2, A (3) 0.4, A (4) 0.6 Ac (5) 0.8, Ac (6) Ac (7) Ac (8) Ac (9) Ac (10) 1
(5) 分配律(distributivity)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
(6) 存在 0-1元 A A
A
A X X A X A
(7) 复原律(involution) c c (A ) A
若A B且A , A B, 则称A真包含 于B, 记为A B.
A 时， A B x X , A( x) B( x)且 x源自 X , A( x) B( x).
常见的t-模：
(1)Tmin ( x, y ) min( x, y ) x y; (2) TL ( x, y) max(0, x y 1);
x (3) T0 ( x, y ) y 0
(4) T ( x, y ) xy.
y 1 x 1 其它
随着x增加，Y (x)减小
Y (25) 1, Y (30) 0.5 Y (60) 0.02
1
0 .5 25 30 60
注记：
• 普通集合是模糊集的特例，特征函数即为隶属函数
• 空集 的隶属函数为 ( x) 0 • 全集 X 的隶属函数为 X ( x) 1 • 模糊集的定义与上下文有关 • 表示法 (i) 论域无限时由隶属函数表出; (ii) 论域有限时表出方法如下：
不小 Ac , 不大 Bc , 不小也不大 Ac Bc c c c c A (1) 1 A(1) 0, A (2) 0.2, A (3) 0.4, A (4) 0.6 Ac (5) 0.8, Ac (6) Ac (7) Ac (8) Ac (9) Ac (10) 1
(5) 分配律(distributivity)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
(6) 存在 0-1元 A A
A
A X X A X A
(7) 复原律(involution) c c (A ) A
若A B且A , A B, 则称A真包含 于B, 记为A B.
A 时， A B x X , A( x) B( x)且 x源自 X , A( x) B( x).
模糊控制的理论基础
zmf(x,[a, b])
有关隶属函数的MATLAB设计，见著作：
楼顺天，胡昌华，张伟，基于MATLAB的系统分析 与设计-模糊系统，西安：西安电子科技大学出版 社，2001
例2.5 隶属函数的设计：针对上述描述的6种隶属 函数进行设计。M为隶属函数的类型，其中M=1 为高斯型隶属函数，M=2为广义钟形隶属函数， M=3 为 S 形 隶 属 函 数 ， M=4 为 梯 形 隶 属 函 数 ， M=5为三角形隶属函数，M=6为Z形隶属函数。 如图所示。
X Years
图2-1 “年轻”的隶属函数曲线
2.2.2 模糊集合的运算 1 模糊集合的基本运算
由于模糊集是用隶书函数来表征的，因此两 个子集之间的运算实际上就是逐点对隶属度作 相应的运算。
（1）空集 模糊集合的空集为普通集，它的隶属度为0，
即
A A (u) 0
（2）全集 模糊集合的全集为普通集，它的隶属度为1，
设A和B经过平衡运算得到C，则
c (x) A (x) B ( x) 1 1 (1 A (x)) (1 B (x))
其中γ取值为[0，1]。 当γ=0时，c (x) A (x) B (x)，相当于A∩B时的算子。
当γ=1，c (x) A(x) B (x) A(x) B (x) ，相当于
B 0.3 0.1 0.4 0.6 u1 u2 u3 u4
求A∪B，A∩B
则 A B 0.9 0.2 0.8 0.6
u1 u2 u3 u4
A B 0.3 0.1 0.4 0.5 u1 u2 u3 u4
例2.4 试证普通集合中的互补律在模糊集
合中不成立，即 A (u) A (u) 1，
则 u0属于“成绩差”的隶属度为：
A (u0 ) 1 0.8 0.2
有关隶属函数的MATLAB设计，见著作：
楼顺天，胡昌华，张伟，基于MATLAB的系统分析 与设计-模糊系统，西安：西安电子科技大学出版 社，2001
例2.5 隶属函数的设计：针对上述描述的6种隶属 函数进行设计。M为隶属函数的类型，其中M=1 为高斯型隶属函数，M=2为广义钟形隶属函数， M=3 为 S 形 隶 属 函 数 ， M=4 为 梯 形 隶 属 函 数 ， M=5为三角形隶属函数，M=6为Z形隶属函数。 如图所示。
X Years
图2-1 “年轻”的隶属函数曲线
2.2.2 模糊集合的运算 1 模糊集合的基本运算
由于模糊集是用隶书函数来表征的，因此两 个子集之间的运算实际上就是逐点对隶属度作 相应的运算。
（1）空集 模糊集合的空集为普通集，它的隶属度为0，
即
A A (u) 0
（2）全集 模糊集合的全集为普通集，它的隶属度为1，
设A和B经过平衡运算得到C，则
c (x) A (x) B ( x) 1 1 (1 A (x)) (1 B (x))
