专题11.1 与三角形有关的线段(解析版)

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专项11-1 三角形的边、高、中线与角平分线等相关计算(解析版)

2020—2021八年级上学期专项冲刺卷（人教版）专项11.1 三角形的边、高、中线与角平分线等相关计算姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟满分：120分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知三角形中，某两条边的长分别为5和9，则另一条边的长可能是（）A．4 B．5 C．3 D．14【答案】B【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：9+5=14，9-5=4，所以第三边在4到14之间，只有B中的5满足．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和．2．三边都不相等的三角形有两边长分别为3和5，第三长是奇数，则其周长为（）A．15 B．13 C．11 D．15或13或11【答案】A【分析】本题可先求出第三边的取值范围，找出其中三边都不相等，且为奇数的数，即为第三边的长，再将三者相加即可得出周长的值．【详解】解：设第三边长为x．根据三角形的三边关系，则有5−3＜x＜5＋3，即2＜x＜8，因为三边都不相等，第三边长是奇数，所以x ＝7，所以周长＝3＋5＋7＝15．故选：A ．【点睛】考查了三角形的三边关系，根据三角形三边长关系，得到第三边长的范围，是解题的关键． 3．如图，线段AD ，AE ，AF 分别是ABC 的高线，角平分线，中线，比较线段AC ，AD ，AE ，AF 的长短，其中最短的是（）A ．AFB ．AEC ．ACD ．AD【答案】D【分析】根据垂线段最短即可得．【详解】解：由三角形的高线的定义得：AD BC ⊥，由垂线段最短得：线段AD 最短，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的高线、角平分线、中线、以及垂线段最短，掌握理解垂线段最短是解题关键． 4．如图AB AC ⊥，AD BC ⊥，其中4AC =，3AB =，5BC =，125AD =，165CD =，则B 到AD 距离为（）A ．3B ．5C ．165D ．95【答案】D【分析】根据三角形高的定义可知，AD 长度就是点A 到线段BC 的距离，根据此解答即可．【详解】解：∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴BD 垂直于AD ，∴B 到AD 的距离等于BD 的长度=BC -CD =95，∴点B 到线段AD 的距离是95，故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形的高的概念，结合图形找出△ABC 边BC 上的高是解题的关键．5．若线段AM 和线段AN 分别是ABC 边BC 上的中线和高，则下列判断正确的是（） A ．AM AN > B ．AM AN ≥ C ．AM AN < D ．AM AN ≤【答案】B【分析】根据三角形的高的概念得到AN ⊥BC ，根据垂线段最短判断．【详解】解：∵线段AN 是△ABC 边BC 上的高，∴AN ⊥BC ，由垂线段最短可知，AM ≥AN ，故选：B ．【点睛】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念，掌握垂线段最短是解题的关键．6．如图，在ABC ∆中，,AD AE 分别是边BC 上的中线和高，2,3ABD AE S ∆==，则BC =（）A ．2B ．32C ．4D ．6【答案】D【分析】先根据面积公式求出BD ，再根据中线的定义即可求解．【详解】解：∵AE 是ABC ∆边BC 上的高，2,3ABD AE S ∆==，∴BD =2×3÷2=3，∵AD 为ABC ∆边BC 上的中线，∴BC =2BD =6．故选：D【点睛】本题考查三角形的中线和高，三角形的面积，熟练掌握中线的定义和三角形的面积公式是解题的关键．7．三角形的重心是（）A ．三角形三边的高所在直线的交点B ．三角形的三条中线的交点C ．三角形的三条内角平分线的交点D ．三角形三边中垂线的交点【答案】B【分析】根据重心是三角形三边中线的交点，三角形三条高的交点是垂心，三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，等知识点作出判断．【详解】解：三角形三条高的交点是垂心，A 选项不符合题意；三角形三条边中线的交点是三角形的重心，B 选项符合题意；三角形三条内角平分线的交点是三角形的内心，C选项不符合题意；三角形三边中垂线的交点三角形的外心，D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的重心、内心与外心等知识，是基础题，熟记概念是解题的关键．8．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能【答案】C【分析】根据三角形的三条高线与三角形的位置关系即可直接得出结论．【详解】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部(如图1)，钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部(如图2)，直角三角形的三条高的交点在三角形的直角顶点上(如图3).故选C.【点睛】本题主要考查了三角形的三条高线的交点问题，掌握三角形的三条高线交点的特征是解题的关键. 9．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F．若△ABF的面积是4，则四边形DCEF的面积是（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【答案】B【分析】利用F 点为△ABC 的重心得到AF =2DF ，BF =2EF ，根据三角形面积公式得到S △BDF =2，S △AEF =2，再利用E 点为AC 的中点得到S △BCE =S △ABE =6，然后利用四边形DCEF 的面积=S △BCE -S △BDF 进行计算．【详解】解：∵△ABC 的中线AD 、BE 相交于点F ，∴F 点为△ABC 的重心，∴AF =2DF ，BF =2EF ，∴S △BDF =12S △ABF =12×4=2，S △AEF =12S △ABF =12×4=2， ∵BE 为中线，∴S △BCE =S △ABE =4+2=6，∴四边形DCEF 的面积=S △BCE -S △BDF =6-2=4．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了三角形面积公式．10．如图，AD 是ABC 的中线，BE 是ABD △的中线，EF BC ⊥于点F ．若12,3ABC SBD ==，则EF 长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】因为S △ABD =12S △ABC ，S △BDE =12S △ABD ；所以S △BDE =14S △ABC ，再根据三角形的面积公式求得即可．【详解】解：∵AD 是△ABC 的中线，S △ABC =12，∴S △ABD =12S △ABC =6，同理，BE 是△ABD 的中线，S △BDE =12S △ABD ，∴S △BDE =14S △ABC ，∵S △BDE =12BD •EF ，∴12BD •EF =14S △ABC ，又∵△ABC 的面积为12，BD =3，∴EF =2，故选B ．【点睛】此题考查了三角形的面积，要理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解．11．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，点G 是重心，如果6AG =，那么线段DG 的长为（）A ．3B ．4C ．9D ．12【答案】A【分析】根据三角形重心的定义求解即可.【详解】∵AD 是BC 边上的中线，点G 是重心，∴AG ：DG=2：1,∵6AG =，∴DG=3.故选A.【点睛】本题考查了三角形重心的性质，熟记重心的性质，并能灵活运用是解题的关键.12．如图，D ，E 分别是ABC 的边AC ，BC 的中点，则下列说法错误的是（）A ．DE 是BCD △的中线B ．BD 是ABC 的中线C ．AD CD BE EC ==， D ．BD 是ABC 的角平分线【答案】D【分析】根据三角形的中线、线段中点的定义、三角形的角平分线判断即可得．【详解】点D，E分别是ABC的边AC，BC的中点，∴==，AD CD BE EC,△的边BC上的中线，BD∴是ABC的边AC上的中线，DE是BCD则选项A、B、C正确，∠，因为BD不一定平分ABC所以选项D错误，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的中线、线段中点的定义、三角形的角平分线，掌握理解三角形中线的定义是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．如图，照相机的底部用三脚架支撑着，请你说说这样做的依据是_____．【答案】三角形的稳定性【解析】【分析】本题主要考察三角形稳定性的应用.如果已知三角形的三边长度确定,那么这个三角形的形状和大小就完全确定了,且它的形状和大小是固定不变的,这个性质叫做三角形的稳定性.本题即是根据上述知识解答的.【详解】解:根据三角形的特性可知照相机的底部的三脚架支撑利用的是三角形的稳定性由此可知本题的答案.故答案为：三角形的稳定性.【点睛】本题考察三角形稳定性的应用.14．如图，点O 在ABC 内部，且到三边的距离相等．且∠A=70°，则∠BOC=______°．【答案】125【分析】由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠BOC ．【详解】解：∵点O 到△ABC 三边的距离相等，∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠BOC =180°-（∠OBC +∠OCB ） =180°-12（∠ABC +∠ACB ） =180°-12（180°-∠A ） =180°-12⨯（180°-70°）=125°，故答案为：125．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键． 15．如图，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，则CBE BCE ∠+∠=______°.【答案】90【分析】先根据平行线性质得出180ABC DCB ∠+∠=︒，再根据角平分线定义进行求解即可.【详解】∵AB CD ∥∴180ABC DCB ∠+∠=︒∵BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠∴,ABE CBE DCE BCE ∠=∠∠=∠ ∴11118090222CBE BCE ABC DCB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ 故填：90.【点睛】本题考查平行线性质和角平分线定义，熟练掌握性质是关键. 16．如图，在ABC 中，CE AB ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，且3AB =，6BC =，5CE =，则AD =_________．【答案】2.5【分析】根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【详解】解：根据三角形面积公式可得，1122ABC SAB CE BC AD =⨯=⨯， ∵AB=3，BC=6，CE=5，∴1135622AD ⨯⨯=⨯⨯，解得 2.5AD =．【点睛】本题考查了三角形的高以及三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解题的关键．17．AD 为ABC 的中线，AE 为ABC 的高，ABD △的面积为14，7,2AE CE ==则DE的长为_________．【答案】2或6【分析】利用面积法求出BD ，即可求得CD ，再分AE 在ABC 内部和外部，求出DE 即可．【详解】解：AE 为ABC 的高，△ABD 的面积为14，AE=7， 1142∴⋅⋅=BD AE ， ∴2828=4,B 7D ==AE ∵AD 为ABC 的中线，∴CD=BD=4，当AE 在ABC 内部时∵CE=2，∴DE=CD-CE=2，当AE 在ABC 外部时∵CE=2，∴DE=CD+CE=6，【点睛】本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键．18．如图，△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，如果S△ABG＝2，那么S△ABC＝_____．【答案】6【分析】根据D，E分别是三角形的中点，得出G是三角形的重心，再利用重心的概念可得：2GD＝AG进而得到S△ABG：S△ABD＝2：3，再根据AD是△ABC的中线可得S△ABC＝2S△ABD进而得到答案．【详解】解：∵△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，∴2GD＝AG，∵S△ABG＝2，∴S△ABD＝3，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABC＝2S△ABD＝6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=3cm，AC=4 cm，BC=5 cm，∠CAB=90°．(1)求AD的长．(2)求△ABE的面积．【答案】（1）125cm ；（2）3cm 2 【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD 的长度；（2）△AEC 与△ABE 是等底同高的两个三角形，它们的面积相等【详解】解：∵∠BAC=90°，AD 是边BC 上的高，∴12AB•AC=12BC•AD ， ∴341255AB AC AD BC ⋅⨯===（cm ），即AD 的长度为125cm ；（2）如图，∵△ABC 是直角三角形，∠BAC=90°，AB=3cm ，AC=4cm ， ∴S △ABC =12AB•AC=12×3×4=6（cm 2）．又∵AE 是边BC 的中线，∴BE=EC ，∴12BE•AD=12EC•AD ，即S △ABE =S △AEC ， ∴S △ABE=12S △ABC =3（cm 2）． ∴△ABE 的面积是3cm 2．【点睛】本题考查了中线的性质．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD ．20．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒．（1）作出AB 边上的高CD ．（2）5AC =，12BC =，13AB =，求高CD 的长．【答案】（1）见解析（2）1360=CD 【分析】（1）过C 点作CD ⊥AB 即可；（2）根据三角形的面积求解即可．【详解】解：（1）如图：（2）∵在ABC 中，5AC =，12BC =，13AB =，∠ACB =90°，∴S △ABC =12AC ×BC =12AB ×CD ， ∴125601313AC BC CD AB ⋅⨯=== 【点睛】本题考查了做三角形高线和利用三角形的面积求高，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．21．如图，在89⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，ABC 的顶点在网格的格点上（小正方形的顶点即为格点），借助网格完成以下任务．（1）在图中画出ABC 的高AD ，中线BE ；（2）先将ABC 向左平移1格，再向上平移2格：①在图中画出平移后的A B C '''，并分别标注出点A ，B ，C 的对应点A '，B '，C '；②图中与BAC ∠相等的角是________．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②∠B ′A ′C ′，∠AC ′A ′【分析】（1）根据三角形的高和中线的概念作图即可；（2）①将三个顶点分别向左平移1格，再向上平移2格得到其对应点，继而首尾顺次连接即可；②根据平移的性质可得答案．【详解】解：（1）如图所示，线段A D 、BE 即为所求；（2）①如图所示，△A ′B ′C ′即为所求；②由平移的性质知AC ∥A ′C ′，∠BAC =∠B ′A ′C ′，∴∠BAC =∠AC ′A ′，故答案为：∠B ′A ′C ′，∠AC ′A ′．【点睛】本题主要考查作图—平移变换和三角形的高和中线的概念，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．22．如图，12180,3B ∠+∠=︒∠=∠．（1）求证：//EF AB ；（2）求证：AED ACB ∠=∠；（3）若点D E F 、、分别是AB AC CD 、、边上的中点，16ABC S =，求ADFE S 四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6【分析】（1）由∠1+∠2=180°和∠1+∠4=180°得到∠2=∠4，根据平行线的判定得AB ∥EF ；（2）根据AB ∥EF 得到∠ADE =∠3，再由∠3=∠B ，得到∠ADE =∠B ，从而判定DE ∥BC ，即可得到结论；（3）根据中点的定义，三角形面积公式，逐步求出S △ADE 和S △DEF 的面积，从而可得结果．【详解】解：（1）∵∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，∴∠2=∠4，∴EF ∥AB ；（2）∵AB ∥EF ，∴∠ADE =∠3，∵∠3=∠B ，∴∠ADE =∠B ，∴DE ∥BC ，∴∠AED =∠ACB ；（3）∵D 为AB 的中点，∴S △ADC =12S △ABC =8， ∵E 为AC 的中点，∴S △ADE =S △CDE =12S △ADC =4， ∵F 为DC 的中点，∴S △DEF =S △CEF =12S △DEC =2， ∴S 四边形ADFE =S △ADE +S △DEF =4+2=6．【点睛】本题考查了行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．也考查了三角形面积公式．23．如图，AD 、BE 分别是△ABC 的高，AF 是角平分线．（1）若∠ABC=35°，∠C=75°，求∠DAF 的度数；（2）若AC=4，BC=6．求AD 与BE 的比．【答案】（1）20︒；（2）2：3【分析】（1）根据题意易得180357570BAC ∠=︒-︒-︒=︒，1352BAF BAC ∠=∠=︒，然后根据角的和差关系可求解；（2）根据等积法可得1122ABC S BC AD AC BE ∆=⨯=⨯，然后根据题意可进行求解．【详解】解：（1）∵35ABC ∠=︒，75C ∠=︒，∴180357570BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵AF 平分BAC ∠，∴1352BAF BAC ∠=∠=︒， ∴353570BFB ABC BAF ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵AD 是ABC ∆的高，∴90ADF ︒∠=，∴907020DAF ∠=︒-︒=︒；（2）∵AD BE 、分别是ABC ∆的高， ∴1122ABC S BC AD AC BE ∆=⨯=⨯， ∵4,6AC BC ==，∴116422AD BE ⨯⨯=⨯⨯，即:2:3AD BE =．【点睛】本题主要考查三角形的高线、中线及角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线及角平分线的定义是解题的关键．24．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AD ，BE 分别为△ABC 的角平分线，连结DE ．（1）求证：点E 到DA ，DC 的距离相等；（2）求∠DEB 的度数．【答案】（1）见解析；（2）30°．【详解】（1）过E 作EH ⊥AB 于H ，EF ⊥BC 于F ，EG ⊥AD 于G ，∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°，∴∠BAD=∠CAD=60°，∵∠CAH=180°﹣120°=60°，∴AE平分∠HAD，∴EH=EG，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，∴EH=EF，∴EF=EG，∴点E到DA、DC的距离相等；（2）解：∵由（1）知：DE平分∠ADC，∴∠EDC=∠DEB+∠DBE，∴12CDA=∠DEB+12∠ABC，∴∠DEB=12（∠CDA﹣∠ABC）=12∠BAD=30°．【点睛】本题考查了角平分线性质，能熟记角平分线性质的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等．。

