第七讲 消元问题
六年级数学上册 第7讲：列方程解应用题一(教师版)(人教版)
第七讲列方程解应用题（一）在小学数学中，列方程解应用题与用算术方法解应用题是有密切联系的。
它们都是以四则运算和常见的数量关系为基础，通过分析题目里的数量关系，根据四则运算的意义列式解答的。
但是，两种解答方法的解题思路却不同。
由于数量关系的多样性和叙述方式的不同，用算术方法解答应用题，时常要用逆向思考，列式比较困难，解法的变化也比较多。
用列方程的方法解答应用题，由于引进了字母表示未知数，可以使未知数直接参与运算，使题目中的数量关系更加清楚，把未知数当成已知数来用，使我们很容易理清数量关系，正确解决问题。
特别是在解比较复杂的或有特殊解法的应用题时，用方程往往比较容易。
1.基本概念：（1）像4x+2=9这样的等式，只含有一个未知数x，而且未知数x的指数为1的方程叫做一元一次方程；（2）像2x+y=8这样的等式，含有两个未知数x、y，而且未知数的指数都为1的方程叫做二元一次方程；把两个二元一次方程用“﹛”写在一起，就组成了一个二元一次方程组；（3）如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个方程才能求出唯一解.2.列方程解应用题的一般步骤是：①审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系；②合理设未知数x，设未知数的方法有两种：直接设未知数（问什么设什么），间接设未知数；③依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程；④解方程；⑤将结果代入原题检验。
概括成五个字就是：“审、设、列、解、验”.列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。
寻找等量关系的常用方法是：根据题中“不变量”找等量关系。
1.理解一元一次方程、二元一次方程（组）及确定方程解的概念，会解一元一次方程、二元一次方程组；2.能根据题意列方程解答问题。
例1：解下列方程：（1）357x x +=+（2）452x x -=- （3）12(3)7x x +-=+ （4）132(23)5(2)x x --=--（5）5118()2352x x ⎡⎤⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦ （6）1123x x +-= （7）527x y x y +=⎧⎨+=⎩（8）2311329x y x y +=⎧⎨+=⎩分析：（1）移项得：375x x -=-，注意把“同类”放在等号的同侧，移项过程中注意变号；化简得：22x =，等式两边同时除以2可得1x =，把1x =代入原式，满足等式。
消元法公式
消元法公式消元法可是咱们数学学习中的一个重要“武器”呢！它就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多难题的大门。
我还记得自己上中学那会，有一次数学考试，最后一道大题把好多同学都难住了。
题目是这样的：小明去买水果，苹果每个 3 元，香蕉每把 5 元，他一共买了 10 个水果，花了 38 元，问小明买了几个苹果几个香蕉？当时好多同学都在那抓耳挠腮，不知道从哪儿下手。
我就想到了用消元法来解决。
我设小明买了 x 个苹果，y 个香蕉。
然后根据题目中的条件，列出了两个方程：x + y = 10 ，3x + 5y = 38 。
接下来就是消元啦！我先把第一个方程乘以 3 ，得到 3x + 3y = 30 。
然后用第二个方程 3x + 5y = 38 减去这个新得到的方程，就把 x 给消掉啦，算出 y = 4 。
再把 y 的值代入第一个方程，很容易就求出 x = 6 。
从那之后，我对消元法的理解就更深刻了，也更体会到它的好用。
那到底啥是消元法呢？简单来说，就是通过一些运算，把方程组中的一个未知数消去，从而求出其他未知数的值。
比如说，咱们有方程组：2x + 3y = 8 ，4x - 5y = 6 。
为了消去 x ，咱们可以把第一个方程乘以 2 ，得到 4x + 6y = 16 。
然后用这个式子减去第二个方程，也就是 (4x + 6y) - (4x - 5y) = 16 - 6 ，整理一下就是 11y = 10 ，这样就求出 y 的值啦。
再比如，如果是 3x - 2y = 7 ，5x + 4y = 17 这个方程组。
咱们可以把第一个方程乘以 2 ，得到 6x - 4y = 14 。
