初中数学几何图形面积求法最全总结

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13 三角形面积求最大值问题——铅垂法-【初中数学】120个题型大招!冲刺满分秘籍!

铅垂法求三角形面积最值问题求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积．这是在“补”，同样可以采用“割”：()111222ABC ACD BCD S S S CD AE CD BF CD AE BF =+=⋅+⋅=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离．由题意得：AE +BF =6．下求CD ：根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：1233y x =+由点C 坐标（4,7）可得D 点横坐标为4，将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2，故D 点坐标为（4,2），CD =5,165152ABC S =⨯⨯= ．【方法总结】作以下定义：A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”．如图可得：=2ABC S ⨯ 水平宽铅垂高【解题步骤】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ；（3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标；（4）根据C 、D 坐标求得铅垂高；（5）利用公式求得三角形面积．【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似：【铅垂法大全】（1）取AB 作水平宽，过点C 作铅垂高CD ．（2）取AC 作水平宽，过点B 作BD ⊥x 轴交直线AC 于点D ，BD 即对应的铅垂高，=2ABC ABD BCD S S S ⨯-= 水平宽铅垂高（3）取BC 作水平宽，过点A 作铅垂高AD ．甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．（4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．（5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．（6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．方法突破例一、如图，已知抛物线25y ax bx =++经过(5,0)A -，(4,3)B --两点，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为m ．当点P 在直线BC 的下方运动时，求PBC ∆的面积的最大值．【分析】（1）265y x x =++，（2）取BC 两点之间的水平距离为水平宽，过点P 作PQ ⊥x 轴交直线BC 于点Q ，则PQ 即为铅垂高．根据B 、C 两点坐标得B 、C 水平距离为4，根据B 、C 两点坐标得直线BC 解析式：y =x +1，设P 点坐标为（m ，m ²+6m +5），则点Q （m ，m +1），得PQ =-m ²-5m -4，考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．当52-时，△BCP 面积最大，最大值为278．【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高．例二、在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)y ax a =>的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），1OA =，经过点A 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图像与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图像下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标．【分析】（1）抛物线解析式：21322y x x =--；一次函数解析式：1122y x =+．（2）显然，当△ACE 面积最大时，点E 并不在AC 之间．已知A （-1,0）、10,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点E 坐标为213,22m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点E 作EF ⊥x 轴交直线AD 于F 点，F 点横坐标为m ，代入一次函数解析式得11,22m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可得213222EF m m =-++考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大．既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了，对坐标系中已知三点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，按铅垂法思路，可得：12233121321312ABC S x y x y x y x y x y x y =++--- 如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯．【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松．专项训练1．已知二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，且二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(0,3)B ，一次函数y mx n =+的图象经过点(0,1)C -．（1）分别求m 、n 和b 、c 的值；（2）点P 是二次函数2y x bx c =-++的图象上一动点，且点P 在x 轴上方，写出ACP ∆的面积S 关于点P 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．【分析】（1）把直线和曲线经过的点代入得到方程组，求解即可得到答案；（2）分两种情况：①当点P 在y 轴左侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 于点D ，②当点P 在y 轴右侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 的延长线于点D ，分别根据三角形面积公式得到关系式，利用函数式表示三角形PAC 的面积，配方可得答案．【解答】解：（1）二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，一次函数y mx n =+的图象经过点(0,1)C -，∴301m n n -+=⎧⎨=-⎩，∴131m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(0,3)B ，∴9303b c c --+=⎧⎨=⎩，∴23b c =-⎧⎨=⎩．（2）由（1）知一次函数与二次函数的解析式分别为：113y x =--或223y x x =--+，①当点P 在y 轴左侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 于点D ，则13|3|22PAC S PD PD ∆=⨯⨯-=，②当点P 在y 轴右侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 的延长线于点D，则13|3|22PAC S PD x x PD ∆=⨯⨯+-=，点P 在抛物线上，设2(,23)P x x x --+，则1(,1)3D x x --，2215231433PD x x x x x ∴=--+++=--+，233535169(4)(2232624PAC S PD x x x ∆∴==-++=-++，即当56x =-时，PAC S ∆最大16924=．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、图形面积的计算等，掌握其性质及运算是解决此题关键，2．如图，抛物线经过(2,0)A -，(4,0)B ，(0,3)C -三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 下方的抛物线上有一动点P ，使得PBC ∆的面积最大，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）由PBC ∆的面积PHB PHC S S ∆∆=+，即可求解；（3）分AC 是边、AC 是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解．【解答】解：（1）将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式得42016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得38343a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，故抛物线的表达式为233384y x x =--；（2）设直线BC 的表达式为y mx n =+，则043m n n =+⎧⎨=-⎩，解得343m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线BC 的表达式为334y x =-，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，设点P 的坐标为233(,3)84x x x --，则点3(,3)4H x x -，则PBC ∆的面积221133334(33)3224844PHB PHC S S PH OB x x x x x ∆∆=+=⋅=⨯⨯--++=-+，304-< ，故该抛物线开口向下，PBC ∆的面积存在最大值，此时2x =，则点P 的坐标为(2,3)-；（3）存在，理由：设点N 的坐标为(,)m n ，则233384n m m =--①，①当AC 是边时，点A 向下平移3个单位得到点C ，则点()M N 向下平移3个单位得到点()N M ，则03n -=或03n +=②，联立①②并解得23m n =⎧⎨=-⎩或13m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（不合题意的值已舍去）；②当AC 是对角线时，则由中点公式得：11(03)(0)22n -=+③，联立①③并解得23m n =⎧⎨=-⎩（不合题意的值已舍去）；综上，点N 的坐标为(2,3)-或(1-3)或(1--3)．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．3．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C -三点，点(,)P m n 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P 运动到什么位置时，PBC ∆的面积最大，求出此时P 点坐标及PBC ∆面积的最大值；（3）在y 轴上是否存在点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A 、B 、C 坐标代入即可求解析式；（2）设P 坐标，表示出PBC ∆的面积，再求出最大面积和面积最大时P 的坐标；（3）两个直角顶点是对应点，而AOC ∆两直角边的比为14，只需BOQ ∆两直角边比也为14，两个三角形就相似，分两种情况列出比例式即可．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为12()()y a x x x x =--，二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C -，11x ∴=-，23x =，124()()a x x x x -=--，解得11x =-，23x =，43a =，∴二次函数的解析式为2448(1)(3)4333y x x x x =+-=--，故答案为：2448(1)(3)4333y x x x x =+-=--；（2）设直线BC 解析式为y kx b =+，将(3,0)B ，(0,4)C -代入得034k b b =+⎧⎨-=⎩，解得43b =，4c =-，BC ∴解析式是443y x =-，如答图1，过P 作//PD y 轴，交BC 于D ，点(,)P m n 是直线BC 下方抛物线上的一个动点，03m ∴<<，248433n m m =--，4(,4)3D m m -，224484(4)(4)43333PD m m m m m ∴=----=-+，22211439()(4)(30)262()22322PBC B C S PD x x m m m m m ∆∴=⋅-=-+⋅-=-+=--+，3032<< ，32m ∴=时，PBC S ∆最大为92，此时224843834()45333232n m m =--=⨯-⨯-=-，3(2P ∴，5)-，故答案为：3(2P ，5)-，PBC S ∆最大为92；(3(1,0)A - ，(0,4)C -，(3,0)B ，∴14OA OC =，3OB =，点Q 在y 轴上，90BOQ AOC ∴∠=∠=︒，若以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似，则BOQ ∠与AOC ∠对应，分两种情况：①如答图2，AOC QOB∆∆∽，则14OQ OAOB OC==即134OQ=，解得34OQ=，13(0,4Q∴或23 (0,)4Q-；②AOC BOQ∆∆∽，则14OB OAOQ OC==即314OQ=，解得12OQ=，3(0,12)Q∴或4(0,12)Q-，综上所述，存在y轴上的点Q，使以O，B，Q为顶点的三角形与AOC∆相似，这样的点一共4个：13 (0, 4Q或23 (0,)4Q-，3(0,12)Q或4(0,12)Q-，故答案为：存在这样的点Q，坐标分别是：13 (0, 4Q或23 (0,)4Q-，3(0,12)Q或4(0,12)Q-，【点评】本题是二次函数、相似三角形、面积等问题的综合题，主要考查坐标、线段的转化，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等，难度适中．4．如图1，抛物线2y x bx c=-++与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为(3,0)，点C 坐标为(0,3)．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC ∆的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 为该抛物线的顶点，直线MD x ⊥轴于点D ，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）过点P 作PH x ⊥轴于H ，交BC 于点G ，先求出BC 的解析式，设点2(,23)P m m m -++，则点(,3)G m m -+，由三角形面积公式可得221133273(3)()22228PBC S PG OB m m m ∆=⨯⨯=⨯⨯-+=--+，由二次函数的性质可求解；（3）设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ MC ⊥于Q ，先求出点A ，点M 坐标，可求MC 解析式，可得4DE MD ==，由等腰直角三角形的性质可得MQ NQ ==，由两点距离公式可列222(|4|)42n n -=+，即可求解．【解答】解：（1）点(3,0)B ，点(0,3)C 在抛物线2y x bx c =-++图象上，∴9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为：223y x x =-++；（2）点(3,0)B ，点(0,3)C ，∴直线BC 解析式为：3y x =-+，如图，过点P 作PH x ⊥轴于H ，交BC 于点G ，设点2(,23)P m m m -++，则点(,3)G m m -+，22(23)(3)3PG m m m m m ∴=-++--+=-+，221133273(3)()22228PBC S PG OB m m m ∆=⨯⨯=⨯⨯-+=--+ ，∴当32m =时，PBC S ∆有最大值，∴点3(2P ，154；（3）存在N 满足条件，理由如下：抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，∴点(1,0)A -，2223(1)4y x x x =-++=--+ ，∴顶点M 为(1,4)，点M 为(1,4)，点(0,3)C ，∴直线MC 的解析式为：3y x =+，如图，设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ MC ⊥于Q ，∴点(3,0)E -，4DE MD ∴==，45NMQ ∴∠=︒，NQ MC ⊥ ，45NMQ MNQ ∴∠=∠=︒，MQ NQ ∴=，22MQ NQ ∴==，设点(1,)N n ，点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离，NQ AN ∴=，22NQ AN ∴=，222()2MN AN ∴=，222(|4|)42n n ∴-=+，2880n n ∴+-=，46n ∴=-±，∴存在点N 满足要求，点N 坐标为(1,426)-+或(1,426)--．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，等腰直角三角形的性质等知识，利用参数列方程是本题的关键．5．如图，抛物线过点(0,1)A 和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为B ，0)，平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点F 的横坐标为3，四边形BDEF 为平行四边形．（1）求点F 的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q ，同时在抛物线上取一点R ，使以AC 为一边且以A ，C ，Q ，R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 和点R 的坐标．【分析】（1）由待定系数法求出直线AB 的解析式为13y x =-+，求出F 点的坐标，由平行四边形的性质得出1613181(33a a a -+=-+--，求出a 的值，则可得出答案；（2）设2(,1)P n n -++，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则(,1)P n '+，得出2PP n '=-+，由二次函数的性质可得出答案；（3）联立直线AC 和抛物线解析式求出C ，4)3-，设Q ，)m ，分两种情况：①当AQ 为对角线时，②当AR 为对角线时，分别求出点Q 和R 的坐标即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，(0,1)A ，B ，0)，设直线AB 的解析式为y kx m =+，∴01m m +==⎪⎩，解得31k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为13y x =+，点FF ∴点纵坐标为113=-，F ∴点的坐标为，1)3-，又点A 在抛物线上，1c ∴=，对称轴为：2b x a=-=，b ∴=-，∴解析式化为：21y ax =-+，四边形DBFE 为平行四边形．BD EF ∴=，1613181(33a a a ∴-+=-+--，解得1a =-，∴抛物线的解析式为21y x =-++；（2）设2(,1)P n n -++，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则3(,1)3P n '+，2733PP n n '∴=-+，2213737493)32222624ABP S OB PP n n ∆'==-+=--+ ，∴当736n =ABP ∆49324，此时7(36P 47)12．（3） 231231y y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩，0x ∴=或733x =7(33C ∴，43-，设(3Q ，)m ，①当AQ 为对角线时，47(3,)33R m ∴+，R 在抛物线2(3)4y x =--+上，274(33)433m ∴+=--+，解得443m =-，44(3,3Q ∴-，437(3,33R -；②当AR 为对角线时，107(3,33R m ∴-，R 在抛物线2(4y x =--+上，2743m ∴-=--+，解得10m =-，Q ∴10)-，37)3R -．综上所述，443Q -，37(3R -；或Q ，10)-，37)3R -．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．6．在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角ABC ∆的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示．①求CMN ∆面积的最小值．②已知3(1,2Q -是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA 、OB 、OC ，进而得A 、B 、C 三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组求得12||x x -，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，由OP OQ =列出方程求得m 的值，再根据题意舍去不合题意的m 值，再求得PQ 的中点坐标，便可求得直线l 的解析式．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，在等腰Rt ABC ∆中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，2OA OB OC ∴===，(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(0,2)C -，∴4204202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩，解得，1202a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为2122y x =-；（2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由2122y x y kx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx --=，122x x k ∴+=，124x x =- ，∴222121212()()4416x x x x x x k -=+-=+，∴12||x x -=∴121||2CMN S OC x x ∆=-= ，∴当0k =时取最小值为4．CMN ∴∆面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，OP OQ ∴==解得，1m 2m =，31m =，41m =-，31m = ，41m =-不合题意，舍去，当1m =1)2P -，线段PQ 的中点为1)-，∴1=-，∴1k =，∴直线l 的表达式为：(1y x =-，当2m =时，点(P 1)2-，线段PQ 的中点为，1)-，∴1=-，∴1k =，∴直线l 的解析式为(1y x =+．综上，点P ，1)2-，直线l 的解析式为(1y x =-或点(P ，1)2-，直线l 的解析式为(1y x =+．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第（2）①题关键是求得M 、N 两点的横坐标之差，第（2）②小题关键是根据轴对称性质列出m 的方程，以及求得PQ 的中点坐标．。

