专题11.1 与三角形有关的线段(解析版)

专题11.1 与三角形有关的线段

1.三角形的定义和分类

（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

（2）三角形的分类：

1）按照角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

2）按照边分类有不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）

2.三角形三边的关系

定理：三角形任意两边的和大于第三边.

推论：三角形任意两边的差小于第三边.

（1）理论依据：两点之间线段最短.

（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.

3.三角形的高、中线与角平分线

（1）三角形的高。从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．

三角形的高的数学语言：

如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.

注意：AD是ΔABC的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；

1）三角形的高是线段；

2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；

3）三角形的三条高：

(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；

(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；

(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.

（2）三角形的中线。三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言：

如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝

2

1BC.

1）三角形的中线是线段；

2)三角形三条中线全在三角形内部；

3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； 4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.

（3）三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

三角形的角平分线的数学语言：

如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD ＝∠CAD 且点D 在BC 上.

注意：AD 是ΔABC 的角平分线 ∠BAD ＝∠DAC ＝2

1

∠BAC (或∠BAC ＝2∠BAD ＝2∠DAC) . 1）三角形的角平分线是线段；

2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；

3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； 4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 4.三角形的稳定性

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

【例题1】如图，图中直角三角形共有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C．

【解析】如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个。

【点拨】根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可作判断．

【例题2】下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）

A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm

C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm

【答案】B

【解析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．

A.2+3＞4，能构成三角形，不合题意；

B.1+2＝3，不能构成三角形，符合题意；

C.4+3＞5，能构成三角形，不合题意；

D.4+5＞6，能构成三角形，不合题意．

【点拨】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．

【例题3】如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，BC＝7cm，AC ＝6cm，则△AED的周长等于cm．

【答案】10

【解析】∵D是AC的中点，且BD⊥AC，

∴AB＝BC＝7cm，AD＝AC＝3cm，

∵ED∥BC，

∴AE＝BE＝AB＝3.5cm，ED＝BC＝3.5cm，

∴△AED的周长＝AE+ED+AD＝10cm．

【点拨】三角形的中线等于底边一半，这个是解题关键。

【例题4】如图，AD、AM、AH分别△ABC的角平分线、中线和高．

（1）因为AD是△ABC的角平分线，所以∠_____=∠_____= 1/2∠_____；

（2）因为AM是△ABC的中线，所以 ______ = ______= ______；

（3）因为AH是△ABC的高，所以∠_____=∠_____=90°

【答案】（1）BAD、CAD、BAC；（2）BM、CM、BC；（3）AHB、AHC．

【解析】（1）∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC

（2）∵AM是△ABC的中线

∴BM=CM=1/2BC

（3）∵AH是△ABC的高，∴AH⊥BC

∴∠AHB=∠AHC=90°

【点拨】熟练掌握三角形角平分线、中线和高的定义，然后结合他们的特点进行答题。

一、选择题

1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10

【答案】D

【解析】据三角形两边之和大于第三边可以判断各个选项中的三天线段是否能组成三角形，本题得以解决．∵2+2＝4，∴2，2，4不能组成三角形，故选项A错误，

∵5+6＜12，∴5，6，12不能组成三角形，故选项B错误，

∵5+2＝7，∴5，7，2不能组成三角形，故选项C错误，

∵6+8＞10，∴6，8，10能组成三角形，故选项D正确，

【点拨】本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边．

2．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）

A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm

C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm

【答案】D．

【解析】依据三角形任意两边之和大于第三边求解即可．

A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；

B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；

C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；

D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．

3.已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）

A．1 B．2 C．8 D．11

【答案】C．

【解析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．

设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，

4＜x＜10，

4.若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣4|+=0，则c的值可能为（）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】A．