第六章 概率分布
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第六章 概率分布
李金德
第一节 第二节 第三节 第四节
概率的基本概念 正态分布 二项分布 样本分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率
试验、事件：在相同条件下，对某事物或现象所 进行的观察或实验叫试验，把观察或实验的结果 叫做事件。
试验 抛掷一枚硬币 对某一零件进行检验 试验结果（事件） 正面，反面 合格，不合格
行比较
（三）在能力分组或等级评定时确定人 数
适用问题：总共有n个被试，要将他们按某指标 （能力）分成K个组，问每个组应各分多少个， 才能使不同组在能力上的差异等距。 计算方法：假设6个标准差（99.73%）覆盖了全
二、标准正态分布
所有正态分布都可以通过Z分数公式转换成标准 正态分布。 标准正态分布是标准差（）为1，平均数（ ）
为0的正态分布，其函数为：
Y 1 e 2
z2 2
标准正态分布的特征：
曲线以z=0为中心，双侧对称。 曲线在z=0处为最高点。
Y 当z=0时， 1 2 e 0=0.39894，这是y的最大值。
p2 0.5000 0.3849 0.1151
2．已知p值求Z值.
1）查表法——求近似的值
例如，求p=0.30时，Z的面积。
正态曲线表中并无p=0.30的Z面积，只有与其接近的两个 p 值， 1 0.29955 p2 0.30234 ， 前者与0.30相差0.00045，后者与0.30相差0.00234。可见， 0.29955与0.30更接近，其对应的值0.84，即为p=0.30时Z
概率密度函数演示
（二）经验分布与理论分布
1、经验分布
定义：经验分布是根据观察或实验所获得的数据
而编制的次数分布或相对频率分布。
特点：反映的是一个样本的概率分布。
2、理论分布 定义：理论分布是指根据理论推演出来的随机变 量的概率分布模型。 特点：反映的是总体的概率分布。
（三）基本随机变量分布与抽样分布
四、正态分布理论在测验中的应用
（一）化等级评定为连续数据
（二）确定测验题目的难易程度 （三）在能力分组或等级评定时确定人数 （四）T分数或次数分布的正态化
（一）化等级评定为连续数据
1、处理等级评价时面临的问题及其解决思路
问题：
①不同评价者由于各自的标准不同，在对同一个心理
量进行评定时可能给出不同的等级分数，如何综合
P(A+B+C+D)= P(A) +P(B) +P(C)+ P(D) = 1111 1
8 8 8 8 2
答：一枚硬币掷三次，或三枚硬币各掷一次，出现 两次或两次以上H的概率是1/2。
三、概率分布
概率分布是用来描述随机变量取某些值时的概率的 数学模型。 性质：将100%的可能性在各随机事件上进行分配 表示方式：统计图表、公式 概率分布的分类：
解：这样掷硬币可能出现地情况有：HHH、HHT、HTH、THH、 TTH、THT、HTT、TTT共八种。 每种结果可能出现的概率，依概率乘法规则计算： 各为1/8。
1 1 1 1 2 2 2 8
设：P(A)—“HHH”，P(B)—“HHT”，P(C)—
“HTH”，P(D)—“THH”，故：
评价各评价者的结果。
②如何比较不同被评者的心理量的差异。
2、转化的前提条件
被评定的心理量是测量数据；
服从正态分布（凭常识），只是人为地在评定时
划分为等级。
3、转化方法——用各等级中点对应的Z分数 代表该等级分数
①根据各等级被评者的数目求出各等级的人数比率。 ②求各等级中点以下的累加比率。
③用累加比率查正态表求Z分数，用Z分数代表各等 级的测量值。 ④求各被评者所得评价等级的测量分数的算术平均 数，即为综合评定分数。
为随机变量X的均值; 为随机变量X的标准差; 为圆周率3.14159…; e为自然对数的底2.71828….