初中数学三角形有关的线段讲解及习题

因为BD＝CD，△ABD和△ADC等底同高，所以面积相等，因此通过作三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分．
(2)周长问题：如图所示，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差，这也是三角形中线中常出现的问题．
【例10】有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明)．
所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°.
所以∠DAC＝∠EBC.
10．三角形中线应用拓展
三角形的中线是三角形中的一条重要线段，它最大的特点是已知三角形的中线，图中一定含有相等线段，由此延伸出中线的应用：
(1)面积问题：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC.
9．三角形高的应用
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
因为三角形的高是通过作垂线得到的，既有直角，又有垂线段，因此它的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向．
【例7－1】以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？
(1)6 cm,8 cm,10 cm；
(2)三条线段长之比为4∶5∶6；
(3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)．
分析：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，选择较短的两条线段，看它们的和是否大于第三条线段，即可判断能否组成三角形．
方案3：如图(3)，分别取BC的中点D、CD的中点E、AB的中点F，连接AD，AE，DF.

初二数学上册(人教版)第十一章三角形11.1知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十一章三角形 11.1 与三角形有关的线段一、学习任务1. 理解三角形及其有关的概念．2. 掌握三角形三边关系，并能够熟练运用这个三角形的三边关系判定已知的三条线段能否构成三角形．3. 知道三角形具有稳定性，并且能够运用到实际问题中去．二、知识清单三角形的相关概念三角形的三边关系三角形的稳定性三、知识讲解1.三角形的相关概念三角形由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形（triangle ）．按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（altitude ）．三角形的中线连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线（median ）．三角形的角平分线三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线（angular bisector ）．三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形重心．三角形的内心三角形三条内角平分线的交点叫做三角形内心．三角形的垂心三角形三边上的三条高所在直线交于一点叫做三角形垂心．三角形的外心三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形外心．三角形的旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点叫做三角形的旁心．一个三角形的三个内角的度数之比为，这个三角形是（）2:3:7中阴影部分的面积是_______．1∠DAE线，则的度数为______．描述：例题：3.三角形的稳定性三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点．四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）（1），，；（2），，；（3），，（）；（4），，（）．解：（1）不能；（2）不能；（3）能；（4）不能．（1）与的和小于，所以不能组成三角形；（2）与的和等于，所以不能组成三角形；（3），均小于，而，因为，所以，所以，它们可以组成三角形；（4）最大，而，因此不能组成三角形．3610358+3a 2+4a 2+7a 2a ≠03a 5a 8a a >03610358+3a 2+4a 2+7a 2(+3)+(+4)=2+7=(+7)+a 2a 2a 2a 2a 2a ≠0>0a 2(+3)+(+4)>+7a 2a 2a 28a 3a +5a =8a 一个不等边三角形的边长都是整数，且周长是，这样的三角形共有多少？分析：已知中的数较少，只知道周长为，应该抓住不等边三角形的边长都是整数这一个条件，依据三角形三边关系先确定出最大边的取值范围，则问题迎刃而解．解：设，则，即，所以．因为，，都是正整数，所以若，则其他两边必然为，．由于，即，故线段，，不能组成三角形．当然更不可能是或，因而有．当时，，，不符合条件；当时，，，符合条件．所以符合条件的三角形只有个．1212a <b <c a +b +c >2c 2c <12c <6a b c c =3a =1b =21+2=3a +b =c a b c c 124⩽c <6c =4a =2b =3c =5a =3b =41下列图形中具有稳定性的是（）A. 正方形B. 长方形C. 直角三角形D. 平行四边形解：C．答案： 1. 如图，在中，的对边是A ．B ．C ．D ．C △ABF ∠B ()ADAE AF AC2. 如果一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是 A ．B ．C ．D ．24()2468高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

2023-2024学年八年级上学期数学：与三形有关的线段(附答案解析)

2023-2024学年八年级上数学：第十一章三角形
11.1
与三角形有关的线段
一、选择题
1．下列各组数中，不可能是同一个三角形的三边长的是()
A．3，4，5B．5，7，7C．6，8，10D．5，7，12 2．劳动课上，小莉要用三根木棒首尾相接钉一个三角形框架，现有两根木棒长分别为4cm，5cm，则第三根木棒的长可取()
A．1cm B．4cm C．9cm D．10cm
3．已知三角形的三边长分别为3、5、x，则x的取值范围为()
A．8
x<<
x<<D．28
x>C．08
x<B．2
4．如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学根据是()
A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短
C．同角的余角相等D．三角形具有稳定性
5．若三角形的两边长分别为4和7，则该三角形的周长可能为()
A．9B．14C．18D．22
6．下列说法中，正确的是()
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人教版八上：和三角形有关的线段(解析版)

三角形的边知识精讲：1. 按边分类2. 三边关系三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边3. 稳定性如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征叫做三角形的稳定性．除了三角形外，其他多边形不具备稳定性，因此在生产建设中，为达到巩固的目的，把一些构件都做成三角形结构．三点剖析：考点：1. 按边分类；2.三边关系；3. 稳定性重难点：1. 在应用三边关系判断能否组成三角形时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．2. 由三角形三边关系可得，如果a, b, c三条线段能够组成三角形，那么.易错点：在做与三角形的边有关的计算时，最后一定要注意检验是否满足三边关系定理，即最终能否组成三角形.题型讲解：题模一：按边分类例1.1.1 下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.1，2，3B.1，3C.3，4，8D.4，5，6例1.1.2 下列说法中错误的是（）A. 三角形可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形B. 三角形可分为等腰三角形和等边三角形C. 等腰三角形包括等边三角形D. 斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形题模二：三边关系例1.2.1 等腰三角形的周长是18cm ，其中一边长为4cm ，其它两边长分别为（） A.4cm ，10cm B.7cm ，7cm C.4cm ，10cm 或7cm ，7cm D.无法确定例1.2.2 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（）A.5B.6C.7D.10例 1.2.3 如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，求证：12AB AE BC AD AC ++>+例1.2.4 小明和小丽是同班同学，小明的家距学校2千米远，小丽的家距学校5千米远，设小明家距小丽家x 千米远，则x 的值应满足（） A.3x = B.7x = C.3x =或7x = D.37x ≤≤题模三：稳定性例1.3.1 要使五边形木架（用五根根条钉成）不变形，至少要再钉上（）根本条．ED CBAA.1B.2C.3D.4例1.3.2 下列图形中，不具有稳定性的是（） A.B.C.D.练习：随练1.1 已知 D ABC 有两边长为 a 、 b ，其中 a <b ，则其周长 l 一定满足（） A. 2b <l <2(a +b ) B. 2a <l <2b C. a <l <a +b D. a <l <2a +b随练1.2 在ABC △中，AB AC =，AC 边上的中线BD 把三角形的周长分为12和15的两部分，求三角形各边的长.随练1.3 如图，已知△ABC 中，AB AC =，D 在AC 的延长线上．求证：BD BC AD AB -<-．随练1.4 已知：A ．b 、c 为三角形的三边长化简：|b+c ﹣a|+|b ﹣c ﹣a|﹣|c ﹣a ﹣b|﹣|a ﹣b+c|随练1.5 如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（）DCBA.A、C两点之间B.E、G两点之间C.B、F两点之间D.G、H两点之间三角形的高、中线、角平分线知识点综合1. 三角形的高、中线、角平分线（1）从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线；（2）在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线；（3）每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的重心.（4）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线；2. 面积问题（1）解决面积相关的综合问题时，一般会用到等高三角形的面积比等于底之比，或者是同底三角形的面积比等于高之比.（2）计算不规则的图形面积时，注意先把不规则的图形经过面积的加减组合，转化成容易计算的规则的图形面积，再进行计算.三点剖析考点：1. 三角形的高、中线、角平分线；2. 面积问题；重难点：1. 锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；直角三角形两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点也在三角形的直角顶点处；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部.2. 三角形三条中线的交点一定在三角形内部.3. 每个三角形都有三条角平分线且交于一点，这个点叫三角形的内心，它也一定在三角形内部．易错点：1.画三角形的高时，只要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高．2. 三角形的角平分线是一条线段，而角的角平分线是一条射线.题型讲解：题模一：三角形的高、中线、角平分线例2.1.1 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A. B.C. D.例2.1.2 已知AD 是△ABC 的中线，则下列结论不正确．．．的是（） A.BAD CAD ∠=∠ B.BD DC =C.2BC BD =D.ABD ADC S S ∆∆=例2.1.3 如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC 经过一次平移后得到'''A B C V ，图中标出了点B 的对应点'B ．（1）补全'''A B C V 根据下列条件，利用网格点和三角板画图：（2）画出AB 边上的中线CD ；（3）画出BC 边上的高线AE ；（4）'''A B C V 的面积为________题模二：面积问题例2.2.1 如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O ，A ，B 在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C ，使△ABC 的面积为3，则这样的点C 共有____A.2个B.3个C.4个D.5个例2.2.2 如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC=5，DE=2，则△BCE 的面积等于（）A.10B.7C.5D.4例2.2.3 （1）阅读下面材料并完成问题：已知：直线AD 与△ABC 的边BC 交于点D ，①如图1，当时，则S △ABD ________S △ADC ．（填“=”或“＜”或“＞”）②如图2，当12BD DC =时，则S △ABD =_____S △ADC ． ③如图3，若AD ∥BC ，则有S △ABC ____S △DBC ．（填“=”或“＜”或“＞”）（2）请你根据上述材料提供的信息，解决下列问题：过四边形ABCD 的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD 的面积分成1:2的两部分．（保留画图痕迹）题型练习：随练2.1 如图，作出钝角△ABC 的AB 边上的高．随练2.2 如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点是方格纸中的两个格点，在4×5的方格纸中，找出格点C ，使△ABC 的面积为1个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是．随练2.3 如图，对面积为1的ABC ∆逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB 、BC 、CA 至1A 、1B 、1C ，使得12A B AB =，12B C BC =，12C A CA =，顺次连接1A 、1B 、1C ，得到111A B C ∆，记其面积为1S ；第二次操作，分别延11A B ，11B C ，11C A 至2A ，2B ，2C ，使得21112A B A B =，21112B C B C =，21112C A C A =，顺次连接2A ，2B ，2C 得到222A B C ∆，记其面积为2S ……，按此规律继续下去，可得到555A B C ∆，则其面积为5S =_________．第n 次操作得到n n n A B C ∆，则n n n A B C ∆的面积n S = ．BD DC =A CB随练2.4 阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，BD 是ABC ∆的高．P 是BC 边上一点，PM ，PN 分别与直线AB ，AC 垂直，垂足分别为点M ，N ．求证：BD PM PN =+．他发现，连接AP ，有ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，即111222AC BD AB PM AC PN ⋅=⋅+⋅．由AB AC =，可得BD PM PN =+．他又画出了当点P 在CB 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示．他猜想此时BD ，PM ，PN 之间的数量关系是：请回答：（1）请补全以下该同学证明猜想的过程； ∵ABC APC S S ∆∆=-___________， ∴1122AC BD AC ⋅=⋅_____12AB -⋅______， ∵AB AC =，∴BD PN PM =-．（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在ABC ∆中，AB AC BC ==，BD 是ABC ∆的高．P 是ABC ∆所在平面上一点，PM ，PN ，PQ 分别与直线AB ，AC ，BC 垂直，垂足分别为点M ，N ，Q ．图3，若点P 在ABC ∆的内部，则BD ，PM ，PN ，PQ 之间的数量关系是：_________________；②若点P 在如图4所示的位置，利用图4探究得出此时BD ，PM ，PN ，PQ 之间的数量关系是：________________________．课后作业：拓展1 等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长为．拓展2 有3cm ，6cm ，8cm ，9cm 的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4拓展3 如图，ABC △中，已知AB AC x ==，6BC =，则腰长x 的取值范围是（）A.03x <<B.3x >C.36x <<D.6x >拓展4 已知：a 、b 、c 是△ABC 三边长，且M ＝（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ）（a －b －c ），那么（） A.M ＞0 B.M ＝0 C.M ＜0 D.不能确定拓展 5 如图1，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且△B=30°，△C=100°，如图2．则下列说法正确的是____A.点M 在AB 上B.点M 在BC 的中点处C.点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D.点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远拓展6 如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，点P 是边BC 上的动点，则AP 长不可能是（）CB AA.2.5B.3C.4D.5拓展7 如图，在△ABC中，D是BA上一点，则AB+2CD>AC+BC成立吗？说明你的理由．拓展8 在△ABC中，若AB＝5，BC＝2，且AC的长为奇数，则AC＝________．拓展9 如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（）A.A、C两点之间B.E、G两点之间C.B、F两点之间D.G、H两点之间拓展10 能将三角形面积平分的是三角形的（）A.角平分线B.高C.中线D.外角平分线拓展11 如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积____．拓展12 如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色。