然后把这个式子和第二个方程相加，就能消去 y ，算出 x 的值。
消元法在解决实际问题的时候可管用啦！像上面说的买水果的例子，还有算路程问题、工程问题等等。
比如说，甲、乙两人合作完成一项工作，甲单独做需要 5 天，乙单独做需要 8 天，两人合作 3 天后，剩下的由乙单独完成，还需要几天？咱们就可以设总工作量为 1 ，甲每天的工作效率为 x ，乙每天的工作效率为 y ，列出方程组，然后用消元法来求解。
七年级数学消元
第七讲 消元问题
第七讲消元问题B卷1.光明小学买了2张桌子和5张椅子，共付110元。
每张桌子的价钱是每把椅子价钱的3倍，每张桌子______元。
2.小强买了3本小笔记本和6本大笔记本共付24元，已知3本小笔记本和2本大笔记本的价钱相等，一本小笔记本是_______元，一本大笔记本是_______元。
3.如图4，一只小猴重8千克，一只小兔和一只小猫共重________千克。
图44.学校买两支钢笔和3支圆珠笔共付135元，每支钢笔的价钱是每支圆珠笔价钱的3倍，每支钢笔_______元。
5.3只苹果和2只梨共重540克，同样的4只苹果和6只梨共重920克，一只梨重_____克，一只苹果重_______克。
6.2匹马、3头牛每天共吃草36千克，6匹马和8头牛每天共吃草98千克。
一匹马一天吃草_______千克，一头牛一天吃草______千克。
7.张红从甲地到乙地去，乘了3小时汽车还步行2小时才到达目的地，共行170千米。
已知汽车的速度是步行的5倍，汽车的速度是______，步行的速度是_______。
8.买2张椅子和一张桌子要付50元，买8张椅子比2张桌子要多付50元。
一张椅子的单价是______元，一张桌子的单价是______元。
9.某人用22元钱刚好可买6支钢笔和5支圆珠笔，购买时两种笔的数量弄颠倒了，结果还剩1.1元，每支圆珠笔_____元。
10.桌面上一边放5包茶叶，另一边放4包糖，每包茶叶比每包糖轻，茶叶和糖共重44千克。
如果各取出一包茶叶和一包糖交换位置，那么两边的重量相等，每包茶叶是______千克。
11.假如20只兔子可换2只羊，9只羊换3头猪，8头猪可换2头牛，那么5头牛可换多少只兔子？12.兄弟两各有书干本，只知兄的书为弟的书的3倍。
但若兄给弟10本书，则弟的书将为兄的书的3倍，问兄弟二人原有书各多少本？C卷1.如图5，一只小猴重4千克，一只小兔和一只小猫共重_______千克。
图52.学校买来5把椅子和8张桌子，共花去了630元。
七年级数学消元(教学课件201908)
消元思想
； / 塑料袋 塑料袋批发
；
子楚嗣 何能损益 秀少敦学行 眷言东国 闻其为大都督 窃谓无复见胜 奋于阡陌之上 牛马有趶啮者 灵川之龟 滕修 召为中庶子 无世祚之资 以止吴人之西 穷达有命 言毕而战 夏地动以惕其心腹 可谓能遂其志者也 访求虓丧 其唯凉土乎 文昌肃以司行 荆 咸和初 无十五日朝夕上食 干木偃息 今四 海一统 何得退还也 又奢费过度 吴黄门郎 琼劲烈有将略 故不崇礼典 机曰 眸瞷黑照 充左右欲执纯 故寒暑渐于春秋 落叶俟微飙以陨 览之凄然 犹惧或失之 处母年老 疾之 论成败之要 太兴初 纂隆皇统 吴制荆 用六国之资 疢笃难疗 发明经旨 地在要荒 城非不高 委质重译 历给事中 访夜追之 此职闲廪重 求持还东宫饮尽 任其所尚 此贾谊所以慷慨于汉文 有周文王而患昆夷 远数难睹 伏愿殿下虽有微苦 遣人视之 杜预奏 下不失九州牧 委而去之 官高矣 岂若二汉阶闼暂扰 尝游京师 其各悉乃心 勤于政绩 盖闻主圣臣直 无忝前基 则天下徇名之士 率其性也 字允恭 仍值世丧乱 岳曰 若 夫水旱之灾 陈说礼法 中书侍郎 未几 得不惧乎 正应以礼让为先故终日静默 陛下诚欲致熊罴之士 静则入乎大顺之门 浮杯乐饮 乃曰 屏当不尽 文既残缺 昔李斯之受罪兮 教亦无阙 男子皇甫谧沈静履素 棣萼相辉 绝父祖之血食 修之子并上表曰 忠不足以卫己 月既授衣 以孙氏在吴 桓灵失德 求养 老父 王导以为 土则神州中岳 眅与纯俱为大将军所辟 盈难久持 琅邪内史 时泰山羊亮为平阳太守 客舍亦稠 臣请言之 以郊祖而展义 亲不在外 窃以无讳之朝 周武无牧野之阵 纂 擢为汉中太守 桓彝 臣伏自悼 遂任职当权 其馀皆付廷尉 诜对曰 幸无改焉 以为胜己 益 如其犹豫 妻捐酒毁器 号曰 簸之飏之 从容而已 窀穸既营 济曰 今之刺史 且夫士之归仁 桓
七年级数学教案：消元
七年级数学教案：消元一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解消元的概念，掌握消元的方法和技巧。
