数学建模 存贮模型

模型建立
设时刻 t 的贮存量为 q(t)，把 q(t)视
作连续函数， t=0 时生产 Q 件，贮存量
q(0)=Q ， q(t) 以 需 求 速 率 r 递 减 ， 直 到
q(T)=0．于是
q(t) rt Q， Q rT
(1)
T
一个周期内的贮存费是 c2 0 q (t )dt c2Q T 2 ，
• 为了应用微分法求解极值问题，考虑连续 模型，即假设生产周期和产量为连续量。
模型假设
设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量， 1.产品每天的需求量为常数 r； 2.每次生产准备费为 c1 ，每天每件产品存储
费为 c2 ； 3.生产能力为无限大（相对于需求量），当
存储量降到零时，Q 件产品立即生产出来 满足需求，即不允许缺货。
(3)式为这个优化模型的目标函数。
模型求解
为了求 T 使(3)式的 C 最小，解方程
C(T ) c1 T 2 c2r 2 0
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求得最优生产周期为 T
2c1 c2r
(4)
最优产量为
Q 2c1r c2
(5)
最小费用为
C 2c1c2r
(6)
(4),(5)称为经济订货批量公式(EOQ 公式)
第3章 简单的优化模型
3.1 存贮模型
引言
• 工厂定期定购原料，存入仓库供生产用； • 车间一次加工出一批零件，供应装配线每天生产的需要； • 商场成批购进商品，放在货柜里零售； • 水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电；
以上情况都有贮存量多大才合适的问题，贮存量 过大，贮存费用太高；贮存量太小，导致一次性 订购费用增加，或因不能满足需求而造成损失。 本节建立数学模型优化贮存量，使总费用最小。
其中的积分恰好等于图 1 中△QOT 的面积。
模型建立
因为一个周期的生产准备费是 c1 ，
贮存费是 c2QT 2 ，注意到(1)式 Q rT ， 所以一个周期 T 内的总费用是
C c1 c2QT 2 c1 c2rT 2 2 (2)
于是每天的平均费用是
C(T ) C T c1 T c2rT 2 (3)
问题分析
• 总结：生产周期越长，产量越多，会使平 均每天费用中的贮存费变大，生产准备费 变小。所以必存在最佳生产周期，使每天 的平均费用最小。
• 为了得到准确的结论，应该建立优化模型， 研究每天的平均费用和生产周期、产量、 需求量、生产准备费、贮存费之间的关系， 求出最优解。
问题分析
• 把以上问题一般化，考察如下的不允许缺 货的存贮模型： 假设产品需求稳定不变，生产准备费 和每天每件产品的贮存费均为常数，生产 能力无限，不允许缺货，确定生产周期和 产量，使每天的平均费用最小。
引言
• 本节在需求量稳定的前提下讨论两个简单 的存贮模型：不允许缺货模型和允许缺货 模型。
• 前者适用于一旦出现缺货会造成重大损失 的情况（如炼铁厂对原料的需求），
• 后者适用于允许出现缺货造成的损失，并 且损失可以估计的情况（如商店成批购进 货物）。
3.1 存贮模型
1. 不允许缺货的存贮模型
问题提出
• 配件厂为装配线生产若干种部件。轮换生产不同 的部件时，因更换设备要付生产准备费（与生产数 量无关）。同一部件的产量大于需求时，因积压资 金、占用仓库要付储存费。今已知某一部件的日需 求量100件，生产准备费5000元，储存费每日每件 1元。如果生产能力远大于需求，并且不允许出现 缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一 次（称为生产周期），每次产量多少，可使每天的 平均费用最小。
问题分析
1.若每天生产一次，每次100件，正好是日需求量， 生产准备费5000元，每天费用5000元；
2.若10天生产一次，每次1000件， 贮存费900+800+…+100=4500元， 生产准备费5000元，总计9500元， 每天的平均费用950元；
3.若50天生产一次，每次5000件， 贮存费4900+4800+…+100=122500元， 生产准备费5000元，总计127500元， 每天的平均费用2550元；
敏感性分析
为了讨论参数 c1 ， c2 ，r 的微小变化对 生产周期 T 的影响，用相对改变量衡量结果 对参数的敏感程度，定义并计算敏感度 S。
1. T 对 c1 的敏感度
S(T , c1)

T c1
T c1

T c1
c1 T

1 2c1c2 r
c1 0.5 2c1 c2r
可见， c1 增加 1%，T 增加 0.5%；
敏感性分析
2. T 对 c2 的敏感度
S(T , c2 )
T c2
T c2

T c2
c2 T
1 2
2c1 c 23 r
c2 0.5 2c1
c2r
可见， c2 增加 1%，T 减少 0.5%；
敏感性分析
3. T 对 r 的敏感度
S(T , r) T T T r 1 r r r T 2
• 由(4),(5),(6)式可以计算本节开始的问题： 当生产准备费c1=5000元，每件每天贮存 费c2=1元，日需求量r=100件时，算出最 优生产周期T=10天，每天的平均费用 C=1000元
• 在问题分析，当T=10天时算得C=950元， 这微小的差别，是由于(4),(5),(6)式是从连 续模型求解得到的。
2c1 c2 r 3
r 0.5 2c1 c2r
可见，r 增加 1%，T 减少 0.5%。
结论：参数 c1 ，c2 ，r 的微小变化对生 产周期 T 的影响是很小的。
3.1 存贮模型
2. 允许缺货的存贮模型
问题提出
• 在有些情况下，用户允许短时间的缺货， 虽然缺货会造成损失，但是缺货期间没有 贮存费，而且由于延长了生产周期，从而 降低了一次性生产准备费分摊在每天的费 用，所以如果缺货损失费不超过不允许缺 货导致的准备费和贮存费，可以采用允许 缺货的策略。
结果解释
由(4),(5)式可以看到： 1. 当生产准备费c1增加时，生产周期T 和产量Q都变大； 2. 当贮存费c2增加时，生产周期T和产 量Q都变小； 3. 当需求量r增加时，生产周期T变小， 产量Q变大； 这些定性结果都符合常识。而且(4),(5)式给 出了单凭常识无法得到的精确的定量关系。
结果解释