人教版八年级数学上册与三角形有关的线段复习及习题11.1解析答案教案

11.1小节复习及习题11.1练习指导备课人：备课日期：年月日较大的三角形，然后把三个小三角形合成的三角形，即按从小到大依次找出，做到不重复不遗漏。

2.长为10,7,5,3的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？【提示】先选两根较短的木条作为三角形的两边并计算它们的和，再根据“三角形任意两边的和大于第三边”考虑选第三根木条。

本题只有5+3＞7一种符合，故只有一种选法。

3.对于下面每个三角形，过顶点A画出中线、角平分线和高。

【提示】图(1)为等腰三角形，所画中线、角平分线和高重合；图(2)是直角三角形，高就是直角边AB；图(3)是钝角三角形，所画的高在CB的延长线上。

4.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。

填空：(1)BE= =21；(2)∠BAD= =21；(3)∠AFB= =90°；(4)S△ABC= .【提示】(1)(2)(3)小题根据三角形的中线、角平分线、高的定义解答，(4)小题根据三角形的面积公式解答。

AB CE D F5.选择题。

下列图形中有稳定性的是（）A.正方形B.长方形C.直角三角形D.平行四边形【解析】三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。

故选C. 综合运用6.一个等腰三角形的一边长为6cm ，周长为20cm ，求其它两边的长.【提示】分两种情况解答：①6cm 的边为底边；②6cm 的边为腰.7.(1)已知等腰三角形的一边长等于5，一边长等于6，求它的周长.(2)已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，求它的周长.【提示】分两种情况解答：①第一条边为底，第二条边为腰；②第一条边为腰，第二条边为底。

注意判断是否能围成三角形。

8.如图，在△ABC 中，AB=2，BC=4，△ABC 的高AD 与CE 的比是多少？【提示】：利用三角形的面积公式9.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE//AC ，DE 交AB 于点E ，DF//AB ，DF 交AC 于点F.图中∠1与∠2有什么关系?为什么?【提示】利用“两直线平行，内错角相等”，得出∠1=∠DAC ，∠2=∠DAE ，再利用角平分线的性质得出∠1=∠2。

与三角形有关的线段(课件)八年级数学上册(人教版)

1
1
AD×BC＝ BP×AC.
2
2
24
代入数值，可解得BP＝ .
5
【点睛】面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出
面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.
如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AD的长．
第十一章三角形
11.1 与三角形有关的线段
（11.1.1-11.1.3）
情景引入
在我们日常生活中经常能看到三角形的影子.
减速慢行
注意儿童
前方村庄
11.1.1 三角形的边
三角形的概念
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三
角形?
A
定义：由不在同一条直线上的三条
线段首尾顺次相接所组成的图形叫
解：
1
2
1
2
（1）由题意得：△ = AB×CE= ×6×9=27cm2 ．
1
2
（2）∵△ = BC×AD，
∴
1
27=
2
×12×AD
解得AD=4.5cm．
思考已知D是BC的中点，试问△ABD的面积与△ADC的面积有何
关系？
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的
中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC
把一条线段分成两条相等的线段的点.
3.角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角
的平分线.
思考你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？
A
B
思考如何求△ABC的面积？
D
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所

11.1与三角形有关的线段

与三角形有关的线段相关知识链接1.线段的中点：如果点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM ，那么点M 叫做线段AB 的中点。

2.角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。

3.角的平分线：从一个角的顶点引一条射线，如果把这个角分为两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线。

知识点1 三角形的有关概念定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形叫做三角形。

有关概念及其表示方法：(1) 如图所示，线段AB,AC,BC 叫做△ABC 的三条边。

(2) 点A,B,C 叫做三角形ABC 的三个顶点。

(3) 顶点式A ，B ，C 的三角形，记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”。

数三角形个数的方法：(1) 按图形形成的过程(2) 按大小顺序(3) 可从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数(4) 先固定一个顶点，变换另两个顶点来数知识点2 三角形的分类等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边。

等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫作等边三角形，即三边都相等的三角形叫做等边三角形。

按边的相等关系分类：三角形⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形三边都不相等的三角形分类示意图如图：按角的大小分类：三角形⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形锐角三角形直角三角形知识点3 三角形的三边关系三边关系的性质：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。

三角形的三边关系反映了任意三角形边的限制关系。

三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；否则不能组成三角形。

已知三角形两边长，求第三边的取值范围。

知识点4 三角形的高、中线、角平分线三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

三角形的高的几何表达形式：如图1所示，AD 是△ABC 的BC 边上高，或AD 是△ABC 的高，或AD ⊥BC 于点D ，或∠BDA=∠CDA=90°。

人教版八年级上册 111 与三角形有关的线段同步练习及答案

11.1 与三角形有关的线段一、单选题1.一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A. 5或7B. 7或9C. 7D. 92.等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（）A. 25B. 25或32C. 32D. 193.若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是（）A. 1B. 6C. 7D. 104.如图所示，D，E分别是△ABC的边AC ，BC 的中点则下列说法不正确的是（）A. DE是△BDC的中线B. BD是△ABC的中线C. AD=DC，BE= EC，D. 图中∠C的对边是DE5.将几根木条用钉子钉成如下的模型，其中在同一平面内不具有稳定性的是（）A. B. C. D.6.如图，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC=∠CAD，下列说法正确的是（）A. 直线AD是△ABC的边BC上的高B. 线段BD是△ABD的边AD上的高C. 射线AC是△ABD的角平分线D. △ABC与△ACD的面积相等7.在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A. 1cm＜AB＜4cmB. 5cm＜AB＜10cmC. 4cm＜AB＜8cmD. 4cm＜AB＜10cm二、填空题8.若一个三角形的两边长分别为2，7，且第三边的长为奇数，则这个三角形的周长为________．9.木工师傅在做完门框后，为防止变形，常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB、CD 两根木条），这样做的数学道理是________.10.已知a、b、c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|=________．11.已知三角形的两边长分别为3和6，那么第三边长x的取值范围是________12.已知直线l1∥l2，BC=3cm，S△ABC=3cm2，则S△A1BC的高是________．13.在△ABC中，AB=8，AC=10，则BC边上的中线AD的取值范围是________．三、解答题14.要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n 边形木架呢？15.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，求：（1）△ABC的面积；（2）CD的长．16.在△ABC中，BC边上的高h= cm，它的面积恰好等于边长为cm的正方形面积。

人教版八年级数学上册课堂随堂练习：11.1 与三角形有关的线段(解析版)

11.1 与三角形有关的线段基础题1．下列长度的三条线段能组成三角形的是A．2，3，5 B．7，4，2 C．3，4，8 D．3，3，42．已知三条线段的比是：①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥3∶4∶5．其中可以构成三角形的有A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图小明做了一个方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案A．B．C．D．A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短4．如图，已知△ABC中，AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，那么下列结论错误的是A．AD⊥BC B．BF=CFC．BE=EC D．∠BAE=∠CAE5．以下说法错误的是A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点6．a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|-|a-b-c|-|a-b+c|-|a+b-c|，结果是A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b2c7．如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是A．20米B．15米C．10米D．5米8．如图，AE是△ABC的中线，已知EC=8，DE=3，则BD=___________．9．一个三角形的两边长分别是2和4，第三边长为偶数，则这个三角形的周长是__________．10．已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9 cm和15 cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．11．如图，已知CD是△ABC的高，CM是△ABC的中线．（1）若△ABC的面积为40，求△AMC的面积；（2）若△AMC的面积为12，且AM边上的高为4，求AB的长度．能力题12．三角形一边上的高A．必在三角形内部B．必在三角形外部C ．必在三角形的边上D ．以上三种情况都有可能13．已知三角形的三边长为3，8，x ．若周长是奇数，则x 的值有A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个14．以长为13 cm 、10 cm 、5 cm 、7 cm 的四条线段中的三条线段为边可以画出三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．415．在△ABC 中，三边长分别为a 、b 、c ，且a >b >c ，若b =8，c =3，则a 的取值范围是A ．3<a <8B ．5<a <11C ．6<a <10D ．8<a <1116．下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的是A ．B ．C ．D ．17．如图，在ABC △中，已知点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且ABC △的面积是24cm ，则阴影部分的面积等于A ．22cmB ．21cmC ．20.25cmD ．20.5cm18．作ABC △中BC 边上的高AD ，下列作法正确的是A．B．C．D．19．如图，AE⊥BC于E，BF⊥AC于F，CD⊥AB于D，则△ABC中AC边上的高是垂线段A．AE B．CD C．BF D．AF20．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是A．两点之间线段最短B．矩形的对称性C．矩形的四个角都是直角D．三角形的稳定性21．下面的说法正确的是A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内B．直角三角形的高只有一条C．三角形的高至少有一条在三角形内D．钝角三角形的三条高都在三角形外面22．三角形的三条中线的位置为A．一定在三角形内B．一定在三角形外C．可能在三角形内，也可能在三角形外D．可能与三角形一条边重合23．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF=2，则S△ABC等于A．16 B．14C．12 D．1024．若一个三角形周长是15，其三条边长都是整数，则此三角形最长边的最大值是___________．25．已知AD是△ABC的中线，且△ABC的面积为6 cm2，则△ADB的面积为___________ cm2．26．如图，BD是△ABC的中线，AB=8，BC=6，△ABD和△BCD的周长的差是__________．27．已知等腰三角形的周长等于23cm，一边长等于5cm，求其他两边的长．28．等腰三角形（有两条边相等的三角形为等腰三角形，其中相等的两边为腰，另一边为底边）一腰上的中线把该三角形的周长分为13.5cm和11.5cm两部分，求这个等腰三角形各边的长．参考答案1．【答案】D【解析】A．∵3+2=5，∴2，3，5不能组成三角形，故A错误；B．∵4+2<7，∴7，4，2不能组成三角形，故B错误；C．∵4+3<8，∴3，4，8不能组成三角形，故C错误；D．∵3+3>4，∴3，3，4能组成三角形，故D正确，故选D．2．【答案】B【解析】①中，1+3=4；②中，1+2=3；③中，1+4<6；④中，3+3=6；⑤中，6+6>10；⑥中，3+4>5．故可以构成三角形的是：⑤⑥．共2个，故选B．3．【答案】B【解析】因为三角形具有稳定性，只有B构成了三角形的结构．故选B．4．【答案】C【解析】∵AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，∴AD⊥BC，∠BAE=∠CAE，BF=CF，∴A、B、D正确，C错误，故选C．5．【答案】A【解析】三角形的三条高不一定在三角形内部交于一点，比如直角三角形的三条高交于直角顶点．故选A．6．【答案】A【解析】|a+b+c|−|a−b−c|−|a−b+c|−|a+b−c|=a+b+c+a−b−c−a+b−c−a−b+c=0，故选A．7．【答案】D【解析】根据三角形的三边关系，可得5<AB<25，所以A、B间的距离不可能是5米，故选D．8．【答案】5【解析】∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE=8，∴BD=BE–DE=8–3=5，故答案为：5．9．【答案】10【解析】已知三角形的两边长是2和4，根据三角形的三边关系可得第三边大小要大于2小于6，又因为第三边长是偶数，所以第三边是4，即可得周长=2+4+4=10，故答案为：10．10．【解析】设△ABC是等腰三角形，BC为底边，D是AC的中点，AB=x cm，BC=y cm．（1）当AB ＋AD =9 cm 时，有92152x x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得612x y =⎧⎨=⎩，6+6=12，不符合三角形三边关系，舍去．（2）当AB ＋AD =15 cm 时，有15292x x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得104x y =⎧⎨=⎩，4+10<10，符合三角形三边关系，符合题意．综上可得，所求等腰三角形的腰长为10 cm ，底边的长为4 cm ． 11．【解析】（1）因为CM 是△ABC 的边AB 上的中线，所以S △AMC =12S △ABC =12×40=20．（2）因为S △AMC =12S △ABC ，S △AMC =12，CD =4，所以S △ABC =24=12AB ·CD =2AB ，所以AB =12．12．【答案】D【解析】锐角三角形所有高在内部，直角三角形两条高在边上，钝角三角形两条高在外部，故选D ． 13．【答案】D【解析】根据三角形的三边关系可得：8–3<x <8+3，即：5<x <11，∵三角形的周长为奇数，∴x =6，8，10，共3个．故选D ． 14．【答案】C【解析】首先可以组合的数组有13，10，5；13，10，7；13，5，7；10，5，7．再根据三角形的三边关系，发现其中的13，5，7不能构成三角形，则可以画出的三角形有3个．故选C ． 15．【答案】D【解析】∵8–3<a <8+3，∴5<a <11，又∵a >b >c ，b =8，c =3，∴8<a <11，故选D ． 16．【答案】A【解析】从三角形的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做该三角形的高．根据定义，线段BE 是△ABC 的高的图形只有选项A ．故选A ． 17．【答案】B【解析】∵点F 是CE 的中点，∴BF 是BCE △的中线，∴12BEF BEC S S =△△，同理得12BDE ABD S S =△△，12EDC ADC S S =△△，∴12EBC ABC S S =△△，∴14BEF ABC S S =△△，又24cm ABC S =△，∴21cm BEF S =△，即阴影部分的面积为21cm ．故选B ． 18．【答案】D【解析】判断三角形的高在三角形的内部或外部，关键取决于三角形的形状，可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情况讨论，不同的三角形的高所在的位置也不同．故选D ． 19．【答案】C【解析】AC 边上的高线是指过点B 作直线AC 的垂线段，则BF 为AC 边上的高线．本题中AE 是BC 边上的高线，CD 是AB 边上的高线．故选C ． 20．【答案】D【解析】加上EF 后，原不稳定的四边形ABCD 中具有了稳定的△EAF ，故这种做法的根据是三角形的稳定性．故选D ． 21．【答案】C【解析】A ，三角形的三条高不一定都在三角形的内部，错误；B ，直角三角形有三条高，其中有两条高就是两条直角边，错误；C ，锐角三角形的三条高都在内部；直角三角形有两条是直角边，另一条高在内部；钝角三角形有两条在外部，一条在内部，正确；D ，钝角三角形有两条高在外部，一条在内部，错误．故选C ． 22．【答案】A【解析】三角形的三条中线的交点一定在三角形内．故选A ． 23．【答案】A【解析】∵DF 是△CDE 的中线，∴S △CDE =2S △DEF ， ∵CE 是△ACD 的中线，∴S △ACD =2S △CDE =4S △DEF ， ∵AD 是△ABC 的中线，∴S △ABC =2S △ACD =8S △DEF ， ∵△DEF 的面积是2，∴S △ABC =2×8=16．故选A ． 24．【答案】7【解析】根据三角形的三边关系，依题意得三角形的三边长可能是以下几种情况： ①1，7，7；②2，6，7；③3，5，7；④3，6，6；⑤4，4，7；⑥4，5，6；⑦5，5，5．所以此三角形的最长边的最大值是7．故答案为：7． 25．【答案】3【解析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，所以△ADB 的面积为3 2cm ．故答案为：3． 26．【答案】2【解析】∵BD 是△ABC 的中线，∴AD =CD ，∴△ABD 和△BCD 的周长的差=（AB +BD +AD ）-（BC +BD +CD ）=AB +BD +AD -BC -BD -CD =AB -BC =8-6 =2，故答案为：2．27．【解析】因为给出的边长不确定是等腰三角形的腰长还是底边长，所以需要分两种情况讨论．（1）当5cm 长的边是底边时，设腰长为cm x ，则523x x ++=，解得9x =．又因为长分别为5cm ，9cm ，9cm 的三条线段能组成三角形，所以等腰三角形其他两边的长均为9cm ．（2）当5c m 长的边是腰时，另一腰长也是5cm ，则底边长为235513(cm)--=．而5513+<．说明长为5cm ，5cm ，13cm 的三条线段不能组成三角形，所以此种情况不存在．故等腰三角形其他两边的长均为9cm ．28．【解析】设在ABC △中，AB AC =，BD 是中线，依题意，当AB BC >时，13.511.52AB BC -=-=，2AB BC =+，所以2(2)13.511.5BC BC ++=+，解得7BC =．则29AB AC BC ==+=．当AB BC <时，13.511.52BC AB -=-=，2BC AB =+．所以2213.511.5AB AB ++=+，解得233AB =，则233AC =，2329233BC =+=．综上，这个等腰三角形三边的长分别为9cm ，9cm 和7cm 或23cm 3，23cm 3和29cm 3．。

