高中高三月考数学试卷(附答案)
重庆市巴蜀2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题含解析
数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（）A.x ∃∈R ，2210x x ++≥B.x ∃∈R ，2210x x ++<C.x ∀∈R ，2210x x ++>D.x ∀∈R ，2210x x ++<【答案】B 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定即可解答.【详解】命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”为全称量词命题，它的否定是存在量词命题，即x ∃∈R ，2210x x ++<，故选：B.2.今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（）个同学．A.45B.48C.53D.43【答案】C 【解析】【分析】由题意设出集合,A B 得到集合,A B 以及A B ⋂中元素的个数，即可得出A B 中元素的个数．【详解】设集合A 表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，集合B 表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，A B ⋂表示两科均在90分以上的学生，则集合A B ⋂中有40个元素，A B 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知A B 中有个45484053+-=元素，又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，故选：C ．3.关于x 的不等式lg lg lg 10k x x k x ⋅+-<对一切x +∈R 恒成立，则k 的取值范围是（）A.(,4]-∞-B.(,4][0,)-∞-+∞C.(4,0)-D.(4,0]-【答案】D 【解析】【分析】当0k =时，可知不等式恒成立；当0k ≠时，由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】x 的不等式2lg lg lg 1lg lg 10k x x k x k x k x ⋅+-=+-<对一切x +∈R 恒成立，当0k =时，不等式对一切x +∈R 恒成立，当0k ≠时，x +∈R 时lg x ∈R ，则有2Δ40k k k <⎧⎨=+<⎩，解得40k -<<，所以k 的取值范围是(4,0]-.故选：D4.19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以()n n +∈N 开头的数出现的概率为1()lgn P n n+=，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若()193333log 8log 2(),19log 2log 5n k P n k k +=-=∈≤+∑N （说明符号()1,,jk i i j k i a a a a k i j ++==+++∈∑N ），则k 的值为（）A.3B.5C.7D.9【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用对数的运算法则可得19()lg 4n kP n ==∑，再由符号说明表达式即可求得5k =.【详解】易知19333333log 8log 2log ()lg 4log o 4102log 5l g n kP n =-===+∑，由1()lg n P n n +=可得191212()lg l 19g lg lg l 2020201119g n kk k k k k k k k k P n =++++⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯= ⎭++⎪⎝∑；所以lglg 420k=，解得5k =.故选：B5.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2cm ，则小轮每秒转过的弧长是（）cm．A.10πB.5πC.π3D.π6【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得.【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为325515⨯=，因此小轮每秒钟转的弧度数为52ππ606⨯=，所以小轮每秒转过的弧长是2cm cm ππ63⨯=.故选：C6.已知函数32()6f x x x =-，若()()g x f x a b =+-为奇函数，则（）A.2a =，16b =B.2a =-，16b =-C .2a =-，16b = D.2a =，16b =-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数定义可得()()0f x a b f x a b +-+-+-=恒成立，化简可求,a b .【详解】因为()()g x f x a b =+-为奇函数，32()6f x x x =-，所以()()0f x a b f x a b +-+-+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+-+-+--+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+------=，所以()23261221220a x a a b -+--=，所以6120a -=，3221220a a b --=，所以2a =，16b =-，故选：D.7.若函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++在区间(0,3)上不单调，则k 的取值范围是（）A.(4,3)--B.(5,2)-- C.(5,3)-- D.(4,2)--【答案】B 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数()f x '，利用()f x '在(0,3)上有变号零点列式求解即得.【详解】函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++，求导得2()32(1)5f x x k x k '=+-++，由函数()f x 在区间(0,3)上不单调，得()f x '在(0,3)上有变号零点，由()0f x '=，得2232(1)50(21)325x k x k k x x x +-++=⇔-+=-+，则24(21)3(2)4220k x x x -+=-⋅+，令21(1,7)x t +=∈，于是2243(1)4(1)2031027kt t t t t -=--⋅-+=-+，即有943(10k t t-=+-，令9()3()10,17g t t t t=+-<<，函数()g t 在(1,3]上单调递减，函数值从20减小到8，在[3,7)上单调递增，函数值从8增大到1047，由()f x '在(0,3)上有变号零点，得直线4y k =-与函数(),17y g t t =<<的图象有交点，且当有两个交点时，两个交点不重合，因此8420k <-<，解得52k -<<-，所以k 的取值范围是(5,2)--.故选：B8.已知函数()e e x x f x -=+，若关于x 的方程()2f x x k +=有4个不同的实数根，则k 的取值范围是（）A.11442,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.()222,e e -+ C.11222,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.11114422e e ,e e --⎛⎫++ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先得到()e e x x f x -=+的奇偶性和单调性，从而令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时推出只有两个根，不合要求，若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，故210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，有根的判别式得到11144t -<<且10t ≠，结合函数单调性和奇偶性得到11441()2,e e k f t -⎛⎫=∈+ ⎪⎝⎭.【详解】()e e x x f x -=+的定义域为R ，且()e e ()x x f x f x --=+=，故()e e x x f x -=+为偶函数，且当0x >时，0()e e x x f x -=->'恒成立，故()e e x x f x -=+在0,+∞上单调递增，由对称性可知()f x 在(),0∞-上单调递减，()min ()02f x f ==，令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时20x x +=，解得10x =或1-，仅有2个实数根，不合要求，舍去；若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，需要满足21x x t +=和21x x t +=-均有两个解，即210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，由11140,140t t ∆=+>∆=->，解得11144t -<<，又10t ≠，故11144t -<<且10t ≠，即1111441()e e 2,e e t t k f t --⎛⎫==+∈+ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若tan α=，则下列与角α的终边可能相同的角是（）A.4π3B.5π3C.ππ3k +，k ∈Z D.2π2π3k -，k ∈Z 【答案】ACD 【解析】【分析】通过正切函数值相等，分析判断对应角的终边是否相同.【详解】对于A ，4πtan 3=，因此A 正确；对于B ，5πtan3=B 不正确；对于C ，πtan π3k ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此C 正确；对于D ，2πtan 2π3k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因此D 正确。
山东省青岛市即墨实验高级中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题(含答案)
高三年级数学学科第一次月考试卷（2024.10）一､单选题1.已知角的终边过点，则（）C.D.2.已知数列满足：且，则（）A. B. C.0 D.13.若，则（ ）A. B. C. D.4.已知，则（ ）B.D.5.设满足，则（ ）A.C. D.6.数列是递增的等差数列，前项和为，满足，则下列选项不正确的是（）A.B.C.当时，最小D.时，的最小值为77.锐角､满足，若，则（ ）A.D.8.在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，则的α(-cos α={}n a 11a =()*1101n na n a ++=∈+N 2022a =2-12-π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭2425-2425725725-44π1,0,sin cos 22x x x ⎛⎫∈-+= ⎪⎝⎭sin cos x x -=αsin 2αα=-()cos π2α-=1212-{}n a n n S 853a a =0d >10a <4n =n S 0n S >n αβ()sin cos sin βαβα=+1tan 2α=()cos αβ+=12ABC ,,A B C ,,a b c ,,cos cos cos a b c A B C sin cos cos AB C最小值为（ ）A.3B.4C.5D.6二､多选题9.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在上单调递减10.如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（）A.点第一次到达最高点需要20秒B.当水轮转动155秒时，点距离水面1米C.当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米D.点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为11.已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）A.当或10时，取得最大值B.()π2sin 2(01)3f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭π6()y g x =12ω=()f x π,03⎛⎫-⎪⎝⎭()y g x =π4x =π23y g x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππ,99⎡⎤-⎢⎥⎣⎦O P 0P P P P P h t ππ4sin 2306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭{}n a n 1,0n S a >316S S =9n =n S 190S >C.成立的的最大值为20D.三､填空题12.已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为__________.13.为了测量隧道口间的距离，开车从A 点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.则隧道口间的距离是__________.14等差数列的前项和分别为，且，则__________；若的值为正整数，则__________.四､解答题15.锐角的内角所对的边分别为，若，且.（1）求边的值；（2）求内角的角平分线的长.16.已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值.17.已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.0n S <n 9110a a <{}n a 11089100,2a a a a ==-n T {}n a n n T nA B ､D D C C B BD AB {}{},n n a b n ,n n S T 313n n S n T n +=+220715a a b b +=+nna b n =ABC ,,A B C ,,a b c 2cos 2b a B c +=3a b ==c A AD ()πππsin cos sin 632f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x ()f x 12π6()g x ()65g α=-π5π,612α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭cos2αABC ,,A B C ,,a b c sin sin 2A Ca b A +=B ABC b =ABC18.已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.19.已知数列的前项和.若，且数列满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）求证：数列的前项和；（3）若对一切恒成立，求实数的取值范围.高三年级数学学科第一次月考试卷答案1.【答案】C 【详解】由题意，.{}n a n ()()()*11,1,221nnn n n n S n a S S S +∈==--N {}n a ()()11211n n n n b a a -+=++{}n b n n T {}n a n ()()*113nn S a n =-∈N 1423log n n b a +={}n c n n nc a b =⋅{}n b {}n c n 23n T <()2114n c t t ≤+-*n ∈N t cos α==2.【答案】A 【详解】因为，所以，故数列为周期是3的数列，所以.3.【答案】D 【详解】由可知，即.4.【答案】B 【详解】解：，，又，即，5.【答案】C【详解】依题意，，则，于是，即，所以.6.【答案】C 【详解】由是递增的等差数列，得，选项A 正确；由，得，则，选项B 正确；由，得当时，有最小值，且最小值为选项错*1111,,1n na a n a +==-∈+N 234123111111,2,1112111212a a a a a a =-=-=-=-=-=-=-=+++--{}n a 2022367432a a a ⨯===-π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭22ππ47cos 22cos 12166525αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππ7sin 2sin 2cos 2662625ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()2442222221sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 2x x x xx x x x +=+-=-=221sin cos 4x x ∴=π,0,sin 0,cos 02x x x ⎛⎫∈-∴<> ⎪⎝⎭1sin cos 2x x =-sin cos x x -====1sin 12αα=-πsin 13α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ππ2π,32k k α-=-+∈Z π2π,6k k α=-∈Z ()ππ1cos π2cos2cos 4πcos 332k αα⎛⎫-=-=--=-=- ⎪⎝⎭{}n a 0d >853a a =()11734a d a d +=+1502a d =-<()2119(3)222n n n d S na d n d -=+=--3n =nS 9,C 2d -误；又，解得，所以时，的最小值为7，选项D 正确；7.【答案】B 【详解】由，所以，所以；又､均为锐角，所以，所以.所以.8.【答案】A【详解】由题知，由正弦定理得，即，因为，所以，又，所以，得，所以最多有一个是钝角，所以，因为，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3.()()116022n n n dS na d n n -=+=->()6N n n +>∈0n S >n ()()()sin cos sin sin cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+⇒+-=+⎣⎦()()()()()sin cos cos sin cos sin sin cos 2cos sin αβααβααβααβααβα+-+=+⇒+=+()tan 2tan 1αβα+==αβ()0,παβ+∈π4αβ+=()cos αβ+=2cos cos cos a c bA C B+=sin sin 2sin cos cos cos A C BA C B+=()sin sin cos cos sin sin 2sin cos cos cos cos cos cos cos A C A C A C B BA C A C A C B++===()0,π,sin 0B B ∈>cos 2cos cos B A C =()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+cos cos sin sin 2cos cos A C A C A C -+=tan tan 3A C =,A C tan 0,tan 0A C >>()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos cos cos B C AB C B C B CB C B C B C++===+()tan tan 13tan tan tan tan tan 1tan tan 22A C A C C C A C A C +=-++=+=+-13tan tan 322A C +≥=13tan tan 22tan tan 3A CA C ⎧=⎪⎨⎪=⎩tan 3,tan 1A C ==sin cos cos AB C二､多选题9.【答案】ABD 【详解】因为点在函数的图象上，所以，且，所以.故A 正确；因为，由，得函数的对称中心为：，当时，得对称中心为：，故B 正确；.其对称轴为：，所以不是函数的对称轴，故C 错误；，由.所以函数的单调减区间为：，因为，所以函数在区间上单调递减，故D正确.10.【答案】ACD 【详解】设点距离水面的高度为（米）和（秒）的函数解析式为，由题意，，解得，，则.当时，，则，又，则.综上，，故D 正确；π,26⎛⎫⎪⎝⎭()f x πππ2sin 1633f ω⎛⎫⎛⎫=⇒+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭01ω<<12ω=()π2sin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππ,3x k k +=∈Z ()f x ππ,0,3k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z 0k =π,03⎛⎫-⎪⎝⎭()ππππ2sin 2sin 2cos 6632g x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦π,x k k =∈Z π4x =()g x ππ22cos 233y g x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ2π22ππ,ππ,363k x k k k x k k ≤+≤+∈⇒-≤≤+∈Z Z π23y g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ,π,63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ππππ,π,π,9963k k k ⎡⎤⎡⎤-⊆-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z π23y g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ,99⎡⎤-⎢⎥⎣⎦P h t ()πsin ,0,0,2h A t B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭max min 66,2,2A B h h A B +=⎧==-∴⎨-+=-⎩42A B =⎧⎨=⎩2π2ππ60,30T T ωω==∴== π4sin 230h t ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭0t =0,4sin 20h ϕ=∴+=1sin 2ϕ=-π2ϕ<π6ϕ=-ππ4sin 2306h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭令，则，若，得秒，故A 正确；当秒时，米，故B 不正确；当秒时，，故C 正确.11.【答案】AD 【详解】因为，则，且数列为等差数列，则，可得，即，又因为，可知：当时，；当时，；对于选项A ：由可知，所以当或10时，取得最大值，故A 正确；对于选项B ：因为，故B 错误；对于选项C ：由的符号性可知：①当时，单调递增，则；②当时，单调递减；且，可知：当时，；当时，；所以成立的的最小值为20，故C 错误；对选项D ：因为，所以，故D 正确；三､填空题12.【答案】7 【详解】设等比数列的公比为，其中，因为，可得，所以，解得或（舍去），则，又当时，，当时，所以当取最大值时的值为7.13.【答案】1000 【详解】在中，，由正弦定理得ππ4sin 26306h t ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭ππsin 1306t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭πππ3062t -=20t =155t =ππ4sin 15524sin5π22306h ⎛⎫=⨯-+=+=⎪⎝⎭50t =ππ3π4sin 5024sin 223062h ⎛⎫=⨯-+=+=-⎪⎝⎭316S S =45160a a a +++= {}n a 416515102a a a a a +=+== 10130a =100a =10a >9n ≤0n a >11n ≥0n a <100a =910S S =9n =n S 1910190S a ==n a 9n ≤{}n S 110n S S a >=>10n …{}n S 190S =18n ≤0n S >20n ≥0n S <0n S <n 9110,0a a ><9110a a <{}n a q 0q >10892a a a =-9781112a q a q a q =-2210q q +-=12q =1q =-111002n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭7n =67110012a ⎛⎫=⨯> ⎪⎝⎭8n =78110012a ⎛⎫=⨯< ⎪⎝⎭n T n BCD 400,1000,45BC BD BCD ∠=== sin BDC ∠==而，则中，，由余弦定理得：.14.【答案】或3【详解】因为都是等差数列，所以，，它为正整数，则为整数，又是正整数，所以或4，即或3.四､解答题15.【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，即，又因为，则，可得，又因为，所以.余弦定理可得，即，则，解得：，或，由于三角形为锐角三角形，故，故，进而只取，故.（2）根据面积关系可得，即，解得：16.【详解】（1）CD AD ⊥cos sin ADB BDC ∠∠==ABD AD =1000AB ==82/2331{}{},n n a b ()()1212201212171512121121213211822121332a a a a a a Sb b b b T b b +++⨯+=====++++()1212112121321123143221311n n n n n n n n n a a a a S n b b b b T n n n -----++-======-+-+++41n +n 12n +=1n =2cos 2b a B c +=()sin 2sin cos 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin B A B C A B A B A B +==+=+sin 2cos sin B A B =0πB <<sin 0B ≠1cos 2A =0πA <<π3A =2222cos a b c bc A =+-227323cos60c c =+-⨯⨯⨯ 2320c c -+=1c =2c =2220a c b +->220c ->2c =2c =ABC AABD ACD S S S =+ 11123sin602sin303sin30222AD AD ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ AD =()πππsin cos sin 632f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ11sin coscos sin cos cos sin sin cos cos cos cos 663322x x x x x x x x x x ⎛⎫=+--+=+-+ ⎪⎝⎭.由，解得即时，函数单调递减，所以函数的单调递减区间为；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象，所以.若，则.由，得，又，所以，则，故.故17.【详解】（1）由及正弦定理得，故，在中，，所以πcos 2sin 6x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ππ3π2π2π,262k x k k +≤+≤+∈Z π4π2π2π,33k x k k +≤≤+∈Z π4π2π,2π,33x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x π4π2π,2π,33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x 12()π22sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π6()g x ()πππ2sin 22sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()65g α=-()π6π32sin 2,sin 26565g ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π5π,612α⎛⎫∈-⎪⎝⎭ππ2π2,623α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭πsin 206α⎛⎫-< ⎪⎝⎭ππ2,062α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭π4cos 265α⎛⎫-== ⎪⎝⎭ππππππ431cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666552αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos2αcossin 2B a b A =sin cos sin sin 2BA B A =sin cos2sin cos sin 222B B BA A =vABC 0π,0πAB <<<<sin 0,cos02BA ≠≠可得，而，故即.（2）由正弦定理的得，因为，则所以，因为为锐角三角形，则，故，所以周长的取值范围.18.【详解】（1）由，得，即，当时，，两式相减得，化简得，当时，，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；（2）由（1）知，所以，所以.19.【详解】（1）由题意知，1sin 22B =π022B <<π26B =π3B =22sin sin sin a c b R AC B =====2sin ,2sin c A b B ==π3B =2π2π,33A C C A +==-2ππ2sin 2sin 3sin 36a c A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC ππππ2ππ,,,,sin 626336A A A ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈+∈+∈⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦(3,a c +∈ABC (3+()()1221n n n n n S S S +=--()1112n n n n S S S +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1112n n n S a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭2n ≥11112n n n S a --⎛⎫=-⎪⎝⎭()111111222n n n n n a a a n +-⎛⎫⎛⎫=---≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()122n n a n a +=≥1n =112112S a a ==⨯={}n a 12n n a -=12n n a -=()()()()1111122111121212121n n n n n n n n n b a a ----+===-++++++0112011111111112121212121212121221n nt n n n T =-+-+⋅⋅+-=-=-+++++++++1133n n S a =-当时，，所以.当时，，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.因为，所以，所以，令，可得，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列.（2）由（1）知，所以，所以，两式相减，可得，所以，所以.（3）若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于.因为，所以，所以数列的最大项为和，且.2n ≥111133n n n n n a S S a a --=-=-114n n a a -=1n =1111133S a a =-=114a ={}n a 1414()*14n n a n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N 1423log n n b a +=114413log 23log 2324nn n b a n ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭11b =()11n b b n d =+-3d ={}n b ()1324n n n n c a b n ⎛⎫=⋅=⨯- ⎪⎝⎭()()211211111435324444n n n n T c c c n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯+⨯++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()2311111114353244444n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()231311111133332444444n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()21111114411113233214424414n n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭-2321334n n n T +⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭23n T <()2114n c t t ≤+-*n ∈N n c ()2114t t +-()()111119931320444n nn n n n c c n n +++-⎛⎫⎛⎫-=+⨯-+⨯=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1234c c c c =>>> {}n c 1c 2c 1214c c ==所以，即，解得或，即实数的取值范围是.()211144t t ≤+-220t t +-≥1t ≥2t ≤-t ][(),21,∞∞--⋃+。
云南2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题含答案
数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合{13},{(2)(4)0}A xx B x x x =≤≤=--<∣∣，则A B = （）A.(2,3] B.[1,2)C.(,4)-∞ D.[1,4)【答案】A 【解析】【分析】解出集合B ，再利用交集含义即可得到答案.【详解】{(2)(4)0}{24}B xx x x x =--<=<<∣∣，而{|13}A x x =≤≤，则(2,3]A B ⋂=.故选：A.2.已知命题2:,10p z z ∃∈+<C ，则p 的否定是（）A.2,10z z ∀∈+<CB.2,10z z ∀∈+≥C C.2,10z z ∃∈+<C D.2,10z z ∃∈+≥C 【答案】B 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式可得.【详解】由存在量词命题的否定形式可知：2:,10p z z ∃∈+<C 的否定为2,10z z ∀∈+≥C .故选：B3.正项等差数列{}n a 的公差为d ，已知14a =，且135,2,a a a -三项成等比数列，则d =（）A.7B.5C.3D.1【答案】C【解析】【分析】由等比中项的性质再结合等差数列性质列方程计算即可；【详解】由题意可得()23152a a a -=，又正项等差数列{}n a 的公差为d ，已知14a =，所以()()2111224a d a a d +-=+，即()()222444d d +=+，解得3d =或1-（舍去），故选：C.4.若sin160m ︒=，则︒=sin 40（）A.2m -B.2-C.2-D.2【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式求出sin 20︒，然后结合平方公式和二倍角公式可得.【详解】因为()sin160sin 18020sin 20m ︒=︒-︒=︒=，所以cos 20︒==，所以sin 402sin 20cos 202︒=︒︒=故选：D5.已知向量(1,2),||a a b =+= ，若(2)b b a ⊥- ，则cos ,a b 〈〉=（）A.5-B.10-C.10D.5【答案】C 【解析】【分析】联立||a b += 和(2)0b b a ⋅-=求出,b a b ⋅ 即可得解.【详解】因为(1,2)a = ，所以a =，所以222||27a b a b a b +=++⋅=，整理得222b a b +⋅=①，又(2)b b a ⊥- ，所以2(2)20b b a b a b ⋅-=-⋅=②，联立①②求解得11,2b a b =⋅= ，所以12cos ,10a b a b a b⋅〈〉=== .故选：C 6.函数)()ln f x kx =是奇函数且在R 上单调递增，则k 的取值集合为（）A.{}1-B.{0}C.{1}D.{1,1}-【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数的定义得()))()222()ln lnln 10f x f x kx kx x k x -+=-+=+-=得1k =±，即可验证单调性求解.【详解】)()lnf x kx =+是奇函数，故()))()222()ln ln ln 10f x f x kx kx x k x -+=-+=+-=，则22211x k x +-=，210k -=，解得1k =±，当1k =-时，)()lnf x x ==，由于y x =在0,+∞为单调递增函数，故()lnf x =0,+∞单调递减，不符合题意，当1k =时，)()lnf x x =+，由于y x =在0,+∞为单调递增函数且()00f =，故)()ln f x x =为0,+∞单调递增，根据奇函数的性质可得)()ln f x x =+在上单调递增，符合题意，故1k =，故选：C7.函数π()3sin ,06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()(2π)f x f ≤对x ∈R 恒成立，且()f x 在π13π,66⎡⎤⎢⎣⎦上有3条对称轴，则ω=（）A.16 B.76C.136D.16或76【答案】B【解析】【分析】根据()2π3,2π2f T T =≤<求解即可.【详解】由题知，当2πx =时()f x 取得最大值，即π(2π)3sin 2π36f ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π2π,Z 62k k ω+=+∈，即1,Z 6k k ω=+∈，又()f x 在π13π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3条对称轴，所以13ππ2π266T T ≤-=<，所以2π12T ω≤=<，所以76ω=.故选：B8.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，过坐标原点O 的直线与E 交于A ，B 两点，点C 满足23AF FC = ，若0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=，则E 的离心率为（）A.9B.7C.5D.3【答案】D 【解析】【分析】设(),A m n ，表示出,,,OA OC AF BF，根据0,0AB OC AC BF ⋅=⋅= 列方程，用c 表示出,m n ，然后代入椭圆方程构造齐次式求解可得.【详解】设(),A m n ，则()(),,,0B m n F c --，则()()(),,,,,OA m n AF c m n BF c m n ==--=+，因为23AF FC = ，所以()555,222n AC AF c m ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，所以()()55533,,,22222n c n OC OA AC m n c m m ⎛⎫⎛⎫=+=+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=，所以222253302220c OA OC m m n AF BF c m n ⎧⎛⎫⋅=--=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=--=⎩ ，得34,55m c n c ==，又(),A m n 在椭圆上，所以222291625251c ca b+=，即()()222222229162525c a c a c a a c -+=-，整理得4224255090a a c c -+=，即42950250e e -+=，解得259e =或25e =（舍去），所以3e =.故选：D【点睛】关键点睛：根据在于利用向量关系找到点A 坐标与c 的关系，然后代入椭圆方程构造齐次式求解.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22()n S kn n k =-∈R ，则下列结论正确的是（）A.{}n a 为等差数列B.{}n a 不可能为常数列C.若{}n a 为递增数列，则0k >D.