数学概念与数学思维的教学(正常版)

与三角形的类比
• 在三角形的研究中，我们是如何获得 “等腰三角形两腰相等”这一结论的？
可能的启示（1）
• 正如三角形的分类，我们在此或许也 应更加重视四边形的分类，也即应当 通过各种四边形的比较将学生的注意 力逐步引向较为特殊的四边形，包括 如何对这些特殊四边形（这不仅指长 方形与正方形，也包括菱形、平行四 边形等）作出明确的定义。
（1）在现实世界中我们能否找到真 正的圆？ （2）圆有多少条半径？
具体的教学建议
• 我们是否也可通过“什么是圆？”的 具体讨论帮助学生很好地掌握“圆的 定义”，并由此而引出“圆的半径都 相等”这样一个性质？
2. 正确理解数学概念的作用
• 相关现象：教学中人们往往只是强调 了概念在日常生活中的应用，却忽视 了数学概念还有这样一个十分重要的 作用，即是为我们深入地开展认识活 动提供了必要的理论工具。
一、概念教学应当注意的几个问题
• 概念对于数学的特殊重要性： 1.“数学知识”的具体内涵： （1）事实性结论（公理—定理）； （2）概念（原始概念—派生概念）。 2.“数学活动”的基本形式： （1）数学概念的生成、分析与组织； （2）问题的提出与解决。
1. 应当清楚地指明概念的具体涵义 • 相关现象：教学中人们往往只是注 意了如何引导学生通过自主探究去 发现相关对象的性质，却忽视了还 应帮助学生很好地认识与把握相关 概念的准确涵义。
相关的论述（爱因斯坦）
• “人们总想以最适当的方式来画出一幅简 化的和易领悟的世界图像；于是他就试图 用他的这种世界体系来代替经验的世界， 并来征服它。这就是画家、诗人、思辨哲 学家和自然科学家所做的，他们都按照自 己的方式去做。……理论物理学家的世界 图像在所有这些可能的图像中占有什么地 位呢？它在描述各种关系时要求尽可能达 到最高标准的严格精确性，这样的标准只 有用数学语言才能做到。”
可能的启示（2）
• 正如由等腰三角形的定义我们即可直 接引出“两腰相等”这样一个结论 （与此不同，“等腰三角形两个底角 相等”是证明的结果，即有一个发现 和检验的过程）；我们也可由长方形 和正方形的定义直接引出它们的某些 特征性质。 • 总之，在此需要的主要是动脑、而不 是外部的操作或动手实践。
[例2] 正方形的认识
相关的事实
• 现实中的确存在这样的情况，在此有 必要用一个特定的数更为简洁地去表 明两个量之间的比，如路程与时间的 比，成本与利润的比，等等，但是， 这恰恰更为清楚地表明：正是不同的 研究视角（或需要）促使人们分别引 入了“比”、“除法”与“分数”这 样三个概念，包括其它一些附属性的 概念，如“比值”等。
比
除法 分数
前项
后项
比号
比值
关键：不同的研究视角
• 如果说这正是“除法”与“分数”的 主要区别：分数的引入体现了由“过 程”向“结果”的转变：在尚未完成 计算（除法）的情况下我们也可用一 个确定的数（分数）表示相关的结果； 那么，这就是引入“比”的主要原因： 人们在此所关注的主要是两个量之间 的关系，而不十分在意如何能将此归 结为一个确定的数。
• 就正方形特征性质的认识而言，教师 所采取的也是基本相同的方法，即是 集中于相关性质的发现和检验，包括 通过实际动手（选4根小棒围成一个长 方形或正方形等）帮助学生更好地认 识长方形与正方形的特征性质。
问题与思考
• 长方形与正方形的特征性质真的是量 出来的吗？ • 在学生尚未清楚地知道究竟什么是 “长方形”（和“正方形”）的情况 下，就要求学生通过实际动手去发现 两者的特征性质是否有点“本未倒 置”？
两个十分重要的认识
（1）数学：科学的语言； （2）概念：“认识之网”上的结点。
[例4] “认识比”的教学
• 问题与思考：在事先已经学习了“除 法”与“分数”的情况下，我们为什 么还要专门引入“比”这样一个概念？ • 相关现象：教材中并普遍地使用了如 下的表格（或其它类似表格）以帮助 学生弄清“比”、“除法”与“分数” 这三个概念之间的联系和区别。但这 究竟产生了怎样的效果？
• • • • • 教师：“什么是正方形？” 学生：“方方正正就是正方形。” 教师：“什么是方方正正？” 学生：“就是四边相等。” 教师在黑板上画出菱形，问：“这个图形 是否是正方形？” • 学生：“不是，因为它不正。”
• 教师又在黑板上画一个矩形，问： “这是否正方形？” • 学生：“不是！因为这个图形不方。” • ………教师将学生回答得正确的结论 写在黑板上，回答不正确的不写，最 后加以补充总结，抽象出正方形的定 义。
[例 1] “长方形与正方形特性”的 教学
• [教学实录1]：学生预习：（1）做一个 长方形。（2）比一比。发现长方形的 特征性质是什么？（3）如何对此进行 验证？（4）你还有哪些发现？ • [教学实录2]：教师在课堂上首先通过 全班讨论指明了这样一点：我们主要 应从角和边这样两个角度去从事平面 图形性质的研究。
一点提醒
• “比”的教学并可被看成小学数学教 学渗透“函数观念”的很好契机。因 为，这正是“函数观念”的核心，即 是我们应当注意分析（变）量之间的 关系，而且，所谓的“正比例函数” 又正是最为简单的函数之一。
[例5] “三角形任意两边的和大于 第三边”的教学
• 问题情境：小明上学时究竟是走中间 的直路较近，还是分别绕道位于直路 两侧的邮局和商店较近？
[教Leabharlann Baidu实录3]
• 然后，在教师的指引下，全班同学又 很快将精力集中到了“如何对相关猜 想进行验证”之上，学生们表现出了 很大的创造力，即是设想出了多种不 同的检验方法，如折一折，用直尺和 量角器量一量，等等，直至最终建立 起了这样的共识：“对边相等”和 “四个角都是直角”是长方形的特征 性质。
[教学实录4]
[例3] “圆的认识”的教学
• 先前的评论：“圆的半径和直径的性 质事实上也不能被看成‘动手画一画、 折一折或量一量’的直接结果，而是 主要依赖于‘活动的内化’，也即如 何能够‘让学生借助经验展开数学的 想象’，从而清楚地认识到‘这一动 作可以予以一般化的特征’，如‘圆 的半径都相等’等等。”
两个相关的事实