13谓词逻辑
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第3章 谓词逻辑
【谓词公式的类型】根据公式与解释的关系，可以把谓词公式分为三种 类型：永真式、矛盾式和可满足式。 定义 3.13 若公式 A 在任何解释下均为真，则称 A 为永真式。 定义 3.14 若公式 A 在任何解释下均为假，则称 A 为矛盾式(或永假式)。 定义 3.15 若(至少)存在一个解释使公式 A 为真，则称 A 为可满足式。
例3.5 用谓词公式表示下列命题： (1) 所有人都吃饭 (2) 存在不吃饭的人 (2) 没有不吃饭的人
令 M (x) 表示： x 是人
E (x) 表示： x 吃饭 （1） x ( M ( x ) E ( x)) （2） x( M ( x) E ( x)) （3） (x( M ( x) E ( x)))
• 存在量词：表示个体变元在个体论域中取某个值 的量词称为存在量词
符号 加上一个个体变元表示。如 x, y
量词
所有的、任意的、一切的、每一个 有些、至少有一个、某一些、存在
x
x
3.2 谓词公式
定 义 3.5 设 P 是 一 个 n 元 谓 词 ， t1 , t2 ,, tn 是 项 ， 则
P(t1 , t2 ,, tn ) 构成一个谓词公式，称为原子谓词公式。
F(x): x 是奇数 H(x,y): x 大于 y L(x,y): x 比 y 聪明
定义 3.6 谓词逻辑中的合式公式定义如下： (1) 任何一个原子谓词公式都是合式公式； (2) 若 A 是合式公式，则 ( A ) 也是合式公式； (3) 若 A， 是合式公式， ( A B ) ， A B ) ， A B ) ， B 则 ( ( ( A B ) 都是合式公式； (4) 若 A 是合式公式，则 ( xA ) ， ( xA ) 也是合式公式； (5) 仅由(1)—(4)在有限步内产生的公式才是合式公式。
《离散数学》谓词逻辑
§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
24
谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
7
谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）
第三章 谓词逻辑与归结原理
以正向推理所得结果作为假设进 行反向推理
退出
是 还需要正向推理吗？
否
2014-4-9
18
华北电力大学
概述-推理的控制策略
搜索策略
推理时，要反复用到知识库中的规则，而知识库中 的规则又很多，这样就存在着如何在知识库中寻找 可用规则的问题 为有效控制规则的选取，可以采用各种搜索策略 常用搜索策略：
归结推理方法在人工智能推理方法中有着很重 要的历史地位，是机器定理证明的主要方法
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华北电力大学
归结法的特点
归结法是一阶逻辑中，至今为止的最有效的半可 判定的算法。也是最适合计算机进行推理的逻辑 演算方法 半可判定 一阶逻辑中任意恒真公式，使用归结原理，总 可以在有限步内给以判定（证明其为永真式） 当不知道该公式是否为恒真时，使用归结原理 不能得到任何结论
(5) 上下文限制
上下文限制就是把产生式规则按它们所描述的上下文分组，在某种 上下文条件下，只能从与其相对应的那组规则中选择可应用的规则
2014-4-9
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华北电力大学
概述-推理的控制策略
推理的控制策略
3．冲突解决策略
(6) 按匹配度排序
在不精确匹配中，为了确定两个知识模式是否可以进行匹配，需要 计算这两个模式的相似程度，当其相似度达到某个预先规定的值时，就 认为它们是可匹配的。若有几条规则均可匹配成功，则可根据它们的匹 配度来决定哪一个产生式规则可优先被应用
如专家系统、智能机器人、模式识别、自然语言理解等
推理
按照某种策略从已有事实和知识推出结论的过程。 推理是由程序实现的，
称为推理机
医疗诊断专家系统
• 知识库中存储经验及医学常识 • 数据库中存放病人的症状、化验结果等初始事实 • 利用知识库中的知识及一定的控制策略，为病人诊治疾病、开出医疗处方就 是推理过程
2-123 谓词逻辑(Predicate Logic)
2-2.2 量词(quantifier)
定义：特性谓词 在讨论带有量词的命题函数时，必须确 定其个体域，为了方便，可使用全总个体域。 限定客体变元变化范围的谓词，称作特性谓 词。 利用特性谓词，对以上两个命题进行符 号化 (1) (x)( M(x)→F(x) ) (2) (x)( M(x)∧G(x) )
ax可以表示x是a类型的命题表达了客体的性质称为一元谓词可以表示x小于y类型的命题表达了客体之间的关系称为二元谓词可以表示点x在y与z之间类型的命题表达了客体之间的关系称为三元谓表示n元谓词在这里n个客体变元的顺序不能随意改动
第二章 谓词逻辑 Predicate Logic
前言
苏格拉底三段论(Socrates syllogism)： 所有人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。 （ Socrates, 古希腊哲学家,公元前470~前 399） (孔子,中国伟大哲学家,公元前551~前479)
定义2．存在量词(existential quantifier) 用符号 “ ” 表示。 x 表示存在个体域里的个体。 (x)P(x)表示存在个体域里的个体具有性质P。 符号“”称为存在量词，用以表达“某个”，“存在一 些”，“至少有一个”，“对于一些”等词。 The existential quantifier , a backward E is used to form propositions like （x）P(x), which we read as “there exists an x such that P(x),” “there is an x such that P(x),” or “for some x, P(x).” The compound proposition （x）P(x) has these truth values: （ x ） P(x) is true if P(x) is true for at least one x in U; （x）P(x) is false if P(x) is false for every x in
《离散数学》谓词逻辑
内容导航
CONTENTS
第 3章 谓词逻辑
7
1 历史人物 学习要求
3.1 自然语言的谓词符号化 3.2 谓词公式与解释 3.3 谓词公式的标准型——前束范式 3.4 谓词逻辑的推理理论 3.5 谓词逻辑的应用 3.6 作业
3.1 自然语言的谓词符号化
第 3章 谓词逻辑
8
命题是具有真假意义的陈述句，从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部分组成。
