数学建模存贮模型

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数学建模存贮论部分

最佳生产时间：
* t1
R * t P
2 RC3 C1P( P R)
2C 3R( P R) C1P
2C1C 3R( P R) P
最大存贮量：最小费用：
* A* ( P R)t1
C C (t )
* *
例某产品每月需求量为8件，生产准备费用为100元，存贮费用为5元/月· 件。在不允许缺货条件下，比较生产速度分别为每月20件和每月40件两种情况下的经济批量和最小费用用“不允许缺货，生产（补充）需一段时间”的模型求解已知：C1=5元/月· 件，C3=100元，R=8件/月， P1=20件/月，P2=40件/月。由经济生产批量计算公式，可得
确定型存贮模型Ⅱ 不允许缺货、补充时间较长模型假设：
1. 需求是连续均匀的，即需求速度为常数R 。 2. 存贮的补充是由企业的生产来满足，但生产需要一定的时间。设生产是连续均匀的，即生产速度为常数P，同时设P>R。 3. 不允许缺货，即缺货惩罚费（单位缺货费）为 C2，取无穷大。 4. 每次订货量不变，订购费（或生产准备费）为
模型求解
dC (t ) C3 1 R2 2 C1( R ) dt 2 P t
令 dC (t ) 0 , 解得 t * dt 2PC3 C1( P R )
------ 最佳订货周期（最佳存贮周期）
最佳生产批量：
Q
*
* P t1
R * P t P
2PRC3 C1( P R)
从 [ t1 , t 2 ] 看，最大缺货量在 [ t1 , t 2 ] 时间内得到了补充，因此有 B ( P R )( t2 t1 ) ，于是有
PR R t1 ( P R )( t2 t1 ) t1 t2 P

数学建模研究——存贮问题

关于数学建模课程综合性教学内容的设计与研究胡京爽(青岛理工大学理学院，青岛 266033)1、引言数学建模课程的教学方法应当是丰富多彩的，主要的教学方法一般都是案例式教学，通过剖析各种各样的建模案例，让学生体会学习数学建模的实际过程，积累经验。

但是案例式教学内容不应当太过分散，不能完全就是一个一个案例讲解，而是应当从众多的案例中总结出蕴含在其中的某些共性和可遵循的规律，这种共性规律对于启发学生在解决类似问题时将会起到重要的作用。

存贮模型从最简单的微积分优化模型，到具有随机需求、随机供货以及多供应商的数学规划模型，通过详细解剖分析这些模型的特点，能让学生体会到从简单到复杂的循序渐进的建模过程；人口模型则是微分（常微和偏微）方程、差分方程、随机微分方程模型的综合体现，能够体现出利用客观的平衡规律，对同一个背景下的问题可以从不同的角度进行分析，用不同的数学理论与方法进行描述和求解的过程；0-1变量方法的使用则体现了数学建模方法中具有一定普遍意义的专门方法，用这种方法可以解决一系列的问题。

本文探讨的是在教学过程中，在学生掌握了一些基本的数学建模知识的基础上，如何设计教学内容，体现出数学模型方法的渐进性、灵活多样性、层次性、统一性等规律，让学生得到良好的建模实战训练，全面提高学生数学建模的综合素质和能力。

下面介绍三个实例，可以选为数学建模教学的参考案例。

2 教学案例及分析2.1 系列存贮优化模型存贮模型是一类重要的数学模型。

要根据市场需求量状况、存贮费用、订购费用、供货方的生产能力和供货时间、缺货的损失代价等，综合分析，确定使得费用最小或者使得盈利最大的计划。

该类模型类型丰富，层次分明，多种模型体现了有机的统一。

其数学理论方法涉及到简单的优化分析、综合的规划分析、随机优化分析等，特别是在计算离散数量的和时，用到了将离散和转换成定积分计算、并进而转换成计算几何图形面积的方法，在目标函数的构建上，利用平均值作为优化目标的建模方法等。

数学建模——存储模型

数学建模——存储模型存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。

在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。

模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。

本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。

首先，在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。

这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。

其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。

根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。

此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。

总而言之，本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时，重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型，并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样，充分考虑了模型的优化。

