第二章 模糊集合论基础
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B = {x, µ B ( x) | x ∈ X } 式中： 1 µ B ( x) = x − 50 4 1+ ( ) 10
模糊集合的公式表示
∑ x ∈X µ A ( xi ) / xi X为离散对象集合 i A = µ (x ) / x X为连续空间（通常为实 轴） ∫ A i X
Βιβλιοθήκη Baidu）表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合 ）
凸模糊集合
非凸模糊集合
µ
0
x
速度适中 = 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70 速度适中 = 0.9/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70
2）变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。 3）隶属度函数要符合人们的语言顺序避免不恰当的重叠 µ
5、常见的模糊分布 三角形隶属函数 trig ( x ; a , b , c ) =
0 x−a b−a c− x c−b 0
x≤a a≤ x≤b b≤ x≤c c≤ x
梯形隶属函数
0 x−a b−a Trap ( x , a , b , c , d ) = 1 d−x d −c 0
x≤a a≤ x≤b b≤ x≤c c≤ x≤ d d ≤ x
高斯形隶属函数
g ( x; c, σ ) =
1 x −c 2 − ( ) 2 σ e
c代表MF的中心；σ 决定MF的宽度。 1 一般钟形隶属函数 bell ( x; a, b, c) = x − c 2b 1+ a
隶属函数的参数化：
以钟形函数为例， bell ( x; a, b, c) =
C = A∩ B
µ C = min( µ A ( x ), µ B ( x )) = µ A ∧ µ B
A , − A 或非 A µ A ( x) = 1 − µ A ( x)
定理1－1模糊集运算的基本定律：设U为论域，A，B，C为U 中的任意模糊子集,则下列等式成立： (2 − 9) A∩ A = A , A∪ A = A （1）幂等律 A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C , A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C; (2 − 10） （2）结合律 A ∩ B = B ∩ A , A ∪ B = B ∪ A ; (2 − 11) （3）交换律 ∩(B∪C) = (A∩ B) ∪(A∩C) , A∪(B∩C) = (A∪ B) ∩(A∪C);(2 −12) A （4）分配律 A ∩ U = A , A ∪ φ = A ; (2 − 13) （5）同一律 A ∩ φ = φ , A ∪ U = U ; (2 − 14) （6）零一律 A ∩ ( A ∪ B) = A , A ∪ ( A ∩ B) = A ; (2 − 15) （7）吸收律 ( A ∩ B) = A ∪ B , ( A ∪ B) = A ∩ B (2 − 16) （8）德•摩根律 A = A (2 − 17) （9）双重否认律 模糊集与经典集的集合运算的基本性质完全相同，只是模糊 集运算不满足互补律，即 A ∪ A ≠ U A∩ A ≠ φ 上面定义的模糊集合运算是采用Zadeh算子 来进行的。 Zadeh算子的优点是计算简单，除不满足互补律外与经典集合 的运算性质十分相似。人们根据具体情况又定义多种不同的
α
α
交叉点
核 α截集 支集
核
核( A) = {x | µ A ( x ) = 1}
交叉点（A） {x | µ A ( x) = 0.5} =
µ A ( x) = 1 的单点支集
α 截集 α 截集（A） {x | µ A ( x ) ≥ α } =
交叉点 模糊单点
隶 函 数 0.5 年龄 45 90 属 1.0
适中 高
很高
1.0
适中
0
速度 /(km ⋅ h −1 )
32
图2－4
交叉越界的隶属度函数示意图
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
模糊集合： 如果X 是对象x的集合，则X的模糊集合A ：
A = {( x, µ A ( x)) | x ∈ X } µ A ( x ) 称为模糊集合 A的隶属函数（简写为 MF )
X 称为论域
隶属函数的性质： a) 定义为有序对； b) 隶属函数值在0和1之间； c) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。 论域的二种形式： 1 1）离散形式（有序或无序）： 举例：X={上海 北京 天津 西安}为城市的集合。 模糊集合 C = “希望居住的城市”可以表示为： C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
+
3、模糊与概率的差别： 口极渴的人饮用哪杯液体？
C
A
属于可饮液体的隶属度为0.9 属于可饮液体的隶属度为0.9
有可饮液体的概率0.9 有可饮液体的概率
概率是事件发生的可能性大小的度量，表示事件 结果的不确定性 隶属函数表示事件多大程度属于某个分类的度量
4、模糊集合的几个子集： 支集 支集( A) = {x | µ A ( x) > 0}
∧、 ∨
7、隶属度函数的建立 、
模糊集合是用隶属函数描述的。隶属度函数在模糊集 合论中占有极其重要的地位。模糊集合中特征函数 也就是隶属度函数的取值范围在[0,1]区间。 如何确定隶属度函为一个关键问题。鉴于模糊集 理论研究对象的特殊性，没有一个统一的隶属度计 算方法。但隶属度函数实质上反映的是事物的渐变 性，因此，它仍然应遵守一些基本原则。
又：X = {0 1 2 3 4 5 6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合 模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)}
2) 连续形式: 令X = [0, 200] 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
注意: ∑ 和 ∫ 并非求和和积分符号. : .
