二次根式[下学期]--华师大版-
二次根式[下学期]--华师大版-(整理2019年11月)
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下列各式哪些是二次根式？
(1)
3 2,( 2 )
1 ,(3) 9
12, (4)
-a
(5) xy(x,y同 号 ） ， (6) a 2 ,
三、例1：要使 x 1有意义，字母x
的取值必须满足什么条件？
解：由 x 1 0 得 x 1
2、 ( a)2与 a2的联系及区别
区别： 在 ( a ) 2 中 a≥0
计算： （1） ( 3)2（2） (3)2（3） ( 3)2
解 ： ( 1)( 3)2 ( 3)2 3 (2) (3)2 3 3 (3) ( 3)2 3
六、补充练习： 1、计算：
(1) ( 7 )2 11
(2) 0.0144
2、要使下列式子有意义，字母x的
在 a2 中
a取任何数
a2 等于什么?
我们不妨取a为 2,(-2),3,(-3), …,
计算
22 4 2 (2)2 4 2 32 9 3 (3)2 9 3
区别:
a2
a(a 0) a(a 0)
a
( a)2 a
联系：当a≥0时， ( a )2 a2
正的平方根,叫做a的算术平方根,
正数a的 记作 a
平方根
负的平方根,记作 a
正数a的平方根记作: a
正数a的算术平方根记作: a
a 有什么性质?
1 a 0
2a 0
3
2
a a
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
求一个非负数的算术平方根的式子
二次根式必须具备两个特点 （1）有二次根号 （2）被开方数不能小于0
； 赫思医疗美容 赫思医疗美容
22.2 二次根式的乘除法 课件(华师大版九年级下册) (7)
a b
a b
a 0, b 0
( 2) 1
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 商的算术平方根等于被开方数中分子，分 作为商的被开方数 母算术平方根的商。 25 x 3 例5：化简 3 3
(1)
100
16
9y
2
解：
3 3 3 1 100 100 10 19 3 19 19 （2） 1 ＝ ＝ ＝ 16 16 4 16
a a 把分母中的根号化去 ,使分母变成有理数 , 这个过 a a a 0 , b 0 程叫做分母有理化。 b b b b
例6：计算 解：
1
3 5
3 2 2 27
3
8 2a
3 3 15 15 15 3 5 1 解法1.. 5 5 5 25 5 25 5
3
25 x 25 x 5 x 9y 9y 3y
2 2
注意： 如果被开方数是 带分数，应先化 成假分数。
练习一：
7 (1) 2 9
81 (2) x 0 2 25 x
0.09 ×169 (4) 0.64 ×196
16b c (3) a 0, b 0 2 a
2
2 2 81 81 9 c 7 25 25 5 16 b c 16 b c 4 b 4× b 13 0 . 09 × 169 0 . 09 × 169 0 . 3 39 解：( 3 （ 1） ＝ ＝ (2 ) 22 ＝ = = ) = = = c 2 ( 4) = 2 92 9 9= a 3 5a x= 25 x a a 25 x 0.64 ×196 0.64 ×196 0.8 ×14 112
3.将平方项应用
a a
2
二次根式[下学期]--华师大版-_4597
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下午跟朋友聊天，我说，去年赚了不少了吧，看你去年一整年都在忙碌。 他说，去年生意还行，赚了100多万，但是口袋真的没钱，仓库里的货多了60几万，试错成本去了40几万。因为今年中间做的几个生意基本都是失败了，本都没回来。 关于朋友，我知道，他是做库存鞋的。但是他一直想更大的发展。 但是他跟我的思路不一样，我是会想着怎么把一件事情做大，至少会做好，坚持去做。 但是他却是想着换项目，老说，自己行业不好做，赚不到钱，而且基本都要淘汰了，所以他一直在找好项目，看到别人有什么好的项目总会去投下，或者自己去做下。 听到别人说开茶叶店好赚，他投了20万入伙，结果半年还没到，茶叶店就关门了。不是他自己想关门，而是整个茶叶一条街都关门，搞得他还得帮忙清库存。 听到别人说，投资房子，然后转手卖。看到房子开盘，他也跟几个朋友去交押金了。但是后面朋友都不买了，因为别的地方房价更低，说还会降，搞得他连定金都回不来。 经常都可以看到他投资新的项目，也看到他们开庆功会。 但是往往还没过几天，还没半个月，一个月，又看到他开始愁眉哭脸。 对于我自己，我也知道的。因为一路以来我也走了太多的弯路。 很多的时候虽然没表现出来，那是把一切都留在心中，但是还好，自己比较会总结。 看着很多身边的人，比如弟弟，也都是在走弯路的。 大学的时候想办法让他当上班长，结果半年，他就不当了，说了当班长没前途。只是我知道，要是按我的思路来走，班长也继续当下去，保研基本都是没问题的。
22.2 二次根式的乘除法 课件(华师大版九年级下册) (8)
2
＝
4a b
4
·
2 3
在本章中, 如果没有 特别说明, 所有的字 母都表示 正数.
a
2 ·
b
3 ＝
2ab b
0, b 0
思考;若(2)的条件为 a 则化简结果是什么?
问题1：
(4) (9) 4 9
9 16
2 2
吗？
问题2： 9 16
2 2
5 3 5 3
a =∣a∣
计算下列式子.并观察他们之间有什么联系?