初中数学面积公式总结

初中数学面积公式总结数学中的面积是一个非常重要的概念，它涉及到几何图形的大小和形状等方面的问题。

在初中数学中，我们学习了各种各样的面积公式，包括正方形、长方形、三角形、圆形等几何图形的面积公式。

下面是对这些面积公式的总结。

一、正方形正方形是一种特殊的长方形，它的四边都相等，且四个角都是直角。

正方形的面积公式为：面积=边长×边长，用S表示。

二、长方形长方形是具有四个直角的四边形，它的两对边平行且相等。

长方形的面积公式为：面积=长×宽，用S表示。

三、三角形三角形是由三条线段连接而成的图形。

常用的三角形面积公式有以下几种：1.等边三角形等边三角形是具有三条边相等的三角形。

等边三角形的面积公式为：面积=(边长×边长×√3)/4，用S表示。

2.直角三角形直角三角形是具有一个直角（90度）的三角形。

直角三角形的面积公式为：面积=(直角边1×直角边2)/2，用S表示。

3.一般三角形一般三角形是既没有直角也没有边相等的三角形。

一般三角形的面积公式为：面积=（底边长×高）/2，用S表示。

四、梯形梯形是具有两条平行边的四边形。

常用的梯形面积公式有以下几种：1.等腰梯形等腰梯形是具有两条腰相等的梯形。

等腰梯形的面积公式为：面积=(上底+下底)×高/2，用S表示。

2.一般梯形一般梯形是既没有边相等也没有平行边的梯形。

一般梯形的面积公式为：面积=(上底+下底)×高/2，用S表示。

五、圆形圆形是由一个圆心和一条固定的半径构成的图形。

圆形的面积公式为：面积=半径×半径×π，其中π约等于3.14，用S表示。

有时，我们也用πr²来表示圆的面积。

总结一下，以上是初中数学中常见的几种几何图形的面积公式。

在实际问题中，我们可以根据所给的图形，根据相应公式来计算出面积，并进行问题解答。

通过学习这些面积公式，我们不仅可以计算几何图形的面积，还能够更好地理解几何图形之间的关系和性质，提升数学能力。

初中数学等面积法公式

初中数学等面积法公式在咱们初中数学的世界里，等面积法公式可是个相当实用的“宝贝”。

先来说说啥是等面积法。

简单来讲，就是在一个图形中，通过不同的方法计算面积，最后得到相同的结果。

就像你有两条路可以走到同一个目的地，不管走哪条，目的地是不变的。

举个例子，比如一个三角形，我们可以用底乘以高除以2 来算面积，也可以用两边及其夹角的正弦值乘积的一半来算。

这两种方法，只要条件给足了，算出来的面积肯定是一样的。

记得有一次，我在给学生讲这部分内容的时候，有个同学特别较真儿。

那是一道关于菱形的题目，已知菱形的两条对角线长度，让用等面积法求菱形的面积。

这同学怎么都理解不了为啥两种方法算出来的结果必须一样。

我就耐心地给他画了好几遍图，一点点解释，从菱形的特性到公式的推导。

最后这同学恍然大悟，那表情就像是发现了新大陆一样，兴奋得不行。

等面积法的公式在解决很多问题的时候都能派上用场。

比如求三角形的高，如果知道了三角形的面积和底边长，用面积乘以 2 再除以底边长度，就能求出高。

还有在证明一些几何定理的时候，等面积法也能助我们一臂之力。

比如证明勾股定理，就可以通过构造直角三角形，利用等面积法巧妙地得出结论。

在实际应用中，等面积法可以帮我们求出很多看似复杂的图形中的未知量。

像那种给出了一堆线段长度和角度，但就是不知道怎么下手的题目，往往用等面积法就能找到突破口。

而且等面积法不仅仅局限于三角形、四边形这些常见图形，在一些不规则的图形中，我们也可以通过巧妙地分割和组合，运用等面积法来解决问题。

总之，初中数学里的等面积法公式就像是一把万能钥匙，能帮我们打开很多几何难题的大门。

同学们可得把它牢牢掌握在手里，让它成为我们解题的好帮手！只要多做练习，多思考，等面积法一定会在数学学习中发挥出巨大的作用。

相信大家都能在数学的海洋里畅游，用等面积法攻克一个又一个难题！。

最全初中数学知识点归纳汇总

最全初中数学知识点归纳汇总
一、几何
1、板几何
（1）直角三角形、等腰三角形的性质及其画法
（2）矩形、正方形、平行四边形、梯形、平行四边形的性质及其画法
（3）多边形的内角和、角平分线的概念及其代表性定理
（4）直线对几何图形的切割及其属性
（5）图形的组合、拉格朗日四边形
2、几何图形的面积、周长
（1）三角形面积公式
（2）长方形、正方形面积
（3）多边形的内角总和、外角总和及其应用
（4）梯形、平行四边形、梯形及其分段面积
（5）多边形的周长
3、三角形
（1）直角三角形的性质及其应用
（2）等腰三角形的性质及其应用
（3）等边三角形的性质及其应用
（4）任意三角形的性质及其应用
（5）全等三角形的性质及其应用
（6）等比三角形的性质及其应用
（7）勾股定理及其应用
4、原点围成的图形
（1）圆的性质及其应用
（2）椭圆的性质及其应用
（3）抛物线的性质及其应用
二、代数
1、有理数
（1）有理数的四则运算、有理数的分类与大小（2）有理数乘除除法的规律
（3）有理数的展开式
2、多项式
（1）多项式的定义、多项式的名称
（2）多项式的加减法
（3）多项式的乘法
（4）多项式的除法及系数的计算。

初中数学圆锥与圆台的表面积计算知识点总结

初中数学圆锥与圆台的表面积计算知识点总结圆锥和圆台是初中数学中常见的几何图形，在计算其表面积时有一些特殊的知识点和公式需要掌握。

本文将对这些知识点进行总结，并提供相应的计算公式。

一、圆锥的表面积计算圆锥是由一个圆与一个顶点不在圆所在平面上的直线连接而成的几何体。

圆锥的表面积由两个部分组成：底面积和侧面积。

1. 底面积的计算圆锥的底面是一个圆形，其面积的计算公式为：底面积= πr^2其中，r表示底面圆的半径。

2. 侧面积的计算圆锥的侧面积由一个扇形和一个三角形组成，计算公式为：侧面积= 1/2πrl其中，r表示底面圆的半径，l表示圆锥的斜高（即侧边的长度）。

3. 圆锥的表面积计算圆锥的表面积等于底面积加上侧面积，即：表面积 = 底面积 + 侧面积表面积= πr^2 + 1/2πrl二、圆台的表面积计算圆台是由两个平行于底面圆的圆面和一个侧面连接而成的几何体。

圆台的表面积也由两个部分组成：上底面积和侧面积。

1. 上底面积的计算圆台的上底是一个圆形，其面积的计算公式与底面积相同：上底面积= πR^2其中，R表示上底圆的半径。

2. 侧面积的计算圆台的侧面积由一个梯形和一个弯曲面组成，计算公式为：侧面积= (l1 + l2)πr其中，r表示上底圆的半径，l1和l2表示圆台的斜高（即侧边的长度）。

3. 圆台的表面积计算圆台的表面积等于上底面积加上侧面积，即：表面积 = 上底面积 + 侧面积表面积= πR^2 + (l1 + l2)πr三、例题演练1. 已知一个圆锥的底面半径为3cm，侧边的长度为4cm，求圆锥的表面积。

解：根据公式，底面积= πr^2 = π(3^2) = 9π平方厘米侧面积= 1/2πrl = 1/2π(3)(4) = 6π平方厘米表面积 = 底面积 + 侧面积= 9π + 6π = 15π平方厘米 (约47.1平方厘米)2. 已知一个圆台的上底半径为4cm，下底半径为2cm，侧边的长度为5cm，求圆台的表面积。

初一下册几何知识点总结归纳

初一下册几何知识点总结归纳一、初中数学几何知识点1、三角形内角定理定理：三角形两边的和大于第三边推论：三角形两边的差小于第三边三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°2、几何平行平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行两直线平行推论：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补3、点、线、角点的定理：过两点有且只有一条直线点的定理：两点之间线段最短角的定理：同角或等角的补角相等角的定理：同角或等角的余角相等直线定理：过一点有且只有一条直线和已知直线垂直直线定理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短4、全等三角形判定定理：全等三角形的对应边、对应角相等边角边定理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角定理(ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等边边边定理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等斜边、直角边定理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等5、角的平分线定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合6、等腰三角形性质等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)7、对称定理定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称8、直角三角形定理定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半判定定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形9、多边形内角和定理定理：四边形的内角和等于360°；四边形的外角和等于360°多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°推论：任意多边的外角和等于360°10、平行四边形定理平行四边形性质定理：1.平行四边形的对角相等2.平行四边形的对边相等3.平行四边形的对角线互相平分推论：夹在两条平行线间的平行线段相等平行四边形判定定理：1.两组对角分别相等的四边形是平行四边形2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3.对角线互相平分的四边形是平行四边形4.一组对边平行相等的四边形是平行四边形11、矩形定理矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形性质定理2：矩形的对角线相等矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形12、菱形定理菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形13、正方形定理正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角14、中心对称定理定理1：关于中心对称的两个图形是全等的定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称15、等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理：1.等腰梯形在同一底上的两个角相等2.等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理：1.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2.对角线相等的梯形是等腰梯形平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边16、中位线定理三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2S=L×h17、相似三角形定理相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似相似三角形判定定理：1.两角对应相等，两三角形相似(ASA)2.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似(SSS)相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似性质定理：1.相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比2.相似三角形周长的比等于相似比3.相似三角形面积的比等于相似比的平方18、三角函数定理任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值19、圆的定理定理：过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论2：弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另一条弧定理：1.在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等2.经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线3.圆的切线垂直经过切点的半径4.三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心5.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角6.圆的外切四边形的两组对边的和相等7.如果四边形两组对边的和相等，那么它必有内切圆8.两圆的两条外公切线的长相等;两圆的两条内公切线的长也相等20、比例性质定理比例的基本性质：如果a：b=c：d，那么ad=bc如果ad=bc，那么a：b=c：d合比性质如果a/b=c/d，那么(a±b)/b=(c±d)/d等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)，那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b二、数学知识点总结热冰时间在学习中流逝着,不觉间又一学期走了一半,七下数学的几何部分也告一段落,故将一些重要的和易错的知识点总结于此,供日后学习完善!此内容仅限于人教版内容顺序平行线与相交线部分1过两点有且只有一条直线（强调唯一性和存在性）2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行9 同位角相等,两直线平行10 内错角相等,两直线平行11 同旁内角互补,两直线平行12两直线平行,同位角相等13 两直线平行,内错角相等14 两直线平行,同旁内角互补尺规作图（这是重难点）作线段等于已知线段和作角等于已知角（1）理解尺规作图的含义①只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图.显然,尺规作图的工具只能是直尺和圆规.其中直尺用来作直线、线段、射线或延长线段等；圆规用来作圆或圆弧等.值得注意的是直尺是没有刻度的或不考虑刻度的存在.②基本作图：a.用尺规作一条线段等于已知线段；b.用尺规作一个角等于已知角.利用这两个基本作图,可以作两条线段或两个角的和或差.（2）熟练掌握尺规作图题的规范语言Ⅰ.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×,使××＝××；或延长××交××于点×；Ⅱ.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心,××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心,××的长为半径作弧,交××于点×；④分别以点×、点×为圆心,以××、××的长为半径作弧,两弧相交于点×、×.（3）尺规作图题的步骤：①已知：当题目是文字语言叙述时,要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；②求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；③作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时,一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图,可先画出草图,使它同所要作的图大致相同,然后借助草图寻找作法.在目前,我们只要能够写出已知,求作,作法三步（另外还有第四步证明）就可以了,而且在许多中考作图题中,又往往只要求保留作图痕迹,不需要写出作法,可见在解作图题时,保留作图痕迹很重要.15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°（掌握证明此定理的两种方法）附加：画三角形的高时,只需向对边或对边的延长线作垂线,连接顶点与垂足的线段就是该边上的高.（易错点）注意：（1）三角形的高是线段,垂线段.（2）锐角三角形的高都在三角形内部；直角三角形仅斜边上的高在三角形内部,另两边上的高为三角形的两条直角边；钝角三角形仅一条高在三角形内部,另两条高在三角形外部.（3）三角形三条高所在直线交于一点.且这点叫做三角形的垂心.三角形的三条中线交于三角形内部,这一点叫做三角形的重心.三角形三条角平分线交于三角形内部,这一点叫做三角形的内心.四边形内容部分18定理四边形的内角和等于360°19四边形的外角和等于360°20多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°21推论任意多边的外角和等于360°22多边形对角线公式n (n-3)/21点、线、面、体知识点三、几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