若{}n S 为递增数列，则1k >【答案】AC 【解析】【分析】根据,n n a S 的关系求出通项n a ，然后根据公差即可判断ABC ；利用数列的函数性，分析对应二次函数的开口方向和对称轴位置即可判断D .【详解】当1n =时，112a S k ==-，当2n ≥时，()()()221212122n n n a S S kn n k n n kn k -⎡⎤=-=-----=-+⎣⎦，显然1n =时，上式也成立，所以()22n a kn k =-+.对A ，因为()()()1222122n n a a kn k k n k k -⎡⎤-=-+---+=⎣⎦，所以是以2k 为公差的等差数列，A 正确；对B ，由上可知，当0k =时，为常数列，B 错误；对C ，若为递增数列，则公差20k >，即0k >，C 正确；对D ，若{}n S 为递增数列，由函数性质可知02322k k >⎧⎪⎨<⎪⎩，解得23k >，D 错误.故选：AC10.甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以110.820y x =+、220.7525y x =+的方式赋分，其中12,x x 分别表示甲、乙两班原始考分，12,y y 分别表示甲、乙两班考后赋分．已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则（）A.甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高B.甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高C.甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数D.若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高【答案】ACD 【解析】【分析】根据期望和标准差的性质求出赋分前的期望和标准差即可判断AB ；作差比较，结合自变量范围即可判断C ；作出函数0.820,0.7525y x y x =+=+的图象，结合图象可判断D .【详解】对AB ，由题知()()1215E y E y ====，因为110.820y x =+，220.7525y x =+，所以()()120.82060,0.752515E x E x +=+===，解得()()1250,20E x E x =≈==，所以()()12E x E x >=，故A 正确，B 错误；对C ，因为111200.2y x x -=-，[]10,100x ∈，所以10200.220x ≤-≤，即110y x -≥，所以C 正确；对D ，作出函数0.820,0.7525y x y x =+=+的图象，如图所示：由图可知，当12100y y =<时，有21x x <，又因为0.820y x =+单调递增，所以当12y y >时必有12x x >，D 正确.故选：ACD11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域为R ，若(1)f x +与()f x '均为偶函数，且(1)(1)2f f -+=，则下列结论正确的是（）A.(1)0f '=B.4是()f x '的一个周期C.(2024)0f =D.()f x 的图象关于点(2,1)对称【答案】ABD 【解析】【分析】注意到()f x '为偶函数则()()2f x f x -+=，由()(1)1f x f x -+=+两边求导，令0x =可判断A ；()()11f x f x --='+'结合导函数的奇偶性可判断B ；利用()f x 的周期性和奇偶性可判断C ；根据()()2f x f x -+=和()(1)1f x f x -+=+可判断D .【详解】因为()f x '为偶函数，所以()()f x f x -'='，即()()f x f x c --=+，而(1)(1)2f f -+=，故2c =-，故()()2f x f x +-=，又(1)f x +为偶函数，所以()(1)1f x f x -+=+，即()()2f x f x =-，所以()2()2f x f x -+-=，故()(2)2f x f x ++=即()2(4)2f x f x +++=，()()4f x f x =+，所以4是()f x 的周期，故B 正确.对A ，由()(1)1f x f x -+=+两边求导得()()11f x f x --='+'，令0x =得()()11f f -'='，解得()10f '=，A 正确；对C ，由上知()()2f x f x +-=，所以()01f =，所以()()(2024)450601f f f =⨯==，C 错误；对D ，因为()()2f x f x +-=，()()2f x f x =-，故()2(2)2f x f x -++=，故()f x 的图象关于2,1对称，故选：ABD【点睛】关键点睛：本题解答关键在于原函数与导数数的奇偶性关系，以及对()(1)1f x f x -+=+两边求导，通过代换求导函数的周期.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线()e xf x x =-在0x =处的切线方程为______．【答案】1y =##10y -=【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程.【详解】因为()e xf x x =-，则()01f =，又()e 1xf x '=-，所以()00f '=，所以曲线()e xf x x =-在0x =处的切线方程为1y =．故答案为：1y =13.若复数cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于直线y x =上，则λ的最大值为__________．【答案】1-##1-+【解析】【分析】根据复数对应的点cos 21sin ,sin 2θλθθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在y x =得212sin 1sin sin 2θλθθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即可利用二倍角公式以及基本不等式求解.【详解】cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭对应的点为cos 21sin ,sin 2θλθθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故cos 21sin sin 2θλθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故212sin 1sin sin 2θλθθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，由于()0,πθ∈，故sin 0θ>，则2sin 1111sin sin sin 122sin θλθθθθ==≤++++，当且仅当1sin 2sin θθ=，即2sin 2θ=，解得π3π,44θθ==时等号成立，114.过抛物线2:3C y x =的焦点作直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于M ，N 两点，若||12AB =，则||MN =__________．【答案】【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，得韦达定理，根据焦点弦的公式可得223332122k AB k +=+=，解得213k =，即可求解()111:AM y x x y k=--+得11M x ky x =+，即可代入求解.【详解】2:3C y x =0，根据题意可知直线l 有斜率，且斜率不为0，根据对称性不设直线方程为34y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立直线34y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与23y x =可得22223930216k x k x k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，故2121223392,16k x x x x k ++==，故21223332122k AB x x p k +=++=+=，解得213k =，直线()111:AM y x x y k=--+，令0y =，则11M x ky x =+，同理可得22N x ky x =+，如下图，故()()()211221212121M N MN x x ky x ky x k y y x x k x x =-=+--=-+-=+-，()()22221212233192141483316k MN k x x x x k ⎛⎫+ ⎪⎛⎫=++-=+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故答案为：83四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos 0a b c A -+=．（1）求角C ；（2）若AB 边上的高为1，ABC V 的面积为33，求ABC V 的周长．【答案】（1）π3C =；（2）23.【解析】【分析】（1）利用余弦定理角化边，整理后代入余弦定理即可得解；（2）利用面积公式求出c ，然后由面积公式结合余弦定理联立求解可得a b +，可得周长.【小问1详解】由余弦定理角化边得，2222202b c a a b c bc +--+⨯=，整理得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】由题知，13123c ⨯=，即233c =，由三角形面积公式得1πsin 233ab =，所以43ab =，由余弦定理得()222π42cos 333a b ab a b ab +-=+-=，所以()2416433a b +=+=，所以3a b +=，所以ABC V 的周长为33a b c ++=+=16.如图，PC 是圆台12O O 的一条母线，ABC V 是圆2O 的内接三角形，AB 为圆2O 的直径，4,AB AC ==．（1）证明：AB PC ⊥；（2）若圆台12O O 的高为3，体积为7π，求直线AB 与平面PBC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）19.【解析】【分析】（1）转化为证明AB ⊥平面12O O CP ，利用圆台性质即可证明；（2）先利用圆台体积求出上底面的半径，建立空间坐标系，利用空间向量求线面角即可.【小问1详解】由题知，因为AB 为圆2O 的直径，所以AC BC ⊥，又4,AB AC ==AB ==，因为2O 为AB 的中点，所以2O C AB ⊥，由圆台性质可知，12O O ⊥平面ABC ，且12,,,O O P C 四点共面，因为AB ⊂平面ABC ，所以12O O AB ⊥，因为122,O O O C 是平面12O O CP 内的两条相交直线，所以AB ⊥平面12O O CP ，因为PC ⊂平面12O O CP ，所以AB PC ⊥.【小问2详解】圆台12O O的体积(2211ππ237π3V r =⋅+⋅⨯=，其中11r PO =，解得11r =或13r =-(舍去).由（1）知122,,O O AB O C 两两垂直，分别以2221,,O B O C O O 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(2,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,1,3)A B C P -，所以(4,0,0),(2,1,3),(2,2,0)AB BP BC ==-=-.设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则230,220,n BP x y z n BC x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩解得,3,x y x z =⎧⎨=⎩于是可取(3,3,1)n =.设直线AB 与平面PBC 的夹角为θ，则sin cos ,19AB n θ===，故所求正弦值为19.17.已知函数()ln f x x ax =+．（1）若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（2）若()1,()e()xa g x f f x ==-，证明：()g x 存在唯一极小值点01,12x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()02g x >．【答案】（1）1,e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）参变分离，构造函数()ln xh x x=-，利用导数求最值即可；（2121内，利用零点方程代入()0g x ，使用放缩法即可得证.【小问1详解】()0f x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，等价于ln xa x≤-在(0,)+∞上恒成立，记()ln x h x x =-，则()2ln 1x h x x='-，当0e x <<时，ℎ′<0，当e x >时，ℎ′>0，所以ℎ在()0,e 上单调递减，在()e,∞+上单调递增，所以当e x =时，ℎ取得最小值()ln e 1e e eh =-=-，所以1a e≤-，即a 的取值范围1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【小问2详解】当1a =时，()()e()eln ,0xxg x f f x x x =-=->，则1()e x g x x'=-，因为1e ,xy y x==-在(0,)+∞上均为增函数，所以()g x '在(0,)+∞单调递增，又()121e 20,1e 102g g ⎛⎫=-''=- ⎪⎝⎭，1存在0x ，使得当∈0,0时，()0g x '<，当∈0,+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，所以()g x 存在唯一极小值点01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.因为01e 0x x -=，即00ln x x =-，所以00000()e ln =e x x g x x x =-+，因为01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且=e x y x+1上单调递增，所以012001()=e e 2x g x x +>+，又9e 4>，所以123e 2>，所以00031()=e 222xg x x +>+=.18.动点(,)M xy 到直线1:l y=与直线2:l y =的距离之积等于34，且|||y x <．记点M 的轨迹方程为Γ．（1）求Γ的方程；（2）过Γ上的点P 作圆22:(4)1Q x y +-=的切线PT ，T 为切点，求||PT 的最小值；（3）已知点40,3G ⎛⎫⎪⎝⎭，直线:2(0)l y kx k =+>交Γ于点A ，B ，Γ上是否存在点C 满足0GA GB GC ++= ？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2213y x -=（2）2（3）3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据点到直线距离公式，即可代入化简求解，（2）由相切，利用勾股定理，结合点到点的距离公式可得PT =，即可由二次函数的性质求解，（3）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，进而根据向量的坐标关系可得()02201224,3443k x k k y y y k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-+=⎪-⎩，将其代入双曲线方程即可求解.【小问1详解】根据(,)M xy 到直线1:l y=与直线2:l y =的距离之积等于3434=，化简得2233x y -=，由于|||y x <，故2233x y -=，即2213y x -=.【小问2详解】设(,)P x y，PT ====故当3y =时，PT 最小值为2【小问3详解】联立:2(0)l y kx k =+>与2233x y -=可得()223470k x kx ---=，设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，则12122247,33k x x x x k k-+==--，故()212122444,3k y y k x x k+=++=+-设存在点C 满足0GA GB GC ++= ，则1201200433x x x y y y ++=⎧⎪⎨++=⨯⎪⎩，故()02201224,3443k x k k y y y k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-+=⎪-⎩，由于()00,C x y 在2233x y -=，故22222443333k k k k ⎛⎫-⎛⎫--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，化简得421966270k k -+=，即()()2231990k k --=，解得2919k =或23k =（舍去），由于()22Δ162830k k =+->，解得27k<且23k ≠，故2919k =符合题意，由于0k >，故31919k =，故022024,344334k x k k y k ⎧=-=-⎪⎪-⎨-⎪==-⎪-⎩,故3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故存在3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，使得0GA GB GC ++= 19.设n ∈N ，数对(),n n a b 按如下方式生成：()00,(0,0)a b =，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若n n a b >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,1,n n n n a b a b ++=+；当硬币的反面朝上时，若n n b a >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,,1n n n n a b a b ++=+．抛掷n 次硬币后，记n n a b =的概率为n P ．（1）写出()22,a b 的所有可能情况，并求12,P P ；（2）证明：13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求n P ；（3）设抛掷n 次硬币后n a 的期望为n E ，求n E ．【答案】（1）答案见详解；（2）证明见详解，1111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭；（3）21113929nn E n ⎛⎫=+--⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）列出所有()11,a b 和()22,a b 的情况，再利用古典概型公式计算即可；（2）构造得1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再利用等比数列公式即可；（3）由（2）得()11111232nn n Q P ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，再分n n a b >，n n a b =和n n a b <讨论即可.【小问1详解】当抛掷一次硬币结果为正时，()()11,1,0a b =；当抛掷一次硬币结果为反时，()()11,0,1a b =.当抛掷两次硬币结果为（正，正）时，()()22,2,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，()()22,1,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，()()22,1,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，()()22,1,2a b =.所以，12210,42P P ===.【小问2详解】由题知，1n n a b -≤，当n n a b >，且掷出反面时，有()()11,,1n n n n a b a b ++=+，此时11n n a b ++=，当n n a b <，且掷出正面时，有()()11,1,n n n n a b a b ++=+，此时11n n a b ++=，所以()()()()()1111112222n n n n n n n n n n P P a b P a b P a b P a b P +⎡⎤=>+<=>+<=-⎣⎦，所以1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以11133P -=-为首项，12-为公比的等比数列，所以1111332n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，所以1111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.【小问3详解】设n n a b >与n n a b <的概率均为n Q ，由(2)知，()11111232nn n Q P ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦显然，111110222E =⨯+⨯=.若n n a b >，则1n n a b =+，当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，1n n a a +=;若n n a b =，则当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，1n n a a +=;若n n a b <，则1n n b a =+，当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，11n n a a +=+.所以1n n a a +=时，期望不变，概率为111122262nn n Q P ⎡⎤⎛⎫+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦;11n n a a +=+时，期望加1，概率为1111111124226262n nn n Q P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.所以()11111112144626262nn nn nn n E E E E +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-++⨯--=+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故12112111111444626262n n n n n n E E E -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+--+--⎢⎥⎢⎥⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=1111111446262n E -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--++--⎢⎥⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦011111111444626262n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++--⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111241612n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21113929nn ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.经检验，当1n =时也成立.21113929nn E n ⎛⎫∴=+-- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是分1n n a a +=和11n n a a +=+时讨论，最后再化简n E 的表达式即可.。
河南省部分名校2024-2025学年高三上学期月考(一) 数学试题(含解析)
高三年级上学期月考（一）数学试题一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}213410,02A x x x B x x ⎧⎫=-+≤=<<⎨⎬⎩⎭∣，则A B ⋂=（）A.(],1∞- B.11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.(]0,1 D.()0,12.已知函数()()sin f x x ωϕ=+，则“π2ϕ=是函数()f x 为偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列命题中，真命题的是（）A.若a b <，则11a b>B.若a b >，则22a ab b >>C.若0a bc <<<，则log log c c a b<D.若22a b +=，则244a b +≥4.冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q 呈指数函数型变化.当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式0.00250et Q Q -=⋅，其中0Q 是臭氧的初始量，e 是自然对数的底数，t 是时间，以年为单位.若按照关系式0.00250et Q Q -=⋅推算，经过0t 年臭氧量还保留初始量的四分之一，则0t 的值约为()ln20.693≈（）A.584年 B.574年 C.564年 D.554年5.如图为函数()()π2sin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象，则（）A.函数()f x 的周期为4πB.对任意的x ∈R ，都有()2π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭C.函数()f x 在区间[]0,5π上恰好有三个零点D.函数π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数6.在ABC 中，ABC 的面积为)222,4,2S S a c b AB BC =+-⋅=- ，且满足sin sin 2sin A C B +=，则该三角形的外接圆的半径R 为（）A.3B.3 D.27.ABC 与ABD 都是边长为2的正三角形，沿公共边AB 折叠成三棱锥且CD ，若点,,A B C ，D 在同一球O 的球面上，则球O 的表面积为（）A.13π9 B.208π9 C.112π3 D.52π98.已知函数()f x 及其导函数()f x '在定义域均为R 且()()2e2x F x f x +=+是偶函数，其函数图象为不间断曲线且()()()20x f x f x ⎡⎤-+>⎣⎦'，则不等式()()3ln e 3xf x f <的解集为（）A.()30,e B.()31,e C.()3e,e D.()3e ,∞+二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论中，所有正确的结论是（）A.若0,0a b c d >><<，则ac bd<B.命题[)000:1,,e 1x p x x ∞∃∈+≥+的否定是：[)1,,e 1x x x ∞∀∈+<+C.若0a b <<且0c >，则b c b a c a +>+D.若()20,,1x ax x ∞∀∈+<+，则实数(],2a ∞∈-10.已知定义在实数集R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()()()f x y f x f y xy +=++，()()110,12f f =='，则（）A.()f x 的图像关于点()1,0成中心对称B.()322f '=C.()202410122023f =⨯D.20241()10122024k f k '==⨯∑11.设函数()f x 的定义域为π,4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭R 为奇函数，π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，当ππ,44x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，()4cos 3f x x =，则（）A.()()4πf x f x +=B.()f x 的图象关于直线3π4x =对称C.()f x 在区间3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数D.方程()lg 0f x x -=仅有4个实数解三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正数,x y 满足2x y +=，若211m m x y +>-恒成立，则实数m 的取值范围为__________.13.(tan5tan102tan5tan10++= __________.14.已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左焦点为F ，过坐标原点O 作直线与双曲线的左右两支分别交于,A B 两点，且2π4,3FB FA AFB ∠== ，则双曲线的渐近线方程为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数()πsin 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）若()[]001,0,2π2f x x =∈，求0x 的值；（2）设()()cosg x f x x =⋅，求()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16.（15分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设向量()2sin m A A A = ，()()π2πcos ,cos sin ,,,63n A A A f A m n A ⎡⎤=-=⋅∈⎢⎥⎣⎦.（1）求函数()f A 的最大值；（2）若()0,sin 2f A a B C ==+=，求ABC 的面积.17.（15分）如图，PD ⊥平面,,ABCD AD CD AB ⊥∥,CD PQ ∥,222CD AD CD DP PQ AB =====，点,,E F M 分别为,,AP CD BQ 的中点.（1）求证：EF ∥平面CPM ；（2）若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求:QN NC 的值.18.（17分）已知函数()()()22111ln ,e 222x f x ax a x x g x x ax =-++=--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：()()2ln 1f x g x x ax +≥--.19.（17分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，右顶点Q 与C 的上，下顶点所围成的三角形面积为（1）求C 的方程.（2）不过点Q 的动直线l 与C 交于,A B 两点，直线QA 与QB 的斜率之积恒为14.（i ）证明：直线l 过定点；（ii ）求QAB 面积的最大值.高三年级上学期月考（一）数学试题一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.【答案】B【分析】根据一元二次不等式求集合A ，在根据交集运算求解.【详解】由题意可知：{}21341013A xx x x x ⎧⎫=-+≤=≤≤⎨⎬⎩⎭∣，所以11,32A B ⎡⎫⋂=⎪⎢⎣⎭.故选：B.2.【答案】A【分析】利用充分必要条件的判定方法，结合余弦函数的奇偶性即可得解.【详解】当π2ϕ=时，()()πsin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 为偶函数，即充分性成立；当()()sin f x x ωϕ=+为偶函数时，ππ2k ϕ=+，此时π2ϕ=不一定成立，即必要性不成立；所以“π2ϕ=是函数()f x 为偶函数”的充分不必要条件.故选：A.3.【答案】D 【分析】举反例即可判断ABC ，根据基本不等式和指数运算即可判断D.【详解】对A ，当1,1a b =-=时，则11a b<，故A 错误；对B ，当1,2a b =-=-时，则21,2a ab ==，则2a ab <，故B 错误；对C ，当01c <<时，根据对数函数单调性知log log c c a b >，故C 错误；对D ，若22a b +=，则244a b +≥==，当且仅当11,2a b ==时取等号，故D 正确.故选：D.4.【答案】D【分析】根据题意列出方程，指对数互化求解即可.【详解】由题意知，00.0025001e4t Q Q Q -=⋅=，则00.00251e 4t -=，解得()01400ln 4002ln25544t =-=--≈年.故选：D.5.【答案】C【分析】A 选项，利用函数图象求出函数解析式，利用正弦函数的周期性得到A 错误；B 选项，计算2π11π2sin 2318f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，B 错误；C 选项，整体法得到{}2ππ,2π,3π36x +=，计算出5π11π17π,,444x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，C 正确；D 选项，计算出π22sin 43f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭为奇函数，D 错误.【详解】从图象可看出()f x 的最小正周期为3π23π2T =⨯=，。
福建省福州四中2024-2025学年高三(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年福建省福州四中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满足|z−i|= 2,z 在复平面内对应的点为(x,y)，则( )A. (x−1)2+y 2=4B. (x−1)2+y 2=2C. x 2+(y−1)2=4D. x 2+(y−1)2=22.若角α的终边过点(4,3)，则sin (α+π2)=( )A. 45B. −45C. 35D. −353.如图，在△ABC 中，点D 在BC 的延长线上，|BD|=3|DC|，如果AD =xAB +y AC ，那么( )A. x =12,y =32B. x =−12,y =32C. x =−12,y =−32D. x =12,y =−324.已知等比数列{a n }中，a 1+a 3=2，a 4+a 6=16，则a 10+a 12=( )A. 26B. 32C. 512D. 10245.已知函数f(x)是定义域为R 的偶函数，在区间(0,+∞)上单调递增，且对任意x 1，x 2，均有f(x 1x 2)=f(x 1)f(x 2)成立，则下列函数中符合条件的是( )A. y =ln |x|B. y =x 3C. y =2|x|D. y =|x|6.函数f(x)=x 3−ax 2−bx +a 2在x =1处有极值10，则点(a,b)为( )A. (3,−3)B. (−4,11)C. (3,−3)或(−4,11)D. 不存在7.设f(x)={(x +a )2,x ≤0,x +1x +a,x >0,若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( )A. [−1,0]B. [−1,2]C. [−2,−1]D. [−2,0]8.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆和C 的渐近线在第一象限交于A 点，直线AF 1交C 的另一条渐近线于点B ，F 1B =BA ，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C. 2D. 3二、多选题：本题共3小题，共18分。
湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期11月月考数学检测试卷(含解析)
