专题07 方程与方程组的解法(原卷版)
方程组的解题5种常见考法归类(原卷版)
方程组的解集5种常见考法归类1、方程组的解集一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．注意：（1）解方程组常用的方法：消元法．（2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．2、二元一次方程组方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．例如，⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，3x －y ＝6， ⎩⎪⎨⎪⎧2（x －3y ）＋3＝0，3x －12－5y ＝2都是二元一次方程组．3、三元一次方程组方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．例如，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，y ＋z ＝5，x ＋z ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋z ＝4，2x ＋3y －z ＝12，x ＋y ＋z ＝6都是三元一次方程组．4、二元二次方程组二元二次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为2，像这样的方程叫做二元二次方程．二元二次方程组：方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的最高次数为2，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元二次方程组．注：(1)二元二次方程组有两种类型：一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成；二是由两个二元二次方程组成，我们主要学习第一种类型．(2)解二元二次方程组的思路是消元和降次． 5、用代入消元法解二元一次方程组的步骤6、用加减消元法解二元一次方程组的步骤(2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．(3)当两个方程中，同一个未知数的系数相等或互为相反数时，用加减消元法较简单．(4)当两个方程通过变形用含有一个未知数的式子来表示另一个未知数比较复杂时，往往选用加减消元法．7、解三元一次方程组的基本思路8、消元法解三元一次方程组的两个注意点(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．(2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．注；解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先要消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的．9、“二·一”型的二元二次方程组的基本思想“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把二元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断．10、解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：11、解“二·二”型方程组的基本思想解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是：(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组．解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解．(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解．考点一 求二元一次方程组的解集 考点二 求三元一次方程组的解集 考点三 求二元二次方程组的解集 （一）“二·一”型的二元二次方程组（二）“二·二”型的二元二次方程组 考点四 方程组在实际问题中的应用 考点五 已知解集求参数考点一 求二元一次方程组的解集1．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）方程组51x y y x +=⎧⎨=+⎩的解集是2．（2023秋·上海普陀·高一校考阶段练习）用列举法表示方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集为 ．3．（2023·高一课时练习）若关于x ，y 的方程组213x y ax by +=-⎧⎨+=⎩与523ax by x y -=⎧⎨-=-⎩的解集相等，则a 、b 的值为（ ）A ．4,1a b ==-B ．4,1a b =-=-C ．4,1a b ==D ．4,1a b =-=4．（2023秋·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）解关于x ，y 的方程组：()12ax y a a x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩R ．考点二 求三元一次方程组的解集5．（2023·高一课时练习）已知非零实数,,x y z 满足230230x y z x y z --=⎧⎨-+=⎩，则::x y z =（ ）A ．1:1:3B ．3:3:1C ．3:3:(1)-D ．1:1:(3)-6．（2023春·北京海淀·高一校考开学考试）已知方程组20240x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩，则::x y z = ．7．（2023秋·全国·高一专题练习）方程组20,21,32x y z x y z x y z ++=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩的解集的是（ ）A ．{(1，－2，3)}B ．{(1，0，1)}C ．{(0，－1，0)}D ．{(0，1，－2)}8．（2023秋·辽宁大连·高一大连市第二十高级中学校考阶段练习）（1）求方程组353123x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩的解集；（2）求三元一次方程组3472395978x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩的解集.9．（2023·上海·高一专题练习）已知,,x y z 是非负整数，且10x y z ++=，2330,x y z ++=则53x y z ++的范围是考点三 求二元二次方程组的解集（一）“二·一”型的二元二次方程组10．（2023秋·全国·高一专题练习）方程组2219x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是（ ）. A ．(4,5)B ．(5,4)-C ．{(5,4)}-D ．{(4,5)}-11．（2023·高一课时练习）12．（2023秋·山东日照·高一山东省日照实验高级中学校考阶段练习）（1）求方程23(2)(2)x x x -=-的解集；（2）求方程组224915235x y x y ⎧-=⎨-=⎩的解集.13．（2023秋·北京·高一校考期中）求下列方程组的解集．．： (1)24235x y x y +=⎧⎨-=⎩；(2)222203412x y x y -+=⎧⎨+=⎩． 14．（2023·高一课时练习）求方程组2223026x y x y --=⎧⎨+=⎩的解集. 15．（2023秋·全国·高一专题练习）求下列方程组的解集：（1）33224355x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎨⎪--=⎩；（2）2255x y x y +=⎧⎨-=-⎩； （3）2221023x y x y --=⎧⎨+=⎩. （二）“二·二”型的二元二次方程组16．（2023·高一课时练习）已知矩形的面积为260cm，对角线长13cm，则该矩形的周长为cm.17．（2023秋·高一课时练习）解方程组22225()43 x y x y x xy y⎧-=+⎨++=⎩18．（2023·高一课时练习）已知实数a，b满足2210a a--=，2210b b--=，则a b+=．19．（2023·全国·高三专题练习）若相异两实数x，y满足222020x yy x⎧+-=⎨+-=⎩，则332x xy y-+之值为（）A．3B．4C．5D．6考点四方程组在实际问题中的应用20．（2023秋·全国·高一专题练习）某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（）A．8元B．16元C．24元D．32元21．（2023秋·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）我国古代书籍《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法，其中有一题为：“今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三（钱），人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价各几何”，请你回答本题中的人数是，物价是（钱）．22．（2023秋·全国·高一专题练习）x人，组数为y组，则列方程组为（）A．7385y xy x=+⎧⎨+=⎩B．7385y xy x=+⎧⎨-=⎩C．7385y xy x=-⎧⎨=+⎩D．7385y xy x=+⎧⎨=+⎩考点五已知解集求参数23．（2023·高一课时练习）关于,x y的方程组23131x yax by+=⎧⎨+=-⎩的解集为{(2,)}b-，则=a .24．（2023·高一课时练习）关于x，y的方程组573ax yx by c+=⎧⎨-=⎩的解集为{(2,1)}，则a b c++=（）A．1B．5C．6D．725．（2023秋·全国·高一专题练习）若关于x，y的方程组473mx yx my n+=⎧⎨-=⎩的解集为(){}1,2，则m n-=（）A．4B．-4C．6D．-626．（2023春·山东东营·高一东营市第一中学统考阶段练习）若2,(3,2)(,)3ax byx ybx ay⎧+=⎧⎫-∈⎨⎨⎬+=-⎩⎭⎩，则a b+的值为 .27．（2023·高一单元测试）若关于x、y的二元一次方程组231y xy kx=+⎧⎨=+⎩的解集为∅，则实数k=．28．（2023秋·山东潍坊·高一寿光市第一中学校考阶段练习）已知关于x，y的方程组2323ax yx by+=⎧⎨-=⎩，甲因看错了a，求得解集为34,32⎧⎫⎛⎫⎨ ⎪⎝⎭⎩-⎬⎭，则b=，甲把a错看成了 .。
七年级数学上册专题07 一元一次方程的定义(原卷版)(重点突围)
专题07 一元一次方程的定义考点一 判断各式是否是方程 考点二 列方程 考点三 方程的解 考点四 等式的性质考点五 一元一次方程的概念 考点六 利用一元一次方程的概念求字母的值考点一 判断各式是否是方程例题：（2022·四川资阳·七年级期末）下列各式中：①215x -=；②4812+=；③58y +；④230x y +=；⑤211a +=；⑥2251x x --，是方程的是（ ） A ．①④ B ．①②⑤C ．①④⑤D ．①②④⑤【变式训练】考点二 列方程【变式训练】1．（2022·浙江杭州·一模）在地球表面以下，每下降1km 温度就上升约10℃．某日地表温度是18℃，地下某处A 的温度是25℃．设A 处在地表以下x 千米，则（ ）A ．101825x +=B ．181025x +=C ．101825x -=D ．181025x -=2．（2022·湖南株洲·七年级期末）“x 的3倍与7的差等于12”可列方程为____________________．考点三 方程的解【变式训练】1．（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）已知3x =是关于x 的方程24x a -=的解，则a 的值是（ ） A ．2-B ．0C ．2D ．32．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）已知3x =是方程21x a -=的解，则=a ______．考点四 等式的性质【变式训练】考点五 一元一次方程的概念例题：（2021·山东·单县湖西学校七年级阶段练习）下列是一元一次方程的是（）A．2＝3－1B．2+C．x＋1＝5D．－22x y【变式训练】考点六利用一元一次方程的概念求字母的值例题：（2022·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）若关于x的方程kx|k﹣1|﹣1＝0是一元一次方程，则k的值为（）A．2B．1C．0D．0或2【变式训练】。
专题07 一元二次方程及应用(共30题)-(原卷版)
专题7一元二次方程及应用（共30题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·山东临沂市·中考真题）方程256x x -=的根是（ ） A ．1278x x ==，B ．1278x x ==-，C ．1278x x =-=，D ．1278x x =-=-，2．（2021·浙江丽水市·中考真题）用配方法解方程2410x x ++=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(2)5x -=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x +=D ．2(2)3x +=3．（2021·四川泸州市·中考真题）关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根12,x x ，满足122x x =，则2212(2)(2)x x ++的值是（ ）A ．8B ．16C ． 32D ．16或404．（2021·四川广安市·中考真题）关于x 的一元二次方程()22310a x x +-+=有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．14a ≤且2a ≠- B ．14a ≤ C ．14a <且2a ≠- D ．14a < 5．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线y x m =-+不经过第一象限，则关于x 的方程210mx x ++=的实数根的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．1或2个6．（2021·四川眉山市·中考真题）已知一元二次方程2310x x -+=的两根为1x ，2x ，则211252x x x --的值为（ ） A ．7-B ．3-C ．2D ．57．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是（ ）A ．212y x x =+和21y x =--B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x =-和21y x =-- D ．11y x=-和21y x =-+8．（2021·浙江台州市·中考真题）关于x 的方程x 2-4x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ＞4D ．m ＜49．（2021·云南中考真题）若一元二次方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <B ．1a ≤C ．1a ≤且0a ≠D ．1a <且0a ≠10．（2021·山东泰安市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．14k >- B ．14k <C ．14k >-且0k ≠D ．14k <0k ≠11．（2021·四川南充市·中考真题）已知方程2202110x x -+=的两根分别为1x ，2x ，则2122021x x -的值为（ ） A ．1B ．1-C ．2021D ．2021-12．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）函数y kx b =+的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程210x bx k ++-=的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定13．（2021·四川泸州市·中考真题）直线l 过点(0，4)且与y 轴垂直，若二次函数2222()(2)(3)2y x a x a x a a a =-+-+--+（其中x 是自变量）的图像与直线l 有两个不同的交点，且其对称轴在y 轴右侧，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞4 B ．a ＞0C ．0＜a ≤4D ．0＜a ＜4二、填空题14．（2021·上海中考真题）若一元二次方程2230x x c -+=无解，则c 的取值范围为_________． 15．（2021·湖南岳阳市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程260x x k ++=有两个相等的实数根，则实数k 的值为_______．16．（2021·江西中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2430x x -+=的两根，则1212x x x x +-=______． 17．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．18．（2021·四川广安市·中考真题）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x 2-6x +8=0的根，则三角形的周长为_____．19．（2021·甘肃武威市·中考真题）已知关于x 的方程2x 2x m 0-+=有两个相等的实数根，则m 的值是_________．20．（2021·江苏连云港市·中考真题）已知方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k =____． 21．（2021·四川成都市·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2210x x +-=的两个实数根，则242m m n++的值是______．22．（2021·浙江丽水市·中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题： 已知实数,a b 同时满足2222,22a a b b b a +=++=+，求代数式b aa b+的值．结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当a b =时，a 的值是__________． （2）当a b 时，代数式b aa b+的值是__________． 三、解答题23．（2021·四川南充市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=． （1）求证：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为1x ，2x ，且k 与12x x 都为整数，求k 所有可能的值．24．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程()()2333x x -=-的过程如下框：小敏：两边同除以()3x -，得33x =-，则6x =．小霞：移项，得()()23330x x ---=， 提取公因式，得()()3330x x ---=．则30x -=或330x --=， 解得13x =，20x =．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．25．（2021·四川遂宁市·中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？26．（2021·浙江中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有,A B两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；①问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？27．（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a%4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a ，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a ．求a 的值．28．（2021·四川乐山市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程20x x m +-=．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）二次函数2y x x m =+-的部分图象如图所示，求一元二次方程20x x m +-=的解．29．（2021·重庆中考真题）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A 产品，乙车间生产B 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A 产品的销售单价比B 产品的销售单价高100元，1件A 产品与1件B 产品售价和为500元．（1）A 、B 两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B 产品的生产车间．预计A 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a %；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2925a%．求a的值．30．（2021·四川泸州市·中考真题）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数myx的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点（1）求一次函数的解析式（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求PQMN的值.。
专题07二元一次方程及方程组(基础巩固练习) 解析版
2021年中考数学专题07 二元一次方程及方程组（基础巩固练习，共40个小题）【答案】B【解析】把各选项中的x、y值代入原方程，判断左右两边是否相等即可．解：把A选项代入原方程，左边=右边，此项不符合题意；把B选项代入原方程，左边≠右边，此项符合题意；把C选项代入原方程，左边=右边，此项不符合题意；把D选项代入原方程，左边=右边，此项不符合题意；故答案为：B．2.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )A．3235x yx y-=⎧⎨+=⎩B．2024x yx y k++=⎧⎨-=⎩C．3010x yxy-+=⎧⎨+=⎩D．2135x yxy+=⎧⎪⎨+=⎪⎩【答案】A【解析】解：根据二元一次方程组的定义逐项判断，是二元一次方程组的是3235x yx y-=⎧⎨+=⎩，故答案为：A．3.已知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解，则a－b的值为( )A．－1 B．1 C．2 D．3 【答案】A．【解析】把21xy=⎧⎨=⎩代入71ax byax by+=⎧⎨-=⎩中得到关于a、b的方程组，进而求解即可．解：把21xy=⎧⎨=⎩代入71ax byax by+=⎧⎨-=⎩中，得：2721a ba b+=⎧⎨-=⎩，解得：23ab=⎧⎨=⎩，∴a－b=-1，故答案为：A．4.方程组224x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是( )A．12xy=⎧⎨=⎩B．31xy=⎧⎨=⎩C．2xy=⎧⎨=-⎩D．2xy=⎧⎨=⎩【答案】D【分析】可解此方程组，也可把四个选项依次代入原方程组验证．5.(2018•北京市)方程组33814x yx y-=⎧⎨-=⎩的解为( )A.12xy=-⎧⎨=⎩B.12xy=⎧⎨=-⎩C.21xy=-⎧⎨=⎩D.21xy=⎧⎨=-⎩【答案】D【解答】解：33814x yx y-=⎧⎨-=⎩①②，①×3﹣②得：5y＝﹣5，即y＝﹣1，将y＝﹣1代入①得：x＝2，则方程组的解为21xy=⎧⎨=-⎩．故选：D．6.(2019•天津市)方程组3276211x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是( )A.15xy=-⎧⎨=⎩B.12xy=⎧⎨=⎩C.31xy=⎧⎨=-⎩D.212xy=⎧⎪⎨=⎪⎩【答案】D【解答】解：3276211x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①+②得，x＝2，把x＝2代入①得，6+2y＝7，解得12y=，故原方程组的解为：212xy=⎧⎪⎨=⎪⎩．故选：D ．7.(2019•广西贺州)已知方程组2325x y x y +=⎧⎨-=⎩，则26x y +的值是（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【答案】C【解析】两式相减，得32x y +=-，2(3)4x y ∴+=-，即264x y +=-，故选：C ． 8.(2019•重庆市)《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，则可建立方程组为( )A ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩D ．15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩【答案】A【解析】设甲的钱数为x ，人数为y ，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组。