关键词：不允许缺货；允许缺货；订货周期；订货批量；matlab程序一、问题重述在我们的周边有一家配件厂，据我们得知，该厂为装配线生产若干种部件时因更换要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。

现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。

如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。

（1）不允许出现缺货（2）允许出现缺货二、问题分析在第（1）问时，我们不如先来试算一下以下几种情况的结果：若每天生产一次，每次100件，则我们可知，此时无贮存费，生产准备费5000元，每天费用为5000元；若10天生产一次，每次1000件，则我们可知，此时贮存费为900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若50天生产一次，每次5000件，则我们可知，此时贮存费为4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元；从以上的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。

存贮论模型LINGO方法

优化建模
11 . 2 经济订购批量存贮模型（EOQ）
11 . 2 .1基本的经济订购批量存贮模型（EOQ）模型定义：不允许缺货、货物生产 (或补充)的时间很短（通常近似为0）. 经济订购批量存贮模型（EOQ）有以下假设： ( l ) 短缺费为无穷，即 Cs＝∞， ( 2 ) 当存贮降到零后，可以立即得到补充； ( 3 ) 需求是连续的、均匀的； ( 4 ) 每次的订货量不变，订购费不变； ( 5 ) 单位存贮费不变。在一个周期内，最大的存贮量为Q，最小的存贮量为0，且需求的连续均匀的，因此在一个周期内，其平均存贮量为Q/2，存贮费用为CpQ/2.
( 5 ) wi（i =1,2,…,m）表示第 i 种物品的单位库存占用．
优化建模
1 具有资金约束的 EOQ 模型对于第i ( i = 1 , 2 ， … ，m）种物品，当每次订货的订货量为Qi 时，年总平均费用为
C D Di 1 TCi C PiQi 2 Qi
每种物品的单价为Ci，每次的订货量为Qi，则CiQi 是该种物品占用的资金. 因此，资金约束为
优化建模
优化建模
例 11 . 3
物资 i
1 2 3 4
年需求量单价Ci 存贮费Cpi 单位占用库容wi Di ( 元／件) ( 元／(件 · (米 3 ／件) 年))
600 900 2400 12000 300 1000 500 500 60 200 100 100 1.0 1.5 0.5 2.0
存贮论模型的基本概念输入(供应)
储存
输出(需求)
优化建模
1 存贮模型的基本要素 ( l ) 需求率: 单位时间内对某种物品的需求量, 用D表示． ( 3 ) 订货间隔期: 两次订货之间的时间间隔, 用T表示.

建模存贮模型总结报告范文(3篇)

第1篇摘要：随着信息化时代的到来，数据存储已成为企业运营的重要组成部分。

为了提高数据存储效率，降低成本，本文通过建立存储模型，对数据存储策略进行了深入分析和优化。

以下是本次建模存储模型的总结报告。

一、背景与目标随着企业业务量的不断增长，数据存储需求日益增加。

传统的存储方式存在资源利用率低、扩展性差等问题。

为了解决这些问题，本项目旨在通过建立存储模型，实现以下目标：1. 提高存储资源利用率；2. 降低存储成本；3. 提升数据存储性能；4. 增强存储系统的可扩展性。

二、模型建立1. 数据收集与分析通过对企业现有存储系统进行调研，收集了以下数据：（1）存储设备类型及数量；（2）数据存储需求及增长趋势；（3）存储性能指标；（4）存储成本。

2. 模型假设为简化问题，本次建模做以下假设：（1）存储需求稳定增长；（2）存储设备可按需购买；（3）存储性能指标线性相关。

3. 模型构建基于以上数据和分析，构建了以下存储模型：（1）存储需求预测模型：采用时间序列分析法，预测未来一段时间内的存储需求；（2）存储设备选型模型：根据存储需求预测结果，结合存储性能指标和成本，确定合适的存储设备类型及数量；（3）存储策略优化模型：针对不同数据类型，采用不同的存储策略，如冷热数据分离、数据压缩等。