1. 若复数z 满足一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期11月月考数学检测试卷一项是符合题目要求的）1i34i z +=-，则z =（）A.B.25C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法运算求出复数z ，计算其模，即得答案.【详解】由1i34i z+=-可得()()()()1i 34i 1i 17i 34i 34i 34i 25z+++-+===--+，则z =故选：C2. 已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则345a a a ++等于（ ）A. 12B. 15C. 18D. 21【答案】B 【解析】【分析】利用52S S -即可求得345a a a ++的值.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，所以34552=a a a S S ++-()2252522215=-⨯--⨯=.故选：B.3. 抛物线24y x =的焦点坐标为（ ）A. (1,0)B. (1,0)-的C. 1(0,)16-D. 1(0,)16【答案】D 【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出其焦点坐标【详解】解：由24y x =，得214x y =，所以抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，且124p =，所以18p =，1216p =，所以焦点坐标为1(0,16，故选：D4. 如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则函数的解析式可为（ ）A. πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. 5πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】观察图象，确定函数()sin y x ωϕ=+的周期，排除B ，由图象可得当5π12x =时，函数取最小值，求ϕ由此判断AC ，结合诱导公式判断D.【详解】观察图象可得函数()sin y x ωϕ=+的最小正周期为2ππ2π36T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2ππω=，故2ω=或2ω=-，排除B ；观察图象可得当π2π5π63212x +==时，函数取最小值，当2ω=时，可得5π3π22π+122k ϕ⨯+=，Z k ∈，所以2π2π+3k ϕ=，Z k ∈，排除C ；当2ω=-时，可得5ππ22π122k ϕ-⨯+=-，Z k ∈，所以π2π+3k ϕ=，Z k ∈，取0k =可得，π3ϕ=，故函数的解析式可能为πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，A 正确；5ππππcos 2cos 2sin 26233y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 错误故选：A.5. 1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：1201lnm m v v m +=，其中12,m m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8km /s ，则火箭发动机的喷气速度为（ ）（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1,ln4 1.4≈≈）A. 10km /s B. 20km /sC.80km /s 3D. 40km /s【答案】B 【解析】【分析】根据实际问题，运用对数运算可得.【详解】由题意122m m =，122200122lnln 82m m m m v v v m m ++===，得03ln 82v =，故0888203ln3ln 2 1.10.7ln 2v ==≈=--，故选：B6.若83cos 5αβ+=，63sin 5αβ-=，则()cos αβ+的值为（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】已知两式平方相加，再由两角和的余弦公式变形可得．【详解】因为83cos 5αβ=，63sin 5αβ=，所以25(3cos 4)62αβ=，2(3sin )2536αβ=，即所以2259cos co 6s 1042cos ααββ++=，229sin sin +10sin 2536ααββ-=，两式相加得9)104αβ+++=，所以cos()αβ+=，故选：C ．7. 如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为23，向右的概率为13，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（ ）A.427B.827C.29D.49【答案】A 【解析】【分析】根据该质点共两次到达1的位置的方式有0101→→→和0121→→→，且两种方式第4次移动向左向右均可以求解.【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有0101→→→和0121→→→，且两种方式第4次移动向左向右均可以，所以该质点共两次到达1的位置的概率为211124333332713⨯⨯+⨯⨯=.故选：A.8. 设n S 为数列{a n }的前n 项和，若121++=+n n a a n ，且存在*N k ∈，1210k k S S +==，则1a 的取值集合为（ ）A. {}20,21-B. {}20,20-C. {}29,11-D. {}20,19-【答案】A 【解析】【分析】利用121++=+n n a a n 可证明得数列{}21n a -和{}2n a 都是公差为2的等差数列，再可求得()2=21n S n n +，有了这些信息，就可以从k 的取值分析并求解出结果.【详解】因为121++=+n n a a n ，所以()()()()()()212342123+41=++++++37+41=212n n n n n S a a a a a a n nn --⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅-=+，假设()2=21=210n S n n +，解得=10n 或21=2n -（舍去），由存*N k ∈，1210k k S S +==，所以有19k =或20k =，由121++=+n n a a n 可得，+1223n n a a n ++=+，两式相减得：22n n a a +-=，当20k =时，有2021210S S ==，即210a =，根据22n n a a +-=可知：数列奇数项是等差数列，公差为2，所以()211+11120a a =-⨯=，解得120a =-，当19k =时，有1920210S S ==，即200a =，根据22n n a a +-=可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2，所以()202+10120a a =-⨯=，解得218a =-，由已知得123a a +=，所以121a =.故选：A.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，则下列说法正确的是（ ）在A. 直线EF 与11D B 为异面直线B. 直线1D E 与1DC 所成的角为60oC. 1D F AD ⊥D. //EF 平面11CDD C 【答案】ABD 【解析】【分析】直接根据异面直线及其所成角的概念可判断AB ，利用反证法可判断C ，利用线面平行判定定理可判断D.【详解】如图所示，连接AC ，1CD ，EF ，由于E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，即F 为AC 的中点，所以1//EF CD ，EF ⊄面11CDD C ，1CD ⊆面11CDD C ，所以//EF 平面11CDD C ，即D 正确；所以EF 与1CD 共面，而1B ∉1CD ，所以直线EF 与11D B 为异面直线，即A 正确；连接1BC ，易得11//D E BC ，所以1DC B ∠即为直线1D E 与1DC 所成的角或其补角，由于1BDC 为等边三角形，即160DC B ∠=，所以B 正确；假设1D F AD ⊥，由于1AD DD ⊥，1DF DD D = ，所以AD ⊥面1D DF ，而AD ⊥面1D DF 显然不成立，故C 错误；故选：ABD.10. 已知P 是圆22:4O x y +=上的动点，直线1:cos sin 4l x y θθ+=与2:sin cos 1l x y θθ-=交于点Q ，则（ ）A. 12l l ⊥ B. 直线1l 与圆O 相切C. 直线2l 与圆O截得弦长为 D. OQ的值为【答案】ACD 【解析】【分析】选项A 根据12l l ⊥，12120A A B B +=可判断正确；选项B 由圆心O 到1l 的距离不等半径可判断错误；选项C 根据垂直定理可得；选项D 先求出()4sin cos ,4cos sin Q θθθθ-+，根据两点间的距离公式可得.【详解】选项A ：因()cos sin sin cos 0θθθθ+-=，故12l l ⊥，A 正确；选项B ：圆O 的圆心O 的坐标为()0,0，半径为2r =，圆心O 到1l的距离为14d r ==>，故直线1l 与圆O 相离，故B 错误；选项C ：圆心O 到1l 的距离为21d ==，故弦长为l==，故C 正确；选项D ：由cos sin 4sin cos 1x y x y θθθθ+=⎧⎨-=⎩得4cos sin 4sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩，故()4cos sin ,4sin cos Q θθθθ+-，故OQ ==，故D 正确故选：ACD11. 已知三次函数()32f x ax bx cx d =+++有三个不同的零点1x ，2x ，()3123x x x x <<，函数()()1g x f x =-也有三个零点1t ，2t ，()3123t t t t <<，则（ ）A. 23b ac>B. 若1x ，2x ，3x 成等差数列，则23bx a=-C. 1313x x t t +<+D. 222222123123x x x t t t ++=++【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由题意可得()0f x '=有两个不同实根，则由0∆>即可判断；对于B ，若123,,x x x 成等差数列，则(x 2,f (x 2))为()f x 的对称中心，即可判断；对于C ，结合图象，当0a >和0a <时，分类讨论即可判断；对于D ，由三次函数有三个不同的零点，结合韦达定理，即可判断.【详解】因为()32f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，0a ≠，对称中心,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ，因为()f x 有三个不同零点，所以()f x 必有两个极值点，即()2320f x ax bx c =++='有两个不同的实根，所以2Δ4120b ac =->，即23b ac >，故A 正确；对于B ，由123,,x x x 成等差数列，及三次函数的中心对称性，可知(x 2,f (x 2))为()f x 的对称中心，所以23bx a=-，故B 正确；对于C ，函数()()1g x f x =-，当g (x )=0时，()1f x =，为则1y =与y =f (x )的交点的横坐标即为1t ，2t ，3t ，当0a >时，画出()f x 与1y =的图象，由图可知，11x t <，33x t <，则1313x x t t +<+，当0a <时，则1313x x t t +>+，故C 错误；对D ，由题意，得()()()()()()32123321231a x x x x x x ax bx cx da x t x t x t ax bx cx d ⎧---=+++⎪⎨---=+++-⎪⎩，整理，得123123122331122331b x x x t t t ac x x x x x x t t t t t t a ⎧++=++=-⎪⎪⎨⎪++=++=⎪⎩，得()()()()2212312233112312233122x x x x x x x x x t t t t t t t t t ++-++=++-++，即222222123123x x x t t t ++=++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是利用交点式得到三次方程的韦达定理式再计算即可.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12. 已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()3E X =，()2D X =，则n =_____.【答案】9【解析】【分析】根据二项分布的期望、方差公式，即可求得答案.【详解】由题意知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，()3E X =，()2D X =，则()3,12np np p =-=，即得1,93p n ==，故答案为：913. 已知平面向量a ，b 满足2a = ，1= b ，且b 在a上投影向量为14a - ，则ab + 为______.的【解析】【分析】由条件结合投影向量公式可求a b ⋅ ，根据向量模的性质及数量积运算律求a b +.【详解】因为b 在a上的投影向量为14a - ，所以14b a a a aa ⋅⋅=- ，又2a =，所以1a b ⋅=-，又 1= b ，所以a b +====14. 如图，已知四面体ABCD 体积为32，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD ，AD 上，且G ，H 是靠近D 点的四等分点，则多面体EFGHBD 的体积为_____.【答案】11【解析】【分析】连接,EG ED ，将多面体EFGHBD 被分成三棱锥G EDH -和四棱锥E BFGD -，利用题设条件找到小棱锥底面面积与四面体底面面积的数量关系，以及小棱锥的高与四面体的高的数量关系，结合四面体的体积即可求得多面体EFGHBD 的体积.【详解】如图，连接,EG ED ，则多面体EFGHBD 被分成三棱锥G EDH -和四棱锥E BFGD -.因H 是AD 上靠近D 点的四等分点，则14DHE AED S S = ，又E 是AB 的中点，故11114428DHE AED ABD ABD S S S S ==⨯= ，因G 是CD 上靠近D 点的四等分点，则点G 到平面ABD 的距离是点C 到平面ABD的距离的14，的故三棱锥G EDH -的体积1113218432G EDH C ABD V --=⨯=⨯=；又因点F 是BC 的中点，则133248CFGBCD BCD S S S =⨯= ，故58BFGD BCD S S = ，又由E 是AB 的中点知，点E 到平面BCD 的距离是点A 到平面BCD 的距离的12，故四棱锥E BFGD -的体积51532108216E BFGD A BCD V V --=⨯=⨯=，故多面体EFGHBD 的体积为11011.G EDH E BFGD V V --+=+=故答案为：11.【点睛】方法点睛：本题主要考查多面体的体积求法，属于较难题.一般的求法有两种：（1）分割法：即将多面体通过连线，作面的垂线等途径，将其分成若干可以用公式求解；（2）补形法：即将多面体通过辅助线段构造柱体，锥体或台体，利用整体体积减去个体体积等间接方法求解.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a B A =.（1）求A ；（2）若sin sin 2sin B C A +=，且ABC V ，求a 的值.【答案】（1）π3A = （2）2a =【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到tan A =，从而得解；（2）利用正弦定理的边角变换，余弦定理与三角形面积公式得到关于a 的方程，解之即可得解.【小问1详解】因为sin cos 0a B A =,即sin cos a B A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A ⋅=⋅，因为sin 0B ≠，所以sin A A =,则tan A =，又()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】因为sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理得2b c a +=，因为π3A =，所以11sin 22ABC S bc A bc === 4bc =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅，得224b c bc +-=，所以()234b c bc +-=，则()22344a -⨯=，解得2a =.16. 设()()221ln 2f x x ax x x =++，a ∈R .（1）若0a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若a ∈R ，试讨论()f x 的单调性.【答案】（1）4230--=x y （2）答案见解析【解析】【分析】（1）由函数式和导函数式求出(1)f 和(1)f '，利用导数的几何意义即可写出切线方程；（2）对函数()f x 求导并分解因式，根据参数a 的取值进行分类讨论，由导函数的正负推得原函数的增减，即得()f x 的单调性.【小问1详解】当0a =时，()221ln 2f x x x x =+，()2(ln 1)f x x x '=+，因1(1),(1)22f f '==，故()f x 在1x =处的切线方程为12(1)2y x -=-，即4230--=x y ；【小问2详解】因函数()()221ln 2f x x ax x x =++的定义域为(0,)+∞，()(2)ln 2(2)(ln 1)f x x a x x a x a x '=+++=++，① 当2a e ≤-时，若10e x <<，则ln 10,20x x a +<+<，故()0f x '>，即函数()f x 在1(0,)e上单调递增；若1e x >，由20x a +=可得2a x =-.则当1e 2a x <<-时，20x a +<，ln 10x +>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(,)e 2a-上单调递减；当2a x >-时，ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在(,)2a-+∞上单调递增；② 当20e a -<<时，若1e x >，则ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在1(,)e+∞上单调递增；若12e a x -<<，则ln 10,20x x a +<+>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(,)2ea -上单调递减；若02a x <<-，则ln 10,20x x a +<+<，故()0f x '>，即函数()f x 在(0,)2a-上单调递增，③当2ea =-时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，④当0a ≥时，若1e x >，则ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在1(,)e+∞上单调递增；若10e x <<，则ln 10,20x x a +<+>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(0,e上单调递减；综上，当2e a <-时，函数()f x 在1(0,)e上单调递增，在1(,)e 2a -上单调递减，在(,)2a -+∞上单调递增；当2ea =-时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当20e a -<<时，函数()f x 在(0,2a -上单调递增，在1(,2e a -上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增；当0a ≥时，函数()f x 在1(0,e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增.17. 已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且BD ∥平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，,PA PC PA ==与平面ABCD 所成的角为60︒，求平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见详解（2【解析】【分析】（1）根据线面垂直可证BD ⊥平面PAC ，则BD PC ⊥，再根据线面平行的性质定理可证BD ∥MN ，进而可得结果；（2）根据题意可证⊥PO 平面ABCD ，根据线面夹角可知PAC 为等边三角形，建立空间直角坐标系，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】设AC BD O = ，则O 为,AC BD 的中点，连接PO ，因为ABCD 为菱形，则ACBD ⊥，又因为PD PB =，且O 为BD 的中点，则PO BD ⊥，AC PO O = ，,AC PO ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，且PC ⊂平面PAC ，则BD PC ⊥，又因为BD ∥平面AMHN ，BD ⊂平面PBD ，平面AMHN 平面PBD MN =，可得BD ∥MN ，所以MN PC ⊥.【小问2详解】因为PA PC =，且O 为AC 的中点，则PO AC ⊥，且PO BD ⊥，AC BD O = ，,AC BD ⊂平面ABCD ，所以⊥PO 平面ABCD ，可知PA 与平面ABCD 所成的角为60PAC ∠=︒，即PAC 为等边三角形，设AH PO G =I ，则,G AH G PO ∈∈，且AH ⊂平面AMHN ，PO ⊂平面PBD ，可得∈G 平面AMHN ，∈G 平面PBD ，且平面AMHN 平面PBD MN =，所以G MN ∈，即,,AH PO MN 交于一点G ，因为H 为PC 的中点，则G 为PAC 的重心，且BD ∥MN ，则23PM PN PG PB PD PO ===，设2AB =，则11,32PA PC OA OC AC OB OD OP ========，如图，以,,OA OB OP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则)()22,0,0,3,0,,1,0,,133AP M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()24,1,0,,0,33AM NM AP ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u uu r ，设平面AMN 的法向量()111,,x n y z =，则1111203403n AM y z n NM y ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，令11x =，则110,y z ==，可得(n =，设平面PAM 的法向量()222,,m x y z =，则2222220330m AM y z mAP z ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令2x =，则123,1y z ==，可得)m =u r，可得cos ,n m n m n m⋅===⋅r u rr u r r u r ，所以平面PAM 与平面AMN.18. 已知双曲线22:13y x Γ-=的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点.（1）若AB x ⊥轴，求线段AB 的长；（2）若直线l 与双曲线的左、右两支相交，且直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N .（i ）若11F AB F MN S S = ，求直线l 的方程；（ii ）若1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，求直线l 的斜率的取值范围.【答案】（1）线段AB 的长为6； （2）（i ）直线l的方程为2x y =±+；（ii ）直线l的斜率的取值范围为33()(44- .【解析】【分析】（1）直接代入横坐标求解纵坐标，从而求出的值；（2）（i ）（ii ）先设直线和得到韦达定理，在分别得到两个三角形的面积公式，要求相等，代入韦达定理求出参数的值即可.【小问1详解】由双曲线22:13y x Γ-=的方程，可得221,3a b ==，所以1,2a b c ====，所以1(2,0)F -，2(2,0)F ，若AB x ⊥轴，则直线AB 的方程为2x =，代入双曲线方程可得(2,3),(2,3)A B -，所以线段AB 的长为6；【小问2详解】（i ）如图所示，若直线l 的斜率为0，此时l 为x 轴，,A B 为左右顶点，此时1,,F A B 不构成三角形，矛盾，所以直线l 的斜率不为0，设:2l x ty =+，1122()A x y B x y ,,(,)，联立22132y x x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(31)1290t y ty -++=，t 应满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，由根与系数关系可得121222129,3131t y y y y t t +=-=--，直线1AF 的方程为110(2)2y y x x -=++，令0x =，得1122y y x =+，点112(0,2y M x +，直线1BF 的方程为220(2)2y y x x -=++，令0x =，得2222y y x =+，点222(0,2y N x +，121122221111|||||2||2|F F F B A A F B F S y F S S F y y y -=⨯-==-，111212221||||||222F M N M F MN N S y y x y y y y x x =-=-=-++ 12122112212121212222(4)2(4)8()||||||44(4)(4)4()16y y y ty y ty y y ty ty ty ty t y y t y y +-+-=-==+++++++，由11F AB F MN S S = ，可得1212212128()||2||4()16y y y y t y y t y y -=-+++，所以21212|4()16|4t y y t y y +++=，所以222912|4()16|43131tt t t t ⨯+-+=--，解得22229484816||431t t t t -+-=-，22916||431t t -=-，解得22021t =，经检验，满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，所以t =所以直线l的方程为2x y =±+；（ii ）由1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，可得2190F MF >︒∠，所以110F F N M < ，又112211,22(2,)(2,22F y y N x x M F =+=+ ，所以1212224022y y x x +⨯<++，所以121210(2)(2)y y x x +<++，所以1221212104()16y y t y y t y y +<+++，所以2222931109124()163131t t t t t t -+<⨯+-+--，所以22970916t t -<-，解得271699t <<43t <<或43t -<<，经检验，满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，所以直线l的斜率的取值范围为33((44- .【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合12⨯底⨯高，表示出三角形的面积；（2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为12211||||2F F y y ⨯-或121||||2AB x x ⨯-.19. 已知{}n a 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于*k ∈N ，设集合{}*k i B i a k =∈<N ∣，设k b 为集合k B 中的元素个数，当k B =∅时，规定0k b =.（1）若2n a n =，求1b ，2b ，17b 的值；（2）若2n n a =，设n b 的前n 项和为n S ，求12n S +；（3）若数列{}n b 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）12170,1,4b b b === （2）1(1)22n n +-⨯+ （3）n a n =【解析】【分析】（1）根据集合新定义，利用列举法依次求得对应值即可得解；（2）根据集合新定义，求得12,b b ，121222i i i b b b i +++==== ，从而利用分组求和法与裂项相消法即可得解.（3）通过集合新定义结合等差数列性质求出11a =，然后利用反证法结合数列{}n a 的单调性求得11n n a a +-=，利用等差数列定义求解通项公式即可；【小问1详解】因为2n a n =，则123451,4,9,16,25a a a a a =====，所以{}*11i B i a =∈<=∅N ∣，{}*22{1}i B i a =∈<=N ∣，{}*1717{1,2,3,4}i B i a =∈<=N ∣，故12170,1,4b b b ===.【小问2详解】因为2n n a =，所以123452,4,8,16,32a a a a a =====，则**12{|1},{|2}i i B i a B i a =∈<=∅=∈<=∅N N ，所以10b =，20b =，当122i i k +<≤时，则满足i a k <的元素个数为i ，故121222i i i b b b i +++==== ，所以()()()1112345672122822n n n n S b b b b b b b b b b b ++++=++++++++++++ 1212222n n =⨯+⨯++⨯ ，注意到12(1)2(2)2n n n n n n +⨯=-⨯--⨯，所以121321202(1)21202(1)2(2)2n n nS n n ++=⨯--⨯+⨯-⨯++-⨯--⨯ 1(1)22n n +=-⨯+.【小问3详解】由题可知11a ≥，所以1B =∅，所以10b =，若12a m =≥，则2B =∅，1{1}m B +=，所以20b =，11m b +=，与{}n b 是等差数列矛盾，所以11a =，设()*1n n n d a a n +=-∈N，因为{}n a 是各项均为正整数的递增数列，所以*n d ∈N ，假设存在*k ∈N 使得2k d ≥，设k a t =，由12k ka a +-≥得12k a t++≥，由112k k a t t t a +=<+<+≤得t b k <，21t t b b k ++==，与{}n b 是等差数列矛盾，所以对任意*n ∈N 都有1n d =，所以数列{}n a 是等差数列，1(1)n a n n =+-=.【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.。
湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期月考(三)数学试题含答案
2025届高三月考试卷（三）数学（答案在最后）命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在x ∈Z ，220x x m ++”的否定是A.存在x ∈Z ，220x x m ++>B.不存在x ∈Z ，220x x m ++>C.任意x ∈Z ，220x x m ++D.任意x ∈Z ，220x x m ++>2.若集合{}2341,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B ⋂等于A.{}1- B.{}1 C.{}1,1- D.∅3.已知奇函数()()22cos x x f x m x -=+⋅，则m =A.-1B.0C.1D.124.已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是A.m l ⊥，m β⊂，l α⊥ B.m l ⊥，l αβ⋂=，m α⊂C.m l ，m α⊥，l β⊥ D.l α⊥，m l ，m β5.已知函数()()4cos (0)f x x ωϕω=+>图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则6f ϕπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.0B.2ϕC.4D.2ϕ6.已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点，且直线1:30l mx ny m n --+=与直线2:30l nx my m n +--=（m ，n ∈R ，220m n +≠）相交于点P ，则PM 的取值范围为A.1,1⎤-+⎦ B.1⎤-⎦C.1,1⎤-⎦D.1⎤⎦7.P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，120PF PF ⋅= ，点Q 在12F PF ∠的角平分线上，O 为原点，1OQ PF ，且OQ b =.则C 的离心率为 A.12B.33C.63D.328.设集合(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ++++”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数()f x 满足()()22f x f x ππ+=-，()()0f x f x ππ++-=，并且当()0,x π∈时，()cos f x x =，则下列关于函数()f x 说法正确的是A.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭B.最小正周期2T π=C.()f x 的图象关于直线x π=对称D.()f x 的图象关于(),0π-对称11.若双曲线22:145x y C -=，1F ，2F 分别为左、右焦点，设点P 是在双曲线上且在第一象限的动点，点I 为12PF F △的内心，()0,4A ，则下列说法不正确的是A.双曲线C 的渐近线方程为045x y±=B.点I 的运动轨迹为双曲线的一部分C.若122PF PF =，12PI xPF yPF =+ ，则29y x -=D.不存在点P ，使得1PA PF +取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为________.13.ABC △各角的对应边分别为a ，b ，c ，满足1b ca c a b+++，则角A 的取值范围为________.14.对任意的*n ∈N ，不等式11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭（其中e 是自然对数的底）恒成立，则a 的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21332S a a =+，416a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11b =，1222log log n nn n b a b a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -，BC AD ，1AB BC ==，3AD =，点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2DE PE ==.（1）若F 为线段PE 的中点，求证：BF平面PCD ；（2）若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()21ln 2f x x x ax =+-有两个极值点为1x ，()212x x x <，a ∈R .（1）当52a =时，求()()21f x f x -的值；（2）若21e x x （e 为自然对数的底数），求()()21f x f x -的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，H 为E 上任意一点，且HF 的最小值为1.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知P 为平面上一动点，且过P 能向E 作两条切线，切点为M ，N ，记直线PM ，PN ，PF 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足123112k k k +=.①求点P 的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为()0,(0)Q λλ>，半径为1的圆，使得过P 可以作圆Q 的两条切线1l ，2l ，切线1l ，2l 分别交抛物线E 于不同的两点()11,A s t ，()22,B s t 和点()33,C s t ，()44,D s t ，且1234s s s s 为定值？若存在，求圆Q 的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量1a ，2a ，3a ，…，n a（N n ∈且3n ），令123n n S a a a a =++++ ，如果存在{}()1,2,3,,p a p n ∈，使得pn p a S a - ，那么称p a是该向量组的“长向量”.（1）设(),2n a n x n =+，n ∈N 且0n >，若3a是向量组1a，2a，3a的“长向量”，求实数x 的取值范围；（2）若sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n ∈N 且0n >，向量组1a ，2a ，3a ，…，7a 是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知1a ，2a ，3a 均是向量组1a ，2a ，3a 的“长向量”，其中()1sin ,cos a x x = ，()22cos ,2sin a x x =.设在平面直角坐标系中有一点列1P ，2P ，3P ，…，n P ，满足1P 为坐标原点，2P 为3a的位置向量的终点，且21k P +与2k P 关于点1P 对称，22k P +与21k P +（k ∈N 且0k >）关于点2P 对称，求10151016P P 的最小值.参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C【解析】集合{}i,1,1,i A =--，{}1,1B =-，{}1,1A B ⋂=-.故选C.3.A 【解析】()f x 是奇函数，()()22cos xxf x m x -=+⋅，()()()2222xx x x f x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =，()()122cos 0x x m x -∴++=，10m ∴+=，1m =-.故选A.4.D【解析】有可能出现α，β平行这种情况，故A 错误；会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；m l ，m α⊥，l βαβ⊥⇒ ，故C 错误；l α⊥，m l m α⇒⊥ ，又由m βαβ⇒⊥ ，故D 正确.故选D.5.C【解析】设()f x 的最小正周期为T ，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得12T =，则有212πω=，解得6πω=，所以()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C.6.B 【解析】依题意，直线()()1:310l m x n y ---=恒过定点()3,1A ，直线()()2:130l n x m y -+-=恒过定点()1,3B ，显然直线12l l ⊥，因此，直线1l 与2l 交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，其方程为：22(2)(2)2x y -+-=，圆心()2,2N ，半径2r =，而圆C 的圆心()0,0C ，半径11r =，如图：12NC r r =>+，两圆外离，由圆的几何性质得：12min1PM NC r r =--=，12max1PMNC r r =++=，所以PM 的取值范围为1⎤-⎦.故选B.7.C【解析】如图，设1PF m =，2PF n =，延长OQ 交2PF 于点A，由题意知1OQ PF ，O 为12F F 的中点，故A 为2PF 中点，又120PF PF ⋅= ，即12PF PF ⊥，则2QAP π∠=，又由点Q 在12F PF ∠的角平分线上得4QPA π∠=，则AQP △是等腰直角三角形，故有2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩化简得2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩即,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩代入2224m n c +=得222()()4a b a b c ++-=，即2222a b c +=，又222b ac =-，所以2223a c =，所以223e =，63e =.故选C.8.D 【解析】因为0i x =或1i x =，所以若1234513x x x x x ++++，则在()1,2,3,4,5i x i =中至少有一个1i x =，且不多于3个.所以可根据i x 中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为2315C 2N =⋅，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为3225C 2N =⋅，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为435C 2N =⋅，所以共有23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为422616-=，故A 正确；1070%7⨯=，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数，即353836.52+=，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为()13232302835384239263533.710⨯+++++++++=，故C 正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】由于()0,x π∈时，()cos f x x =，并且满足()()22f x f x ππ+=-，则函数()f x 的图象关于直线2x π=对称.由于()()0fx f x ππ++-=，所以()()fx f x ππ+=--，故()()()()()22f x f x f x f x ππππ--+=+=--=-，故()()()24f x f x f x ππ=-+=+，故函数的最小正周期为4π，根据()()0fx f x ππ++-=，知函数()f x 的图象关于(),0π对称.由于()0,x π∈时，()cos f x x =，3cos 022222f f ff πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 正确，由于函数的最小正周期为4π，故B 错误；由函数()f x 的图象关于(),0π对称，易知()f x 的图象不关于直线x π=对称，故C 错误；根据函数图象关于点(),0π对称，且函数图象关于直线2x π=对称，知函数图象关于点()3,0π对称，又函数的最小正周期为4π，则函数图象一定关于点(),0π-对称，故D 正确.故选AD.11.ABD 【解析】双曲线22:145x y C -=，可知其渐近线方程为02x ±=，A 错误；设1PF m =，2PF n =，12PF F △的内切圆与1PF ，2PF ，12F F 分别切于点S ，K ，T ，可得PS PK =，11F S FT =，22F T F K =，由双曲线的定义可得：2m n a -=，即12122F S F K FT F T a -=-=，又122FT F T c +=，解得2F T c a =-，则点T 的横坐标为a ，由点I 与点T 的横坐标相同，即点I 的横坐标为2a =，故I 在定直线2x =上运动，B 错误；由122PF PF =，且1224PF PF a -==，解得18PF =，24PF =，1226F F c ==，126436167cos 2868PF F ∠+-∴==⨯⨯，则12sin 8PF F ∠==，1215tan 7PF F ∠∴=，同理可得：21tan PF F ∠=，设直线()115:37PF y x =+，直线)2:3PF y x =-，联立方程得(P ，设12PF F △的内切圆的半径为r ，则()12115186846282PF F S r =⨯⨯⨯=⨯++⋅△，解得153r =，即152,3I ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2152,3PI ⎛∴=-- ⎝⎭ ，(17,PF =-，(21,PF =- ，由12PI xPF yPF =+，可得27,,3x y -=--⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得29x =，49y =，故29y x -=，C 正确；1224PF PF a -== ，12244PA PF PA PF AF ∴+=+++，当且仅当A ，P ，2F 三点共线取等号，易知()1min549PA PF +=+=，故存在P 使得1PA PF +取最小值，D 错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90【解析】523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()521031553C C 3rr r rr r r T xx x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令1034r -=，解得2r =，所以展开式中4x 的系数为225C 310990⋅=⨯=.13.0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】从所给条件入手，进行不等式化简()()1b cb a bc a c a c a b+⇒+++++()()222a c a b b c a bc ++⇒++，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示cos A ，由222b c aac +-可得2221cos 22b c a A bc+-=，可得0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.14.11ln2-【解析】对任意的*n ∈N ，不等式11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需11e n an +⎛⎫+ ⎪⎝⎭恒成立，只需()1ln 11n a n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭恒成立，只需11ln 1a n n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭恒成立，构造()()11ln 1m x x x=-+，(]0,1x ∈，()()()()()22221ln 11ln 1x x x m x x x x ++-=++'，(]0,1x ∈.