学习要求
重点
1 自然语言的谓词符号化 2 谓词公式的解释 3 特性谓词识别与翻译 4 基本等价规律 5 量词去掉/添加规则 6 谓词逻辑的推理
第 3章 谓词逻辑
6
难点
1 自然语言的谓词符号化 2 谓词逻辑与命题逻辑的联系与区别 3 谓词翻译的两条原则 4 合式公式的解释 5 量词去掉/添加规则的正确使用
历史人物
第 3章 谓词逻辑
4
1848-1923，德国数学家、 逻辑学家和哲学家
1906-1978，美籍奥地利数学家、逻 辑学家和哲学家，二十世纪最伟大的 逻辑学家之一
内容导航
CONTENTS
第 3章 谓词逻辑
5
1 历史人物 学习要求
3.1 自然语言的谓词符号化 3.2 谓词公式与解释 3.3 谓词公式的标准型——前束范式 3.4 谓词逻辑的推理理论 3.5 谓词逻辑的应用 3.6 作业
(x)(P(x)∧C(x))
谓词符号
变量符号
提出问题
第 3章 谓词逻辑
22
符号化“李兰的母亲是高级工程师”
设M(x,y)：x是y的母亲，
设g(x)：x的母亲；
P(x)：x是高级工程师；
P(x)：x是高级工程师；
第四章、谓词逻辑
第四章 谓词逻辑
命题逻辑是关于命题联结词用法的逻辑理论。在命题逻辑中，简单命题 不含任何命题联结词，因此它们用字母p、q、r等表示；每个复合命题都是从 简单命题运用命题联结词构造起来的。真值表方法能够用来判定一个仅仅涉 及命题联结词的推理是否有效，命题逻辑的自然演绎系统能够证明任何命题 逻辑的有效推理形式。但是，还有一些有效的推理形式是命题逻辑不能处理 的，例如下面的三段论：
更一般地，有n元谓词符号，表示n个个体之间的关系，用H(t1, …, tn)表达t1, …, tn 所代表的n个个体具有H所代表的关系。例如下面的三元关系：
（9）武汉位于重庆与上海之间。
（10）孙悟空、猪八戒和沙和尚是师兄弟。
这两个命题很容易写成用三元谓词符号表达的三元关系。对命题（9），用a表 示“武汉”，b表示“重庆”，c表示“上海”，用H(x1, x2, x3)表示“x1位于x2和x3之 间”，那么H(a, b, c)表示“武汉位于重庆与上海之间”。命题（10）的符号形式类似 表示。
除了“所有”和“有的”这两个量词之外，自然语言中还有许多量词。例如，至 少有两个、至多有两个、恰好有两个；大多数、少许、许多；有穷多个、无穷多个， 等等。在谓词逻辑中，我们仅仅关心“所有”和“有的”这两个量词以及能够在谓词 逻辑中定义的其它量词，如至少有两个、至多有两个、恰好有两个，等等。
第二节 谓词逻辑的形式语言
我们构造项的符号有三种：个体变元：个体常元：c0, c1, c2, …；个体常元：x0, x1, x2, …；n（1自然数）元函数符号：fn, gn, hn, …。我们用s、t等代表任何项。项是 按如下规则构造的表达式：
（T1）每个个体变元x是项。
（T2）每个个体常元c是项。
（T3）如果t1, …, tn是项并且f是一个n元函数符号，那么f(t1, …, tn)是项。 （T4）只有按照（T1）—（T3）构造的表达式才是项。
命题逻辑是关于命题联结词用法的逻辑理论。在命题逻辑中，简单命题 不含任何命题联结词，因此它们用字母p、q、r等表示；每个复合命题都是从 简单命题运用命题联结词构造起来的。真值表方法能够用来判定一个仅仅涉 及命题联结词的推理是否有效，命题逻辑的自然演绎系统能够证明任何命题 逻辑的有效推理形式。但是，还有一些有效的推理形式是命题逻辑不能处理 的，例如下面的三段论：
更一般地，有n元谓词符号，表示n个个体之间的关系，用H(t1, …, tn)表达t1, …, tn 所代表的n个个体具有H所代表的关系。例如下面的三元关系：
（9）武汉位于重庆与上海之间。
（10）孙悟空、猪八戒和沙和尚是师兄弟。
这两个命题很容易写成用三元谓词符号表达的三元关系。对命题（9），用a表 示“武汉”，b表示“重庆”，c表示“上海”，用H(x1, x2, x3)表示“x1位于x2和x3之 间”，那么H(a, b, c)表示“武汉位于重庆与上海之间”。命题（10）的符号形式类似 表示。
除了“所有”和“有的”这两个量词之外，自然语言中还有许多量词。例如，至 少有两个、至多有两个、恰好有两个；大多数、少许、许多；有穷多个、无穷多个， 等等。在谓词逻辑中，我们仅仅关心“所有”和“有的”这两个量词以及能够在谓词 逻辑中定义的其它量词，如至少有两个、至多有两个、恰好有两个，等等。
第二节 谓词逻辑的形式语言
我们构造项的符号有三种：个体变元：个体常元：c0, c1, c2, …；个体常元：x0, x1, x2, …；n（1自然数）元函数符号：fn, gn, hn, …。我们用s、t等代表任何项。项是 按如下规则构造的表达式：
（T1）每个个体变元x是项。
（T2）每个个体常元c是项。
（T3）如果t1, …, tn是项并且f是一个n元函数符号，那么f(t1, …, tn)是项。 （T4）只有按照（T1）—（T3）构造的表达式才是项。
离散数学习题课-谓词逻辑
5
练习2 练习
(4) 没有不爱吃糖的人。 没有不爱吃糖的人。 是人， 设F(x): x是人，G(x): x爱吃糖 是人 爱吃糖 ¬∃x(F(x)∧¬ ∧¬G(x)) 或 ∀x(F(x)→G(x)) ¬∃ ∧¬ → (5) 任何两个不同的人都不一样高。 任何两个不同的人都不一样高。 F(x):x是人 是人, x与y相同 相同, x与y一样高 设F(x):x是人, H(x,y), x与y相同, L(x,y): x与y一样高 →∀y(F(y)∧¬ ∧¬H(x,y)→¬ →¬L(x,y))) ∀x(F(x)→∀ →∀ ∧¬ →¬ ∧¬H(x,y)→¬ →¬L(x,y)) 或 ∀x∀y(F(x)∧F(y)∧¬ ∀ ∧ ∧¬ →¬ (6) 不是所有的汽车都比所有的火车快。 不是所有的汽车都比所有的火车快。 是汽车, 是火车, 设F(x):x是汽车 G(y):y是火车 H(x,y):x比y快 是汽车 是火车 比 快 ¬∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) ¬∀ ∀ ∧ → ∧¬H(x,y)) 或 ∃x∃y(F(x)∧G(y)∧¬ ∃ ∧ ∧¬
10
习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(2) 谓词逻辑
主要内容 一阶逻辑等值式
基本等值式，置换规则、换名规则、 基本等值式，置换规则、换名规则、代替规则
前束范式 推理的形式结构 自然推理系统N 自然推理系统 L
推理定律、 推理定律、推理规则
11
习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(2) 谓词逻辑
