正弦函数、余弦函数的图像

人教A版高中《数学》必修④《1.4.1 正弦函数、
余弦函数的图象》
教学设计与反思
黄建军 浙江省嵊州市三界中学
一、指导思想与理论依据
本节课的设计遵循从局部到整体、从特殊到一般的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，用观察、启发、探究相结合的方法组织教学。

从演示 “简谐运动”实验入手，形成直观的正弦曲线、余弦曲线印象，然后通过设置一系列具有挑战性的问题引领学生探究正弦函数、余弦函数的图象，再用例题、练习巩固五点法及应用，最后师生小结提升。

这样设计比较自然、合理、符合认知规律，能够激发学生学习的兴趣，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，掌握正弦函数、余弦函数的图象的作法，领会数形结合、类比、变换等数学思想，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式。

整堂课体现了新课标“以学生为主体，教师为主导”的课堂教学理念。

二、教材分析
本节教材选自人教A版高中《数学》必修④第一章第四节，其主要内容是正弦函数、余弦函数的图象。

本节课是在学生已经掌握了任意三角函数的定义，三角函数线，三角函数的诱导公式等知识基础上进行学习的，不仅是对前面所学知识应用的考察，也是后续学习正弦函数、余弦函数的性质的基础。

对函数图象清晰而准确的掌握也为学生在解题实践中提供了有力的工具。

因此，本节课的学习有着极其重要的意义与地位，它对知识的掌握起到了承上启下的作用。

三、学情分析
学生认知发展分析：所教学生的数学成绩在年段中属中上水平，学生学习数学兴致较高。

他们已经掌握了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等基础函数的图象和性质，并了解一些函数的画法；已具有
较强的分析、判断、理解能力和一定层次上的合作交流能力。

学生认知障碍点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点。

四、教学目标
1、知识与技能：使学生理解作正弦函数和余弦函数图象的方法，掌握
用五点法作正弦函数和余弦函数的简图。

2、过程与方法：通过组织引导学生参与“用正弦线作正弦函数图
象”，培养学生探究能力及数学应用能力，提高学生分析、类比、抽
象、概括等思维能力。

3、情感、态度与价值观：让学生体会数学中的图形美，体验善于动手操
作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦，渗透由抽象到具体的思想，
加深对数形结合思想的认识，理解动与静的辩证关系，树立科学的辩证
观唯物主义观。

五、教学重点、难点
重点：正弦函数、余弦函数的图象。

： 难点：（1）将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点；
（2）正弦函数与余弦函数图象间的关系。

六、教学过程
（一） 创设情景，导入新课
数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直觉，形少数时难
入微，数形结合百般好，隔离分家万事休……”,这是我国著名数学家
华罗庚教授写过的一首诗，诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思
想方法。

前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这
节课我们将从“形”上研究两个三角函数。

1. 在弧度制下，实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，
而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦（或余弦）值，这样，任意给
定一个实数，有唯一确定的值（或）与之对应，由这个对应法则所确定的函数（或）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域为。

2. 遇到一个新的函数非常自然地是画出它的图象，观察图象的形
状，看看有什么特点，并借助图像研究它的性质。

这节课我们先来研究正弦函数、余弦函数的图象（出示课题）。

大家都想知道它们的图象是怎样的吗？让我们一起来看实验吧！
3.教师演示单摆实验和弹簧振子实验，使学生对正弦函数、余弦
函数的图象有一个直观的印象。

[设计意图]：一上课教师通过声情并茂地朗诵华罗庚教授写的一首诗吸引了学生的注意力，演示“简谐运
动”实验，使学生对正弦函数余弦函数的图象有一个直观的印象，可借此实验激发学生听课的积极性和兴趣。

（二）合作交流，探究新知
探究一： 正弦函数的图象
问题1作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，由于对一般角的三角函数值都是近似值，不易描出点的精确位置。

能否利用正弦线作出比较精确的函数的图象？
议一议：我们先来作一个点C（,），在单位圆⊙中作，画出它的正弦线MP，把角的正弦线向右平移，使M点与轴上表示的点重合，得到线段MC，显然点C和点P的纵坐标相同，都等于。

因此，点C的坐标为（,）。

提问：能否借助上面作点C（,）的方法作出正弦函数y＝
sinx,x∈[0,2π]的图象呢？让学生分组讨论后，教师再讲解正弦函数的几何作图法（用frash动画演示）。