下证()(]22ln 1,0,11x x x x +<∈+，再构造函数()()22ln 11x h x x x=+-+，(]0,1x ∈，()()()2221ln 12(1)x x x xh x x ++-'-=+，(]0,1x ∈，设()()()221ln 12F x x x x x=++--，()()2ln 12F x x x =+-'，(]0,1x ∈，令()()2ln 12G x x x =+-，(]0,1x ∈，()21xG x x=-+'，(]0,1x ∈，在(]0,1x ∈时，()0G x '<，()G x 单调递减，()()00G x G <=，即()0F x '<，所以()F x 递减，()()00F x F <=，即()0h x '<，所以()h x 递减，并且()00h =，所以有()22ln 11x x x+<+，(]0,1x ∈，所以()0m x '<，所以()m x 在(]0,1x ∈上递减，所以()m x 的最小值为()111ln2m =-.11ln2a ∴-，即a 的最大值为11ln2-.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为{}n a 是正项等比数列，所以10a >，公比0q >，因为21332S a a =+，所以()121332a a a a +=+，即21112320a q a q a --=，则22320q q --=，解得12q =-（舍去）或2q =，······················································（3分）又因为3411816a a q a ===，所以12a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =.··············································································（6分）（2）依题意得1222222log log 2log log 22n n n n n n b a nb a n +++===+，························································（7分）当2n 时，()324123112311234511n n b b b b n b b b b n n n --⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ，所以()121n b b n n =+，因为11b =，所以()21n b n n =+，当1n =时，1n b =符合上式，所以数列{}n b 的通项公式为()21n b n n =+.····························（10分）因为()211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以1111112212221223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .··························（13分）16.【解析】（1）设M 为PD 的中点，连接FM ，CM ，因为F 是PE 中点，所以FMED ，且12FM ED =，因为AD BC ，1AB BC ==，3AD =，2DE PE ==，所以四边形ABCE 为平行四边形，BC ED ，且12BC ED =，所以FM BC ，且FM BC =，即四边形BCMF 为平行四边形，所以BFCM ，因为BF ⊄平面,PCD CM ⊂平面PCD ，所以BF 平面PCD .················（6分）（2）因为AB ⊥平面PAD ，所以CE ⊥平面PAD ，又PE AD ⊥，所以EP ，ED ，EC 相互垂直，································································································································（7分）以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,2P ，()0,1,0A -，()1,1,0B -，()1,0,0C ，()0,2,0D ，所以()1,0,0AB = ，()0,1,2AP = ，()1,0,2PC =- ，()1,2,0CD =-，····························（9分）设平面PAB 的一个法向量为()111,,m x y z =，则1110,20,m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取11z =-，则()0,2,1m =- ，·················································（11分）设平面PCD 的一个法向量为()222,,n x y z =，则222220,20,n PC x z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取21z =，则()2,1,1n = ，···················································（13分）设平面PAB 与平面PCD 所成夹角为θ，则cos 30m nm nθ⋅====⋅ .········（15分）17.【解析】（1）函数()21ln 2f x x x ax =+-的定义域为()0,+∞，则()211x ax f x x a x x -+=+-='，当52a =时，可得，()()2152122x x x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==，············································（2分）当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或()2,x ∈+∞时，()0f x '>；当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；所以()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；·······················（4分）所以12x =和2x =是函数()f x 的两个极值点，又12x x <，所以112x =，22x =；所以()()()211115152ln225ln 2ln222848f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-=-=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即当52a =时，()()21152ln28f x f x -=-.····································································（6分）（2）易知()()()()22221212111ln2x f x f x x x a x x x -=+---，又()21x ax f x x-+='，所以1x ，2x 是方程210x ax -+=的两个实数根，则2Δ40a =->且120x x a +=>，121x x =，所以2a >，·············································（9分）所以()()()()()()()2222222121212112211111lnln 22x x f x f x x x a x x x x x x x x x x -=+---=+--+-()()222222221212111121121111lnln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭，···························（11分）设21x t x =，由21e x x ，可得21e x t x =，令()11ln 2g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，e t ，··························（13分）则()222111(1)1022t g t t t t -⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'，所以()g t 在区间[)e,+∞上单调递减，得()()11e 1e 1e 12e 22eg t g ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，故()()21f x f x -的最大值为e 1122e -+.··········（15分）18.【解析】（1）设抛物线E 的准线l 为2py =-，过点H 作1HH ⊥直线l 于点1H ，由抛物线的定义得1HF HH =，所以当点H 与原点O 重合时，1min 12pHH ==，所以2p =，所以抛物线E 的方程为24x y =.···················································································（4分）（2）①设(),P m n ，过点P 且斜率存在的直线():l y k x m n =-+，联立()24,,x y y k x m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩消去y ，整理得：24440x kx km n -+-=，由题可知()2Δ164440k km n =--=，即20k mk n -+=，所以1k ，2k 是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得1212,,k k m k k n +=⎧⎨=⎩··································（6分）又因为()0,1F ，所以31n k m -=，0m ≠，由123112k k k +=，有121232k k k k k +=，所以21m m n n =-，因为0m ≠，12n n -=，1n ∴=-，所以点P 的轨迹方程为()10y x =-≠.②由①知(),1P m -，设()14:1l y k x m =--，()25:1l y k x m =--，1m ≠±且0m ≠，·······（9分）联立()244,1,x y y k x m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩消去y ，整理得2444440x k x k m -++=，又()11,A s t ，()22,B s t ，()33,C s t ，()44,D s t ，由韦达定理可得12444s s k m =+，同理可得34544s s k m =+，所以()()()212344515454444161616s s s s k m k m k k m m k k =++=+++，·····························（11分）又因为1l 和以圆心为()0,(0)Q λλ>，半径为1的圆相切，1=，即()()2224412120m k m k λλλ-++++=.同理()()2225512120m k m k λλλ-++++=，所以4k ，5k 是方程()()22212120m k m k λλλ-++++=的两个不等实根，所以由韦达定理可得()452245221,12,1m k k m k k m λλλ⎧++=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩································································（14分）所以()()()22222123445452216161616162221621611m m s s s s k k m m k k m m λλλλ=+++=+--+=-+--，若1234s s s s 为定值，则220λ-=，又因为0λ>，所以λ=，······································（16分）所以圆Q的方程为22(1x y +-=.··········································································（17分）19.【解析】（1）由题意可得：312a a a +40x -.·······································································································································（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为2a，6a，····························································（5分）理由如下：由题意可得1n a ==，若存在“长向量”p a，只需使1n pS a -，又()()712371010101,01010100,1S a a a a =++++=+-+++--+++-+=-，故只需使71p S a -=== ，即022cos12p π+，即11cos 22p π--，当2p =或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为2a ，6a.···························（8分）（3）由题意，得123a a a +，22123a a a + ，即()22123a a a +，即222123232a a a a a ++⋅ ，同理222213132a a a a a ++⋅，222312122a a a a a ++⋅，·····················（10分）三式相加并化简，得2221231213230222a a a a a a a a a +++⋅+⋅+⋅，即()21230a a a ++ ，1230a a a ++ ，所以1230a a a ++=，设()3,a u v = ，由1220a a a ++=得sin 2cos ,cos 2sin ,u x x v x x =--⎧⎨=--⎩·················································（12分）设(),n n n P x y ，则依题意得：()()()()()()212111222222222121,2,,,,2,,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩·····························（13分）得()()()()2222221122,2,,,k k k k x y x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦，故()()()()2222221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦，()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=--+⎣⎦，所以()()()212222212221221112,4,,4k k k k k k P P x x y y k x y x y k PP++++++⎡⎤=--=-=⎣⎦，22212(sin 2cos )(cos 2sin )58sin cos 54sin21PP x x x x x x x =--+--=+=+ ，当且仅当()4x t t ππ=-∈Z 时等号成立，·····································································（16分）故10151016min1014420282P P =⨯= .··············································································（17分）。
北京市中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷含答案
北京35中2025届10月月考数学（答案在最后）2024.10本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}212,340,ZA x xB x x x x =-≤≤=--<∈，则A B = （）A.{}0,1B.{}11x x -≤<C.{}0,1,2 D.{}12x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】计算{}0,1,2,3B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2340,Z 14,Z 0,1,2,3B x x x x x x x =--<∈=-<<∈=，{}12A x x =-≤≤，{}0,1,2A B = .故选：C.2.已知223,tan2,log 3a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】D 【解析】【分析】确定19a =，0b <，1c >，得到答案.【详解】2139a -==，tan20b =<，22log 3log 21c >==，故c a b >>.故选：D.3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是A.3()f x x = B.()lg ||f x x = C.()f x x=- D.()cos f x x=【答案】C【解析】【分析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在()0,1上的单调性，得到答案.【详解】选项A 中，()3f x x =，是奇函数，但在()0,1上单调递增，不满足要求；选项B 中，()lg f x x =，是偶函数，不满足要求，选项C 中，()f x x =-，是奇函数，在()0,1上单调递减，满足要求；选项D 中，()cos f x x =，是偶函数，不满足要求.故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.4.在621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A.20-B.15- C.15D.30【答案】C 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可求常数项.【详解】621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()623616611rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令360r -=，则2r =，故常数项为()2236115T C =-=，故选：C.【点睛】本题考查二项展开中的指定项，注意利用通项公式帮助计算，本题为基础题.5.已知函数||||()x x f x e e -=-，则函数()f x （）A.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减C.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由偶函数的定义判断函数()f x 的奇偶性，结合指数函数的单调性判断函数()f x 的单调性.【详解】∵||||()x x f x e e -=-∴||||||||()()x x x x f x e e e e f x -----=-=-=，∴函数||||()x x f x e e -=-为偶函数，当(0,)x ∈+∞时，1()=x x xxf x e e e e -=--，∵函数x y e =在(0,+∞)上单调递增，函数1x y e=在(0,+∞)上单调递减，∴()e e x x f x -=-在(0,+∞)上单调递增，即函数||||()x x f x e e -=-在(0,+∞)上单调递增.故选：A.6.阅读下段文字：“为无理数，若a b ==ba 为有理数；若则取无理数a =，b =，此时(22ba ====为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（）A.是有理数B.C.存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数 D.对任意无理数a ，b ，都有b a 为无理数【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.【详解】这段文字中，没有证明AB 错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C 正确；这段文字中只提及存在无理数a ，b ，不涉及对任意无理数a ，b ，都成立的问题，D 错误.故选：C 7.若点5π5πsin,cos 66M ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，则tan2α=（）A.33 B.33-C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数定义得到tan α=.【详解】5π5πsin ,cos 66M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故5πcos6tan 5πsin6α==，22tan 23tan21tan 13ααα-===--故选：C.8.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】把函数()f x 拆解为两个函数，画出两个函数的图像，观察可得.【详解】当0a <时，作出ln ,ay x y x==-的图像，可以看出0a <时，函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点，反之也成立，故选C.【点睛】本题主要考查以函数零点为载体的充要条件，零点个数判断一般通过拆分函数，通过两个函数的交点个数来判断零点个数.9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v （单位：/m s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q .科学研究发现v 与3log 100Q成正比.当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当2m /s v =时，其耗氧量的单位数为（）A.1800 B.2700C.7290D.8100【答案】D 【解析】【分析】设3log 100Qv k =，利用当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900求出k 后可计算2m /s v =时鲑鱼耗氧量的单位数.【详解】设3log 100Q v k =，因为1v m /s =时，900Q =，故39001log 2100k k ==，所以12k =，故2m /s v =时，312log 2100Q =即8100Q =.故选：D.【点睛】本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.10.已知各项均为整数的数列{}n a 满足()*12121,2,3,n n n a a a a a n n --==>+≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（）A.520a >B.10100a <C.151000a >D.202000a <【答案】C 【解析】【分析】依题意根据数列的递推公式可分别判断各选项，再利用各项均为整数即可判断只有C 选项一定正确.【详解】根据题意可知3123a a a >+=，又数列的各项均为整数，所以3a 最小可以取4，即34a ≥；同理可得4236a a a >+≥，所以4a 最小可以取7，即47a ≥；同理53411a a a >+≥，所以5a 最小可以取12，即512a ≥，即520a <可以成立，因此可得A 不一定正确；同理易得645619,20a a a a >+≥≥；756732,33a a a a >+≥≥；867853,54a a a a >+≥≥；978987,88a a a a >+≥≥；108910142,143a a a a >+≥≥，即10100a <不成立，B 错误；又1191011231,232a a a a >+≥≥；12101112375,376a a a a >+≥≥；131********,609a a a a >+≥≥；14121314985,986a a a a >+≥≥，151314151595,1596a a a a >+≥≥，即可得151000a >一定成立，即C 正确；显然若32000a =，则202000a <明显错误，即D 错误.故选：C第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数1ii+的虚部为________.【答案】－1【解析】【详解】试题分析：1ii 1i+=-+，所以其虚部为－1考点：复数的虚部12.函数()f x =的定义域为R ，请写出满足题意的一个实数a 的值______．【答案】1-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的定义域求解即可.【详解】因为()f x =R ，所以20x a -≥在R 上恒成立，即2a x ≤，由于20x ≥在R 上恒成立，故实数a 的取值范围为(],0-∞.故答案为：1-（答案不唯一）.13.已知数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，{}n b 的通项公式为12n b n =-．记数列{}n n a b +的前n 项和为n S ，则4S =____；n S 的最小值为____．【答案】①.1-②.2-【解析】【分析】（1）由题可得1212n n n n a b c n -+==+-，根据等比数列及等差数列的求和公式可得n S ，利用数学归纳法可得3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，进而即得.【详解】由题可知1212n n n a b n -+=+-，所以()()()()()423441712112325271122S +-++-++-++-+-==--=，()()()()1212112112321221122n n n n n n n S n -+--+-++-+++-=-=---= ，令1212n n c n -=+-，则123450,1,1,1,7c c c c c ==-=-==，当4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，下面用数学归纳法证明当4n =时，1221n n ->-成立，假设n k =时，1221k k ->-成立，当1n k =+时，()()()122222121123211k k k k k k -=⋅>-=+-+->+-，即1n k =+时也成立，所以4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，所以3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，由当3n =时，n S 有最小值，最小值为3322132S =--=-.故答案为：1-；2-.14.已知函数()e ,,x x x af x x x a⎧<=⎨-≥⎩，()f x 的零点为__________，若存在实数m 使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.0②.11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用导函数判断函数单调性，利用求解极值的方法画出函数的大致图象，分析运算即可得出结果.【详解】令()e xg x x =，可得()()1e xg x x +'=，由()0g x '=可得1x =-，当(),1x ∞∈--时，()0g x '<，此时()g x 在(),1∞--上单调递减，当()1,x ∞∈-+时，()0g x '>，此时()g x 在()1,∞-+上单调递增，因此()g x 在1x =-处取得极小值，也是最小值，即()()min 11eg x g =-=-，又()00g =，且0x <时，()10eg x -≤<，当0x >时，>0，令()h x x =-，其图象为过原点的一条直线，将()(),g x h x 的大致图象画在同一直角坐标系中如下图所示：当0a <时，如下图，在[),+∞a 上()()f x h x x ==-的零点为0，当0a =时，如下图，在[)0,∞+上()()f x h x x ==-的零点为0当0a >时，如下图，在(),a ∞-上()()e xf xg x x ==的零点为0，综上可知，()f x 的零点为0；当1a ≤-时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点，当11ea -<<时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有三个交点，当1ea ≥时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点；综上可知，若使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：0；11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭15.已知函数()()e 111xf x k x =----，给出下列四个结论：①当0k =时，()f x 恰有2个零点；②存在正数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有2个零点；④对任意()0,k f x <只有一个零点.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】把函数()f x 的零点个数问题，转化为函数e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，作出图象分类讨论可得结论.【详解】令()()e 1110xf x k x =----=，得()e 111xk x -=-+，函数()f x 的零点个数，即为方程()e 111xk x -=-+的根的个数，方程()e 111xk x -=-+根的个数，即为e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，又函数()11y k x =-+是过定点(1,1)A 的直线，作出e 1xy =-的图象如图所示，当0k =直线()11y k x =-+与函数e 1xy =-有一个交点，故()()e 111xf x k x =----有一个零点，故①错误；当()11y k x =-+在第一象限与函数e 1xy =-相切时，函数()()e 111xf x k x =----有一个零点，故②正确；函数()11y k x =-+绕着A 顺时针从1y =转到1x =时，两图象只有一个交点，故0k <时，函数()()e 111xf x k x =----只有一个零点，故③错误，④正确.故答案为：②④.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点.点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-.（1）求cos2α的值；（2）求()sin βα-的值.【答案】（1）725-（2）5665.【解析】【分析】（1）利用三角函数定义可得4sin 5α=，再由二倍角公式计算可得7cos225α=-；（2）利用同角三角函数之间的基本关系以及两角差的正弦公式计算可得结果.【小问1详解】由题可知，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点；点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-，所以45sin ,cos 513αβ==-.即可得27cos212sin 25αα=-=-.【小问2详解】由于22sin cos 1αα+=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23cos 1sin 5αα=-=，同理由于2π12,π,sin 1cos 213βββ⎛⎫∈=-= ⎪⎝⎭，所以()56sin sin cos cos sin 65βαβαβα-=-=.17.某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对,,A B C 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.题目A B C做对的概率451214获得的奖金/元204080规则如下：按照,,A B C 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]（1）求甲没有获得奖金的概率；（2）求甲最终获得的奖金X 的分布列及期望；（3）如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）【答案】（1）15（2）分布列见解析，40（元）（3）不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由见解析.【解析】【分析】（1）甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，从而求得对应的概率；（2）易知X 的可能取值为0，20，60，140，再根据题目的对错情况进行分析求解概率与分布列，求出期望值；（3）可以分别求出每种顺序的期望，然后比较得知.【小问1详解】甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，设甲没有获得奖金为事件M ，则()41155P M =-=.【小问2详解】分别用,,A B C 表示做对题目,,A B C 的事件，则,,A B C 相互独立.由题意，X 的可能取值为0,20,60,140.41412(0)()1;(20)()155525P X P A P X P AB ⎛⎫===-====⨯-= ⎪⎝⎭;4134111(60)()1;(140)()52410524101P X P ABC P X P ABC ===⨯⨯-===⨯⎛⎫ ⎪⎝=⎭=⨯.所以甲最终获得的奖金X 的分布列为X02060140P 1525310110()12310206014040551010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.【小问3详解】不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由如下：由（2）知，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望为40元，若按照,,A C B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,20,100,140.141(0)1;(250)1554435P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;41411(100)1;(140)5105421011142P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为110201001403613110550⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B A C 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,60,140.1114(0)1;(400)1212125P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;143141(60)1;(140)254102541011P X P X ==⨯⨯-===⨯⎛⨯ ⎝=⎫⎪⎭.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B C A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,120,140.1111(0)1;(480)122432P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(120)1;(140)24024510141145P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C A B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,100,140.1314(0)1;(800)1414245P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1141(100)1;(140)10452104111452P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为1080100140284101311200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C B A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,120,140.1311(0)1;(880)144214P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(100)1;(140)40425101411425P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为5311108010014026.401048⨯+⨯+⨯+⨯=元，显然按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大.18.已知()2cos sin ,f x ax x x x a =++∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上为增函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2y =（2）[)1,+∞.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）将()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数转化为sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数()sin cos g x x x x =-并求导得出其单调性，求出最大值可得实数a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()2cos sin f x x x x =+，易知()2sin sin cos cos sin f x x x x x x x x'=-++=-可得()()00,02f f ='=，所以切线方程为2y =.【小问2详解】易知()sin cos f x a x x x=+'-由函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，可得′≥0在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，即sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()()ππsin cos ,sin ,,22g x x x x g x x x x ⎡⎤=-=∈-⎢⎣'⎥⎦法一：令()sin 0g x x x '==，得0x =，()(),g x g x '的变化情况如下：x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭0π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x '+0+()g x所以()g x 为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.法二：当π02x -<<时，sin 0,sin 0x x x <>；当π02x ≤<时，sin 0,sin 0x x x ≥≥.综上，当ππ22x -<<时，()()0,g x g x '≥为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.19.现有一张长为40cm ，宽为30cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为cm x ，高为y cm ，体积为()3cm V .（1）求出x 与y 的关系式；（2）求该铁皮盒体积V 的最大值.【答案】（1）21200,0304x y x x-=<≤；（2）34000cm .【解析】【分析】（1）由题意得到244030x xy +=⨯，化简得到212004x y x -=，并由实际情境得到030x <≤；（2）表达出()()3112004V x x x =-，求导得到其单调性，进而得到最大值.【小问1详解】因为材料利用率为100%，所以244030x xy +=⨯，即212004x y x -=；因为长方形铁皮ABCD 长为40cm ，宽为30cm ，故030x <≤，综上，212004x y x-=，030x <≤；【小问2详解】铁皮盒体积()()222312*********x V x x y x x x x -==⋅=-，()()21120034V x x '=-，令()0V x '=，得20,x =()(),V x V x '的变化情况如下：x ()0,2020()20,30()V x +0-()V x '()V x 在()0,20上为增函数，在()20,30上为减函数，则当20x =时，()V x 取最大值，最大值为()3311200202040040cm ⨯⨯-=.20.已知函数1e ()x f x x-=.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）当211x x >>时，判断21()()f x f x -与2122x x -的大小，并说明理由.【答案】（1）230x y +-=；（2）单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞；（3）212122()()f x x x f x -->，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）利用导数求出函数()f x 的单调区间.（3）构造函数2()(),1g x f x x x=->，利用导数探讨函数单调性即可判断得解.【小问1详解】函数1e ()x f x x -=，求导得12(1)e ()xx f x x---='，则()12f '=-，而(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=.【小问2详解】函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且12(1)e ()x x f x x---='，当1x <-时，()0f x '>，当10x -<<或0x >时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞.【小问3详解】当211x x >>时，212122()()f x x x f x -->，证明如下：令2()(),1g x f x x x =->，求导得12(1)e 2()x x g x x-'--+=，令1()(1)e 2,1x h x x x -=--+>，求导得1()e 0x h x x -='>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0h x h >=，即()0g x '>，函数()g x 在(1,)+∞上为增函数，当211x x >>时，21()()g x g x >，所以212122()()f x x x f x -->.21.已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a Nn m ∈= ；②12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*···1m n n a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m = 则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>；（III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 的最大值.【答案】（I ）不存在，理由见解析；（II ）详见解析；（III ）33.【解析】【分析】（I ）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.（II ）利用差比较法判断出{}n b 的单调性，由此证得结论成立.（III ）利用累加法、放缩法求得关于m a 的不等式，由此求得m 的最大值.【详解】（I ）不存在.理由如下：因为*413579751b N ++++-=∈-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.（II ）因为*11,11,1n n n n a a b b n m n N m ++--=≤≤-∈-，又因为12m a a a <<< ，所以10n n a a +-<，所以1101n n n n a a b b m ++--=<-，即1n n b b +<，所以12···m b b b >>>成立.（III ）1i j m ∀≤<≤，都有1j i i j a a b b m --=-，因为*i b N ∈，12m b b b >>> ，所以*i j b b N -∈，所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--.因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-，所以11n n a a m --≥-.而()()()()()()111221111m m m m m a a a a a a a a m m m ----=-+-++-≥-+-++- ()21m =-，即()2204911m -≥-，所以()212048m -≤，故46m ≤.由于*20481N m ∈-，经验证可知33m ≤.所以m 的最大值为33.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.。