基本要求 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式, 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式 并能准确而熟练地应用它们． 并能准确而熟练地应用它们． 熟练正确地使用置换规则、换名规则、 熟练正确地使用置换规则、换名规则、代 替规则． 替规则． 能够理解公式的前束范式． 能够理解公式的前束范式． 深刻理解自然推理系统N 的定义，牢记N 深刻理解自然推理系统 L 的定义，牢记 L 中的各条推理规则，特别是注意使用∀− ∀−、 中的各条推理规则，特别是注意使用∀−、 条推理规则的条件． ∀+、∃+、∃− 4条推理规则的条件． 、 、 条推理规则的条件 能正确地给出有效推理的证明． 能正确地给出有效推理的证明．
练习2 练习
(4) 没有不爱吃糖的人。 没有不爱吃糖的人。 是人， 设F(x): x是人，G(x): x爱吃糖 是人 爱吃糖 ¬∃x(F(x)∧¬ ∧¬G(x)) 或 ∀x(F(x)→G(x)) ¬∃ ∧¬ → (5) 任何两个不同的人都不一样高。 任何两个不同的人都不一样高。 F(x):x是人 是人, x与y相同 相同, x与y一样高 设F(x):x是人, H(x,y), x与y相同, L(x,y): x与y一样高 →∀y(F(y)∧¬ ∧¬H(x,y)→¬ →¬L(x,y))) ∀x(F(x)→∀ →∀ ∧¬ →¬ ∧¬H(x,y)→¬ →¬L(x,y)) 或 ∀x∀y(F(x)∧F(y)∧¬ ∀ ∧ ∧¬ →¬ (6) 不是所有的汽车都比所有的火车快。 不是所有的汽车都比所有的火车快。 是汽车, 是火车, 设F(x):x是汽车 G(y):y是火车 H(x,y):x比y快 是汽车 是火车 比 快 ¬∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) ¬∀ ∀ ∧ → ∧¬H(x,y)) 或 ∃x∃y(F(x)∧G(y)∧¬ ∃ ∧ ∧¬
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习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(2) 谓词逻辑
主要内容 一阶逻辑等值式
基本等值式，置换规则、换名规则、 基本等值式，置换规则、换名规则、代替规则
前束范式 推理的形式结构 自然推理系统N 自然推理系统 L
推理定律、 推理定律、推理规则
11
习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(2) 谓词逻辑
基本要求 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式, 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式 并能准确而熟练地应用它们． 并能准确而熟练地应用它们． 熟练正确地使用置换规则、换名规则、 熟练正确地使用置换规则、换名规则、代 替规则． 替规则． 能够理解公式的前束范式． 能够理解公式的前束范式． 深刻理解自然推理系统N 的定义，牢记N 深刻理解自然推理系统 L 的定义，牢记 L 中的各条推理规则，特别是注意使用∀− ∀−、 中的各条推理规则，特别是注意使用∀−、 条推理规则的条件． ∀+、∃+、∃− 4条推理规则的条件． 、 、 条推理规则的条件 能正确地给出有效推理的证明． 能正确地给出有效推理的证明．
命题逻辑与谓词逻辑
如 D2 = {1，2，3}
根据上面的分析，在D2上的解释应有29个。
下面是其中的一个解释：
I: P(1, 1) P(1, 2) P(1, 3) P(2, 1) P(2, 2) P(2, 3) P(3, 1) P(3, 2) P(3,3)
T
T
T
F
F
T
FF
F
由于x = 3时，不存在一个y使P(x, y) = T。所以在这个解释下公式B为假，
要考察在这个解释下公式A的真假，根据量词(x)要对所有x 进行考察。由于：对x = 0时，
P(x)→Q( f (x), a) = P(0)→Q( f (0), 0) = P(0)→Q(1, 0) = F→F = T
对x = 1时
P(x)→Q( f (x), a) = P(1)→Q( f (1), 0) = P(1)→Q(0,0) = T→T = T
定义2-5 永真蕴涵：命题公式A永真蕴 涵命题公式B，当且仅当A→B是一个永真 式，记作AB，读作“A永真蕴涵B”，简 称“A蕴涵B”。
2.2 谓 词 逻 辑
• 1．谓词与个体 原子命题被分解为谓词和个体两部分。
• 个体是指可以单独存在的事物，它可以是 一个抽象的概念，也可以是一个具体的东 西。
定理2-2是反证法的理论依据。
6．谓词公式中的等价和蕴涵式 定义2-13 设P与Q是两个谓词公式，D是它们
共同的个体域。若对D上的任何一个解释，P与Q 的真值都相同，则称公式P和Q在域D上是等价的。 如果在任何个体域上P和Q都等价，则称P和Q是 等价的，记做：P Q。
下面是一些常用的等价式：
• 交换律 P∨QQ∨P
（证毕）
定理2-2 G为B1, B2, …, Bn的逻辑结论，当且仅当 (B1 ∧ B2 ∧ … ∧ Bn) ∧ ～ G
谓词逻辑的等值和推理演算-SJTUCS
这是正确的推理形式 在命题逻辑里只能表达成p q → r，显然不是
正确的推理形式
25
推理形式
例2: 人皆有死，孔子是人，所以孔子有死.
(x)(Man(x)→Mortal(x)) Man(Confucius) → Mortal(Confucius)
例3: 若有一个又高又胖的人,则有一个高个 子而且有一个胖子.
(x)Man(x)(x)Woman(x) 要么所有人都是男人，要么所有人都是女人
8
量词分配等值式(续)
回顾：约束变元改名规则
(x)(x) = (y)(y) (x)(x) = (y)(y)
变元易名后的“分配律”
(x)(x)(x)(x)=(x)(y)((x)(y)) (x)(x)(x)(x)=(x)(y)((x)(y))
步骤： 设 是任一公式，通过下述步骤可将其转化
为与之等价的前束范式： （1）消去公式中包含的联结词“”、“”； （2）反复运用摩根定律，直接将“”内移到原子
谓词公式的前端； （3）约束变元易名（如果必要的话）； （4）使用分配等值公式，将所有量词提到公式的最
前端。
14
求((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) 的前束范式。 解 （1）消去联结词“”、“”，得： ((x)(y)P(a, x, y)(x)((y)Q(y,b)R(x)))
引入新个体常项a代入x消去u时引进的个体因为与左边的y和z有关所以不能用个体常项而是用函数两者明显不等值但在不可满足的意义下两者是一致的skolem范式不保持等值24谓词逻辑的推理命题逻辑中有关推理形式重言蕴涵以及基本的推理公式的讨论和所用的术语都可引入到谓词逻辑中并可把命题逻辑的推理作为谓词逻辑的推理的一个部分来看待我们讨论谓词逻辑所特有的推理形式和基本推理公式25推理形式推理形式是指用表达推理的公式例1
正确的推理形式
25
推理形式
例2: 人皆有死，孔子是人，所以孔子有死.
(x)(Man(x)→Mortal(x)) Man(Confucius) → Mortal(Confucius)
例3: 若有一个又高又胖的人,则有一个高个 子而且有一个胖子.