我们利用上面作点C的方法先在直角坐标系中作出正弦函数的图象，具体分为如下五个步骤：
（1）作直角坐标系，并在直角坐标系Y轴的左侧画单位圆。

（2）把单位圆分成12等份，过单位圆上的各分点作轴的垂线，得到对应于0，…，等角的正弦线。

（3）找横坐标：把轴上从0到（≈6.28）这一段分成12等份。

（4）找纵坐标：把角的正弦线向右平移，使它的起点与轴上的点重
合。

（5）连线：用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，即得函数的图象。

[设计意图]：这是本节课的难点，教师通过从特殊到一般的小步前进方法化解难点，并辅以“正弦函数的几何作图法”教学课件的演示，生动形象，引导学生认真观察，指导学生进行分组讨论交流，促进学生知识体系的建构和数学思想方法的形成，注意面向全体学生，培养学生勇于探索、勤于思考的精神，提高学生合作学习和数学交流能力。

问题2如何作出的图象？
因为终边相同的角有相同的三角函数值，于是我们只要将函数y＝
sinx,x∈[0,2π]的图象向左、向右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数y＝sinx的图象，正弦函数的图象叫做正弦曲线。

[设计意图]：这一过程用课件处理，让学生仔细观察整个图的形成过程，感知周期性。

问题3 利用单位圆用几何法作出的图象比较精确但比较烦琐，能否用描点法作出正弦曲线呢？
思考讨论：观察函数的图象是一条光滑的“波浪线”，其中起关键作用的是以下五个点：最高点（，1），最低点（，-1），与 轴的交点（0，0），（，0），（，0）。

事实上，描出这五个点后，函数的图象形状就基本上确定了。

因此，在精确度要求不高时，我们可先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数的简图，这中作图的方法称为“五点法”作图。

以后我们画三角函数图象时一般都采用这种方法。

“五点法”作图的一般步骤是：（1）列表（2）描点（3）连线 （1）列表
02
010-10
（2）描点
（3）连线（注意曲线的凹凸性，从左往右分别为凸升、凸降、凹降、凹升）
[设计意图]：教师把“五点法”作图过程在黑板进行详细板演，并让学生动手作图，感知正弦函数的图象。

探究二：余弦函数的图象
问题1怎样作出的图象？
议一议：（1）先利用余弦线作出上的图象，再向左、向右平移（每次2个单位长度）得到。

（2）由诱导公式六我们有，而函数的图象可以通过函数的图象向左平
移个单位长度得到。

因此，余弦函数的图象可以通过正弦曲线向左平移
个单位长度得到。

余弦函数的图象叫做余弦曲线。

问题2怎样用“五点法”作余弦曲线？
探究：与正弦曲线类似，的图象与的图象完全一样，只要作出的图象，
再向左、向右平移（每次个单位长度）便可得到余弦曲线。

观察的图象可知，起关键作用的五个点应是：（0，1），（，0） ，（，-1） ，（，0），（2，1）。

同样，在精确度要求不高时，
我们可先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到
余弦函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图。

注意曲线的凹
凸性，从左往右分别为凸降、凹降、凹升、凸升。

[设计意图]：让学生在学习了正弦函数图象画法的基础上，通过探究，
自己类比得出余弦函数的图象的画法。

用课件演示正弦曲线平移为余弦
曲线的过程，使学生更好地掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系。

教师板演“五点法”作图过程，并让学生动手作图，可更好地感知余弦
函数的图象。

（三）典例分析，深化知识
例1. 画出下列函数的简图
（1），
（教师提问，学生回答，师生共同完成，教师在黑板上示范）
（2）
（请一名学习成绩中等的学生板演，其余学生自己练习）
（1）解：（五点法）作图步骤：列表、描点、连线.
强调注意点：①轴、轴、箭头不可少②用光滑曲线连接，注意凹凸性）
③注上函数及定义域。

思考：你能否从函数图像变换的角度出发，利用函数的图象平移得到的图象？
答：作出函数，的图象，再把所得图象向上平移1个单位，得到的图象；小结：作函数简图常用“五点法”和“变换法”。