2024-2025学年广西南宁一中高三(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年广西南宁一中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x ∈Z|−5<x 3<10}，B ={x|y =ln (x +1)}，则A ∩B =( )A. {0,1,2}B. {0,1}C. {1,2}D. {−1,0,1,2}2.已知a ，b ∈R ，且a−3ib +i =1+2i ，其中i 是虚数单位，则a +b =( )A. 2B. −2C. −4D. −63.若定义域为R 的函数f(x)不是偶函数，则( )A. ∀x ∈R ，f(−x)≠f(x) B. ∀x ∈R ，f(−x)=−f(x)C. ∃x 0∈R ，f(−x 0)≠f(x 0)D. ∃x 0∈R ，f(−x 0)=−f(x 0)4.已知一组数据2x 1+1，2x 2+1，2x 3+1，2x 4+1的平均数是3，方差为4，则数据x 1，x 2，x 3，x 4的平均数和方差分别是( )A. 1，1B. 1，2C. 32, 34D. 32, 25.已知递增的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1+a 6=19，a 2a 5=70，则S 8=( )A. 70B. 80C. 90D. 1006.在△ABC 中，BA ⋅BC =12BC 2，若a =13AB +23AC ，b =34AB +14AC ，c =27AB +57AC ，则( )A. |b |>|c |>|a |B. |b |>|a |>|c |C. |a |>|c |>|b |D. |c |>|a |>|b |7.已知函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)在区间[0,π2)内既有最大值，又有最小值，则ω的取值范围是( )A. (23, +∞) B. (23, 43]∪(83, +∞)C. (83, +∞)D. (23, 43)∪(83, +∞)8.不等式t( x + y )≤2x +2y 对所有的正实数x ，y 恒成立，则t 的最大值为( )A. 2B.2C.24D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
安徽省合肥市一六八中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含解析)
合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷数学考生注意：1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．设，均为单位向量，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知数列满足，若，则（ ）A ．2B ．－2C ．－1D ．4．已知实数a ，b ，c 满足，则下列不等式中成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知，，则（ ）A．B ．C ．D ．6．10名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距15米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从（1）到（10）依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）A ．（1）和（10）B ．（4）和（5）C ．（5）和（6）D ．（4）和（6）7．设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．{A x x =<1ln 3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭A B = {x x <{x x <{0x x <<{0x x <<a b 55a b a b -=+a b ⊥ {}n a ()111n n a a +-=11a =-10a =120a b c <<<11a b b a+>+22a b aa b b+<+a b b c a c<--ac bc>a ∈R 2sin cos αα+=tan 2α=433443-34-0.1e1a =-111b =ln1.1c =b c a<<c b a<<a b c<<a c b<<8．定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 都有，．若，则不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．已知O 为坐标原点，点，，，，则（）A ．B ．C ．D ．10．三次函数叙述正确的是（ ）A ．当时，函数无极值点B ．函数的图象关于点中心对称C ．过点的切线有两条D ．当a <－3时，函数有3个零点11．已知，对任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知复数与3i 在复平面内用向量和表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则与夹角为______．13．函数在上的最大值为4，则m 的取值范围是______．14．设a 、b 、，则______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．（1）求角A ；（2）已知，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在，并求出的面积．()f x ()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭()12024e f =()()0f x f x '+->()11ex f x +>()3,+∞(),3-∞()1,+∞(),1-∞()1cos1,sin1P ()2cos 2,sin 2P -()3cos3,sin 3P ()1,0Q 12OP OP = 12QP QP =312OQ OP OP OP ⋅=⋅ 123OQ OP OP OP ⋅=⋅ ()32f x x ax =++1a =()f x ()f x ()0,2()0,2()f x ()2sin 2f x x =+π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()123f x f x α=+α3π44π76π78π71+OA OB OAOB2x y m m =-+(],2-∞[]0,1c ∈M ABC △cos sin 0a C C b c --=8b =ABC △ABC △条件①：；条件②：；条件③：AC．（注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．）16．（15分）某地区上年度天然气价格为2.8元/，年用气量为．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/至2.75元/之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k ）．已知天然气的成本价为2.3元/．（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y （单位：元）关于实际单价x （单位：元/）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价））（2）设，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%?17．（15分）已知函数（a 为常数，且，），且是奇函数．（1）求a 的值；（2）若，都有成立，求实数m 的取值范围．18．（17分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）求函数在处切线方程；（3）若有两解，，且，求证：．19．（17分）（1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值．（2）①已知，都是正数，求证：；②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值．2cos 3B =-7a =3m 3m a 3m 3m 3m 3m 3m 0.2k a =()824x x xa f x a +⋅=⋅0a ≠a ∈R ()f x []1,2x ∀∈()()20f x mf x -≥()()2ln f x x x =-()f x ()f x ()()22e ,ef ()f x m =1x 2x 12x x <2122e e x x <+<12,,,n a a a ⋅⋅⋅12n a a a n++⋅⋅⋅+≥合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷·数学参考答案、提示及评分细则题号1234567891011答案DCCBBCACACABDAC一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．【答案】D【解析】，∵，∴．故选D ．2．【答案】C【解析】∵“”，∴平方得，即，则，即，反之也成立．故选C ．3．【答案】C 【解析】因为，，所以，，，所以数列的周期为3，所以．故选C ．4．【答案】B【解析】对于A ，因为，所以，所以，故A 错误；对于B ，因为，所以，故B 正确；对于C ，当，，时，，，，故C 错误；对于D ，因为，，所以，故D 错误．故选B ．5．【答案】B【解析】，则，即，可得，解得或．那么．故选B ．6．【答案】C【解析】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x ，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：．131ln 0e 3x x <⇒<<23e 2<661132e 2⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭55a b a b -=+ 222225102510a b a b a b a b +-⋅=++⋅200a b ⋅= 0a b ⋅= a b ⊥111n na a +=-11a =-212a =32a =41a =-{}n a 101a =-0a b <<11a b >11a b b a+<+0a b <<()()()()222220222a b b a a b a b a b a a b b a b b a b b+-++--==<+++2a =-1b =-1c =13b a c =-1a b c =-b aa cb c<--a b <0c >ac bc <2sin cos αα+=()252sin cos 2αα+=2254sin 4sin cos cos 2αααα++=224tan 4tan 15tan 12ααα++=+tan 3α=-1322tan 3tan 21tan 4ααα==-1152151015S x x x =-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯若S 取最小值，则函数也取最小值，由二次函数的性质，可得函数的对称轴为，又∵x 为正整数，故或6．故选C 7．【答案】A【解析】构造函数，，则，，当时，，时，，单调递减；时，，单调递增．∴在处取最小值，∴，（且），∴，∴；构造函数，，，∵，，，∴，在上递增，∴，∴，即，∴．故选A ．8．【答案】C【解析】因为是奇函数，所以是偶函数，因为，所以，令，，在R 上单调递增．又因为且是奇函数，所以的周期为3，，则，所以，则不等式，因为在R 上单调递增，所以，即．故选C ．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．【答案】AC()()()()22222221210101101210y x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-=-+++⋅⋅⋅+()2222101101210y x x =-+++⋅⋅⋅+ 5.5x =5x =()1ln f x x x =+0x >()211f x x x'=-0x >()0f x '=1x =01x <<()0f x '<()f x 1x >()0f x '>()f x ()f x 1x =()11f =1ln 1x x>-0x >1x ≠101ln1.111111>-=c b >()1e 1ln x g x x -=--1x >()11ex g x x-'=-1x >1e1x ->11x<()0g x '>()g x ()1,+∞()()10g x g >= 1.11e 1ln1.1-->0.1e 1ln1.1->a c >()f x ()f x '()()0f x f x '+->()()0f x f x '+>()()e xg x f x =()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦()g x ()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭()f x ()f x ()12024e f =()12ef =()212e e e g =⨯=()()()()111e 1e 12ex x f x f x g x g ++>⇒+>⇒+>()g x 12x +>1x >【解析】∵，，，，∴，，，，，，易知，故A 正确；∵，，∴，故B 错误；，，∴，故C 正确；，，故D 错误．故选AC ．10．【答案】ABD【解析】对于A ：，，，单调递增，无极值点，故A 正确；对于B ：因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B 正确；对于C ：设切点，则切线方程为，因为过点，所以，，解得，即只有一个切点，即只有一条切线，故C 错误；对于D ：，当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，有极大值为，所以若函数有3个零点，有极小值为，得到，故D 正确．故选ABD ．11．【答案】AC【解析】∵，∴，∴，∵对任意的，都存在，使得成立，()1cos1,sin1P ()2cos 2,sin 2P -()()()3cos 12,sin 12P ++()1,0Q ()1cos1,sin1OP = ()2cos 2,sin 2OP =- ()()()3cos 12,sin 12OP =++ ()1,0OQ = ()1cos11,sin1QP =- ()2cos 21,sin 2QP =-- 121OP OP ==1QP= 2QP = 12QP QP ≠ ()3cos 12cos1cos 2sin1sin 2OQ OP ⋅=+=- 12cos1cos 2sin1sin 2OP OP ⋅=- 312OQ OP OP OP ⋅=⋅1cos1OQ OP ⋅= 23cos 2cos3sin 2sin 3cos5cos1OP OP ⋅=-=≠1a =()32fx x x =++()2310f x x '=+>()f x ()()4f x f x +-=()f x()0,2()()1,x f x ()()()111y f x f x x x '-=-()0,2()()()112f x f x x '-=-331111223x ax x ax ---=--10x =()23f x x a '=+3a <-()0f x '=x =,x ⎛∈-∞ ⎝()0f x '>()f x x ⎛∈ ⎝()0f x '<()f x x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0f x '>()f x ()f x 20f ⎛=> ⎝()f x ()f x 20f =+<3a <-π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]1sin 0,1x ∈()[]12,4f x ∈1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()123f x f x a =+∴，，∴，∴，，在上单调递减．在上单调递增．当时，，，，故A 正确，当时，，，故B 错误，当时，，，，故C 正确，当时，，．故错误．故选AC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．【答案】【解析】由题知，，．故本题答案为．13．【答案】【解析】当时，函数的图象是由向上平移个单位后，再向下平移个单位，函数图象还是的图象，满足题意，当时，函数图象是由向下平移m 个单位后，再把x 轴下方的图象对称到上方，再向上平移m 个单位，根据图象可知满足题意，时不合题意．()2min 23f x α+≤()2max 43f x α+≥()2sin 2f x x =+()2min 2sin 3x α+≤-()2max 1sin 3x α+≥-sin y x =π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π4α=23π5π,44x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2max 3π1sin sin 043x α+=>>-()2min5πsin sin 4x α+==23<-4π7α=24π15π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2max 15π7π12sin sin sin 14623x α+=>=->-6π7α=26π19π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2max 6π1sin sin 073x α+=>>-()2min 19πsin sin 14x α+=<4π2sin33=<-8π7α=28π23π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2max 8π9π1sin sin sin 783x α+=<=<-π6(OA = ()0,3OB = cos ,OA OB OA OB OA OB⋅==⋅π6AOB ∠=π6(],2-∞0m ≤2x y m m =-+2xy =m m 2xy =02m <≤2x y m m =-+2xy =02m <≤2m >故本题答案为．14．【解析】不妨设，则，∴，当且仅当，，，即，，时，等号成立．．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1）因为，由正弦定理得．即：，，即，因为，所以，得；（2）选条件②：．在中，由余弦定理得：，即．整理得，解得或．当时，的面积为：，当c=5时，的面积为：，(],2-∞301a b c ≤≤≤≤M=≤=33M =+≤+≤b a c b -=-0a =1c =0a =12b =1c =3+cos sin 0a C C b c +--=sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=()sin cos sin sin 0sin 0A C A C C C --=>cos 1A A -=π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πA <<ππ66A -=π3A =7a =ABC △2222cos a b c bc A =+-222π7816cos3c c =+-⋅28150c c -+=3c =5c =3c =ABC △1sin 2ABC S bc A ==△ABC △1sin 2ABC S bc A ==△选条件③：AC，设AC 边中点为M ，连接BM ，则，，在中，由余弦定理得，即．整理得，解得或（舍）．所以的面积为．16．【解析】（1），；（2）由题意可知要同时满足以下条件：，∴，即单价最低定为2.6元/．17．【解析】（1），因为是奇函数，所以，所以，所以，所以，；（2）因为，，所以，所以，，令，，，由于在单调递增，所以．18．【解析】（1）的定义域为，，当时，，当时，BM =4AM =ABM △2222cos BM AB AM AB AM A =+-⋅⋅2π21168cos3AB AB =+-⋅2450AB AB --=5AB =1AB =-ABC △1sin 2ABC S AB AC A =⋅⋅=△()2.32.4k y a x x ⎛⎫=+-⎪-⎝⎭[]2.55,2.75x ∈()()[]0.2 2.3 1.2 2.8 2.32.42.55,2.75a a x a x x ⎧⎛⎫+-≥-⎪⎪-⎝⎭⎨⎪∈⎩2.6 2.75x ≤≤3m ()1122x x f x a =⨯+()f x ()()f x f x -=-11112222x x x x a a⎛⎫⨯+=-⨯+ ⎪⎝⎭111202x xa ⎛⎫⎛⎫++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭110a +=1a =-()122x x f x =-[]1,2x ∈22112222x x xx m ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭122x x m ≥+[]1,2x ∈2xt =[]1,2x ∈[]2,4t ∈1y t t=+[]2,4117444m ≥+=()f x ()0,+∞()1ln f x x '=-()0f x '=e x =()0,e x ∈，当时，，故在区间内为增函数，在区间为减函数；（2），，所以处切线方程为：，即；（3）先证，由（1）可知：，要证，也就是要证：，令，，则，所以在区间内单调递增，，即，再证，由（2）可知曲线在点处的切线方程为，令，，∴在处取得极大值为0，故当时，，，则，即，又，，∴．19．【解析】（1）将20分成正整数之和，即，假定乘积已经最大．若，则将与合并为一个数，其和不变，乘积由增加到，说明原来的p 不是最大，不满足假设，故，同理．将每个大于2的拆成2，之和，和不变，乘积．故所有的只能取2，3，4之一，而，所以将取2和3即可．如果2的个数≥3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9，故在p 中2的个数不超过2个．那只能是，最大乘积为；（2）①证明：先证：．令，则，，且，()0f x '>()e,x ∈+∞()0f x '<()f x ()0,e ()e,+∞()2e 0f =()22e 1ln e 1f '=-=-()()22e ,ef ()()201e y x -=--2e 0x y +-=122e x x +>2120e e x x <<<<12212e 2e x x x x +>⇔>-()()()()21112e 2ef x f x f x f x <-⇔<-()()()2eg x f x f x =--()0,e x ∈()()()2ln 2e 2ln e 2e e 0g x x x '=--≥--=()g x ()0,e ()()e 0g x g <=122e x x +>212e x x +<()f x ()2e ,0()2e x x ϕ=-()()()()()222ln e 3ln e m x f x x x x x x x x ϕ=-=---+=--()2ln m x x '=-()m x e x =()0,e x ∈()()f x x ϕ<()()12m f x f x ==()()2222e m f x x x ϕ=<=-22e m x +<10e x <<()()111111112ln 1ln m f x x x x x x x x ==-=+->2122e x x m x +<+<1,,n x x ⋅⋅⋅120n x x =+⋅⋅⋅+1n p x x =⋅⋅⋅11x =1x 2x 1221x x x +=+122x x x =21x +2i x ≥()21,2,,i x i n ≥=⋅⋅⋅22i i x x =+-2i x -()224i i i x x x -≤⇒≤i x 42222=⨯=+i x 202333333=++++++6321458⨯=1ex x -≥()1e x f x x -=-()1e 1x f x -'=-()10f '=()()10f x f ≥=，，，∴②让n 固定，设n 个正实数之和为20，，，要是最大，最大即可，令，其中，，∴时，单调递增，时，单调递减，而，所以这些正实数乘积的最大值为．1-≥1,2,,i n =⋅⋅⋅1111--≥=1n ≥0n ≥12n a a a n ++⋅⋅⋅+≥1,,n x x ⋅⋅⋅120n x x n n +⋅⋅⋅+≤=1220nn p x x x n ⎛⎫=⋅⋅⋅≤ ⎪⎝⎭20nn ⎛⎫ ⎪⎝⎭20ln nn ⎛⎫⎪⎝⎭()()20ln ln 20ln tg t t t t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭*t ∈N ()20ln ln e g t t '=-7t ≤()g t 8t ≥()g t ()()()()87787ln 207ln 78ln 208ln 8ln 8ln 7200g g -=---=-⨯>7207⎛⎫⎪⎝⎭。
高三数学-10月月考数学试题参考答案
2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.5013.2433ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14.（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭三、解答题15、解：（1）由题3sin 21==∆θbc S ABC ，可得θsin 6=bc ，又36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB ，所以36sin cos 60≤≤θθ，得到33tan ≥θ或2πθ=因为()πθ,0∈，所以,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6分（2）()2cos sin cos34f πθθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，化简得()21sin 2cos 4f θθθ=进一步计算得()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13分16、解：（1）过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，则有AD PB AD PO ⊥⊥,，又P PB PO =⋂，所以POB AD 平面⊥，因为POB PE 平面⊂，所以PE AD ⊥，又PD P A =，所以E 为AD 得中点依题侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，即有32π=∠PEB ，所以3π=∠PEO ，因为侧面P AD 为正三角形，所以323sin 4=⋅=πPE ，则323323sin =⋅=⋅=πPE PO ，所以38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P 7分（2）如图，在平面ABCD 内过点O 作OB 得垂线Ox ，依题可得Ox OB OP ,,两两垂直，以Ox OB OP ,,为轴轴，轴，x y z 建立空间直角坐标系可得()0,3,2A ，()0,0,0P ，()0,33,0B ，取PB 得中点为N ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N 因为AB AP =，所以PB AN ⊥，由（1)POB AD 平面⊥，AD BC //，知POB BC 平面⊥所以PB BC ⊥，可得NA BC ,所成角即为二面角A PB C --的平面角，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,2AN ，()0,0,2=BC，则72724-=-==BC NA则21sin 7A PBC --=15分17、解：（1）当a e =时，1()e lnx e f x x -=+，0(1)e ln 2f e =+=，11()e ,(1)0x f x f x-''=-=所求切线方程为：)1(02-=-x y ，即2y =5分（2）()2≥x f 转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增,故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()∞+，0恒成立令()2ln +-=x x x h ，()011=-='xx h ，得到1=x ，可得()10，∈x 时，()0>'x h ；()∞+∈，1x 时，()0<'x h ，所以()x h 在1=x 时取最大值所以()ln 11a h ≥=，得到ea ≥15分18、解：（1）∵椭圆E 经过点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭，23e =∴222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E ：22195x y +=；4分（2）由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意，1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =设角平分线上任意一点为(),P x y ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=∵斜率为正，∴21AF F ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，21AF F∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，∴，21AF F ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-即9680x y --=10分（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，设2:3BC l y x m =-+，∴2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩∴线段BC 中点为25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭在21AF F ∠的角平分线上，即106803m m --=得3m =∴52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，线段BC 中点()00,Mx y ，由点差法，2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩，∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，∴0065OM y k x ==，:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）①()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，∵1x >，()()2101h x x x =>+恒成立，∴函数()f x 具有性质()P b ；3分②设()()211u x x bx x =-+>，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，∴x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()1,+∞上递增；当2b >时，()f x在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.9分（2）由题意，()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'，又()h x 对任意的()1,x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的()1,x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增.10分∵12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，∴()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--1先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<∴1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<∴12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意13分2当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，∴12x x αβ≤<≤∴12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，∴12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去16分综上所述，01m <<17分。
2024-2025学年上海同一附中高三上学期数学月考试卷及答案(2024.10)