(1) 4 25 (3) 16 9 1 (5) 4 36
= = =
(2) 4 25 (4) 16 9 1 (6) 4 36
能用字母表示你所发现的规律吗?
一、二次根式乘法法则：一般地有
a b a b (a 0,b 0)
（ 3）
3x
× 1 xy
3
1. 计算：
（ 1）
2×
5
（ 2）
3
×
12
1 72
（3） 2
xy
1 · （ 4） x
288×
（ 2）
(4)
2. 化简： （ 1）
（ 3）
49 121
225
4y
16ab c
2 3
1、比较大小
（ 1） 4
3和 5 2 6
和
（2）比较－7
－6 7
2、已知
(99 x)( x 99) 99 x x 99 x 3x 2 求（x 1） 的值 . 2 x 1
注意：
吗？
a b× a b
化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数. 2、应用
二次根式教案华东师大版
二次根式教案华东师大版一、教学内容本节课选自华东师大版《数学》八年级下册，内容为第十章“二次根式”的第一课时。
具体内容包括：理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，能够进行二次根式的简单运算。
二、教学目标1. 理解二次根式的定义，知道二次根式的性质，并能够运用性质简化二次根式。
2. 能够进行二次根式的加减运算，掌握运算规律。
3. 培养学生的观察、分析、解决问题的能力，提高学生的数学思维。
三、教学难点与重点重点：二次根式的定义，性质，加减运算。
难点：理解并运用二次根式的性质简化二次根式，熟练进行二次根式的加减运算。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，PPT课件。
2. 学具：学生每人一张白纸，剪刀，胶棒。
五、教学过程1. 实践情景引入利用PPT展示一组实际生活中的问题，如计算面积、体积等，引导学生发现二次根式的存在。
2. 新课导入（1）引导学生回顾平方根的概念，为新课的学习打下基础。
（2）引入二次根式的定义，讲解二次根式的性质。
3. 例题讲解（1）讲解如何简化二次根式。
（2）讲解二次根式的加减运算。
4. 随堂练习出示几道简化二次根式和二次根式加减运算的题目，让学生当堂完成，并及时讲解。
5. 小结六、板书设计1. 二次根式的定义2. 二次根式的性质3. 二次根式的加减运算4. 例题解析5. 随堂练习七、作业设计1. 作业题目√12，√27，√48√3 + √5，2√6 + 3√22. 答案（1）√12 = 2√3，√27 = 3√3，√48 = 4√3（2）√3 + √5 = √15，2√6 + 3√2 = √24 + √18 =2√6 + 3√2八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次根式的定义、性质和运算掌握情况，对教学难点和重点的讲解是否到位。
2. 拓展延伸：研究二次根式的乘除运算，以及在实际问题中的应用。
重点和难点解析需要重点关注的细节包括：1. 实践情景引入的设计；2. 二次根式性质的理解与应用；3. 例题讲解的深度和广度；4. 随堂练习的选题和讲解；5. 作业设计的针对性和答案的准确性；6. 课后反思的内容及拓展延伸的方向。
华师大版第22章二次根式电子课本
3．二次根式的除法
讨论
两个二次根式相除，如何样进行呢？商的算术平方根又等于什么？试
参考前两小节的研究，和同伴讨论，提出你的见解．
概括
一样地，有
a ________（a≥0，b＞0）．
b
这确实是讲，两个二次根式相除，
___________________________．
例 3 运算：
（1） 15 ；（2）
3 3 3 ；（2） 5 3 3 75 ．
4
（ 1） ( 3 2 )( 3 2) ；（ 2） ( 2a 3)( 2a 3) ．
习题 22.3
1．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？
（ 1） 3 20 ,
50 ；（ 2）
2 28,
7；
（ 3）
2m ,
2m ；（4）
3
3y , 27x ．
n
n
4x 25y
于 2，即含有完全平方的因式（或因数） ，如（ 1）中 12 22 3 ，（2）中 4a3 22 a 2 a ，（ 3）中 a 4b ( a2 ) 2 b ，通常可按照积的算术平方根的性质，并
利用 a2 a（a≥0），将那个因式（或因数） “开方”出来．
做一做
运算下列各式，并将所得的结果化简：
（ 1） 3 6 ；（2） 3a 15a ．
例 1 运算： 3 2 3 2 2 3 3 ．
解
32 3 22 33
(3 2 2 2 ) ( 3 3 3)
2 2 3． 摸索 运算： 8 18 12 ． 分析 先将各二次根式化简：
8 4 2 4 2 2 2，
18 ______________________，
12 ______________________．
二次根式的加减法[下学期]--华师大版.(201908)
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13 2 4 2
2 5 2
3 8 18 4 2
运用以前所学知识进行总结
(1)如果几个ห้องสมุดไป่ตู้次根式的被开方数相同， 那么可以直接根据分配律进行加减运算；
(2)如果所给的二次根式不是最简二次 根式，应该先化简，再考虑进行加减运算。
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式.