初中数学知识点全面总结(完整版)

初中数学知识点全面总结(完整版)初中数学知识点全面总结（完整版）1. 数字与代数- 自然数：1，2，3，...- 整数：包括自然数及其负数和0- 有理数：可以表示为两个整数的比值的数- 实数：包括有理数和无理数- 代数运算：加法、减法、乘法、除法- 代数式：可以含有数、字母和运算符号的式子2. 几何与图形- 点、线、面：几何学的基本概念- 直线和线段：由无数个点连成的图形- 角度：由两条射线共享一个端点而形成的图形- 三角形：有三条边和三个角的图形- 四边形：有四条边和四个角的图形- 圆和圆周：由一条曲线上的所有点组成的图形3. 数据和统计- 数据收集：通过调查、观察或实验来获得数据- 数据处理：整理、分类和统计数据的过程- 平均数：一组数值的中间值- 概率：事件发生的可能性4. 函数与方程- 函数：将一个或多个输入值关联到一个输出值的规则- 线性函数：图像为一条直线的函数- 一次方程：含有未知数的等式，且未知数的最高次数为1 - 二次函数：含有未知数的等式，且未知数的最高次数为2 - 不等式：包含不等关系的方程式5. 测量与几何变换- 长度、面积和体积的测量- 几何变换：平移、旋转、翻转和对称6. 概率与统计- 抽样调查：通过从整体中选取一部分作为样本来进行调查- 频率分布表：将数据按一定规则整理并统计出现频率- 相对频率：某一事件发生的频率与总次数之比- 抽样误差：由于样本选择不足而引起的统计结果误差以上是初中数学的主要知识点总结，希望对你有帮助！（注意：每个知识点只是简短介绍，具体内容还需进一步研究和理解。

）。

中考数学解题方法及提分突破训练：面积法专题(含解析)

解题方法及提分突破训练:面积法专题用面积法解几何问题是一种重要的数学方法,在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效.一．真题链接1。

（2012 济南模拟)圆柱的底面周长为2π，高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为2。

（2012•东营）如图,在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上,OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的41 ,那么点B′的坐标是（）A. (—2，3） B 。

（2，—3） C 。

（3，-2）或（—2，3) D.(-2,3）或（2，-3） 3．（2012 呼和浩特）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm),则该几何体的侧面积为 cm ．4。

(2012•潍坊）如图，三角形ABC 的两个顶点B 、C 在圆上，顶点A 在圆外，AB 、AC 分别交圆于E 、D 两点，连接EC 、BD ． (1）求证：△ABD ∽△ACE ；(2)若△BEC 与△BDC 的面积相等,试判定三角形ABC 的形状5.（2012•宜宾）如图，在四边形ABCD 中,DC ∥AB,CB ⊥AB,AB=AD ，CD=21，AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为( ) A 。

71 B 。

61 C 。

51 D 。

41二名词释义平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。

运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。

面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。

所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

三角形的面积知识点总结

三角形的面积知识点总结三角形是初中数学中的一个重要的几何图形，计算三角形的面积是我们学习的基本知识之一。

下面是对三角形的面积知识点的总结。

一、三角形的面积公式三角形的面积公式是最基本的计算三角形面积的方法，它可以应用于各种类型的三角形。

根据三角形的底边和高的长度，三角形的面积可以用以下公式表示：面积 = 底边长度 * 高 / 2二、直角三角形的面积直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为直角，即90度。

直角三角形的面积计算可以使用以下公式：面积 = 直角三角形的两条直角边长度的乘积 / 2三、等边三角形的面积等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。

等边三角形的面积计算可以使用以下公式：面积 = (边长^2 * √3) / 4四、等腰三角形的面积等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

等腰三角形的面积计算可以使用以下公式：面积 = 底边长度 * 高 / 2五、海伦公式对于已知三角形的三条边长a、b、c，可以使用海伦公式计算三角形的面积，公式如下：面积= √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))其中p为半周长，即p = (a + b + c) / 2六、SAS（边-角-边）求面积法如果已知三角形的两边长度和它们之间的夹角，可以使用SAS求面积法计算三角形的面积。

具体计算方法如下：1. 根据已知条件，画出三角形。

2. 使用三角形的边长和夹角长度，计算三角形的面积。

七、SSS（边-边-边）求面积法如果已知三角形的三边长度，可以使用SSS求面积法计算三角形的面积。

具体计算方法如下：1. 根据已知条件，画出三角形。

2. 使用海伦公式计算三角形的面积。

八、利用向量求面积向量是数学中的一个重要工具，也可以用来计算三角形的面积。

如果已知三角形的两个边的向量形式，可以使用向量的叉积计算三角形的面积。

九、利用三角形内切圆半径求面积如果已知三角形的内切圆半径r，可以使用以下公式计算三角形的面积：面积 = (r * a * b * c) / (4 * p)其中a、b、c为三角形的三条边长，p为半周长。

初中数学之求阴影面积方法总结

-初中数学之求阴影面积方法总结一、公式法这属于最简单的方法，阴影面积是一个常规的几何图形，例如三角形、正方形等等。

简单举出2个例子:二、和差法攻略一直接和差法这类题目也比拟简单，属于一目了然的题目。

只需学生用两个或多个常见的几何图形面积进展加减。

攻略二构造和差法从这里开场，学生就要构建自己的数学图形转化思维了，学会通过添加辅助线进展求解。

三、割补法割补法，是学生拥有比拟强的转化能力后才能轻松运用的，否则学生看到这样的题目还是会无从下手。

尤其适用于直接求面积较复杂或无法计算时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件。

攻略一全等法攻略二对称法攻略三平移法攻略四旋转法小结：〔一〕解决面积问题常用的理论依据1、三角形的中线把三角形分成两个面积相等的局部。

2、同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。

3、平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的局部。

4、同底〔等底〕的两个三角形面积的比等于高的比。

同高〔或等高〕的两个三角形面积的比等于底的比。

5、根本几何图形面积公式：三角形、平行四边形、、菱形、矩形、梯形、圆、扇形。

6、相似三角形面积之比等于相似比的平方7、反比例函数中k的几何含义8、在直角坐标系中函数图像构成的图形面积常常利用图形顶点的坐标构造高去求面积〔二〕证明面积问题常用的证题思路和方法1、分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。