专题07 一元一次方程篇(解析版)
专题07 一元一次方程考点一：一元一次方程之概念1. 方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
2. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数次数是1的整式方程是一元一次方程。
一般形式为：()00≠=+abax。
必须同时满足三个条件：①只含有一个未知数。
②未知数的次数是1。
③是整式方程。
3. 方程的解与一元一次方程的解：是方程（一元一次方程）左右两边成立的未知数的值叫做方程（一元一次方程）的解。
1．（2022•贵阳）“方程””．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则表示的方程是 x+2y＝32 ．【分析】认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案．【解答】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，一个竖线表示一个，一条横线表示一十，所以该图表示的方程是：x+2y＝32．考点二：一元一次方程之等式的性质1. 等式的性质：性质1：等式的左右两边同时加上（减去）同一个数（或式子），等式仍然成立。
即：cb c a b a ±=±=，则性质2：等式的两边同时乘上（或除以）同一个（不为0的）数，等式仍然成立。
即：()()0≠÷=÷==c c b c a bc ac b a ，则。
2．（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）A ．若c b c a =则a ＝bB ．若ac ＝b c ，则a ＝bC ．若a 2＝b 2，则a ＝bD ．若﹣31x ＝6，则x ＝﹣2【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：A 、若＝，则a ＝b ，故A 符合题意；B 、若ac ＝bc （c ≠0），则a ＝b ，故B 不符合题意；C 、若a 2＝b 2，则a ＝±b ，故C 不符合题意；D 、﹣x ＝6，则x ＝﹣18，故D 不符合题意；故选：A ．3．（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流I 跟导体两端的电压U 、导体的电阻R 之间有以下关系：I ＝RU ，去分母得IR ＝U ，那么其变形的依据是（ ）A ．等式的性质1B ．等式的性质2C ．分式的基本性质D ．不等式的性质2【分析】根据等式的性质，对原式进行分析即可．【解答】解：将等式I ＝，去分母得IR ＝U ，实质上是在等式的两边同时乘R ，用到的是等式的基本性质2．故选：B．考点三：一元一次方程之解一元一次方程1. 解一元一次方程的步骤：①去分母——等式左右两边同时乘分母的最小公倍数。
专题07二元一次方程(组)(含解析).docx
专题07二元一次方程（组）一、解读考点知识点复习冃标二元一次方程的有关概念1.二元一次方程的概念会识别二元一次方程。
2.二元一次方程的解会识别一组数是不是二元一次方程的解。
3.二元一次方程组理解二元一次方程纟R的概念并会判断。
二元一次方程的解法带入消元加减消元会选择适当的方法解二元一次方程组。
二元一次方程的应用由实际问题抽彖出一元一次方程要列方程，首先耍根据题意找出存在的等量关系.最后要检验结果是不是合理.二、考点归纳归纳1：二元一次方程的有关概念基础知识归纳：1、二元一次方程：含冇两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程.2、二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对耒知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3、二元一次方程纟山两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就纽成了一个二元一次方程组.4、二元一次方程组的解使二元一次方程纟R的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程纟R的解.基本方法归纳:判断一个方程是不是二元一次方程关键看未知数的个数和未知项的最高次数；判断方程组的解只需带入方程组组看是不是成立即可.注意问题归纳：判断一个方程是不是二元一次方程特别注意是：未知项的最髙次数而不是未知数的次数. 【例1】方程组卩+yi的解是（）I 2x - y = 5【答案】D. 【解析】试题分析：根据方程组的解的意义，将各选项分别代入方程组验算作出选择：丘：不满足2x-y = 5,故它不是方程组的解；3. {X = ；2不满^2x-y = 5,故它不是方程组的解；iy = 3c. 'X = ；不满足X-y = 1,故它不是方程组的解；.V =1|\ = ?D. <、满足x-y=l 和2x-y = 5>故它是方程组的解•i v = —1故选D ・ 考点：方程组的解.归纳2：二元一次方程的解法基础知识归纳：解一元二次方程组的方法（1）代入法（2）加减法基本方法归纳：解一元二次方程组的方法关键是消元。
专题07 一元一次方程特殊解压轴的三种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(7年级上册人教版)
1
，（k
为整数），
∴
a
3 2k
6k 1
3
6 2k 1
，
∵a 取整数，
∴ k 1或 2 或 0，
当 k 0 时， a 3 ；当 k 1时， a 9 ；当 k 1时， a 1；当 k 2 时， a 5，
∴符合条件的 a 的值有 4 个，
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次方程，根据解的特点求参数的值．正确求出方程的解，再令解
专题 07 一元一次方程特殊解压轴的三种考法
类型一、整数解问题
例．已知关于 x 的一元一次方程 x 3 ax x 3 1的解是奇数，则符合条件的所有整数 a
6
2
的值有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】B
【分析】首先解一元一次方程求出
x
3
6
a
，因为方程的根是奇数，故令
x
3
等于奇数，求出 a 的值是解本题的思路．
【变式训练 1】已知 k 为非负整数，且关于 x 的方程 2(x 2) kx 4的解为正整数，则 k 的 3
所有可能取值的和为（ ）
A．12
B．13
C．14
D． 12
【答案】C
【分析】方程整理后，根据方程的解为正整数确定出 k 的值即可．
【详解】解： 2(x 2) kx 4 ， 3
3 4 3n a 和关于 y 的一元一次方程 1 y 2 4 n y 2 a 对比，
m
m
可得： y 2 3，
解得： y 1，
故选：D． 【点睛】此题考查的是根据一个一元一次方程组的解求另一个一元一次方程的解，找到两个
专题07用因式分解法求解一元二次方程(原卷版)-九年级数学上册学与练(北师大版)
专题07用因式分解法求解一元二次方程（2个知识点5种题型1个易错点2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：用因式分解法求解一元二次方程（重点）知识点2：选择适当的方法解一元二次方程（难点）【方法二】实例探索法题型1：解含字母参数的一元二次方程题型2：用换元法解一元二次方程题型3：一题多解法——解一元二次方程题型4：用因式分解法解一元二次方程的应用题型5：阅读理解题【方法三】差异对比法易错点：用因式分解法解方程时，出现丢根现象【方法四】仿真实战法考法1：用因式分解法解一元二次方程考法2：因式分解法的应用【方法五】成果评定法【学习目标】1.会用因式分解法（提公因式、公式法）解某些数字系数的一元二次方程。
2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：用因式分解法求解一元二次方程（重点）（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.（1）利用提公因式法【例1】.方程：2331()()()0442x x x -+--=的较小的根是（）A ．34B ．34-C ．12D ．58【变式】解关于x 的方程（因式分解方法）：（1）2350x x -=；（2）7(3)39x x x -=-．（2）利用平方差公式【例2】用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．【变式】解关于x 的一元二次方程：22(2016)(2015)1x x -+-=．（3）利用完全平方公式【例3】解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；（4）十字相乘法因式分解【例4】用合适的方法解下列关于x 的方程：（1）2(12)(32)20x x +-++；（2）2(35)5(35)40x x +-++=；知识点2：选择适当的方法解一元二次方程（难点）【例5】（2022•贵阳）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．1x 2+2x ﹣1＝0；②x 2﹣3x ＝0；③x 2﹣4x ＝4；④x 2﹣4＝0．【变式1】解关于x 的方程（合适的方法）：（1）2110464x x -+=；（2）22(2)(12)x +=+．【变式2】解关于x 的方程（合适的方法）：（1）236350x x +-=；（2）2(41)10(14)240x x -+--=．【方法二】实例探索法题型1：解含字母参数的一元二次方程1.解关于x 的方程：（1）22220x ax a b -+-=；（2）22222()4()0a b x abx a b ----=（3）222210m x mx x mx -+-+=．题型2：用换元法解一元二次方程2．（2023春·湖北武汉·九年级华中科技大学附属中学校考阶段练习）“换元”是将代数式化繁为简的一种方法，试用这种方法解方程4240x x -=，它的解是___________3．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）解方程：()()22215140x x ---+=，利用整体思想和换元法可设21x y -=，则原方程可化为：______.4．（2022秋·四川眉山·九年级校考阶段练习）若实数x 、y 满足()()2222210x y x y +++-=，则22x y +=_____．5．（2023·浙江宁波·校考一模）已知()2222260a b a b +---=，求22a b +的值为______．6．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)＝48.题型3：一题多解法——解一元二次方程7.（2022秋•昆都仑区期末）解方程：x 2+2x ＝3．（用两种方法解方程）题型4：用因式分解法解一元二次方程的应用8．（2023·四川成都·统考二模）一个三角形的两边长分别为3和9，第三边的长为一元二次方程214480x x -+=的一个根，则这个三角形的周长为____．9．（2023·山东济南·统考一模）菱形的两条对角线长分别为方程27120x x -+=的两个根，则该菱形的周长为______．题型5：阅读理解题10．（2023·青海·统考一模）提出问题为解方程()()2222112180x x ---+=，我们可以将22x -视为一个整体，然后可设22x y -=，则()2222x y -=，于是原方程可转化为211180y y -+=，解此方程，得12y =，29y =．当12y =时，222x -=，24x =，∴2x =±；当29y =时，229x -=，211x =，∴11x =±．∴原方程的解为12x =，22x =-，311x =-，411x =．以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．解决问题（1）运用上述换元法解方程42340x x --=．延伸拓展（2）已知实数m ，n 满足()()332264m n m n m n ++-=+-，求4123m n +-的值．11．（2022秋·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）我们给出定义：若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的两个实数根为1x ，2x （12x x ≤），分别以1x ，2x 为横坐标和纵坐标得到点M （1x ，2x ），则称点M 为该一元二次方程的衍生点．(1)若方程为2320x x -+=，该方程的衍生点M 为．(2)若关于x 的一元二次方程2(51)50x m x m -++=的衍生点为M ，过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m 的值．(3)是否存在b ，c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的方程20x bx c ++=的衍生点M 始终在直线y ＝kx +2（k +3）的图象上，若有请求出b ，c 的值，若没有说明理由．12．（2022秋·湖南郴州·九年级统考期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=（1），解得11y =，24y =，当1y =时，21x =，1x ∴=±；当4y =时，24x =，2x ∴=±；∴原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．在由原方程得到方程（1）的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．(1)试用上述方法解方程：42230x x --=，得原方程的解为___________．(2)解方程()()22223220x x x x ++++=．【方法三】差异对比法易错点：用因式分解法解方程时，出现丢根现象13.解关于x 的方程：22222()4()0a b x abx a b ----=【方法四】仿真实战法考法1：用因式分解法解一元二次方程1．（2022•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4B．x1＝6，x2＝﹣4C．x1＝﹣6，x2＝4D．x1＝﹣6，x2＝﹣42．（2022•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（）A．x1＝1，x2＝3B．x1＝﹣1，x2＝3C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝﹣1，x2＝﹣33．（2023•齐齐哈尔）解方程：x2﹣3x+2＝0．4．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．5．（2021•西宁）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2．考法2：因式分解法的应用6．（2021•雅安）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（）A ．6B ．12C ．12或D ．6或7．（2021•西藏）已知一元二次方程x 2﹣10x +24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（）A ．6B ．10C ．12D ．248．（2021•丹东）若实数k 、b 是一元二次方程（x +3）（x ﹣1）＝0的两个根，且k ＜b ，则一次函数y ＝kx +b 的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．（2021•潍坊）若菱形两条对角线的长度是方程x 2﹣6x +8＝0的两根，则该菱形的边长为（）A ．B ．4C ．2D ．510．（2021•广安）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x 2﹣6x +8＝0的根，则这个三角形的周长为．11．（2021•黔西南州）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程x 2﹣8x +15＝0的根，则该三角形的周长为．【方法五】成功评定法一、单选题1．（2023·贵州遵义·统考三模）一元二次方程2560x x ++=的两个根是（）A ．12x =，23x =B ．12x =-，23x =C ．12x =，23x =-D ．12x =-，23x =-2．（2023·山东临沂·统考二模）方程2230x x +-=的解为11x =，23x =-，若方程()()22322330x x +++-=，它的解是（）．A ．1213x x ==，B ．1213x x ==-，C ．1213x x =-=，D ．12=1=3x x --，3．（2023·河南商丘·校考三模）如图，平面直角坐标系中，()4,0A ，()0,3B ，点M 为OA 的中点，将Rt AOB △绕点M 顺时针旋转得到Rt ECD △，当点O 的对应点C 第一次落在AB 上时，点C 的坐标为（）A ．3648,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3264,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．69,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭4．（2023·山东临沂·统考二模）方程27120x x -+=的两个根为()A ．1234x x =-=-，B ．1234x x =-=，C ．1234x x ==，D ．1234x x ==-，5．（2023·贵州遵义·统考二模）对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}max ,a b 表示a ，b 中的较大值，如：{}max 3,55=，因此，{}max 3,53--=-；按照这个规定，若{}2max ,35x x x x -=--，则x 的值是（）A ．5B ．5或16-C ．1-或16-D ．5或16+6．（2023秋·重庆开州·九年级统考期末）若整数x ，y 使()()22221212x y x y +---=-成立，则满足条件的x ，y 的值有（）A ．4对B ．6对C ．8对D ．无数对7．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）若菱形ABCD 的一条对角线长为10，边CD 的长是方程211300x x -+=的一个根，则该菱形ABCD 的周长为（）A ．20B ．24C ．20或24D ．488．（2023秋·江苏·九年级专题练习）方程()()2222x x x -=-的解是（）A ．122,1x x ==B ．122,2x x ==-C ．122,0x x ==D ．122,1x x ==-二、填空题9．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）一元二次方程230x x -=的一个解是3x =，则该方程的另一个解是．10．（2023·全国·九年级假期作业）当m =时，函数()2232y m x m m =++++是正比例函数．11．（2023·全国·九年级假期作业）某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第n 个图中共有115个棋子，则n 的值是．12．（2023·全国·九年级专题练习）已知方程2340x x --=的根为12,x x ，则()()1222x x +⋅+的值为．13．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程()()250x x --=的根，则这个三角形的周长为．14．（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形ABC 的一边长6a =，另外两边的长,b c 恰好是关于x 的一元二次方程()23390x k x k -++=的两个根，则ABC 的周长为15．（2023·广东佛山·校联考三模）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程217660x x -+=的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是20吗？．（填“可能”或“不可能”）16．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如果关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =，23x =，那么关于y 的方程()21a y by c b -++=的解是．17．（2023·安徽·九年级专题练习）代数基本定理告诉我们对于形如121210n n n n n x a x a x a x a ---+++++= （其中1a ，2a ，…，n a 为整数）这样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是n a 的约数．例如方程3281120x x x -++=的整数根只可能为12±±，，代入检验得1x =时等式成立．故328112x x x ++-含有因式1x -，所以原方程可转化为：()()21920x x x +--=，进而可求得方程的所有解．请你仿照上述解法，解方程：321130x x x -+-=得到的解为．三、解答题18．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）解方程：(1)22310x x -+=．(2)()()3222x x x -=-．19．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：()()213120x x +-++=20．（2023秋·河北沧州·九年级统考期末）适当的方法解方程：(1)()()22452x x -=-(2)()()3326x x x -+=+21．（2023秋·江苏·九年级专题练习）解下列方程：(1)2670x x --=；(2)()()2323x x -=-．22．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知()()3410x y x y +-++=-，求x y +的值；解：设x y t +=，则原方程可变形为()()3410t t -+=-．即220t t +-=∴()()210t t +-=得12t =-，21t =∴2x y +=-或1x y +=已知()()22222312x y x y +-+-=，求22x y +的值．23．（2023秋·河北邢台·九年级校考期末）阅读材料，解答问题：为解方程42320x x -+=，我们将2x 视为一个整体，解：设2x y =，则42x y =，原方程可化为2320y y -+=，解得12y =，21y =，当22x =时，2x =±，当21x =时，1x =±，∴原方程的解为2x =±或1x =±．(1)上面的解题方法，利用（）法达到了降幂的目的．(2)依据此方法解方程：()()22215160x x ---+=．24．（2023秋·九年级单元测试）阅读材料，解答问题．解方程：()()2411041240x x ---+=．解：把41x -视为一个整体，设41x y -=，则原方程可化为210240y y -+=．解得16y =，24y =．416x ∴-=或414x -=．174x ∴=，254x =．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：(1)()()23543530x x -+-+=；(2)4260x x --=．25．（2023·全国·九年级专题练习）阅读下面的材料：解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点．它的解法通常采用换元法降次：设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=，解得11y =，24y =．当11y =时，21x =，所以1x =±；当24y =时，24x =，所以2x =±；所以原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．仿照上述换元法解下列方程．(1)42560x x +-=；(2)16101x x x x +-+=+．26．（2023·全国·九年级专题练习）解方程(2)(1)(4)(7)19x x x x -+++=．。