上述三个例子分别可写为 C = 0.8 /上海+0.9 /北京 +0.7 /天津 +0.6 /西安 C = 0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/4+0.3/5+0.1/6 1 B = ∫ /x / 不是除法运算 x − 50 4 R 1+ ( ) 10
第二章 模糊集合论基础
重点：1 模糊集合概念 重点： 2 隶属函数 难点： 难点： 模糊集合的运算
1. 模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
个子高低
2 模糊集合 常用术语
① 模糊集合和隶属函数 精确集合（非此即彼）： A={X|X>6} 精确集合的隶属函数： 如果 X ∈ A 1 µA = 如果 X ∉ A 0
1 1+
x − c 2b a
a,b,c,的几何意义如图所示。
斜率=-b/2a
c c+a c-a 改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
6、模糊子集的运算 包含或子集： A ⊆ B ↔ µ A ( x) ≤ µ B ( x) 并（析取） 交（合取） 补（负）
C = A∪ B
µC = max(µ A ( x), µ B ( x)) = µ A ( x) ∨ µ B ( x)
模糊集合的公式表示
∑ x ∈X µ A ( xi ) / xi X为离散对象集合 i A = µ (x ) / x X为连续空间（通常为实 轴） ∫ A i X
Βιβλιοθήκη Baidu）表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合 ）
凸模糊集合
非凸模糊集合
µ
0
x
速度适中 = 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70 速度适中 = 0.9/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70
2）变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。 3）隶属度函数要符合人们的语言顺序避免不恰当的重叠 µ
5、常见的模糊分布 三角形隶属函数 trig ( x ; a , b , c ) =
0 x−a b−a c− x c−b 0
x≤a a≤ x≤b b≤ x≤c c≤ x
梯形隶属函数
0 x−a b−a Trap ( x , a , b , c , d ) = 1 d−x d −c 0
x≤a a≤ x≤b b≤ x≤c c≤ x≤ d d ≤ x
高斯形隶属函数
g ( x; c, σ ) =
1 x −c 2 − ( ) 2 σ e
c代表MF的中心；σ 决定MF的宽度。 1 一般钟形隶属函数 bell ( x; a, b, c) = x − c 2b 1+ a
隶属函数的参数化：
以钟形函数为例， bell ( x; a, b, c) =
C = A∩ B
µ C = min( µ A ( x ), µ B ( x )) = µ A ∧ µ B
A , − A 或非 A µ A ( x) = 1 − µ A ( x)
定理1－1模糊集运算的基本定律：设U为论域，A，B，C为U 中的任意模糊子集,则下列等式成立： (2 − 9) A∩ A = A , A∪ A = A （1）幂等律 A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C , A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C; (2 − 10） （2）结合律 A ∩ B = B ∩ A , A ∪ B = B ∪ A ; (2 − 11) （3）交换律 ∩(B∪C) = (A∩ B) ∪(A∩C) , A∪(B∩C) = (A∪ B) ∩(A∪C);(2 −12) A （4）分配律 A ∩ U = A , A ∪ φ = A ; (2 − 13) （5）同一律 A ∩ φ = φ , A ∪ U = U ; (2 − 14) （6）零一律 A ∩ ( A ∪ B) = A , A ∪ ( A ∩ B) = A ; (2 − 15) （7）吸收律 ( A ∩ B) = A ∪ B , ( A ∪ B) = A ∩ B (2 − 16) （8）德•摩根律 A = A (2 − 17) （9）双重否认律 模糊集与经典集的集合运算的基本性质完全相同，只是模糊 集运算不满足互补律，即 A ∪ A ≠ U A∩ A ≠ φ 上面定义的模糊集合运算是采用Zadeh算子 来进行的。 Zadeh算子的优点是计算简单，除不满足互补律外与经典集合 的运算性质十分相似。人们根据具体情况又定义多种不同的