正态分布的概率密度曲线
在正态分布中：
平均数决定着曲线在轴上的位置；
标准差决定着曲线的形状。
当标准差相同而平均数不同时，曲线形状相同，位
置各异。
当平均数相同而标准差不同时，正态曲线有不同的
曲线以最高点向左右两侧缓慢下降，且无限延伸， 但永远不与基线相交。
标准正态曲线只有一条。
三、正态分布表的编制与使用
标准正态分布函数的数值表；将一般正态分布 化为标准正态分布，通过查表可解决正态分布的 概率计算问题。
（一）正态分布曲线的面积，高度与标准分数
在正态分布中，总次数N 的几何意义是曲线与轴间 所包含的总面积，用 p 表示，且 p 1 。以曲线 中线为界，每边为分布 50%的面积。垂线为曲线 的纵线高度，以 y 表示。 基线是Z分数。 本教材上的标准正态概率 表的编制方法是从 Z=0 开始，逐渐变化Z值，计 算从 Z=0 至某一定值之 间的概率。
乙教师和丙教师的评定等级转换过程 以此类推
3）确定查表的p值
p p 值直接查正态曲线表，确定Z值。 Z值的正 4）由
负号以中点以下累积比例决定，若 Fp ＞0.5， Z 值为正；若 Fp ＜0.5，Z值为负。 5）学生学习能力的比较。用Z值比较三名学生社交 能力的高低，需根据各位教师评定等级的Z值及 教师人数（k）求其平均数，即 Z Z k ，结 果见表6-3。
（二）标准正态分布曲线相应内容的求解方 法 1、已知Z值，求面积值p
1）求均数（Z=0）与某个Z值之间p的值，可直接 查正态曲线表。
例如：求至Z=0~ Z=-1之间的面积。 查表可知Z =1时，p=0.3413； 因为正态分布为具有对称性， 所以有Z=-1时，p=0.3413 。
2）求任何两个Z值之间的p
,即 p Fp 0.5 。
表6-3 三位学生获得的等级评定结果
（二）确定测验题目的难易程度
1、计算各题目的通过率p
2、用0.5减去通过率p得到 p' ，根据 p'查正态表求
Z值
通过率大于50%，Z值计为负值，通过率小于50%，Z
值为正
3、将Z值加上5，便得到0～10分的难度分数值，进
投掷一颗骰子
进行一场足球比赛
1，2，3，4，5，6
获胜，失利，平局
基本事件：如果某一随机实验可以分成有限的n种 可能结果，这n种结果之间是互不交叉的，而且
这些结果出现的可能性相等，我们把这n种可能
结果称为基本事件。 概率（Probability）：事件在试验中出现的可能 性大小。事件A的概率用P(A)表示。
例如：求Z=1～Z=2之间的面积。
首先，查出Z=0至每个Z 值间的面积， 即有Z=1, p=0.3413； Z=2 ，p=0.475
其次，求两个Z值之间的面积，
即有p（1<z<2）=0.475-0.3413=0.1337
规律：Z值符号相反，用加法求 p; Z值符号相同，用减法求 p。
3）求某个 Z 值以下或以上的面积
例如:求 Z 0.85 以下和 Z 1.76 以上的面积。
首先，查出 Z 0 至每个 Z 值间的面积，
即有 Z 0.85 ， 0.3023 Z 1.76 ，p 0.4608 ， p
其次，用正态分布一半的面积（0.50）减去所查出的面积， 即有：
p1 0.5000 0.4918 0.0082
比如说对于一个容量为50的有限总体，其容量为 5的不同样本一共有： 505 = 312,500,000个（允许重复的合），这里的 每一个样本可以计算一个平均数。 故一共有312,500,000个平均数，这些平均数的 分布情况（或分布规律）就是从容量为50的有限
总体中抽取容量为5的样本平均数的抽样分布。
③用图形来表示：
2、连续分布
定义：如果随机变量可以取连续的数值，则这种 随机变量取值的概率规律称为连续分布。连续分 布的表示方法一般采用概率密度函数来表示。 概率密度函数：当样本的容量及分组逐渐增加时， 次数分布图将趋近于一条稳定而连续的曲线。一 般记为f(x)。 特点：通常用概率密度函数描述随机变量在一段 区间上取值的P。
第二节 正态分布
一、正态分布
（一）正态分布定义
正态分布也称常态分布，是连续随机变量概率 分布的一种，中间量数次数分布多，两端量数次 数分布少，呈对称型的概率分布。
正态分布的概率密度函数:
x 2 1 2 f ( x) e 2 2 x 1
则称X服从正态分布,记作X~N(,2)
1、基本随机变量分布
基本随机变量是一个与随机变量的函数相对应 的。随机变量的函数仍然是随机变量。
2、抽样分布 抽样分布是样本统计量的理论分布，又称随机变 量函数的分布。 抽样是从总体中随机地选取一个样本的过程，每 一个样本都可以计算平均数、方差、标准差、相 关系数等指标，这些指标的概率分布就是抽样分 布。
的近似值。