2022年中考数学真题-专题07 一元二次方程(1)(全国通用解析版)
专题07 一元二次方程一．选择题1. 关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两根，其中一根为1x =，则这两根之积为（ ） A. 13 B. 23 C. 1 D. 13- 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两根，其中一根为1x =，设另一根为2x ，则223x x +=， 213x ∴=-， 213xx ∴=-， 故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．2. 方程2430x x ++=的两个根为（ ）A. 121,3x x ==B. 121,3x x =-=C. 121,3x x ==-D. 121,3x x =-=-【答案】D【解析】【分析】将243x x ++进行因式分解，243=(1)(3)x x x x ++++，计算出答案．【详解】∵243=(1)(3)x x x x ++++∴(1)(3)=0x x ++∴1213x x =-=-，故选：D ．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．3. 下列一元二次方程有实数解的是（ ）A. 2x 2﹣x +1＝0B. x 2﹣2x +2＝0C. x 2+3x ﹣2＝0D. x 2+2＝0 【答案】C【解析】【分析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断．【详解】A 选项中，224(1)42170b ac =-=--⋅⋅=-<△，故方程无实数根； B 选项中，2(2)41240=--⋅⋅=-<△，故方程无实数根；C 选项中，2341(2)170=-⋅⋅-=>△，故方程有两个不相等的实数根；D 选项中，80=-<△，故方程无实数根；故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程实数根情况的判定方法是解题的关键．4. 用配方法解方程x 2-2x =2时，配方后正确的是（ ）A. ()213x +=B. ()216x +=C. ()213x -=D. ()216x -= 【答案】C【解析】【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【详解】解：x 2-2x =2，x 2-2x +1=2+1，即（x -1）2=3．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．5. 若关于x 的方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是（ ）A. 36B. 36-C. 9D. 9- 【答案】C【解析】【分析】根据判别式的意义得到2640c ∆=-=，然后解关于c 的一次方程即可．【详解】解：∵方程260x x c ++=有两个相等的实数根∵26410c ∆=-⨯⨯=解得9c =故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的跟与24b ac ∆=-的关系，关键是分清楚以下三种情况：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根． 6. 已知m 为方程2320220x x +-=的根，那么32220252022m m m +-+的值为（ ）A. 2022-B. 0C. 2022D. 4044 【答案】B【解析】【分析】根据题意有2320220m m +-=，即有32320220m m m +-=，据此即可作答．【详解】∵m 为2320220x x +-=的根据，∴2320220m m +-=，且m ≠0，∴32320220m m m +-=，则有原式=322(32022)(32022)000m m m m m +--+-=-=，故选：B ．【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m 为2320220x x +-=得到2320220m m +-=是解答本题的关键．7. 已知抛物线2y x mx =+的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25x mx +=的根是（ ）A. 0，4B. 1，5C. 1，－5D. －1，5【答案】D【解析】【分析】根据抛物线2y x mx =+的对称轴为直线2x =可求出m 的值，然后解方程即可． 【详解】抛物线2y x mx =+的对称轴为直线2x =，221m ∴-=⨯， 解得4m =-，∴关于x 的方程25x mx +=为2450x x --=，(5)(1)0x x ∴-+=，解得125,1x x ==-，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质及解一元二次方程，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．8. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x ，根据题意，下列方程正确的是（ ）A. 2625(1)400x -=B. 2400(1)625x +=C. 2625400x =D. 2400625x =【答案】B【解析】【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x ）棵，第三年植树400（1+x ）²棵，再根据题意列出方程即可．【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x ）棵，第三年400（1+x ）²棵，根据题意列出方程：2400(1)625x +=．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题．9. 一元二次方程22560x x -+=的根的情况为（ ）A. 无实数根B. 有两个不等的实数根C. 有两个相等的实数根D. 不能判定【答案】A【解析】【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：∵Δ＝（−5）2−4×2×6＝-23＜0，∴方程无实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2−4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．10. 已知关于x 的方程()22210x m x m --+=的两实数根为1x ，2x ，若()()12113++=x x ，则m 的值为（ ）A. 3-B. 1-C. 3-或3D. 1-或3【答案】A【解析】【分析】利用根与系数的关系以及()22=2140∆--≥m m 求解即可． 【详解】解：由题意可知：1221221x x m x x m+=-⎧⎨⋅=⎩，且()22=2140∆--≥m m ∵()()121212111=3++=⋅+++x x x x x x ，∴()22113+-+=m m ，解得：3m =-或1m =，∵()22=2140∆--≥m m ，即14m ≤， ∴3m =-，故选：A 【点睛】本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出14m ≤，再利用根与系数的关系求出3m =-或1m =（舍去）． 11. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A. ()22001242x +=B. ()22001242x -= C.()20012242x += D. ()20012242x -=【答案】A【解析】【分析】平均增长率为x ，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，∴可列方程为：()22001242x +=，故选：A ．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．12. 关于x 的一元二次方程240x x k -+=无实数解，则k 的取值范围是（ ）A. 4k >B. 4k <C. 4k <-D. 1k > 【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k -+=无实数解，∴1640k ∆=-<解得：4k >故选：A∵【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．13. 临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则根据题意，可列方程为（ ）A. 8(12)11.52x +=B. 28(1)11.52x ⨯+=C. 28(1)11.52x +=D. ()28111.52x += 【答案】C【解析】 【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则第二个月的销售额是8(1+)x 万元，第三个月的销售额为28(1+)x 万元，即可得．【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则第二个月的销售额是8(1+)x 万元，第三个月的销售额为28(1+)x 万元，∴28(1+)=11.52x故选C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额．14. 若关于x 的一元二次方程20x x k +-=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 14k >- B. 14k ≥- C. 14k <- D. 14k ≤- 【答案】B【解析】 【分析】根据关于x 的一元二次方程x 2+x -k =0有两个实数根，得出Δ=b 2-4ac ≥0，即1+4k ≥0，从而求出k 的取值范围．【详解】解：∵x 2+x -k =0有两个实数根，∴Δ=b 2-4ac ≥0，即1+4k ≥0，解得：k ≥-14， 故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根是本题的关键． 15. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ）A. ()316210x x -=B. ()316210x -=C. ()316210x x -=D. 36210x = 【答案】A【解析】【分析】设这批椽的数量为x 株，则一株椽的价钱为3（x −1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵这批椽的数量为x 株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x −1）文，依题意得：3（x −1）x ＝6210，故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16. 一元二次方程210x x +-=的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个相等的实数根D. 只有一个实数根【答案】A【解析】【分析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解．【详解】解：241450b ac ∆=-=+=>∴一元二次方程210x x +-=的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A.【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．17. 已知m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则22m mn m ++的值为（ ）A. 0B. －10C. 3D. 10【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn =－5，把x =m 代入方程得m 2+2m -5=0，即m 2+2m =5，代入即可求解．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，∴mn =－5，m 2+2m -5=0，∴m 2+2m =5，∴22m mn m ++=5－5=10，故选：A ．【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn =-5，m 2+2m =5是解题的关键． 18. 若关于x 的一元二次方程2210ax x 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A. 0a ≠B. 1a >-且0a ≠C. 1a ≥-且0a ≠D. 1a >- 【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a ≠0，Δ=22-4a ×（-1）=4+4a ＞0，再求出即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2+2x -1=0有两个不相等的实数根， ∴a ≠0，Δ=22-4a ×（-1）=4+4a ＞0，解得：a ＞-1且a ≠0，故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为常数，a ≠0），当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根．19. 关于x 的方程2320x kx --=实数根的情况，下列判断正确的是（ ）A. 有两个相等实数根B. 有两个不相等实数根C. 没有实数根D. 有一个实数根 【答案】B【解析】【分析】根据根的判别式直接判断即可得出答案．【详解】解：对于关于x 的方程2320x kx --=，∵()22341(2)980k k ∆=--⨯⨯-=+>，∴此方程有两个不相等的实数根．故选B ．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan α=（ ）A. 2B. 32C. 12 【答案】A【解析】【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为a +1，再接着利用勾股定理得到关于a 的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出tan α的值即可．【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1， ∴大正方形的面积为5，∴小正方形的边长为1设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为a +1，其中a >0， ∴a 2+(a +1)2=5，其中a >0，解得：a 1=1，a 2=-2(不符合题意，舍去)，tan α=1a a +=111+=2， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．二、填空题21. 请填写一个常数，使得关于x 的方程22+-x x ____________0=有两个不相等的实数根．【答案】0（答案不唯一） 【解析】【分析】设这个常数为a ，利用一元二次方程根的判别式求出a 的取值范围即可得到答案．【详解】解：设这个常数为a ， ∵要使原方程有两个不同的实数根， ∴()2=240a ∆-->， ∴1a <，∴满足题意的常数可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．22. 方程2x 2+1=3x 的解为________． 【答案】1211,2x x == 【解析】【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：移项得：22310x x -+=， ∵()()2110x x --=， ∵210x -=或10x -=， 解得：1211,2x x ==， 故答案为：1211,2x x ==． 【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．23. 若一元二次方程2240x x m -+=有两个相等的实数根，则m =________． 【答案】2 【解析】【分析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m 的值，【详解】解：由题意可知：2a =，4b =-，c m =240b ac =-=， ∴16420m -⨯⨯=， 解得：2m =． 故答案为：2．【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式24b ac =-△求参数：方程有两个不相等的实数根时，0＞；方程有两个相等的实数根时，0=；方程无实数根时，△＜0等知识．会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键． 24. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640x x -+=的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．【答案】【解析】【分析】由题意解一元二次方程2640x x -+=得到3x =+3x =-据勾股定理得到直角三角形斜边的长是【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640x x -+=的两个实数根，∴由公式法解一元二次方程2640x x -+=可得66322x ±===±∴==，故答案为：【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键．25. 已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是______． 【答案】1 【解析】【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， 可得判别式0=， ∴440k -=， 解得：1k =． 故答案为：1.【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．26. 一元二次方程2430x x -+=配方为()22x k -=，则k 的值是______． 【答案】１ 【解析】【分析】将原方程2430x x -+=变形成与()22x k -=相同的形式，即可求解． 【详解】解：2430x x -+=243101x x -++=+2441x x -+=()221x -=∴1k = 故答案为：1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．27. 已知一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2＝_____． 【答案】3 【解析】【分析】直接根据一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两根为x 1、x 2，∴x 1•x 2＝31＝3．故答案为3．【点睛】此题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，解题关键在于掌握若方程的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=-12•c x x baa=，．28. 若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有实数根，则实数k 的取值范围是_____． 【答案】1k ≤ 【解析】【分析】由关于x 的一元二次方程220x x k -+=有实数根，可得440,k 再解不等式可得答案．【详解】解： 关于x 的一元二次方程220x x k -+=有实数根， ∴()22410k ∆=--⨯⨯≥， 即440,k解得：1k ≤ ． 故答案为：1k ≤．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与Δ=b 2-4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 29. 已知实数12,x x 是方程210x x +-=的两根，则12x x =______． 【答案】1- 【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系直接可得答案． 【详解】解： 实数12,x x 是方程210x x +-=的两根，1211,1x x故答案为：1-【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“12cx x a=”是解本题的关键．30. 某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x （0x >），则x =_________（用百分数表示）． 【答案】30% 【解析】【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x 的一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x （0x >），则2020年新注册用户数为100（1+x ）万，2021年的新注册用户数为100（1+x ）2万户， 依题意得100（1+x ）2=169，解得：x 1=0.3，x 2=-2.3（不合题意舍去）， ∴x =0.3=30%，故答案为：30%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．31. 设1x ，2x 是方程2230x x +-=的两个实数根，则2212x x +的值为________．【答案】10 【解析】【分析】由根与系数的关系，得到122x x +=-，123x x =-，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，∵1x ，2x 是方程2230x x +-=的两个实数根， ∴122x x +=-，123x x =-，∴2212122212()2(2)2(3)10x x x x x x =+-=--⨯-=+；故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握得到122x x +=-，123x x =-．32. 如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB ＝20cm ，底面直径BC ＝12cm ，球的最高点到瓶底面的距离为32cm ，则球的半径为______cm （玻璃瓶厚度忽略不计）．【答案】7.5 【解析】【分析】如详解中图所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可.【详解】如下图所示，设球的半径为r cm ，则OG =EG -r =EF -GF -r =EF -AB -r =32-20-r =（12-r ）cm ， ∵EG 过圆心，且垂直于AD ， ∵G 为AD 的中点， 则AG =0.5AD =0.5×12=6cm ， 在Rt OAG 中，由勾股定理可得，222OA OG AG =+， 即222(12)6r r =-+， 解方程得r =7.5， 则球的半径为7.5cm ．【点睛】本题考查了主视图、垂径定理和勾股定理的运用，准确做出立体图形的主视图是解题的关键．33. 已知关于x 的一元二次方程220x x m ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______． 【答案】1m < 【解析】【分析】根据判别式的意义得到22410m ∆=-⨯⨯>，然后解不等式求出m 的取值即可．【详解】解：根据题意得22410m ∆=-⨯⨯>， 解得1m <，所以实数m 的取值范围是1m <． 故答案为：1m <．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根．34. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．【答案】289 【解析】【分析】设直角三角形的三边分别为,,a b c ，较长的直角边为,a 较短的直角边为,b c 为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于2a b c+-，即6a b c +-=，根据小正方的面积为49，可得()249a b -=，进而计算2c 即22a b +即可求解．