2、补全法：通过平移、旋转、翻折变换把分散的图形拼成一个规则的几何根本图形3、作平行线法：通过平行线找出同高〔或等高〕的三角形。

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初中数学公式大全初中必背

初中数学公式大全初中必背《初中数学公式大全初中必背》
一、平面几何图形公式：
1. 圆的面积公式：S=πr2
2.三角形面积公式：S=1/2×a×b
3.正方形面积公式：S=a2
4.长方形面积公式：S=a×b
5.圆的周长公式：L=2πr
6.正方形的周长公式：L=4a
7.三角形周长公式：L=a+b+c
8.长方形周长公式：L=2a+2b
9.平行四边形的面积公式：S=12×h×a
二、数列公式：
1.等差数列求和公式：Sn=n(a+an)/2
2.等比数列求和公式：Sn=a1(1-qn)/(1-q)
3.等差数列的前n项和：Sn=n(a1+an)/2
4.等比数列的前n项和：Sn=a1(1-qn)/(1-q)
5.等差数列的公差：d=a2-a1
三、代数公式：
1.分式加法：（a/b）+（c/d）=(ad+bc)/bd
2.分式减法：（a/b）-(c/d)=(ad-bc)/bd
3.分式乘法：（a/b）×（c/d）=(ac)/(bd)
4.分式除法：（a/b）÷（c/d）=(ad)/(bc)
5.一元二次方程求根公式：x=（-b±√(b2-4ac))/2a。

初中数学知识归纳球的表面积和体积的计算

初中数学知识归纳球的表面积和体积的计算初中数学知识归纳：球的表面积和体积的计算球是一种常见的几何图形，它的表面积和体积的计算在初中数学中是非常基础的内容。

本文将对球的表面积和体积的计算进行归纳总结，帮助读者理解和掌握相关概念和计算方法。

一、球的基本概念与属性球是一个圆沿着直径旋转一周所形成的图形。

球的基本属性包括半径、直径、中心和表面积、体积等。

1. 半径（r）：球的中心到球面上任意点的距离。

2. 直径（d）：通过球心的两个相对点之间的距离，直径是半径的两倍，即d=2r。

3. 中心：球的中心点，所有球面上的点到球心的距离都相等。

4. 表面积（S）：球的外表面积，单位为平方单位。

公式为S=4πr²。

5. 体积（V）：球的内部空间大小，单位为立方单位。

公式为V=(4/3)πr³。

二、球面积的计算方法球的表面积是指球体外部的所有面积之和。

我们可以通过以下公式来计算球的表面积：S = 4πr²其中，S表示表面积，π为圆周率，r为球的半径。

为了更好地理解球面积的计算方法，我们可以通过一个实例进行说明。

假设半径为3cm的球的表面积计算如下：S = 4π × 3²= 4 × 3.14 × 9≈ 113.04 cm²所以，半径为3cm的球的表面积约为113.04平方厘米。

三、球体积的计算方法球的体积是指球体内部的空间大小。

我们可以通过以下公式来计算球的体积：V = (4/3)πr³其中，V表示体积，π为圆周率，r为球的半径。

同样通过一个实例来说明球体积的计算方法。

假设半径为3cm的球的体积计算如下：V = (4/3)π × 3³= (4/3) × 3.14 × 27≈ 113.04 cm³所以，半径为3cm的球的体积约为113.04立方厘米。

四、球的应用举例球作为一种常见的几何图形，在日常生活中有许多实际应用。

初中数学知识归纳平行四边形的性质及面积计算

初中数学知识归纳平行四边形的性质及面积计算初中数学知识归纳：平行四边形的性质及面积计算平行四边形是初中数学中的一个重要几何图形，具有独特的性质和计算方法。

本文将对平行四边形的性质和面积计算进行归纳总结。

一、平行四边形的性质1. 定义：平行四边形是具有两对对边分别平行的四边形。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线相交于一点，并且该点将对角线等分。

3. 对边性质：a. 对边平行：平行四边形的对边互相平行。

b. 对边相等：平行四边形的对边互相相等。

4. 角性质：a. 互补角：平行四边形的内角互补，即相邻内角之和为180°。

b. 同位角：平行四边形的同位角互相相等。

5. 邻补角性质：平行四边形的邻补角之和为180°。

6. 对角线比例性质：平行四边形的对角线按照相等比例分割两对角。

7. 面对角关系：a. 面积相等：平行四边形具有相等的面积。

b. 对角线中点连线关系：平行四边形对角线中点连线是平行四边形的一个角平分线。

二、平行四边形的面积计算平行四边形的面积可以通过以下两种常用方法计算：1. 公式法：平行四边形的面积 = 底边长 ×高举例说明：设平行四边形的底边长为a，高为h，则平行四边形的面积为S = a × h。

2. 已知边长法：已知平行四边形的两条邻边长（a和b）及它们之间的夹角（θ），可以采用三角函数来计算面积。

具体计算公式为：平行四边形的面积= a × b × sin(θ)举例说明：设平行四边形的两条邻边长分别为a = 5cm，b = 8cm，夹角为θ = 60°，则平行四边形的面积为S = 5 × 8 × sin(60°)。

三、例题解析例题1：已知平行四边形的一边长为6cm，高为4cm，求其面积。

解析：根据公式法，已知底边长为6cm，高为4cm，代入公式S = a × h，得到S = 6 × 4 = 24。

初中几何模型与解法中考几何专题：等面积法

初中几何模型与解法：等面积法教学目标1、学会寻找同一个图形两种计算面积的方法，列出等量关系；2、学会运用等面积法建立等式求解线段长或证明线段之间的数量关系3、学会运用等面积法巧妙求解一些不规则图形的面积重、难点重点：运用等面积法建立等式；难点：运用等面积法巧妙求解一些不规则图形的面积知识导图知识梳理方法概述：运用同一图形的两种计算面积的方法，列出等量关系，从而求解线段的长度，或者证明线段之间的等量关系，甚至求解不规则图形的面接！技巧归纳：1、当图形中出现两个（或者以上）的垂直关系时，常用此法.2、计算多边形面积的常用方法：(1)面积计算公式(2)对于公式⑤的证明（如右图）：S=S △ABD +S △CBD===*(3)割补法：将不规则图形“分割或补全’为规则图形.+=又∵ABC =AC AB∴该直角三角形斜边AB上的高CD=导学一：等面积法在直角三角形的应用知识点讲解1在直角三角形中，两条直角边、斜边以及斜边上的高，知道任意两个可以运用勾股定理、等面积思想求出剩余两个。

如图：基本公式:①勾股定理:②等面积法：证明②：即：,例题1.如图，在Rt ABC ,∠C=90°，当直角边AC =4，斜边AB =5时，求该直角三角形斜边AB上的高CD ?【参考答案】=2.如图，在Rt ABC (BC AC ),∠C=90°，当斜边AB =10cm，斜边AB上的高CD =4.8cm 时，求该直角三角形直角边AC和BC的长度?【参考答案】解：设AC =x,BC =y,(y由勾股定理：==100又∵ABC =AC AB ∴x y=48再由.得到解得：答：AC =6，BC =8同步练习1.如图，在Rt ABC,∠C=90°，且AC=24,BC=7，作ABC的三个内角的角平分线交于点P，再过点P依次作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E,作PF⊥AC于F.(1)求证：PD=PE=PF;(2)求出：PD的值.【参考答案】（1）证明∵AP平分∠CAB，且PD⊥AB,PF⊥AC∴PD=PF同理，PD=PE综上，PD=PE=PF（2）解：C、=5设：PD=PE=PF=dABC =AC =84sp;ABC&en=APBBPC CPA 84=++d =3,PD=32.如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（）B、D、A、【参考答案】C 解：∵S△ABC ＝3×4−×2×3−×2×1−×2×4＝4∵BC＝＝，∴BC边长的高＝＝故选：C．导学二：等面积法在等腰三角形的应用知识点讲解1在等腰三角形中，可以运用“割补法”的等面积思想，先建立有关“腰以及腰上的高”的等式，再通过等式两边约分来探索出线段之间的数量关系！例题1.如图,在△ABC中,AB=AC,AC边上的高BD=10cm.（1）如图1,求AB边上高CE的长；（2）如图2,若点P为BC边上任意一点,PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,求PM+PN的值；（3）如图3,若点P为BC延长线上任意一点,PM⊥AB于M,PN⊥AC于点N,在①PM+PN；②PM PN中有一个是定值,判断出来并求值.【参考答案】(1)由S△ABC=×AB×CE=×AC×BD∵AB=AC,BD=10∴CE=10(2)如图，连接AP由S△ABP+S△ACP=S△ABC×AB×PM+×AC×PD=×AC×BD∵AB=AC，BD=10∴PM+PN=10(3)如图，连接APPM−PN是定值理由如下：连接AP,由S△ABP−S△ACP=S△ABC×AB×PM−×AC×PD=×AC×BD∵AB=AC，BD=10∴PM−PN=102.已知等边△ABC和内部一点P，设点P到△ABC三边的AB、BC、AC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，问h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由。