其中γ取值为[0，1]。 当γ=0时，c (x) A (x) B (x)，相当于A∩B时的算子。
当γ=1，c (x) A(x) B (x) A(x) B (x) ，相当于
B 0.3 0.1 0.4 0.6 u1 u2 u3 u4
求A∪B，A∩B
则 A B 0.9 0.2 0.8 0.6
u1 u2 u3 u4
A B 0.3 0.1 0.4 0.5 u1 u2 u3 u4
例2.4 试证普通集合中的互补律在模糊集
合中不成立，即 A (u) A (u) 1，
则 u0属于“成绩差”的隶属度为：
A (u0 ) 1 0.8 0.2
模糊控制的理论基础
第二章：模糊控制的理论基础第一节：引言模糊控制的发展传统控制方法：数学模型。
模糊控制逻辑：使计算机具有智能和活性的一种新颖的智能控制方法。
模糊控制以模糊集合论为数学基础。
模糊控制系统的应用对于那些测量数据不准确，要处理的数据量过大以致无法判断它们的兼容性以及一些复杂可变的被控对象等场合是有益的。
模糊控制器的设计依赖于操作者的经验。
模糊控制器参数或控制输出的调整是从过程函数的逻辑模型产生的规则来进行的。
改善模糊控制器性能的有效方法是优化模糊控制规则。
模糊控制的特点：一、无需知道被控对象的数学模型二、是一种反应人类智慧思维的智能控制三、易被人们所接受四、推理过程采用“不精确推理”五、构造容易六、存在的问题：1、要揭示模糊控制器的实质和工作原理，解决稳定性和鲁棒性理论问题，从理论分析和数学推导的角度揭示和证明模糊控制系统的鲁棒性优于传统控制策略；2、信息简单的模糊处理将导致系统的控制精度降低和动态品质变差；3、模糊控制的设计尚缺乏系统性，无法定义控制目标。
“模糊控制的定义”定义：模糊控制器的输出是通过观察过程的状态和一些如何控制过程的规则的推理得到的。
基于三个概念：测量信息的模糊化，推理机制，输出模糊集的精确化；测量信息的模糊化：实测物理量转换为在该语言变量相应论域内的不同语言值的模糊子集；推理机制：使用数据库和规则库，根据当前的系统状态信息决定模糊控制的输出子集；模糊集的精确化：将推理过程得到的模糊控制量转化为一个清晰，确定的输出控制量的过程。
“模糊控制技术的相关技术”模糊控制器的核心处理单元：1.传统单片机；2.模糊单片机处理芯片；3.可编程门阵列芯片。
模糊信息与精确转换技术：AD，DA，转换技术。
模糊控制的软技术：系统的仿真软件。
综述：模糊控制是一种更人性化的方法，用模糊逻辑处理和分析现实世界的问题，其结果往往更符合人的要求。
第二节：模糊集合论基础“模糊集合的概念”经典集合论所表达概念的内涵和外延都必须是明确的。
模糊控制技术第2章模糊逻辑的数学基础
③ 序偶表示法: 将论域中元素ui与其隶属度μF（ui)构成序偶来表示F,则 F={(u1，μF(u1))，(u2，μF(u2))，…，(un，μF（un))} （2.7）
第２章 模糊逻辑的数学基础 例2.1 在论域U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中
讨论“小的数”F这一模糊概念，分别写出上述三种模糊集 合的表达式。
概念的外延，一个概念所包含的那些区别于其他概念的全体 本质属性就是这概念的内涵。用集合论的观点来看，内涵是 集合的定义，外延就是组成集合的所有元素。一个概念的外 延就是一个集合。
集合中的个体称为元素，通常用小写字母u、v表示； 集 合的全体又称为论域，通常用大写字母U、V表示； u∈U， 表示元素u在集合论域U内。一个集合如果由有限个元素 组成，则称为有限集合，不是有限集合的集合称为无限集合。 集合可以是连续的，也可以是离散的。
第２章 模糊逻辑的数学基础
定义2.2 支集（Support）：模糊集合的支集是一个普
通集合，它是由论域U中满足μF(u)>0的所有u组成的，即
S={u∈U|μF(u)>0}
（2.3）
例如，在图2.1中，模糊集合B（“中年”）的支集是开
区间（35，60）。
定义2.3 模糊单点（Singleton）: 如果模糊集合F的支
第２章 模糊逻辑的数学基础
在普通集合中，任何一个元素或个体与任何一个集合之 间的关系只有“属于”和“不属于”两种情况，两者必居其 一，而且只居其一，绝对不允许模棱两可。例如，“大于100 的自 然数”是一个清晰的概念，该概念的内涵和外延均是明确的。
1. 经典集合定义 依据一定的标准进行分类，可以把不同的事物归于这一 类，或不归于这一类。 集合是具有某种特定属性的对象的全体。
第２章 模糊逻辑的数学基础 例2.1 在论域U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中
讨论“小的数”F这一模糊概念，分别写出上述三种模糊集 合的表达式。
概念的外延，一个概念所包含的那些区别于其他概念的全体 本质属性就是这概念的内涵。用集合论的观点来看，内涵是 集合的定义，外延就是组成集合的所有元素。一个概念的外 延就是一个集合。