第11章三角形 11.1 与三角形有关的线段(简答题)(老师版)

第11章三角形11.1与三角形有关的线段（简答题专练）1．在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 边上的中线BD 把△ABC 的周长分为21厘米和12厘米两部分，求△ABC 各边的长．【答案】△ABC 各边的长为14cm 、14cm 、5cm ．【解析】【分析】根据题意，画出示意图，利用三角形的中线定义及三角形周长和三角形的三边关系即可求解三角形三边的长，注意不符合题意的要舍去.【详解】如图，设AB ＝AC ＝2x cm ，BC ＝y cm∵BD 是中线∴AD ＝CD ＝x cm若AB +AD ＝21 cm ，BC +CD ＝12 cm即22112x x x y +=⎧⎨+=⎩解得：=7x ，5y =此时，AB ＝AC ＝14 cm ，BC ＝5 cm若AB +AD ＝12 cm ，BC +CD ＝21 cm即21221x x x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：=4x ，17y =∵此时AB ＝AC ＝8 cm ，BC ＝17 cm ，AB +AC ＜BC∴=4x ，17y =不合题意，舍去综上所述，△ABC 各边的长为14cm 、14cm 、5cm ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解决等腰三角形的相关问题时，由于等腰三角形的特殊性，一般情况下是需要对其进行分类讨论，才能得解，因此熟练掌握有关等腰三角形边的分类讨论及三边关系的确定是解决本题的关键.2．已知 a 、b 、c 分别表示∆ABC 的三条边长，且∆ABC 的周长为 48 .（1）若c 是三边中最长的边，则c 的最小值是；（2）若c = 3a ，求证： 6 < a < 8 ；（3）若 a - c = 10 ，求c 的取值范围；（4）若 a 、b 均为整数，c=16，则这样的三角形共有个.【答案】（1）16；（2）见解析（3）7 < c < 14 ；（4）8【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可求解；（2）根据三角形的三边关系列出不等式的即可求解；（3）根据三角形的三边关系列出不等式的即可求解；（4）依次数出可能的三角形的三边，即可判断.【详解】（1）当∆ABC 为等边三角形时，c 取最小值为48÷3=16；（2）∵c = 3a ，a+b+c=48,∴b=48-4a,∵c+a＞b，c-a＜b即a+3a＞48-4a，3a-a＜48-4a,解得6 <a< 8 ；（3）∵a -c= 10，a+b+c=48,∴a=c+10，b=38-2c,∵a+c＞b，a-c＜b即c+10+c＞38-2c，c+10-c＜38-2c,解得7 <c< 14 ；（4）根据c=16,a+b+c=48,故所以的情况如下：16,16,16；15,16,17；14,16,18；13,16,19；12,16,20；11,16,21；10,16,22；9,16,23；故为8个.,【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．一个三角形的三边长分别是xcm、（x+2）cm、（x+5）cm．它的周长不超过37cm．求x的取值范围．【答案】3＜x≤10．【解析】【分析】根据三角形的三边关系以及周长不超过37cm列出不等式组，求出x的取值范围即可．【详解】解：∵一个三角形的三边长分别是xcm，（x+2）cm，（x+5）cm，它的周长不超过37cm，∴252537 x x xx x x+++⎧⎨++++≤⎩＞，解得：3＜x≤10．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和不等式组的应用，解题的关键是正确列出不等式组.4．如图，已知ABC ∆，按要求作图．（1）过点A 作BC 的垂线段AD ；（2）过C 作AB 、AC 的垂线分别交AB 于点E 、F ；（3）15AB =，7BC =，20AC =，12AD =，求点C 到线段AB 的距离．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）点C 到线段AB 的距离为285．【解析】【分析】（1）、（2）根据几何语言作图；（3）利用三角形面积公式得到1122AB CE BC AD =，然后把15AB =，7BC =，12AD =代入计算可求出CE ．【详解】解：（1）如图，AD 为所作；（2）如图，CE 、CF 为所作；（3）1122ABC S AB CE BC AD ∆==， 71228155BC AD CE AB ⨯∴===，即点C 到线段AB 的距离为285．【点睛】本题考查了作图以及三角形高线的定义，熟练掌握面积法求高线是解题关键.5．已知a 、b 、c 为三角形的三边，||||||P a b c b a c a b c =+----+-+．（1）化简P ；（2）计算()P a b c -+．【答案】（1）a b c +-；（2）2222a b c bc --+.【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系即可得到a+b ＞c ，a+c ＞b ，根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，从而化简．（2）将P 值代入进行计算即可.【详解】解：（1）由三角形三边关系知a b c +>，a c b +>，故0a b c +->，0b a c --<，0a b c -+>，||||||P a b c b a c a b c ∴=+----+-+a b c b a c a b c =+-+--+-+a b c =+-，（2）()P a b c -+()()a b c a b c =+--+222a ab ac ab b bc ac bc c =-++-+-+-2222a b c bc=--+．【点睛】此题考查三角形三边关系，绝对值，整式的加减，绝对值，解题关键在于灵活运用各计算法则. 6．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°，求：（1）AD的长；（2）△ACE和△ABE的周长的差．【答案】（1）AD的长度为125cm；（2）△ACE和△ABE的周长的差是1cm．【解析】【分析】（1）根据直角三角形的面积计算方法求解即可；（2）先按图写出两个三角形的周长，再作差计算即可.【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，∴12AB•AC＝12BC•AD，∴AD＝341255AB ACBC⨯==（cm），即AD的长为125cm；（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE＝CE，∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+CE+AE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝4﹣3＝1（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是1cm．【点睛】本题考查了利用直角三角形的面积计算斜边上的高和三角形的中线等知识，难度不大，属于基础题型.7．如图，点D与点E分别是△ABC的边长BC、AC的中点，△ABC的面积是20cm2.（1）求△ABD与△BEC的面积；（2）△AOE与△BOD的面积相等吗？为什么？【答案】（1）10，10；（2）相等，理由，见解析【解析】【分析】（1）要计算△ABE与△BCE的面积，可设点A到边BC的高为h，则S△ABD=12 BD·h，S△ACD=12CD·h；再根据中点的定义得BD=CD，然后利用等量代换即可得到S△ABD=S△ACD，同理S△ABE=S△BCE，再结合△ABC的面积即可解决；（2）结合上面的推理可得S△ABE=S△ABD，再根据图形可知S△ABE=S△ABO+S△AOE，S△ABD=S△ABO+S△BOD，【详解】（1）可设点A到边BC的高为h，则S△ABD=12BD·h，S△ACD=12CD·h，∵点D是BC边的中点，∴BD=CD.∴S△ABD=S△ACD，同理S △ABE =S △BCE ，∴S △ABD =S △BCE =12S △ABC =12×20=10（cm 2）. （2）△AOE 与△BOD 的面积相等，理由如下.根据（1）可得：S △ABE =S △ABD ，∵S △ABE =S △ABO +S △AOE ，S △ABD =S △ABO +S △BOD ，∴S △AOE =S △BOD .【点睛】此题考查中点的定义和三角形面积的计算方法，掌握定义及公式是解题的关键；8．已知三角形三边长为a 、b 、c ，且-+--a b c a b c += 10，求b 的值【答案】b=5【解析】【分析】根据三角形的三边关系得出a+b ＞c ，a−b ＜c ，再去绝对值即可.【详解】解：∵a 、b 、c 是三角形的三边长，∴a+b ＞c ，a−b ＜c ， ∴-+--()210a b c a b c a b c a b c a b c a b c b +=+----=+--++==，∴b=5.【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．9．在△ABC 中，AB ﹦9，BC ﹦2，并且AC 为奇数，那么△ABC 的周长为多少？【答案】20【解析】【分析】根据三角形三边关系,找到AC 的取值范围,由AC 为奇数求出AC 长度,即可求出三角形周长.【详解】解：∵AB﹣BC＜AC＜AB﹢BC，（三角形三边关系）∴9﹣2＜AC＜9﹢2，即7＜AC＜11又A C为奇数，∴A C﹦9∴△ABC的周长﹦9+9+2﹦20【点睛】本题考查了三角形的三边关系,三角形的周长,属于简单题,熟悉三边关系是解题关键. 10．满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．(1)△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；(2)三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．【解析】【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.【详解】(1)∵∠A＝30°，∠C＝∠B，∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠C＝∠B＝75°，∴满足条件的三角形是锐角三角形．(2)∵三个内角的度数之比为1∶2∶3，∴可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，∴满足条件的三角形是直角三角形．【点睛】本题主要考查了三角形的分类问题．11．如图所示，∠1=∠2=∠3=∠4=24°，根据图形填空：(1)是∠2的3倍的角是_________________(用字母表示)(2)是∠AOD 的12的角有_________个； (3)射线OC 是哪个角的3等分线?又是哪个角的4等分线?【答案】(1)∠A0E 、∠BOC ；(2) 4个；(3)OC 是∠AOE 的3等分线，是∠AOB 的4等分线.【解析】【分析】（1）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出是∠2的3倍的角可以解题；（2）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出图中哪些角是∠AOD 的12, （3）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出射线OC 是哪个角的三等分线、四等分线.【详解】解：（1）1234∠=∠=∠=∠12332AOE ∴∠=∠+∠+∠=∠同理：42332BOC ∴∠=∠+∠+∠=∠（2）4个；（3）∵∠1=∠2=∠3，∴OC 是∠AOE 的三等分线．同理：OC 是∠AOB 的四等分线.【点睛】本题考查了角的度数的计算，考查了角平分线和三等分线的定义，本题中不要漏解是解题的关键．12．如图①，∠AOB=∠COD=90°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ．（1）已知∠BOC=20°，且∠AOD小于平角，求∠MON的度数；（2）若（1）中∠BOC=α，其它条件不变，求∠MON的度数；（3）如图②，若∠BOC=α，且∠AOD大于平角，其它条件不变，求∠MON的度数．【答案】（1）∠MON=90°；（2）∠MON=90°；（3）∠MON=90°.【解析】【分析】(1)由∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=20°，可得∠MOC=∠BON的度数，可得∠MON的度数：（2）同理由∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，可得∠MOC=∠BON的度数，可得∠MON的度数：（3）由∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，可得∠AOC=∠BOD=90°+α，∠MOC=∠BON=45°+α可得∠MON 的度数：【详解】解：（1）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=20°，∴∠AOC=∠BOD=90°﹣20°=70°．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠BON=35°，∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=35°+20°+35°=90°；（2）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，∴∠AOC=∠BOD=90°﹣α．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠BON=45°﹣α，∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=45°﹣α+α+45°﹣=90°；（3）∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=α，∴∠AOC=∠BOD=90°+α．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=∠BON=45°+α，∴∠MON=∠MOC﹣∠COB+∠BON=45°+α﹣α+45°+=90°．【点睛】本题主要考查角平分线的性质及角度间的计算.13．如图,在△ABC中,D,E是BC,AC上的点,连接BE,AD,交于点F,问:(1)图中有多少个三角形?并把它们表示出来.(2)△BDF的三个顶点是什么?三条边是什么?(3)以AB为边的三角形有哪些?(4)以F为顶点的三角形有哪些?【答案】答案见解析【解析】试题分析：利用三角形的定义以及三角形有关的角和边概念分别得出即可．试题解析：（1）8个：△ABC，△ABF，△ABE，△ABD，△BDF，△AEF，△ACD，△BCE；（2）三个顶点：B，D，F；三条边：BD，BF，DF；（3）△ABC，△ABF，△ABD，△ABE；（4）△ABF，△BDF，△AEF．【点睛】此题主要考查了三角形有关定义，正确把握相关定义是解题关键．14．木工师傅在做完门框后为防止变形，常像下图中所示的那样，钉上两条斜的木条，即图中的AB，CD 两个木条，这是根据数学上什么原理？【答案】三角形的稳定性【解析】试题分析：用木条固定门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．如图加上AB，CD两个木条后，可形成两个三角形，防止门框变形．故这种做法根据的是三角形的稳定性．15．如图，ABCD是四根木条钉成的四边形，为了使它不变形，小明加了根木条AE，小明的做法正确吗？说说你的理由．【答案】小明的做法正确，理由见解析.【解析】试题分析：根据三角形的稳定性可得出答案．小明的做法正确，理由：由三角形的稳定性可得出，四边形ABCD不再变形．。

