几何图形中的最值问题

几何图形中的最值问题

引言：最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题：

1. 函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。

2. 不等式：①如x w 7最大值是7;②如x> 5，最小值是5.

3.几何图形：①两点之间线段线段最短。②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段

最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

一、最小值问题

B镇

*

A镇

♦

' -------------------------- '燃气管

例1.如图4，已知正方形的边长是8, M在DC上，且DM=2 N为线段AC 上的一动点，求DN+MN勺最小值。

解：作点D关于AC的对称点D，则点D与点B重合，连BM交AC于N,连DN 贝U DN+MN t短，且DN+MN=BM

•/ CD=BC=8,DM=2, /• MC=6,

在Rt △ BCM中,BM= 82 62=10，

••• DN+MN勺最小值是10。

例2，已知，MN是O O直径上，MN=2点A在O O上，/ AMN=3&B

是弧AN的中点，P是MN上的一动点，贝U PA+PB的最小值是__________ 解：作A点关于MN的对称点A,连AB,交MN于P,贝U PA+PB最短。

连OB oA,

•••/ AMN=30B是弧AN的中点,

•••/ BOA=30°,根据对称性可知

:丄 NOA=60°,:丄 MOA=900, D

D

M

B

N

A

M

O

A

在 Rt △ A ’BO 中，OA=OB=1,

••• A B =、2 即 PA+PB= 2

作点A 关于杯上沿 MN 的对称点B ,连接BC 交MN 于点P ,

连接BM 过点C 作AB 的垂线交剖开线 MA 于点Do

由轴对称的性质和三角形三边关系知

例3.如图6，已知两点 D(1,-3),E(-1,-4), 试在直线y=x 上确定一点 P,使点P 到D

E 两点的距离之和最小，并求出最小值。

解：作点E 关于直线y=x 的对称点M 连MD 交直线y=x 于P,连PE, 贝U PE+PD 最短；即 PE+PD=MD ••• E(-1,-4),

• M(-4,-1),

过M 作MN/ x 轴的直线交过 D 作DN/ y 轴的直线于 N, 则 MN_ ND,又 T D(1,-3),则 N(1,-1),

在 Rt △ MND 中 ,MN=5,ND=2, • MD= 5? 2 = .. 29。 •••最小值是.29 。 练习

1. (2012山东青岛3分)如图，圆柱形玻璃杯高为

12cm 底面周长为18cm,在杯内离

杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁， 离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点

A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为

cm

I

I \

41

订一干

4 /

>

is

【解】如图，圆柱形玻璃杯展开(沿点

A 竖直剖开)后侧面是一个长 18宽12的矩形,

AP+ PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP

由已知和矩形的性质，得DC=9 BD=12

在Rt△ BCD中，由勾股定理得BC DC2 BD2. 92 122 15。

••• AP+ PC=BPF PC=BC=15

即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。

2.正方形ABCD边长是4,/ DAC的平分线交CD与点E,点P,Q分别是AD,AE上的动点（两动点不重合），则PQ+DQ勺最小值是

解：过点D作DF丄AC垂足为F,

则DF即为PQ+DQ勺最小值.

•••正方形ABCD的边长是4,

• AD=4 / DAC=45 ,

在直角△ ADF 中，/ AFD=90 , / DAF=45 , AD=4,

••• DF=AD?sin45 =4 二2

2

故答案为2

3. （2009?陕西）如图，在锐角厶ABC中，AB= 4 , / BAC

=45°,/ BAC的平分线交BC于点D, M N分别是AD和AB上的

动点，贝U BM + MN的最小值是 ____ .

解：过B作关于AD的对称点B,则B在AC上,

且AB=A B=4.,MB=M B,B/M N最短，即为B Z H最短。

在Rt△ AHB中，

/ BAH= 45°, AB=4- ,

• B H=4,

• BM+ MN的最小值是 4.

4. 如图，菱形ABCD中, AB=2, / A=120°，点P, Q K分别为线段BC, CD, BD上的任意一点，贝U PK+QK勺最小值为 _____

解：•••四边形ABCD是菱形，• AD// BC

•••/ A=120 ,•••/ B=180 -Z A=180 - 120° =60°,

作点P 关于直线BD 的对称点 P ,连接 PQ PC 则P /Q 的长即为PK+Q 啲最小值，由图可知， 当点Q 与点C 重合，CP 丄AB 时PK+QK 勺值最小, 在 Rt △ BCP /中，T BC=AB=2 Z B=60° , ••CP /=BC?si nB=2X

2

5. (2012 兰州)如图，四边形 ABCD 中,Z BAD= 120°,Z B =Z D = 90°，在 BC CD 上 分别找一点 M 汕使厶AMN 周长最小时，则Z AMI ^Z ANM 的度数为【 】

A. 130° B . 120° C . 110°

D . 100°

解：作A 关于BC 和 ED 的对称点A', A 〃，连接A A 〃，交 BC 于M,交CD 于N,则A A 〃即为△ AMN 的周长最小值.作 DA 延长线AH

T Z EAB= 120°,

• Z HAA = 60°,

• Z AA M+Z A "=Z HAA = 60°, •/Z MA A =Z MAA ,Z NAD =Z A ",

故选：B .

6. （2011?贵港）如图所示，在边长为 2的正△ ABC 中，E 、F 、G 分别为AB AC BC

的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接 BP 、GP 则厶BPG 的周 长的最小值是 ______

解：要使厶PBG 的周长最小，而 BG=1一定，

且Z MA A +Z MAA =Z

AMN Z

NADF Z

(A 〃=Z I

ANM • Z AMN-Z ANI =Z MA A +Z MAA +Z I NA +Z /_A

=2( Z AA M +Z A " ) = 2X 60°= 120°,