三、模型求解与结果分析1. 存储需求预测通过时间序列分析法，预测未来三年内企业存储需求增长趋势，结果表明，存储需求将以每年20%的速度增长。

2. 存储设备选型根据预测结果，结合存储性能指标和成本，建议企业采用以下存储设备：（1）SSD存储：用于存储热数据，提高数据访问速度；（2）HDD存储：用于存储冷数据，降低存储成本。

3. 存储策略优化针对不同数据类型，采取以下存储策略：（1）热数据：采用SSD存储，实现快速访问；（2）冷数据：采用HDD存储，降低存储成本；（3）数据压缩：对数据进行压缩，提高存储空间利用率。

四、结论与建议通过本次建模存储模型的研究，得出以下结论：1. 建立存储模型有助于提高企业存储资源利用率，降低存储成本；2. 优化存储策略能够提升数据存储性能；3. 增强存储系统的可扩展性。

存贮论(数学建模)

⎧∂C(T ,t2 ) ⎪⎪ ∂T
=
0
⎨ ⎪
∂C
(T
,
t
2
)
=
0
⎪⎩ ∂t2
可得
（8）
T* =
2CD (CP + CS )
DCPCS
(1 −
D P
)
t2*
=
CP CP + CS
T
*
容易证明，此时的费用 C(T *,t2* ) 是费用函数 C(T ,t2 ) 的最小值。
因此，模型的最优存贮策略各参数值为：
记为 CD 。
（2）存贮费：所有用于存贮的全部费用，通常与存贮物品的多少和时间长短有关。
单位存贮费记为 CP 。
（3）短缺损失费：由于物品短缺所产生的一切损失费用，通常与损失物品的多少
和短缺时间的长短有关，记为 CS 。
3．存贮策略所谓一个存贮策略，是指决定什么情况下对存贮进行补充，以及补充数量的多少。下面是一些比较常见的存贮策略。
end 求得每个周期为 9 天，其中 9 天中有 4.5 天在生产，每次的生产量为 121 件，而且
缺货的时间有 3 天。总的费用（包括存贮费、订货费和缺货费）为 40414.52 元。可以把模型一看作模型二的特殊情况。在模型二中，取消允许缺货和补充需要一定
时间的条件，即 CS → ∞ ， P → ∞ ，则模型二就是模型一。事实上，如将 CS → ∞ 和
C_P=1000;
P=9800;
C_D=500;
C_S=2000; T=(2*C_D*(C_P+C_S)/(D*C_P*C_S*(1-D/P)))^0.5; !单位为年; TT=T*365; !单位为天;
Q=D*T; T_S=C_P*TT/(C_P+C_S); !求缺货时间; T_P=D*TT/P; ! 求生产周期; C=2*C_D/T; ! 求年总费用;

数学建模——存储模型

数学建模——存储模型存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。

在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。

模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。

本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。

这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。

其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。

根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。

此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。

现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。

如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。

存储模型

时补充存贮，补充量Q＝S-x（即将存贮补充到S）。
3.（t，s，S）混合策略每隔t时间检查存贮量x，当
x＞s时不补充；当x≤s时，补充存贮量使之达到S。
（四）费用
1.订货费它包括两部分，一部分是订购一次货物
所需的订购费用（如手续费、出差费等），它是仅
与订货次数有关的一种固定费用。另一部分是货物的成本费 kx（x 为订货数量， k 为单价），成本费随订货数量变化而变化。 2.保管费包括货物的库存费和货物的损坏变质等
假设每隔 T 时间补充一次，则订货量必须满足 T
时间内的需求 rT ，即订货量 Q rT ，每次订货费为 c1 ，货物单价为 k ，则订货费为 c1 krT T 时间内的存贮量（如图）为
T
1 2 (rT rt )dt rT 0 2
1 2 则T时间内的存贮费为 rT c2 2 1 2 故T时间内的总费用 c1 krT rT c2 2 为确定订货周期 T 及每次订货量 Q，考虑 T 时间内
例2
某厂每月需某产品100件，生产每件产品存贮费
为 0.4 元，求最优生产周期、生产时间和生产批量。
解已知 c1 5，p＝500／30，r＝100／30， c2 ＝
0.4／30，则
即最优生产周期为17天，生产时间为3.4天，生产
批量为56件。
四、模型三
支出的费用。
3.缺货费由于供不应求造成缺货带来的损失费用，如停工停产造成的损失和罚款等。
（五）目标函数
为了衡量存贮策略的好坏，必须建立一个衡
量指标，这个指标称为目标函数。通常把目标函
数取为该策略的平均费用或平均利润。
二、模型一
模型一——不允许缺货，生产时间很短为了使模型简单，易于理解，便于计算，可作以