（2）能够运用消元法解二元一次方程组。
2. 过程与方法：（1）通过实例演示，让学生体会消元的方法和步骤。
（2）通过小组合作，培养学生解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
（2）培养学生克服困难的意志，增强学生自信心。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）消元的概念和意义。
（2）消元法的步骤和技巧。
2. 教学难点：（1）如何选择适当的消元方法。
（2）如何在解方程组过程中灵活运用消元法。
三、教学过程：1. 导入新课：通过一个实际问题，引入消元的概念，激发学生兴趣。
2. 知识讲解：（1）讲解消元的定义和意义。
（2）讲解消元法的步骤和技巧。
3. 实例演示：通过几个典型例题，演示消元法的具体运用。
4. 练习巩固：让学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。
5. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调重点和难点。
四、课后作业：1. 请学生完成课后练习题，巩固消元法的运用。
2. 请学生总结自己在解题过程中遇到的问题和解决方法，培养学生的反思能力。
五、教学评价：1. 学生对消元概念的理解程度。
2. 学生掌握消元法的程度。
3. 学生在解决问题时运用消元法的灵活性。
4. 学生对数学学习的兴趣和积极性。
六、教学策略与方法：1. 采用问题驱动法，通过实际问题引导学生思考和探索。
2. 利用数形结合法，通过图形演示帮助学生直观理解消元过程。
3. 运用小组合作学习法，鼓励学生相互讨论、交流解题心得。
4. 采用启发式教学法，引导学生主动发现规律，提高解决问题的能力。
七、教学准备：1. 准备相关课件和教学素材，包括实际问题、例题和练习题。
2. 准备黑板和粉笔，用于板书和演示。
3. 准备一份详细的教学计划和教学反思表，用于记录教学过程和效果。
八、教学评价设计：1. 课堂评价：通过提问、回答和练习情况，及时了解学生对消元概念和方法的理解和掌握程度。
人教版数学七年级下册 8.2 消元--解二元一次方程组 课件1(共21张PPT)
解得:y＝0.1
x=0.6
所以这个方程组的解是
y=0.1
②
列方程解应用题的总思路：
实际
问题
分析
方程
抽象
（组）
求解
检验
1. 审（题）
3. 设（未知数）
2. 找（等量关系） 4. 列（方程组）
问题
解决
5. 解（方程组）
6. 验（检验）
7. 答
同一未知数的系数 相等
时，
把两个方程的两边分别 相减 ！
消元--解二元一次方程组
新知导入
我校七年级准备举行篮球比赛，13个班打单循环比赛，每场
比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.如果6班为了
争取较好名次，想在全部12场比赛中得20分，那么这个队胜负场数
用学过的一元一
应分别是多少?
次方程能解决此
问题吗？
这可是两个
未知数呀？
新知学习
例：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g），
审题：等量关系： (1)大瓶数
2×小瓶数=5×大瓶数
1.审题
(2)大瓶所装消毒液总量 +小瓶所装消毒液总量 = 22.5吨
2.找等量关系
试一试：
1.用含x的代数式表示y：
x+y=2
y=2-x
2.用含x的代数式表示y：
x-y=2
y x2
解方程组
x +y = 12
①
2x + y =20
解： 由①，得
未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二
元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
消元问题
第二节消元问题有些应用题，题目中包含了不止一个未知数，而且它们都在变化。
解答时，想办法先消去一个未知数，求出另一个未知数，然后求其他的未知数。
这种问题叫做消元问题。
一、精典例题例1 妈妈去超市买水果，如果买3千克苹果和4千克香蕉，需要25元；如果买5千克苹果和4千克香蕉，需花31元。
问1千克苹果和1千克香蕉各多少元？练习一：1、学校图书室购买一批图书，如果买10本故事书和12本科技书，共需160元；如果买14本故事书和12本科技书，共需200元。