人教版数学八年级上册 11.1 和三角形有关的线段同步检测(解析版)

11.1 与三角形有关的线段基础闯关全练1.如图11-1-1所示，图中有个三角形；其中以AB为边的三角形为；含∠OCB 的三角形为；在△BOC中，OC的对角是，∠OCB的对边是.2.下列说法正确的有( )①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形A.①②B.①③④C.③④D.①②④3.如图11-1-2，三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能4.下列各组数不可能是一个三角形的三边长的是（）A.5，5，5B. 5，7，7C.5，12，13 D 5，7，125.已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是( )A.4B.6C.8D.106.有四条线段，它们的长分别为3，5，7，9．如果用这些线段组成三角形，可以组成个三角形7.已知等腰三角形的周长是16 cm．若其中一边长为6 cm．求另外两边的长.8.如图11-1-3，AE⊥BC于E，BF⊥AC于F，CD⊥A B于D，则△ABC中AC边上的高是线段( )A.BF B .CD C.AE D.AF9.下列说法中，正确的个数是( )①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线，三条中线、三条高分别交于一点.A.1B.2C.3D.410.如图11-1-4，在△ABC中，∠BAC= 60°，∠ACE= 40°，AD、CE是△ABC的角平分线，则∠DAC= ，∠BCE= .11.如图11-1-5，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=6 cm，AC=8 cm，则△ACD 与△ABD的周长之差为，面积之差为.12.如图11-1-6，△ABC中，BC、AC边上的高分别是AD、BE，已知BC=5 cm，AD=6 cm，AC=7 cm，求BE的长度。

11.1 与三角形有关的线段100题(含解析)

绝密★启用前一、单选题1．三角形的两边长分别为3和5，则周长C 的范围是（）A ．615C <<B ．616C << C ．1113C <<D ．1016C <<【答案】D【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：∵三角形的两边长分别为3和5，∴第三边的取值范围是大于5-3而小于5+3，即第三边的取值范围是大于2而小于8．又另外两边之和是5+3=8，故周长C 的取值范围是1016C <<．故选：D ．【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟记关系求出第三边的取值范围是解题的关键． 2．下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A ．5，7，12B ．5，6，7C ．5，5，12D ．1，2，6 【答案】B【解析】【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【详解】A 、5＋7=12，不能构成三角形；B 、5＋6＞7，能构成三角形；C 、5＋5＜12，不能构成三角形；D 、1＋2＜6，不能构成三角形．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．3．以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（）A．1cm、2cm、3cm B．1dm、5cm、6cm C．1dm、3cm、3cm D．2cm、4cm、7cm 【答案】B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析即可得出结论．【详解】根据三角形的三边关系可知：A．2+1＝3，不能组成三角形；B．1dm=10cm，5+6＞10，能组成三角形；C．1dm=10cm，3+3＜10，不能组成三角形；D．2+4＜7，不能组成三角形．故选B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．注意单位要统一．4．下列长度的三条线段，能构成三角形的是（）A．1，2，6 B．1，2，3 C．2，3，4 D．2，2，4【答案】C【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵1+2＝3＜6，∴不能组成三角形，故本选项错误；B、∵1+2＝3，∴不能组成三角形，故本选项错误；C、∵2+3＝5＞4，∴能组成三角形，故本选项正确；D、∵2+2＝4，∴不能组成三角形，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边；任意两边差小于第三边是解答此题的关键．5．三角形的两边长为4和7，则第三边长x的取值范围为（）.A ．311x <<B ．311x ≤≤C ．3x ≤D ．11x ≥【答案】A【分析】根据三角形的三边关系进行计算即可.【详解】根据三角形的三边关系，得：第三边大于两边之差，即x >7－4=3，而小于两边之和，即x <7+4=11.故选：A.【点睛】本题考查三角形的三边关系，明确“三角形的第三边大于两边之差而小于两边之和”是关键.6．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD ，E ，F ，G ，H 分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条应钉在（）A ．E ，H 两点之间B ．E ，G 两点之间C ．F ，H 两点之间D ．A ，B 两点之间【答案】A【分析】根据三角形的稳定性进行判断逐一判断即可．【详解】A 选项：若钉在E 、H 两点处则构成了三角形，能固定窗框，故符合题意；B 选项：若钉在E 、G 两点处则构成了两个四边形，不能固定窗框，故不符合题意；C 选项：若钉在F 、H 两点处则构成了两个四边形，不能固定窗框，故不符合题意；D 选项：若钉在A 、B 两点处则未改变形状，不能固定窗框，故不符合题意；故选A ．【点睛】考查三角形稳定性的实际应用．解题关键是利用了三角形的稳定性，判断是否稳定则看能否构成三角形．7．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．7cm、5cm、11cm B．4cm、3cm、7cm C．5cm、10cm、4cm D．2cm、3cm、1cm 【答案】A【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【详解】+>，∴能围成三角形，解：①7511②347+=，∴不能围成三角形，+<，∴不能围成三角形，③4510+=，∴不能围成三角形．④123能围成三角形的是①，故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．8．“有两条边相等的三角形是等腰三角形”是( )A．基本事实B．定理C．定义D．条件【答案】C【解析】分析：根据“各选项中所涉及的几何概念的定义”进行分析判断即可.详解：“有两条边相等的三角形是等腰三角形”是“等腰三角形的定义”.故选C.点睛：熟悉“各选项中所涉及的几何概念和等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形”是解答本题的关键.9．三角形的三条线交点，叫做三角形的重心（）A．高B．中C．角平分D．无法确定【答案】B【分析】根据三角形的重心定义即可得．【详解】三角形的重心是三角形的三条中线的交点故选：B．【点睛】本题考查了三角形的重心定义，熟记定义是解题关键．另外常考点是三角形的内心、外心、垂心的概念，需加以区分．10．如果一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边的长可能是（）A．3 B．4 C．11 D．12【答案】B【分析】根据三角形的三边关系定理可得7-4＜x＜7+4，计算出不等式的解集，再确定x的值即可．【详解】设第三边长为x，则7-4＜x＜7+4，3＜x＜11，∴A、C、D选项不符合题意．故选：B．【点睛】考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握第三边的范围：大于已知的两边的差，而小于两边的和．11．下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）A．7cm、5cm、12cm B．4cm、6cm、5cmC．8cm、4cm、3cm D．6cm、8cm、15cm【答案】B【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，对各选项的数据进行判断即可．【详解】解：A、7+5=12，不能构成三角形，故本选项错误；B、4cm、6cm、5cm，能构成三角形，故本选项正确；C、4+3＜8，不能构成三角形，故本选项错误；D、6+8＜15，不能构成三角形，故本选项错误．故选B．【点睛】考核知识点：三角形三边关系.12．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．2，2，4 B．3，4，1 C．5，6，12 D．5，5，8【答案】D【解析】【分析】根据三角形的三边关系进行判断．【详解】解：A、∵2+2＝4，∴不能构成三角形，故本选项错误；B、∵3+1＝4，∴不能构成三角形，故本选项错误；C、∵5+6＜12，∴不能构成三角形，故本选项错误；D、∵5+5＞8，∴能构成三角形，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，属于基础题型，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键.13．已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）A．11 B．5 C．2 D．1【答案】B【解析】试题分析：由三角形的三边关系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5，故选B．考点：三角形三边关系．14．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C ．D ．【答案】A【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出.【详解】根据定义可得A 是作BC 边上的高，C 是作AB 边上的高，D 是作AC 边上的高. 故选A.考点：三角形高线的作法15．已知三角形的两边长分别是4和7，则这个三角形的第三条边的长可能是（）A ．12B ．11C ．8D ．3【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求出第三边的取值范围，即可得出结果．【详解】∵7﹣4=3，7+4=11，∴3＜第三边＜11，∴只有C 中的8满足．故选C ．【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.16．已知线段6a cm =，9b cm =，则下列线段中，能与a ，b 组成三角形的是（）A ．3cmB ．12 cmC ．15cmD ．18cm 【答案】B【分析】根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和即可判断．【详解】解：设三角形的第三边为m ．由题意：9-6＜m ＜6+9，即3＜m＜15，故选B．【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．三角形三条中线的交点叫做三角形的A．内心B．外心C．中心D．重心【答案】D【解析】试题分析：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选D．考点：三角形的重心．18．给出下列命题①三条线段组成的图形叫三角形，②三角形的三条高相交于三角形内同一点，③任何一个三角形都有三条角平分线、三条中线、三条高④三角形的内角和等于外角和、⑤多边形的内角和大于外角和⑥三角形的三条角平分线相交于形内同一点．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】三条线段组成的图形叫三角形，不正确，应该是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接而成的图形叫三角形；②三角形的三条高相交于三角形内同一点，不正确，锐角三角形的三条高相交于三角形内同一点，直角三角形的三条高相交于直角顶点，钝角三角形的三条高相交于三角形外同一点；③任何一个三角形都有三条角平分线、三条中线、三条高，正确；④三角形的内角和等于外角和，不正确，三角形的内角和是180°，外角和是360°；⑤多边形的内角和大于外角和，不正确，理由同④；⑥三角形的三条角平分线相交于形内同一点，正确．故选B.19．如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形【答案】A【解析】高的交点在三角形内部的是锐角三角形．选A.20．一个等腰三角形的两边长分别为4厘米、9厘米，则这个三角形的周长为（）A．17或22 B．22 C．13 D．17或13【答案】B【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长；题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行分类讨论，还要用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：分类讨论：情况一：若4厘米为腰长，9厘米为底边长，由于4+4＜9，则三角形不存在；情况二：若9厘米为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为9+9+4=22（厘米）．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，最后养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．21．用13根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断，且全部用完），能摆出不同形状的三角形个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】【分析】可以把三角形的周长看作13，再根据三角形三边的关系应满足：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从一条边有1根开始，逐渐增多即可得出结论.【详解】解：∵三角形两边之和大于第三边，∴只能有5种答案，即①1、6、6；②2、5、6；③3、5、5；④4、4、5；④3、4、6．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是三角形三边的关系，若三条线段能够构成三角形需满足：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.熟记定理是解题的关键.22．下列四组线段中，能组成三角形的是（）A．2cm，3 cm，4 cm B．3 cm，4 cm，8 cmC．4 cm，6 cm，2 cm D．7 cm，11 cm，2 cm【答案】A【解析】试题解析：A、2+3＞4，能够组成三角形；B、3+4=7，不能组成三角形；C、4+2=6，不能组成三角形；D、7+2＜10，不能组成三角形．故选A．考点：三角形三边关系．23．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，11 C．