α
α
交叉点
核 α截集 支集
核
核( A) = {x | µ A ( x ) = 1}
交叉点（A） {x | µ A ( x) = 0.5} =
µ A ( x) = 1 的单点支集
α 截集 α 截集（A） {x | µ A ( x ) ≥ α } =
交叉点 模糊单点
隶 函 数 0.5 年龄 45 90 属 1.0
适中 高
很高
1.0
适中
0
速度 /(km ⋅ h −1 )
32
图2－4
交叉越界的隶属度函数示意图
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
模糊集合： 如果X 是对象x的集合，则X的模糊集合A ：
A = {( x, µ A ( x)) | x ∈ X } µ A ( x ) 称为模糊集合 A的隶属函数（简写为 MF )
X 称为论域
隶属函数的性质： a) 定义为有序对； b) 隶属函数值在0和1之间； c) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。 论域的二种形式： 1 1）离散形式（有序或无序）： 举例：X={上海 北京 天津 西安}为城市的集合。 模糊集合 C = “希望居住的城市”可以表示为： C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
+
3、模糊与概率的差别： 口极渴的人饮用哪杯液体？
C
A
属于可饮液体的隶属度为0.9 属于可饮液体的隶属度为0.9
有可饮液体的概率0.9 有可饮液体的概率
概率是事件发生的可能性大小的度量，表示事件 结果的不确定性 隶属函数表示事件多大程度属于某个分类的度量
4、模糊集合的几个子集： 支集 支集( A) = {x | µ A ( x) > 0}
∧、 ∨
7、隶属度函数的建立 、
模糊集合是用隶属函数描述的。隶属度函数在模糊集 合论中占有极其重要的地位。模糊集合中特征函数 也就是隶属度函数的取值范围在[0,1]区间。 如何确定隶属度函为一个关键问题。鉴于模糊集 理论研究对象的特殊性，没有一个统一的隶属度计 算方法。但隶属度函数实质上反映的是事物的渐变 性，因此，它仍然应遵守一些基本原则。
又：X = {0 1 2 3 4 5 6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合 模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)}
2) 连续形式: 令X = [0, 200] 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
注意: ∑ 和 ∫ 并非求和和积分符号. : .
上述三个例子分别可写为 C = 0.8 /上海+0.9 /北京 +0.7 /天津 +0.6 /西安 C = 0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/4+0.3/5+0.1/6 1 B = ∫ /x / 不是除法运算 x − 50 4 R 1+ ( ) 10
第二章 模糊集合论基础
重点：1 模糊集合概念 重点： 2 隶属函数 难点： 难点： 模糊集合的运算
1. 模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
个子高低
2 模糊集合 常用术语
① 模糊集合和隶属函数 精确集合（非此即彼）： A={X|X>6} 精确集合的隶属函数： 如果 X ∈ A 1 µA = 如果 X ∉ A 0
1 1+
x − c 2b a
a,b,c,的几何意义如图所示。
斜率=-b/2a
c c+a c-a 改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
6、模糊子集的运算 包含或子集： A ⊆ B ↔ µ A ( x) ≤ µ B ( x) 并（析取） 交（合取） 补（负）
C = A∪ B
µC = max(µ A ( x), µ B ( x)) = µ A ( x) ∨ µ B ( x)