(x)Man(x)(x)Woman(x) 要么所有人都是男人，要么所有人都是女人
8
量词分配等值式(续)
回顾：约束变元改名规则
(x)(x) = (y)(y) (x)(x) = (y)(y)
变元易名后的“分配律”
(x)(x)(x)(x)=(x)(y)((x)(y)) (x)(x)(x)(x)=(x)(y)((x)(y))
步骤： 设 是任一公式，通过下述步骤可将其转化
为与之等价的前束范式： （1）消去公式中包含的联结词“”、“”； （2）反复运用摩根定律，直接将“”内移到原子
谓词公式的前端； （3）约束变元易名（如果必要的话）； （4）使用分配等值公式，将所有量词提到公式的最
前端。
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求((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) 的前束范式。 解 （1）消去联结词“”、“”，得： ((x)(y)P(a, x, y)(x)((y)Q(y,b)R(x)))
引入新个体常项a代入x消去u时引进的个体因为与左边的y和z有关所以不能用个体常项而是用函数两者明显不等值但在不可满足的意义下两者是一致的skolem范式不保持等值24谓词逻辑的推理命题逻辑中有关推理形式重言蕴涵以及基本的推理公式的讨论和所用的术语都可引入到谓词逻辑中并可把命题逻辑的推理作为谓词逻辑的推理的一个部分来看待我们讨论谓词逻辑所特有的推理形式和基本推理公式25推理形式推理形式是指用表达推理的公式例1
第2章 谓词逻辑
（3）不是所有的人都喜欢看电影。 解：令F(x)：x是人，G(x)：x喜欢看电影。 则命题表示为：(x)(F(x)G(x))
21
第二章 谓词逻辑
练习
在谓词逻辑中将下列命题符号化（个体域为全体鸟类）： (1) 所有蜂鸟都有鲜艳的羽毛。 (2) 没有大鸟以蜂蜜为食。 (3) 不以蜂蜜为食的鸟类有灰暗的羽毛。 (4) 蜂鸟是小鸟。 解：设P(x)：x是蜂鸟， Q(x)：x是大鸟，R(x)：x以蜂蜜为 食。S(x)：x有鲜艳的羽毛。
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第二章 谓词逻辑
6. 多个量词同时出现时,不能随意颠倒它们 的顺序，颠倒后会改变原命题的含义
例：取个体域为实数集：
考虑命题： 对任意的x，存在着y，使得x+y=5
H(x,y): x+y=5 真命题 符号化为：∀x∃yH(x,y)，
但颠倒量词顺序得：∃y∀xH(x,y)，表示的含义：
存在着y，对任意的x，都有x+y=5，假命题
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第二章 谓词逻辑
§2-1-3 谓词逻辑命题符号化
例2-1.3 用谓词逻辑符号化下列命题。 （1）所有大学生都爱学习。 解：令S(x)：x是大学生，L(x)：x爱学习，(x)(S(x)L(x)) （2）每个自然数都是实数。 解：令N(x)：x是自然数，R(x)：x是实数，(x)(N(x)R(x))
6
第二章 谓词逻辑 定义2-1.1 一个原子命题用一个谓词（如P）和n个有次 序的个体常元（如a1，a2，…，an）表示成P(a1，a2，…， an)，称它为该原子命题的谓词形式或命题的谓词形式。 定义2-1.2 由一个谓词（如P）和n个体变元（如x1， x2，…，xn）组成的P(x1，x2，…，xn)，称为n元原子谓词 或n元命题函数，简称n元谓词。 • n=1，一元谓词——表示性质 • n2，多元谓词——表示事物之间的关系， • 例如：L(x,y)：xy • 0元谓词——不含个体变元的谓词——命题常元或变元； 例如：ab:a取为2,b取为3 命题看成谓词的特殊情况，命题逻辑的联结词均可应用。
谓词逻辑推理定律
谓词逻辑推理定律首先，让我们了解什么是谓词逻辑。
谓词逻辑是一种逻辑分析方法，用于分析一些断言或句子的真假性。
谓词逻辑推理是指根据给定的谓词逻辑语句推理出另一个谓词逻辑语句的过程。
通常情况下，谓词逻辑推理被用于解决语义相关问题，如逻辑谬误，语言理解等。
谓词逻辑推理定律是用于谓词逻辑推理过程中所应注意的一些基本原则，它们能够帮助我们合理地进行推理，确保推理的合法性和准确性。
下面我们将详细介绍几个常见的谓词逻辑推理定律。
1. 否定演算规律：一个命题与它的否定命题不能同时成立。
例如，如果说“所有动物都能呼吸”，那么这么说就是错误的：“所有动物不能呼吸”。
因此，被推理的命题不能同时成立为“真”和“假”。
2. 否定引入规律：在一个推理中，当我们不能证明一个命题时，我们可以推出它的否定命题是真的。
例如，如果一个人说“我已经搜索了整个屋子，但是没有找到我的钥匙”，那么我们可以推断出：“我的钥匙不在我的房子里”。
因为如果钥匙在房子里，就一定会被找到。
3. 等价规律：如果两个命题具有相同的真值，那么它们具有等价关系。
例如，命题“猫是哺乳动物”和“所有哺乳动物都是猫”就是等价的。
4. 分配律：如果一个逻辑命题包含多个逻辑操作符，将它们分成两个组合不影响其含义。
例如，命题“(p∧q)∨r”和“(p∨r)∧(q∨r)”就是等价的。
5. 归纳法则：当推理一组命题时，我们通常可以通过研究一组具有相似特征的实例来了解整个集合的性质。
例如，如果我们希望证明所有偶数之和是偶数，我们可以归纳地首先证明2和4之和为6，接着证明6和6之和为12，以此类推。
通过这种归纳方法，我们可以得出结论：所有偶数之和是偶数。
6. 相反法则：只有证明命题的逆否命题为真，才能真正证明该命题为真。
例如，如果我们想证明“如果人类能够站立，那么他们就能够行走”，我们可以相反地批判性地假设人类不能行走，然后我们就可以推断出，他们也不能站立。
以上谓词逻辑推理定律是推理过程中注意的基本原则。
谓词与自然演绎推理
15
永真蕴含式 对 于 谓 词 公 式 P 和 Q ， 若 P→Q 永
真，则称P永真蕴含Q，且称Q为P的 逻辑结论，称P为Q的前提。
记作：P Q。
16
常用的永真蕴含式
化简式 P∧QP P∧QQ 附加式 PP∨ Q QP∨ Q
17
析取三段论 ~P, P ∨ Q Q 假言推理 P, P→ Q Q 拒取式 ~Q, P → Q ~ P
Artificial Intelligence
谓词及其推理
主要内容
谓词逻辑的基本概念 谓词公式的解释 谓词公式的永真性和可满足性 谓词公式的等价性与永真蕴含 推理及其方法
2
谓词逻辑的基本概念
命题 一阶谓词 连词 量词 合式公式 量词辖域与约束变元
3
谓词公式的解释
定义：设D为谓词公式P的个体域，若 对P中的个体常量、函数和谓词按如 下规则赋值：
5
例1、设个体域D={1,2},求公式
A= (x)(y)P(x,y)
在D上的解释，并指出在每一种解释 下A的值。
6
解： 设：P(1,1)=T, P(1,2)=F, P(2,1)=T, P(2,2)=F 则它们是A在D上的一个解释。因为 x=1或2时有y=1使得A的真值为T， 故在此解释下公式A的真值为T。
7