1同一附中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．集合{}1,3,M t =，{}21P t t =−+，若MP M =，则t =________．2．关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为空集的充要条件为________． 3．集合{}|3,x S y y x R ==∈，{}2|1,T y y x x R ==−∈，则ST =________．4．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________． 5．若函数1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩则不等式1()3f x ≥的解集为________． 6．对于实数x ，y ，“221x y +<”是“1x <且1y <”的________条件．7．()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22x f x x =+，则0x <时，()f x =________． 8．设(72)n x −的展开式中，各项系数之和为625，则展开式中各项系数的绝对值之和 是________．9．已知等比数列{}n a 满足22a =，31a =，则()12231lim n n n a a a a a a +→+∞+++=________．10．对于定义在集合D 上的函数()f x ，若存在实数0x 满足00()f x x =，则把0x 叫做()f x 的一个不动点，已知()224f x x mx =++，[]1,2D =没有不动点，则实数m 的取值范围 是________．11．当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，不等式log 1a x <恒成立，则实数a 的取值范围为________．12．记()22ln 2f x x x kx k =+−+，若存在实数a 、b ，满足122a b ≤<≤，使得函数()y f x =在区间[],a b 上是严格增函数，则实数k 的取值范围是________．2二、选择题（本大题满分445518+++=分）13．某班有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布()2120,N σ，已知(140)0.2P X >=，则[]100,140X ∈的学生人数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．3014．若偶函数()f x 在区间[)0,+∞上严格增加，则1(21)3f x f ⎛⎫−< ⎪⎝⎭的x 取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,323⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭15．若函数()()20.5log 3f x x ax a =−+在[)2,+∞上是严格减函数，则实数a 的取值范围（ ） A ．(),4−∞B ．(]4,4−C ．()[),42,−∞−+∞ D ．[]4,2−16．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列结论正确的个数是（ ） （1）2112()()x f x x f x <； （2）()()1122x f x x f x +<+ （3）()()12120f x f x x x −<−； （4）当ln 1x >−时，112221()()2()x f x x f x x f x +>A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题（本大题满分78分）17．（本题8614+=分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为线段1DD ，BD 的中点．（1）求点D 到平面AEF 的距离； （2）求异面直线EF 与BC 所成的角．18．（本题6814+=分）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，22sin)()sin A C a b B−=−，外接圆半径R=．（1）求C∠的度数；（2）求△ABC面积S的最大值．19．（本题26614++=分）疫情期间居家学习，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：h）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．（1）求频率分布直方图中实数a，b的值；（2）每天学习时间在[)6.0,6.5的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在[)6.0,6.5和[)7.0,7.5的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在[)6.0,6.5的人数X的分布和数学期望．320．（本题46818++=分）若椭圆22:143x yΓ+=的右焦点为F，过F的直线l交Γ于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求线段AB的长；（2）若直线l与x轴不重合，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值；（3）若椭圆Γ上存在点C使得AC BC=，且△ABC的重心G在y轴上，求此时直线l的方程．4521．（本题46818++=分）设()y f x =、()y g x =是定义域为R 的函数，当12()()g x g x ≠时，记121212()()(,)()()f x f x x xg x g x −δ=−．（1）已知()y g x =在区间I 上严格增，且对任意1x ，2x I ∈，12x x ≠，有12(,)0x x δ>，证明：函数()y f x =在区间I 上严格增； （2）已知()32133g x x ax x =+−，且对任意1x ，2x R ∈，当12()()g x g x ≠时，有12(,)0x x δ>，若当1x =时，函数()y f x =取得极值，求实数a 的值； （3）已知()sin g x x =，12πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1πf2⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，且对任意1x ，2x R ∈，当12()()g x g x ≠时，有12(,)1x x δ≤，证明：()sin f x x =．6参考答案一、填空题1.1,0,2−;2.20,40a b ac >−≤;3.(]0,1;4.2;5.[]3,1−;6.充分不必要;7.22x x −+;8.6561;9.323; 10.()3,2,2⎛⎫−∞−⋃−+∞ ⎪⎝⎭； 11.[)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ 12.9{|}4k k <12．记()22ln 2f x x x kx k =+−+，若存在实数a 、b ，满足122a b ≤<≤，使得函数()y f x =在区间[],a b 上是严格增函数，则实数k 的取值范围是________． 【答案】9{|}4k k <【解析】()222f x lnx x kx k =+−+在区间[]a,b 上是严格增函数, ()1'220f x x k x ∴=+−…在[]a,b 上恒成立,可得1122k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭…成立,又()1122g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在02⎛⎝⎭上递减,在(2,⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增, 122a b ≤<≤,()139,2224g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故94k <.故答案为:9{|}4k k <.二、选择题13.D 14.A 15. 16.B16．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列结论正确的个数是（ ） （1）2112()()x f x x f x <； （2）()()1122x f x x f x +<+ （3）()()12120f x f x x x −<−； （4）当ln 1x >−时，112221()()2()x f x x f x x f x +>A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B7【解析】（1）正确;因为令()()f x g x lnx x==, 在()0,+∞上是增函数,∴当120x x <<时,()()12g x g x <,()()1212f x f x x x ∴<即()()2112x f x x f x <.（2）错误；因为令()()g x f x x xlnx x =+=+()'2,g x lnx ∴=+()2x e ,−∴∈+∞时,()()'0,g x g x >单调递增,()20x ,e −∈时,()()'0,g x g x <单调递减.()11x f x ∴+与()22x f x +无法比较大小.（3）错误；因为令()()g x f x x xlnx x =−=−,()'g x lnx =()01x ,∴∈时,()()'0,g x g x <在()01,单调递减,()1x ,∈+∞时,()()'0,g x g x >在()1,+∞单调递增,()()()()1212112201,,,x x g x g x f x x f x x ∴<<−><∴−>当时()()()()12121212,0f x f x f x f x x x x x −∴−>−∴<−当121x x <<时,()()12g x g x <()()()()()()121122121212,,0.f x f x f x x f x x f x f x x x x x −∴−<−∴−<−∴>−（4）正确;因为1lnx >−时,()f x 单调递增, 又（1）正确,()()()()()()()1122211122212x f x x f x x f x x f x f x x f x f x ⎡⎤⎡⎤∴⋅+⋅−>−+−⎣⎦⎣⎦()()()12120x x f x f x ⎡⎤=−−>⎣⎦,故选B.三．解答题17.（1） （2）18.（1）3π（219.（1）0.26,0.38a b == （2）23（3）()34E X =820．（本题46818++=分）若椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过F 的直线l 交Γ于A ，B 两点．（1）若直线l 垂直于x 轴，求线段AB 的长；（2）若直线l 与x 轴不重合，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值； （3）若椭圆Γ上存在点C 使得AC BC =，且△ABC 的重心G 在y 轴上，求此时直线l 的方程． 【答案】（1）3AB =（2）32（3） 直线;1l x =或0y =或1x y =+. 【解析】(1)()10F ,,令1x =, 则21143y +=,3,32y AB ∴=±∴=(2) 设直线()()11:10,l x my m A x ,y =+≠,()22B x ,y 联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 则()2234690,m y my ++−=则()212261441,,34mm y y m −∆=++=+12122293434y y y y m m −⋅=∴−=++121122AOBS OF y y ∆∴=⋅−=令,1t t …, 则2661313AOB tS t t t ∆==++,13y t t=+在[)1,+∞上为增函数,926663142313AOB tS t t t∆∴===++…, 当且仅当1t =, 即0m =时取等号, AOB ∴∆面积的最大值为32. (3)当直线l 不与x 轴重合时,设直线()()(112:10,,l x my m A x ,y B x =+≠,)2,y AB 的中点为M ,联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 则()2234690m y my ++−= ()212261441,34mm y y m −∆=++=+122934y y m −⋅=+ ABC ∆的重心G 在y 轴上,120C x x x ∴++=()()12122C x x x m y y ∴=−+=−+−=28,34m −+()12122242234M m y y x x x m +++===+1223234M y y my m +−==+,AC BC CM AB=∴⊥∴直线():M M CM y y m x x −=−−,()2934C M C M my y m x x m ∴=−−=+22893434m C ,m m −⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭, 代入椭圆得,()22310m m −=,0m∴=或m =, ∴直线:1lx =或1x y =+, 当直线 与x 轴重合时,C 点在椭圆的上,下顶点,满足题意，此时:0l y =， 综上, 直线;1l x =或0y =或1x y =+. 21．（本题46818++=分）设()y f x =、()y g x =是定义域为R 的函数，当12()()g x g x ≠时，记121212()()(,)()()f x f x x xg x g x −δ=−．（1）已知()y g x =在区间I 上严格增，且对任意1x ，2x I ∈，12x x ≠，有12(,)0x x δ>，证明：函数()y f x =在区间I 上严格增；10（2）已知()32133g x x ax x =+−，且对任意1x ，2x R ∈，当12()()g x g x ≠时，有12(,)0x x δ>，若当1x =时，函数()y f x =取得极值，求实数a 的值； （3）已知()sin g x x =，12πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1πf2⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，且对任意1x ，2x R ∈，当12()()g x g x ≠时，有12(,)1x x δ≤，证明：()sin f x x =．【答案】（1）见解析 （2）1a =（3）见解析【解析】(1) 证明: 不妨设12x x <,因为()y g x =在I 上严格增,所以对任意1212,,x x I x x ∈<, 有()()120g x g x −<, 又()()()()()121212,0,f x f x x x g x g x −δ=>−所以()()120f x f x −<,所以()y f x =在区间I 上严格增.（2）由（1）可知：当()y g x =在区间I 上严格增时,()y f x =在I 上严格增, 当()y g x =在区间I 上严格减时,()y f x =在I 上严格减,又当1x =时,()y f x =取得极值,所以当1x =时,()y g x =也取得极值,()()2'23,'1220g x x ax g a =+−=−=, 可得1a =,当1a =时,()()()'31g x x x =+−, 所以在()3,−∞−上,()()'0,g x g x >单调递增,在()31,−上,()()'0,g x g x <单调递减, 在()1,+∞上,()()'0,g x g x >单调递增,所以()g x 在1x =处取得极值,所以1a =. (3)证明: 当()2x k k Z π≠+π∈时, 由条件知()1121f x x,sinx +π⎛⎫δ−=≤ ⎪+⎝⎭ 所以()()1,121f x f x sinx ,x sinx −π⎛⎫δ=≤ ⎪−⎝⎭…,所以()f x sinx …,所以()f x sinx =, 当()202x k k Z ,k π=+π∈≠时, 对任意22t ,ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭, 有()()11f x sint x,t sint −δ=≤− 所以()211sint f x −剟,又因为21sint −的值域为()31,−,所以()1f x =,11 当()202x k k Z ,k π=−+π∈≠时, 对任意22t ,ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭, 有()()11f x sint x,t sint −δ=≤−−, 所以()112f x sint −+剟,又因为12sint +值域为()13,,所以()1f x =−, 综上可知, 对任意(),x R f x sinx ∈=.。
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
![2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/4ca444db8662caaedd3383c4bb4cf7ec4afeb6db.png)
2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
2025届六安市一中高三数学上学期第三次月考试卷及答案解析
六安一中2025届高三年级第三次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数()i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z =（ ）A. 1B. 2C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得2i z =-，进而可求模长.【详解】因为()i 12i 2i z =-+=-，所以z ==.故选：D.2. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为 n S ，若38304S a ==,，则9S =（ ）A. 54 B. 63C. 72 D. 135【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出2a ，再求出9S .【详解】等差数列{}n a 中，由330S =，得2123330a a a a =++=，解得210a =，而84a =，所以192899()9()6322a a a a S ++===.故选：B3. 已知平面向量,a b 满足4a = ，(1,b = ，且()()23a b a b +⊥- ．则向量a 与向量b的夹角是（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】根据垂直得出向量的数量积，再由夹角公式计算即可.【详解】因为(1,b =，所以3b == ，由()()23a b a b +⊥- 可得()()2223325481850a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+⋅=，所以6a b ⋅=-，所以61cos ,432a b a b a b ⋅-===-⨯⋅，由[],0,πa b ∈ 知2π,3a b =，故选：C4. 在等比数列{}n a 中，已知13a =，48n a =，93n S =，则n 的值为（ ）A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】【分析】由1(1)1-=-n n a q S q及通项公式11n n a a q -=，列出方程组求解即可.【详解】在等比数列{a n }中，13a =，48n a =，93n S =，所以1q ≠，由1(1)1-=-n n a q S q ，及通项公式11n n a a q -=，可得13(1)931483n n q q q -⎧-=⎪-⎨⎪=⎩，解得2,5q n ==.故选：B.5. 已知数列{}n a 满足1211n n a a n +-=-，且110a =，则n a 的最小值是（ ）A. -15 B. -14C. -11D. -6【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件得出最小项为6a ，利用迭代的思想即可求得6a .【详解】∵1211n n a a n +-=-，∴当5n ≤时，10n n a a +-<，当5n >时，10n n a a +->，∴12345678a a a a a a a a >>>>><<<⋅⋅⋅，显然n a 的最小值是6a .又1211n n a a n +-=-，∴()()()()()612132435465a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-+-()()()()()109753115=+-+-+-+-+-=-，即n a 的最小值是15-.故选：A6. 已知ABC V 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P = 是BN 上一点且29AP mAB AC =+，则AP AB ⋅=（ ）A.29B.19C.23D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据题意得89AP mAB AN =+，由,,P B N 三点共线求得19m =，利用向量数量积运算求解.【详解】13AN NC =，14AN AC ∴=u u u r u u u r ，且2899AP mAB AC mAB AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，而,,P B N 三点共线，819m ∴+=，即19m =，1299AP AB AC ∴=+u u u r u u u r u u u r ，所以o12122cos 6099999AP AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅=+⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.7. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1024n n S a +=，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为（ ）A. 552 B. 452 C. 92 D. 102【答案】B 【解析】【分析】根据给定的递推公式求出1a ，进而求出数列{}n a 通项，借助单调性求解即得.【详解】依题意，N n *∈，1024n n S a +=，则1512a =，当2n ≥时，111024n n S a --+=，两式相减得12n n a a -=，即112n n a a -=，因此数列{}n a 是以512为首项，12为公比的等比数列，于是1101512()22n n n a --=⨯=，显然数列{}n a 单调递减，当10n ≤时，1n a ≥，当11n ≥，1n a <，所以当9n =或10n =时，数列{}n a 的前n 项积最大，最大值为98720452222222⨯⨯⨯⨯⨯⨯= .故选：B8. 已知O 是ABC V 所在平面内一点，且2AB = ，1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=，则ABC ∠的最大值为（ ）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得C 点轨迹是以A 为圆心，的圆，再由直线与圆相切可得ABC ∠的最大值为π4.【详解】根据1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=可得()22OC AC OA AC OC OA AC AC ⋅-⋅=-⋅== ，即可知C 点轨迹是以A的圆，如下图所示：由图可知，当BC 与圆相切时，ABC ∠取到最大，又2AB =可知此时π4ABC ∠=故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知z 为复数，设z ，z ，i z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，其中O 为坐标原点，则（ ）A. OA OB= B. OA OC⊥.C. AC BC= D. OB AC∥ 【答案】AB 【解析】【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出A ，B ，C 三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，(),∴A a b ，()i ,z a b a b =-∈R ，(),B a b ∴-，()i i i i =+=-+z a b b a ，(),∴-C b a ，()()()()(),,,,,,,,,==-=------+==OA a b OB a b OC b a b a a b b a a b AC BC 对于A，=∴=OA O B ，故选项A 正确；对于B ， ()0-+= a b ba ，∴⊥OA OC ，故选项B 正确；对于C ，AC =，当0ab ≠时，AC BC ≠，故选项C 错误；对于D ，()()()222a a b b b a a ab b -----=-- ，222a ab b --可以为零，也可以不为零，所以OB 不一定平行于AC，故选项D 错误.故选:AB.10. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列说法正确的是（ ）A. 当9n =时，n S 最大B. 使得0nS <成立的最小自然数18n =C. 891011a a a a +>+D. 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a 【答案】ABD 【解析】【分析】利用,n n a S 关系及等差数列通项公式得a 1>0d <0,a 9>0,a 10<0判断A ；根据已知及A 项分析得81191090a a a a a +=+<<，进而确定()101189101189,a a a a a a a a +-++++的符号判断C ；根据A 、C 项分析确定数列正负分界项，再由等差数列前n 项和确定0nS <对应n 的最小值判断B ；根据以上分析确定n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭各项符号判断D.【详解】根据题意：S 8<S 9S 10<S 9⇒S 9−S 8=a 9>0S 10−S 9=a 10<0，即911018090a a d a a d -=--<⎧⎨=+<⎩，两式相加，解得a 1>0d <0,a 9>0,a 10<0，当9n =时，n S 最大，故A 正确；由108S S <，可得91090a a a +<<，所以8110a a +<，故()10118910118940,0a a a a d a a a a +-+=<+++<，所以891011a a a a +<+，故C 错误；由以上可得：1213910110a a a a a a >>>>>>>> ，()117179171702a a S a +==>，而()()1181891018902a a S a a +==+<，当17n ≤时，0n S >；当18n ≥时，0n S <；所以使得0nS <成立的最小自然数18n =，故B 正确.当9n ≤或18n ≥时0nn S a >；当918n <<时0n nS a <；由101117101112170,0a a a S S S S >>>>>>>>> ，所以n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a ，故D 正确.故选：ABD11. 已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，公比为q ，在12,a a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ，在23,a a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为2,d ，在1,n n a a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，公差为n d ，则下列说法错误的是（ ）A. 当01q <<时，数列{}n d 单调递减B. 当1q >时，数列{}n d 单调递增C. 当12d d >时，数列{}n d 单调递减D. 当12d d <时，数列{}n d 单调递增【答案】ABC 【解析】【分析】由等差数列得(1)1n n a q d n -=+，然后在01q <<或1q >分别确定{}n d 的单调性判断AB ，进行讨论判断各选项．再由12d d <或12d d >确定q 的范围，从而确定{}n d 的单调性判断CD ．【详解】数列{a n }是各项为正数的等比数列，则公比为0q >，由题意1(1)n n n a a n d +=++，得()1111n n n n a q a a d n n +--==++，01q <<时，0n d <，有()1112n n q n d d n ++=<+，1n n d d +>，数列{}n d 单调递增，A 选项错误；1q >时，0n d >，()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递增，则()112q n n +>+， 即21n q n +>+，由*N n ∈，需要32q >，故B 选项错误；12d d >时，()()111123a q a q q -->，解得312q <<，1q >时，0n d >，由()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递减，则()112q n n +<+， 即21111n q n n +<=+++，而 312q <<不能满足()*11N 1q n n <+∈+恒成立，C 选项错误；12d d <时，()()111123a q a q q --<，解得01q <<或32q >，由AB 选项的解析可知，数列{}n d 单调递增，D 选项正确.故选：ABC【点睛】方法点睛：本题数列的单调性，解题方法是利用等差数列的定义确定n d 与q 的关系，利用此关系通过q 的范围确定{}n d 的单调性，同样根据12,d d 的大小确定q 的范围，再得单调性．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4210S S =，则62S S 的值为______.【答案】91【解析】【分析】方法一：利用等比数列前n 项和性质即可求解；方法二：利用等比数列前n 项和的公式，代入计算即可求解.【详解】方法一：等比数列{}n a 中，2S ，42S S -，64S S -成等比数列，则2S ，29S ，281S 成等比数列，∴64281S S S -=，∴6291S S =，∴6291S S =.方法二：设{}n a 公比为q ，由题意显然0q >且1q ≠,所以()()42111110311a q a q q qq--=⋅⇒=--，∴()()616622211131911311a q S q S a q q---===---，故答案为：91.13. 已知数列{}n a 中，11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 前2024项的和为__________.【答案】2024【解析】【分析】利用数列{}n a 的周期性可得答案.【详解】因为11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，所以2123a a =+=，322321=-+=-+=-a a ，4321=+=a a ，542121=-+=-+=a a ，652123=+=+=a a ，L ，所以数列{}n a 是周期为4的周期数列，且123413114+++=+-+=a a a a ，所以()220241202443215062024+=⨯==+++++ S a a a a a a a .的故答案为：2024.14. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c （a b ≠）.已知2cos c a A =，则sin sin B A -的最大值是__________.【解析】【分析】利用正弦边角关系、三角恒等变换得到2C A =、π03A <<，再应用和角正弦公式、倍角公式，将目标式化为34sin 2sin A A -+，应用换元法及导数研究其最大值即可.【详解】由2cos c a A =，则sin 2sin cos sin 2C A A A ==，,(0,π)A C ∈，所以2C A =或2πC A +=，而πA B C ++=，且a b ≠，即A B ≠，所以2C A =，且03πA C A <+=<，即π03A <<，sin sin sin 3sin sin cos 2cos sin 2sin B A A A A A A A A∴-=-=+-2232sin (12sin )2cos sin sin sin 2sin 2(1sin )sin sin A A A A A A A A A A=-+-=-+--34sin 2sin A A =-+，令sin t A =∈，则3()42f t t t =-+，2()122f t t '=-+，当t ∈时()0f t '>，则()f t在上递增；当t ∈时()0f t '<，则()f t在上递减；故t =()f t 的极大值点，()f t ∴最大值为342-⨯+⨯=..四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=．的（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．【答案】（1）13n n a -=；（2）6m =.【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出3{log }n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13n na -=；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.16. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()22a cb bc -=+.（1）求角A ；（2）若3,2a BA AC BD DC =⋅==，求AD 的长.【答案】（1）2π3（2【解析】【分析】(1)变形后利用余弦定理可求；(2)先将2π3A =代入3BA AC ⋅= 可得6bc =，再将a =代入()22a c b b c -=+得2213b c +=，联立方程组解得,b c ，由此将向量AD 用,AB AC 表示，求解向量的模可得.【小问1详解】由()22a c b b c -=+得222b c a bc +-=-，则由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，0πA << ，2π3A ∴=.【小问2详解】由31cos 2BA AC A A bc A b B C c ⋅=-⋅=-== ，解得6bc =①，a = ，22219abc bc ∴=++=，则2213b c +=②，联立①②可得，2,3b c ==，或3,2b c ==.2BD DC = ，∴()2AD AB AC AD -=- ，则1233AD AB AC =+ ，且3AB AC ⋅=- ， 所以()()22222114441299AD AB AC AB AC c b =++⋅=+- ，当2,3b c ==时，2113(91612)99AD =+-= ，则AD当3,2b c ==时，2128(43612)99AD =+-= ，则AD .综上所述，AD .17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*12111,3,22(2,N )n n n a a S S S n n +-==+=+≥∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）在数列{}n b 中，1213,n n n n b a b a b ++==，若{}n b 的前n 项和为n T ，求证：92n T <.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系式，结合等差数列的定义即可得证；（2）利用（1）中结论求得n a ，进而利用累乘法求得n b ，再利用裂项相消法求得n T ，从而得证.【小问1详解】因为*1122(2,N )n n n S S S n n +-+=+≥∈，所以*112(2,N )n n n n S S S S n n +--=-+≥∈，即1*(2,N )2n n a n a n +=+≥∈，又21312a a -=-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列.【小问2详解】由（1）知：()11221n a n n =+-⨯=-，则()222123n a n n +=+-=+，又21n n n n a b a b ++=，所以122123n n n n b a n b a n ++-==+，所以312112213332325272151n n n n n b b b b b n b b b b n n b n ---=⋅⋅⋅=⋅-⋅--⋅+9911(21)(21)22121n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以911111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 91912212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭.18. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+，数列是公差为d 的等差数列.（1）求证：21a d =，并求出数列{}n a 的通项公式（用,n d 表示）；（2）设c 为实数，对满足3m n k +=且m n ≠的任意正整数,,m n k ，不等式m n k S S cS +>都成立，求证：c 的最大值为92.【答案】（1）证明见解析，()221n a n d =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1关于1,a d 的关系式，再利用题设条件得到关于1,a d 的方n a ，从而得解；（2）利用（1）中结论与完全平方公式求得92c ≤，再利用基本不等式检验92c =时的情况，从而得证.【小问1详解】由题意知：0d >(1)(1)n d n d =+-=+-，因为2132a a a =+，则233a S =，所以2133()S S S -=，则2212)]2)d a d +-=+，整理得210a d d -+=21,d a d ==，22(1),n d n d nd S n d =+-==，当2n ≥时，222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-，适合1n =情形.所以()221n a n d =-.【小问2详解】由m n k S S cS +>，得222222m d n d c k d +>⋅，则222m n c k +>⋅，所以222m n c k+<恒成立，又3m n k +=且m n ≠，,,m n k 正整数，所以22222()()9m n m n k +>+=，则22292m n k +>，故92c ≤，当92c =时，()2222222222999222m n k S S S m d n d k d k d m n mn ⎡⎤=+--⎢⎥+-⎣=+⎦-，22922d k mn ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由不等式可得3m n k +=≥，即294k mn ≤，当且仅当32m n k ==时，等号成立，而m n ≠，故294k mn <，为故092m n k S S S ->+，故c 的最大值为92.19. 已知函数()x f x e =.（1）当0x ≥时，求证：()()2f x f x x --≥；（2）若0k >，且()f x kx b ≥+在R 上恒成立，求2k b +的最大值；（3）设*2,n n ≥∈Nln n +> .【答案】（1）证明见解析（2）2e（3）证明见解析【解析】【分析】（1）不等式成立转换为函数最小值问题，利用导函数求得到点区间，从而得出最小值，不等式得证；（2）构建函数，利用导函数求得单调区间，从而找到最小值，由题意得到不等关系，再令所求代数式为函数，借助导函数求得最大值；（3）由（1()ln ln ln 11n n n n ⎛⎫>=-- ⎪-⎝⎭，从而得证.【小问1详解】令e e ()2(0)x x g x x x -=--≥，所以()()1e 20e x x g x x '=+-≥，所以()e 2e 220x x g x -'=-+≥-=，当且仅当1e e 1ex x x =⇒=，即0x =时，等号成立，所以当[)0,x ∈+∞时，()()0,g x g x '≥单调递增，则()()00g x g ≥=；小问2详解】令()e x F x kx b =--，e ()x F x k '=-；由()0F x '>得出ln x k >；由()0F x '<得出ln x k <；min ()(ln )ln 0F x F k k k k b ∴==--≥；ln b k k k ∴≤-，23ln k b k k k ∴+≤-，令()3ln G k k k k =-，0k >；()2ln G k k '=-，【当20e k <<时，()0G k '>，()G k 单调递增，当2e k >时，()0G k '<，()G k 单调递减，所以2e 是的()G k 极大值点，22()(e )e G k G ∴≤=，2k b +的最大值为2e ；【小问3详解】由（1）知，()e 2e 0,0,x x x x ∞--->∈+，令ln (1)x s s =>，则12ln 0s s s --->，即12ln (1)s s s s ->>，设*2,s n n =≥∈N ，则满足1s >，->1ln 11n ⎛⎫>+ ⎪-⎝⎭，()ln ln ln 11n n n n ⎛⎫>=-- ⎪-⎝⎭，()ln2ln1ln3ln2ln ln 1ln n n n +>-+-++--= ，ln n ++> .【点睛】方法点睛：不等式成立问题：（1）通过令两项的差为函数关系，再利用函数单调性求出函数的最值的方式来解决；（2）多项求和的不等关系的证明，可以先找到某一项的不等关系，再求和得到结论.。
2024-2025学年河北省省级联测高三(上)月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年河北省省级联测高三（上）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−1,2,3,4}，B ={x ∈Z|y =ln (9−x 2)}，则A ∩B =( )A. {1,2,3}B. {−1,2}C. {2,3}D. {0,1,2,3,4}2.已知复数z 1=a 2−3a +3i ，z 2=2+(a 2−4a)i ，a ∈R ，若z 1+z 2为纯虚数，则a =( )A. 1或2B. 1C. 2D. 33.已知向量a ,b 满足|a |=2,b =(2,0)，且|a +b |=2，则a 在b 上的投影向量的坐标为( )A. (−1,0)B. (1,0)C. (−2,0)D. (2,0)4.已知cos (α+π2)=2cos(α+3π)，则sin 2α+12sin2αcos 2α=( )A. −14 B. 34 C. 2D. 65.某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面(过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面)ABCD 是面积为16的正方形，则该几何体的体积为( )A. 16π3B. 16πC. 64π3D. 72π6.设S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，3S 2=a 1+2a 3，a 3=8，则数列{a n +2n−1}的前5项和为( )A. 55B. 57C. 87D. 897.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若关于x 的方程g(x)−m =0在x ∈[−π12,π6]上有两个不等实根，则实数m 的取值范围为( )A. (−2,2]B. (−2,− 3]C. [ 3,2]D. (− 3, 3]8.已知定义域为R的函数f(x)不是常函数，且满足f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，f(1)=0，则∑2026i=1f (i)=( )A. −2B. 2C. −2026D. 2026二、多选题：本题共3小题，共18分。
2025届湖南省长沙市高三上学期11月月考数学试卷含答案