【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为,,a b c ，较长的直角边为,a 较短的直角边为,b c 为斜边，直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，∴()23492a b c a b +-=-=，， ∴6a b c +-=①，7a b -=②，131,22c c a b +-∴==， 222a b c +=③，22213122c c c +-⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得=17c 或5c =-（舍去）， 大正方形的面积为2217289c ==， 故答案为：289．【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于2a b c +-是解题的关键．35. 已知实数a 、b 满足a －b 2＝4，则代数式a 2－3b 2＋a －14的最小值是________． 【答案】6 【解析】【分析】根据a －b 2＝4得出24b a =-，代入代数式a 2－3b 2＋a －14中，通过计算即可得到答案． 【详解】∵a －b 2＝4 ∴24b a =-将24b a =-代入a 2－3b 2＋a －14中得：()2222341423142a a a b a a a a =--+-=--－＋－()2222221313a a a a a --=-+-=--∵240b a =-≥ ∴4a ≥当a=4时，()213a --取得最小值为6 ∴222a a --的最小值为6 ∵22231422a a a b a --=－＋－ ∴22314a b a －＋－的最小值6 故答案为：6．【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．三、解答题36. 解方程：x 2－2x －3＝0 【答案】121,3x x =-= 【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】解：2230x x --=，(1)(3)0x x +-=，10x +=或30x -=， 1x =-或3x =，故方程的解为121,3x x =-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键． 37. 已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根． （1）求实数k 的取值范围．（2）设方程的两个实数根分别为12,x x ，若()()12111x x ++=-，求k 的值． 【答案】（1）k 174≤； （2）k =3 【解析】【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k -2）≥0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到12123,2x x x x k -+==-，将等式左侧展开代入计算即可得到k 值． 【小问1详解】解：∵一元二次方程2320x x k ++-=有实数根． ∴∆≥0，即32-4（k -2）≥0， 解得k 174≤∵方程的两个实数根分别为12,x x ，∴12123,2x x x x k -+==-，∵()()12111x x ++=-，∴121211x x x x +++=-，∴2311k --+=-，解得k =3．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．38. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【答案】（1）20% （2）18个【解析】【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，根据2019年投入资金2(1)x ⨯+=2021年投入的总资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．【小问1详解】解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，根据题意得：21000(1)1440x +=，解这个方程得，10.2x =，2 2.2x =-，经检验，0.220%x ==符合本题要求．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．设该市在2022年可以改造y 个老旧小区，由题意得：80(115%)1440(120%)y ⨯+≤⨯+， 解得181823y ≤． ∵y 为正整数，∴最多可以改造18个小区．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．39. 阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1x 2＝c a材料2：已知一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n ＋mn 2的值．解：∵一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，∴m ＋n ＝1，mn ＝－1，则m 2n ＋mn 2＝mn （m ＋n ）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ ；x 1x 2＝ ．（2）类比应用：已知一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两根分别为m 、n ，求n m m n +的值．（3）思维拓展：已知实数s 、t 满足2s 2－3s －1＝0，2t 2－3t －1＝0，且s ≠t ，求11s t-的值． 【答案】（1）32；12- （2）132-（3或【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出32m n +=，12mn =-，然后将n m m n +进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出32s t +=，12st =-，然后求出s -t 的值，然后将11s t-进行变形求解即可． 【小问1详解】解：∵一元二次方程2x 2-3x -1＝0的两个根为x 1，x 2， ∴123322b x x a -+=-=-=，1212c x x a ⋅==-． 故答案为：32；12-． 【小问2详解】∵一元二次方程2x 2-3x -1＝0的两根分别为m 、n ， ∴3322b m n a -+=-=-=，12c mn a ==-， ∴22n m m n m n mn++= ()22m n mn mn +-= 23122212⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=- 132=- 【小问3详解】∵实数s 、t 满足2s 2-3s -1＝0，2t 2-3t -1＝0，∴s 、t 可以看作方程2x 2-3x -1＝0的两个根， ∴3322b s t a -+=-=-=，12c st a ==-， ∵()()224t s t s st -=+-231422⎛⎫⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 924=+ 174=∴2t s -=或2t s -=-，当2t s -=时，11212t s s t st --===-当t s -=时，11212t s s t st --===- 综上分析可知，11s t-或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出2t s -=或2t s -=-，是解答本题的关键． 40. 某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．（1）求4月份再生纸的产量；（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值；（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？【答案】（1）4月份再生纸的产量为500吨（2）m 的值20（3）6月份每吨再生纸的利润是1500元【解析】【分析】（1）设3月份再生纸产量为x 吨，则4月份的再生纸产量为()2100x -吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可； （2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y ，5月份再生纸的产量为a 吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；【小问1详解】解：设3月份再生纸产量为x 吨，则4月份的再生纸产量为()2100x -吨， 由题意得：()2100800x x +-=，解得：300x =，∴2100500x -=，答：4月份再生纸的产量为500吨；【小问2详解】 解：由题意得：500(1%)10001%6600002m m ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭， 解得：%20%m =或% 3.2m =-（不合题意，舍去）∴20m =，∴m 的值20；【小问3详解】解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y ，5月份再生纸的产量为a 吨，21200(1)(1)(125%)1200(1)y a y y a +⋅+=+⨯+⋅∴()2120011500y +=答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．41. 已知关于x 的一元二次方程()222110x k x k ++++=有两个不等实数根1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若125x x =，求k 的值．【答案】（1）34k >（2）2【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得21215x x k =+=，再结合（1）的结论即可得．【小问1详解】 解：关于x 的一元二次方程()222110x k x k ++++=有两个不等实数根，∴此方程根的判别式()()2221410k k ∆=+-+>， 解得34k >． 【小问2详解】解：由题意得：21215x x k =+=，解得2k =-或2k =，由（1）已得：34k >， 则k 的值为2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．42. 已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值．【答案】（1）见解析 （2）1m =±【解析】【分析】（1）根据根的判别式24b ac ∆=-，即可判断；（2）利用根与系数关系求出2αβ+=，由25αβ+=即可解出α，β，再根据23m αβ⋅=-，即可得到m 的值．【小问1详解】()22224241(3)412b ac m m ∆=-=--⨯⋅-=+，∵2120m ≥，∴241240m +≥>，∴该方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】方程的两个实数根α，β，由根与系数关系可知，2αβ+=，23m αβ⋅=-，∵25αβ+=，∴52αβ=-，∴522ββ-+=，解得：3β=，1α=-，∴23133m -=-⨯=-，即1m =±．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．43. 阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务。
专题07 一元一次方程实际应用的六种考法(原卷版)(人教版)
专题07 一元一次方程实际应用的六种考法1. 数字问题例．（1）把100拆分成2个数的和，使得第一个数加3，第二个数减3，得到的结果相等．则拆分成的这两个数分别是和；（2）把100拆分成2个数的和，使得第一个数乘2．第二个数除以2，得到的结果相等．则拆分成的这两个数分别是和；（3）把100拆分成4个数的和，使得第一个数加5，第二个数减5，第三个数乘5，第4个数除以5，得到的的结果都相等，问拆分成的这四个数分别是多少．【变式训练1】将连续的奇数1，3，5，7，9，……排成如图所示的数表．(1)写出数表所表示的规律；（至少写出4个）(2)若将方框上下左右移动，可框住另外的9个数．若9个数之和等于297，求方框里中间数是多少？【变式训练2】如图所示的10×5（行×列）的数阵，是由一些连续奇数组成的．(1)形如图框中的四个数，设第一行的第一个数为x，用含x的式子表示另外三个数；(2)若这样框中的四个数的和是200，求出这四个数；(3)是否存在这样的四个数，它们的和为296？为什么？【变式训练3】将连续的偶数0，2，4，6，8，…排成如图所示的数表．(1)十字形框内的五个数之和是中间数的______；若设十字形框内的五个数中最中间一个数是x，用代数式表示十字形框内五个数之和为______；(2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述规律吗？直接写出答案，不需要证明；(3)十字形框能否框到五个数，使这五个数之和等于2400呢？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由．2.配套问题例．列方程解应用题某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒，再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间有灌装、装箱生产线共21条，每条灌装生产线每小时装350瓶，每条装箱生产线每小时装450瓶．某日，生产前车间内已有未装箱的瓶装啤酒5200瓶，8:00开始，车间内的生产线全部投入生产．(1)若当日到10:00时，该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500瓶.设灌装生产线有x条，当日到10:00时，灌装生产线共装多少瓶啤酒（用含x的代数式表示）？该车间内灌装生产线有多少条？(2)若该日车间工作8小时，灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱？【变式训练1】小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱．如图，每张白板纸可以用A，B，两种方法剪裁，其中A种裁法：一张白板纸裁成4个侧面；B种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按A种方法剪裁的有x张白板纸．(1)按B种方法剪裁的有______张白板纸；（用含x的代数式表示）(2)将50张白板纸裁剪完后，可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？【变式训练2】某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．(1)现库存有布料300m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？(2)如果恰好有这种布料227m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？（本问直接写出结果）【变式训练3】某工厂接受了15天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工8个G型装置或4个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．(1)按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？(2)为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．请问至少需要补充多少名新工人？3. 销售利润问题例.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润率定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店老板共获利157元．甲、乙两件服装的成本各为多少元？【变式训练1】“虎年大吉，岁岁平安”，为了喜迎新春，某水果店在春节期间推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为200元，每盒坚果礼盒的成本为150元，每个水果篮的售价比每盒坚果礼盒的售价多100元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润相同．(1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价；(2)在年末时，该水果店购进水果篮1250个和坚果礼盒1200盒，进行“新春特惠”促销活动．水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒，每个水果篮在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100元减m元”的活动，每盒坚果礼盒直接参与店内“每满100元减m元”的活动．售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有50个没办法售出．若该水果店获得的利润率为20%，求m的值．【变式训练2】某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为300元．(1)A、B两种产品的销售单价分别是多少元？(2)今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高2a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2%3a．求a的值．【变式训练3】某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表：进价（元/只）售价（元/只）甲型2530乙型4560（1）如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？（2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？【变式训练4】武汉大洋百货经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500元，售价800元；乙种服装商品每件售价1200元，可盈利50%．（1）每件甲种服装利润率为，乙种服装每件进价为元；（2）若该商场同时购进甲、乙两种服装共40件，恰好总进价用去27500元，求商场销售完这批服装，共盈利多少？（3）在元旦当天，武汉大洋百货实行“满1000元减500元的优惠”（比如：某顾客购物1200元，他只需付款700元）．到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满1000元减500元”的活动．张先生买了一件标价为3200元的羽绒服，张先生发现竟然比没打折前多付了20元钱问大洋百货商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参加活动？4. 工程问题例．某工程队承包德阿公路绵竹市境内一段长为1755米的道路改造工程，由甲、乙两个施工小队分别从南、北两端同时施工．已知甲队比乙队平均每天多施工3米，经过5天施工后，两个小队共完成施工路段135米．(1)求甲、乙两个小队平均每天各施工多少米？(2)为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲队平均每天能比原来多施工1米，乙队平均每天能比原来多施工2米，甲、乙同时按此施工，能够比原来提前多少天完成道路改造任务？【变式训练1】某校职工周转房已经落成，有一些结构相同的房间需要粉刷墙面．已知3名一级技工去粉刷8个房间，结果有30m2墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间，另外又多粉刷20m2墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷12m2墙面．(1)求每个房间需要粉刷的墙面面积；（列方程解决问题）(2)若粉刷1m2墙面给付一级技工6元费用，给付二级技工5.5元费用，问一级技工和二级技工每人每天各挣多少工钱？【变式训练2】湖北荆宜高速公路是“国家高速公路网规划”中的建设工程，该工程预算国拨总投资为24亿元，分土建、路面、设施三个建设项目，路面投资占土建投资的45，设施投资比土建投资少40%、由于物价的上涨，工程建设实际总投资随之增长，路面投资的增长率是土建投资增长率的2.5倍，设施投资的增长率达到路面投资增长率的2倍，(1)三个项目的预算投资分别是多少亿元？(2)由于合理施工，使公路提前半年通车，每月可通行车辆100万辆，每辆车的平均收益为40元．这样，可将提前半年通车收益的70%用于该工程建设的实际投资，减少了国拨投资，使预算国拨总投资减少的百分率与土建投资的增长率相同，该工程的实际总投资是多少亿元？5. 行程问题例．甲骑摩托车从A 地去B 地，乙开汽车从B 地去A 地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为(km)s ）与甲行驶的时间为(h)t 之间的关系如图所示．(1)以下是点M 、点N 、点P 所代表的实际意义，请将M 、N 、P 填入对应的横线上．①甲到达终点_________．②甲乙两人相遇_________．③乙到达终点_________．(2)AB 两地之间的路程为_________千米；(3)求甲、乙各自的速度；(4)如果乙到达A 地后立刻原路原速返回到B 地，在甲到达B 地的过程中，甲出发_________小时，甲乙相距100千米．【变式训练1】为抗击疫情，支援B 市，A 市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B 市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．(1)甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．【变式训练2】随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择，某市有出租车、滴滴快车等网约车，收费标准见下图．(1)若乘坐这两种网约车的里程数都是9公里，则发现乘坐出租车最节省钱，求乘坐出租车费用为多少元？(2)若从甲地到乙地，乘坐滴滴快车比出租车多用15元，求甲、乙两地间的里程数．【变式训练3】A、B两地相距480km，C地在A、B两地之间．一辆轿车以100km/h的速度从A地出发匀速行驶，前往B地．同时，一辆货车以80km/h的速度从B地岀发，匀速行驶，前往A地．（1）当两车相遇时，求轿车行驶的时间；（2）当两车相距120km时，求轿车行驶的时间；（3）若轿车到达B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次经过C地，两次经过C地的时间间隔为2.2h，求C地距离A地路程．6. 方案问题例.2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表：数量（张）1﹣5051﹣100101张及以上单价（元/张）60元50元40元如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？（2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？（3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你如何购买门票才能最省钱？【变式训练1】2021年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案A ：买一件运动速干衣送一双运动棉袜；方案B ：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款．某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x 双（30x ＞）．(1)若该户外俱乐部按方案A 购买，需付款_______元（用含x 的代数式表示）；若该户外俱乐部按方案B 购买，需付款_______元（用含x 的代数式表示）．(2)若x ＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算：(3)当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同．【变式训练2】某企业有A ，B 两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A 生产线共加工a 吨原材料，加工时间为()41a + 小时；在一天内，B 生产线共加工b 吨原材料，加工时间为()23b + 小时．(1)当1a b ==时，两条生产线的加工时间分别是多少小时？(2)某一天，该企业把5吨原材料分配到A 、B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的吨数是多少？