又设： P(1,1)=T, P(1,2)=T, P(2,1)=F, P(2,2)=F 它们是A在D上的另一个解释。因为 对D中的所有x (x=1, x=2) ，不存在y， 使得A的真值为T，故在该解释下，公 式A的真值为F。
8
例2、设个体域D={1,2}，求公式
B= (x) (P(x) → Q(f(x),b))
22
推理方法解决的主要问题
永真蕴含式 对 于 谓 词 公 式 P 和 Q ， 若 P→Q 永
真，则称P永真蕴含Q，且称Q为P的 逻辑结论，称P为Q的前提。
记作：P Q。
16
常用的永真蕴含式
化简式 P∧QP P∧QQ 附加式 PP∨ Q QP∨ Q
17
析取三段论 ~P, P ∨ Q Q 假言推理 P, P→ Q Q 拒取式 ~Q, P → Q ~ P
Artificial Intelligence
谓词及其推理
主要内容
谓词逻辑的基本概念 谓词公式的解释 谓词公式的永真性和可满足性 谓词公式的等价性与永真蕴含 推理及其方法
2
谓词逻辑的基本概念
命题 一阶谓词 连词 量词 合式公式 量词辖域与约束变元
3
谓词公式的解释
定义：设D为谓词公式P的个体域，若 对P中的个体常量、函数和谓词按如 下规则赋值：
5
例1、设个体域D={1,2},求公式
A= (x)(y)P(x,y)
在D上的解释，并指出在每一种解释 下A的值。
6
解： 设：P(1,1)=T, P(1,2)=F, P(2,1)=T, P(2,2)=F 则它们是A在D上的一个解释。因为 x=1或2时有y=1使得A的真值为T， 故在此解释下公式A的真值为T。
7
又设： P(1,1)=T, P(1,2)=T, P(2,1)=F, P(2,2)=F 它们是A在D上的另一个解释。因为 对D中的所有x (x=1, x=2) ，不存在y， 使得A的真值为T，故在该解释下，公 式A的真值为F。
8
例2、设个体域D={1,2}，求公式
B= (x) (P(x) → Q(f(x),b))
22
推理方法解决的主要问题
逻辑学复习资料
1、逻辑学属于思维科学。
逻辑学把思维的形式结构作为特殊研究对象。
思维的形式结构,是思维内容的存在、联系方式,由逻辑常项和逻辑变项构成.（思维形式结构不表达具体的思维内容，没有真假，但用具体词项或命题,代入思维形式结构中的逻辑变项，这种思维形式结构就被赋予了具体内容,就有了真假.） 2、概念内涵—-概念所反映的对象的本质属性 外延-—概念所反映的对象类 集合概念——反映集合体的概念 非集合概念——反映类的概念 3、概念的关系（欧拉图）⑴、全同关系如果S 和P 的外延完全重合，即所有的S 都是P 并且所有的P 都是S ，那么，S 与P 之间的关系就是全同关系。
⑵、种属关系如果S 的合部外延同P 的部分外延相相重合，即所有的S 都是P 并且有P 不是S ，那么S 与P 之间的关系就是真包含于关系.⑶、属种关系如果S 的部分外延同P 的全部外延重合，即所有的P 都是S 并且有S 不是P ，那么S 与P 之间的关系就是真包含关系.⑷、交叉关系如果S 和P 的外延仅有一部分重合，即有的S 是P ，有的S 不是P ，并且有的P 不是S ，那么,S 与P 之间的关系就是交叉关系。
⑸、不相容关系如果S 和P 的外延没有任何部分重合,即所有的S 都不是P ，那么，S 与P 之间的关系就是不相容关系。
﹡根据某种语境，不相容有一个确定的属概念，称为论域.根据论域，概念的不相容，分为矛盾和对立两种关系。
①、矛盾关系：S 和P 不相容,且二者外延之和等于其论域M,如图1。
②、对立关系：S 和P 不相容，且二者外延之和小于其邻近属概念M 的外延,如图2. M MPSS PP S SPS P A B A Q B4、定义揭示概念的内涵,即本质属性。
定义的规则:第一，定义项的概念认知度高于被定义项。
违反的称为:晦涩定义第二，被定义项要恰当归类.第三,定义项和被定义项的外延必须是全同关系。
违反的称为：定义过宽或定义过窄第四，定义项中不能直接或间接地包含被定义项。
谓词逻辑的概念与基本要素
谓词逻辑的概念与基本要素谓词逻辑（Predicate Logic），也称一阶逻辑（First-order Logic），是逻辑学中的一个重要分支。
它是对命题逻辑的扩展，通过引入谓词和变量，使得我们能够更加准确地描述自然语言的复杂逻辑关系。
本文将介绍谓词逻辑的概念与基本要素，帮助读者理解和运用这一逻辑工具。
一、概念1. 谓词逻辑的定义谓词逻辑是一种用来描述对象之间关系的逻辑系统。
它通过引入谓词和变量来表示命题中的主体和特性，以更加细致和准确的方式分析和推理。
2. 谓词谓词是用来描述对象特性或关系的符号。
在谓词逻辑中，谓词可以是单个个体或者多个个体之间的关系。
例如，谓词"P(x)"表示x具有性质P，谓词"R(x, y)"表示x与y之间存在关系R。
3. 变量变量用来表示命题中的主体，可以是个体、集合或其他对象。
变量在谓词逻辑中是可以被替换的，通过替换不同的变量，我们可以针对不同情况进行推理。
二、基本要素1. 基本命题在谓词逻辑中，基本命题由谓词和变量构成。
它们可以是简单的描述性语句，也可以是较为复杂的逻辑判断。
例如，命题"P(x)"表示x具有性质P，命题"R(x, y)"表示x与y之间存在关系R。
2. 量词量词用来限定变量的范围。
谓词逻辑中有两种常见的量词：全称量词（∀，表示“对于所有”）和存在量词（∃，表示“存在某个”）。
全称量词用来表示命题在所有情况下都成立，存在量词用来表示命题在某些情况下成立。
3. 逻辑连接词逻辑连接词用来连接不同的命题，以构成更复杂的逻辑表达式。
谓词逻辑中常见的逻辑连接词有：否定（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）和等值（↔）。
这些逻辑连接词能够帮助我们表达命题之间的逻辑关系。
4. 推理规则推理规则是谓词逻辑中用来推导新命题的方法。
常见的推理规则有：全称推理规则、存在推理规则、析取引入规则、蕴含引入规则和等值引入规则等。
离散数学及其应用课件第2章第1节
12
例题
在个体域分别为：(a):自然数集合，(b):实数集合时，将下列命题符号化， 并给出它们的真值。 1. 对于任意的x，均有x2−3x+2=(x−1)(x−2); 2. 存在x，使得x+5=2。
解 假设F(x)：x2−3x+2=(x−1)(x−2)，G(x)：x+5=2。 (a) 个体域为自然数集合。 1. 符号化为：xF(x)，真值为1。 2. 符号化为：xG(x)，真值为0。 (b) 个体域为实数集合。 1. 符号化为：xF(x)，真值为1。 2. 符号化为：xG(x)，真值为1。
注意：除非所有量词都是全称量词或存在量词，否则，多 个量词同时出现时，不能随意颠倒量词的顺序，颠倒后会改变 原命题的含义。
19
离散数学及其应用
1
第2章 谓词逻辑
2.1 谓词逻辑的基本概念 2.2 谓词合式公式 2.3 谓词公式的解释和分类 2.4 谓词演算的关系式 2.5 前束范式 2.6 谓词演算的推理
2
2.1谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体词和谓词 定义2.1.1 个体词是指可以独立存在的客体，可以是一个 具体的事物或抽象的概念，是原子命题所描述的对象。