数学建模-生产与贮存

数学建模题目：生产与存贮问题姓名：班级：学号：联系方式：2010-5-26 摘要：关键字：生产与存贮，线性规划一个生产项目，在一定时期内,增大生产量可以降低成本费,但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。

相反,如果减少生产量,虽然可以降低存贮费,但又会增加生产的成本费,同样会造成损失。

因此,如何正确地制定生产计划,使得在一定时期内,生产的成本费与库存费之和最小,这是厂家最关心的优化指标，这就是生产与存贮问题。

本模型特点是未知量较多，但有限制条件，要求目标耗费符合线性关系，所以采用转化为线性规划问题借助计算机软件matlab来解决。

主要结果：半年内每月生产计划如下：第一个月15第二个月0第三个月8第四个月0第五个月0第六个月 4半年内每月库存量如下：第一个月9第二个月 4第三个月9第四个月7第五个月0第六个月0总耗费为408。

正文：1.问题分析此题是生产与存贮问题，最终目的是安排合理的生产计划来达到总的费用最小。

所以要搞清总费用：=总费用+总的存贮耗费总的生产耗费2.模型假设（1）.存贮耗费跟生产耗费都用工时衡量。

（2）.每月存贮的产品在下个月保持满足每月需求的情况下必须用完。

（3）.每月库存量包括月初库存（即上月的剩余量）和月末库存（本月剩余量）。

3.符号说明第i 个月月初的库存量Hi （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月月末的库存量hi （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月的生产量xi （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月的需求量ki （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月生产单位产品耗费工时pi （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月总生产耗费Pi （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月存贮耗费 Si （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月总耗费 Mi （i=1，2，3，4，5，6）总耗费 M库存单位产品每月耗费工时 T4.模型建立与求解首先把握整体，总费用：∑===61i i Mi M …………………… ①再细分到考虑单个月份的：Si Pi Mi += …………………… ②每月的生产耗费：pixi Pi ⨯= …………………… ③ 每月的存贮耗费： T hi Si ⨯= …………………… ④将③和④代入②，得：T hi pi xi i ⨯+⨯=M …………………… ⑤hi 即每月月末的库存量，第六个月为0：{6i 054321i xi hi hi =⋯⋯==⋯⋯-+==hi ki Hi ，，，，Hi 是每月月初的库存量，第一个月为2：{1i 265432i 1Hi =⋯⋯==⋯⋯=-=Hi Hi h i ，，，，所以，每月的hi 如下：第一个月x1+2-8 第二个月x2+ x1+2-8 -5 第三个月x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 第四个月x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2 第五个月 x5+ x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2 -7第六个月 x6+ x5+ x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2 -7 -4又由于 h6=0，得：x6+x5+x4+x3+x2+x1=27 (I)还有90≤≤hi 和h6=x6+H6-4=0所以：0 ≤ x1+2-8 ≤ 90 ≤ x2+ x1+2-8 -5 ≤ 90 ≤x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 ≤ 9 0 ≤x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2 ≤ 9 0 ≤x5+ x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2 -7 ≤ 9 x6+ H6 - 4 =0解得：6≤x1 ≤ 150≤x2 ≤ 140≤x3 ≤ 120≤x4 ≤ 110≤x5 ≤ 110≤x6 ≤ 4将上述hi带入⑤，得每月的总耗费：第一个月11·x1 + x1+2-8第二个月18·x2 + x2+ x1+2-8 -5第三个月13·x3 + x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3第四个月17·x4 + x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2第五个月20·x5 + x5+ x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2 -7第六个月10·x6 + 0再将上面数据代入到①中，得：(42017)2)(⨯⨯+=7010654(181)115+)3)13(23(TxxT-M⨯TxxTxTTx⨯+⨯⨯++⨯⨯+++⨯+⨯⨯+到此把问题转化为了一个线性规划问题，如下：目标函数：⨯(421720))+⨯=706510(31()5(11184133(2))⨯+xxT-M⨯TxxTxTTx⨯T+⨯+⨯++⨯⨯+⨯++⨯+约束条件：6≤x1 ≤ 150≤x2 ≤ 140≤x3 ≤ 120≤x4 ≤ 110≤x5 ≤ 110≤x6 ≤ 4等式关系：x6+x5+x4+x3+x2+x1=27只要求出使M最小时的xi值即可，代入题目中各数据，暂取T=1，用matlab解得：半年内每月生产计划如下：第一个月15第二个月0第三个月8第四个月0第五个月0第六个月 4半年内每月库存量如下：第一个月9第二个月 4第三个月9第四个月7第五个月0第六个月0M=408注：Matlab程序请看附录5.结果分析与检验检验：xi分别取6，5，5，6，1，4等级组数据时，M都大于408。