高三数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合1{2,1,0,1},|22x A B x 禳镲=--=£睚镲铪，则A B = （）A.{}1-B.{2,1}-- C.{1}D.{1,0,1}-【答案】B 【解析】【分析】根据条件求出集合B ，计算A B ⋂.【详解】由题意得，{}{}1|221x B x x x -=≤=≤-，∵{2,1,0,1}A =--，∴{2,}1A B ⋂=--.故选：B.2.若复数z 满足1i 12iz=-+，则z =（）A.1i -+B.13i+ C.1i+ D.3i+【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得答案.【详解】若复数z 满足1i 12iz=-+，则()()1i 12i 12i i 23i z =-+=+-+=+.故选：D.3.已知()2e cos e x x xf x a=+是偶函数，则a =（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据偶函数的定义及性质直接判断.【详解】由()22e cos e cos e e x xx x x f x x a a==⋅++，设()2e e xx g x a =+，则()()cos f x g x x =⋅且cos y x =为偶函数，所以()2e e xx g x a=+为偶函数，所以()2e 1e g a =+，()12e 1e g a ---=+，且()()11g g =-，即122e e e e a a--=++，化简可得()()21e 10a --=，解得1a =，故选：C.4.,,A B C 三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，某中学有四名学生报名参加．若每名学生只能报一所大学，每所大学都有该中学的学生报名，且A 大学只有其中一名学生报名，则不同的报名方法共有（）A.18种B.21种C.24种D.36种【答案】C 【解析】【分析】按分步乘法计数原理，首先选一人去A 大学，然后将剩余的三位同学分为两组2，1，再分配到,B C 两所学校即可求解.【详解】第一步选一人去A 大学，则有14C 4=（种），第二步将剩余的三位同学以一组两人，一组一人进行分组，然后分配到,B C 两所学校，则有2232C A 6=（种），则不同的报名方法共有4624⨯=（种），故选：C.5.已知,,a b c 均为单位向量，且2ππ,,3,3a b a b c 〈〈+〉=〉=r r r r r ，则||()a b c t t ++∈R r r r的最小值为（）A.34B.2C.94D.32【答案】B 【解析】【分析】利用向量的模的计算可得||a t b c ++=r r r，结合二次函数可求最小值.【详解】因为,,a b c均为单位向量，且且2ππ,,3,3a b a b c 〈〈+〉=〉=r r r r r ，所以1||a b +====r r，||a b c t ++==r r r2==≥==，当12t =-时，()a b tc t ++∈R 的最小值为32.故选：B.6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202220242026,,8-S S S 成等差数列，2514,,a a a 成等比数列，则30S =（）A.900B.600C.450D.300【答案】A 【解析】【分析】由题意可得20242026202228S S S -+=，25214a a a = ，求得首项与公差，可求30S .【详解】等差数列 的公差为d ，因为202220242026,,8-S S S 成等差数列，所以20242026202228S S S -+=，所以20242022202620248S S S S -=--，所以20242023202620258a a a a +=+-，所以48d =，2=d ，又因为2514,,a a a 成等比数列，所以25214a a a = ，所以2111(42)(2)(132)a a a +⨯=++⨯ ，解得1116642852a a +=+，解得11a =，所以3030(301)30129002S -=⨯+⨯=.故选：A.7.已知函数24()sin cos (0)ωωω=+>f x x x 的最小正周期为10，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.58B.34C.78D.1【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数的基本关系式与倍角公式化简()f x ，从而利用余弦函数的周期公式求得ω，进而代入52x =即可得解.【详解】()22422()sin cos sin 1sin f x x x x xωωωω=+=+-()2242221313sin sin 1sin 12sin 2444x x x xωωωω⎛⎫=-+=-+=-+⎪⎝⎭()21311317cos 2cos 41cos 44442488x x x ωωω=+=⨯++=+，又()f x 的最小正周期为10，所以2π104T ω==，解得π20ω=，则()1π7cos 858f x x =+，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1π577cos 85288⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭.故选：C.8.过抛物线22y x =上一动点P 作圆222:(4)-+=C x y r （r 为常数且*r ∈N ）的两条切线，切点分别为A ，B ，若AB PC ⋅的最小值是r =（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】设00(,)P x y ，利用圆的切线性质，借助图形的面积把AB PC ⋅表示为0x 的函数，再求出函数的最小值即可.【详解】设00(,)P x y ，则2002y x =，圆C 的圆心(4,0)C ，半径为r ，由,PA PB 切圆C 于点,A B ，得,,PC AB PA AC PB BC ⊥⊥⊥，则24222PAC PACB AB PC S S PA AC ⋅===⋅== 四边形2r ==当且仅当03x =时，等号成立，可知AB PC ⋅的最小值为2=整理可得427120r r -+=，解得24r =或23r =，且*r ∈N ，所以24r =，即2r =.故选：B.【点睛】关键点点睛：根据切线的性质，将AB PC ⋅转化为2PACB S 四边形，根据面积结合几何性质求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量()2~1,X N σ，记(1),(13)>-=<<=P X a P X b ，则（）A.(3)<=P X aB.12a b -=C.(21)2()-=E X E X D.(21)4()D X D X -=【答案】ABD 【解析】【分析】根据正态分布的性质判断AB ；根据期望和方差的性质判断CD.【详解】由题意可知：1μ=，且132-+=μ，可得(3)(1)P X P X a <=>-=，故A 正确；且1(13)(11)(1)2P X P X P X <<=-<<=>--，即12b a =-，所以12a b -=，故B 正确；根据期望和方差的性质可知：(21)2()1-=-E X E X ，(21)4()D X D X -=，故C 错误，D 正确；故选：ABD.10.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，G 是棱11B C 上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为六边形B.点G 到平面AEF 的距离为定值C.若11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，则G 为棱11B C 的中点D.直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值的取值范围为1510,1510⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A ，利用线面平行的判定定理判断B ，利用空间向量推得1,,,A E D G 四点共面，结合面面平行的性质定理判断C ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D ，从而得解.【详解】对于A ，连接DF ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，所以//,EF BC EF BC =，//,AD BC AD BC =，所以//,EF AD EF AD =，则平面AEF 与平面AEFD 为同一平面，所以平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为平面AEFD ，为四边形，故A 错误；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，所以11//B C EF ，又EF ⊂平面AEF ，11B C ⊄平面AEF ，所以11//B C 平面AEF ，又点G 是棱11B C 上的一个动点，所以点G 到平面AEF 的距离为定值，故B 正确；对于C ，连接111,,,AD D G GE BC ，因为11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，所以1,,,A E D G 四点共面，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11//ADD A 平面11BCC B ，又平面11ADD A ⋂平面11AEGD AD =，平面11BCC B 平面1AEGD GE =，所以1//AD GE ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111//,AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，则11//AD BC ，则1//GE BC ，因为E 为棱1BB 的中点，所以G 为棱11B C 的中点，故C 正确；对于D ，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图，设()102C G x x =≤≤，则()()()()2,0,0,2,2,1,0,2,1,,2,2A E F G x ，所以()()()0,2,1,2,0,0,2,2,2AE EF AG x ==-=-，设平面AEF 的法向量为 ，则2020AE n b c EF n a ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1b =，则0,2a c ==-，故()0,1,2n =-，设直线AG 与平面AEF 所成角为π02θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则sin cos ,AG n AG n AG nθ⋅=〈〉==，因为02x ≤≤，所以()2024x ≤-≤，则≤≤所以1510=≤≤=，所以直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值的取值范围为1510,1510⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.11.已知正项数列{}n a 满足21135+-=-n n n a a a 且4311110---=a ka ka ，则下列说法正确的（）A.若32k =，则20243a = B.若20243a =，则32k =C.若83k =，则211+=n a a D.若211+=n a a ，则83k =或32【答案】AC 【解析】【分析】代入32k =，由因式分解解出12a =，再由递推关系确定数列 的性质可得A 正确；代入83k =，由因式分解解出13a =，再由递推关系确定数列 的性质可得C 正确；举反例设正项数列 为常数列，利用求根公式求出1a 可得D 错误；分20232a =或7讨论，当20237a =时由求根公式求出n a ，再结合二次函数的性质判断为递减数列，可得B 错误；【详解】对于A ，若32k =，则43111331022a a a ---=，即()()()211112220a a a ++-=，因为0n a >，所以12a =，因为21135+-=-n n n a a a ，所以12221121335325a a a --===-⨯-，同理22322131235335a a a --===-⨯-，L 即数列 为奇数项为2，偶数项为3的数列，（也称为不动点数列）所以20243a =，故A 正确；对于C ，若83k =，则43111881033a a a ---=，即()()()211113130a a a ++-=，因为0n a >，所以13a =，或113a =-（舍去）由A 选项的解析可得232,3,a a == ，即数列 为奇数项为3，偶数项为2的数列，所以211+=n a a ，故C 正确；对于D ，假设正项数列 为常数列，则21135n n n n a a a a +-==-，即20251n n a a -+=，解得54n a ±=，又4311110---=a ka ka ，即()()22111110a a ka +--=，即21110a ka --=，取154a +=代入上式，此时k 为无理数，当154a +=，满足211+=n a a ，此时32k ≠且k ≠83，故D 错误；对于B ，若20243a =，由20232024202231335a a a -==-，即2202320239140a a -+=，解得20232a =或7，当20232a =时，由A 解析可得，此时正项数列 为不动点的奇偶常数列，此时32k =；当20237a =时，由21135+-=-n n n a a a 变形为1125103n n n n a a a a ++-+-=，解得13nn a a +=±不妨取13n n a a +=+，若0∆>，则1n n a a +>，现在考虑2119204n n a a ++∆=-+，由二次函数关系可得开口向上，对称轴为109，当17n a +≥时，判别式恒大于零，所以1n n a a +>，所以正项数列 为递减数列，此时1a 要大于2或3，此时32k ≠，故B 错误故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题关键点有两个，其一是能由已知递推关系发现数列为不动点型数列，（不要尝试去求解数列的通项，因为二次幂型递推关系可能有两个通项，难以判断），然后由选项入手可解决ACD ，其二时能发现数列为递减数列可判断B 选项.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()()ln f x x a x =+的图象在点()()1,1f 处的切线斜率为3，则实数a =________．【答案】2【解析】【分析】对函数()()ln f x x a x =+求导，利用导数的几何意义可得(1)3f '=即可求得实数a 的值.【详解】由()ln x af x x x+'=+，则1(1)ln1131af a +'=+=+=，解得2a =，故答案为：2.13.已知AB ⊂平面,AC α⊥平面,,α⊥BD AB BD 与平面α所成的角为30︒，且C ，D 两点在平面α的同一侧，2,3BD AB AC ===，则CD =________．【答案】【解析】【分析】过点D 作1DD ⊥平面α，由线面角定义可知1=30DBD ∠︒，则1=60BDD ∠︒，进一步可得,120CA BD <>=︒ .由图可得CD CA AB BD =++，再利用模长的定义求值即可.【详解】由AC ⊥平面α，AB ⊂平面α，可知AC AB ⊥，过点D 作1DD ⊥平面α，1D 为垂足，连接1BD ，则1DBD ∠为 与α所成的角，即130DBD ∠︒＝，所以160BDD ∠︒＝，因为AC ⊥平面α，1DD ⊥平面α，所以1//AC DD ，所以,60CA DB =︒ ，所以,120CA BD <>=︒ .又CD CA AB BD =++ ，所以22()CD CA AB BD =++ 222222CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++⋅+⋅+⋅ ，因为,BD AB AC AB ⊥⊥，所以0,0BD AB AC AB ⋅=⋅=，故22222CD CA AB BD CA BD =+++⋅ 222322232cos120=+++⨯⨯⨯︒11=，所以CD =CD ..14.已知实数x ，y 满足2332log log 1log 1log 4423,3233++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭xxyyx y ，则xy=________．【答案】3【解析】【分析】设23log ,log x t y s ==，利用同构结合二次方程的解可得331223s t⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可求x y 的值.【详解】设23log ,log x t y s ==，则2,3t s x y ==，故11114423,3233t t s s t s ++++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11114423,3233s t st t s ++++⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得到：223333231,2312222ttss⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯=⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故33,22st⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为方程2231a a ⨯+⨯=的正根，故331223st⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故t s =，故233tx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故答案为：3.【点睛】思路点睛：与对数有关的求值问题，应该利用指对数的转化把对数问题转化指数问题来处理，转化过程中注意观察所得代数式的结构便于利用同构策略处理,四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知11n n S a +=-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设222,1,log log n n nn a n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前20项和20T ．【答案】（1）12n n a -=；（2）104137+.【解析】【分析】（1）根据1(2)n n n a S S n -=-≥得等比数列公比为2，结合条件计算1a 的值，得到{}n a 的通项公式.（2）由（1）计算n b ，利用分组求和的方法得出数列{}n b 的前20项和.【小问1详解】当2n ≥时，111(1)(1)n n n n n n n a S S a a a a -++=-=---=-，∴12(2)n n a a n +=≥，∴等比数列{}n a 的公比2q =.当1n =时，由11n n S a +=-得121a a =-，即1121a a =-，解得11a =，∴1112n n n a a q--==.【小问2详解】由题意得，当n 为奇数时，12n n n b a -==，当n 为偶数时，112211111(log 2log 2(1)(1)211n n n n n n n b -+==-×-+-+=，∴100241810135191(14)12222(41)143b b b b ´-++++=+++==´-- ，2462011111111(1)()()()2335571921b b b b 轾++++=´-+-+-++-犏犏臌 1110(1)22121=´-=，∴20123201351924620()()T b b b b b b b b b b b b =++++=+++++++++ 101011041(41)32137=-+=+.16.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22cos cos 2cos +=c C B b C a ．（1）求C ；（2）若223cos cos cos =++-C A B a b ab，求ABC V 的面积．【答案】（1）π3（2【解析】【分析】（1）根据条件，边转角得到2cos (sin cos sin cos )sin C C B B C A +=，再利用正弦的和角公式得到1cos 2C =，即可求角；（2）利用（1）中结果及条件，结合正弦定理，得到2sin sin 1R A B =，再利用三角形的面积公式，即可求解.【小问1详解】由22cos cos 2cos +=c C B b C a ，得到22sin cos cos 2sin cos sin C C B B C A +=，即2cos (sin cos sin cos )sin C C B B C A +=，得到2cos sin()sin C B C A +=，又sin()sin(π)sin B C A A +=-=，(0,π)A ∈，所以1cos 2C =，又(0,π)C ∈，得到π3C =.【小问2详解】由（1）知π3C =，因为223cos cos cos =++-C A B a b ab又222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，所以23cos cos cos cos[π()]cos cos cos()cos cos C A B A B A B A B A B c=+=-++=-++cos cos sin sin cos cos sin sin B A B A B A B =-++=，即23sin sin A B c=，又由正正弦定理得2sin 32c R C ==，即c =，其中R 为ABC V 外接圆的半径，所以2sin sin 1R A B =，所以ABC V的面积为21sin sin )(2sin )sin sin 244S ab C R A R B A B =====17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面,ABCD ABC是边长为2AD =，23ADC ∠=π．（1）证明：平面PCD ⊥平面PBC ；（2）若平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值为217，求PC 的长．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到2DC =，从而得到DC CB ⊥，利用线面垂直的性质得到PC CB ⊥，进而得到⊥BC 面PCD ，再利用面面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）建立空间直角坐标系，设PC a =，求出平面PAD 与平面PBC 的法向量，利用面面角的向量法，得217=，即可求解.【小问1详解】在ADC△中，2AD=，AC=，23ADC∠=π，由余弦定理2222cosAC DA DC DA DC ADC=+-⋅∠，得到2280DC DC+-=，解得2DC=，所以2DA DC==，得到π6DCA∠=，又π3ACB∠=，所以π2DCB∠=，即DC CB⊥，又PC⊥平面ABCD，CB⊂面ABCD，所以PC CB⊥，又PC DC C⋂=，,PC DC⊂面PCD，所以⊥BC面PCD，又⊂BC面PBC，所以平面PCD⊥平面PBC.【小问2详解】以,,CD CB CP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设PC a=，因为2DC=，BC=，π3ACB∠=，则(0,0,0),(2,0,0),(0,(3,(0,0,)C D B A P a，则(2,0,)DA DP a==-，设平面PAD的一个法向量为(,,)n x y z=，则n DPn DA⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到20xx az⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取x a=，得到3,23y a z=-=，即3(,,2)3n a a= ，易知平面PBC的一个法向量为(1,0,0)m=，设平面PAD与平面PBC的夹角为θ，则21cos cos,7n mn mn mθ⋅====⋅，整理得到24a=，解得2a=，所以2PC=.18.已知双曲线C 的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过 h ，()4,3B -两点．（1）求C 的方程；（2）设P ，M ，N 三点在C 的右支上，BM AP ∥，AN BP ∥，证明：（ⅰ）存在常数λ，满足O M OP N O λ+=；（ⅱ）MNP 的面积为定值．【答案】（1）22143x y -=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）设C 的方程为221mx ny -=，其中0mn <．由C 过A ，B 两点，代入解得14m =，13n =即可.（2）（ⅰ）设 h h ， ， ，其中0i x >，223412i i x y -=，0,1,2i =．因为//BM AP ，所以直线BM 的斜率为0102y k x =+，方程为()134y k x -=+．联立()2211,4334x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪-=+⎩结合韦达定理得到00122x y x =+，100322y x y =+．同理00222x y x =-，200322y x y =-+．再结合向量运算即可解决.（ⅱ）结合前面结论，运用点到直线距离公式，三角形面积公式可解.【小问1详解】设C 的方程为221mx ny -=，其中0mn <．由C 过A ，B 两点，故41m =，1691m n -=，解得14m =，13n =．因此C 的方程为22143x y -=．【小问2详解】（ⅰ）设 h h ， ， ，其中0i x >，223412i i x y -=，i ＝0，1，2．因为//BM AP ，所以直线BM 的斜率为0102y k x =+，方程为()134y k x -=+．由()22114334x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪-=+⎩，得()()()22211113484344330k x k k x k ⎡⎤--+-++=⎣⎦，所以()()211214433434k x k ⎡⎤-++⎣⎦-=-，()()()22200001112221001624212216241234324y y x x k k x k x y ++++++==-+-()()()()22000000012424212222122x y x x x y x -++++==++．因此()()()00011100000224334332232222y x y y k x y x y x ++=++=+=+-+=++．同理可得直线AN 的斜率为02034y k x -=+，直线AN 的方程为()22y k x =+．由()2221432x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得()()2222222341616120k x k x k ---+=，所以()222221612234k x k -+-=-，2222200000022222200008(3)6(4)6848()16886343(4)4(3)24(1)y x x y x y k x k x y x y -++++-++===-+--++222200000000006814(34)48()2224(1)x y x y x y x y x y ++-+-==-++，因此00000222000(3)(222)2(3)(3)(2)2(3)44y x y y y y k x y x x --+-+=+==--++00003326(4)222y x x y =---=-+．则()004,44OM ON x y OP +== ，即存在4λ=，满足O M OP N O λ+= ．（ⅱ）由（ⅰ），直线MN 的方程为()00003224x y y x x y -=-，所以点P 到直线MN 的距离1d =而4MN y ==所以MNP △的面积1162S d MN ==为定值．【点睛】难点点睛：本题属于中难题，考查直线与双曲线．本题第（1）小问设问基础，但需要注意所设方程的形式；第（2）（ⅰ）小问在题干条件翻译上未设置较多障碍，但是对4个坐标分量的求解非常考验学生的代数基本功和计算能力，区分度较大．19.帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m ，n ，我们定义函数()f x 在0x =处的[,]m n 阶帕德近似为011()1m m nn a a x a x R x b x b x +++=+++ ，该函数满足()()(0)(0),(0)(0),(0)(0),,(0)(0)m n m n f R f R f R f R ++''''''====L ．注：[][](3)()(1)()(),()(),,()()-''''''''⎡⎤===⎣⎦n n f x f x f x f x f x f x L ．设函数()x f x e =在0x =处的[0,1]阶帕德近似为()R x ．（1）求()R x 的解析式；（2）证明：当1x <时，()()≤f x R x ；（3）设函数21()e 1=--+xg x x kx ，若0x =是()g x 的极大值点，求k 的取值范围．【答案】（1）1()1R x x=-；（2）证明见解析；（3）12k <.【解析】【分析】（1）由题意设()1aR x bx=+，结合帕德近似的定义及导数运算求参数，即可得解析式；（2）构造()()(1)e ()x f x h x x R x ==-且1x <，利用导数研究其单调性并判断()h x 与1的大小关系，即可证结论；（3）利用定义求()xf x e =在0x =处的[0,2]阶帕德近似函数01212()1a R x b x b x =++，并研究1()()()f x k x R x =的极值确定12k =为界点，再讨论12k >、102k <<、0k <并结合导数判断0x =是否为()g x 的极大值，即可求范围.【小问1详解】由题意，可设()1aR x bx=+，且(0)(0)f R =，则1a =，而()e x f x '=，2()(1)abR x bx '=-+，且(0)(0)f R ''=，则11ab b b -=-=⇒=-，所以1()1R x x=-.【小问2详解】当1x <时，恒有()0,1()0R x f x >>>，令()()(1)e ()x f x h x x R x ==-，且1x <，则()e x h x x '=-，当0x <时，()0h x '>，即()h x 在(,0)-∞上递增；当01x <<时，()0h x '<，即()h x 在(0,1)上递减；所以()(0)1h x h ≤=，故()()≤f x R x ，得证.【小问3详解】令()x f x e =在0x =处的[0,2]阶帕德近似为01212()1a R x b x b x =++，由(0)(0)f R =，则01a =，故12121()1R x b x b x =++，由12122122()(1)b b x R x b x b x +'=-++，()e xf x '=，而1(0)(0)R f ''=，则1111b b -=⇒=-，所以2122212()(1)b x R x x b x -'=-+，故2222212322(1)2(12)()(1)b x b x b x R x x b x --++-''=-+，由()e x f x ''=，而1(0)(0)R f =''''，则2212212b b -+=⇒=，综上，121()12R x x x =-+，且R x ∈，令221()(1)1()(1)e e 0()22x x f x x x k x x R x -+==-+=⋅>，则2e ()02xx k x '=≥恒成立，所以()k x 在R 上递增，即(0)1k =，故(,0)x ∈-∞时0()1k x <<，(0,)x ∈+∞时()1k x >，所以(,0)x ∈-∞时1()()f x R x <，(0,)x ∈+∞时1()()f x R x >，此时，12k =时0x =不是()g x 极值点；以12k =为界，讨论如下：由连续函数2()()e ()[(21)1]e x x m m x k x x x kx x k -+'=⇒=+-，当12k >，则1()[(2)]e x m x x x k k'=+-，而120k ->，在1(2,0)k-上()0m x '<，()m x 递减，在(0,)+∞上()0m x '>，()m x 递增，则1())(0m m x ≥=，所以，在0x =两侧21()e 0(0)1xg x g x kx =-≥=-+恒成立，0x =是极小值点；当102k <<，则1()[(2)]e x m x x x k k '=+-，而120k-<，在(,0)-∞上()0m x '>，()m x 递增，在1(0,2)k-上()0m x '<，()m x 递减，则()(0)1m x m ≤=，所以，在0x =两侧21()e 0(0)1xg x g x kx =-≤=-+恒成立，0x =为极大值点；当0k =，有()e x m x x '=-，在(,0)-∞上()0m x '>，()m x 递增，在(0,1)上()0m x '<，()m x 递减，则()(0)1m x m ≤=，所以，在0x =两侧21()e 0(0)1xg x g x kx =-≤=-+恒成立，0x =为极大值点；当0k <，则1()[(2x m x x x k k '=+-，而120k ->，在1(2,0)k -上()0m x '>，()m x 递增，在(0,)+∞上()0m x '<，()m x 递减，则()(0)1m x m ≤=，所以，在0x =两侧21()e 0(0)1x g x g x kx =-≤=-+恒成立，0x =为极大值点；综上，12k <.【点睛】关键点点睛：第三问，利用帕德近似及导数知识确定12k =为界点，再讨论参数并利用导数研究2()()e 1x x x kx m -+=单调性，及与1的大小关系为关键.。
2024-2025学年上海建平中学高三上学期数学月考试卷及答案(2024.10)
1建平中学2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A =________． 2．复数1ii+的模为________． 3．已知x R ∈，则不等式12x −<的解集为________． 4．函数33y x x =−的极小值点________．5．二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项的值为________．6．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[)0,+∞上严格递增，那么使得(2)()f f a −≤成立的实数a 的取值范围是________．7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半抽重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是34,55⎛⎫− ⎪⎝⎭，则sin 3π⎛⎫α+= ⎪⎝⎭________．8．2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻，且3位男生相邻的排法共有_____种． 9．将sin y x =的正数零点从小到大排成一列12n x x x <<<<，则12limnn n n x x x →∞+++的值为________．10．中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风铃可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中1320O O =厘米，122O O =厘米，16AB =厘米，若不考虑铃舌，则风铃的体积为________立方厘米．（保留两位小数）11．设T 是满足以下条件的△ABC 的集合：对任意一个单位圆O ，点A ，B ，C 至少有一个在圆O 外，已知△XYZ 是直角三角形，且不是T 中的元素，则△XYZ周长的取值范围是2________．12．已知向量b ，c 满足1b c −=，向量(1,,1)i a i n n N n ≤≤∈≥满足1i a b −=或1i a c −=且1i j a a −≥对任意1i j n ≤<≤成立．则n 的最大值为________．二、单选题（13、14题每题4分，15、16题每题5分，共18分）13．双曲线221:142x y Γ−=和双曲线222:142y x Γ−=具有相同的（ ）A ．焦点B ．顶点C ．渐近线D ．离心率14．为了研究y 关于x 的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：若已求得一元线性回归方程为0.34y ax =+，则下列选项中正确的是（ ）．A ．0.21a =B ．当8x =时，y 的预测值为2.2C ．样本数据y 的第40百分位数为1D ．去掉样本点(3,1)后，x 与y 的样本相关系数r 不会改变15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121a a a −<<，则（ ）．A ．{}n a 为递减数列B ．{}n a 为递增数列C ．{}n S 有最小项D ．{}n S 有最大项16．对于二元一次方程组661ax y x by +=⎧⎨+=⎩，其系数a ，b 的值分别由掷一颗均匀骰子和一枚均匀硬币决定．令a 的值为骰子出现的点数；若硬币出现正面时b 的值为1，若硬币出现反面时b 的值为2．对于以下两个命题判断正确的是（ ）． ①此方程无解或有无穷多解的概率为16； ②在硬币出现反面且此方程有解的条件下，x 的值为正的概率为25． A ．①真②真 B ．①真②假 C ．①假②真 D ．①假②假3三、解答题（17、18、19题每题14分，20、21题每题18分，共78分） 17．对于函数()y f x =，其中2()2sin cos f x x x x =+−x R ∈． （1）求函数()y f x =的单调增区间；（2）在锐角△ABC 中，若()1f A =，2AB AC ⋅=，求△ABC 的面积．18．如图，已知ABCD 为等腰梯形，∥AD BC ，120BAD ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2AB AD AP ===． （1）求证：PC AB ⊥；（2）求二面角C BPA −−的大小．19．垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾，某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表：（1）根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平0.05α=）？附：22()()()()()n ad bca b c d a c b d−χ=++++，其中n a b c d=+++，()2 3.8410.05P x≥≈．（2）为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢3局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为23，主持人B提问甲赢的概率为12，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问．（i）求比赛只进行3局就结束的概率；（ii）设X为结束比赛时甲赢的局数，求X的分布和数学期望[]E X．4520．已知直线:l y kx m =+和椭圆22:142x y Γ+=相交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ．（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程； （2）点C 在Γ上，若0m =，求△ABC 面积的最大值； （3）如果原点O 到直线l△AOB 为直角三角形．621．已知R 的子集S 和定义域同为D 的函数()y f x =，()y g x =．若对任意1x ，2x D ∈，当12x x S −∈时，总有12()()f x g x S −∈，则称()y f x =是()y g x =的一个“S 关联函数”． （1）求2y x =的所有{}1关联函数； （2）若2ln my x x x=−+是其自身的一个[)0,+∞关联函数，求实数m 的取值范围； （3）对定义在R 上的函数()y p x =，证明：“()(0)p x x p =+对任意x R ∈成立”的充分必要条件是“存在函数()y q x =，使得对任意正整数n ，()y q x =都是()y p x =的一个11,1n n ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦关联函数”．7参考答案一、填空题 1.{}1,3,5;2.;3.()1,3−;4.1;5.20;6.(][),22,−∞−⋃+∞;7.8.12; 9.12; 10.134.04；11. ()+∞ 12.3 12．已知向量b ，c 满足1b c −=，向量(1,,1)i a i n n N n ≤≤∈≥满足1i a b −=或1i a c −=且1i j a a −≥对任意1i j n ≤<≤成立．则n 的最大值为________． 【答案】3【解析】设,,i i b OB c OC a OA ===,则1,1,i i i b c CB a b OA OB BA −==−=−==1i i i a c OA OC CA −=−==, 所以1,,A B C 三点共线,且1A 在,B C 之间,因为1i j a a −…,所以1i j A A …, 即12,,A A A ,中任意两点之间的距离不小于1,因为1b c CB −==,所以,B C 两点之间的距离小于1,所以12,,,A A A ,中至少有一个点在B,C 之间,所以n 的最大值为3. 二、选择题13. D 14.D 15.C 16.B15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121a a a −<<，则（ ）．A ．{}n a 为递减数列B ．{}n a 为递增数列C ．{}n S 有最小项D ．{}n S 有最大项 【答案】C【解析】由121a a a −<<可得10a >，所以211a q a =<, 因为12a a −<得211a q a =>−,所以11q −<<,8因为()111n n a q S q−=−,当01q <<时,{}n S 递增,当10q −<<时,{}n S 摆动,,A B 错误；当01q <<时,n S 最小项1S ,没有最大项,当10q −<<时,1230,0,0a a a ><>,40a <且340,n a a S +>最小项2S ,有最大项1S ,C 正确，D 错误.故选:C . 三．解答题17.（1）5,,1212k k k Z ππ⎡⎤π−π+∈⎢⎥⎣⎦ （218.（1）证明略（2）19.（1）无关 （2）（i ）518 （ii ）()263108E X =20．已知直线:l y kx m =+和椭圆22:142x yΓ+=相交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ． （1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程； （2）点C 在Γ上，若0m =，求△ABC 面积的最大值； （3）如果原点O 到直线l△AOB 为直角三角形． 【答案】（1）y x =+ （2） （3）见解析【解析】(1)椭圆22:142x y Γ+=的2,a b c ===Γ的左焦点()和上顶点(0,则直线l1=,即为y x =+(2)由0m =可得直线l 的方程为y kx =,联立椭圆方程2224x y +=,可得22412x k =+,222412k y k =+,则AB ==9C 到AB的距离为d =,则ABC ∆面积为12==显然0k <时,上式取得最大值,由()211122k k k−==+−+−…当且仅当2k =时,上式取得最大值1,则三角形ABC的面积的最大值为 (3)证明:联立2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩可得()222124240k x kmx m +++−= 由()()1122,A x ,y B x ,y 可得2121222424,1212km m x x x x k k −+=−=++ 由原点O 到直线l,=,即为22344m k =+, 则()1212121(OA OB x x y y x x kx m k ⋅=+=++)2x m +()()2212121kx x km x x m =++++()2222224411212m km k km m k k −⎛⎫=+⋅+⋅−+ ⎪++⎝⎭(2222222212244412k m m k k m m k =+−−−++)222k m +()2221344012m k k=−−=+ 可得OA OB ⊥，则AOB ∆为直角三角形.21．（1）222y x x =−+（2）,⎛−∞ ⎥⎝⎦ （3）略。