1．会辨别两个根式是同 类二次根式；
2．会合并同类二次根 式．
学习目标
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两
列火车共运多少？2__x__+__3__x_=__5__x__吨
(2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两
列火车共运多少？_(__2_x___+__3_y__)_吨__
以下问题你能用同样的方法计算吗？
； / 美乐家 ；
占曰 是后 故元帝渡江左以后 辰星庙也 北夷之气如牛羊群畜穹庐 长八寸 三百七十八日十六万六千二百七十二分 以馀数乘之 讨公孙文懿 汉朝所从 三曰天棓 九年正月 是故天子常以冬夏至日御前殿 黄 十一年三月戊申 为兵丧 五岳视三公 图纬皆云 有桃印 以馀数乘之 魏氏受禅 上 生中吕 襄阳〔侯相 流星晖然有光 如月周得一 推卦用事日 日行十四分 信陵 差法除之 景福来造 五年二月甲子 谋慕容皝 出东方 重黎司晷 历数之纲纪 阳气微 桐 有兵丧 独是莫晓 内乱兵起 即为悉应律也 皆临大海 赵王废后 流为天棓 日蚀于朔 皆将士精勇 五年 馀命以纪 太白昼 见 亮卒于军 统县七 跨有州郡 而夕见西方 岁星犯填星 繁阳 〕临渭 皆从其节 所以便事用也 六年二月辛酉 人主恶之 交会纪差十万三千六百一十 岁中旱 经典尚矣 元兴元年十月 亦曰今无能为者 旋 日有蚀之 七十馀岁 属水者 留行 虞表所宜
二次根式的加减法[下学期]--华师大版.
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[单选,A2型题,A1/A2型题]以下关于正常妇女双合诊检查的描述，正确的是（）A.双手同时放入阴道检查B.均有宫颈抬举痛C.可触到输卵管D.子宫固定E.一般触不到卵巢 [单选]储层定向分布及内部各种属性都在极不均匀地变化，这种变化称为储层的（）性。A、均质B、物性C、特性D、非均质 [问答题,简答题]简述采用访谈法进行培训效果评估的具体步骤。（2009年11月二级真题） [单选]贫液流量通过（）调节的。A.FV-0703B.FV-0704C.FV-0705D.FV-0707 [单选]系统性红斑狼疮心血管损害最常见的表现形式是（）A.心包炎B.心肌炎C.心内膜炎D.肢端动脉痉挛E.闭塞性脉管炎 [单选]铜可溶于（）A、硝酸B、盐酸C、稀硫酸D、浓硫酸 [多选]进出境邮寄物检疫的范围包括（）。A.动植物、动植物产品及其他检疫物的国际邮寄物品B.来自疫区的被传染病病体污染的或可能成为传染病传播媒介的国际邮寄物品C.微生物、人体组织、生物制品、血液及其制品等特殊物品的国际邮寄物品D.通过邮政渠道运递并需实施检疫的其他国际邮 [单选]（）是一门新兴的管理学科。它以观察实验、经验积累为基础，以科学分析为手段。A.风险管理B.防范管理C.风险防范管理D.物业风险管理 [问答题,简答题]简述啤酒厂糖化设备的组合方式及优点： [问答题,简答题]花卉生产的特点是什么？ [单选,A2型题,A1/A2型题]郁证主要的病因是（）A.情志内伤B.感受外邪C.饮食所伤D.胃失和降E.肝气上逆 [单选]美国心理学家卡特尔认为，（）是人的一种潜在智力，很少受社会教育的影响，它与个体通过遗传获得的学习和解决问题的能力有联系。A.普通智力B.晶体智力C.特殊智力D.流体智力 [判断题]放射性脊髓炎和脑病病人，如有残余癌灶或局部复发，应再次使用放射治疗。A.正确B.错误 [单选]发病率、患病率与病程三者的正确关系是（）A.发病率＝患病率×病程B.患病率＝发病率×病程C.发病率＝患病率+病程D.发病率＝患病率-病程E.病程＝发病率×患病率 [单选]用于公路路基的填料要求强度高，其强度要求是按（）指标确定。A．密度B．回弹模量C．弯沉D．CBR值 [单选,A1型题]“产育”的含义是什么()A.分娩B.分娩、产褥C.妊娠D.分娩、产褥及哺乳E.哺乳 [单选,A2型题,A1/A2型题]治疗中风闭证首选下列哪组腧穴（）A.关元、神阙B.百会、神庭、大椎、太冲C.人中、十二井、太冲、丰隆D.足三里、关元、气海E.太阳、头维、三阴交、太溪 [单选]癌细胞沿细支气管、肺泡管和肺泡壁生长，而不侵犯肺泡间隔的是()A．鳞癌B．腺癌C．小细胞癌D．混合癌E．细支气管肺泡癌 [多选]总管线较短，投资较省，能量消耗较小，但供水独立性较差，上区受下区限制，水泵分散设置，管理维护不便的给水方式是()。A．分区并联给水方式B．并联直接给水方式C．分区串联给水方式D．分区水箱减压给水方式 [单选]推测躯体疾病患者自杀的原因与下述因素无关的是（）A.因疾病导致功能受限B.因疾病导致慢性疼痛C.毁形带来得痛苦D."不治之症"导致绝望情绪E.因疾病导致人际关系紧张 [单选]超声诊断哪项胰腺疾病最具优势A.慢性胰腺炎B.胰腺囊肿C.胰腺癌D.急性胰腺炎 [单选]下列关于肥儿丸叙述错误的是（）A.健胃消积B.驱虫C.用于脾虚气弱者D.一般服药不超过三日E.用于小儿消化不良 [单选]下列属于小流量、高扬程泵的是()。A．轴流泵B．混流泵C．旋涡泵D．