存贮模型

• 经济批量订货公式（EOQ公式）经济批量订货公式（公式）公式
用于订货、供应、用于订货、供应、存贮情形每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ，，每天每件贮存费 T天订货一次周期每次订货件，当贮存量降到天订货一次(周期每次订货Q件天订货一次周期), 零时，件立即到货件立即到货。零时，Q件立即到货。
求 T ,Q 使
C (T , Q ) → Min
Q = rT
0
T
t
2
Q rT 一周期贮存费为一周期 ~ C = c1 + c2 T = c1 + c2 T 2 2 c q (t ) dt = c A 总费用
2 0
∫
2
每天总费用平均目标函数）值（目标函数）
~ C c1 c 2 rT C (T ) = = + T T 2
模型求解
dC =0 dT
T =
2 c1 rc 2
2c1r Q = rT = c2
不允许缺货的存贮模型 •问：建模时作了生产能力无限大”的假设如果问建模时作了”生产能力无限大的假设,如果生产能力无限大” 生产能力有限,是大于需求量的常数如何建模？是大于需求量的常数,如何建模生产能力有限是大于需求量的常数如何建模？
每天总费用 C c1 c2 Q 2 c3 (rT − Q ) 2 C (T , Q ) = = + + 平均值 T T 2rT 2rT 目标函数）（目标函数）求 T ,Q 使 C (T , Q ) → Min
∂C ∂C = 0, =0 ∂T ∂Q
为与不允许缺货的存贮模型为与不允许缺货的存贮模型相比，记作记作T 记作Q 相比，T记作 ’, Q记作 ’ 记作

存储模型、森林救火(数学建模)

问题
3.3 森林救火
森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。
问题记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 分析灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).
• 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. • 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定.
2）t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度）
3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3
火势以失火点为中心，
均匀向四周呈圆形蔓延，
假设1）的解释
半径 r与 t 成正比
r
B
面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.
模型建立
假设1）假设2）
dB
bt1,
t t b
2 1 x
b
dt
t
t t 1
2 1 x 0
t1
x
t2 t
B(t2)
t2 0
B(t)dtb2t
2
t12
2
2t12 2(x)
假设3）4） f 1 ( x ) c 1 B ( t 2 )f , 2 ( x ) c 2 x ( t 2 t 1 ) c 3 x 目标函数——总费用 C (x)f1(x)f2(x)
第三章简单的优化模型
3.1 存贮模型 3.3 森林救火
供应链与物流管理
经济、管理科学近几十年获得了飞速发展，并取得丰硕的成果。这些成果的重要标志之一就是更加数学化和定量化。
下面介绍供应链与物流管理中的一个典型模型：存储模型