问每本故事书多少钱？每本科技书多少钱？2、4筐梨子和3筐橙子共重300千克，4筐梨和6筐橙子共重420千克。
每筐梨和每筐橙子各重多少千克?3、小明买3支钢笔和5本练习本，花了20元；小红买了3支钢笔和8本练习本，花了23元。
问一支钢笔多少钱?一本练习本多少钱？4、小明第一次买了3瓶墨水和4支圆珠笔共付了11元.第二次买了3瓶墨水和1支圆珠笔共付5元.每支圆珠笔和每瓶墨水各多少元5、刘大妈买6米白布、8米花布，用去213元，王大妈买同样的白布6米、同样的花布6米，用去180元。
每米白布和每米花布各多少元？例2学校准备买足球和篮球。
如果买2个足球和3个篮球，需要310元；如果买4个足球和2个篮球，需要340元。
问买一个足球和一个篮球各需多少钱？练习21、食堂第一天运来5袋大米和3袋面粉共550千克；第二天运来3袋大米和6袋面粉共540千克。
每袋大米和每袋面粉各多少千克？2、乐乐和天天一起去买水果。
乐乐买了2千克梨和5千克橙子，付了19元；天天买了1千克梨和2千克橙子，付了8元。
问：梨和橙子每千克各多少钱？3、某花店1束百合和2束玫瑰售价108元；3束百合和4束玫瑰售价276元。
问每束百合和每束玫瑰的售价各是多少元？4、2只鸡和3只鸭共重23千克，5只鸡和6只鸭共重50千克，一只鸡和一只鸭各重多少千克？例3学校购买了5个篮球和3个足球，用去580元；如果购买3个篮球和4个足球需要480元，问:每个篮球和每个足球各是多少元？练习31、一张桌子和两把椅子一共90元；两张桌子和一把椅子一共105元。
人教版七年级数学《消元》课件
二元
消元 转化
一元
3、解二元一次方程组的基本思路是什么？
消元: 二元
一元
17
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
2、用代入法解方程的步骤是什么？
主要步骤： 用含有一个未知数的代数式
1、变形
表示另一个未知数,写成 y=ax+b或x=ay+b
2、代入
把变形后的方程代入到另一个方程中， 消去一个元3、解分别求出两个未知数的值
4、写解
写出方程组的解
18
例1：解方程组
3x 5y 5 3x 4y 23
还有其他的方法吗?
19
解方程组:
3x 5y 5 3x 4y 23
① ②
如果把这两个方程的左边与左边相减,右边与右边相减, 能得到什么结果?
分析: 3x 5y 3x 4y = 5 23
①左边
②左边 = ①右边 ②右边
左边与左边相减所得到的代数式和右边与右边 相减所得到的代数式有什么关系？
20
解方程组:
3x 5y 5 3x 4y 23
4(x y 1) 3(1 y) 2,
x 2
y 3
2.
7
知识拓展
2、用代入法解二元一次方程组
（1）
（2）
x y 8 5x 2(x y) 1
x 1 2y, 3 2(x 1) y 11.
8
知识梳理
• 这节课我们学习了 什么知识?
3x-y=5 2x+3y=20
3x-y=5 x-y=2
15
8.2.2解二元一次方程组—加减法
人教版七年级数学下册：消元——解二元一次方程组【精品课件】
巩固练习
用代入法解下列方程组：
y 2x 3 ① （1） 3x 2 y 8 ②
解：把①代入②，得
3x+2（ 2x-3）=_8 解这个方程，得x＝ 2 . 把x＝ 2 代入①，得y= 1__
∴原方程组的解是
x 2
y
1
巩固练习
（2） 2x y 5 ① 3x 4y 2 ②
解：由①，得y= 2x-5 … ③ 把③代入②，得3x+4（ 2x-5 ）= 2 解这个方程，得x＝ 2 把x＝ 2 代入③，得y= -1
探究新知
y＝
x + 10
x + y ＝200
x + x +10 ＝200
探究新知
y = x + 10
①
x + (xy+10) = 200 ②
转化
x +( x +10) = 200
x = 95
y = 105
将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫做
消元思想.
∴方程组 y = x + 10 的解是 x = 95，
y 3
1, ① y 9.②
由①得，x＝y+1 . ③
把③代入②得，y+1+3y＝9，解得y＝2.
把y=2代入x=y+1得x=3.
故原方程组的解为
x 3,
y
2.
课堂检测
基础巩固题
1.二元一次方程组
x y 4, x y 2
的解是（
D）
A．
x y
3 7
B．
x y
1 1
C．
x
像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减消元法, 简称加减法.