【变式训练3】某校计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20只），现从A 、B 两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每只70元，A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架，B超市的优惠政策为所有商品八折，设购买书架a只．(1)若该校到同一家超市选购所有商品，则到A超市要准备_____元货款，到B超市要准备_____元货款（用含a的式子表示）；(2)在（1）的情况下，当购买多少只书架时，无论到哪一家超市所付货款都一样？(3)假如你是本次购买的负责人，学校想购买20张书柜和100只书架，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使付款额最少，最少付款额是多少？课后作业1．[教材改编]改编华师版七年级下册数学教材第19页的部分内容．问题3课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”就停住了．根据以上信息解答下列问题：（1）两人合作需要__________天完成．（2）李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各完成工作量计算报酬，那么该如何分配？[拓展]在问题3中，如果两人合作完成后共得报酬450元，工作量相同部分的报酬，师徒按3：2分配，余下的工作量所得报酬分配给该部分完成者，请直接写出师徒各得的报酬．2．为打造“安全、环保、生态”的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每处需安装相同长度的排污治理管道），一天甲队3名工人去完成5个治理点管道铺设，但还有60米管道未来得及完成，乙队4名工人完成5个治理点后，仍多铺设了40米管道，每名甲队工人比乙队工人每天多铺设20米管道．(1)求每个排污治理点需铺设的管道长度；(2)已知每位甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市共设立50个排污治理点，另有5880米的同样的污水排放管道也需要安装．现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队安装；（不到一天按一天算）．若要使总费用最少，应选择哪种方案？请通过计算说明．3．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？(3)学校租车总费用最少是多少元？4．某次篮球联赛积分榜如下表所示：(1)通过观察积分表，填空：胜一场得分，负一场得分．(2)雄鹰队也参加了本次篮球联赛，获得积分25分，问雄鹰队的胜、负场次情况．(3)联赛中还有一个队伍，队长电话向当地组织者汇报，说队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多，请你通过数学计算判断该队长是否说谎．x x≥名学生组成的旅游团，准备到某地旅游，甲，乙两家旅行社的服务质量相5．假期，某校4位教师和()1同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示若4位游客全额收费，则给予其余游客七折优惠；乙旅行社表示若游客5人以上（含5人）可给予每位游客八折优惠．(1)若有10名学生参加旅游团，这个旅游团选择甲旅行社的总费用是_____________元，选择乙旅行社的总费用是_____________元，选择_____________旅行社更省钱．(2)根据学生人数，该旅游团选择哪一家旅行社支付的旅游总费用较少？6．材料一：对于任意一个四位正整数t，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值的3倍，则称这个四位数t 为“好运数”．例如：7632t =，因为72363+=-，所以7632是“好运数”．材料二：将一个四位正整数m 的百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数m '，规定：F （m ）＝m ﹣m '，例如：F （2146）＝2146﹣2416＝﹣270．(1)判断7302，1345是否为“好运数”，并说明理由；(2)“好运数”n 的千位上的数字是十位上的数字的2倍，个位上的数字是1，求()F n 的最大值．7．如图，A 、B 两地相距90千米，从A 到B 的地形依次为：50千米平直公路，20千米上坡公路，20千米平直公路．甲从A 地开汽车前往B 地，乙从B 地骑摩托车前往A 地，汽车上坡的速度为100千米/小时,平直公路的速度为120千米/小时；摩托车下坡的速度为80千米/小时，平直公路的速度为60千米/小时；甲、乙两人同时出发．(1)求甲从A 到B 地所需要的时间．(2)求乙从B 到C 地所需要的时间.(3)求两人出发后经过多少时间相遇？8．如图是某月的月历．(1)带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？(2)如果将带阴影的方框移至图1的位置，（1）中的关系还成立吗？(3)不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？请说明其中的理由．(4)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？(5)如图2，如果带阴影的方框里的数是4个，请直接写出你发现的结论．。
专题07 一元一次方程的应用(销售、行程、配套、方案选择问题)(原卷版)2020-2021学年七年级
2020-2021学年七年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题07 一元一次方程的应用（销售、行程、配套、方案选择问题）【销售问题】一．选择题1．（2020·浙江七年级其他模拟）随着地摊经济的复苏，失业的小李做起了小本生意．他把一件标价80元的T 恤衫，按照7折销售仍可获利10元，设这件T 恤的成本为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）A ．800.710x ⨯-=B ．80710x ⨯-=C ．800.710x ⨯=-D ．80710x ⨯=-2．（2020·湖南八年级月考）某种商品因换季准备打折出售，若按定价的七五折出售将赔25元，若按定价的九折出售将赚20元，则这种商品的定价为（ ）A ．280元B ．300元C ．320元D ．200元3．（2020·合肥实验学校七年级期中）一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利20元，若设这件夹克衫的成本是x 元，根据题意，可得到的方程是（ ）A ．（1+50%）x ×80%＝x ﹣20B ．（1+50%）x ×80%＝x +20C ．（1+50%x ）×80%＝x ﹣20D ．（1+50%x ）×80%＝x +20二、填空题4．（2020·全国七年级课时练习）一件衣服进价120元，按标价的八折出售仍能赚32元，则标价是__元．5．（2020·桐城市第二中学七年级期中）某商场销售某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润400元，其利润率为20%，现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得纯利润为________元．6．（2020·江苏七年级期中）淘宝“双十一”大促，某店铺一件标价为480的大衣打八折出售，仍可盈利20％，若设这件大衣的成本是x 元，根据题意，可得到的方程是__________________ ．三、解答题7．（2019·哈尔滨市萧红中学七年级月考）某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少20元．若购进甲种商品7件，乙种商品2件，需要760元．（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？（2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品卖出后获利20%，乙商品的每件售价为多少元？8．（2020·江西七年级期中）为了激励同学们期中考试取得好成绩，李老师准备在网上店铺中选择一家店铺购买一些笔记本奖励给同学们．笔记本的售价是每本4.5元，如果购买100本以上，超过100本的部分，售价是每本4元．（1）若买100本要花_____元，买200本要花_____元．（2）若李老师购买这种笔记本花了n元，试问：①李老师购买了多少这种笔记本？（用含n的代数式表示）②如果李老师购买这种笔记本恰好是1981n本，求n的值．9．（2020·黑龙江七年级期中）某商场从厂家购进了A、B两种品牌足球共100个已知购买A品牌足球比购买B品牌足球少花2800元，其中A品牌足球每个进价是50元，B品牌足球每个进价是80元．（1）求购进A、B两种品牌足球各多少个？（2）在销售过程中，A品牌足球每个售价是80元很快全部售出；B品牌足球每个按进价加价25％销售，售出一部分后，出现滞销，商场决定打九折出售剩余的B 品牌足球，两种品牌足球全部售出后共获利2200元，有多少个B 品牌足球打九折出售？10．（2019·武汉一初慧泉中学七年级月考）列方程解决实际问题：服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元．（1）若按标价的八折销售，则实际售价为 元；（2）在（1）的条件下销售这款服装仍可获利25%，请问这款服装每件的进价为多少元？【行程问题】一、选择题1．（2020·黑龙江七年级期中）船在静水中的速度为36千米/时，水流速度为4千米/时，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了9小时（中途不停留），设甲、乙两码头的距离为x 千米，则下面所列方程正确的是（ ）A ．()()()36436491x x ++--=B ．()3649x +=C ．9364x x +=D ．9364364x x +=+- 2．（2020·重庆巴蜀中学七年级期中）我国古代有很多经典的数学题，其中有一道题目是：良马日行二百里，驽马日行一百二十里，驽马先行十日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里，慢马先走10天，快马几天可追上慢马？若设快马x 天可追上慢马，则由题意可列方程为（ ）A ．12010200x x +=B ．12020012010x x +=⨯C ．20012020010x x =+⨯D ．20012012010x x =+⨯3．（2020·全国七年级课时练习）某市出租车收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3km ，付8元车费），超过3km ，每增加1km 收1.6元（不足1km 按1km 计），小梅从家到图书馆的路程为xkm ，出租车车费为24元，那么x 的值可能是（ ）A ．10B ．13C ．16D ．184．（2020·四川七年级期中）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，全程需7个小时，逆流航行全程需要9小时，已知水流速度为每小时3千米．若设两个码头间的路程为x 千米，则所列方程为（ ）A ．3379x x -=+ B ．379x x += C ．3379x x +=- D ．979x x =+ 二、填空题5．（2019·哈尔滨市萧红中学七年级月考）一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道需要20s 的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s ，这列火车的长度是______米．6．（2019·武汉七一华源中学七年级月考）已知A 港在B 港上游，小船于凌晨3：00从A 港出发开往B 港，到达后立即返回，来回穿梭于A 、B 港之间，若小船在静水中的速度为16千米/小时，水流的速度为4千米/小时，在当晚23：00时，有人看见小船在距离A 港80千米处行驶，则A 、B 两港之间的距离为_______km ．7．（2020·哈尔滨第七十六中学校七年级月考）两村相距35千米，甲、乙两人从两村出发，相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米，甲先出发1小时后，乙才出发，当他们相距9千米时，乙行驶了____小时．8．（2020·宁夏七年级期末）甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行80公里，一列快车从乙站开往甲站，每小时行120公里．慢车从甲站开出1小时后，快车从乙站开出，那么快车开出__________小时后快车与慢车相距200公里．三、解答题9．（2019·唐山市第五十四中学七年级月考）一架飞机在两个城市之间飞行，顺风时需要飞行5小时30分，逆风是需要6小时，已知风速为24千米/小时，求两地的距离．10．（2020·霍林郭勒市第五中学七年级月考）轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回少用3h ．若船速为26km /h ，水速为2km /h ．（1）求从A 港顺流行驶到B 港所用时间．（2）求A 港和B 港相距多少km ．11．（2020·江苏七年级期中）如图，数轴上有三个点A ，B ，C ，表示的数分别是－7，－1，1．（1）若要使A ，B 两点的距离与C ，B 两点距离相等，则可将点B 向左移动______个单位长度；（2）若动点P ，Q 分别从点A 、点B 出发，以每秒4个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点R 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点P ，Q ，R 同时出发，设运动时间为t 秒．①记点P 与点Q 之间的距离为1d ，点Q 与点R 之间的距离为2d ，请用含t 的代数式表示1d 和2d ，并判断是否存在一个常数m ，使12md d 的值不随t 的变化而改变，若存在，求出m 的值：若不存在，请说明理由；②若动点Q 到达点A 后，速度变为每秒7个单位长度，继续向左运动，当t 为何值时，点P 与点Q 距离3个单位长度？【配套问题】一、选择题1．（2020·宜春市宜阳学校七年级期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x 辆，根据题意，可列出的方程是（ ）A ．3229x x -=+B ．()3229x x -=+C ．2932x x +=+D ．3229x x 2．（2020·哈尔滨第七十六中学校七年级月考）几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺6棵树苗．参与种树的有（ ）人．A ．8B ．7C ．6D ．53．（2020·全国七年级课时练习）一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个或制作桌腿300条，现有5立方米木料，用________立方米木料做桌面，恰好都配成方桌( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题4．（2020·长春吉大附中力旺实验中学九年级月考）明代大数学家程大名著的《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问郡多少能完成?”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管或笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套?设用于制作笔管的短竹数为x 根，则可列方程为：___________．5．（2019·唐山市第五十四中学七年级月考）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？解：设应安排x名工人生产螺钉，列方程得_________．6．（2019·山西七年级期末）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母14个或螺栓20个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则所列方程是____________．三、解答题7．（2020·重庆九十五中佳兆业中学七年级期中）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．（1）调入多少名工人；（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要2个螺母，为使每天生产的螺桩和螺母刚好配套，应该安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？8．（2020·重庆十八中两江实验中学七年级月考）机械厂加工车间有68名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？9．（2020·霍林郭勒市第五中学七年级月考）某车间有75个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件15个或乙种零件20个．已知每1个甲种零件和2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套?【方案选择问题】一、填空题1．（2020·江西九年级期中）某班计划奖给期中考试进步学生每人一件同样的奖品，班主任从班费中拨出一笔款项，如果购买一种单价为40元的创意笔记本，则可购得20本；若购买单价为50元的笔记本与保温杯套装，则可购得___________．2．（2019·江苏七年级期中）某校组织若干名师生到九龙口风景区进行社会实践活动．若学校租用30座的客车x辆，则余下18人无座位；若租用45座的客车则可少租用2辆，且最后一辆还没坐满，则乘坐最后一辆45座客车的人数是____．3．（2020·重庆西南大学附中七年级期中）国家发展改革委表示，今年国庆中秋小长假中，居民消费需求集中释放，进一步巩固了消费回升的好势头．小长假期间，某商场推出回馈消费者的打折活动，具体优惠情况如表：某市民在该商场购买了一件原价400元的商品A和一件原价x元的商品B，实际付费1006元．则x的值可能为__（注：两件商品可以单独付款或一起付款）二、解答题4．（2020·霍林郭勒市第五中学七年级月考）在“清洁乡村”活动中，某村长提出了两种购买垃圾桶方案．方案一：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元．设交费时间为x个月，方案一的购买费和垃圾处理费共为M元，方案二的购买费和垃圾处理费共为N元．（1）分别用x表示M，N；（2）若交费时间为12个月，哪种方案更合适，并说明理由．（3）交费时间为多少个月时，两种方案费用相同？5．（2020·浙江七年级期中）某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款．现某客户要到该卖场购买微波炉2台，电磁炉x台（x＞2）．（1）若该客户按方案一购买，需付款元．（用含x的代数式表示）；若该客户按方案二购买，需付款元．（用含x的代数式表示）（2）若x＝5时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？（3）当x＝5时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．6．（2019·浙江七年级月考）温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地10台，杭州厂可支援外地4台，现在决定给武汉8台，南昌6台，每台机器的运费如下表，设杭州运往南昌的机器为x台．（1）用x的代数式来表示总运费（单位：元）（2）若总运费为8400元，则杭州运往南昌的机器应为多少台？（3）试问有无可能使总运费是8600元？请说明理由．7．（2018·浙江七年级月考）为发展校园足球运动，宾王中学决定购买一批足球运动较备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等．（1）求每套队服和每个足球的价格是多少？（2）经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球a 且为整数）．打八折，若学校购买100套队服和a个足球（其中10①请用含a的式子表示甲商场购买装备所花的费用______；乙商场购买装备所花的费用_______；②假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？。
专题07 二元一次方程组(归纳与讲解)(原卷版)
专题07 二元一次方程组【专题目录】技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用 技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用 【题型】一、二元一次方程组的有关概念 【题型】二、用代入法解二元一次方程组 【题型】三、用加减法解二元一次方程组 【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组 【题型】五、同解方程组 【题型】六、列二元一次方程组 【考纲要求】1、了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，能举例说明二元一次方程及其中的已知数和未知数；2、理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。