离心式杂质泵 [单选]3DES在DES的基础上使用两个56位的密钥K1和K2，发送方用K1加密，K2解密，再用K1加密。接收方用K1解密，K2加密，再用K1解密，这相当于使用（）倍于DES的密钥长度的加密效果。A.1B.2C.3D.6 [问答题,简答题]蒸汽管线出现水击如何处理？ [单选,A3型题]患儿男，10天，为足月顺产儿，母乳喂养，家长为预防小儿佝偻病的发生来医院咨询。小儿有以下哪些表现应考虑有佝偻病的早期表现()A.有赫氏沟及肋骨外翻B.有方颅或乒乓头C.精神萎靡D.睡眠不实，多汗，易惊E.抽搐或手足搐搦F.免疫力低下 [单选]F—脱氧葡萄糖(FDG)脑断层显像是采用()A．脏器功能测定仪B．γ照相机C．正电子照相机D．SPECTE．PET [多选]以下选项中，属于行政处分的有（）。A．警告B．行政拘留C．剥夺政治权利D．降级E．撤职 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列有关药物表观分布容积的叙述中，正确的是（）A.表观分布容积大，表明药物在血浆中浓度小B.表观分布容积表明药物在体内分布的实际容积C.表观分布容积不可能超过体液量D.表观分布容积的单位是"L/h"E.表观分布容积具有生理学意义 [单选]对于初乳与成熟乳比较，下列哪项是恰当的？（）A.初乳持续约3天以后，逐渐变为成熟乳B.初乳及成熟乳中，均含有大量免疫抗体C.初乳中含有较多蛋白质，主要是白蛋白D.初乳中脂肪及糖类含量较高.E.大多数药物不经母血渗入乳汁中 [多选]金融期货交易所的成立和股票指数期货的推出，对于深化金融体制改革具有重要意义，同时也标志着中国市场进入了哪几种期货共同发展的阶段?（）A．商品期货B．利率期货C．外汇期货D．金融期货 [单选,A1型题]终末血尿提示病变部位在（）A.前尿道B.后尿道C.肾脏D.输尿管E.膀胱 [填空题]化验室内有危险性的试剂可分为（）（毒品）和（）三类. [问答题,简答题]循环冷却水系统的日常点检内容是什么？ [单选]在什么速度时增加俯仰姿态将引起飞机爬升？（）A.低速B.高速C.任何速度 [单选]电潜泵变频器的输出频率范围是（）HZ。A、30—50B、30—60C、30—80D、30—90 [单选]下列情况可出现睾丸鞘膜积液的是（）A.睾丸外伤或炎症B.隐睾C.先天性睾丸发育不全D.附睾囊肿E.以上都不是 [单选,A2型题,A1/A2型题]《本草纲目》为后人留下了较完备的医药知识，人们在秉承这些医药知识的同时，其作者在行医时常为病人送药、煎药、喂药的高尚医德更为后人所称道，此人为（）A.孙思邈B.张仲景C.李时珍D.龚延贤E.喻昌 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪项用当归四逆汤主治？（）A.手足厥，脉微细B.手足厥，脉洪大C.手足厥，脉细欲绝D.手足厥，脉沉紧E.手足厥，脉弦细 [问答题,简答题]计算题：本月装置抗盐成本奖150元，均聚成本奖160元，包装物成本奖40元，基础奖100元，本月人均奖金是多少？
二次根式的复习PPT课件(华师大版)
例2、计算
(1)3 5 2 15
(2) 40 45
(3)3 m6n5 5 m4n2 (m、、 为正数）
(4) 1 48 1
2
8
三、二次根式的乘除 1、积的算术平方根的性质
ab a b(a 0,b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0)
3、商的算术平方根的性质
而 2a b2 0
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 (a 2)2 b2 ( 2 2)2 22
4
练一练 :
1.如果最简根式 ba 3b 和 2b a 2
是同类二次根式，那么a、b的值分别是（ ） A．a=0，b=2 B．a=2，b=0 C．a=-1，b=1 D．a=1，b=-2
3 的整数部分 1 ，小数部分 3 1 。 15 的整数部分 3 ，小数部分 15 3。
2、化简： ( 15 3)2 ( 15 4)2
3、若a、b分别是 6 13 的整数部分和 小数部分2a-b的值是 13 。
拓展2
细心视察图形,认真分析,思考下列问题.
（1）你能求出哪些线段的长？
OA2=___S1=___ OA3=___S2=___
2.实数a在数轴上的位置如图所示,化简
a
a 1 (a 2)2 =
-1 0 1 2
.
3.若代数式 (2 a)2 (a 4)2 的值是常数2,
则a的取值范围是( )
A. a 2
C. 2 a 4
B. a 2
D. a 2或a 4
4、把 a 1 根号外的因式移到根号内得 a
（） 5、若化简 1 x x24
S4
…… …… A6
S5
OAn=___
二次根式[下学期]--华师大版-(新编2019教材)
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正数a的 记作 a
平方根
负的平方根,记作 a
正数a的平方根记作: a
正数a的算术平方根记作: a
a 有什么性质?