初中数学几何模型(九)面积模型

初中数学几何模型（九）面积模型1、铅锤法模型：如图，过△ABC的顶点C、B作铅垂线，顶点A作水平线。

线段a叫△ABC的“水平宽”，线段b叫△ABC的“铅锤高度”。

这样我们可以得到求三角形面积的一种方法：S△ABC=12ab，即三角形面积等于水平宽度与铅锤高度乘积的一半。

在平面直角坐标系中，二次函数、反比例函数为基架的动态问题中，确定水平宽度和铅锤高度，并使用铅锤法求斜三角形的面积及相关最值问题。

口诀：“歪歪三角形中间砍一刀”。

典型例题：1、如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，1）、B（7，3）、C（4，7），求△ABC的面积。

略解：∵A（1，1）、B（7，3），∴水平宽度AE=6；可以根据中点坐标公式、可以用三角形中位线定理、也可以用待定系数法求出直线AB的解析式三种思路求出点D（4，2），∴铅锤高度CD=5；根据铅锤法求S△ABC=12ab=12×AE×CD=12×6×5=15（平方单位）。

2、如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为G。

（1）求△ABC和△BCG的面积；（2）若点D在直线BC下方抛物线上运动，求△BCD面积的最大值。

（3）若点D在直线BC下方抛物线上运动，求四边形ACDB面积的最大值。

2、等积模型：用不同方法表示同一个图形的面积，结果相等。

（1）当所表示的图形是“规则”图形时，不同的方法指的是：①直接用面积公式表示；②用其他图形面积的和或差表示。

（2）当所表示的图形是“不规则”的图形时，不同方法指的是：用割补法来表示。

典型例题：1、在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边上的高，用直角三角形的三边表示斜边上的高CD。

解：∵S △ABC =12ch ，S △ABC =12ab ，∴12ch =12ab ，∴h=ab c。

结论：直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边。

2、（1）如图①，已知△ABC 中，AB=AC ，点P 是BC 上的一点，PN ⊥AC 于点N ，PM ⊥AB 于点M ，CG ⊥AB 于点G ，求证：CG=PM+PN 。

面积最值问题初中数学

面积最值问题初中数学面积最值问题是初中数学中一个常见的应用题类型，主要涉及到几何图形的面积，并要求寻找出图形面积的最大值或最小值。

通过解决这类问题，学生们可以加强对图形面积计算的理解，并培养数学建模和解决实际问题的能力。

一、矩形面积最值问题矩形是最为简单的几何图形之一，其面积公式为“面积=长×宽”。

当矩形的周长一定时，如何确定矩形的面积最大或最小值成为了问题的关键。

在解决这类问题时，我们可以利用变量法。

假设矩形的长为x，宽为y，则有以下两个约束条件：1. 2x + 2y = 周长（常数）2. 长和宽都不能为负数，即x ≥ 0, y ≥ 0根据矩形的面积公式，在限定条件下，可以得到矩形的面积S和变量x、y之间的关系式：S = xy。

由此可得，在常数周长和约束条件下，我们需要求解的就是面积函数S = xy 的最值。

二、三角形面积最值问题三角形是常见的几何图形之一，其面积公式为“面积=底边×高/2”。

在解决三角形面积最值问题时，我们通常需要考虑两种情况。

情况一：确定一个边长，求解此边长对应的最大面积。

假设等腰三角形的底边长为x，两腰边长为y，则有以下两个约束条件：1. 2y + x = 周长（常数）2. 边长不能为负数，即x ≥ 0, y ≥ 0根据三角形的面积公式，在限定条件下，可以得到三角形的面积S和变量x、y之间的关系式：S = xy/2。

由此可得，在常数周长和约束条件下，我们需要求解的就是面积函数S = xy/2 的最值。

情况二：确定一个角度，求解此角度对应的最大面积。

假设三角形的底边长为x，底边两边夹角为θ，则有以下约束条件：1. θ为常数，0°≤θ≤180°2. 底边不能为负数，即x ≥ 0根据三角形的面积公式，在限定条件下，可以得到三角形的面积S和变量x之间的关系式：S = x^2 sin(θ)/2。

由此可得，在限定角度和约束条件下，我们需要求解的就是面积函数S = x^2 sin(θ)/2 的最值。

初中数学面积计算口诀

初中数学面积计算口诀一.求几何图形的面积有“三板斧”(1)直接用三角形，特殊四边形，圆，扇形的面积公式来求。

(2)间接割补法，把不规则图形面积通过割补、运动、变形转化为规则易求图形面积的和或差。

(3)特殊求法，即利用相似图形的面积比等于相似比的平方，等底(等高)的三角形面积比等于高(底)比的性质来解。

其次有些乘法公式、勾股定理、三角形的一边平行四边形的比例式等性质，也可用面积法来推导。

二.面积法是什么?运用面积关系解决平面几何体的方法，称为面积法。

它是几何中常用的一种方法。

特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。

所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系会变成数量之间的关系。

这个时候，问题就化繁为简了，只需要计算，有事甚至可以不添置补助线就迎刃而解了!此外，用面积法还可以用来求线段长，证明线段相等(不等)，角相等，比例式或等积式，求线段比等。

虽然这些几乎都可以用其他方法来解决，但是面积法无疑是一种更直接、简易、有效的方法。

三.面积法的常用理论口诀1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。

2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。

3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。

4.同底(等底)的两个三角形面积的比等于高的比。

同高(或等高)的两个三角形面积的比等于底的比。

5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。

6.三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的1/47.三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的1/48.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。