集合中的个体称为元素，通常用小写字母u、v表示； 集 合的全体又称为论域，通常用大写字母U、V表示； u∈U， 表示元素u在集合论域U内。一个集合如果由有限个元素 组成，则称为有限集合，不是有限集合的集合称为无限集合。 集合可以是连续的，也可以是离散的。
第２章 模糊逻辑的数学基础
定义2.2 支集（Support）：模糊集合的支集是一个普
通集合，它是由论域U中满足μF(u)>0的所有u组成的，即
S={u∈U|μF(u)>0}
（2.3）
例如，在图2.1中，模糊集合B（“中年”）的支集是开
区间（35，60）。
定义2.3 模糊单点（Singleton）: 如果模糊集合F的支
第２章 模糊逻辑的数学基础
在普通集合中，任何一个元素或个体与任何一个集合之 间的关系只有“属于”和“不属于”两种情况，两者必居其 一，而且只居其一，绝对不允许模棱两可。例如，“大于100 的自 然数”是一个清晰的概念，该概念的内涵和外延均是明确的。
1. 经典集合定义 依据一定的标准进行分类，可以把不同的事物归于这一 类，或不归于这一类。 集合是具有某种特定属性的对象的全体。
智能控制技术-第二章
则 A U 称为全集。
定义2-3 设A、B是论域U的模糊集，
即 A, B F(U ) ，若对任一 u U 都
有B(u) A(u)，则称B包含A，或称B是A的
一个子集，记作 B A。若对任一 u U都
有 B(u) A(u) ，则称B等于A,记作 B A 。
定义2-4 并：并 (AU B)的隶属函数 AUB 对所
模糊集F的表示：
F {(u, F (u)) | u U}
1、若U为连续域,模糊集F的化简表示
F F / u U
注意不表示“积分”，只是表示集合的一种方法； /并不表示除号，只是表示变量取值为是的隶属度 函数。
例
x
x0 x0
F (5) 0.2
2、若U为离散域，模糊集合的三种表示方法 (1）查德表示法： n
集合={冷，舒适，热}
冷的补集仍然有{冷，舒适，热}
2）因为模糊集合中B、C可能范围相同，只 是隶属度大小不同。
兄弟两个B、C相似父亲的程度。B、C属于 U区域。
兄弟B 1.0
兄弟C
身 眼鼻 眉体 高 睛子 毛重 图 2-6 模 糊 集 合 兄 弟 两 相 似 父 亲 的 程 度 的 定 义
（3）交换律
AI B BI A
AUB BUA
（4）分配律 A I (B UC) (A I B) U(A I C) A U(B I C) (A U B) I (A UC)
（5）同一律
AI U A
AU A
（6）零一律
AI
AUU U
（7）吸收律 AI (AU B) A AU(AI B) A
a)经 典 集 合 对 温 度 的 定 义
b) 模 糊 集 合 对 温 度 的 定 义
定义2-3 设A、B是论域U的模糊集，
即 A, B F(U ) ，若对任一 u U 都
有B(u) A(u)，则称B包含A，或称B是A的
一个子集，记作 B A。若对任一 u U都
有 B(u) A(u) ，则称B等于A,记作 B A 。
定义2-4 并：并 (AU B)的隶属函数 AUB 对所
模糊集F的表示：
F {(u, F (u)) | u U}
1、若U为连续域,模糊集F的化简表示
F F / u U
注意不表示“积分”，只是表示集合的一种方法； /并不表示除号，只是表示变量取值为是的隶属度 函数。
例
x
x0 x0
F (5) 0.2
2、若U为离散域，模糊集合的三种表示方法 (1）查德表示法： n
集合={冷，舒适，热}
冷的补集仍然有{冷，舒适，热}
2）因为模糊集合中B、C可能范围相同，只 是隶属度大小不同。
兄弟两个B、C相似父亲的程度。B、C属于 U区域。
兄弟B 1.0
兄弟C
身 眼鼻 眉体 高 睛子 毛重 图 2-6 模 糊 集 合 兄 弟 两 相 似 父 亲 的 程 度 的 定 义
（3）交换律
AI B BI A
AUB BUA
（4）分配律 A I (B UC) (A I B) U(A I C) A U(B I C) (A U B) I (A UC)
（5）同一律
AI U A
AU A
（6）零一律
AI
AUU U
（7）吸收律 AI (AU B) A AU(AI B) A
a)经 典 集 合 对 温 度 的 定 义
b) 模 糊 集 合 对 温 度 的 定 义
模糊数学第二讲--模糊集合及其运算
A(u)
[1
(
u
50 5
)2
]1
, 50 u 100
1
0 u 25
B(u)
[1
(
u
25 5
)2
]1
25 u 100
A
B A(u) B(u)
1
[1 (u 25)2 ]1
5
[1 (u 50)2 ]1 5
uU
u
u 0u25
25u u*
u
u* u100
u
A
B A(u) B(u)
2024/7/20
20
五、模糊截集
1. -截集(-cut)
引例：
奴隶社会 1/ 夏 1/ 商 0.9 / 西周 0.7 / 春秋 0.5/战国 0.4 / 秦 0.3/ 西汉 0.1/东汉
若要求至少应达到0.5 水平，则有夏、商、西 周、春秋、战国
若要求至少应达到0.7 水平，则有夏、商、西周、 春秋
(A B) C (A C) (B C)