(数学建模课件)2.3存贮模型

q(t)
Q
Ar
t
0
T
2T一个订货周期总费用订货费 C1贮存费 C 2
T 0
q(t)dt
1 2
C2QT
1 2
C 2 rT
2
即
C（T）
C1
1 2
C2 rT
2
一个订货周期平均每天的费用 C(T ) 应为
C(T )
C(T ) T
C1 T
1 2
C2
rT
问题归结为求T 使 C(T ) 最小。
模型求解：
令
dC dT
0
，不难求得
T 2C1 rC 2
从而
Q 2C1r C2
（经济订货批量公式，简称 EOQ公式）
模型分析：若记每吨货物的价格为 k ，则一周期的总费用C
中应添加 kQ，由于 Q rT ，故 C 中添加一常数项 kr，求解结果没有影响，说明货物本身的价格可不考虑。
从结果看，C1越高，需求量 r 越大，Q 应越大；C2
模型一、不允许缺货的存贮模型模型假设： 1、每次订货费为 C1，每天每吨货物贮存费 C2 为已知； 2、每天的货物需求量 r 吨为已知； 3、订货周期为T 天，每次订货 Q 吨，当贮存量降到零时订货立即到达。
模型建立：
订货周期T ，订货量 Q 与每天需求量 r 之间满足
Q rT 订货后贮存量 q(t) 由 Q 均匀地下降，即 q(t) Q rt 。
模型建立：
缺货时贮存量 q 视作负值，q(t) 的图形如下，货物
在 t T1时售完，于是 Q rT1 。
.
.q
Q
r
A
0
T1 B T
t
一个订货周期内总费用如下

数学建模生产与存贮问题的探讨

生产与存贮问题的探讨摘要在一定时期内,生产的成本费与库存费一直是厂家最关心的优化指标。

本文根据题中的条件针对如何在成本费与库存费之和最优的情况下，使总工时最小的问题，利用了多目标动态规划的方法，建立了生产与存储的优化模型。

我们知道增大生产量可以降低成本费，但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。

相反，如果减少生产量，虽然可以降低存贮费，但又会增加生产的成本费，同样会造成损失。

故可以找到一个生产计划使得生产的生产费与存贮费之和达到一个最小值,并且使他们所花的工时也最少。

我们根据实际生活中生产的部件的性质可以将生产模式分成两种情况：允许有缺货的情况和不允许有缺货的情况。

在模型一中,我们假设这种部件是不允许缺货的，于是目标函数为：∑∑==+++=6161)(7.03.0min k k k k k k c h p akx g在模型二中,我们假设这种部件是可以缺货的，但是我们要求上个月所缺的部件必须要在本月补回来。

如果中间某个月或者是某几个月出现缺货的现象,就会因为有损失费,面对这样的情况时,如果损失费比生产费少的话,对于这种方案公司还是可以考虑,根据这种情况我们可以得到目标函数为：∑∑==++++=6161)(7.03.0min k k k k k k k q p h c akx g我们建立的模型一和模型二都是以动态规划为主要解题思路，在模型中我们将生产费与库存费之和赋予0.7的权重值，总耗费工时数赋予0.3的权重值，假设每件产品的单位工时费为10元，每件产品每月的存贮费为20元，每件产品每月的缺货损失费为5元，因为产品的生产量与成本费成反比，设反比系数为S ，若生产量为X ，则成本费为S/X 元，设反比系数S 为840。

我们利用Lingo 软件求解，在没有缺货存在的条件下得到的最小成本费为5158元，总耗费工时数最少为382小时，一到六月的逐月分配方案为：7 4 5 4 3 4；在有缺货存在的条件下得到的最小成本费为4960元，总耗费工时数最少为363小时，一到六月的逐月分配方案为：6 3 4 3 3 8，每月的缺货量为：0 2 1 0 4 0。

数学建模存贮模型

(3)式为这个优化模型的目标函数。
模型求解
为了求 T 使(3)式的 C 最小，解方程
C(T ) c1 T 2 c2r 2 0
求得最优生产周期为 T
2c1 c2r
(4)
最优产量为
Q 2c1r c2
(5)
最小费用为
C 2c1c2r
(6)
(4),(5)称为经济订货批量公式(EOQ 公式)
敏感性分析
2. T 对 c2 的敏感度
S(T , c2 )
T c2
T c2