【考点总结】一、二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2(a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．(3)二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．【注意】1.解二元一次方程组的步骤（1）代入消元法① 变：将其一个方程化为y=ax+b或者为x=ay+b的形式① 代：将y=ax+b或者为x=ay+b代入另一个方程① 解：解消元后的一元一次方程① 求：将求得的未知数值代入y=ax+b或x=ay+b，求另一个未知数的值① 答:写出答案（2）加减消元法① 化：将原方程组化成有一个未知数的系数相等(互为相反数)的形式,① 加减：将变形后的方程组通过加减消去一个未知数① 解：解消元后的一元一次方程① 求：将求得的知数的值代入方程组中任意一个方程求另一个未知数的值2.解二元一次方程组的方法选择（1）当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；（2）当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；（3）方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法（4）当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法 【技巧归纳】技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法 【类型】一、引入参数法解二元一次方程组 1．用代入法解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 5＋y 6＝0，①3（x －y ）－4（3y ＋x ）＝85.①【类型】二、特殊消元法解二元一次方程组 题型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2 015x ＋2 016y ＝2 017，①2 016x ＋2 017y ＝2 018.①题型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等3．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧13x ＋14y ＝40，①14x ＋13y ＝41.②【类型】三、利用换元法解二元一次方程组 4．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3（x ＋y ）＋4（x －y ）＝20，x ＋y 4－x －y 2＝0.【类型】四、同解交换法解二元一次方程组5．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，3x －y ＝5与方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝16，4x －7y ＝1的解相同，求(a －b)2 018的值． 【类型】五、运用主元法解二元一次方程组6．已知⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －3z ＝0，x －3y －z ＝0(x ，y ，z 均不为0)，求xy ＋2yzx 2＋y 2－z 2的值．技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用 【类型】一、整体思想 1．先阅读，然后解方程组．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，①4（x －y ）－y ＝5②时，由①，得x －y ＝1，③然后再将③代入②，得4×1－y ＝5，解得y ＝－1，从而进一步求得x ＝0.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.这种方法被称为“整体代入法”．请用这样的方法解下面的方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －2＝0，2x －3y ＋57＋2y ＝9. 2．若x ＋2y ＋3z ＝10，4x ＋3y ＋2z ＝15，求x ＋y ＋z 的值． 【类型】二、化繁为简思想3．阅读下面解方程组的方法，然后解决问题：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋18y ＝17，①17x ＋16y ＝15②时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的．解：①－②，得2x ＋2y ＝2，所以x ＋y ＝1.③ ③×16，得16x ＋16y ＝16，④②－④，得x ＝－1，将x ＝－1代入③，得y ＝2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.请用上述方法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2 018x ＋2 017y ＝2 016，2 016x ＋2 015y ＝2 014.【类型】三、方程思想4．已知(5x －2y －3)2＋|2x －3y ＋1|＝0，求x ＋y 的值． 5．若3x 2m＋5n ＋9＋4y 4m－2n －7＝2是二元一次方程，求(n ＋1)m＋2 018的值．【类型】四、换元思想6．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＋x －y 3＝6，4（x ＋y ）－5（x －y ）＝2.【类型】五、数形结合思想7．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒共需多少元？【类型】六、分类组合思想8．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝5，ax ＋by ＝－1与⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝9，3ax －4by ＝18有公共解，求a ，b 的值．技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用 【类型】一、已知方程(组)的解求字母的值1．若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝m ，x ＋my ＝n 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，则|m －n|的值为( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．22．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝2是关于x ，y 的二元一次方程2ax －by ＝2的两组解，求a ，b 的值．【类型】二、已知二元一次方程组与二元一次方程同解求字母的值3．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3m ，x －y ＝9m 的解也是方程3x ＋2y ＝17的解，求m 的值．【类型】三、已知二元一次方程组的解满足某一关系求字母的值4．已知m ，n 互为相反数，关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝60，3x －y ＝8的解也互为相反数，求m ，n 的值．【类型】四、已知两个二元一次方程组共解求字母的值5．关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－6，ax －by ＝－4与⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝16，bx ＋ay ＝－8有相同的解，求(2a ＋b)2 018的值．【类型】五、已知二元一次方程组的误解求字母的值6．在解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＋y ＝5，2x －by ＝13时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，得解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝－2；乙看错了方程组中的b ，得解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－7.(1)甲把a 错看成了什么？乙把b 错看成了什么？ (2)求出原方程组的正解． 【题型讲解】【题型】一、二元一次方程组的有关概念例1、若21a b =⎧⎨=⎩是二元一次方程组3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，则x ＋2y 的算术平方根为（ ）A ．3B ．3，－3CD【题型】二、用代入法解二元一次方程组例2、二元一次方程组224x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是()A．2xy=⎧⎨=⎩B．2xy=⎧⎨=⎩C．31xy=⎧⎨=-⎩D．11xy=⎧⎨=⎩【题型】三、用加减法解二元一次方程组例3、由方程组+=43x my m⎧⎨-=⎩可得出x与y之间的关系是()．A．x＋y＝1B．x＋y＝－1C．x＋y＝7D．x＋y＝－7【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组例4、若方程组237351m nm n-=⎧⎨+=⎩的解是21mn=⎧⎨=-⎩，则方程组()()()()2132731521x yx y⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩的解是（）A．11xy=⎧⎨=⎩B．11xy=⎧⎨=-⎩C．31xy=⎧⎨=⎩D．33xy=⎧⎨=-⎩【题型】五、同解方程组例5、已知关于x①y的方程组2342x yax by-=⎧⎨+=⎩，与3564x ybx ay-=⎧⎨+=-⎩，有相同的解，则a①b的值为① ①A．21ab=-⎧⎨=⎩B．12ab=⎧⎨=-⎩C．12ab=⎧⎨=⎩D．12ab=-⎧⎨=-⎩【题型】六、列二元一次方程组例6、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（）A．2392xyxy⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．2392xyxy⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩C．2392xyxy⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩D．2392xyxy⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩二元一次方程组（达标训练）一、单选题1．（2022·广东·深圳外国语学校模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，某地准备购买一些松树和柏树绿化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元，设每棵松树x 元，每棵柏树y 元，则列出的方程组正确的是（ ）A ．23120220x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．23120220x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．23120220x y y x +=⎧⎨-=⎩D ．32120220x y x y +=⎧⎨+=⎩2．（2022·天津河北·一模）方程组282x y x y+=⎧⎨=⎩的解是( )A ．21x y =⎧⎨=⎩B ．42x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =⎧⎨=⎩D ．24x y =⎧⎨=⎩3．（2022·天津红桥·三模）方程组21230x y y x +=-⎧⎨+=⎩的解是（ ）．A ．11x y =-⎧⎨=⎩B ．12x y =-⎧⎨=-⎩C ．23x y =-⎧⎨=⎩D ．23x y =⎧⎨=-⎩4．（2022·上海杨浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（ ） A ．1xy =B ．210x -=C ．1x y -=D ．11x y+= 5．（2022·山东威海·一模）已知关于x ，y 的二元一次方程组231ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，则2a b-的值是（ ） A ．2- B ．2C ．3D ．3-二、填空题6．（2022·湖南娄底·二模）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果一托为5尺，那么索长与竿子长之和为______尺．7．（2022·江苏无锡·二模）已知方程组26221x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y +的值为______．三、解答题8．（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组()1045x y x y y --=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：由①得x ﹣y ＝1①将①代入①得：4×1﹣y ＝5，即y ＝﹣1把y＝﹣1代入①得x＝0，①方程组的解为1 xy=⎧⎨=-⎩请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程232235297x yx yy-=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩．二元一次方程组（提升测评）一、单选题1．（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3a则a、b的值分别是（）A．2和1B．1和2C．2和2D．1和12．（2022·福建·平潭翰英中学一模）已知12xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组{mx−ny=8nx+my=1的解，则43m n+的立方根为（）A．±1BC．±D．1-3．（2022··二模）我们知道二元一次方程组233345x yx y-=⎧⎨-=⎩的解是31xy=⎧⎨=⎩．现给出另一个二元一次方程组2(21)3(31)33(21)4(31)5x yx y+--=⎧⎨+--=⎩，它的解是（）A．123xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩B．123xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩C．123xy=⎧⎪⎨=⎪⎩D．123xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩4．（2022·福建宁德·二模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9需要步行：若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人各多少？设有x辆车，y人，根据题意，列方程组是（）A．2932y xy x=+⎧⎨=-⎩B．293(2)y xy x=+⎧⎨=-⎩C．2932y xy x=-⎧⎨=-⎩D．()2932y xy x=-⎧⎨=-⎩5．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如果关于x，y的方程组436626x yx my-=⎧⎨+=⎩的解是整数，那么整数m的值为（）A ．4，4-，5-，13B ．4，4-，5-，13-C ．4，4-，5，13D ．4-，5，5-，13二、填空题6．（2022·江苏南通·二模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？注释：（娟）纺织品的统称；（人得）每人分得；（匹）量词，用于纺织品等，（盈）：剩下．若设贼有x 人，库绢有y 匹，则可列方程组为______．三、解答题7．（2022·广东·华南师大附中三模）解下列方程组： (1)1223334m nm n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩；(2)6234()5()2x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩； (3)0.10.3 1.3123x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩； (4)23433x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩． 8．（2022·浙江温州·二模）为促进学生体育活动，学校计划采购一批球类器材，当每班购进5个排球和6个篮球时花费360元；购进10个排球和2个篮球时花费270元． (1)求排球和篮球的单价．(2)为扩充器材室储备，现还需购买120个排球和篮球，其中排球的数量不少于篮球数量的23，如何购买总费用最少．(3)经调查，为满足不同学生的需要，学校准备新增购进进价为每个60元的足球，篮球和排球的仍按需购进，进价不变，排球是篮球的4倍，共花费9000元，则学校至少可以购进多少个球类器材？。
专题07 一元二次方程的应用(知识点串讲)原卷版
专题07 一元二次方程的应用（知识点串讲）【知识点--思维导图】©知识点一：传播问题 技巧：公式(a+x)n =M 其中a 为传染源（一般a=1），n 为传染轮数，M 为最后得病总人数例1．（2021·四川巴中市·九年级期末）一人携带变异新冠状病毒，经过两轮传染后共有121人感染，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则可列方程（ ）A ．()1121x x x ++=B ．()11121x x ++=C ．()21121x +=D ．()1121x x += 练习1．（2021·四川达州市·九年级期末）秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A ．9人 B ．10人 C ．11人 D ．12人练习2．（2021·湖北鄂州市·九年级期末）新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染x 人，经过两天传染后128人患上新冠肺炎，则x 的值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7练习3．（2021·安徽芜湖市·九年级期末）2019年年底以来，“新冠疫情在全球肆虐，由于我国政府措施得当，疫情得到控制．而某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延．若某国一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染发病．（1）求每位发病者平均每天传染多少人？（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？ 练习4．（2021·江苏泰州市·九年级期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？©知识点二：平均增长率问题技巧：b=a(1±x)n ， n 为增长或降低次数 , b 为最后产量，a 为基数，x 为平均增长率或降低率例1．（2021·山东聊城市·九年级期末）为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市场提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．67500(12)90000x +=B ．267500(1)90000x +=C ．26750067500(1)67500(1)90000x x ++++=D ．675002(1)90000x ⨯+=练习1．（2021·内蒙古赤峰市·九年级期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x ，可列方程为（ ） A ．()2125.61130x -=B ．()2125.61130x +=C ．()21301125.6x -=D ．()2125.61130x +=练习2．（2021·湖南怀化市·九年级期末）某工厂2019年治理污水花费成本144万元，经技术革新，计划到2021年治理污水花费成本降到100万元，若设每年成本的下降率是x ，则可得方程（ ）A ．2144(1)100x -=B ．2100(1%)144x -=C ．2144100x =-D ．2144(1)100x +=练习3．（2021·广西贵港市·九年级期末）某玩具经销商2017年全年的销售总额为20万元，总成本为12万元；由于改善经营模式，与2017年相比2019年总成本下降了20%,销售总额增加了10.5%．（1）求该经销商年利润的平均增长率；（2）如果不受客观因素的影响，并按此增长速度，那么2020年该经销商获得的利润是多少万元（结果精确到0.01万元）．练习4．（2021·湖北黄冈市·九年级期末）“黄冈名师课堂”是集黄冈众多名师的网络课堂，自上线以来受到了广大师生，家长和社会各界的好评．经统计，2020年10月在线听课的学生为66250人次，12月在线听课学生增加至95400人次．若10月至12月，每月在线听课人数平均增长率相同．（1）求每月的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计2021年1月在线听课的人次将会达到多少？©知识点三：形积问题技巧：根据图形的性质和面积公式，联系一元二次方程的根，注意涉及到面积的和差，切勿混淆！例1．（2021·内蒙古赤峰市·九年级期末）一个菱形两条对角线的长是方程28120x x -+=的两个根，则该菱形的面积为（ ）A ．12B ．6或12C ．8D ．6练习1．（2021·广西防城港市·九年级期末）我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》有题目：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）与长共六十步，问阔（宽）及长各几步．设阔（宽）有x 步，那么下面所列方程正确的是（ ） A ．x （x +60）＝864B ．x （60﹣x ）＝864C ．x （x ﹣60）＝864D ．x 2﹣60x ﹣864＝0练习2．（2021·云南昆明市·九年级期末）《生物多祥性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m ，塞为20m 的矩形场地ABCD （如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB 平行、另一条与AD 平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为295m ，求道路的宽度、若设道路的宽度为m x ，则x 满足的方程为（ ）A ．()()322095x x --=B ．()()3222095x x --=C ．()()3220956x x --=⨯D ．()()32220956x x --=⨯练习3．（2021·云南昆明市·九年级期末）一面墙长为22m ，一养殖户要利用长为41m 的篱笆和这面墙圈成一个面积为216m 2的矩形养殖场，其中，养殖场不靠墙的长边上要设一道宽为1m 的门，如图所示．求这个矩形养殖场的长宽各是多少米？练习4．（2021·江苏淮安市·九年级期末）如图，有长为23m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各0.5m 的门．如果要围成面积为45m 2的花圃，AB 的长是多少米？©知识点四：数字问题技巧：注意个位和十位数字的表示，特别是涉及到互换位置的时候，根据题意直接列出方程即可！例1．（2021·湖南怀化市·九年级期末）一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上的数比十位上的数字大2，则这个两位数是（ ）A ．24B ．35C ．42D ．53练习1．（2021·安徽芜湖市·九年级期末）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x ，则可列方程为（ ） A ．210(3)(3)x x x +-=- B ．210(3)x x x ++=C ．210(3)(3)x x x ++=+D ．210(3)(3)x x x ++=+练习2．（2020·重庆市璧山来凤中学校九年级月考）如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为()A．x(x+8)=225B．x(x+16)=225C．x(x﹣16)=225D．(x+8)(x﹣8)=225练习3．（2020·安徽宿州市·九年级二模）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？练习4．（2020·全国九年级课时练习）一个两位数，两个数字的和为5，把这个两位数的个位上的数字与十位上的数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为736，求原两位数．©知识点五：商品销售问题技巧：销售总额＝单件售价×数量总利润：单件利润×数量＝（售价－进价）×数量利润＝成本×利润率例1．（2020·甘肃张掖市·七年级期末）2020年初新冠疫情肆虐，社会经济受到严重影响，地摊经济是就业岗位的重要来源，小李把一件T 恤按成本价提高40%后标价，按照8折销售仍可获利10元，设这件T 恤的成本为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）A ．(1+40%)x ⨯0.8-x=10B ．(1+40%)x -x=10C ．(1+40%)0.8x 10⨯=+D ．(1+40%)x ⨯0.8=x -10练习1．（2020·浙江台州市·九年级期末）某商场销售一批衬衣．平均每天可售出30件．每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（ ）元．A ．10B ．15C ．20D ．25练习2．（2020·安徽芜湖市·九年级月考）某网店在“双11”促销活动中对一件原价500元的商品进行了“折上折”优惠活动（即两次打折数相同），优惠后实际仅售320元，设该店打x 折，则可列方程（ ）A ．500(12)320x -=B ．2500(1)320x -=C ．2500(1)32010x -=D ．2500()32010x = 练习3．（2020·浙江杭州市·八年级期末）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000．（1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台；当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台．若商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的售价应为多少元？练习4．（2020·浙江杭州市·八年级期中）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件，设二、三这两个月月平均增长率不变．（1）求二、三这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顺客，经调查发现，销售单价与月平均销售的关系如下表：若要使利润达到4250元，且尽可能多的提升月平均销售量，则销售单价应定为多少元？©知识点六：动点几何问题技巧：先把动点走过的路程用时间表示出来，再把剩余的路长用时间表示出来，根据题意列方程！例1．（2020·河南省洛阳市孟津县会盟第一初级中学九年级月考）如图，△ABC 中，△C ＝90，AB ＝10cm ，AC ＝8cm ，点P 从点A 开始出发向点C 以2cm/s 的速度移动，点Q 从B 点出发向点C 以1cm/s 的速度移动，若P 、Q 分别同时从A ，B 出发，（ ）秒后四边形APQB 是△ABC 面积的23．A ．2B ．4.5C ．8D ．7练习1．（2020·山东德州市·九年级其他模拟）如图，在Rt ABC △中，AC 50m =，CB 40m =，90C ∠=︒，点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以2m /s 的速度移动，同时另一个点Q 从点C 开始沿CB 以3m /s 的速度移动，当PCQ △的面积等于2450m 时，经过的时间是（ ）A ．