5、吸收律： (A B) A A, (A B) A A 6、复原律： (Ac )c A 7、对偶律： ( A B)c Ac Bc , ( A B)c Ac Bc 8、0 –1律： A U U , A A
AU A, A
k 1
uk
k 1
uk
u k 1
k
(2) 设论域U为无限集且A A(u), B B(u),
uU u
uU u
则A B A(u) B(u)，A B A(u) B(u)，AC 1 A(u)
uU
u
uU
u
uU
u
2024/7/20
16
例2 设模糊集A和B的隶属函数为
第2章：模糊集合
三、起源
1965年 )发表论文 模糊数学( 发表论文“ )”。 1965年，(美)著名控制论教授扎德( L.A.Zadeh )发表论文“模糊数学( fuzzy )”。 著名控制论教授扎德( 给定量研究客观世界中的模糊性开辟了新途径。 给定量研究客观世界中的模糊性开辟了新途径。
1
2.1 模糊集合的定义
1 0 • • 25
( x − 25 ) 2 − 1 ) ] , 25 < x ≤ 100 5
100
x
µ O ( x) =
[1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (
0
, 0 ≤ x ≤ 50
µO (x)
1 0 • 50 100 x
( x − 50 ) − 2 − 1 ) ] , 50 < x ≤ 100 5
若你的年龄 x = 30 岁，则
~ 或用向量表示为： 或用向量表示为： A = ( 0.81, 0.53 , 1, 0, 0.24 )
µ (X ) ~ µ (X ) µ (X ) 一般( 对有限论域 )：A = A 1 + A 2 + L + A n = ( µ A ( X 1 ), µ A ( X 2 ),L , µ A ( X n )) X1 X2 Xn
二、模糊性与随机性的区别
1、模糊性：事物的概念本身是模糊的。即事物是否符合给出的概念不明确。 模糊性：事物的概念本身是模糊的。即事物是否符合给出的概念不明确。 随机性：事物的概念本身是明确的，只是发生的条件不充分， 2、随机性：事物的概念本身是明确的，只是发生的条件不充分，使条件与事物的发生无因果 关系，从而事物的发生与否表现出不确定性，但有统计规律。 关系，从而事物的发生与否表现出不确定性，但有统计规律。
模糊集的基本运算
A∩B={(x1, 0.5), (x2, 0.5), (x3, 0.3), (x4, 0.4)}. 模糊集合“个子不高”为:
A ={(x1, 0.4), (x2, 0.5), (x3, 0), (x4, 0.6)}.
四.模糊集的运算性质
1. 经典集合的运算性质 经典集合关于并、交、补运算具有以下性质: 设X为论域, A, B, C为X上的经典集合, 则
A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). X上的模糊集B为:
帅哥
B=(0.35, 0.52, 0.65, 0.37). 则根据定义有BA.
超男
定义 论域X上的模糊集A与B称为是相等的, 如果AB 且BA, 即对任意xX有A(x)= B(x).
3. 模糊集的并 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 A∪B={xX| xA或xB}.
第二章 模糊集的基本运算
一. 模糊集的表示方法
模糊集合是论域X 到[0,1]的映射, 因此用隶属函 数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外, 还有 以下的表示方法： 1)序偶表示法
A={(x, A(x)|xX}. 例如: 用集合X={x1, x2, x3, x4}表示某学生宿舍中的四 位男同学, “帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法 对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度”)做的评价依 次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则以此评价构成的模糊集 合A记为:
A(x)
1 0
xa xa
1
xa
A(x) ek(xa) x a, k 0
A(x)
1 ek
( xa )2
xa x a, k 01A( x)源自11 b(x a)c
xa x a (b, c 0)
A ={(x1, 0.4), (x2, 0.5), (x3, 0), (x4, 0.6)}.
四.模糊集的运算性质
1. 经典集合的运算性质 经典集合关于并、交、补运算具有以下性质: 设X为论域, A, B, C为X上的经典集合, 则
A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). X上的模糊集B为:
帅哥
B=(0.35, 0.52, 0.65, 0.37). 则根据定义有BA.