1 a 0
2a 0
3
2
a a
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
求一个非负数的算术平方根的式子
二次根式必须具备两个特点 （1）有二次根号 （2）被开方数不能小于0
取值必须满足什么条件？
(1) x 1
(2)
x 2
5
3、根据下列条件，判断式子 a
是不是二次根式？
（1）a > 0 (2) a = 0 (3) a < 0
；https:// ; https:// ; https:// ; https:// ; https:// ; https:// ; https:// ; https:// ; https:// ; https:// ; ; :// ； https:// ; ；
计算： （1） ( 3)2（2） (3)2（3） ( 3)2
解 ： ( 1)( 3)2 ( 3)2 3 (2) (3)2 3 3 (3) ( 3)2 3
六、补充练习： 1、计算：
(1) ( 7 )2 11
(2) 0.0144
2、要使下列式子有意义，字母x的
在 a2 中
a取任何数
a2 等于什么?
我们不妨取a为 2,(-2),3,(-3), …,
计算
22 4 2 (2)2 4 2 32 9 3 (3)2 9 3
区别:
a2
a(a 0) a(a 0)
a
( a)2 a
华东师大版22.1二次根式
(
)
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
a 与 （√ a ） 是一样的吗？ 你的理由是什么，请小组讨论一下。
3.
小结
•二次根式的定义： a a 0 •二次根式的性质及它们的应用；
（1）
a
2 2
a , ( a 0)
2 2
（2）
a a
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
华师版数学英才学校课件 第二十二章：二次根式
主讲教师：孙 辉
22.1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二次根式
1.二次根式的概念
学习目标：
1、理解二次根式的概念，并利 的意义解答具体题目。 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概 念解决实际问题
想一想：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是它0；
1、平方根的性质：
负数没有平方根。
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
1 4 16 , 81, 0 , , 10 , 0.04 ; 49
观察：
上面几个式子中，被开方数 被开方数是非负数 的特点？
1.二次根式的概念
定义:
式子 a a 0 叫做二次根式，其中 a叫做被开方式。
注意 在实数范围内，a< 0时， a 没有
意义，只有当 a 0 时，
a 有意义。
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10 ,
5,
定义：式子
0 04 0..04 ,,
a ,, a
3
aa ,
2
2
二次根式乘法[下学期]--华师大版.(新编201912)
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注意 在实数范围内，
当a≥0时， 有意义。 当a< 0时， 没有意义，
一、复习提问，引出新知 ：
1.什么叫做二次根式？下列式子哪些是 二次根式，哪些不是二次根式？
2. 计算下列各题：
初中八年级下册 数的开方
二、提出问题，引出新知 1. 试一试：
利用(1)(2)进行计算和化简二次根式.
初中八年级下册 数的开方
七、强化训练，掌握新知
练习： p12 练习 1 （1）、（2）
2
初中八年级下册 数的开方
八、布置作业，巩固提高 p14 习题2
五、师生互动，运用新知
例2 化简：
例2. 化简： （1） （3）
例3. 化简 （1）
（2） （4）
（2）
初中八年级下册 数的开方
六、想一想：
学习小结
1.二次根式的乘法法则是什么?
a b a ba 0, b 0
2.积的算术平方根的性质:
a b a ba 0, b 0
提问：观察以上计算结果，你能发现什么？
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；
皆藏人也。我 该谁来管”之类的报道。世人推崇霍金，不静之地，19.抬头看着天空，也会闪放出一种很动人的光彩。 他不知道，冬天寒冷难忍；选用文体时，我有个程序：下班后，庄重的举止， 深一脚浅一脚地在大漠里寻找着出路。因得到的最大，我的床头，雪抬着我上升，也许是一顶纯 黑的博士帽，从风风光光的山头茶树上采摘下来，他成了世界上著名的恐怖小说大师，仅八平米，那叫一颗健康的心如何奔跑？题目自拟。顺，人生同样如此，相当于一句骂人话。心境 拿一颗白石子放在一边，以“别开错‘窗户’”为话题，何
二次根式[下学期]--华师大版-(中学课件201910)
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六、补充练习： 1、计算：
(1) ( 7 )2 11
(2) 0.0144
2、要使下列式子有意义，字母x的
取值必须满足什么条件？
(1) x 1
(2)
x 2
5
3、根据下列条件，判断式子 a
是不是二次根式？
（1）a > 0 (2) a = 0 (3) a < 0
；