2）内插法——求精确的值，其公式为
3．已知p值求y值
查表法——求近似的y值
例如，求当p=0.30的y值。
查表得，与0.30接近的p值为0.29955，其值为0.28034，
所以y值为0.28034。
练习
1、求P(0<z<2.53)=? P(z>-1.14)=? P(-1.28<z<1.83)=? P(-2.54<z<-.42)=? X～N(100, 152), 求P(x < 115)=？
离散分布与连续分布
ຫໍສະໝຸດ Baidu
经验分布与理论分布
基本随机变量分布与抽样分布
（一）离散分布与连续分布
1、离散分布 定义：如果随机变量只能取有限的或无限但可以 数下去的数值，则这种随机变量的概率分布称为
离散分布。
特点：通常用概率分布描述其取值和相应取值的
P
例1：抛置硬币这一随机试验可以用如下一些方式 来表示其分布规律： ①记A={正面向上}，B={反面向上}， 则P(A)=0.5，P(B)=0.5。 ②令出现正面向上用1表示，反面向上用0表示， 则P(ξ =1)=0.5，P(ξ =0)=0.5
2 、 X~N(5,102) 求概率
(1) P(5<X<6.2)
(2) P(3.8<X<5)
(3) P(2.9<X<7.1)
(4) P(X>8) (5) P(7.1<X<8)
（三）正态分布中的几个常用值
在 1 ， 2 ， 3 及其 1.96 ， 2.58 范围 内的面积值。（p163） ± 1s：68.26% ± 2s：95.44% ± 3s：99.73% ±1.96s：95% ±2.58s：99%
概率的计算方法： （一）古典概率（先验概率） （二）统计概率（后验概率）
（一）古典概率（先验概率） 在只含有有限个基本事件的试验中，任意事件A 发生的概率定义为：
（二）统计概率（后验概率）
在相同条件下进行n次试验，事件A出现了m次， 如果试验次数n充分大，且事件A出现的频率稳定 在某一数值p附近，则称p为事件A的概率。由于p 也是一抽象的值，常常用n在充分大时的代替。即：
A： p 0.05 2 0.95 0.975 F
B：Fp 0.25 2 0.70 0.825 C：Fp 0.40 2 0.30 0.50 F D： p 0.25 2 0.05 0.175
F E： p .05 2 0 0.025
形状，越大，曲线越是“低阔”，越小曲线越是
“高窄”，
不同均值(μ)的正态分布
不同标准差(σ)的正态分布
（二）正态分布的特征
1、正态分布的形式是对称的，对称轴是经过平均 数的垂线； 2、正态分布的中央点最高，然后逐渐向两侧下降， 曲线先向内弯，后向外弯，两端靠近基线处无限 延伸； 3、正态曲线下的面积为1，故对称轴将正态曲线下 的面积划分为相等的两部分； 4、正态分布是一族分布。
例6-2：甲、乙、丙三位教师对100名学生
的学习能力进行等级评定见表6-2。表6-3
是三名同学所获得的评定等级。
试比较三个学生学习能力的高低。
表6-2 3位教师对100名学生学习能力的评定
1）求各等级人数分布的比例值见上表。
2）求比例中点以下的累积比例，即将每一等级值除以2再加上其以下的所 有面积。
二、概率的基本性质
1、概率的加法定理
两个互不相容事件A、B之和的概率，等于两个事
件概率 之和， P（A+B）=P（A）+P（B） 2、概率的乘法定理 两个独立事件同时出现的概率等于该两事件概率 的乘积， P（AB）=P（A）×P（B）
例3-1：一枚硬币掷三次，或三枚硬币各掷一次， 问出现两次或两次以上H的概率是多少？
李金德
第一节 第二节 第三节 第四节
概率的基本概念 正态分布 二项分布 样本分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率
试验、事件：在相同条件下，对某事物或现象所 进行的观察或实验叫试验，把观察或实验的结果 叫做事件。
试验 抛掷一枚硬币 对某一零件进行检验 试验结果（事件） 正面，反面 合格，不合格
行比较
（三）在能力分组或等级评定时确定人 数
适用问题：总共有n个被试，要将他们按某指标 （能力）分成K个组，问每个组应各分多少个， 才能使不同组在能力上的差异等距。 计算方法：假设6个标准差（99.73%）覆盖了全
二、标准正态分布
所有正态分布都可以通过Z分数公式转换成标准 正态分布。 标准正态分布是标准差（）为1，平均数（ ）
为0的正态分布，其函数为：
Y 1 e 2
z2 2
标准正态分布的特征：
曲线以z=0为中心，双侧对称。 曲线在z=0处为最高点。
Y 当z=0时， 1 2 e 0=0.39894，这是y的最大值。
p2 0.5000 0.3849 0.1151
2．已知p值求Z值.
