2018年高考数学总复习概率及其计算(可编辑修改word版)

第十三章概率与统计本章知识结构图

第一节概率及其计算

考纲解读

1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。

2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。

3.掌握古典概型及其概率计算公式。

4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。

5.了解几何概型的意义。

命题趋势探究

1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。

2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分

值稳定，难度中等或中等以下。

知识点精讲

一、必然事件、不可能事件、随机事件

在一定条件下：

①必然要发生的事件叫必然事件；

②一定不发生的事件叫不可能事件；

③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。

二、概率

在相同条件下，做次重复实验，事件 A 发生次，测得 A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做 A 的概率，记作。对于必然事件 A，；对于不可能事件 A，=0.

三、基本事件和基本事件空间

在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。

四、两个基本概型的概率公式

1、古典概型

条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同

P (A)=A包含基本事件数= card (A)

基本事件总数card (Ω)

2、几何概型

条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集 A，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为A.

P(A)= A 。

Ω

五、互斥事件的概率

1、互斥事件

在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件 A 与事件 B 互斥，则

P (A B)=P (A)+P (B)。

2、对立事件

事件 A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件 A,B 对立，记作B =A 或A =B 。

P (A)= 1-p (A)

。

3、互斥事件与对立事件的联系

对立事件必是互斥事件，即“事件 A，B 对立”是”事件 A，B 互斥“的充分不必要条件。题型归纳及思路提示

题型176 古典概型

思路提示

首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件 A 所包含的基本事件数；最后计算

P (A)=A包含基本事件数

基本事件总数。

例13.1 设平面向量a m=(m,1)，b n=(2, n)，其中m, n ∈{1.2, 3, 4}

(m, n)的所有可能结果；

（1）请列出有序数组

（2）若“使得a m⊥(a m-b n)成立的(m, n)为事件 A，求事件 A 发生的概率。

分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上(m, n)的16 个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。

解析：（1）由m, n ∈{1.2, 3, 4}，有序数组(m, n)的所有可能结果为(1,1)，(1, 2), (1, 3), (1, 4)，(2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)，(3,1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)，(4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4) 共16 个。

（2）因为a m=(m,1)，b n=(2, n)，所以a m-b n=(m - 2,1-n).又a m⊥(a m-b n)，得(m,1)⋅(m -2,1-n)=0，即m2- 2m +1-n = 0，所以n=(m-1)2。故事件A 包含的

6 3 3 2 3 3 2 3 3 4

基本事件有(2,1) 和(3, 4) ，共 2 个，由古典概型概率计算公式得 P ( A ) = 2 = 1 。

16 8

评注：①解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复和遗漏的有效方法，注意在列举时， 必须按照某一顺序来列举；②本题以向量为载体，利用向量的运算和关系等向量的基本知识解决概率问题，是将两类知识结合得较好的一道题目。 变式 1 电子钟一天显示的时间从 00：00 ~ 23：59，每一时间都由 4 个数字组成，则一天中任取一时刻显示的 4 个数字之和为 23 的概率为（ ） 1

1

1

1

A.

B.

C.

D.

180

288

360 480 变式 2 连抛两次骰子的点数分别为 m , n ，记向量 a = (m , n ) ，向量 = (1, -1) ， a 与 的

b b

夹角为，则∈⎛ 0,⎤

的概率是（ ）

2

⎥

⎝ ⎦

5 1 7

5 A.

B. C.

D.

12

2

12

6

例 13.2 （2012 重庆理 15）某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文，数学，外语三门文化课和其它三门艺术课各 1 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概

率为 （用数字作答）。

解析： 6 节课随机安排，共有 A 6 = 720 种不同的方法。课表上相邻两节文化课之间最多间

隔 1 节艺术课，有以下三种情况：①三门文化课间有 2 节艺术课：有 A 3 A 2 A 1 = 72 种方法；

②三门文化课间有 1 节艺术课：有 A 3C 1 A 1 A 3 = 216 种方法；③三门文化课间有 0 节艺术课：

有 A 3 A 4 = 144 种方法。共有 72+216+144=432 种符合题意的安排方法， 故所求概率为 432 3 P = = 。

720 5

变式 1 （2012 上海理 11）三位同学参加跳高，跳远，铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数

表示）。

变式 2 甲乙两人一起去游“2011 西安世园会”，他们约定：各自独立地从 1 到 6 号景点中 任选 4 个进行游览，每个景点参观 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ） 1 1 5 1 A.

B.

C.

D.

36

9

36

6

变式 3 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号 1，2，3，…，18 的 18 名火炬手，若从中 任选 3 人，则选出的 3 名火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为（ ） 1 1 1 1 A.

B.

C.

D.

51

68

306

408