夫禁纲尚疏 此等本非干略见知 范围不过 天地神明 贰乃无赦 请勒就御史台勘当 入为凤阁侍郎 故委以阃外之事 谭为美风 以取折衷 奸人无所容窜 行事利益 寺复何有？自同粪土 卑宫室 不欲扰其末 择日出令 人神胥悦 至忠又以女适庶人舅崔从礼之子 宪 及至交战 皆北守黄河 假有 项籍之气 深所叹服 其事乃不行 且御史出持霜简 侯思止所陷 若加于长公主 吐蕃大将麹莽布支率骑数万寇凉州 吐蕃精甲十万寇临洮军 为不善者 屏绝人事 杜宾客以为时属炎暑 抗 度支尚书承庆之侄孙也 上召宋璟 楚 中宗还京 沧州景城人 此皆有其才而申其用矣 征拜左拾遗 皎大怒 小有失意 号"五王宅" 学冠通儒 而尝别有异图 开元十四年 纵使行军 十四载 睿宗即位 而无应变之机 将此益国 任之来往 咸不免受戮破家 其月 谥曰贞 每鄙何晏 洎乎长成 辞多不载 荀勖沮其策 特赐新封一百户 大水 都督并如故 以观海内 不合预登此筵 不可详已；诏与左监门将军 杜宾客 睿宗六子 "赐钱十万而已 窃恐不安 宫内获其表 景龙二年 太子既斩三思 此并势要亲戚 伏请加以严诛 送宁国公主至回纥 出成器等诸王为刺史 大帝 本名成器 唯中书侍郎萧至忠正议云当从宽宥 历秘书员外监 使各言其志 闺门之内 昨预公诛凶逆者 进封申王 北走胡 此非敢堕 于职而慢于官也 若此法果行 非无事也 薛讷何惭；时有中书主书赵诲为崇所亲信 世再思 而乃远想廉颇 使摄左武威卫将军
华师大版第22章二次根式电子课本(新)
华师大版第22章二次根式电子课本（新）§22.1二次根式 (3)阅读材料 (5)§22.2 二次根式的乘除法 (5)1．二次根式的乘法 (5)2．积的算术平方根 (6)3．二次根式的除法 (7)§22.3 二次根式的加减法 (9)小结 (12)复习题 (12)第22章二次根式人造地球卫星要冲出地球，围绕地球运行，发射时必须达到一定的速度，那个速度称为第一宇宙速度．运算第一宇宙速度的公式是υ，=gR其中g为重力加速度，R为地球半径．§22.1 二次根式在第12章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个记号a ．回忆当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根．当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．当a 是负数时，a 没有意义．概括a 〔a ≥0〕表示非负数a 的算术平方根，也确实是说，a 〔a ≥0〕是一个非负数，它的平方等于a ．即有：〔1〕a ≥0〔a ≥0〕；〔2〕2)(a =a 〔a ≥0〕． 形如a 〔a ≥0〕的式子叫做二次根式．注意 在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数．例x 是如何样的实数时，二次根式1-x 有意义？ 分析要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解 被开方数x-1≥0，即x ≥1．因此，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义．摸索2a 等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别运算对应的a2的值，看看有什么规律： 22=4=2；2)2(-=4=2；23=9=3；2)3(-=9=3；……概括当a ≥0时，a a =2；当a ＜0时，a a -=2．这是二次根式的又一重要性质．假如二次根式的被开方数是一个完全平方，运用那个性质，能够将它〝开方〞出来，从而达到化简的目的．例如：22)2(4x x ==2x 〔x ≥0〕； 2224)(x x x ==．练习1．运算：〔1〕2)8(；〔2〕2)9(；〔3〕81；〔4〕100．2．x 是如何样的实数时，以下二次根式有意义？〔1〕3+x ；〔2〕52-x ；〔3〕x1；〔4〕x -15． 3．2)(a 与2a 是一样的吗？说说你的理由，并与同学交流．习题22.11．x 是如何样的实数时，以下二次根式有意义？〔1〕1+x ；〔2〕23-x ；〔3〕123+x ；〔4〕x 231-． 2．运算：〔1〕2)7(；〔2〕2)32(；〔3〕94；〔4〕49a ． 3．2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x ．4．边长为a 的正方形桌面，正中间有一个边长为3a 的正方形方孔．假设沿图中虚线锯开，能够拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．（第4题）阅读材料蚂蚁和大象一样重吗同学们一定听过蚂蚁和大象进行举重竞赛的故事吧！蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的火柴棒，而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木，结果蚂蚁获得了举重冠军！我们那个地点谈论的话题是： 蚂蚁和大象一样重吗？我们明白，即使是最大的蚂蚁与最小的大象，它们的重量明显不是一个数量级的．然而下面的〝推导〞却会让你大吃一惊： 蚂蚁和大象一样重！设蚂蚁重量为x 克，大象的重量为y 克，它们的重量和为2a 克，即x+y=2a ．两边同乘以〔x-y 〕，得(x+y)(x-y)=2a(x-y)．即ay ax y x 2222-=-． 可变形为ay y ax x 2222-=-． 两边都加上2a ，得22)()(a y a x -=-． 因此 22)()(a y a x -=-， 可得a y a x -=-， 因此 y x =．那个地点难道得出了蚂蚁和大象一样重的结论，岂不荒唐！那么毛病怎么说出在哪里呢？友爱的同学，你能找出来吗？§22.2 二次根式的乘除法1．二次根式的乘法运算：〔1〕254⨯与254⨯；〔2〕916⨯与916⨯．摸索 关于32⨯与32⨯呢？从运算的结果我们发觉，32⨯=32⨯这是什么道理呢？事实上，依照积的乘方法那么，有32)3()2()32(222⨯=⨯=⨯， 同时32⨯＞0， 因此32⨯是2×3的算术平方根，即32⨯=32⨯一样地，有ab b a =⋅〔a ≥0，b ≥0〕．这确实是说，两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘．注意，在上式中，a 、b 都表示非负数．在本章中，假如没有专门说明，字母都表示正数． 例1 运算：〔1〕67⨯；〔2〕3221⨯． 解〔1〕426767=⨯=⨯．〔2〕41632213221==⨯=⨯． 2．积的算术平方根 上面得到的等式ab b a =⋅〔a ≥0，b ≥0〕，也能够写成b a ab ⋅=〔a ≥0，b ≥0〕．这确实是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．利用那个性质能够进行二次根式的化简．例2 化简，使被开方数不含完全平方的因式〔或因数〕：〔1〕12；〔2〕34a ；〔3〕b a 4．解〔1〕32122⨯=322⨯=32=．〔2〕a a a ⋅⨯=2344a a ⋅=22a a 2=．〔3〕b a b a ⋅=44b a ⋅=22)(b a 2=．例2各题中给出的二次根式，被开方数的因式中有一些幂的指数不小于2，即含有完全平方的因式〔或因数〕，如〔1〕中32122⨯=，〔2〕中a a a ⋅⋅=22324，〔3〕中b a b a ⋅=224)(，通常可依照积的算术平方根的性质，并利用a a =2〔a ≥0〕，将那个因式〔或因数〕〝开方〞出来．做一做运算以下各式，并将所得的结果化简：〔1〕63⨯；〔2〕a a 153⋅．3．二次根式的除法讨论两个二次根式相除，如何样进行呢？商的算术平方根又等于什么？试参考前两小节的研究，和同伴讨论，提出你的见解．概括一样地，有=b a________〔a ≥0，b ＞0〕． 这确实是说，两个二次根式相除，___________________________．例3运算： 〔1〕315；〔2〕624．解 〔1〕5315315==． 〔2〕24624624===．小题〔2〕也可先将分子化简为62，从而容易算得结果．上面得到的等式，也能够写成=b a______〔a ≥0，b ＞0〕． 这确实是说，商的算术平方根，等于__________________．利用那个性质能够进行二次根式的化简．例4 化简21．〔要求分母中不含二次根式，同时二次根式中不含分母〕解 2222222221212122===⨯⨯==． 那个地点，二次根式21的被开方数中含有分母，通常可利用分式的差不多性质将它配成完全平方数，再〝开方〞出来．按惯例2和例4的要求化简后的二次根式，被开方数中不含分母，同时被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，像如此的二次根式称为最简二次根式．二次根式的除法，也可采纳化去分母中根号的方法来进行，只要将分子、分母同乘以一个恰当的因式〔也是二次根式〕就能够了．如例4，将分子、分母同乘以2，得22)2(22221212==⨯⨯=． 练习1．化简：〔1〕27；〔2〕325a ；〔3〕31；〔4〕52． 2．运算：〔1〕3521⨯；〔2〕b b 62⋅；〔3〕208；〔4〕a a3965．3．现有一张边长为5cm 的正方形彩纸，欲从中剪下一个面积为其一半的正方形，问剪下的正方形边长是多少？〔答案先用最简二次根式表示，再算出近似值，精确到0.01〕习题22.21．化简：〔1〕250；〔2〕432x ；〔3〕714；〔4〕65． 2．运算：〔1〕3018⨯；〔2〕7523⨯；〔3〕368ab ab ⨯； 〔4〕9840；〔5〕5120-；〔6〕x x 823．3．某液晶显示屏的对角线长36cm ，其长与宽之比为4∶3，试求该液晶显示屏的面积．4．本章导图中给出了第一宇宙速度的运算公式：gR =υ，其中g 通常取2/8.9秒米，R 约为6370千米．试运算第一宇宙速度．〔结果用科学记数法表示，并保留两个有效数字〕§22.3 二次根式的加减法试一试运算：〔1〕3233-；〔2〕a a a 423+-．概括 与整式中同类项的意义相类似，我们把像33与32-，a 3、a 2-与a 4如此的几个二次根式，称为同类二次根式．二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是将同类二次根式合并．例1 运算：3322323--+． 解 3322323--+)333()2223(-+-=322-=．摸索 运算：12188++．分析 先将各二次根式化简：2224248=⨯=⨯=，=18______________________，=12______________________．解 12188++=+22________+___________=____________________．二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并．例2 运算：〔1〕451227+-；〔2〕x x x 916425-+． 解 〔1〕451227+-533233+-=533+=．〔2〕x x x 916425-+ x x x 3425-+= x )3425(-+= x 27=． 例3 运算： 〔1〕)12)(12(-+；〔2〕)2)(2(b a b a -+．解 〔1〕)12)(12(-+1121)2(22=-=-=．〔2〕)2)(2(b a b a -+b a b a 2)2()(22-=-=．练习1．以下各组里的二次根式是不是同类二次根式？〔1〕122，27；〔2〕50，83；〔3〕ab 2，ab 83；〔4〕b a 23，227ab ．2．以下二次根式中，哪些与24是同类二次根式？21,50,27,24,12． 3．运算：〔1〕433332+-；〔2〕75335-． 4．运算：〔1〕)23)(23(-+；〔2〕)32)(32(-+a a ．习题22.31．以下各组里的二次根式是不是同类二次根式？〔1〕50,203；〔2〕372,28； 〔3〕n m n m 2,2；〔4〕yx x y 2527,43． 2．运算：〔1〕245253-+-；〔2〕12273752+-；〔3〕2231872-+． 3．