超男
定义 论域X上的模糊集A与B称为是相等的, 如果AB 且BA, 即对任意xX有A(x)= B(x).
3. 模糊集的并 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 A∪B={xX| xA或xB}.
第二章 模糊集的基本运算
一. 模糊集的表示方法
模糊集合是论域X 到[0,1]的映射, 因此用隶属函 数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外, 还有 以下的表示方法： 1)序偶表示法
A={(x, A(x)|xX}. 例如: 用集合X={x1, x2, x3, x4}表示某学生宿舍中的四 位男同学, “帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法 对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度”)做的评价依 次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则以此评价构成的模糊集 合A记为:
A(x)
1 0
xa xa
1
xa
A(x) ek(xa) x a, k 0
A(x)
1 ek
( xa )2
xa x a, k 01A( x)源自11 b(x a)c
xa x a (b, c 0)
第二章模糊集合(1)
上例可写成 F={（0，1），（1，0.9），（2，0.75），（3，0.5）， （4，0.2），（5，0.1）}
3）向量表示法
F { (u1 ), (u2 ),..., (un )}
此时，元素u应该按次序排列，隶属度值为零的项不能省略。 上例可写为 F={1，0.9，0.75，0.5，0.2，0.1} 上页
具有数学运算、符号运算的逻辑推理 边缘交叉学科 上页
小结
下页
茂名学院计算机与电子信息学院自动化系
—智能控制技术—
第二章 模糊控制的理论基础
第一节 引言
第二节 模糊集合论基础
一、普通集合 二、模糊集合的概念 三、模糊集合的运算 四、隶属函数（MF）的确定 五、模糊关系 上页
小结
下页
茂名学院计算机与电子信息学院自动化系
1 A 0
如果 X A 如果 X A
模糊集合：论域U中的模糊集F用一个在区间[0，1]上
取值的隶属函数
F (u) 来表示，即
F {(u, F (u)) | u U}
上页
小结
下页
茂名学院计算机与电子信息学院自动化系
—智能控制技术—
普通集合
X 6
1
X 6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A 0
3）交换律 A∩B=B∩A， A∪B= B∪A
上页
小结
下页
茂名学院计算机与电子信息学院自动化系
—智能控制技术—
4）分配律 5）同一律 6）零一律 7）吸收律 8）德.摩根律
A∩（B∪C） =（A ∩ B）∪（A ∩ C） ； A∪（B∩C）=（A∪B）∩ （A∪C）； A∩U=A， A∪Φ=A； A∩Φ=Φ， A∪U=U； A∩（A∪B）=A， A∪（A ∩ B）=A；
3）向量表示法
F { (u1 ), (u2 ),..., (un )}
此时，元素u应该按次序排列，隶属度值为零的项不能省略。 上例可写为 F={1，0.9，0.75，0.5，0.2，0.1} 上页
具有数学运算、符号运算的逻辑推理 边缘交叉学科 上页
小结
下页
茂名学院计算机与电子信息学院自动化系
—智能控制技术—
第二章 模糊控制的理论基础
第一节 引言
第二节 模糊集合论基础
一、普通集合 二、模糊集合的概念 三、模糊集合的运算 四、隶属函数（MF）的确定 五、模糊关系 上页
小结
下页
茂名学院计算机与电子信息学院自动化系
1 A 0
如果 X A 如果 X A
模糊集合：论域U中的模糊集F用一个在区间[0，1]上
取值的隶属函数
F (u) 来表示，即
F {(u, F (u)) | u U}
上页
小结
下页
茂名学院计算机与电子信息学院自动化系
—智能控制技术—
普通集合
X 6
1
X 6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A 0
3）交换律 A∩B=B∩A， A∪B= B∪A
上页
小结
下页
茂名学院计算机与电子信息学院自动化系
—智能控制技术—
4）分配律 5）同一律 6）零一律 7）吸收律 8）德.摩根律
A∩（B∪C） =（A ∩ B）∪（A ∩ C） ； A∪（B∩C）=（A∪B）∩ （A∪C）； A∩U=A， A∪Φ=A； A∩Φ=Φ， A∪U=U； A∩（A∪B）=A， A∪（A ∩ B）=A；
第二章 模糊集合论基础
∧、 ∨
7、隶属度函数的建立 、
模糊集合是用隶属函数描述的。隶属度函数在模糊集 合论中占有极其重要的地位。模糊集合中特征函数 也就是隶属度函数的取值范围在[0,1]区间。 如何确定隶属度函为一个关键问题。鉴于模糊集 理论研究对象的特殊性，没有一个统一的隶属度计 算方法。但隶属度函数实质上反映的是事物的渐变 性，因此，它仍然应遵守一些基本原则。
5、常见的模糊分布 三角形隶属函数 trig ( x ; a , b , c ) =
0 x−a b−a c− x c−b 0
x≤a a≤ x≤b b≤ x≤c c≤ x
梯形隶属函数
0 x−a b−a Trap ( x , a , b , c , d ) = 1 d−x d −c 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 1+
x − c 2b a
a,b,c,的几何意义如图所示。
斜率=-b/2a
c c+a c-a 改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
6、模糊子集的运算 包含或子集： A ⊆ B ↔ µ A ( x) ≤ µ B ( x) 并（析取） 交（合取） 补（负）