要得到y＝sinx+k的图象只需将y＝sinx的图象向上（k>0）或向下(k <0)平移| k |个单位。

（2）请其它学生指出板演中存在的问题并加以纠正，特别是曲线的凹凸性容易画错。

接着请学生思考这题如何用变换法作图。

[设计意图]：对例1的第一小题教师在黑板上示范，并加以小结；例1的第二小题让学生上台板演，充分暴露错误，由其它学生帮其纠错，使学生更好地掌握“五点法”。

通过此例使学生明白作函数简图常用“五点法”和“变换法”。

（四）巩固练习，提高能力
画出下列函数的简图：
（1）, （2）,
学生演练完毕后可采用实物投影仪将学生画的图象进行展示,当场修改其中的错误.
[设计意图]：教师把学生的练习用实物投影仪展示，使学生通过当堂练习反馈，更好地掌握本节课知识。

（五）归纳小结，知识升华
先由学生反思学习内容并回答，教师再作补充完善。

1、正弦、余弦函数在上图象的作法有几何法和五点法，其中“五点法”最常用，要牢记五个关键点。

2、正弦函数和余弦函数图象间的关系。

的图象可由的图像向左平移个单位得到。

3、本节课用到的数学思想有数形结合、类比和变换思想。

[设计意图]：让学生小结本节课主要知识，养成学习--总结--学习的良好学习习惯，发挥自我评价的作用，培养学生的归纳能力和语言表达能力。

（六）布置作业，巩固提升
1、（必做）阅读作业：阅读课本P30—P33
2、（必做）书面作业：《数学作业本》P11—P13
3、（选做）研究性作业：思考的函数图象通过怎样的变换能得到函数的图象。

[设计意图]：布置分层次作业，体现了因材施教原则。

七、板书设计
一、课题引入
二、正弦函数的图象 三、余弦函数的图
象 四、典例分析
1、利用正弦线作出正弦函数的图象 1、利用图象变换作余弦函数的图象 例1（1）
2、用“五点法”作正弦函数的简图 2、用“五点法”作余弦函数的简图 （2）
八、学生学习活动评价设计
让学生分组讨论能否借助上面作点C的方法作出正弦函数y＝
sinx,x∈[0,2π]的图象，每组成员之间进行相互评价，以取长补短；教师在上课时对学生的回答进行评价，从而提高学习的兴趣；例1的第二小题让学生上台板演，充分暴露错误，由其它学生对板演学生进行评价，帮其纠错；教师把学生的练习用实物投影仪展示，当场修改其中的错误，当堂反馈评价，使学生更好地掌握本节课知识。

九、教后反思
这是本人的一堂校内公开课，我根据教材和学生的情况，创造性地使用教材，创设有效的教学情景，构建有效的课堂教学活动，采用多媒体辅助教学手段，收到了较好的教学效果。

做得较好之处具体如下：
1、问题驱动教学，学生活动量大。

本节课从实验演示入手，形成图象的直观感知后，通过设计一系列具有挑战性的、开放性的问题，带领学生探索正弦曲线、余弦曲线的准确作法，形成理性认识。

问题设置层层深入，引导学生发现问题，解决问题，并对方法进行归纳总结，体现了新课标“以学生为主体，教师为主导”的课堂教学理念。

探究过程做到师生互动、生生互动，不断深入，体现了“数学教学主要是数学活动教学”的教育思想，且符合新课程倡导的教学过程就是师生互动共同发展的过程，培养了学生积极主动、勇于探索的学习方式。

2、恰当运用多媒体，让学生感悟数学内涵。

本节课由于内容较多，用课件和实物投影仪一方面可提高课堂教学的容量，增加学生思考和作图的时间；另一方面用frash动画演示“正弦函数的几何作图法”和正弦曲线平移为余弦曲线的过程，生动形象，可化解难点，突出重点，加深学生印象，让学生感悟数学的内涵，体验数学的魅力。

3、重视画图练习，提高教学实效。

本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错。

我在上课时，板演“五点法”作图过程后，就让学生模仿作图，并要求学生在开始时要慢些，首先要画好直角坐标系，然后准确地找到每个点，最后注意曲线的凹凸性，用光滑的曲线连接。

只有通过多次练习，才能使学生能熟练地画出图象。

通过画图训练可以培养学生的动手能力、模仿能力。

4、运用建构主义思想，实现有效建构。

本节课我们始终在创设有效的问题情境，从课题的导入，探究、作业，都使学生对知识进行主动建构，教师始终是课堂活动的设计者、组织者和参与者，充分发挥学生的主动性和积极性，从而使学生有效地实现了对知识的构建。

5、如果让我再上这一堂课，我会在学生小组合作学习、师生互动
方面加以改进。