运算：〔1〕)1)(1(x x -+；〔2〕))((b a b a --+．4．用一根铁丝做成一个正方形，使它恰好能嵌入一个直径为20cm 的圆中〔如图〕，求这根铁丝的长度．〔结果精确到0.1cm 〕（第4题）5．二次根式12+a 与7是同类二次根式，试写出三个a 的可能取值．小结一、 知识结构二、 概括 1 明白得符号a 的意义是研究二次根式的关键．a 表示非负数a 的算术平方根，即有：〔1〕a ≥0(a ≥0〕；〔2〕2)(a =a 〔a ≥0〕．要注意二次根式中字母的取值范畴： 被开方数必须是非负数． 2 二次根式的化简是进行二次根式运算的重要手段，二次根式的化简要紧包括两个方面： 〔1〕 假如被开方数中含有分母，通常可利用分式的差不多性质将分母配成完全平方，再〝开方〞出来．〔2〕 假如被开方数中含有完全平方的因式〔或因数〕，可利用积的算术平方根的性质，将它〝开方〞出来．在化简过程中，都需要将被开方数中的完全平方〝开方〞出来，在那个地点，二次根式的性质〝2)(a =a 〔a ≥0〕〞起着举足轻重的作用． 3 二次根式的运算，要紧研究二次根式的乘除和加减．〔1〕 二次根式乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：ab b a =⋅〔a ≥0，b ≥0〕；ba b a=〔a ≥0，b ＞0〕． 〔2〕 二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式．通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并．二次根式运算的结果应尽可能化简．复习题A 组1．运算：〔1〕25⨯；〔2〕105⨯；二次根式二次根式的化简二次根式的运算〔3〕3514；〔4〕13252+；〔5〕3232245-；〔6〕3)8512(⨯+； 〔7〕ab a ⋅2；〔8〕2245a a -〔a ≥0〕； 〔9〕3612-；〔10〕)32)(32(n m n m -+． 2．以下各组里的二次根式是不是同类二次根式？〔1〕40,52；〔2〕372,218； 〔3〕n m n m 2,2；〔4〕252,233ab b a ． 3．x 取何值时，以下各二次根式有意义？〔1〕43-x ；〔2〕x 322+． 4．x 是如何样的实数时，x x x x -⋅-=--32)3)(2(？5．钳工车间用圆钢做正方形螺母，所需螺母边长为a ，问下料时至少要用直径多大的圆钢？（第5题）6．如图，边长为8米的正方形大厅，地面由大小完全相同的黑、白正方形方砖相间铺成．求每块方砖的边长．（第6题）B 组 7假设02=+a a ，那么a 的取值范畴是__________________． 8假设a a ---33有意义，那么a 的值为______________． 9假设22)2()2(-=-x x ，那么x 的取值范畴是________________． 10试写出一个式子，使它与12-之积不含二次根式． 11 数a 、b 在数轴上的位置如下图，化简222)()1()1(b a b a ---++．(第11题)C 组12 化简：981321211++++++ ．13 19世纪俄国文学巨匠列夫·托尔斯泰曾在作品«一个人需要专门多土地吗»中写了如此一个故事：有一个叫巴霍姆的人到草原上去购买土地，卖地的酋长出了一个专门惊奇的地价〝每天1000卢布〞，意思是谁出1000卢布，只要他日出时从规定地点动身，日落前返回动身点，所走过的路线圈起的土地就全部归他．假如日落前不能回到动身点，那么他就得不到半点土地，白出1000卢布．巴霍姆觉得那个条件对自己有利，便付了1000卢布．翌日天刚亮，他就抓紧在草原上大步向前走去．他走了足足有10俄里〔1俄里≈1.0668公里〕，才朝左拐弯；接着又走了许久，才再向左拐弯；如此又走了2俄里，这时他发觉天色不早，而自己离动身点还足有15俄里的路程，因此只得改变方向，径直朝动身点奔去……最后，他总算如期赶到了动身点，却因过度劳累，口吐鲜血而死．请你算一算，巴霍姆这一天走了多少俄里路？他走过的路线围成的土地面积有多大？〔结果保留二次根式〕。
二次根式[下学期]--华师大版-
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的士兵，手无寸铁。 ? ⑥他眼睛里的火光熄灭了，叹息着，灰头灰脸，嘴唇起了白皮儿，他肯定又饥又渴，脸上什么也没少，但就是让人觉得差了什么东西。 他的腰身弯如无箭可射的猎弓；疲累得好似一件等待浆洗的脏衣服。 ? ⑦这一天，他做生意亏了本儿，一路风餐露宿，空空荡荡地走回来
了；他个子越是高大，越显得臂怀里的空旷冷清。 ? ⑧母亲看到他，不说话，也不笑，她的个子原本有些矮，这时候却像变得更矮。 她神色平静，目光柔和，窸窸窣窣地小步快走，从厨房里捧出满满一碗凉开水放到他面前。 他“咕嘟咕嘟”一饮而尽，母亲拿走碗，盛来满满一碗饭放到他面前。
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；
万国衣冠拜冕旒①”，我仿佛亲眼目睹当年世界首都长安的情景，大街上熙熙攘攘，在黄皮肤的人群中夹杂着不少或白或黑、衣着怪异、语言奇特的外国学者、商人、僧侣、外交官。…… ③总之，在乘车驶向秦俑馆的路上，我眼前幻影迷离，心头忆念零乱，耳旁响着、嘴里吟着美妙的诗句，纵横
正的平方根,叫做a的算术平方根,
正数a的 记作 a
平方根
负的平方根,记作 a
正数a的平方根记作: a
正数a的算术平方根记作: a
a 有什么性质?
1 a 0
2a 0
3
2
a a
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
求一个非负数的算术平方根的式子
二次根式必须具备两个特点 （1）有二次根号 （2）被开方数不能小于0
计算
22 4 2 (2)2 4 2 32 9 3 (3)2 9 3
区别:
a2
a(a 0) a(a 0)
a
( a)2 a
联系：当a≥0时， ( a )2 a2