C = A∪ B
µC = max(µ A ( x), µ B ( x)) = µ A ( x) ∨ µ B ( x)
1）表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合 ）
凸模糊集合
非凸模糊集合
µ
0
x
速度适中 = 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70 速度适中 = 0.9/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70
2）变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。 3）隶属度函数要符合人们的语言顺序避免不恰当的重叠 µ
2-模糊集合
2.2 模糊集合论基础
2.2.3 模糊集合
b) 序偶表示法（离散）：
A1={ （a ，0.1），（b ，0.3），（c ，0.4）， （d ，0.7），（e ，1.0）} A2={（a ，1.0），（b ，0.8），（c ，0.55）， （d ，0.3），（e ，0.1）} 也可进一步化简为失量表示： A1={μA1(a) μA1(b) μA1(c) μA1 (d) μA1(e)}={0.1 0.3 0.4 0.7 1.0} A2={1.0 0.8 0.55 0.3 0.1}
2.2 模糊集合论基础
2.2.6 模糊集合的运算
问题：子集、并、交、补这些操作，参照 清晰集合，模糊集合的这些操作应该如何 进行？对应的物理意义是什么？
2.2 模糊集合论基础
2.2.6 模糊集合的运算 包含或子 集： 并（析取） 交（合取）
A B A ( x) B ( x)
C A B
x A x B
2.2 模糊集合论基础
2.2.2 清晰集合（确定集合）
1）特征函数：考虑论域中的某个个体y 和一个子集A， 用函数来表示他们的关系：
1 ( y) 0
A
y A y A
称为集合A的特征函数。 2）特征函数的值域（取值范围）：{0，1}。这是清晰集 合中个体与子集的关系，即论域E被特征函数“非此即 彼”地划分成两个集合A和Ā Ā=E – A 为A的补集 。
2.1
引言
2.1.1 模糊控制发展
1965：Zadeh提出模糊集理论 理论上的反对：
a）没有严格的系统方法；
b）与概率理论的区别在哪里？ （灰系统、粗糙集） 1974：Mamdani将模糊数学理论成功应用于蒸汽机和锅 炉控制；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
+
3、模糊与概率的差别： 口极渴的人饮用哪杯液体？
C
A
属于可饮液体的隶属度为0.9 属于可饮液体的隶属度为0.9
有可饮液体的概率0.9 有可饮液体的概率
概率是事件发生的可能性大小的度量，表示事件 结果的不确定性 隶属函数表示事件多大程度属于某个分类的度量
4、模糊集合的几个子集： 支集 支集( A) = {x | µ A ( x) > 0}
α
α
交叉点
核 α截集 支集
核
核( A) = {x | µ A ( x ) = 1}
交叉点（A） {x | µ A ( x) = 0.5} =
µ A ( x) = 1 的单点支集
α 截集 α 截集（A） {x | µ A ( x ) ≥ α } =
交叉点 模糊单点
隶 函 数 0.5 年龄 45 90 属 1.0
x≤a a≤ x≤b b≤ x≤c c≤ x≤ d d ≤ x
高斯形隶属函数
g ( x; c, σ ) =
1 x −c 2 − ( ) 2 σ e
c代表MF的中心；σ 决定MF的宽度。 1 一般钟形隶属函数 bell ( x; a, b, c) = x − c 2b 1+ a
隶属函数的参数化：
以钟形函数为例， bell ( x; a, b, c) =
1）表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合 ）
凸模糊集合
非凸模糊集合
µ
0
x
速度适中 = 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70 速度适中 = 0.9/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70
2）变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。 3）隶属度函数要符合人们的语言顺序避免不恰当的重叠 µ
5、常见的模糊分布 三角形隶属函数 trig ( x ; x c−b 0
x≤a a≤ x≤b b≤ x≤c c≤ x
梯形隶属函数
0 x−a b−a Trap ( x , a , b , c , d ) = 1 d−x d −c 0
适中 高
很高
1.0
适中
0
速度 /(km ⋅ h −1 )
32
图2－4
交叉越界的隶属度函数示意图
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
1 1+
x − c 2b a
a,b,c,的几何意义如图所示。
斜率=-b/2a
c c+a c-a 改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
6、模糊子集的运算 包含或子集： A ⊆ B ↔ µ A ( x) ≤ µ B ( x) 并（析取） 交（合取） 补（负）
C = A∪ B
µC = max(µ A ( x), µ B ( x)) = µ A ( x) ∨ µ B ( x)
C = A∩ B
µ C = min( µ A ( x ), µ B ( x )) = µ A ∧ µ B
A , − A 或非 A µ A ( x) = 1 − µ A ( x)