17
例题
若P(x)是语句“x2>10”，论述域为不超过4的正整数， xP(x)和x P(x)的真值是什么？
解 由于论述域为{1，2，3，4}，命题xP(x)为 x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4)
而P(1)即“12>10”为假，所以x P(x)为假。 命题xP(x)为
x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4) 而P(4)即“42>10”为真，所以x P(x)为真。
11
例题
例题
在个体域分别为：(a):自然数集合，(b):实数集合时，将下列命题符号化， 并给出它们的真值。 1. 对于任意的x，均有x2−3x+2=(x−1)(x−2); 2. 存在x，使得x+5=2。
解 假设F(x)：x2−3x+2=(x−1)(x−2)，G(x)：x+5=2。 (a) 个体域为自然数集合。 1. 符号化为：xF(x)，真值为1。 2. 符号化为：xG(x)，真值为0。 (b) 个体域为实数集合。 1. 符号化为：xF(x)，真值为1。 2. 符号化为：xG(x)，真值为1。
注意：除非所有量词都是全称量词或存在量词，否则，多 个量词同时出现时，不能随意颠倒量词的顺序，颠倒后会改变 原命题的含义。
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离散数学及其应用
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第2章 谓词逻辑
2.1 谓词逻辑的基本概念 2.2 谓词合式公式 2.3 谓词公式的解释和分类 2.4 谓词演算的关系式 2.5 前束范式 2.6 谓词演算的推理
2
2.1谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体词和谓词 定义2.1.1 个体词是指可以独立存在的客体，可以是一个 具体的事物或抽象的概念，是原子命题所描述的对象。
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例题
若P(x)是语句“x2>10”，论述域为不超过4的正整数， xP(x)和x P(x)的真值是什么？
解 由于论述域为{1，2，3，4}，命题xP(x)为 x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4)
而P(1)即“12>10”为假，所以x P(x)为假。 命题xP(x)为
x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4) 而P(4)即“42>10”为真，所以x P(x)为真。
11
例题
谓词逻辑知识点总结
谓词逻辑知识点总结一、语言和推理的形式化语言和推理的形式化是数理逻辑的基础，它主要研究如何用严格的符号化方法来表示和分析自然语言中的语言和推理。
在谓词逻辑中，我们通常将自然语言中的命题分解成基本的谓词和常量，然后用谓词逻辑公式来表示这些命题。
例如，对于命题“人类都是有智慧的”，我们可以用P(x)来表示“x是人类”，用Q(x)表示“x有智慧”，那么这个命题可以表示为∀x(P(x)→Q(x))。
而推理的形式化则主要是研究如何用逻辑规则和演绎推理方法来推导出符合逻辑规律的结论。
二、谓词演算及其语义谓词逻辑的核心内容就是谓词演算，它是一种用来分析和推导谓词逻辑公式的形式系统。
谓词演算主要包括语法、语义和推导三个方面。
在语法方面，我们主要研究谓词逻辑公式的形式和结构，包括原子公式、复合公式和量词公式等。
在语义方面，我们主要研究谓词逻辑公式的意义和解释，包括谓词的扩展、量词的解释、模型的概念等。
在推导方面，我们主要研究如何用逻辑规则和推导方法来推导谓词逻辑公式的推导系统。
三、逻辑推导逻辑推导是谓词逻辑的核心内容之一，它主要研究如何用逻辑规则和演绎推理方法来推导出新的谓词逻辑公式。
在逻辑推导中，我们主要研究形式系统中的推理规则和推导方法，包括假言推理、析取推理、量词引入和消去等基本推理规则。
通过逻辑推导，我们可以推导出符合逻辑规律的结论，从而解决一些具体的逻辑问题。
四、完全正式系统完全正式系统是谓词逻辑的一个重要概念，它主要指的是一个完全形式化的逻辑系统，包括语法、语义和推导等方面。
在完全正式系统中，我们可以用严格的形式化方法来表示和分析逻辑语言和推理，从而解决一些具体的数理逻辑问题。
完全正式系统的建立对于谓词逻辑的发展具有重要意义，它不仅为逻辑学理论的研究提供了统一的规范框架，同时也为数理逻辑在实际应用中的推广提供了重要的理论基础。
五、争议在谓词逻辑的发展过程中，一些争议性问题也是不可避免的。
比如，有关谓词逻辑的语言和推理的形式化方法，不同的学者有着不同的观点和理论，针对谓词逻辑公式的语法和语义，也存在一些争议性问题。
13谓词逻辑
一阶逻辑（谓词逻辑）
状态表示的类型
按复杂性与表达性的增加来分类： • 原子表示：每个状态是不可分的 • 分解表示：每个状态被分解成一组变量或 属性，每个变量有一个值 • 结构化表示：每个状态由对象以及对象之 间的关系来描述
概要
• 一阶逻辑 • 知识的一阶逻辑表示 • 一阶逻辑推理算法
– 消解 – 链接
• 合一：寻找两句子间的置换部分，置 换后两句子相同
Unify(SameTown(F(x),y),SameTown(大山, 小河)) = {F(x)/大山,y/小河}
一阶逻辑推理：消解
• 消解：消解也能扩展到FOL l1l2 m1m2 Subst(, l1m1) = Unify(l2,m2)，即，寻找某种置换之后，l2与
知识表示：一阶逻辑
• 除了以前的定义之外，再加上：
变量：x、y、z 量词：全称量词，存在量词 符号： – 函数：F(x)=函数表达式 – 谓词：P(x,y)=逻辑表达式，其值为真或伪 逻辑连接算子： – 相等：= 算子优先级： 、=、 、 、 、
• 一阶逻辑只对变量进行量化，而不允许对谓词和函数进行 量化 • 例如：
一阶逻辑（FOL）
• 陈述、组成性的命题逻辑假设在世界中存在成立 或不成立的事实 • 命题逻辑缺乏表达性：要表示一架航班可能来自n 个机场中的任何一个，需要n个符号：如， FlightFromBJ，FlightFromSH，FlightFromKM • 不用上面形式，而采用更具表达性的句子：对任 何x机场，FlightFrom(x)，即谓词公式(Predicate formula) • 谓词逻辑(Predicate logic)，或一阶逻辑(FOL) − 假设世界由事实和实体，以及一些存在于实体 之间成立或不成立的关系构成
状态表示的类型
按复杂性与表达性的增加来分类： • 原子表示：每个状态是不可分的 • 分解表示：每个状态被分解成一组变量或 属性，每个变量有一个值 • 结构化表示：每个状态由对象以及对象之 间的关系来描述
概要