10s 或15sB ．10sC ．15sD ．20s练习2．（2020·广州大学附属中学九年级月考）如图Rt△ABC 中，△ABC ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点A 出发沿AB 边以1cm /秒的速度向点B 匀速移动，同时，点Q 从点B 出发沿BC 边以2cm /秒的速度向点C 匀速移动，当P 、Q 两点中有一个点到达终点时另一个点也停止运动．运动（ ）秒后，△PBQ 面积为5cm 2．A ．0.5B ．1C ．5D ．1或5练习3．（2020·湖北黄冈市·九年级期中）如图，ABC 中，△C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm/s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，在B 点停止．（1）如果点P ，Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟，使28QPC S cm =？（2）如果点P 从点A 先出发2s ，点Q 再从点C 出发，经过几秒钟后24QPCScm =？ （3）如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟后PQ ＝BQ ？练习4．（2020·灌云县远扬双语学校九年级月考）如图所示，在ABC 中，90,5,7B AB cm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿着BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动．（1）如果P Q 、分别从A B 、同时出发，那么几秒后，PBQ △的面积等于24cm ？ （2）小明在解答上述问题时，求得28PBQ S cm ∆=？请你判断一下，他做得对吗？并说明理由 ．©知识点七：工程问题例1．（2020·四川资阳市·九年级期末）2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题：（1）求每天增长的百分率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减小50万个/天．△现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？△是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．练习1．（2020·广西百色市·九年级二模）随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的34，求甲工厂最多可生产多少万片的口罩？（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m的值．练习2．（2020·厦门市翔安区教师进修学校（厦门市翔安区教育研究中心））某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善．（1）求的n值；（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；练习3．（2020·全国九年级单元测试）阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式(1)2n nS na d-=+⨯来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，）例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋10(101)2-×2＝120．用上面的知识解决下列问题．（1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．练习4．（2020·重庆南岸区·九年级其他模拟）“绿水青山，就是金山银山”，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园.（1）2018年11月至12月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的23倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？（2）至2018年12月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万元；2019年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a％，里程数较一期增加3a％；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a％，里程数较一期增加5a％，经测算，二期工程总费用将比一期增加2a％，求a的值.©知识点八：行程问题例1．（2020·全国八年级课时练习）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m 处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（）A．1s B．1.2s C．2s D．4s练习1．（2019·天津南开区·南开翔宇学校八年级月考）如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C 地出发向正南方向前进，那么最快经过()小时，甲、乙两人相距6千米？A．25B．35C．1.5D．13练习2（2019·河南郑州市·郑州四中实验学校九年级期中）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x （0＜x＜0.5）．注：步数×平均步长＝距离．（1）根据题意完成表格填空；（2）求x的值；（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．练习3．（2020·四川遂宁市·射洪中学九年级期中）从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站匀速开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？练习4．（2019·山东九年级课时练习）一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来．（1）小球滚动了多少时间?（2）平均每秒小球的运动速度减少多少?（3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）?©知识点九：图标信息题例1．（2020·山西临汾市·九年级其他模拟）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框⨯-⨯=，部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：91131748⨯-⨯=．不难发现，结果都是48．131572148（1）请证明发现的规律；（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数；（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由）练习1．（2020·内蒙古）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收a100元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：（1）求出该市规定标准用水量a的值；（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？练习2．（2020·山西阳泉市·九年级期末）阅读下面内容，并解答问题：杨辉和他的一个数学问题：提起代数，人们自然就和方程联系起米.事实上，我国古代对代数的研究，特别是对方程的解法研究有着优良的传统并取得了重要成果.杨辉，字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，杨辉一生留下了大量的著述，他著名的数学书共五种二十一卷.下面是杨辉在1275年提出的一个问题（选自杨辉所著《田亩比类乘除算法》）：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.请你用学过的知识解决这个问题.练习3．（2020·江苏苏州市·九年级期末）根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？练习4．（2020·全国九年级课时练习）为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x 吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过x 吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨100x 元交费． （1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的x 吨”，则超过部分应交水费 （80-x ） 元（用含x 的式子表示）．（2）下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况：根据上表数据，求该x 吨是多少？©知识点十：相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题技巧：循环问题：又可分为单循环问题21n(n-1)，双循环问题n(n-1). 例1．（2020·东莞市长安实验中学九年级月考）有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了21场，则下列方程中符合题意的是（ ）A ．x(x -1)=21B ．12x(x -1)=21C ．x(x+1)=21D ．x(x+1)=42练习1．（2020·福建福州市·九年级期中）在国庆节期间，某微信群规定：群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包．若此次抢红包活动，群内所有人共收到42个红包，则该群一共有（ ）A ．6人B ．7人C ．8人D ．9人练习2．（2020·陕西宝鸡市·九年级期中）在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（ ）A ．6人B ．7人C ．8人D ．9人练习3．（2020·天津河西区·九年级期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 若设每个支干长出x 个小分支．（△）分析：根据问题中的数量关系，填表：△主干的数目为______；△从主干中长出的支干的数目为______；（用含x 的式子表示）△又从上述支干中长出的小分支的数目为______；（用含x 的式子表示）（△）完成问题的求解．练习4．（2020·河南洛阳市·九年级月考）2019年女排世界杯于9月14日至29日在日本举行，中国女排以全胜的成绩卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国成立70周年献上大礼．人们对女排的喜爱，不仅是因为她们夺得了冠军，更重要的是她们在赛场上展现了祖国至上、团结协作、顽强拼搏、永不言败的精神面貌，已知2019年女排世界杯赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，求中国女排在本届世界杯比赛中连胜的场次．。
专题07 二元一次方程组及其应用(原卷版)
专题07 二元一次方程组及其应用专题知识回顾1．二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程整式方程叫做二元一次。
方程一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2．二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。
3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
4．二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
5．消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
（1）代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
专题典型题考法及解析【例题1】（2019年福建省）解方程组．【例题2】（2019年浙江省丽水市）解方程组【例题3】（2019年湖南省怀化市）解二元一次方组：【例题4】（2019年山东省潍坊市）己知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＞y，求k的取值范围．【例题5】（2019年海南省）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？【例题6】（2019年湖南省益阳市）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价。
[数学]-专题07 应用题方程类(原版)
![[数学]-专题07 应用题方程类(原版)](https://img.taocdn.com/s3/m/884ca8ceb8d528ea81c758f5f61fb7360b4c2b00.png)
二轮复习【中考冲刺】2023年中考数学重要考点名校模拟题分类汇编专题07——应用题方程类（成都专用）1．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）某超市于今年年初以20元/件的进价购进一批商品，当商品售价为40元/件时，一月份销售了250件．二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月份的销售量达到了360件．(1)求二、三月份销售量的月平均增长率．(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价1元，销售量增加3件．当每件商品降价多少元时，商场获利6588元？2．（2021秋·四川成都·九年级石室中学校考阶段练习）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：(1)当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润；(2)商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？3．（2021秋·四川成都·九年级成都实外校考阶段练习）成都市将在2022年举办第31届世界大学生夏季运动会，成都大运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊猫．(1)据市场调研发现，某工厂今年四月份共生产200个“蓉宝”，该工厂为增生产量，平均每月生产量增加20%，则该工厂在今年第二季度（4、5、6月）共生产_________个“蓉宝”．(2)已知某商店以30元的单价购入一批吉祥物“蓉宝”准备进行销售，据市场分析，若每个“蓉宝”售价为60元，则每天可售出40个．商店经过调研发现，如果每个“蓉宝“降价1元，那么平均每天可多售出8个，若商店想平均每天盈利2000元，销售单价应定为多少元? 4．（2020秋·四川成都·九年级成都实外校考阶段练习）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元．（1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率；（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？5．（2022秋·四川成都·九年级四川省成都市石室联合中学校考期中）某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率；(2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件．为尽可能让利顾客，赢得市场、问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？6．（2021秋·四川成都·九年级四川省成都市石室联合中学校考期中）一家水果超市以每斤3元的价格购进葡萄若干斤，然后以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种葡萄每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．（1）若将葡萄每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这批葡萄要想每天盈利300元，且保证每天至少售出220斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？7．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）随着全国疫情防控取得阶段性进展，各学校在做好疫情防控工作的同时积极开展开学准备工作．为方便师生返校后测体温，某学校计划购买甲、乙两种额温枪．经调研得知：购买1个甲种额温枪和2个乙种额温枪共需700元，购买2个甲种额温枪和3个乙种额温枪共需1160元．(1)求每个甲种额温枪和乙种额温枪各多少元；(2)该学校准备购买甲、乙两种型号的额温枪共50个；要求总费用不超过11750元，其中购买甲种额温枪不超过15个．请问学校有几种购买方案，哪一种方案费用最低，并求出最低费用．8．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考二模）玩具批发市场A、B玩具的批发价分别为每件30元和50元，张阿姨花1200元购进A、B两种玩具若干件，并分别以每件35元与60元价格出售．设购入A玩具为x件，B玩具为y件．（1）若张阿姨将玩具全部出售赚了220元，则张阿姨购进A、B型玩具各多少件？（2）若要求购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量，问如何购进玩具A、B的数量并全部出售才能获得最大利润，此时最大利润为多少元？9．（2020秋·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考期中）疫情复学后学校为每个班级买了免洗抑菌洗手液，当购买量不超过100瓶时，洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不低于每瓶5元，设学校共买了x瓶洗手液（1）当x=80时，每瓶洗手液的价格是____元；当x=150时，每瓶洗手液的价格是___元；当x=____时，每瓶洗手液的价格恰好降为5元（2）若学校共花费1200元，请问一共购买了多少瓶洗手液？10．（2020秋·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考阶段练习）成都放开地摊经济后，一夜增加近10万就业，小王响应政府号召，摆地摊经销甲、乙两种商品，已知一件甲商品和一件乙商品进价之和为30元，每件甲商品的利润为4元，每件乙商品的售价比其进价的2倍少11元，小张在该商店购买8件甲和6件乙共用262元．（1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元?（2）小王统计发现，平均每天可售出甲400件和乙300件，如果将甲商品的售价每提高1元，则每天会少售出80件，于是小王决定将甲种商品的价格提高a元，乙种商品价格不变，考虑其他因素，预期每天利润能达到2340元，求a的值．11．（2019秋·四川成都·九年级四川省成都市七中育才学校校考阶段练习）为减少环境污染，提高生产效率，公司计划对A、B两类生产线全部进行改造．改造一条A类生产线和两条B类生产线共需资金200万元；改造两条A类生产线和一条B类生产线共需资金175万元．（1）改造一条A类生产线和一条B类生产线所需的资金分别是多少万元？（2）公司计划今年对A，B两类生产线共6条进行改造，改造资金由公司自筹和国家财政补贴共同承担．若今年公司自筹的改造资金不超过320万元；国家财政补贴投入的改造资金不少于70万元，其中国家财政补贴投入到A、B两类生产线的改造资金分别为每条10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？12．（2020秋·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率；(2)为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？13．（2020秋·四川成都·九年级树德中学校考期中）成都市中心城区“小游园，微绿地”规划已经实施，武侯区某街道有一块矩形空地进入规划试点．如图，已知该矩形空地长为90m，宽为60m，按照规划将预留总面积为4536m2的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．（1）求各通道的宽度；（2）现有一工程队承接了对这4536m2的区域（阴影部分）进行种植花草的绿化任务，该工程队先按照原计划进行施工，在完成了536m2的绿化任务后，将工作效率提高25%，结果提前2天完成任务，求该工程队原计划每天完成多少平方米的绿化任务？14．（2020秋·四川成都·九年级树德中学校考期中）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？15．（2019秋·四川成都·九年级树德中学校考阶段练习）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据我市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌电动自行车销售量的月增长率；（2）该经销商决定开拓市场，此电动自行车的进价为2000元/辆，经测算在新市场中，当售价为2750元/辆时，月销售量为200辆，若在原售价的基础上每辆降价50元，则月销售量可多售出10辆．为使月销售利润达到75000元，则该品牌电动自行车的实际售价应定为多少元？16．（2019·四川成都·九年级树德中学校考期中）利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．(1)甲、乙两种商品的进货单价各是多少？(2)据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a元，在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？17．（2020秋·四川成都·九年级石室中学校考期中）某专卖店为了清理商品库存，对原来平均每天可销售40件，每件盈利60元的商品，进行降价处理，现每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．（1）每件商品降价多少元时，该商店日盈利可达到3150元？（2）试问，商店日盈利能否达到3300元？若能请求出此时商品售价，若不能，请说明理由．18．（2018秋·四川成都·九年级成都市树德实验中学校考阶段练习）某地2014年为做好“精准扶贫”工作，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年基础上增加投入1600万元．（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于600万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天补助8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求2016年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？。
专题07 函数、方程与不等式实际应用(原卷版)
专题07 函数、方程与不等式实际应用目录热点题型归纳 (1)题型01 一次方程（函数）与不等式的实际应用（最值） (1)题型02 一次方程（函数）与不等式的实际应用（方案） (3)题型03 二元一次方程（组）与不等式的实际应用（最值） (6)题型04 二元一次方程（组）与不等式的实际应用（方案） (8)题型05 分式方程的实际应用 (9)题型06 二次函数的实际应用（最值） (9)题型07 反比例函数的实际应用 (13)中考练场 (16)题型01 一次方程（函数）与不等式的实际应用（最值）【解题策略】一次函数的最值问题，关键是要根据题意列出函数关系式，其中求自变量取值范围是关键；一般答题思路：①根据题意列方程；②根据题意求自变量的取值范围；③根据一次函数的增减性和自变量取值范围，求出最值问题即可。