定理1－1模糊集运算的基本定律：设U为论域，A，B，C为U 中的任意模糊子集,则下列等式成立： (2 − 9) A∩ A = A , A∪ A = A （1）幂等律 A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C , A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C; (2 − 10） （2）结合律 A ∩ B = B ∩ A , A ∪ B = B ∪ A ; (2 − 11) （3）交换律 ∩(B∪C) = (A∩ B) ∪(A∩C) , A∪(B∩C) = (A∪ B) ∩(A∪C);(2 −12) A （4）分配律 A ∩ U = A , A ∪ φ = A ; (2 − 13) （5）同一律 A ∩ φ = φ , A ∪ U = U ; (2 − 14) （6）零一律 A ∩ ( A ∪ B) = A , A ∪ ( A ∩ B) = A ; (2 − 15) （7）吸收律 ( A ∩ B) = A ∪ B , ( A ∪ B) = A ∩ B (2 − 16) （8）德•摩根律 A = A (2 − 17) （9）双重否认律 模糊集与经典集的集合运算的基本性质完全相同，只是模糊 集运算不满足互补律，即 A ∪ A ≠ U A∩ A ≠ φ 上面定义的模糊集合运算是采用Zadeh算子 来进行的。 Zadeh算子的优点是计算简单，除不满足互补律外与经典集合 的运算性质十分相似。人们根据具体情况又定义多种不同的
∧、 ∨
7、隶属度函数的建立 、
模糊集合是用隶属函数描述的。隶属度函数在模糊集 合论中占有极其重要的地位。模糊集合中特征函数 也就是隶属度函数的取值范围在[0,1]区间。 如何确定隶属度函为一个关键问题。鉴于模糊集 理论研究对象的特殊性，没有一个统一的隶属度计 算方法。但隶属度函数实质上反映的是事物的渐变 性，因此，它仍然应遵守一些基本原则。
注意: ∑ 和 ∫ 并非求和和积分符号. : .
上述三个例子分别可写为 C = 0.8 /上海+0.9 /北京 +0.7 /天津 +0.6 /西安 C = 0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/4+0.3/5+0.1/6 1 B = ∫ /x / 不是除法运算 x − 50 4 R 1+ ( ) 10
模糊集合： 如果X 是对象x的集合，则X的模糊集合A ：
A = {( x, µ A ( x)) | x ∈ X } µ A ( x ) 称为模糊集合 A的隶属函数（简写为 MF )
X 称为论域
隶属函数的性质： a) 定义为有序对； b) 隶属函数值在0和1之间； c) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。 论域的二种形式： 1 1）离散形式（有序或无序）： 举例：X={上海 北京 天津 西安}为城市的集合。 模糊集合 C = “希望居住的城市”可以表示为： C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
第二章 模糊集合论基础
重点：1 模糊集合概念 重点： 2 隶属函数 难点： 难点： 模糊集合的运算
1. 模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
个子高低
2 模糊集合 常用术语
① 模糊集合和隶属函数 精确集合（非此即彼）： A={X|X>6} 精确集合的隶属函数： 如果 X ∈ A 1 µA = 如果 X ∉ A 0
又：X = {0 1 2 3 4 5 6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合 模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)}
2) 连续形式: 令X = [0, 200] 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
B = {x, µ B ( x) | x ∈ X } 式中： 1 µ B ( x) = x − 50 4 1+ ( ) 10
模糊集合的公式表示
∑ x ∈X µ A ( xi ) / xi X为离散对象集合 i A = µ (x ) / x X为连续空间（通常为实 轴） ∫ A i X
3、模糊与概率的差别： 口极渴的人饮用哪杯液体？
C
A
属于可饮液体的隶属度为0.9 属于可饮液体的隶属度为0.9
有可饮液体的概率0.9 有可饮液体的概率
概率是事件发生的可能性大小的度量，表示事件 结果的不确定性 隶属函数表示事件多大程度属于某个分类的度量
4、模糊集合的几个子集： 支集 支集( A) = {x | µ A ( x) > 0}
α
α
交叉点
核 α截集 支集
核
核( A) = {x | µ A ( x ) = 1}
交叉点（A） {x | µ A ( x) = 0.5} =
µ A ( x) = 1 的单点支集
α 截集 α 截集（A） {x | µ A ( x ) ≥ α } =
交叉点 模糊单点
隶 函 数 0.5 年龄 45 90 属 1.0
x≤a a≤ x≤b b≤ x≤c c≤ x≤ d d ≤ x
高斯形隶属函数
g ( x; c, σ ) =
1 x −c 2 − ( ) 2 σ e
c代表MF的中心；σ 决定MF的宽度。 1 一般钟形隶属函数 bell ( x; a, b, c) = x − c 2b 1+ a
隶属函数的参数化：
以钟形函数为例， bell ( x; a, b, c) =
1）表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合 ）
凸模糊集合
非凸模糊集合
µ
0
x
速度适中 = 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70 速度适中 = 0.9/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70