3，4，7 D．5，6，10【答案】D【分析】根据三角形的三边关系进行判断，两条较小的边的和大于最大的边逐一进行判断即可．【详解】解：A、3+4＜8，不能构成三角形，故此选项错误；B、5+6=11，不能构成三角形，故此选项错误；C、4+3=7，不能构成三角形，故此选项错误．D、5+6＞10，能构成三角形，故此选项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．24．三角形的两边长分别为5和12，那么第三边长可能是（）A．5 B．7 C．11 D．19【答案】C【分析】确定第三边范围：大于两边之差，小于两边之和，找在此范围的边长即可．【详解】解：设第三边为x，则12-5<x<5+12，即7<x<17，所以符合条件的为11，故选C．【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，正确确定第三边范围是解题关键．25．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，AF是BC边上的中线，则下列线段中，最短的是()A．AB B．AE C．AD D．AF【答案】C【分析】首先根据三角形的高的定义得出AD⊥BC，再根据垂线段最短求解即可【详解】解：∵在△ABC中，AD是高，∴AD⊥BC，又∵在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，AF是BC边上的中线，∴AD＜AB，AD＜AE，AD＜AF，故选C.【点睛】本题考查三角形的角平分线、中线和高以及垂线段最短的性质，掌握定义与性质是解题的关键26．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．10B．6C．4D．3【答案】B【分析】设第三边长为x，根据三角形的三边关系得到第三边的范围，进而可得答案．【详解】解：设第三边长为x，由一个三角形的两边长分别为3和7，则根据三角形的三边关系得：<<，所以只有B选项符合题意；7373x-<<+，即410x故选B．【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．27．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，3 B．2，2，4 C．1，2，4 D．3，4，5【答案】D【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．【详解】+=，不能组成三角形，故A选项错误；解：A、123+=，不能组成三角形，故B选项错误；B、224C、124+<，不能组成三角形，故C选项错误；+>，能组成三角形，故D选项正确；D、345故选：D．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．28．已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则点P叫作△ABC的（）A．中心B．圆心C．重心D．格点【答案】C【分析】根据三角形中各线段的交点对应的概念辨析即可．【详解】A、正三角形才有中心，故错误；B、既不是内切圆的圆心，也不是外接圆的圆心，故错误；C、由图可知，Ｐ是三条中线的交点，则为重心，故正确；D、没有这个说法，故错误；故选：C【点睛】本题考查三角形重心的判断，熟记三条中线的交点为重心是解题关键．29．下列物品不是利用三角形稳定性的是（）A．自行车的三角形车架B．三角形房架C．高架桥的三角形结构D．伸缩晾衣架【答案】D【分析】利用三角形的稳定性进行解答．【详解】解：由四边形组成的伸缩衣架是利用了四边形的不稳定性，而A、B、C选项都是利用了三角形的稳定性，故选D．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．30．在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【答案】D【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形状．解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．点评：本题考查了三角形的内角和定理，比较简单，求出∠C的度数是解题的关键．31．如图，是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站应建在：（）A ．△ABC 三边的中线的交点上B ．△ABC 三边垂直平分线的交点上 C ．△ABC 三条边高的交点上D ．△ABC 三内角平分线的交点上【答案】D【解析】试题解析：三角形中到三边的距离相等的是三角形的内心，即为三条内角平分线的交点.故选D.点睛：角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.32．如图，△ABC 中，点D 是AB 边上的中点，点E 是BC 边上的中点，若S ∆ABC =12，则图中阴影部分的面积是( )A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】C【分析】作CF AB ⊥交AB 于点F ，作DG BC ⊥交BC 于点G ，利用中点的性质即可求出BCD △的面积，同理可求出阴影部分面积.【详解】解：作CF AB ⊥交AB 于点F ，作DG BC ⊥交BC 于点G ，点D 是AB 边上的中点12BD AB ∴=1111112622222BCD ABC S BD CF AB CF S ∴=⋅=⨯⋅==⨯= 点E 是BC 边上的中点 12CE BC ∴= 111116322222CED BCD S CE DG BC DG S ∴=⋅=⨯⋅==⨯= 所以阴影部分的面积为3.故选：C.【点睛】本题考查了和中点有关的三角形的面积，灵活的利用中点的性质表示三角形的面积间的关系是解题的关键.33．已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为 A ．2B ．3C ．5D ．13【答案】B【分析】根据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”，可得x 的取值范围，一一判断可得答案.【详解】解：根据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边” 可得:13-2<x<13+2,即11<x<15,因为取正整数,故x 的取值为12、13、14,即这样的三角形共有3个. 故本题正确答案为B.【点睛】本题主要考查构成三角形的三边的关系.34．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A ．4cm ，5cm ，9cmB ．8cm ，8cm ，15cmC ．5cm ，5cm ，10cmD ．6cm ，7cm ，14cm【答案】B【详解】分析：结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论．详解：A 、∵5+4=9，9=9，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；B、8+8=16，16＞15，∴该三边能组成三角形，故此选项正确；C、5+5=10，10=10，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；D、6+7=13，13＜14，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；故选B．点睛：本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交于第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可．35．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（）A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5【答案】C【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】A、1+1=2，不满足三边关系，故错误；B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误；C、2+3＞4，满足三边关系，故正确；D、2+3=5，不满足三边关系，故错误．故选C．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．36．下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断即可得．【详解】A、具有稳定性，符合题意；B、不具有稳定性，故不符合题意；C、不具有稳定性，故不符合题意；D、不具有稳定性，故不符合题意，故选A．【点睛】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．37．已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为() A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．0【答案】D【解析】试题解析：∵a、b、c为△ABC的三条边长，∴a+b-c＞0，c-a-b＜0，∴原式=a+b-c+（c-a-b）=0．故选D．考点：三角形三边关系．38．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：根据三角形的高线的定义可得，则D选项中线段BE是△ABC的高.考点：三角形的高39．有4cm和6cm的两根小棒，请你再找一根小棒，并以这三根小棒为边围成一个三角形，下列长度的小棒可选的是（）A．1cm B．2cm C．7cm D．10cm【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系可得6－4＜第三根小棒的长度＜6＋4 ,再解不等式可得答案. 【详解】设第三根小棒的长度为x cm ,由题意得:6－4＜x＜6＋4 ,解得:2＜x＜10 ,故选:C .【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系,关键是掌握三边关系定理:三角形两边之和大于第三边.角形的两边差小于第三边.40．下列命题：①三角形的三个内角中最多有一个钝角；②三角形的三个内角中至少有两个锐角；③有两个内角分别为50°和20°的三角形一定是钝角三角形；④直角三角形中两锐角之和为90°.其中是真命题的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】试题解析：因为三角形的内角和为180°，所以三角形的三个内角中最多有一个钝角，三角形的三个内角中至少有两个锐角，所以①②是正确的；有两个内角为50°和20°的三角形的第三角为110°，所以一定是钝角三角形，所以③正确；因为直角三角形中有一个角等于90°，所以直角三角形中两锐角的和为90°，所以④正确．故选D.41．如图，在△ABC中，BC=8，AD为BC边上的高，A点沿AD所在的直线运动时，三角形的面积发生变化，当△ABC的面积为48时，AD的长为（）A．24 B．12 C．8 D．6【答案】B【分析】利用三角形的面积公式即可得解.【详解】∵△ABC的面积=12BC•AD=12×8•AD=48，∴AD=12．故选B【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是掌握三角形的面积公式．42．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B 落在点B′的位置，则线段AC具有性质( )A．是∠BAB′的平分线B．是边BB′上的高C．是边BB′上的中线D．以上三种线重合【答案】D【解析】解：∵∠ACB=90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，∴∠ACB′=∠ACB=90°，∠BAC=∠B′AC，BC=B′C，∴AC是△ABB′的边BB′上的高，AC平分∠BAB′，线段AC是△ABB′的边BB′上的中线．故选D．43．已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则该三角形的第三边的长可能是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．11cm【答案】C【解析】【分析】已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．【详解】设第三边长为x ，则由三角形三边关系定理得8-3＜x ＜8+3，即5＜x ＜11．因此，本题的第三边应满足5＜x ＜11，把各项代入不等式符合的即为答案． 4，5，13都不符合不等式5＜x ＜11，只有6符合不等式，故答案为6cm ．故选C ．【点睛】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．44．如图，ABC ∆中，14BD BC =，13AE AD =，12CF CE =，12ABC S ∆=，则DEF S ∆=（）A ．2B ．52C ．3D ．4 【答案】C【分析】据题意先求得S △ACD ＝34S △ABC ＝9，然后求得S △CDE ＝23S △ACD ＝6，最后求得S △DEF ＝12S △CDE ＝3．【详解】解：∵14BD BC =， ∴S △ACD ＝34S △ABC ＝34×12＝9；∵13AE AD，∴S△CDE＝23S△ACD＝23×9＝6；∵点F是CE的中点，∴S△DEF＝12S△CDE＝12×6＝3．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形的中线与面积的求法，解题的关键是熟知中线平分三角形面积的原理．45．下列长度的三条线段，哪一组不能构成三角形（）A．3，3，3 B．3，4，5 C．5，6，10 D．4，5，9【答案】D【分析】根据三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得出答案. 【详解】解：A、3+3＞3，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；B、3+4＞5，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；C、5+6＞10，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；D、4+5=9，不符合三角形的三边关系定理，故本选项正确；故选D.【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，注意：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边46．不一定在三角形内部的线段是（）A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．三角形的中位线【答案】C【解析】因为在三角形中，它的中线、角平分线和中位线一定在三角形的内部，而钝角三角形的高在三角形的外部．故选C．47．如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B = 30°，∠C= 100°，如图2.则下列说法正确的是A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远【答案】C【解析】分析：∵∠C=100°，∴AB＞AC.如图，取BC的中点E，则BE=CE，∴AB+BE＞AC+CE。