T c2
c2 T
1 2
2c1 c 23 r
c2 0.5 2c1
c2r
可见， c2 增加 1%，T 减少 0.5%；
敏感性分析
3. T 对 r 的敏感度
S(T , r) T T T r 1 r r r T 2
敏感性分析
为了讨论参数 c1 ， c2 ，r 的微小变化对生产周期 T 的影响，用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度，定义并计算敏感度 S。
1. T 对 c1 的敏感度
S(T , c1)

T c1
T c1

T c1
c1 T

1 2c1c2 r
c1 0.5 2c1 c2r
可见， c1 增加 1%，T 增加 0.5%；
Q

c1

c 2
c 3 Q 2
2r

1 T2
c 2 c3 Q
rT

c30ຫໍສະໝຸດ c3r 2
0
即
Q

c3r
T c1 T 2
c2 c3

数学建模之库存模型

fxx
f yy

f
2 xy

0
，则
f(x,y)在点(a,b)处取得极小值；
（ii）如果 f(x,y)在点(a,b)处有 fx fy 0 ，fxx 0 且
fxx
f yy

f
2 xy

0
，则
f(x,y)在点(a,b)处取得极大值.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
定义 7.1.2 设函数 f(x,y)在定义域内存在连续二阶偏导数，(a,b)是定义域的内点，则由 f(x,y)在(a,b)
处的二阶偏导数构成的二阶对称方阵
H

f xx f xy
fxy
f
yy

称为 f(x,y)在点(a,b)处的黑塞矩阵（H 又记作 2 f ）.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
Q
库存量
0 T=Q/r
时间
图 7.1
平均库存 = Q/2
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
根据假设，一个订货周期内的平均库存量等于 Q/2，所以库存费用是 p2QT 2 . 于是每单位时间的总费用为
C

1 T

p0Q
p1

p2QT 2

p0r

p1 T

p2rT 2
按照库存模型的建模目的，订货周期 T 的最优值
应该由每单位时间的总费用 C 关于 T 的最小值得出.
既然已经假设 T 是连型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
首先，根据定理 7.1.1，C 在T T 取得极值的必要条件为

建模经典案例分析-盐的贮存问题

全极限，即铲斗车可开到斜坡的任何点，而盐堆表面不会滑动。
分析与建模
• 首先，定义所谓临界角—盐在自然堆积起来能维持平衡时，从水平面来测量的最大角。
• 当有重物放置到具有临界角的盐堆时，会使盐下滑形成新的临界角，它依赖于负载，称这时的临界角为负载临界角。
• 定义三个参数：
a)盐的临界角，记作；
宏观角度
• 不考虑盐堆的内部受力情况，从铲斗车堆盐出发，分析铲斗车在盐堆上堆盐的几种情况，从宏观角度分析出盐堆能堆到的最大高度。
ห้องสมุดไป่ตู้
模型的假设
I. 不考虑微观因素； II. 挡壁可支撑住任何负荷； III. 盐仓的顶部不能支撑任何负荷； IV. 盐堆的高度从仓库的地面算起； V. 专家小组建议的高度是一个“绝对”安
模型的推广
• 最后，我们这个模型还可以做一个推广，将这种方法应用到各类堆积贮存问题中。
Thanks
• 当铲斗车在正斜坡上堆盐时，盐堆的最大高度：
hak
r sin( ) cos
分析与建模
• 当铲斗车在负斜坡上堆盐时，盐堆的最大高度：
had
r sin( ) cos
分析与建模
• 至此我们已经弄清了对铲斗车的限制，接着就来分析仓库里盐堆的“绝对”安全的条件
这里为铲斗车在盐堆上行驶时的盐堆负载临界角。由假设知，铲斗车可以在盐堆锥形面上任意行驶，可由下式给出：
问题重述
• 对以上情况建立一个数学模型并求得在仓库中盐堆的最大高度。
• 已知，仓高为50英尺，挡壁高4英尺，仓的外直径103 英尺，门的净空高19英尺9英寸，铲斗车高10英尺9英寸。
仓库示意图
赛题背景
这道赛题你会怎么做呢？