2）变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。 3）隶属度函数要符合人们的语言顺序避免不恰当的重叠 µ
5、常见的模糊分布 三角形隶属函数 trig ( x ; x c−b 0
x≤a a≤ x≤b b≤ x≤c c≤ x
梯形隶属函数
0 x−a b−a Trap ( x , a , b , c , d ) = 1 d−x d −c 0
适中 高
很高
1.0
适中
0
速度 /(km ⋅ h −1 )
32
图2－4
交叉越界的隶属度函数示意图
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
1 1+
x − c 2b a
a,b,c,的几何意义如图所示。
斜率=-b/2a
c c+a c-a 改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
6、模糊子集的运算 包含或子集： A ⊆ B ↔ µ A ( x) ≤ µ B ( x) 并（析取） 交（合取） 补（负）
C = A∪ B
µC = max(µ A ( x), µ B ( x)) = µ A ( x) ∨ µ B ( x)
C = A∩ B
µ C = min( µ A ( x ), µ B ( x )) = µ A ∧ µ B
A , − A 或非 A µ A ( x) = 1 − µ A ( x)
定理1－1模糊集运算的基本定律：设U为论域，A，B，C为U 中的任意模糊子集,则下列等式成立： (2 − 9) A∩ A = A , A∪ A = A （1）幂等律 A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C , A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C; (2 − 10） （2）结合律 A ∩ B = B ∩ A , A ∪ B = B ∪ A ; (2 − 11) （3）交换律 ∩(B∪C) = (A∩ B) ∪(A∩C) , A∪(B∩C) = (A∪ B) ∩(A∪C);(2 −12) A （4）分配律 A ∩ U = A , A ∪ φ = A ; (2 − 13) （5）同一律 A ∩ φ = φ , A ∪ U = U ; (2 − 14) （6）零一律 A ∩ ( A ∪ B) = A , A ∪ ( A ∩ B) = A ; (2 − 15) （7）吸收律 ( A ∩ B) = A ∪ B , ( A ∪ B) = A ∩ B (2 − 16) （8）德•摩根律 A = A (2 − 17) （9）双重否认律 模糊集与经典集的集合运算的基本性质完全相同，只是模糊 集运算不满足互补律，即 A ∪ A ≠ U A∩ A ≠ φ 上面定义的模糊集合运算是采用Zadeh算子 来进行的。 Zadeh算子的优点是计算简单，除不满足互补律外与经典集合 的运算性质十分相似。人们根据具体情况又定义多种不同的
∧、 ∨
7、隶属度函数的建立 、
模糊集合是用隶属函数描述的。隶属度函数在模糊集 合论中占有极其重要的地位。模糊集合中特征函数 也就是隶属度函数的取值范围在[0,1]区间。 如何确定隶属度函为一个关键问题。鉴于模糊集 理论研究对象的特殊性，没有一个统一的隶属度计 算方法。但隶属度函数实质上反映的是事物的渐变 性，因此，它仍然应遵守一些基本原则。
注意: ∑ 和 ∫ 并非求和和积分符号. : .
上述三个例子分别可写为 C = 0.8 /上海+0.9 /北京 +0.7 /天津 +0.6 /西安 C = 0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/4+0.3/5+0.1/6 1 B = ∫ /x / 不是除法运算 x − 50 4 R 1+ ( ) 10
模糊集合： 如果X 是对象x的集合，则X的模糊集合A ：
A = {( x, µ A ( x)) | x ∈ X } µ A ( x ) 称为模糊集合 A的隶属函数（简写为 MF )
X 称为论域
隶属函数的性质： a) 定义为有序对； b) 隶属函数值在0和1之间； c) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。 论域的二种形式： 1 1）离散形式（有序或无序）： 举例：X={上海 北京 天津 西安}为城市的集合。 模糊集合 C = “希望居住的城市”可以表示为： C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
第二章 模糊集合论基础
重点：1 模糊集合概念 重点： 2 隶属函数 难点： 难点： 模糊集合的运算
1. 模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
个子高低
2 模糊集合 常用术语
① 模糊集合和隶属函数 精确集合（非此即彼）： A={X|X>6} 精确集合的隶属函数： 如果 X ∈ A 1 µA = 如果 X ∉ A 0
又：X = {0 1 2 3 4 5 6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合 模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)}
2) 连续形式: 令X = [0, 200] 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
B = {x, µ B ( x) | x ∈ X } 式中： 1 µ B ( x) = x − 50 4 1+ ( ) 10
模糊集合的公式表示
∑ x ∈X µ A ( xi ) / xi X为离散对象集合 i A = µ (x ) / x X为连续空间（通常为实 轴） ∫ A i X