四.面积法的常用解题思路1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。

2.作平行线法：通过平行线找出同高(或等高)的三角形。

3.利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。

4.还可以利用面积解决其它问题。

初中数学几何图形面积计算的方法与练习

初中数学几何图形面积计算的方法与练习在初中数学的学习中，几何图形面积的计算是一个重要的部分。

它不仅是考试中的常见考点，更是培养我们逻辑思维和空间想象能力的有效途径。

接下来，让我们一起深入探讨一下初中数学中几何图形面积计算的方法，并通过一些练习来巩固所学。

一、常见几何图形面积计算公式1、三角形三角形的面积计算公式为：面积＝底×高÷2。

这里的底和高是相互对应的，需要注意的是，同一个三角形可以有不同的底和高，选择不同的底和高计算时，要确保底和高的对应关系正确。

2、矩形（长方形）矩形的面积等于长乘以宽。

3、正方形正方形的面积等于边长的平方。

4、平行四边形平行四边形的面积等于底乘以高。

5、梯形梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2 。

6、圆形圆的面积＝π×半径的平方。

其中，π通常取 314。

二、面积计算方法1、直接运用公式法这是最基本也是最常见的方法。

当我们遇到规则的几何图形，如矩形、正方形、三角形等，且已知相关的边长、底、高等数据时，直接代入相应的公式即可求出面积。

例如：一个矩形的长为 5 厘米，宽为 3 厘米，其面积为 5×3 ＝ 15平方厘米。

2、割补法对于一些不规则的几何图形，我们可以通过割补的方法，将其转化为我们熟悉的规则图形，然后再计算面积。

比如，一个不规则的四边形，我们可以通过添加辅助线，将其分割成两个三角形或一个三角形和一个梯形，分别计算出各部分的面积，再相加得到整个四边形的面积。

3、等积变形法利用图形的面积不变性质，通过对图形的平移、旋转、对称等变换，将图形转化为易于计算面积的形式。

例如，两个三角形等底等高，则它们的面积相等。

我们可以利用这一性质，对图形进行变形，从而更方便地计算面积。

4、整体减部分法当一个图形由几个部分组成时，我们可以先求出整体的面积，再减去不需要的部分的面积，从而得到所求图形的面积。

比如，一个大正方形中包含一个小正方形，求阴影部分的面积，就可以用大正方形的面积减去小正方形的面积。

初等几何图形定义与计算公式大全(平面图形、立体图形等)+适合小学初中高中中及数学爱好者

几何图形定义与计算公式大全重点介绍两类常用的几何图形：一是平面图形，如三角形、四边形、正多边形以及与圆有关的各种图形；另一是空间立体图形，如正方体、长方体、球体、锥体、圆柱体以及各种正多面体.这里较详细地收集了它们的面积、体积、侧面积、表面积、重心和转动惯量等计算公式.另外，还介绍了一些图形（如正多边形）的作图方法，对于生产实践中常用的椭圆作图法和圆弧放样法也作了简要的说明.同时，明确指出了在百余年前已经严格证明了的所谓“几何三大问题”不能用尺规作图.§1 三角形与四边形一、三角形各元素的计算1. 三角形各元素图 2.1 图 2.2a,b,c 为三角形三边 R 为外接圆半径 A,B,C 为三个角 r 为内切圆半径AD 为a 边上的高 H 为垂心（三条高的交点） AF 为A 角的平分线 G 为重心（三条中线的交点）AE ()a m =为a 边上的中线为内心（三条角平分线的交点）p 为半周长为外心（三条垂直平分线的交点） S 为ABC ∆的面积2. 三角形各元素计算公式[高][中线] Abc c b a c b m a cos 221)(22122222++=-+=)180( =++C B A )(a h =)(a t =内O ⎪⎭⎫⎝⎛++=)(21c b a p 外O 222222sin ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-==a c b a b C b h a[角分线][面积][外接圆半径][内切圆半径] 2sin 2sin 2sin 4222))()((C B A R C tg B tg A p tg p c p b p a p p S r ==---==二、三角形和四边形的面积、几何重心、转动惯量计算公式图形表中m 为物体的质量，物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式见第六章，§3，五. 2cos 2])[(122Ac b bc a c b bc c b t a +=-++=Rabcrp ah C B A R c p b p a p p C ab S a 421sin sin sin 2))()((sin 212====---==S abc C c B b A a R 4sin 2sin 2sin 2====*[任意三角形]a,b,c 为三边,为a 边上的高[等腰三角形]b 为两腰,a 为底边,为a 边上高a h a ha,b 为邻边,d 为对角线, 为对角线的夹角a 为边长,为顶角,为两对角线ϕα21,d d图形面积S 、几何重心G 与转动惯量J a,b 为邻边,h 为对边距,为顶角,为两对角线,为两对角线夹角a,b 为上下底,h 为高,l 为两腰中点连线a,b,c,d 为四边长,为两对角线,为两对角线夹角面积重心 G 在对角线交点上面积重心转动惯量转轴通过重心,且平行于上下底 (图(a ))当a=b 时(平行四边形)面积()()()()α2cos abcd d p c p b p a p -----=或α21,d d ϕ21,d d ϕαsin ab bh S ==ϕsin 2121d d =lh h b a S =+=)(21)(2sin 3b a ba h GQ ++=αb a ba h GP ++=2sin 3α),,,(AB CF CD AE QD CQ PB AP ====)(36)4(223b a b ab a h J +++=m h a h J 121223==)(21sin 2121221h h d d d S +==ϕ)(21d c b a p +++=)(21C A ∠+∠=α)(21D B ∠+∠=§2 圆与正多边形一、与圆有关的各量计算公式⌒AMB BCA BAT 21=∠=∠=α式中⌒AMB 表示AMB 弧所对应的圆心角∠AOB 的角度（下同），C 为ANB 弧上的任意点.[两割线及其夹角γ])(21⌒⌒AC BD -=γAE ·BE= CE ·DE=ET 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∠=⌒⌒BD AC AEC 21βAE ·BE= CE ·DE=r 2-OE 2 式中r 为圆的半径.)(21''⌒⌒TAT TBT -=δ [圆内接四边形面积S ]O为圆心,r为半径,d为直径O为圆心,r为半径,d为直径r 为半径,b 为弦长,为弧s 所对应的圆心角的度数,为其弧度数,O 为圆心θα图形r 为半径,b 为弦长(b=2a ),h 为拱高,为圆心角度数,为圆心角弧度数,s 为弧长,O 为圆心R 为外半径,r 为内半径,D 为外直径,d 为内直径,O 为圆心 θα同前,为所对应的圆心角的度数,为其弧度数r 为半径,d 为直径,l 为圆心距,O O ',为新月形张开角度,为其弧度数面积重心转动惯量转轴与GO 重合(图(a ))面积式中重心0.10.2 0.3 0.4 0.399 0.795 1.182 1.5560.5 0.6 0.7 0.8 0.91.9132.2472.5512.8153.024三、正多边形各量换算公式与比例系数表n 为边数 R 为外接圆半径 R t r R ,,,θαθαR t r R S 180)(36022πθπθ=-=t R α=22sin322233ααr R r R GO --=22sin197.382233θθr R r R --≈)sin (844αα--=r R J m r R )sin (422ααα-+=)sin 180(2θπθπ+-=r S )sin (2ααπ+-=r η2r =θπθπηsin 180+-=l GO ηηπ23-=l GO ηηπ2'-=d l ηdl η为圆心角 S 为多边形面积重心G 与外接圆心O 重合正三角形正方形正五边形正六边形正n 边形2233RRa2tan2αnr2cot 2αa正多边形各量比例系数表α⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n 360α243a 2433R 233r R 3a 33a 632a 22R 24r R 2a 22a 2125102541a +R 521021-a 5521021+a 552521+2233a 232r a 23αsin 22R n 2sin2αR 2sin2αa§3 实用几何作图一、正多边形作图[已知边长作正三角形] 已知AB 等于边长.分别以A,B 为圆心，AB 为半径画弧交于C ,连接AC ，BC ，即为所求正三角形（图2.3）.[已知边长作正方形] 已知AB 等于边长.以AB 外任一点O 为圆心，OA 为半径画圆交AB 于E .连接EO 并延长交圆于F ,连接AF 并延长截取AD=AB .分别以B ，D 为圆心，AB 为半径画弧交于C ，连接BC ，DC ，□ABCD 即为所求正方形(图2.4).[已知外接圆作正五边形] 过圆心O 作互相垂直的直径AB ，CD ，平分OB 于E ，以E 为圆心，EC 为半径画弧交OA 于F ，以CF 为半径在圆周上顺次截段并连接各点，即为所求正五边形(图 2.5).