存贮模型

subject to
“受约束于”之意
1.2
数学建模与模拟优化方法涉及的应用领域很广，问题种类与性质优化模型的分类繁多，根据不同的原则可以给出不同的分类。从数学建模的角度，对最优化问题的一些典型分类及相关概念的了解是有益的。
1.根据是否存在约束条件
有约束问题和无约束问题。
2.根据设计变量的性质
周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。 2) 缺货损失费愈大，愈小，愈接近 T ， Q , R T
*
*
愈接近 Q 。 3）当c3 时， 1 T * T , Q* Q, R Q ，不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。
T * T , Q * Q / , R Q
问题分析

数学建模与模拟
若每天生产一次，每次100件，无存贮费，生产准备费 5000元，每天费用5000元；若10天生产一次，每次1000件，存贮费 900+800+„+100=4500元，生产准备费5000元，总计 9500元，平均每天费用950元；

若50天生产一次，每次5000件，存贮费 4900+4800+„+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用2550元。寻找生产周期、产量、需求量、生产准备费和存贮费之间的关系，使每天的费用最少。
数学建模与模拟
模型假设

假设工厂生产的产品单一，市场对该产品的需求量在时间上保持恒定，即在任何时刻，单位时间（每天）对产品的需求量恒为r（吨）；每次生产需支付生产准备费（等一次性费用）C1，在正常期间，还需支付货物的贮存费用，单位时间（天）单位（吨）货物需支付货物的贮存费用C2；

数学建模——存储模型

存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。

在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。

模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。

本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。

这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。

其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。

根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。

此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。

现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。

如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。

数学建模基础模型

2 其他假设如前例
一个周期的总费用
Q2 ( rT Q )2 C c1 c2 c3 kQ 2r 2r
每天平均费用
c1 Q2 ( rT Q )2 Q C (T , Q ) c2 c3 k T 2rT 2rT T
模型求解用微分法令
C (T , Q) C (T , Q) 0, 0 T Q
每天平均最小费用 C
2c1c2 r
著名的经济订货批量公式（EOQ公式）。模型分析
c1 T , Q
c2 T , Q
r T , Q
模型应用
c1=5000, c2=1，r=100 • 回答问题 T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)
•这里得到的费用C与前面计算得950元有微 •小差别，你能解释吗？
敏感性分析
讨论参数 c1 , c2 , r 有微小变化时对生产周期T 影响。由相对变化量衡量对参数的敏感程度。
T 对c1 的敏感程度记为 S (T , c1 )
2 1 c2 r c1 1 T T dT c1 S (T , c1 ) 2 2c1 T 2 c1 c1 dc1 T c2 r 1 1 S (T , c2 ) S (T , r ) 2 2
第三章
3.1
3.2 3.3
简单的优化模型
存贮模型
生猪的出售时机森林救火
3.4
最优价格
3.5 血管分支
3.6 消费者均衡
3.7 冰山运输
静态优化模型
• 现实世界中普遍存在着优化问题
• 静态优化问题指最优解是数(不是函数) • 建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数 • 求解静态优化模型一般用微分法

数学建模 存贮模型

数学建模存贮论部分

数学建模研究——存贮问题

数学建模——存储模型

存贮论模型LINGO方法

建模存贮模型总结报告范文(3篇)

存贮论(数学建模)

数学建模——存储模型

存储模型

数学建模-生产与贮存

存贮模型

存储模型、森林救火(数学建模)

(数学建模课件)2.3存贮模型

数学建模 生产与存贮问题的探讨

数学建模 存贮模型

数学建模之库存模型

建模经典案例分析-盐的贮存问题

存贮模型

数学建模——存储模型

数学建模 基础模型

数学建模存贮模型

数学建模生产与存贮问题的探讨

数学建模存贮模型

数学建模基础模型