1）查表法——求近似的值
例如，求p=0.30时，Z的面积。
正态曲线表中并无p=0.30的Z面积，只有与其接近的两个 p 值， 1 0.29955 p2 0.30234 ， 前者与0.30相差0.00045，后者与0.30相差0.00234。可见， 0.29955与0.30更接近，其对应的值0.84，即为p=0.30时Z
概率密度函数演示
（二）经验分布与理论分布
1、经验分布
定义：经验分布是根据观察或实验所获得的数据
而编制的次数分布或相对频率分布。
特点：反映的是一个样本的概率分布。
2、理论分布 定义：理论分布是指根据理论推演出来的随机变 量的概率分布模型。 特点：反映的是总体的概率分布。
（三）基本随机变量分布与抽样分布
四、正态分布理论在测验中的应用
（一）化等级评定为连续数据
（二）确定测验题目的难易程度 （三）在能力分组或等级评定时确定人数 （四）T分数或次数分布的正态化
（一）化等级评定为连续数据
1、处理等级评价时面临的问题及其解决思路
问题：
①不同评价者由于各自的标准不同，在对同一个心理
量进行评定时可能给出不同的等级分数，如何综合
P(A+B+C+D)= P(A) +P(B) +P(C)+ P(D) = 1111 1
8 8 8 8 2
答：一枚硬币掷三次，或三枚硬币各掷一次，出现 两次或两次以上H的概率是1/2。
三、概率分布
概率分布是用来描述随机变量取某些值时的概率的 数学模型。 性质：将100%的可能性在各随机事件上进行分配 表示方式：统计图表、公式 概率分布的分类：
解：这样掷硬币可能出现地情况有：HHH、HHT、HTH、THH、 TTH、THT、HTT、TTT共八种。 每种结果可能出现的概率，依概率乘法规则计算： 各为1/8。
1 1 1 1 2 2 2 8
设：P(A)—“HHH”，P(B)—“HHT”，P(C)—
“HTH”，P(D)—“THH”，故：
评价各评价者的结果。
②如何比较不同被评者的心理量的差异。
2、转化的前提条件
被评定的心理量是测量数据；
服从正态分布（凭常识），只是人为地在评定时
划分为等级。
3、转化方法——用各等级中点对应的Z分数 代表该等级分数
①根据各等级被评者的数目求出各等级的人数比率。 ②求各等级中点以下的累加比率。
③用累加比率查正态表求Z分数，用Z分数代表各等 级的测量值。 ④求各被评者所得评价等级的测量分数的算术平均 数，即为综合评定分数。
为随机变量X的均值; 为随机变量X的标准差; 为圆周率3.14159…; e为自然对数的底2.71828….