【典例分析】例.（2023·江苏南通·中考真题）某经销商在生产厂家订购了两种畅销的粽子，两种粽子的进货价和销售价如下表：类别价格A种B种进货价(元/盒)2530销售价(元/盒)3240(1)若经销商用1500元购进A，B两种粽子，其中A种的数量是B种数量的2倍少4盒，求A，B两种粽子各购进了多少盒；(2)若经销商计划购进A种“粽子”的数量不少于B种“粽子”数量的2倍，且计划购进两种“粽子”共60盒，经销商该如何设计进货方案，才能使销售完后获得最大利润？最大利润为多少？【变式演练】1．（2023·贵州贵阳·二模）丹寨县的苗族蜡染入选贵州省第一批非物质文化遗产名录，某店选中A，B两款苗绣蜡染装饰品，其进货价和销售价如表：类别A款B款价格进货价（元/个）7068销售价（元/个）8075，B两款苗绣蜡染装饰品共22个，求这两款装饰品分别购进的数量；(2)第二次该店进货时，计划购进两款苗绣蜡染装饰品共36个，且A款进货数量不超过B款进货数量的一半．应如何设计进货方案才能获得最大利润，并求出最大利润．2．（2024·河南·一模）春节期间，A、B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：A 超市B 超市优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满100元返30元超市（填“120元时，选择 超市（填“A ”或“B ”）更省钱；(2)若购物金额为()100200x x ≤<元时，请分别写出A 、B 两超市的实付金额y （元）与购物金额x （元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？(3)对于A 超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为20%．若在B 超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．3．（2023·河南周口·二模）某社区开展关爱“空巢”老人的活动，现从厂家购进“九连环”与“鲁班锁”两种益智玩具用来丰富晚年生活，已知购进2副“九连环”和3副“鲁班锁”共需320元；购进6副“九连环”和4副“鲁班锁”共需560元．(1)分别求这两种玩具的单价；(2)该社区计划购进“九连环”的数量比“鲁班锁”数量的2倍还多10副，且两种益智玩具的总数量不少于70副，社区应如何安排购买才能使费用最少？最少费用为多少？题型02 一次方程（函数）与不等式的实际应用（方案）【解题策略】根据题意列方程和不等式，根据未知数的取值范围列出几种方案。
考点07 一元二次方程(精讲)(原卷版)
考点07.一元二次方程（精讲）【命题趋势】一元二次方程以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右。
预计2024年各地中考还将继续考查，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了。
【知识清单】1：一元二次方程的相关概念（☆☆）1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
2）一般形式：2(0)0ax bx c a ++=≠，其中：a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
3）一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是该一元二次方程的解。
2：一元二次方程的解法（☆☆☆）1）直接开平方法：适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程。
2）配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式；（5）运用直接开平方法解方程。
3）因式分解法：基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=。
4）公式法：（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入2b x a -±=即可。
5）根的判别式：一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式。
6）一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根。
部编数学七年级上册专题07一元一次方程的应用(12大考点)专题讲练(解析版)含答案
专题07 一元一次方程的应用（12大考点） 专题讲练一元一次方程的应用题属于人教版七年级上期期末必考题，需要完全掌握各个类型的应用题，该专题将应用题分为分段计费、行程问题、工程问题、方案优化选择、商品销售问题、比赛积分问题、日历问题（数字问题）、配套问题、调配问题、和差倍分问题（比例问题）、几何图形问题、动态问题等共进行方法总结与经典题型进行分类。
1、知识储备2、经典基础题考点1. 分段计费问题考点2. 行程问题考点3. 工程问题考点4. 方案优化问题考点5. 商品销售问题考点6. 比赛积分问题考点7. 配套问题考点8. 调配问题考点9. 数字与日历问题考点10．和、差、倍、分（比例）问题考点11. 几何问题（等积问题）考点12. 动态问题3、优选提升题1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题¾¾¾®分析抽象方程¾¾¾®求解检验解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 2 .建立书写模型常见的数量关系1）公式形数量关系：生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。
在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长正方形周长=4边长2）约定型数量关系：利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。
我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系：在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。
我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价速度×时间=路程工作效率×时间=总工作量等。
3.分析数量关系的常用方法1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
初升高数学 专题 方程与方程组的解法(解析版)
专题07 方程与方程组的解法一、知识点精讲 一元一次方程⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a=； ②当0a =，0b ≠时，方程无解③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
二元一次方程在一个方程中，含有两个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫二元一次方程。
二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法③整体消元法，。
二、典例精析 ①一元高次方程的解法 思想：降次方法：换元、因式分解等 【典例1】解方程. （1）4213360x x -+= （2）63980x x -+= 【答案】见解析 【解析】（1）422213360(4)(9)02 3.x x x x x x -+=⇔--=⇔=±=±或（2）6333980(1)(8)1 2.x x x x x x -+=⇔--⇔==或【典例2】解方程.（1）32+340x x x -= （2）3210x x -+= 【答案】见解析 【解析】（1）322+340(34)0(4)(1)04 1.x x x x x x x x x x x -=⇔+-=⇔+-⇔==-=或或（2）33221010(1)(1)1x x x x x x x x x x -+=⇔--+=⇔-+-⇔==或 ②方程组的解法 解方程组的思想：消元解方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法，③整体消元法等。
【典例3】解方程组.347(1)295978x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 3(2)45x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩【答案】见解析 【解析】53471(1)29359782x x z x y z y x y z z =⎧+=⎧⎪⎪⎪++=⇒=⎨⎨⎪⎪-+=⎩⎪=-⎩3(2)45x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩213x y z =⎧⎪⇒=⎨⎪=⎩【典例4】解方程组222104310x y x y x y --=⎧⎨-++-=⎩【答案】见解析 【解析】222104310x y x y x y --=⎧⎨-++-=⎩81151115x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或 【典例5】解方程组.7(1)10x y xy +=⎧⎨=⎩225(2)2x y xy ⎧+=⎨=⎩【答案】见解析 【解析】7(1)10x y xy +=⎧⎨=⎩2552x x y y ==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩或225(2)2x y xy ⎧+=⎨=⎩12-1-221-2-1x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或【典例6】解方程组. 2210(1)341xy x y x y --+=⎧⎨+=⎩222234340(2)25x xy y x y x y ⎧---+=⎪⎨+=⎪⎩【答案】见解析 【解析】2210(1)341xy x y x y --+=⎧⎨+=⎩由①得11x ==或y 分别带入②式可得没有这样的,x y 满足条件，∴该方程组无解。
专题07 一元二次方程-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)(第1期)(原卷版)
专题07 一元二次方程一．选择题1．（2022·四川乐山）关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两根，其中一根为1x =，则这两根之积为（ ）A ．13B ．23 C ．1 D ．13- 2．（2022·天津）方程2430x x ++=的两个根为（ ）A ．121,3x x ==B ．121,3x x =-=C ．121,3x x ==-D ．121,3x x =-=- 3．（2022·湖南怀化）下列一元二次方程有实数解的是（ ）A ．2x 2﹣x +1＝0B ．x 2﹣2x +2＝0C ．x 2+3x ﹣2＝0D ．x 2+2＝04．（2022·甘肃武威）用配方法解方程x 2-2x =2时，配方后正确的是（ ）A ．()213x +=B ．()216x +=C ．()213x -=D ．()216x -= 5．（2022·浙江温州）若关于x 的方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是（ ） A ．36 B ．36- C ．9 D ．9-6．（2022·四川遂宁）已知m 为方程2320220x x +-=的根，那么32220252022m m m +-+的值为（ ）A ．2022-B ．0C ．2022D ．40447．（2022·浙江绍兴）已知抛物线2y x mx =+的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25x mx +=的根是（ ）A ．0，4B ．1，5C ．1，－5D ．－1，58．（2022·重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x ，根据题意，下列方程正确的是（ ） A ．2625(1)400x -= B ．2400(1)625x += C ．2625400x = D ．2400625x = 9．（2022·山东滨州）一元二次方程22560x x -+=的根的情况为（ ）A ．无实数根B ．有两个不等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能判定10．（2022·四川泸州）已知关于x 的方程()22210x m x m --+=的两实数根为1x ，2x ，若()()12113++=x x ，则m 的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．3-或3D ．1-或311．（2022·重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．()22001242x +=B ．()22001242x -= C ．()20012242x += D ．()20012242x -= 12．（2022·湖南常德）关于x 的一元二次方程240x x k -+=无实数解，则k 的取值范围是（ ） A ．4k > B ．4k < C ．4k <- D ．1k >13．（2022·新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x ，则根据题意，可列方程为（ ）A ．8(12)11.52x +=B ．28(1)11.52x ⨯+=C ．28(1)11.52x +=D ．()28111.52x += 14．（2022·新疆）若关于x 的一元二次方程20x x k +-=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．14k >-B ．14k ≥-C ．14k <-D ．14k ≤- 15．（2022·山东泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ）A ．()316210x x -=B ．()316210x -=C ．()316210x x -=D ．36210x =16．（2022·河南）一元二次方程210x x +-=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．只有一个实数根17．（2022·四川宜宾）已知m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则22m mn m ++的值为（ ）A ．0B ．－10C ．3D ．1018．（2022·四川宜宾）若关于x 的一元二次方程2210ax x 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≠B ．1a >-且0a ≠C ．1a ≥-且0a ≠D ．1a >-19．（2022·湖北荆州）关于x 的方程2320x kx --=实数根的情况，下列判断正确的是（ ） A ．有两个相等实数根 B ．有两个不相等实数根 C ．没有实数根 D ．有一个实数根 20．（2022·湖南湘潭·中考真题）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan α=（ ）A ．2B ．32C ．12D 5 二、填空题 21．（2022·江苏扬州）请填写一个常数，使得关于x 的方程22+-x x _________0=有两个不相等的实数根．22．（2022·云南）方程2x 2+1=3x 的解为________．23．（2022·安徽）若一元二次方程2240x x m -+=有两个相等的实数根，则m =________． 24．（2022·四川成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640x x -+=的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．25．（2022·江西）已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是______． 26．（2022·湖北荆州）一元二次方程2430x x -+=配方为()22x k -=，则k 的值是______． 27．（2022·湖北黄冈）已知一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2＝_____． 28．（2022·江苏宿迁）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有实数根，则实数k 的取值范围是_____．29．（2022·湖南娄底）已知实数12,x x 是方程210x x +-=的两根，则12x x =______． 30．（2022·浙江杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x （0x >），则x =_________（用百分数表示）．31．（2022·四川眉山）设1x ，2x 是方程2230x x +-=的两个实数根，则2212x x +的值为________． 32．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB ＝20cm ，底面直径BC ＝12cm ，球的最高点到瓶底面的距离为32cm ，则球的半径为______cm （玻璃瓶厚度忽略不计）．33．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知关于x 的一元二次方程220x x m ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．34．（2022·四川宜宾·中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．35．（2022·四川凉山）已知实数a 、b 满足a －b 2＝4，则代数式a 2－3b 2＋a －14的最小值是________．三、解答题36．（2022·四川凉山）解方程：x 2－2x －3＝037．（2022·四川南充）已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．(1)求实数k 的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为12,x x ，若()()12111x x ++=-，求k 的值．38．（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？39．（2022·四川凉山）阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a-，x 1x 2＝c a材料2：已知一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n ＋mn 2的值． 解：∵一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，∴m ＋n ＝1，mn ＝－1，则m 2n ＋mn 2＝mn （m ＋n ）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ ；x 1x 2＝ ．(2)类比应用：已知一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两根分别为m 、n ，求n m m n+的值． (3)思维拓展：已知实数s 、t 满足2s 2－3s －1＝0，2t 2－3t －1＝0，且s ≠t ，求11s t-的值．40．（2022·湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？41．（2022·湖北随州）已知关于x 的一元二次方程()222110x k x k ++++=有两个不等实数根1x ，2x ．(1)求k 的取值范围；(2)若125x x =，求k 的值．42．（2022·湖北十堰）已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值．43．（2022·山西·中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根就是相应的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象（称为抛物线）与x 轴交点的横坐标．抛物线与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x 轴的交点个数确定一元二次方程根的情况下面根据抛物线的顶点坐标（2b a -，244ac b a -）和一元二次方程根的判别式24b ac =-△，分别分0a >和0a <两种情况进行分析：（1）0a >时，抛物线开口向上． ①当240b ac =->时，有240ac b -<．∵0a >，∵顶点纵坐标2404ac b a -<．∵顶点在x 轴的下方，抛物线与x 轴有两个交点（如图1）． ②当240b ac =-=时，有240ac b -=．∵0a >，∵顶点纵坐标2404ac b a -=．∵顶点在x 轴上，抛物线与x 轴有一个交点（如图2）．∵一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有两个相等的实数根． ③当240b ac =-=时，……（2）0a <时，抛物线开口向下．……任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；A ．数形结合B ．统计思想C ．分类讨论．D ．转化思想(2)请参照小论文中当0a >时①②的分析过程，写出③中当0,0a ><△时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 。
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专题07 方程与方程组的解法
一、知识点精讲
一元一次方程
⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程ax b =解的讨论
①当0a ≠时，方程有唯一解b x a
=
； ②当0a =，0b ≠时，方程无解
③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
二元一次方程
在一个方程中，含有两个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫二元一次方程。
二元一次方程组：
（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法③整体消元法，。
二、典例精析
①一元高次方程的解法
思想：降次
方法：换元、因式分解等
【典例1】解方程.
（1）4213360x x -+=
（2）63980x x -+=
【典例2】解方程.
（1）32+340x x x -=
（2）3210x x -+=
②方程组的解法
解方程组的思想：消元
解方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法，③整体消元法等。
【典例3】解方程组.
347(1)295978x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 3(2)45x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
【典例4】解方程组222104310x y x y x y --=⎧⎨-++-=⎩
【典例5】解方程组.
7(1)10x y xy +=⎧⎨=⎩
225(2)2x y xy ⎧+=⎨=⎩
【典例6】解方程组.
2210(1)341xy x y x y --+=⎧⎨+=⎩
222234340(2)25x xy y x y x y ⎧---+=⎪⎨+=⎪⎩
【典例7】解方程组.
2222315(1)331545x xy y x xy y ⎧++=⎪⎨-+=-⎪⎩ 2222
441(2),(0,0)1611a b a b a b ⎧+=⎪⎪>>⎨⎪+=⎪⎩ 【典例8】已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过(1,3),(2,7),(3,13)A B C 三点，求该二次函数的表达式.
三、对点精练
1.已知二次函数的图像的对称轴为1x =且过(1,2),(2,4)A B ，求该二次函数的表达式.
2.解方程
（1）3520x x --=
（2）323460x x x +--=
3.解方程组.
15(1)239540x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩
(2)34524x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩ 4.解方程组.
21(1)21x y y x x -=⎧⎨=+-⎩ 22
1(2)142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 5. 解方程组. 22330(1)1
43xy x y x y +++=⎧
⎪⎨+=⎪⎩ 22220(2)122x y x y x y ⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩ 6. 解方程组
.1
1
a b
a b c ⎧⎪=⎪⎪+==⎨⎪=。