• 一阶逻辑 • 知识的一阶逻辑表示 • 一阶逻辑推理算法
– 消解 – 链接
• 合一：寻找两句子间的置换部分，置 换后两句子相同
Unify(SameTown(F(x),y),SameTown(大山, 小河)) = {F(x)/大山,y/小河}
一阶逻辑推理：消解
• 消解：消解也能扩展到FOL l1l2 m1m2 Subst(, l1m1) = Unify(l2,m2)，即，寻找某种置换之后，l2与
知识表示：一阶逻辑
• 除了以前的定义之外，再加上：
变量：x、y、z 量词：全称量词，存在量词 符号： – 函数：F(x)=函数表达式 – 谓词：P(x,y)=逻辑表达式，其值为真或伪 逻辑连接算子： – 相等：= 算子优先级： 、=、 、 、 、
• 一阶逻辑只对变量进行量化，而不允许对谓词和函数进行 量化 • 例如：
一阶逻辑（FOL）
• 陈述、组成性的命题逻辑假设在世界中存在成立 或不成立的事实 • 命题逻辑缺乏表达性：要表示一架航班可能来自n 个机场中的任何一个，需要n个符号：如， FlightFromBJ，FlightFromSH，FlightFromKM • 不用上面形式，而采用更具表达性的句子：对任 何x机场，FlightFrom(x)，即谓词公式(Predicate formula) • 谓词逻辑(Predicate logic)，或一阶逻辑(FOL) − 假设世界由事实和实体，以及一些存在于实体 之间成立或不成立的关系构成
13谓词逻辑
xP( x ) xP ( x )
（三）量词辖域的扩张和收缩
（1）若量词辖域中是合取式或析取式，则不受约束的谓词公 式可以直接进入和退出该辖域。 （2）若量词辖域是条件命题的前件，则作为后件的不受约 束的谓词公式不能直接进出该辖域。
xA( x ) B x( A( x ) B)
练习 ：设解释I为： 1 个体域D 2,3,6; 一元谓词F ( x ) : x 3, G( x ) : x 5, R( x ) : x 7; 在I下求下列各式的真值。
(1) x F ( x) G ( x) (2) x R( x) F ( x) (3) x F ( x) G( x)
第二章 谓词逻辑
第十三讲
回
顾
两个谓词公式的个体变元必须有相同的 个体域才能讨论其是否等价。
定义2-13 两个有相同个体域E的谓词公式A和B， 若对两个谓词公式所有变元的任一组赋值，所得 命题真值相同，则称这两个谓词公式在指定个体 域E上等价。记为 A B 。
（一）命题公式的推广
A B A B
x( A( x ) B( x )) xA( x ) xB( x )
（2）存在量词可对析取式进行分配。
x( P ( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x )
【说明】全称量词可以合取式进行分配，存在量词可以对析 取式进行分配，但全称量词不能对析取式进行分配，存在量 词不能对合取式进行分配。
x(P( x) uQ( x, u, z ) vR( x, y, v))
x(P( x) uQ( x, u, z ) vR( x, y, v))
x(P( x ) uQ( x, u, z ) vR( x, y, v ))
（三）量词辖域的扩张和收缩
（1）若量词辖域中是合取式或析取式，则不受约束的谓词公 式可以直接进入和退出该辖域。 （2）若量词辖域是条件命题的前件，则作为后件的不受约 束的谓词公式不能直接进出该辖域。
xA( x ) B x( A( x ) B)
练习 ：设解释I为： 1 个体域D 2,3,6; 一元谓词F ( x ) : x 3, G( x ) : x 5, R( x ) : x 7; 在I下求下列各式的真值。
(1) x F ( x) G ( x) (2) x R( x) F ( x) (3) x F ( x) G( x)
第二章 谓词逻辑
第十三讲
回
顾
两个谓词公式的个体变元必须有相同的 个体域才能讨论其是否等价。
定义2-13 两个有相同个体域E的谓词公式A和B， 若对两个谓词公式所有变元的任一组赋值，所得 命题真值相同，则称这两个谓词公式在指定个体 域E上等价。记为 A B 。
（一）命题公式的推广
A B A B
x( A( x ) B( x )) xA( x ) xB( x )
（2）存在量词可对析取式进行分配。
x( P ( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x )
【说明】全称量词可以合取式进行分配，存在量词可以对析 取式进行分配，但全称量词不能对析取式进行分配，存在量 词不能对合取式进行分配。
x(P( x) uQ( x, u, z ) vR( x, y, v))
x(P( x) uQ( x, u, z ) vR( x, y, v))
x(P( x ) uQ( x, u, z ) vR( x, y, v ))
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例如 设论域为自然数。
P( x)：x 是偶数
Q( x)：x 是 素 数
因为存在一个自然数2，2既是偶数又是素数，所以 公式成立。
反之若设
P( x)：x 是偶数
Q( x)：x 是 奇 数
则∃xP(x)∧∃xQ(x) 为真，但论域中不存在一个自
然数既是偶数又是奇数，使得∃x(P(x)∧Q(x)) 为真，
都为前束范式，而下列各式不是前束范式。
xP( x) Q( x) xP( x) xQ( x) x(P( x) xQ( x))
谓词公式转化为前束范式的步骤： ①利用等价公式把公式的联结词归化。 ②利用量词转换律和德•摩根律，把公式中的否定 联结词移到原子命题函数前面。 ③利用约束变元的换名规则和自由变元的代入规 则，使所有约束变元和自由变元不同名。 ④将所有量词按其出现的先后顺序移到公式前面。
则称P永真蕴含Q，简称为P蕴含Q，记为P⇒Q 。
前面介绍了全称量词可以对合取式进行分配，存在量 词可以对析取式进行分配。我们不觉要问，全称量词对析 取式、存在量词对合取式究竟有什么关系呢？ （1）存在量词对合取式的蕴含式
x(P( x) Q( x)) xP( x) xQ( x)
证明：假设前件∃x(P(x)∧Q(x)) 为真，则论域中至少存在 一个个体c ，使得P(c)∧Q(c) 为真。所以P(c)为真、Q(c)也 为真 。 即∃xP(x)为真、∃xQ(x)也为真 。因此， ∃xP(x)∧∃xQ(x) 为真。
例2-13将下列公式转换成前束范式。
(1) xP( x) xQ( x)
(2) xP( x) xQ( x)
(3) x(P( x) yQ( x, y, z) zR( x, y, z))
解(1): xP( x) xQ( x)
xP( x) xQ( x) xP( x) xQ( x)
一 元 谓 词F( x) : x 3,G( x) : x 5, R( x) : x 7; 在I下 求 下 列 各 式 的 真 值 。
(1) xF( x) G( x) (2) xR( x) F( x) (3) xF( x) G( x)
练 习2： 设I是 如 下 一 个 解 释 ：