正态分布的概率密度曲线
在正态分布中：
平均数决定着曲线在轴上的位置；
标准差决定着曲线的形状。
当标准差相同而平均数不同时，曲线形状相同，位
置各异。
当平均数相同而标准差不同时，正态曲线有不同的
曲线以最高点向左右两侧缓慢下降，且无限延伸， 但永远不与基线相交。
标准正态曲线只有一条。
三、正态分布表的编制与使用
标准正态分布函数的数值表；将一般正态分布 化为标准正态分布，通过查表可解决正态分布的 概率计算问题。
（一）正态分布曲线的面积，高度与标准分数
在正态分布中，总次数N 的几何意义是曲线与轴间 所包含的总面积，用 p 表示，且 p 1 。以曲线 中线为界，每边为分布 50%的面积。垂线为曲线 的纵线高度，以 y 表示。 基线是Z分数。 本教材上的标准正态概率 表的编制方法是从 Z=0 开始，逐渐变化Z值，计 算从 Z=0 至某一定值之 间的概率。
乙教师和丙教师的评定等级转换过程 以此类推
3）确定查表的p值
p p 值直接查正态曲线表，确定Z值。 Z值的正 4）由
负号以中点以下累积比例决定，若 Fp ＞0.5， Z 值为正；若 Fp ＜0.5，Z值为负。 5）学生学习能力的比较。用Z值比较三名学生社交 能力的高低，需根据各位教师评定等级的Z值及 教师人数（k）求其平均数，即 Z Z k ，结 果见表6-3。
（二）标准正态分布曲线相应内容的求解方 法 1、已知Z值，求面积值p
1）求均数（Z=0）与某个Z值之间p的值，可直接 查正态曲线表。
例如：求至Z=0~ Z=-1之间的面积。 查表可知Z =1时，p=0.3413； 因为正态分布为具有对称性， 所以有Z=-1时，p=0.3413 。
2）求任何两个Z值之间的p
,即 p Fp 0.5 。
表6-3 三位学生获得的等级评定结果
（二）确定测验题目的难易程度
1、计算各题目的通过率p
2、用0.5减去通过率p得到 p' ，根据 p'查正态表求
Z值
通过率大于50%，Z值计为负值，通过率小于50%，Z
值为正
3、将Z值加上5，便得到0～10分的难度分数值，进
投掷一颗骰子
进行一场足球比赛
1，2，3，4，5，6
获胜，失利，平局
基本事件：如果某一随机实验可以分成有限的n种 可能结果，这n种结果之间是互不交叉的，而且
这些结果出现的可能性相等，我们把这n种可能
结果称为基本事件。 概率（Probability）：事件在试验中出现的可能 性大小。事件A的概率用P(A)表示。
例如：求Z=1～Z=2之间的面积。
首先，查出Z=0至每个Z 值间的面积， 即有Z=1, p=0.3413； Z=2 ，p=0.475
其次，求两个Z值之间的面积，
即有p（1<z<2）=0.475-0.3413=0.1337
规律：Z值符号相反，用加法求 p; Z值符号相同，用减法求 p。
3）求某个 Z 值以下或以上的面积
例如:求 Z 0.85 以下和 Z 1.76 以上的面积。
首先，查出 Z 0 至每个 Z 值间的面积，
即有 Z 0.85 ， 0.3023 Z 1.76 ，p 0.4608 ， p
其次，用正态分布一半的面积（0.50）减去所查出的面积， 即有：
p1 0.5000 0.4918 0.0082
比如说对于一个容量为50的有限总体，其容量为 5的不同样本一共有： 505 = 312,500,000个（允许重复的合），这里的 每一个样本可以计算一个平均数。 故一共有312,500,000个平均数，这些平均数的 分布情况（或分布规律）就是从容量为50的有限
总体中抽取容量为5的样本平均数的抽样分布。
③用图形来表示：
2、连续分布
定义：如果随机变量可以取连续的数值，则这种 随机变量取值的概率规律称为连续分布。连续分 布的表示方法一般采用概率密度函数来表示。 概率密度函数：当样本的容量及分组逐渐增加时， 次数分布图将趋近于一条稳定而连续的曲线。一 般记为f(x)。 特点：通常用概率密度函数描述随机变量在一段 区间上取值的P。
第二节 正态分布
一、正态分布
（一）正态分布定义
正态分布也称常态分布，是连续随机变量概率 分布的一种，中间量数次数分布多，两端量数次 数分布少，呈对称型的概率分布。