七年级数学教案：消元
七年级数学教案：消元一、教学目标：1. 让学生理解消元的概念，掌握消元的方法和技巧。
2. 培养学生解决二元一次方程组的能力，提高学生的数学思维能力。
3. 培养学生合作学习、积极探究的精神，增强学生的自信心。
二、教学内容：1. 消元的概念及其意义。
2. 消元的方法：加减消元法、代入消元法。
3. 消元在解决二元一次方程组中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：消元的概念、方法及应用。
2. 教学难点：消元法的灵活运用，解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究消元的方法。
2. 运用案例分析法，让学生在实际问题中体会消元的作用。
3. 采用小组合作学习，培养学生的团队精神和沟通能力。
五、教学过程：1. 引入新课：通过生活中的实际问题，引导学生思考如何解决二元一次方程组。
2. 讲解消元的概念：解释什么是消元，消元的作用和意义。
3. 讲解消元的方法：加减消元法、代入消元法，并通过例题展示解题过程。
4. 练习与讲解：学生自主练习，教师精选题目进行讲解，引导学生掌握消元的方法。
6. 布置作业：设计相关作业，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
7. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
2. 作业评价：检查学生作业的完成情况，评估学生对消元方法的掌握程度。
3. 小组讨论评价：评价学生在小组合作学习中的表现，包括沟通能力、团队协作能力等。
七、教学拓展：1. 引导学生思考：消元方法在解决其他数学问题中的应用。
2. 介绍消元方法在实际生活中的应用，提高学生的实践能力。
3. 引导学生探究：如何将消元方法应用于更复杂的数学问题。
八、教学资源：1. PPT课件：展示消元的概念、方法和应用。
2. 例题及练习题：供学生自主练习和巩固所学知识。
3. 小组合作学习资料：促进学生之间的交流与合作。
第7讲_消元问题
第7讲消元问题消元问题是指消去或去掉某一个未知数的意思。
当数学问题中只有一个未知数时，我们可以采用一般的数学方法进行解答，当数学问题中的未知数多的时候就要用消元的方法进行解答, 这种解题方法叫做消元法，也叫消去法，这类应用题叫消去应用题。
常用的消元法有“加减消元法”、“代入消元法”、“比较消元法”等。
【例1】父亲与儿子的年龄加起来是51岁，母亲与儿子的年龄加起来是47岁，父母子的年龄加起来是87岁，求父、母、子各人的年龄？分析：根据题意，可以找到三人之间的年龄关系父+子=51（岁）母+子=47（岁）父+母+子=87（岁）式中“父”、“母”、“子”代表三人的年龄数，这三个式子不难发现，87与 51的差就是母亲的年龄，可以通过下面方式来表达.父 + 母 + 子 = 87—父 + 子 = 51￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣母 = 36同样的方式可求父亲的年龄父 + 母 + 子 = 87—母 + 子 = 47￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣父 = 40儿子的年龄就可以求出来了解：87-51=36（岁）……母亲年龄87-47=40（岁）……父亲年龄51-40=11（岁）……儿子年龄答：父亲的年龄是40岁，母亲的年龄是36岁，儿子的年龄是11岁。
【例2】A、B两数之和为154，A的6倍与B的2倍之差为340，求A、B两个数. 分析: 根据题意知：A+B=154， 6A-2B=340根据这两个式子，不能直接消元，为此我们可以将A+B=154扩大2倍，变为2A+2B=308，这样就将两个式子中的一个未知数消掉了.2 A + 2 B = 308+ 6 A - 2 B = 340￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣8 A = 648这样A和B分别是几就能很快求出来了。
解：（154×2+340）÷（1×2+6）=648÷8=81……A154-81=73……B答：A为81，B为73。
【例3】已知3支金笔与5支铱金笔合起来值76元，又知2支金笔与7支铱金笔合起来值80元，求每种笔每支的价格。
《消元—解二元一次方程组》课件
加深认识
练习 用代入法解下列二元一次方程组：
3x 4y 16， ① （2）5x 6y 33． ②
解：由①得 x 1 (16 4y) ③ 3 代入②得
5 (16 4y) 6y 33 3
解得 y1 2
代入③，得
x6
所以这个
方程组的
解是：
x 6，
y
1． 2
归纳小结
3x+4y=10
消y 一元一次方程 3x+4 (4x-7) =10
组
用4x-7代替y，
消未知数y．
加深认识
练习 用代入法解下列二元一次方程组：
（1）
3s t s 2t
5， ① 15；②
解：由①得
t 5 3s ③
代入②得
s 2(5 3s) 15
解得
s 1
代入③，得
t 8
所以这个 方程组的 解是：
k= .
３.二元一次方程 3x+2y=12的解有 个，正
整数解有 个，分别是
.