(完整版)初中数学三角形有关的线段讲解及习题

11.1 与三角形有关的线段1．三角形(1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．(2)构成：如图所示，三角形ABC 有三条边，三个内角，三个顶点．①边：组成三角形的线段叫做三角形的边．②角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点．(3)表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC 用符号表示为△ABC .注：顶点A 所对的边BC 用a 表示，顶点B 所对的边AC 用b 表示，顶点C 所对的边AB 用c 表示．(4)分类：①三角形按角分类如下：三角形⎩⎪⎨⎪⎧ 直角三角形锐角三角形钝角三角形②三角形按边的相等关系分类如下：破疑点等边三角形和等腰三角形的关系等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形．【例1】如图所示，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角．分析：根据三角形的定义及构成得出结论．解：图中有三个三角形，分别是：△ABC ，△ABD ，△ADC .△ABC 的三边是：AB ，BC ，AC ，三个内角分别是：∠BAC ，∠B ，∠C ； △ABD 的三边是：AB ，BD ，AD ，三个内角分别是：∠BAD ，∠B ，∠ADB ； △ADC 的三边是：AD ，DC ，AC ，三个内角分别是：∠ADC ，∠DAC ，∠C .2．三角形的三边关系(1)三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：a ＋b ＞c ，c ＋b ＞a ，a ＋c ＞b .三角形两边的差小于第三边，用字母表示为：c －b <a ，b －a <c ，c －a <b .(2)作用：①利用三角形的三边关系，在已知两边的三角形中可以确定第三边的取值范围；②根据所给三条线段长度判断这三条线段能否构成三角形．“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据.破疑点三角形三边关系的理解三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两边之和都大于第三边，即a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立．【例2】下列长度的三条线段(单位：厘米)能组成三角形的是()．A．1,2,3.5 B．4,5,9C．5,8,15 D．6,8,9解析：选择最短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能构成三角形，否则构不成三角形，只有6＋8＝14＞9，所以D能构成三角形．答案：D3．三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．(2)描述方法：高的描述方法有三种，这三种方法都能得出AD是BC边上的高．如图所示．①AD是△ABC的高；②AD⊥BC，垂足为D；③D在BC上，且∠ADB＝∠ADC＝90°.(3)性质特点：①因为高是通过作垂线得出的，因而有高一定有垂直和直角．常用关系式为：因为AD是BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.②“三角形的三条高(所在直线)交于一点”，当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部．如图所示．破疑点三角形的高线的理解三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上．【例3】三角形的三条高在()．A．三角形的内部B．三角形的外部C．三角形的边上D．三角形的内部、外部或边上解析：三角形的三条高交于一点，但有三种情况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部，所以只有D正确．答案：D4．三角形的中线(1)定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．(2)描述方法：三角形中线的描述方法有两种方式，如图．①直接描述：AD 是BC 边上的中线；②间接描述：D 是BC 边上的中点．(3)性质特点：①由三角形中线定义可知，有中线就有相等的线段，如上图中，因为AD 是BC 边上的中线，所以BD ＝CD (或BD ＝12BC ，DC ＝12BC )． ②如下图所示，一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点．不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，三角形的三条中线都交于三角形内部一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．破疑点三角形的中线的理解三角形的中线也是线段，它是一个顶点和对边中点的连线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点．【例4】如图，AE 是△ABC 的中线，EC ＝6，DE ＝2，则BD 的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．6解析：因为AE 是△ABC 的中线，所以BE ＝EC ＝6.又因为DE ＝2，所以BD ＝BE －DE ＝6－2＝4.答案：C5．三角形的角平分线(1)定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．(2)描述方法：角平分线的描述有三种，如图．①直接描述：AD 是△ABC 的角平分线；②在△ABC 中，∠1=∠2，且D 在BC 上；③AD 平分∠BAC ，交BC 于点D.(3)性质特点：①由三角形角平分线的定义可知，有角平分线就有相等的角，如上图中，因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠1=∠2(或∠1=∠2= ∠BAC ，或∠BAC=2∠1=2∠2)．②一个三角形有三条角平分线，三角形的三条角平分线交于一点，不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，这个交点都在三角形内部．解技巧三角形的角平分线的理解三角形的角平分线也是一条线段，角的顶点是一个端点，另一个端点在对边上．【例5】下列说法正确的是( )．①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线、高和角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．A．③④B．③C．②③D．①④解析：任何一个三角形都有三条高、中线和角平分线，并且它们都是线段，不是射线或直线，因此只有③正确，故选B.答案：B6．三角形的稳定性(1)定义：三角形的三边确定后，这个三角形的大小、形状就确定不变了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．(2)理解：三角形的稳定性指的是三角形的大小和形状不变，这说明一个三角形确定后它的附属性质也不变，这不同于四边形，因而在实际生活中，都是用三角形做支架的．【例6】在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条EF固定矩形门框ABCD的情形．这种做法根据()．A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．三角形的稳定性D．矩形的四个角都是直角解析：这是三角形稳定性在日常生活中的应用，C正确．答案：C解技巧三角形的稳定性的理解三角形稳定性的问题都是以实际生活为原型，说明这样做的道理，一般较为简单．7．三角形三边关系的应用三角形中“两边之和大于第三边(两边之差小于第三边)”，这是三角形中最基本的三边关系．这里的“两边之和”指的是“任意两边的和”，满足这一关系是三条线段能否构成三角形的前提．三角形三边关系的运用主要有两方面，一是在已知两边的情况下确定第三边的取值范围；二是根据所给三条线段的长度判断这三条线段能否构成三角形．解技巧三角形三边关系的应用①当线段a，b，c满足最短的两条线段之和大于最长的线段时就可构成三角形；②已知两条线段，可根据第三条线段大于这两边之差，小于这两边之和，来确定第三条线段的取值范围．【例7－1】以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？(1)6 cm,8 cm,10 cm；(2)三条线段长之比为4∶5∶6；(3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)．分析：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，选择较短的两条线段，看它们的和是否大于第三条线段，即可判断能否组成三角形．解：(1)因为6＋8＞10，所以长为6 cm,8 cm,10 cm的三条线段能组成三角形；(2)设这三条线段长分别为4x,5x,6x(x＞0)，因为4x＋5x大于6x，所以三条线段长之比为4∶5∶6时，能组成三角形；(3)因为a＋1＋a＋2＝2a＋3，当a＞0时，2a＋3＞a＋3，所以a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)长的线段能组成三角形．【例7－2】已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm，则此三角形的第三边的长x的取值范围是__________．解析：根据三角形三边关系可知，第三条边的长x应大于已知两边之差且小于已知两边之和，所以3 cm<x<13 cm.答案：3 cm<x<13 cm8.三角形的高、中线、角平分线的画法三角形是最基本的图形，也是应用最多的图形，因此画出它们高、中线、角平分线经常用到，是必须掌握的基本技能．(1)高的画法：类似于垂线的画法，用三角板过某一顶点向对边或对边延长线画垂线，交对边于一点，所得到的垂线段就是这条边上的高．(2)中线的画法：取一边中点，连接这点和这边相对的顶点的线段，就是所求中线．(3)角平分线的画法：类似于画角平分线，作三角形一个角的平分线，交对边于一点，这点和角的顶点之间的线段就是所求的角平分线．9．三角形高的应用从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．因为三角形的高是通过作垂线得到的，既有直角，又有垂线段，因此它的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向．解技巧巧证直角背景下两锐角相等图形中含有高时，经常用“同角(或等角)的余角相等”来证明角相等，这既是一种方法，也是一个规律．【例8】如图(1)，已知△ABC，画出△ABC中，BC边上的高、中线和∠BAC的平分线．图(1) 图(2)分析：因为三角形的高、中线、角平分线都是描述性定义，它们的定义就蕴含了它们的画法，根据总结的画法画出图形即可，如图(2)．解：画法如下：(1)过A作BC的垂线，垂足为D，AD即为BC边上的高；(2)取BC的中点E，连接AE，AE即为BC边上的中线；(3)作∠BAC的平分线，交BC于点F，连接AF，AF即为△ABC中∠BAC的平分线．【例9】如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试说明∠DAC与∠EBC 的关系．分析：因为有三角形中的高就有垂直、直角，所以∠ADC，∠BEC都是直角．根据小学所学三角形的内角和为180°，所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°，根据同角的余角相等，即可得出∠DAC＝∠EBC.解：∠DAC＝∠EBC.因为AD，BE分别是边BC，AC上的高，所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°.所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°.所以∠DAC＝∠EBC.10．三角形中线应用拓展三角形的中线是三角形中的一条重要线段，它最大的特点是已知三角形的中线，图中一定含有相等线段，由此延伸出中线的应用：(1)面积问题：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC.因为BD＝CD，△ABD和△ADC等底同高，所以面积相等，因此通过作三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分．(2)周长问题：如图所示，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差，这也是三角形中线中常出现的问题．【例10】有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明)．分析：根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分的特征，先把原三角形分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分．解：答案不唯一，如方案1：如图(1)，在BC上取点D，E，F，使BD＝DE＝EF＝FC，连接AD，AE，AF.方案2：如图(2)，分别取AB，BC，CA的中点D，E，F，连接DE，EF，DF.方案3：如图(3)，分别取BC的中点D、CD的中点E、AB的中点F，连接AD，AE，DF.方案4：如图(4)，分别取BC的中点D、AB的中点E、AC的中点F，连接AD，DE，DF.11.等腰三角形中的三边关系等腰三角形是特殊的三角形，它最大的特点是两条边相等，所以反映在三边关系中，就是底与腰的关系：①只要两腰之和大于底就一定能构成三角形；②在等腰三角形中，底的取值范围是大于0且小于两腰之和．因为等腰三角形的特殊性，所以在涉及等腰三角形问题时，只要不明确哪是底，哪是腰，就必须分情况讨论，并且要验证是否能构成三角形．如一个等腰三角形的两边长是2 cm 和5 cm，它的周长是多少？情况一：当腰是2 cm底是5 cm时，因为2＋2<5，两边之和小于第三边，所以此等腰三角形不存在；情况二：当腰是5 cm底是2 cm时，5＋2＞5，所以此等腰三角形存在，此时周长为12 cm.解技巧利用三边关系求等腰三角形的边长根据两边之和大于第三边，结合底和腰的关系先判断等腰三角形是否存在是求解的前提．【例11－1】等腰三角形的两边长分别为6 cm和9 cm，则腰长为__________．解析：两种情况，一是腰长为6 cm时，底边就是9 cm，此时6＋6＞9，此三角形存在，所以腰长可以是6 cm；二是腰长为9 cm，此时9＋6＞9，此三角形也存在，所以腰长也可以是9 cm，故腰长为6 cm或9 cm.答案：9 cm或6 cm【例11－2】已知等腰三角形的周长是24 cm，(1)腰长是底边长的2倍，求腰长；(2)若其中一边长为6 cm，求其他两边长．分析：(1)可以通过设未知数，利用周长作为相等关系，列出方程，通过求方程的解从而求出答案；(2)因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边，要分两种情况考虑，并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和都大于第三边．解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据题意，得x＋2x＋2x＝24，解得x＝4.8，所以腰长为2x＝2×4.8＝9.6(cm)．(2)当长为6 cm的边为腰时，则底边为24－6×2＝12(cm)．因为6＋6＝12，两边之和等于第三边，所以6 cm长为腰不能组成三角形，故腰长不能为6 cm.当长为6 cm的边为底边时，则腰长为(24－6)÷2＝9(cm)，因为6 cm,9 cm,9 cm可以组成三角形，所以等腰三角形其他两边长均为9 cm.12.与三角形有关的线段易错点分析在本节内容中，易错点主要表现在以下三个方面：(1)三角形的高、中线、角平分线都是线段，它们都有长度，这与前面所学的垂线是直线、角平分线是射线容易混淆．(2)画钝角三角形的高时易出错，如下图三种画法都是错误的．三种情况错误的原因都是对三角形的高的定义理解不透彻．图1中BE不垂直于边AC，错因是受锐角三角形的影响，误认为高的垂足必落在对边上；图2错在没有过点B画AC 的垂线段；图3错在把三角形的高与AC边上的垂线混淆，把线段画成了射线．正确的作法是过点B向对边AC所在的直线画垂线，垂足为E.因为三角形是钝角三角形，所以垂足落在CA 的延长线上，如下图所示：(3)运用三角形三边关系时出错，只有两边之和大于第三边，才能构成三角形，才能进行其他运算，这是前提．特别是等腰三角形在没指明哪是底哪是腰时更易出错，一定要分类讨论，且必须考虑“不同情况下是否能构成三角形”．【例12－1】下列说法正确的是( )．A ．三角形的角平分线是射线B ．三角形的高是一条垂线C ．三角形的三条中线相交于一点D ．三角形的中线、角平分线和高都在三角形内部解析：A ，B ，D 都是错误的，A 选项一个角的平分线与三角形的角平分线有本质区别：角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段；三角形的高也是线段，是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段；三角形的中线、角平分线以及锐角三角形的三条高都在三角形内部，但钝角三角形有两条高在三角形的外部，所以D 也是错误的．只有C 正确．答案：C【例12－2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12 cm 和15 cm 两部分，求三角形的底边长．分析：有两种可能，一种是锐角三角形，如图(1)所示，这时AB ＋AD ＝15 cm ，BC ＋CD ＝12 cm ；另一种是钝角三角形，如图(2)，这时AB ＋AD ＝12 cm ，BC ＋CD ＝15 cm.图(1) 图(2) 解：(1)当三角形是锐角三角形时，因为D 是AC 的中点，所以AD ＝12AC ＝12AB ，所以AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝15，解得AB ＝10(cm)．所以AC ＝10 cm ，所以底边BC ＝15＋12－10×2＝7(cm)，此时能构成三角形，且底边长为7 cm.(2)当三角形是钝角三角形时，AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝12，解得AB ＝8(cm)，所以AC ＝8 cm ，所以BC ＝15＋12－8×2＝11(cm)．因为8＋8＞11，所以能构成三角形，此时底边为11 cm.答：底边的长为7 cm 或11 cm.。

人教版八年级上册数学11.1与三角形有关的线段专题练习含答案

与三角形有关的线段一、选择题1、已知三角形的两边分别为4和9，则此三角形的第三边可能是（）A． 4 B．5 C．9 D． 132、下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是( )A．5 cm、7 cm、2 cm B．7 cm、13 cm、10 cmC．5 cm、7 cm、11 cm D．5 cm、10 cm、13 cm3、如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC 为（）A．115°B．120°C．125°D．130°4、下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（）A．2、3、4 B．1、2、3 C．3、4、5 D．4、5、65、若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC（）的交点．A．角平分线B．高线C．中线D．边的中垂线6、如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④7、下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，118、如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．AB=2BF B．∠ACE=∠ACB C．AE=BE D．CD⊥BE9、一个三角形中直角的个数最多有（）Ａ．3Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．010、下列图形不具有稳定性的是（）11、下列各组中的三条线段能组成三角形的是（）Ａ．3，4，8 Ｂ．5，6，11Ｃ．5，6，10 Ｄ．4，4，812、如图所示，其中三角形的个数是（）Ａ．2个Ｂ．3个Ｃ．4个Ｄ．5个13、下列图形不具有稳定性的是（）A．正方形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形14、如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，分别交BC，AB，BC于点C，D，E，则下列说法中不正确的是（）A．AC是△ABC和△ABE的高B．DE，DC都是△BCD的高C．DE是△DBE和△ABE的高D．AD，CD都是△ACD的高二、填空题15、在△ABC是AB＝5，AC＝3，BC边的中线的取值范围是。