由以上四点我们可以得到一组常用的谓词等价公式 如下：
xP( x) xP( x)
E16
xP( x) xP( x)
E17
x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
E18
x(P( x) Q( x)) xP( x) xQ( x)
E19
x( A( x) B) xA( x) B
(xP( x) xQ( x)) x(P( x) Q( x)) (xP( x) xQ( x)) x(P( x) Q( x)) (xP( x) xQ( x)) x(P( x) Q( x)) (xP( x) xQ( x)) x(P( x) Q( x))
（二）量词转换律
我们将否定符移到量词后面时，全称量词变为存 在量词，存在量词变为全称量词。反之，量词后 面的否定符移到量词的前面时，也要作相应的改 变，这种量词与否定的关系是普遍成立的，人们 习惯称之为量词转换律
xP( x) xP( x)
xP( x) xP( x)
（三）量词辖域的扩张和收缩
P( x) Qபைடு நூலகம் x) P( x) Q( x)
( A B) A B
(P(x) Q(x)) P(x) Q(x)
A B A B
xP(x) xQ(x) xP(x) xQ(x)
( A B) A B (xP( x) xQ( x)) xP( x) xQ( x)
都同姓。 从上述例子中可知，相同量词的出现顺序可以交换，而不同 量词出现的顺序不可以交换，但它们之间存在着蕴含关系。
xyP( x, y) yxP( x, y)
证明：设xyP(x, y) 为真，则至少存在一个个体x c ，使得对 于所有 y, P( x, y)为真。即 P(c, y) 为真，所以 yP(c, y)为真， yxP( x, y) 为真。 该公式的逆反命题为：
x(P( x) Q( x)) x(P( x) Q( x))
解(2): xP( x) xQ( x) xP( x) xQ( x) xP( x) xQ( x) xP( x) yQ( y) xy(P( x) Q( y)) xy(P( x) Q( y))
（1）若量词辖域中是合取式或析取式，则不受约束的谓词公 式可以直接进入和退出该辖域。
（2）若量词辖域是条件命题的前件，则作为后件的不受约 束的谓词公式不能直接进出该辖域。
xA( x) B x( A( x) B)
xA( x) B x( A( x) B)
（3）若量词辖域是条件命题后件，则作为前件不受约束的谓 词公式可以直接进出该辖域。
练 习3： 已 知 个 体 域D {a, b, c},消 去 下 列 公式的量词：
1) xR( x) xS( x); 2) x(R( x) S( x)); 3) x(P( x) Q( x)).
2.5 谓词演算中的永真蕴含公式
定义2-18 设P、Q为谓词公式，若P→Q为永真式，
E20
x( A( x) B) xA( x) B
E21
x( A( x) B) xA( x) B
E22
x( A( x) B) xA( x) B
E23
xA( x) B x( A( x) B)
E24
xA( x) B x( A( x) B)
x(P( x) yQ( x, y, z) zR( x, y, z))
x(P( x) uQ( x,u, z) zR( x, y, z))
x(P( x) uQ( x, u, z) vR( x, y,v))
xuv(P( x) Q( x, u, z) R( x, y,v)) xuv((P( x) Q( x, u, z)) R( x, y,v))
D 2,3;
a f (2) f (3) F (2) F (3) ,,,,,
23 2 0 1
G(2,2) , G(2,3) , G(3,2) , G(3,3) ;
1
1
1
1
试 求 下 列 公 式 在I下 的 真 值 ：
(1)xF( x) G( x,a)
(2)xF f ( x) Gx, f ( x)
E25
B xA( x) x(B A( x))
E26
B xA( x) x(B A( x))
E27
（五）前束范式 定义2-17 在谓词公式中，如果所有量词都出现在公式的 最前面，且其辖域为整个公式，则称该谓词公式为前束范 式。 例如：
x(P( x) Q( x)) x(P( x) Q( x))
第二章 谓词逻辑
第四讲
回顾
两个谓词公式的个体变元必须有相同的 个体域才能讨论其是否等价。
定义2-13 两个有相同个体域E的谓词公式A和B， 若对两个谓词公式所有变元的任一组赋值，所得 命题真值相同，则称这两个谓词公式在指定个体 域E上等价。记为 A B 。
（一）命题公式的推广
A B A B
yxP( x, y)
yxP( x, y)
xyP( x, y) yxP( x, y)
yxP( x, y)
xyP( x, y)
其中xyP( x, y)和yxP( x, y含) 义相同，xyP( x, y)和 yxP(x, y)
含义相同。后面四种情况经过换名后实际上只有两种情况。 即xyP(x, y) 和 xyP( x, y) 。 例如 设x的个体域为甲班，y 的个体域为乙班。
xuv((P( x) Q( x, u, z)) R( x, y,v))
xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an )
xF ( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an )
练 习1： 设 解 释I为 ：
个 体 域D 2,3,6;
例2-14 证明 xA( x) xB( x) x( A( x) B( x)) 证明：xA( x) xB( x) xA( x) xB( x)
xA( x) xB( x) x(A( x) B( x))
x( A( x) B( x))
P(x, y) ：表示同姓。则
xyP( x, y) ：表示甲班每个人和乙班所有人同姓。 yxP(x, y) ：表示乙班每个人和甲班所有人同姓。
所以甲班和乙班所有人同姓，即xyP(x, y) yxP(x, y)
同理可得：xyP( x, y) yxP( x, y)
仍以上述例子讨论其它两种情况： xyP(x, y)：甲班每个人在乙班中可以找到同姓的人。 xyP(x, y) ：甲班有人与乙班中所有人同姓。此时乙班所有人
分别用A( x)、B ( x)替换P( x)和Q( x)，得
(xA( x) xB( x)) x( A( x) B( x))为真。
xA( x) xB( x) x( A( x) B( x))
（3）其它蕴含式
xP( x) xP( x)
证明：设论域为D，∀xP(x)若为真，则对于论域中的任一个 体c，P(c)为真。根据定义∃xP(x)为真。所以蕴含式成立。
yxP( x, y) xyP( x, y)
所以有两个量词的谓词公式有如下的蕴含关系：
xyP( x, y) yxP( x, y) yxP( x, y) xyP( x, y) yxP( x, y) xyP( x, y) xyP( x, y) yxP( x, y) xyP( x, y) yxP( x, y) yxP( x, y) xyP( x, y)