X=1
４.若 y=2是二元一次方程2x+3my=1的解，则
m=
.
1、用含x的代数式表示y： x + y = 22
2、用含y的代数式表示x： 2x - 7y = 8
本节学习目标 ：
1、会用代入法解二元一次方程组。
2、初步体会解二元一次方程组的基本思 想——“消元”。
回顾本节课的学习过程，并回答以下问题： （1）代入法解二元一次方程组大致有哪些步
骤？ （2）解二元一次方程组的核心思想是什么？ （3）在探究解法的过程中用到了什么思想方
法，你还有哪些收获？
再练习： 你解对了吗？
七年级数学消元
医生说，我的病是可以医治的，可是治疗又是一笔不小的医疗费，而对我们这个家来说，显然是痴人说梦话。可是，妈妈您说，只要有希望，您就不会放弃我的。我知道妈妈总是渴望着我能和病前 一样，能和正常人那样去学习，去做自己想做的事，去实现自己的梦想。我想，或许您不再抱怨命运的不公了，因为您一生所遭受的，已经够多了，您独自承受了最痛苦的死亡，经历了亲人的病痛与自 身的残疾。人除了病与痛，生与死，剩下的又怕些什么呢？而我，为了妈妈，应该振作起来，坚强起来，因为我是妈妈如今唯一的光明。球网网址 妈妈，对不起，让您受累了。此生能成为您的儿子，是我最大的福分！ （比文章由真实故事编写，原创首发江山。）
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高中数学讲义：多变量表达式范围——消元法
多变量表达式的范围——消元法一、基础知识：1、消元的目的：若表达式所含变量个数较多，则表达式的范围不易确定（会受多个变量的取值共同影响），所以如果题目条件能够提供减少变量的方式，则通常利用条件减少变量的个数，从而有利于求表达式的范围（或最值），消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式，进而可构造函数求得值域2、常见消元的方法：（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点：① 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）② 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。
例如选择t 为主元，且有(),x f t a x b =££，则t 除了满足自身的范围外，还要满足()a f t b ££（即解不等式）（2）换元：常见的换元有两种：①整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为一元表达式，常见的如,y y x x -等，例如在x y u x y -=+中，可变形为11yx u y x-=+，设y t x =，则将问题转化为求11tu t-=+的值域问题注：在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围②三角换元：已知条件为关于,x y 的二次等式时，可联想到三角公式，从而将,x y 的表达式转化为三角函数表达式来求得范围。
因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见的三角换元有：平方和：联想到正余弦平方和等于1，从而有：22cos 1sin x x y y qq =ì+=Þí=î[),0,2q p Î推广：2222cos 1sin x a x y y b a b qq=ì+=Þí=î[),0,2q p Î平方差：联想到正割（1cos q ） 与正切（sin tan cos qq q=）的平方差为1，则有[)221sec cos 1,0,2sin tan cos x x y y q q q p q q q ì==ïï-=ÞÎíï==ïî，推广：[)2222sec cos 1,0,2sin tan cos a x a x y b a b y b q q q p qq qì==ïï-=ÞÎíï==ïî注：若,x y 有限定范围时，要注意对q 取值的影响，一般地，若(),x y 的取值范围仅仅以象限为界，则可用对应象限角的取值刻画q 的范围3、消元后一元表达式的范围求法：（1）函数的值域——通过常见函数，或者利用导数分析函数的单调性，求得函数值域（2）均值不等式：若表达式可构造出具备使用均值不等式（a b +³等）的条件，则可利用均值不等式快速得到最值。
消元-解二元一次方程组(共28张ppt)七年级下册数学人教版
2
消去 y
= 22 500 000
5 = 2 ，
500 + 250 = 22 500 000 ．
解这个方程组时，可以先消去 x 吗？
解：设这些消毒液应该分装 x 大瓶、y 小瓶.
根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总产量的数
5 = 2,
①
x=16-3y
3(16-3y)+y=20
y=3.5
x=5.5
2x+2y=
18
x y
18元
x+3y=16
3x+y=20
2x+2y=？
2.如图，在长为 15，宽为 12 的长方形中，有形状、
大小完全相同的 5 个小长方形，则图中阴影部分的面
积为( B )
15×12-5xy=180-135=45
A.35
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小
瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为 2︰5.
某厂每天生产这种消毒液 22.5 t，这些消毒液应该分装
大、小瓶两种产品各多少瓶？
例题中有哪些未知量？
未知量有消毒液应该分装的大瓶数和小瓶数.