也可参考正十边形作法(见图 2.11中的虚线).[已知边长作正五边形] 已知AB 等于边长.以A ，B 为圆心，AB 为半径画两圆交于C ，D ，连接CD .以D 为圆心，AB 为半径画圆，交CD 于E ，交A 圆于F ，交B 圆于G ，连接FE ，GE ，并延长交B ，A 圆于H ，I .分别以H ，I 为圆心，AB 为半径画弧交于J ，连接JI ，IA ，BH ，HJ ，连同AB 即为所求正五边形(图2.6).[已知外接圆作正六边形] 以外接圆半径在其圆周上顺次截段，并连接各点，即为所求正六边形(图2.7). ABC[已知边长作正六边形] 已知AB 等于边长，分别以A ，B 为圆心，AB 为半径画弧交于O ，以O 为圆心，AB 为半径画圆.再按上法可作出所求正六边形(图2.8).[已知外接圆作正七边形(近似作法)] 以圆周上任一点A 为圆心，以同圆半径为半径画弧交圆周于B ，C ，连接BC ，AO ，交于D .以BD 为半径(作图时应略大于BD )在圆周上顺次截段，并连接各点，即为所求正七边形(图2.9).[已知外接圆作正八边形] 过圆心O 作互相垂直的直径AB ，CD .分别以A ，B ，D 为圆心，任意长为半径画弧交于E ，F ，连接EO ，FO ，并延长交圆于G ，H ，I ，J ，顺次连接八点，即为所求正八边形(图2.10).[已知外接圆作正十边形] 过圆心O 作互相垂直的直径AB ，CD ，以OB 为直径画圆E ，连接EC 交E 圆于F .以CF 为半径在圆周上顺次截段，并连接各点，即为所求正十边形(图2.11).[已知外接圆作任意正多边形(近似作法)] 将直径AB n 等分(n 为边数),以A ，B 为圆心，AB 为半径画弧交于C ，连接C 与第二个分点E ，并延长交圆于D ，以AD 为半径在圆周上顺次截段，并连接各点，即为所求正n 边形(图2.12中为正九边形).二、椭圆作图已知长短轴(2a,2b )作椭圆，其方法如下：[轨迹法] 作长轴AB =2a ，短轴CD =2b ,相互垂直平分交于O ，以D 为圆心，a 为半径画弧交AB 于.在两点钉上,F F ,F F线，移动铅笔所画出的曲线即为椭圆(图2.13).[焦点法] 同轨迹法一样，先画出点，将AB 8等分，中间各点为.分别以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两两相交于和.再将这些交点连同A ，B 一起用光滑曲线顺次连接，即近似于所求椭圆(图2.14).[压缩法] 用长短轴为直径画出两个同心圆，并将圆周12等分(小圆分点1～12，大圆分点对应为21~1'').连接018,117,42,51'-''-''-''-'和1－11,2－10,4－8,5－7,并延长，将51'-'与1－11,5－7;42'-'与2－10,4－8;117'-'与1－11,5－7;018'-'与2－10,4－8的交点(共8个)，连同四个顶点一起，用光滑曲线顺次连接，即近似于所求椭圆(图2.15).[圆弧法] 作长轴AB=2a ,短轴CD=2b ，相互垂直平分交于O ，作OE=OA ，以C 为圆心，CE 为半径画弧交AC 于F ，作AF 的垂直平分线交AB 于G ，交CD 延长线于I .作OH=OG ，OJ=OI .分别以I ，J 为圆心，IC 为半径画弧，又分别以G ，H 为圆心，GA 为半径画弧，则四段弧相连即近似于所求椭圆(图2.16).三、圆弧放样法在土木建筑工程中，由于受各种施工条件的限制，不能用圆规一转就画出圆弧，可采用下面方法在施工现场直接放大样.这种方法可在有限平面内放出任意大半径的圆弧实样，又便于工人同志掌握.[已知弦长和拱高作圆弧] 方法作AB 等于弦长，作CO 垂直平分AB ，并使CO 等于拱高，连接BC ，作BC 的中垂线DE .作的平分线交DE 于E ，在ED 延长线上取DF=DE ，则F 为的分点.由对称性，F 的对称点也是的分点.重复上述步骤，可得的各分点，将各分点以光滑曲线顺次连接，即为所求圆弧(图2.17).此方法概念明确，步骤较少，占地最少.方法作AB 等于弦长，作CO 垂直平分AB ，并使CO 等于拱高.作BC 的中垂线DF ，截OE=CD .过E 作AB 的垂线交DF 于F ，则F21,F F i K )71(≤≤i 1F i AK 2F i BK i M i N )62(≤≤i ︒1ABC ∠41'F 41,321,161,81︒211述步骤，可得的各分点，将各分点以光滑曲线顺次连接，即为所求圆弧(图2.18).此方法步骤最少.[已知弦长和圆弧上任一点作圆弧] 已知AB 为弦长，C 为已知圆弧上一点.以BC 为边作角()ABC CAB CBB ∠<<∠=∠αα1.再以AC 为边按相同方向作角α=∠1CAA .上的点.当取a 为一系列值时，便得到圆弧上一系列点，将各点以光滑曲线顺次连接，即为所求圆弧(图 2.19).此方法最适于采用经纬仪、罗盘仪来测放半径很大的圆弧.四、几何作图问题所谓初等几何作图问题，是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形，则称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的，否则称为作图不可能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出，例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出，例如正七边形、正九边形、正十一边形等，这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能，哪些作图不可能呢？直到百余年前，用代数的方法彻底地解决了这个问题，即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分必要条件是，这个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来许多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“几何三大问题”：立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的体积. 三等分角问题，即三等分一已知角.化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积. 后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.,321,161,81为交于1111,,C C BB AA ︒1︒2︒3§4 立体图形的体积、表面积、侧面积几何重心与转动惯量计算公式一、立体图形的体积、表面积、侧面积、几何重心与转动惯量计算公式图形体积V 、表面积S 、侧面积M 、几何重心G 与转动惯量*Ja 为棱长，d 为对角线a,b,h 分别为长,宽,高,d 为对角线体积 3a V = 表面积侧面积对角线重心 G 在对角线交点上体积表面积侧面积对角线重心 G 在对角线交点上转动惯量取长方体中心为坐标原点,坐标轴分别平行三个棱边(当时,即为正方体的情况)表中m 为物体的质量，物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式见第六章，§3，五.26a S =24a M =a d 3=2aGQ =abh V =)(2bh ah ab S ++=)(2b a h M +=222h b a d ++=2h GQ =m h b J x )(12122+=m h a J y )(12122+=m b a J z )(12122+=m h b a J o )(121222++=h b a ==*a,b,c为边长,h为高a为底边长,h为高,d为对角线n为棱数,a为底边长,h为高,g为斜高a,b,c,p,q,r为棱长h为高a’,a分别为上下底边长,n为棱数,h为高,g为斜高重心(P为顶点,Q为底面的重心)体积式中分别为上下底面积重心(P,Q分别为上下底重心)体积表面积侧面积gaanM)'(2+=式中分别为上下底面积重心(P、Q分别为上下底重心)1111111128812222222222222cbacpqbpraqrV=PQGQ41=)''(3FFFFhV++=FF,''''3'24FFFFFFFFPQGQ++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛++=2''13aaaahFVFFMS++='FF,'2222'''3'24aaaaaaaahGQ++++=两底为矩形,a’,b’,a,b分别为上下底边长,h为a为截头棱长高,1底为矩形,a,b为其边长,h为高,a’为上棱长r为半径[半球体]r为半径,O为球心r为球半径,a为弓形底圆半径,h为拱高,α为锥角(弧度)r为球半径,a为拱底圆半径,h为拱高[球台]r为球半径,a',a分别为上下底圆的半径,h为高R为中心半径,D为中心直径,r为圆截面半径,d为圆截面直径[圆柱体]r为底面半径,h为高R为外半径,r为内半径,h为高r为底圆半径,h,H分别为最小,最大高度,α为截角,D为截头椭圆轴h为截段最大高度,b为底面拱高,2a为底面弦长,r为底面半径,α2为弧所对圆心角(弧度) a,b,c为半轴r为底圆半径,h为高,l为母线r,R分别为上,下底圆半径,h为高,l为母线F为上下底平行,F',F分别为上,下底面积,中截面面积,h为高d为上,下底圆直径,D为中截面直径,h为高二、多面体[正四面体] [正八面体] [正十二面体] [正二十面体]4 8 12 20[欧拉公式] 一个多面体的面数为f，棱数为k，顶点数为e,它们之间满足ke-f+=2。