专题111与三角形有关的线段-2021-2022学年八年级数学上(解析版)【人教版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题11.1与三角形有关的线段姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•兴县期中）三角形的两边长为6cm和3cm，则第三边长可以为（）A．2B．3C．4D．10【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．【解析】：设第三边为x，则3＜x＜9，所以符合条件的整数可以为4，故选：C．2．（2020秋•拱墅区期末）若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则此三角形的第三边长可能为（）A．1cm B．2cm C．5cm D．8cm【分析】设第三边为xcm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，选出合适的x的值即可．【解析】：设第三边为xcm，∵三角形的两边长分别为3cm和5cm，∴5cm﹣3cm＜x＜5cm+3cm，即2cm＜x＜8cm，∴5cm符合题意，故选：C．3．（2021春•邗江区月考）在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．【解析】：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，纵观各图形，①、②、③都不符合高线的定义，④符合高线的定义．故选：D．4．（2020•延庆区一模）如图所示，△ABC中AB边上的高线是（）A．线段DA B．线段CA C．线段CD D．线段BD【分析】直接利用高线的概念（从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高）得出答案．【解析】：如图，∵CD⊥BD于D，∴△ABC中AB边上的高线是线段CD．故选：C．5．（2020春•溧水区期末）若三角形的两边a、b的长分别为3和5，则其第三边c的取值范围是（）A．2＜c＜5B．3＜c＜8C．2＜c＜8D．2≤c≤8【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边c的取值范围．【解析】：根据三角形的三边关系可得5﹣3＜c＜5+3，解得：2＜c＜8，故选：C．6．（2019秋•邕宁区校级期中）下列说法正确的是（）A．三角形的三条高是三条直线B．直角三角形只有一条高C．锐角三角形的三条高都在三角形内D．三角形每一边上的高都小于其他两边【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断．【解析】：A、三角形的三条高是三条线段，本选项说法错误；B、直角三角形有三条高，本选项说法错误；C、锐角三角形的三条高都在三角形内，本选项说法正确；D、三角形每一边上的高不一定都小于其他两边，本选项说法错误；故选：C．7．（2020春•昌乐县期末）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的高的定义进行判断即可．【解析】：由三角形的高的定义可知，如果线段BD是△ABC的高，那么BD⊥AC，垂足是点D．四个选项中，只有D选项中BD⊥AC．故选：D．8．（2019秋•东湖区校级月考）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22cm，AB比AC长3cm，则△ACD的周长为（）A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm【分析】根据题意得到AB＝AC+3，根据中线的定义得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算即可．【解析】：由题意得，AB＝AC+3，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∵△ABD的周长为22，∴AB+BD+AD＝AC+3+DC+AD＝22，则AC+DC+AD＝19，∴△ACD的周长＝AC+DC+AD＝19（cm），故选：A．9．（2020春•射洪市期末）如图，在Rt△ABF中，∠F＝90°，点C是线段BF上异于点B和点F的一点，连接AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D，过点C作CE⊥AB交AB于点E，则下列说法中，错误的是（）A．△ABC中，AB边上的高是CEB．△ABC中，BC边上的高是AFC．△ACD中，AC边上的高是CED．△ACD中，CD边上的高是AC【分析】根据三角形的高的定义进行判断即可．【解析】：∵过点C作CE⊥AB交AB于点E，∠F＝90°，∴△ABC中，AB边上的高是CE，BC边上的高是AF，∴A、B两个选项说法正确，不符合题意；∵CD⊥AC交AB于点D，∴△ACD中，AC边上的高是CD，CD边上的高是AC，∴C选项说法错误，符合题意；D选项说法正确，不符合题意；故选：C．10．（2020春•常熟市期末）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，点F在BE上，且EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，则S△ABC为（）A．4cm2B．8cm2C．12cm2D．16cm2【分析】根据EF＝2BF，S△BCF＝2cm2，求得S△BEC＝3S△BCF＝6cm2，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得S△BDE＝S△CDE=12S△BEC＝3cm2，从而求出S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，再根据S△ABC＝2S△ABD计算即可得解．【解析】：如图，∵EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，∴S△BEC＝3S△BCF＝3×2＝6cm2，∵D是BD的中点，∴S△BDE＝S△CDE=12S△BEC＝3cm2，∵E是AD的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，∴△ABC的面积为12cm2，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•婺城区期末）我们用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的稳定性．【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性回答即可．【解析】：用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的稳定性，故答案为：稳定性．12．（2021春•浦东新区期中）不等边三角形的最长边是9，最短边是4，第三边的边长是奇数，则第三边的长度是7．【分析】根据三角形的三边关系即可求得第三边的范围，从而由不等边三角形和奇数的定义确定第三边的长度．【解析】：设第三边长是c，则9﹣4＜c＜9+4，即5＜c＜13，又∵第三边的长是奇数，不等边三角形的最长边为9，最短边为4，∴c＝7．故答案为：7．13．（2020春•灌云县期中）如图，以AD为高的三角形共有6个．【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD 为高的三角形的个数．【解析】：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故答案为：614．（2019秋•宾县期末）三角形有两条边的长度分别是5和7，则最长边a的取值范围是7≤a＜12．【分析】已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和．【解析】：根据三角形三边关系定理知：①当a＝7时，最长的边a＝7；②当a≠7时，最长边a的取值范围是：7＜a＜（7+5），即7＜a＜12；故答案为：7≤a＜12．15．（2018春•大东区校级期中）如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，如果BC＝10cm，那么BE＝5cm；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠BAD＝40°，∠DAF＝10°．【分析】熟悉三角形的角平分线、中线、高的概念：三角形的一个角的平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；连接顶点和对边中点的线段叫三角形的中线；三角形的高即从顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念，运用几何式子表示．【解析】：∵在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，BC＝10cm，∴BE＝5cm，∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∴∠BAD＝40°，∵AF是高，∴∠CAF＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAF＝40°﹣30°＝10°，故答案为：5cm；40°；10°．16．（2020秋•惠山区期中）如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添3根木条．【分析】根据三角形的稳定性，只要使六边形框架ABCDEF变成三角形的组合体即可．【解析】：根据三角形的稳定性，得如图：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添3根木条．17．（2020•恩施市模拟）如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB 的周长多2cm，则AC＝10cm．【分析】依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE＝BE，再根据AE＝AE，△ACE的周长比△AEB 的周长多2cm，即可得到AC的长．【解析】：∵AE是△ABC的边BC上的中线，∴CE＝BE，又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，∴AC﹣AB＝2cm，即AC﹣8＝2cm，∴AC＝10cm，故答案为：10；18．（2020春•兴化市月考）若D、E分别是BC、AD的中点，且S△ABC＝10，则S△AEC＝ 2.5．【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分即可求得结果．【解析】：∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴S△ADC＝S△BDC=12S△ABC＝5，∵CE是△ADC的AD边上的中线，∴S△AEC=12S△ADC＝2.5，故答案为2.5．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．如图，在△ABC中，AE⊥BC，点E是垂足，点D是边BC上的一点，连接AD．（1）写出△ABE的三个内角；（2）在△ABD中，∠B的对边是AD；在△ABC中，∠B的对边是AC；（3）图中共有6个三角形，把它们分别写出来．这些三角形中，哪些是直角三角形？哪些是锐角三角形？哪些是钝角三角形？（4）线段AD是哪几个三角形的公共边？（5）∠ADC是哪几个三角形的公共角？∠AED呢？【分析】（1）根据三角形内角的定义，结合图形即可求解；（2）根据三角形中角的对边的定义，结合图形即可求解；（3）根据三角形的定义，结合数出图中三角形的个数，再根据直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的定义进行分类；（4）根据三角形的边的定义，结合图形即可求解；（5）根据三角形的角的定义，结合图形即可求解．【解析】：（1）△ABE的三个内角是：∠BAE，∠B，∠AEB；（2）在△ABD中，∠B的对边是AD；在△ABC中，∠B的对边是AC．故答案为：AD；AC；（3）图中共有6个三角形，分别是：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．这些三角形中，直角三角形是：△ABE，△ADE，△AEC；锐角三角形是：△ABC，△ADC；钝角三角形是：△ABD．故答案为：6；（4）线段AD是△ABD，△ADE，△ADC的公共边；（5）∠ADC是△ADE，△ADC的公共角；∠AED是△ABE，△ADE的公共角．20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，EC⊥BC交AB于点E，CF⊥AB，垂足为点F，BG⊥AC，垂足为点G ．（1）分别写出△ABC 各条边上的高；（2）CF 是哪几个三角形的高？【分析】（1）根据三角形的高的概念，写出△ABC 三条边上的高即可；（2）根据三角形的高的概念，由CF ⊥AB ，垂足为点F 解答即可．【解析】：（1）由题意，可得△ABC 中，AB 边上的高是CF ，BC 边上的高是AD ，AC 边上的高是BG ；（2）∵CF ⊥AB ，垂足为点F ，∴CF 是△BCF ，△BCE ，△BCA ，△FCE ，△FCA ，△ECA 的高．21．（2017秋•固始县期中）如图，在△ABC 中（AB ＞BC ），AC ＝2BC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 的周长分成60和40两部分，求AC 和AB 的长．【分析】先根据AD 是BC 边上的中线得出BD ＝CD ，设BD ＝CD ＝x ，AB ＝y ，则AC ＝4x ，根据题意得出方程组，求出方程组的解，再根据三角形的三边关系定理判断即可．【解析】：设BD ＝CD ＝x ，AB ＝y ，则AC ＝2BC ＝4x ，∵BC 边上的中线AD 把△ABC 的周长分成60和40两部分，AB ＞BC ，∴AC +CD ＝40，AB +BD ＝60，即{4x +x =40y +x =60，解得：{x =8y =52，当AB ＝52，BC ＝16，AC ＝32时，不满足三边关系，构不成三角形，应该舍去，所以AC ＝48，AB ＝28．22．（2020秋•江津区期中）a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6．（1）求c的取值范围；（2）若△ABC的周长为18，求c的值．【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边得出3c﹣2＞c，任意两边之差小于第三边得出|2c﹣6|＜c，列不等式组求解即可；（2）由△ABC的周长为18，a+b＝3c﹣2，4c﹣2＝18，解方程得出答案即可．【解析】：（1）∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6，∴{3c−2＞c|2c−6|＜c，解得：2＜c＜6；（2）∵△ABC的周长为18，a+b＝3c﹣2，∴a+b+c＝4c﹣2＝18，解得c＝5．23．（2020春•五华区校级期末）已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，AB=32 AC．（1）如图，当AC＝10cm时，求BD的长．（2）若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？【分析】（1）根据三角形中线的性质解答即可；（2）根据三角形周长和边的关系解答即可．【解析】：（1）∵AB=32AC，AC＝10cm，∴AB＝15cm．又∵△ABC的周长是33cm，∴BC＝8cm．∵AD是BC边上的中线，∴BD=12BC=4cm．（2）不能，理由如下：∵AB=32AC，AC＝12cm，∴AB＝18cm．又∵△ABC的周长是33cm，∴BC＝3cm．∵AC+BC＝15＜AB＝18，∴不能构成三角形ABC，则不能求出DC的长．24．如图，（1）若AE平分∠DAC，则AH是△AGF的角平分线，AE是△ADC的角平分线；（2）若AF＝FC，则△ABC的中线是BF；（3）若AD⊥BC，垂足为点D，则AD是哪些三角形的高？【分析】根据三角形角平分线、中线和高的概念解答即可．【解析】：（1）若AE平分∠DAC，则AE是△AGF的角平分线，AE是△ADC的角平分线；故答案为AGF；ADC；（2）若AF＝FC，则△ABC的中线是BF，故答案为BF；（3）若AD⊥BC，垂足为点D，则AD是△ABE、△ABC、△ABD、△ADE、△ADC、△AEC的高．。

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专题11.1 与三角形有关的线段1.三角形的定义和分类（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

（2）三角形的分类：1）按照角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

2）按照边分类有不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）2.三角形三边的关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.3.三角形的高、中线与角平分线（1）三角形的高。

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD是ΔABC的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；1）三角形的高是线段；2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.（2）三角形的中线。

三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝21BC.1）三角形的中线是线段；2)三角形三条中线全在三角形内部；3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； 4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线。

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD ＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线 ∠BAD ＝∠DAC ＝21∠BAC (或∠BAC ＝2∠BAD ＝2∠DAC) . 1）三角形的角平分线是线段；2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； 4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 4.三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

【例题1】如图，图中直角三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．【解析】如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个。

【点拨】根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可作判断．【例题2】下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cmC．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm【答案】B【解析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．A.2+3＞4，能构成三角形，不合题意；B.1+2＝3，不能构成三角形，符合题意；C.4+3＞5，能构成三角形，不合题意；D.4+5＞6，能构成三角形，不合题意．【点拨】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．【例题3】如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，BC＝7cm，AC ＝6cm，则△AED的周长等于cm．【答案】10【解析】∵D是AC的中点，且BD⊥AC，∴AB＝BC＝7cm，AD＝AC＝3cm，∵ED∥BC，∴AE＝BE＝AB＝3.5cm，ED＝BC＝3.5cm，∴△AED的周长＝AE+ED+AD＝10cm．【点拨】三角形的中线等于底边一半，这个是解题关键。

【例题4】如图，AD、AM、AH分别△ABC的角平分线、中线和高．（1）因为AD是△ABC的角平分线，所以∠_____=∠_____= 1/2∠_____；（2）因为AM是△ABC的中线，所以 ______ = ______= ______；（3）因为AH是△ABC的高，所以∠_____=∠_____=90°【答案】（1）BAD、CAD、BAC；（2）BM、CM、BC；（3）AHB、AHC．【解析】（1）∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC（2）∵AM是△ABC的中线∴BM=CM=1/2BC（3）∵AH是△ABC的高，∴AH⊥BC∴∠AHB=∠AHC=90°【点拨】熟练掌握三角形角平分线、中线和高的定义，然后结合他们的特点进行答题。

一、选择题1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10【答案】D【解析】据三角形两边之和大于第三边可以判断各个选项中的三天线段是否能组成三角形，本题得以解决．∵2+2＝4，∴2，2，4不能组成三角形，故选项A错误，∵5+6＜12，∴5，6，12不能组成三角形，故选项B错误，∵5+2＝7，∴5，7，2不能组成三角形，故选项C错误，∵6+8＞10，∴6，8，10能组成三角形，故选项D正确，【点拨】本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边．2．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cmC．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm【答案】D．【解析】依据三角形任意两边之和大于第三边求解即可．A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．3.已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．11【答案】C．【解析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，4＜x＜10，4.若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣4|+=0，则c的值可能为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A．【解析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系及非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零；注意初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．先根据非负数的性质，求出a、b的值，进一步根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，从而确定c的可能值；∵|a﹣4|+=0，∴a﹣4=0，a=4；b﹣2=0，b=2；则4﹣2＜c＜4+2，2＜c＜6，5符合条件。

5.如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A B C D【答案】A．【解析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．△ABC中BC边上的高的是A选项．6. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【答案】D.【解析】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm ＞4cm．故能够组成三角形．7. 小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( )【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．8．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（）A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG【答案】B．【解析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线。

9．下列图形具有稳定性的是（）A B C D【答案】A．【解析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．10．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cmC．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm【答案】B．【解析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论． A ．∵5+4=9，9=9，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； B ．8+8=16，16＞15，∴该三边能组成三角形，故此选项正确； C ．5+5=10，10=10，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； D ．6+7=13，13＜14，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误。

11．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（） A ．1，1，2 B ．1，2，4C ．2，3，4D ．2，3，5 【答案】C ．【解析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解． A ．1+1=2，不满足三边关系，故错误； B ．1+2＜4，不满足三边关系，故错误； C ．2+3＞4，满足三边关系，故正确； D ．2+3=5，不满足三边关系，故错误．二、填空题12．已知等腰三角形两边长是4cm 和9cm ，则它的周长是．【答案】22cm ．【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．当腰长为4cm 时，4+4＜9cm ，不符合三角形三边关系，故舍去；当腰长为9cm 时，符合三边关系，其周长为9+9+4=22cm ．故该三角形的周长为22cm ．13.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c的取值范围是│2-7│<c<2+7,即5<c<9．14．已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为．【答案】5【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．根据三角形的三边关系，得第三边＞4，而＜6．又第三条边长为整数，则第三边是5．15．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=．【答案】7．【解析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，∴a﹣7=0，b﹣1=0，解得a=7，b=1，∵7﹣1=6，7+1=8，∴6＜c＜8，又∵c为奇数，∴c=7三、解答题16．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；(2)线段AE是哪些三角形的边?(3)∠B是哪些三角形的角?【答案】(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．【解析】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)问的突破口是∠B一定是以B为一个顶点组成的三角形中．17.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．【答案】AC的长为5cm．【解析】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵CD为△ABC的AB边上的中线，∴AD＝BD，即BC-AC＝3．又∵BC＝8，∴AC＝5．。