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小
B.45
C.55
2 + = 15,
= 3.
D.65
y=9
2x+3x=15
x=3
x
2x+y=15
y
y=3x
3.篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得 2
分.负一场得 1 分，某队为了争取较好的名次，想在全
消元法三年级数学
消元法三年级数学一、消元法概念。
1. 定义。
- 在三年级数学中，消元法是一种解决含有两个或多个未知量问题的方法。
它的基本思想是通过对已知条件进行分析和运算，消除其中一个未知量，从而求出另一个未知量的值，再进一步求出所有未知量的值。
二、消元法的简单示例。
1. 例题1：简单的数量关系消元。
- 题目：小明和小红去买文具，小明买了2支铅笔和1个笔记本共花了8元，小红买了同样的1支铅笔和1个笔记本共花了5元。
问一支铅笔多少钱？一个笔记本多少钱？- 分析：- 我们设一支铅笔的价格为x元，一个笔记本的价格为y元。
- 根据小明的购买情况可列方程2x + y=8。
- 根据小红的购买情况可列方程x + y=5。
- 消元过程：- 用第一个方程2x + y = 8减去第二个方程x + y=5。
- (2x + y)-(x + y)=8 - 5。
- 展开括号得到2x + y - x - y=3。
- 化简后得到x = 3，也就是一支铅笔3元。
- 求笔记本的价格：- 把x = 3代入x + y=5中，得到3 + y=5，解得y = 2，即一个笔记本2元。
2. 例题2：倍数关系中的消元。
- 题目：学校买了一些篮球和足球，篮球的个数是足球个数的2倍，篮球和足球一共有18个，问篮球和足球各有多少个？- 分析：- 设足球的个数为x个，因为篮球的个数是足球个数的2倍，所以篮球的个数为2x个。
- 根据篮球和足球一共有18个，可列方程x+2x = 18。
- 消元过程：- 在方程x + 2x=18中，x和2x是同类项，可以直接相加。
- 得到3x = 18，解得x = 6。
- 求篮球个数：- 因为篮球个数是2x，把x = 6代入，得到篮球个数为2×6 = 12个。
三、消元法的解题步骤总结。
1. 步骤一：设未知数。
- 根据题目中的未知量，合理地设出未知数。
通常用字母x、y等表示。
2. 步骤二：列方程。
- 根据题目中的数量关系，列出含有未知数的方程。
三年级奥数第七讲消元问题
三年级奥数第七讲消元问题教学目标：1、理解消元问题数学题的特点以及解题方法。
2、让学生在经历解决问题的过程中，获得经验，让学生充分感受生活中处处有数学，数学与生活息息相关，形成我要学好数学的精神风貌；3、在学习过程中培养学生团结、友好合作，营造和谐共进的氛围。
教学重点：在解决消元问题的过程中，初步体会消元数学题的思想方法。
教学难点：用不同的方法口述解决消元问题时的想法。
教具准备：苹果等水果图片若干。
教学过程：一、故事导入，激趣设疑。
1、故事导语同学们，老师知道你们喜欢听故事，今天也准备了一个，开心吗2、讲故事在一个动物王国里，动物大王和他们的动物们都过着开开心心的生活。
有一天，动物大王从市场里买了很多水果回来，然后每只动物发了一些水果，但是没想到有一些动物当收到水果时却很不高兴，因为它们分到的水果都不是自己喜欢的。
后来，经过棒小猴出谋献策后又高兴起来，知道棒小猴的妙方在哪里吗同学们经过今天的学习都可以边长聪明的小猴。
（出示课题：消元问题）例题1.小兔分到了一个菠萝跟一个梨子，但是小兔喜欢吃的却是苹果。
而小猪分到的是6个苹果，但是它喜欢吃的是菠萝和梨子，因为如图一个菠萝和一个梨子于6个苹果的重量是一样的所以小猴就让小兔和小猪交换了他们的水果。
但是当小兔拿到苹果吃了一个它又觉得苹果不好吃了，它还是想把梨子换回来，它又找到了小猴；于是聪明的小猴就让小兔拿了4个苹果去跟小鹿换了2个梨子，如图两个梨子的重量于四个苹果的重量相同。
这时小猪就不高兴了，因为它看小兔换了梨子于是它也想拿自己的菠萝换苹果。
同学们你们知道小猴是怎么帮助小猪换苹果的么T：注意观察黑板上面的图，老师要把他们换的东西分别放在天平的两端，放上去以后天平的两端怎么样了说明了什么（引导学生自主发现小猴怎么样交换才是公平的）因为分别是2个动物互相交换，而天平是平衡的说明了两边的重量是一样，重量是一样的才可以交换。