初中数学知识点总结

初中数学知识点总结初中数学是一门重要的基础学科，它为我们进一步学习数学和其他科学知识奠定了坚实的基础。

以下是对初中数学知识点的全面总结。

一、数与代数1、有理数有理数包括整数和分数。

整数又分为正整数、零和负整数；分数分为正分数和负分数。

有理数的运算包括加、减、乘、除、乘方。

加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得 0。

减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0。

除法法则：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数；0 除以任何一个不为 0 的数都得 0。

乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

2、实数实数包括有理数和无理数。

无理数是无限不循环小数，如π、√2 等。

平方根：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。

正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。

算术平方根：一个正数的正的平方根叫做它的算术平方根。

立方根：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。

实数的运算：实数的运算顺序与有理数相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里的。

3、代数式用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

整式：单项式和多项式统称为整式。

单项式是数或字母的积，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式是几个单项式的和。

整式的加减：合并同类项，去括号。

整式的乘法：单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式。

整式的除法：单项式除以单项式，多项式除以单项式。

因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式。

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初中数学几何图形面积求法最全总结
几何问题一直都是中学数学阶段的一大重点，不仅仅在初中，在高中数学学习中也占有很大比例，所以要学好几何，基础很重要。

在初中数学几何问题中，有时候图形是不规则的，它是由一些基本图形组合、拼凑而成的，对于这类不规则图形，考试经常考的就是求该图形的面积或阴影部分的面积。

公式法
这是最简单，最基础的一种方法，当所求图形是我们常规的几何图形，例如三角形、正方形等。

此时直接运用公式即可。

例如：
和差法
和差法比公式法略微复杂，需要学生进行简单的判断，不过一般难度不大，只需学生用两个或多个常见的几何图形面积进行加减。

1.直接和差法
2.构造和差法
在构造和差法中，通常需要学生构建自己的数学图形转化思维，学会通过添加辅助线求解。

割补法
割补法，是学生拥有比较强的转化能力后才能轻松运用的，否则学生看到这样的题目还是会无从下手。