正态分布的概率密度函数:
x 2 1 2 f ( x) e 2 2 x 1
则称X服从正态分布,记作X~N(,2)
1、基本随机变量分布
基本随机变量是一个与随机变量的函数相对应 的。随机变量的函数仍然是随机变量。
2、抽样分布 抽样分布是样本统计量的理论分布，又称随机变 量函数的分布。 抽样是从总体中随机地选取一个样本的过程，每 一个样本都可以计算平均数、方差、标准差、相 关系数等指标，这些指标的概率分布就是抽样分 布。
的近似值。
2）内插法——求精确的值，其公式为
3．已知p值求y值
查表法——求近似的y值
例如，求当p=0.30的y值。
查表得，与0.30接近的p值为0.29955，其值为0.28034，
所以y值为0.28034。
练习
1、求P(0<z<2.53)=? P(z>-1.14)=? P(-1.28<z<1.83)=? P(-2.54<z<-.42)=? X～N(100, 152), 求P(x < 115)=？
离散分布与连续分布
ຫໍສະໝຸດ Baidu
经验分布与理论分布
基本随机变量分布与抽样分布
（一）离散分布与连续分布
1、离散分布 定义：如果随机变量只能取有限的或无限但可以 数下去的数值，则这种随机变量的概率分布称为
离散分布。
特点：通常用概率分布描述其取值和相应取值的
P
例1：抛置硬币这一随机试验可以用如下一些方式 来表示其分布规律： ①记A={正面向上}，B={反面向上}， 则P(A)=0.5，P(B)=0.5。 ②令出现正面向上用1表示，反面向上用0表示， 则P(ξ =1)=0.5，P(ξ =0)=0.5
2 、 X~N(5,102) 求概率
(1) P(5<X<6.2)
(2) P(3.8<X<5)
(3) P(2.9<X<7.1)
(4) P(X>8) (5) P(7.1<X<8)
（三）正态分布中的几个常用值
在 1 ， 2 ， 3 及其 1.96 ， 2.58 范围 内的面积值。（p163） ± 1s：68.26% ± 2s：95.44% ± 3s：99.73% ±1.96s：95% ±2.58s：99%
概率的计算方法： （一）古典概率（先验概率） （二）统计概率（后验概率）
（一）古典概率（先验概率） 在只含有有限个基本事件的试验中，任意事件A 发生的概率定义为：
（二）统计概率（后验概率）
在相同条件下进行n次试验，事件A出现了m次， 如果试验次数n充分大，且事件A出现的频率稳定 在某一数值p附近，则称p为事件A的概率。由于p 也是一抽象的值，常常用n在充分大时的代替。即：
A： p 0.05 2 0.95 0.975 F
B：Fp 0.25 2 0.70 0.825 C：Fp 0.40 2 0.30 0.50 F D： p 0.25 2 0.05 0.175
F E： p .05 2 0 0.025
形状，越大，曲线越是“低阔”，越小曲线越是
“高窄”，
不同均值(μ)的正态分布
不同标准差(σ)的正态分布
（二）正态分布的特征
1、正态分布的形式是对称的，对称轴是经过平均 数的垂线； 2、正态分布的中央点最高，然后逐渐向两侧下降， 曲线先向内弯，后向外弯，两端靠近基线处无限 延伸； 3、正态曲线下的面积为1，故对称轴将正态曲线下 的面积划分为相等的两部分； 4、正态分布是一族分布。
例6-2：甲、乙、丙三位教师对100名学生
的学习能力进行等级评定见表6-2。表6-3
是三名同学所获得的评定等级。
试比较三个学生学习能力的高低。
表6-2 3位教师对100名学生学习能力的评定
1）求各等级人数分布的比例值见上表。
2）求比例中点以下的累积比例，即将每一等级值除以2再加上其以下的所 有面积。
二、概率的基本性质
1、概率的加法定理
两个互不相容事件A、B之和的概率，等于两个事
件概率 之和， P（A+B）=P（A）+P（B） 2、概率的乘法定理 两个独立事件同时出现的概率等于该两事件概率 的乘积， P（AB）=P（A）×P（B）
例3-1：一枚硬币掷三次，或三枚硬币各掷一次， 问出现两次或两次以上H的概率是多少？