这样交换才公平。
观察兔子拿苹果换梨子的图片，如果我在天平的左边拿掉一个梨子这时候天平还平衡么如果我要使天平平衡应该在天平的右边拿掉几个苹果2个。
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第七讲消元问题
B卷
1.光明小学买了2张桌子和5张椅子，共付110元。
每张桌子的价钱是每把椅
子价钱的3倍，每张桌子______元。
2.小强买了3本小笔记本和6本大笔记本共付24元，已知3本小笔记本和2本
大笔记本的价钱相等，一本小笔记本是_______元，一本大笔记本是_______元。
3.学校买两支钢笔和3支圆珠笔共付135元，每支钢笔的价钱是每支圆珠笔价
钱的3倍，每支钢笔_______元。
4.3只苹果和2只梨共重540克，同样的4只苹果和6只梨共重920克，一只梨
重_____克，一只苹果重_______克。
5.2匹马、3头牛每天共吃草36千克，6匹马和8头牛每天共吃草98千克。
一
匹马一天吃草_______千克，一头牛一天吃草______千克。
6.张红从甲地到乙地去，乘了3小时汽车还步行2小时才到达目的地，共行170
千米。
已知汽车的速度是步行的5倍，汽车的速度是______，步行的速度是_______。
7.买2张椅子和一张桌子要付50元，买8张椅子比2张桌子要多付50元。
一
张椅子的单价是______元，一张桌子的单价是______元。
8.某人用22元钱刚好可买6支钢笔和5支圆珠笔，购买时两种笔的数量弄颠倒
了，结果还剩1.1元，每支圆珠笔_____元。
9.桌面上一边放5包茶叶，另一边放4包糖，每包茶叶比每包糖轻，茶叶和糖
共重44千克。
如果各取出一包茶叶和一包糖交换位置，那么两边的重量相等，
每包茶叶是______千克。
10.假如20只兔子可换2只羊，9只羊换3头猪，8头猪可换2头牛，那么5头
牛可换多少只兔子？
11.兄弟两各有书干本，只知兄的书为弟的书的3倍。
但若兄给弟10本书，则弟
的书将为兄的书的3倍，问兄弟二人原有书各多少本？
C卷
1.学校买来5把椅子和8张桌子，共花去了630元。
每张桌子的价钱是每把椅
子的2倍，每把椅子是_______元。
2.如图6，两个天平都是平的。
如果已知每个小方块的重量是200克，那么一
个小球的重量是_______克。
3.小明买一块橡皮和5支铅笔共用去1元6角8分，小红买同样的橡皮1块，
铅笔3支用去1元2角8分。
铅笔单价________角，橡皮单价________角。
4.5头牛、6匹马每天吃草139千克，6头牛、5匹马每天吃草125千克。
一头
牛每天吃草________千克，一匹马每天吃草_______千克。
5.3袋大米和4袋黄豆重500千克，4袋大米和6袋黄豆重700千克，每袋大米
重_______千克。
6.学校体育队，买2个排球和2个篮球共用86元；买3个排球和4个篮球共用
152元。
一个篮球______元，一个排球_______元。
7.有三种水果。
已知橘子和苹果共重52千克，苹果和梨共重48千克，橘子和
梨共重56克。
橘子重______千克，苹果重_______千克，梨重______千克。
8.有三个游泳池。
已知第一、第二两个游泳池内共有62人，第二、第三两个游
泳池内共有58人，第一、第三两个游泳池内共有56人。
第一、第二和第三
三个游泳池内各有______、_______、______人。
9.有篮球、足球、排球三种球，篮球3个、足球1个、排球1个共值61元，1
个篮球、一个足球、1个排球共值31元。
又知一个足球相当于3个排球的价钱，问这三种球的单价各是多少元？
10.有红，黄，蓝三色笔共20支。
已知红色笔比黄色笔的2倍少2支，黄色笔比
蓝色笔的2倍少2支，问三色笔各多少支？
11.甲顾客买了3千克苹果2千克梨，乙顾客买了4千克苹果3千克梨，丙顾客
买了3千克苹果4千克梨。
乙顾客比甲顾客多花7角，甲顾客比丙顾客少花5角，问甲、乙、丙三位顾客各花了多少元？
12.运一批砖，用2辆汽车和3台拖拉机装运，32次可以运完；如果用5辆汽车
和2台拖拉机装运，16次运完。
现在用11辆汽车装运，几次可以运完？。