河南省部分学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题含答案
高三数学（答案在最后）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数，三角函数、三角恒等变换，解三角形、平面向量．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数tan y x =的值域可以表示为（）A.{tan }xy x =∣ B.{tan }yy x =∣C.{(,)tan }x y y x =∣D.{tan }y x =【答案】B 【解析】【分析】根据函数的值域是指函数值组成的集合，即可判断.【详解】因函数的值域是指函数值组成的集合，故对于函数tan y x =，其值域可表示为：{tan }yy x =∣.故选：B.2.若“sin 2θ=-”是“tan 1θ=”的充分条件，则θ是（）A .第四象限角B.第三象限角C.第二象限角D.第一象限角【答案】B 【解析】【分析】根据角θ的正切值与正弦值的正负判断象限即可.【详解】由题可知，sin 02θ=-<，则θ是第三象限角或第四象限角；又要得到tan 10θ=>，故θ是第三象限角.故选：B3.下列命题正确的是（）A.x ∃∈R ，20x <B.(0,4)x ∀∈，20log 2x <<C.(0,)x ∃∈+∞，132x x< D.π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，4sin cos x x =【答案】C 【解析】【分析】对于选项A:利用指数函数的值域即可判断；对于选项B:利用对数函数的单调性求出值域即可判断；对于选项C:采用特殊值法，令14x =即可判断;对于选项D:令4sin cos 2sin 2y x x x ==，结合三角函数的值域求解验证即可.【详解】对于选项A:因为指数函数2x y =的值域为0,+∞，故x ∀∈R ，20x >，故选项A 错误；对于选项B:因为对数函数2log y x =在(0,4)x ∈上单调递增，所以当(0,4)x ∈时，()2log ,2y x ∞=∈-，故选项B 错误；对于选项C:令14x =,则311464⎛⎫= ⎪⎝⎭，121142⎛⎫= ⎪⎝⎭，显然11642<，故(0,)x ∃∈+∞，使得132x x <成立，故选项C 正确;对于选项D:结合题意可得：令4sin cos 2sin 2y x x x ==，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,πx ∈，所以(]2sin 20,2y x =∈，2>，故不存在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得4sin cos x x =,故选项D 错误.故选：C.4.函数24()f x x x =-的大致图象是（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先确定函数的奇偶性，排除两选项，再根据特殊点的函数值的正负，选出正确答案.【详解】函数24y x x =-是偶函数，图象关于y 轴对称，排出选项A 、B ；再取特殊值12x =和2x =，可得函数的大致图象为C ，故选：C .5.已知向量1e ，2e 满足121e e == ，120e e ⋅= ，则向量1e 与12e e -的夹角为（）A.45︒B.60︒C.120︒D.135︒【答案】A 【解析】【分析】利用向量夹角的计算公式计算即可.【详解】由题可知()21121121e e e e e e ⋅-=-⋅=，12e e -==，121e e == 所以()1121121122cos ,2e e e e e e e e e ⋅--===-故向量1e 与12e e -的夹角为45︒故选:A 6.已知5πtan 210α+=，则4π5tan 5α-=（）A.125 B.125-C.43D.43-【答案】C 【解析】【分析】先确定两个角的关系，然后利用三角恒等变换公式求解即可.【详解】由题可知，5π4π52π105αα+-⨯+=25π2tan5π4410tan 25π101431tan 10ααα++⎛⎫⨯===- ⎪+-⎝⎭-所以有4π55π5π4tan tan π2tan 2510103ααα-++⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C7.已知0a >，0b >，9a b +=，则36a ba+的最小值为（）A.8B.9C.12D.16【答案】A 【解析】【分析】我们观察形式，显然分式的分子和分母同时有变量，所以令()364a b =+代入化简，然后利用基本不等式求解即可.【详解】43644448b a b a a a b b a a b a +=+=++≥+=+当且仅当4b aa b=，9a b +=，即26a b ==时等号成立；故选：A8.若0x ∀>，()()()21ln 10x ax ax ---≥，则a =（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先将两个乘积看做两个函数()21,ln 1y x ax y ax =--=-，易知要使0x ∀>时，()21(ln 1)0xax ax ---≥，则需要两函数()21,ln 1y x ax y ax =--=-同号，所以我们需要去找他们零点，0x >时零点相同，然后求解参数a 即可.【详解】由题易知0a >，当ex a=时，()ln 10ax -=；由对数函数的性质可知，当e 0,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()ln 10ax -<；当e ,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()ln 10ax ->；显然函数21y x ax =--有两个根12,x x ，不妨令12x x <，则120x x <<由二次函数的图像可知，()20,x x ∈时，210x ax --<；()2,x x ∞∈+时，210x ax -->故要使()()()21ln 10x ax ax ---≥恒成立，则2ex a=所以有2e e 10aa a ⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，解得a =故选：D【点睛】关键点点睛：当两个式子相乘大于等于零时，两个式子必定同为负或者同为正，或者有一个为零.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数sin()()2x f x -=，则（）A.()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.()f x 为奇函数C.()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()f x 的最小正周期为2π【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A:利用换元()sin t x =-，再结合指数函数的单调性即可求出值域；对于选项B:利用奇偶性的定义说明即可；对于选项C :结合复合函数的单调性即可判断；对于选项D :借助三角函数的周期，以及周期函数的定义即可判断.【详解】对于选项A:由sin()()2x f x -=，令()sin t x =-，则2t y =，[]1,1t ∈-，因为2t y =在[]1,1t ∈-上单调递增，所以12,22ty ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故选项A 正确；对于选项B:由sin()()2x f x -=可知(),x ∞∞∈-+，对任意的(),x ∞∞-∈-+，因为sin ()2x f x -=，而sin ()2x f x -=，易验证()(),f x f x -≠-故()f x 不是奇函数，故选项B 错误；对于选项C :结合选项A 可知()sin t x =-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，而2t y =在定义域上单调递增，由复合函数的单调性可得sin()()2x f x -=在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，故选项C 错误；对于选项D :因为()sin t x =-的最小正周期为2πT =，所以sin(2π)sin()(2π)22()x x f f x x ---==+=，所以()f x 的最小正周期为2π，故选项D 正确.故选：AD.10.国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费(0)x x >元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（）A.当0200x <<时，应进甲商场购物B.当200300x ≤<时，应进乙商场购物C.当400500x ≤<时，应进乙商场购物D.当500x >时，应进甲商场购物【答案】AC 【解析】【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可.【详解】当0200x <<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为x ，0.84x x >，故应进甲商场，所以选项A 正确；当200300x ≤<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为40x -，400.840.1640x x x --=-，因为200250x ≤<，所以80.16400x -≤-<，400.84x x -<，进入乙商场，当250300x ≤<故400.84x x ->应进甲商场，所以选项B 错误；当400500x ≤<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为80x -800.840.1680x x x --=-，因为400500x ≤<，所以160.16800x -≤-<故800.84x x -<，所以应进乙商场，所以选项C 正确；假设消费了600，则在甲商场的费用为6000.84504⨯=，在乙商场的费用为600120480-=，所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D 错误.故选：AC11.已知函数()f x 满足：①x ∀，R y ∈，()[()]y f xy f x =；②(2)1f ->，则（）A.(0)0f = B.()()()f x y f x f y +=⋅C.()f x 在R 上是减函数 D.[1,3]x ∀∈，()2(3)1f x kx f x -⋅-≥，则3k ≥【答案】BCD 【解析】【分析】取2,0x y =-=可求(0)f ，判断A ，取12,2x y =-=-证明()011f <<，取1x =可得()[(1)]y f y f =，由此可得()[(1)]x f x f =，结合指数运算性质和指数函数性质判断BC ，选项D 的条件可转化为当[1,3]x ∈，31x k x+-≤恒成立，结合函数性质求结论.【详解】因为x ∀，R y ∈，()[()]y f xy f x =，(2)1f ->取2,0x y =-=可得01(0)[(2)]f f =-=，A 错误；取12,2x y =-=-可得12(1)[(2)]f f -=-，又(2)1f ->，所以()011f <<，取1x =可得，()[(1)]y f y f =，所以()[(1)]x f x f =，其中()011f <<，所以()()()()()()111x yx yf x y f f f f x f y ++===，B 正确，由指数函数性质可得()[(1)]x f x f =，其中()011f <<在R 上单调递减，所以()f x 在R 上是减函数，C 正确；不等式()2(3)1f x kx f x -⋅-≥可化为()()()23111xkxx f f f --≥，所以230x kx x -+-≤，由已知对于[1,3]x ∀∈，230x kx x -+-≤恒成立，所以当[1,3]x ∈，31x k x+-≤恒成立，故max31x k x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，其中[1,3]x ∈，因为函数1y x =+，3y x=-在[]1,3上都单调递增，所以31x x+-在[1,3]上的最大值为3，所以3k ≥，D 正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()1ln(2)f x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为______．【答案】0x y +=【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，然后代入点斜式直线方程即可求解切线.【详解】由题可知，()12f x x =-+'，()11f -=，所以切线斜率()11k f =-=-'，故切线方程为()110y x x y -=-+⇒+=.故答案为：0x y +=13.已知函数()cos (0)f x x ωω=>，若π2f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，则ω的值是__________．【答案】2【解析】【分析】根据偶函数的性质，求得2k ω=，Z k ∈，再结合余弦函数的零点，列出不等式，即可求解.【详解】πππcos cos 222f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为偶函数，所以ππ2k ω⋅=，Z k ∈，得2k ω=，Z k ∈，当∈0,π时，()0,πx ωω∈，()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，所以3π5ππ22ω<≤，解得：3522w <£，所以2ω=.故答案为：214.若ABC V 内一点P 满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=，则称P 为ABC V 的布洛卡点，α为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在ABC V 中，AB AC =，3cos 5BAC ∠=，若P 为ABC V 的布洛卡点，且2PA =，则BC 的长为______．【解析】【分析】利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理等知识进行分析，先求得sin α，进而求得a ，也即是BC .【详解】213cos 2cos 125BAC BAC ⎛⎫∠=∠-= ⎪⎝⎭，所以BAC ∠为锐角，12BAC ∠为锐角，所以11cos ,sin 2525BAC BAC ⎛⎫⎛⎫∠=∠== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于AB AC =，所以A ABC CB =∠∠，设ABC ACB θ∠=∠=，则2πBAC θ∠+=，ππ11cos cos cos sin 22225BAC BAC BAC θ-∠⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=∠= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，θ为锐角，则sin 5θ==.由于,BAP CBP ABP BCP θα∠=∠∠=∠=-，所以ABP BCP ，所以AB AP BPBC BP PC==①，在PBC △中，由正弦定理得()()()sin sin sin sin πBP BC BC PCθαθααθα===----，所以()sin sin BP PC θαα-=，所以()sin sin AB BP BC PC θαα-==，即()sin sin c a θαα-=，由正弦定理得sin sin cos cos sin sin cos sin sin tan ACB BAC θαθαθθαα∠-==-∠，即2525554tan 55α=-，解得4tan 7α=，则α为锐角，由22sin 4tan cos 7sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩解得sin αα==，在三角形ABC 中，由余弦定理得222222342cos 2255a b c bc A b b b =+-=-⨯=，所以225,42b a b ==，在三角形ACP 中，由正弦定理得()()sin sin sin πAP AC ACBAC BAC ααα==∠--∠-，所以22445a=，解得a BC ==.【点睛】易错点睛：锐角与边长关系的判断：在判断三角形的角是否为锐角时，容易出现符号错误或判断失误.因此，在涉及角度大小的判断时，需特别注意各个角的定义和所使用定理的适用范围.正弦定理和余弦定理的符号处理：在使用正弦定理和余弦定理时，符号的处理必须谨慎，特别是在涉及平方根和正负符号的时候，需确保没有遗漏或误用.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．（1）求A ；（2）若O 为ABC V 的外心，D 为边BC 的中点，且1OD =，求ABC V 周长的最大值．【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换进行化简即可求解；（2）利用向量表示出1122OD OB OC =+uuu r uu u r uuu r，由余弦定理结合基本不等式、三角形周长公式即可求解.【小问1详解】由已知π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭及正弦定理得：312sin sin cos sin sin 22A C C B C ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由()()sin sin πsin sin cos cos sin B A C A C A C A C ⎡⎤=-+=+=+⎣⎦得：sin sin cos sin cos cos sin sin A C A C A C A C C +=++，sin cos sin sin A C A C C =+，又sin 0C ≠，cos 1A A =+，即π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ,66A -=解得π3A =.【小问2详解】因为O 为ABC V 的外心,且由上问知π3A =，所以2π23BOC A ∠=∠=,设OB OC R ==（R 为ABC V 的外接圆半径），因为D 为边BC 的中点，且1OD =，所以在OBC △中易得：1122OD OB OC =+uuu r uu u r uuu r，所以2221112πcos 4423OD OB OC OB OC =++ ，即22211121cos 4423πR R R =++，解得：2R =，在OBC △中由余弦定理可得：2222π2cos123BC OB OC OB OC =+-=，解得BC a ==在ABC V 中由余弦定理可得：()2222π2cos3123a b c bc b c bc =+-=+-=，由基本不等式22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可得：()223122b c b c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当b c =时等号成立，所以()21124b c +≤，即b c +≤.所以ABC V 周长ABC C a b c =++≤+=V当且仅当b c ==时等号成立.故ABC V 周长的最大值为16.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan tan tan tan 1B C B C ++=，1b =，c =．（1）求a ；（2）如图，D 是ABC V 外一点（D 与A 在直线BC 的两侧），且AC CD ⊥，45CBD ∠= ，求四边形ABDC 的面积．【答案】（15（2）136【解析】【分析】（1）首先根据两角和的正切公式求()tan B C +，即求角A ，再根据余弦定理求解；（2）根据诱导公式求解sin BCD ∠，以及两角和的三角函数求sin D ，再根据正弦定理求BD ，最后根据面积公式，即可求解.【小问1详解】由条件可知，tan tan 1tan tan +=-B C B C ，所以()tan tan tan 11tan tan B CB C B C++==-，所以45B C += ，即135A = ，所以2cos 2A =-，则22222cos 1221252a b c bc A ⎛=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭,所以5a =；【小问2详解】15225cos 5215ACB ∠==⨯⨯，()25sin sin 90cos 5BCD ACB ACB ∠=-∠=∠=，5cos 5BCD ∠=，()()sin sin 45sin cos 225510D BCD BCD BCD ⎛=∠+=∠+∠=⨯+= ⎝⎭ ,BCD △中，sin sin BC BD D BCD =∠，即sin sin 3BC BCD BD D ⋅∠==，所以15sin 4523BCD S BC BD =⨯⨯= ，11sin13522ABC S AC AB =⋅⋅= ，所以四边形ABDC 的面积为5113326+=.17.已知平面向量(,)m a b = ，(sin ,cos )n x x ωω=，且2m n = ，其中0a >，0ω>．设点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象（()f x 的部分图象如图所示）上．（1）求a ，b ，ω的值；（2）若()G x y ,是()y f x =图象上的一点，则1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，求()g x 在[0,π]上的单调递减区间．【答案】（1）a =1b =，2ω=；（2）π[,π]3【解析】【分析】（1）由2m n =得2=，利用向量数量积计算公式和辅助角公式化简得()2sin()f x x ωϕ=+，根据题设条件列出三角方程组，结合图象即可求出a ，b ，ω的值；（2）由题意中点的变换求得π()sin(6g x x =+，利用正弦函数的图象特点即可求得()g x 在[0,π]上的单调递减区间.【小问1详解】因(,)m a b = ，(sin ,cos )n x x ωω=，由2m n =2=，由()(,)(sin ,cos )f x m n a b x x ωω=⋅=⋅sin cos )2sin()a x b x x x ωωωϕωϕ=+=+=+，其中tan b aϕ=，因点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象上，则有，2sin 111πsin()012ϕωϕ=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②，结合图象，由①可得πZ π2,6k k ϕ=+∈，将其代入②式，可得11πππ,Z 126n n ω+=∈，即212,Z 1111n n ω=-+∈，（*）由图知，该函数的周期T 满足311π412T T <<，即3π11π2π212ωω<<又0ω>，则有18241111ω<<，由（*）可得2ω=，故π()2sin(2)6f x x =+.由320b a a ⎧=⎪=⎪>⎩解得，1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故a =1b =，2ω=；【小问2详解】不妨记12,2x x y y ''==，则,22x x y y ''==，因()G x y ,是()y f x =图象上的一点，即得π22sin()6y x ''=+，即πsin(6y x ''=+，又因1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，故有π()sin()6g x x =+.由ππ3π2π2π,Z 262k x k k +≤+≤+∈，可得π4π2π2π,Z 33k x k k +≤≤+∈，因[0,π]x ∈，故得ππ3x ≤≤.()g x 在[0,π]上的单调递减区间为π[,π]3.18.已知函数()2()e xf x x mx n =++，m ，n ∈R ．（1）当24m n =时，求()f x 的最小值；（2）当2m =-时，讨论()f x 的单调性；（3）当0m n ==时，证明：0x ∀>，()ln 1f x x >+．【答案】（1）0（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，即得函数的极小值即最小值；（2）利用求导，就导函数中的参数进行分类，分别讨论导函数的符号，即得函数的单调性；（3）将待证不等式2e ln 1xx x >+等价转化为3e ln 1x x x x +>，设3e ln 1(),()x x g x h x x x+==，依题意，只需证在0x >时，min max ()()g x h x >成立，分别求m m ax in (),()h x g x 即可得证.【小问1详解】当24m n =时，22()()e 4x m f x x mx =++，22()[(2)2()e ()2)e 42x x m f x x m x m m m x x '=+++=++++，由()0f x '>，可得22m x <--或2mx >-，由()0f x '<，可得222m m x --<<-，即()f x 在(,2)2m -∞--和(,)2m -+∞上单调递增；在(2,)22m m---上单调递减，x →-∞时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，故2mx =-时，()f x 取得极小值也即最小值，为()02m f -=.【小问2详解】当2m =-时，()2()2e xf x x x n =-+，函数的定义域为R ，()2(e 2)xx f x n =+-'，当2n ≥时，()0f x '≥恒成立，故()f x 在R 上为增函数；当2n <时，由()0f x '=，可得x =，故当x <x >时，()0f x '>；即()f x 在(,∞-和)∞+上单调递增；当x <<()0f x '<，即()f x 在(上单调递减.综上，当2n ≥时，()f x 在R 上为增函数；当2n <时，()f x在(,∞-和)∞+上单调递增,在(上单调递减.【小问3详解】当0m n ==时，2()e x f x x =,要证0x ∀>，()ln 1f x x >+，只需证2e ln 1x x x >+，即证3e ln 1x x x x+>在(0,)+∞上恒成立.设3e ln 1(),()x x g x h x x x+==，依题意，只需证在0x >时，min max ()()g x h x >.因e ()=x g x x ，2(1)e ()xx g x x-'=，由()0g x '<，可得01x <<，由()0g x '>，可得1x >，故()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增,则()g x 在1x =时取得极小值也是最小值，为(1)e g =；因3ln 1()x h x x+=，423ln ()x h x x --'=，由()0h x '=，可得23x e -=，由()0h x '<，可得23x e->，由()0h x '>，可得230x e -<<，故()h x 在23(0,e)-上单调递增，在23(e ,)-+∞上单调递减，则()h x 在23x e -=时取得极大值也是最大值，为22332323ln e ()3e1e (e )h ---==+.因2e e 3>，即min max ()()g x h x >在(0,)+∞上成立，故得证.即0x ∀>，()ln 1f x x >+．【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式恒成立等知识点，属于较难题.证明不等式型如()()f x g x >的恒成立问题，一般方法有：（1）构造函数法：即直接构造()()()F x f x g x =-，证明min ()0F x >；（2）比较最值法：即证明min max ()()f x g x >即可；（3）等价转化法：即将待证不等式左右两边同除以一个式子，使得左右函数的最值可比较.19.已知非零向量(,)a m n =，(,)b p q = ，a ，b 均用有向线段表示，现定义一个新的向量c 以及向量间的一种运算“※”：(,)c a b mp nq mq np ==-+※．（1）证明：c 是这样一个向量：其模是a 的模的 b 倍，方向为将a绕起点逆时针方向旋转β角（β为x 轴正方向沿逆时针方向旋转到b所成的角，且02πβ≤<），并举一个具体的例子说明之；（2）如图1，分别以ABC V 的边AB ，AC 为一边向ABC V 外作ABD △和ACE △，使π2BAD CAE ∠=∠=，(01)AD AEAB ACλλ==<<．设线段DE 的中点为G ，证明：AG BC ⊥；（3）如图2，设(3,0)A -，圆22:4O x y +=，B 是圆O 上一动点，以AB 为边作等边ABC V （A ，B ，C 三点按逆时针排列），求||OC 的最大值．【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.（3）5.【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程设定,a b 的坐标，再依据题意证明即可；（2）依据新定义把,AG BC的坐标表示出来再运算证明即可；（3）掌握平面向量的模的运算和三角函数的最值求法即可解答.【小问1详解】证明：设(,)(cos ,sin ),(,)(cos ,sin )a m n r r b p q R R ααββ====（0,0,,r R αβ>>分别为x 轴正方向逆时针到,a b所成的角，且,[0,2)αβπ∈），则cos cos sin sin cos()mp nq Rr Rr Rr αβαβαβ-=-=+，cos sin sin cos sin()mq np Rr Rr Rr αβαβαβ+=+=+，于是cos()sin((,))Rr a b Rr c αβαβ=++=※，即c Rr a b ==⨯，x 轴正方向逆时针到c 所成的角为αβ+.故：c 是这样一个向量：把a的模变为原来的 b 倍，并按逆时针方向旋转β角（β为x 轴正方向逆时针到b所成的角，且02πβ≤<）.例如，1(,),22a b == ，则111,1222((0,2)2c a b ⨯+=== ※，1,2a b == ，a 与x 轴正方向的夹角为π3，b 与x 轴正方向的夹角为6π，将a的模变为原来的2倍，并按逆时针旋转π6，即可得c .【小问2详解】证明：记(,),(,)AB m n AC p q ==，根据新定义，可得()3π3πcos ,sin ,22AD AB n m λλλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ※，同理(cos ,sin )(,)22q p A AE C ππλλλ==- ※，所以1()()()()222n q p m AG A AD E λλ--=+= ，而(,)BC AC AB p m q n =-=--，所以1[()()()()]02AG BC p m n q q n p m λλ⋅=--+--= ，故：AG BC ⊥.【小问3详解】解：设(,)B u v ，则224,(3,)u v AB u v +==+，())3ππ13cos ,sin 3,,,33222222u u v AC AB u v λ⎛⎫⎛++⎛⎫==+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭※※，所以333(3)33333(3,0)(,)(,)222222u u v u v OC OA AC ++--++=+=-+-+=，所以OC ===.设2cos ,2sin (02)u v θθθπ==≤<，则OC == ，当πsin 16θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即π3θ=时，max 5OC = .【点睛】此题考查了圆的参数方程；平面向量数量积的性质，以及三角函数最值.。
2024-2025学年河南省商丘市睢县回族高级中学高三(上)第二次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年河南省商丘市睢县回族高级中学高三（上）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|x 2−2x−3≤0}，集合B ={x|x 2+2x−3≤0}，则集合A ∩B 在集合A 中的补集是( )A. {x|1<x <3}B. {x|1≤x ≤3}C. {x|1<x ≤3}D. {x|−3≤x <−1}2.已知(1+i)−z =2+i(i 为虚数单位)，那么复数z 的虚部是( )A. 12B. i 2C. −12D. −i 23.已知向量a =(3,4)，向量a 与向量b 的夹角为π3，则|a−b |的最小值为( )A. 3B. 4C. 52D. 5 324.已知a >0，b >0，且2a +b +1b =1，则a +2b 的最小值为( )A. 2B. 3+2 2C. 5 2D. 65.若定义在R 的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x 的取值范围是( )A. [−1,1]∪[3,+∞)B. [−3,−1]∪[0,1]C. [−1,0]∪[1,+∞)D. [−1,0]∪[1,3]6.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3+a 9=14，a 6a 7=63，则S 7=( )A. 21B. 19C. 12D. 427.已知当x >0时，e xlnx −xlnx ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,1]B. (1,e 2]C. (−∞,2]D. [e,+∞)8.函数f(x)=(2cosx−1)sinx +cosx 的值域为( )A. [ 2−1,54]B. [−1− 2,54]C. [−1− 2,−1+ 2]D. [−1,1]二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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A． B． C．A∪B=φD．
2．设等比数列 的前n项和为 ，若 ，则此数列的公比q为（）
A．2 B．4 C．3 D．5
3．正方体 中，E为 的中点，过点E作一条直线与 和AB都相交，这样的直线（）
A．不存在B．仅有一条C．有两条D．有三条
4．已知 ，则它们的图象经过平移，可使（）
A． 重合
B． 重合，但不能与 重合
C． 重合，但不能与 重合
D． 重合，但不能与 重合
5．方程 所对应的曲线图形是（）
6．设A、B两点的坐标分别为（-1，0），（1，0）。条件甲：A、B、C三点构成以∠C为钝角的三角形；条件乙：点C的坐标是方程 （y≠0）的解，则甲是乙的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
已知函数f(x)满足f(a+b)=f(a)·f(b)且 。
（1）当n∈N时，求f(n)的表达式；
（2）设 ，n∈N，求证： ；
（3）设 ，n∈N， ，求 。
参考答案：
1．D 2．C 3．B 4．A 5．DA
提示：
3．由E与 所确定的平面与由E与AB所确定的平面有且只有一条过E的公共直线，该线与AB和 都相交。
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
7．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案是（）
A．16种B．18种C．37种D．48种
8．若函数y=f(x)存在反函数，则方程 的解的个数是（）
A．0或2 B．0或1或2 C．1或2 D．2
已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A（ ，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称，设直线l过点A，斜率为k。
（1）求双曲线S的方程；
（2）当0≤k<1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为 ，求斜率k的值及相应的点B坐标。
22．（本小题满分14分）
16．如果一个四面体的三个面是直角三角形，下列三角形：①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形。那么可能成为这个四面体的第四个面的是____________（填上你认为 的序号）。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
14．把直线 绕点（1，1）顺时针旋转，使它与圆 相切，则直线转动的最小正角是____________。
15．某企业去年销售收入1000万元，年成本分为年生产成本500万元与年广告费成本200万元两部分。若利润的p%为国税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也必须按p%征国税，其他不纳税，已知该企业去年共纳税120万元，则税率p%为____________。
A． B． C． D．不能确定
12．抛物线 的顶点在椭圆 上，这样的抛物线有且只有二条，则m的取值范围是（）
A．（0，1）B．（-∞，1）C．（1，+∞）D．（-∞，+∞）
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13．若a>b>0，且 ，则m的取值范围是____________。
高中高三月考数学试卷
（120分钟150分）
参考公式：
三角函数的和差化积公式
，
，
，
，
正棱台、圆台的侧面积公式
其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长
台体的体积公式
其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）试问从2000年起，到哪一年西部地区基本解决退耕还林问题？
（2）为支持退耕还林工程，国家财政补助农民每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元折算，并且每亩退耕地每年补助20元，试问：到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付约多少亿元？
（精确到亿元，参考数据： ， ， ）
21．（本小题满分12分）
5．可用排除法：当x=0时，y=-1，排除A，B；当y=0时，x=1，排除C。
6．数形结合：（-1，0），（1，0）是椭圆两端点，以AB为直径作圆，由图可知∠AC′B=90°，而∠ACB>90°，故选B。
9．|PM|=|PD|而|PA|=|PM|+|AM|或|PA|=|PM|-|AM|，得||PA|-|PM||-|AM|，∴||PA|-|PB||=2a，∴P点的轨迹是双曲线。
19．（本小题满分12分）
已知函数 定义在区间[0，1]上， 且 ，f(0)=f(1)。
（1）求a的值；
（2）证明： 。
20．（本小题满分12分）
水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题，全国9100万亩的25度以上的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占70%，2000年国家确定在西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%。
9．圆A： ，点B（c，0），其中c>a>0，M是圆A上的动点，MB的中垂线交MA所在的直线于P，则点P的轨迹（）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线
10．若 ，sinθ=a（ ），则 等于（）
A． B． C． D．
11．如图，一个无盖的长方体容器 ，AB=2，BC=3，现将容器盛满水，然后固定 ，将容器倾斜，让水流出，当容器中的水是原来的 时，平面 与水平面所成的角为 ，同样可固定 ，也将容器倾斜，让水流出，当容器中的水是原来的 时，平面 与水平面所成的角为 ，则（）
已知复数 。
（1）求 的辐角主值；
（2）若△ABC的三内角A、B、C均不大于 ，且 ， ，试判断三角形ABC的形状。
18．（本小题满分12分）
如图，斜三棱柱 ，已知侧面 与底面ABC垂直且∠BCA=90°， ， ，若二面角 为30°。
（1）证明 ；
（2）求 与平面 所成角的正切值；
（3）在平面 内找一点P，使三棱锥 为正三棱锥，并求P到平面 的距离。
10． ，
11．固定 时，倒出水的体积 ，固定 时，倒出水的体积 ， ， ，得 。
12． 。故抛物线的顶点坐标为（sinα， ）代入椭圆方程得 ，即 ，所以 ，因为这样的抛物线仅有两条， 必须无解，得m<1，又m>0，∴0<m<1。