概率论与数理统计浙大版概述
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§3.2 二维 r.v.的条件分布
,2,1,,),(====j i p y Y x X P ij j i 设二维离散型 r.v. ( X ,Y )的分布
若
)(1>===∑∞
=∙j ij i i p x X P p 则称 ∙
=
===i ij
i j i p p x X P y Y x X P )(),(为在 X = x i 的条件下, Y 的条件分布律
,2,1=j )
(i j x X y Y P ===记作
二维离散 r.v.的条件分布律
若
,
0)(1
>===∑∞
=∙i ij j j p y Y P p 则称 j
ij j j i p p y Y P y Y x X P ∙====)(),(为在 Y = y j 的条件下X 的条件分布律
,2,1=i )
(j i y Y x X P ===记作
类似乘法公式
)
()(),(i j i j i x X y Y P x X P y Y x X P ======)
()(j i j y Y x X P y Y P ====或
,2,1,=j i
类似于全概率公式
)
,()(1
1∑∑∞
=∞======j j i j ij i y Y x X P p x X P )
()(1
j j j i y Y P y Y x X P ====∑∞
=
,2,1=i )
,()(1
1∑∑∞
=∞======i j i i ij j y Y x X P p y Y P )
()(1i i i j x X P x X y Y P ====∑∞
=
,2,1=j
例1把三个球等可能地放入编号为 1, 2, 3 的三个盒子中, 每盒可容球数无限. 记X 为落入 1 号盒的球数, Y 为落入 2 号盒的球数，求
(1) 在Y = 0 的条件下，X 的分布律；
(2) 在X = 2 的条件下，Y 的分布律.
解 先求联合分布，
)
()(),(i X j Y P i X P j Y i X P ======j
i j j
i i i i C C ----⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=333321213231;
3,2,1,0;3,,0=-=i i j 其联合分布与边缘分布如下表所示
X
Y
p ij 0 1 2 3 0 1 2
3 27
127
1271271919127
10 0
919
10
9
191920
p i•
27
82789
2929
4941
p • j
X )
0(==Y i X P 0 1 2 3
8/18/38
/18/3将表中第一行数据代入得条件分布
)
0()
0,()0(====
==Y P Y i X P Y i X P 27
/8)0,(===
Y i X P 3
,2,1,0=i (1)
Y
)
2(==X j Y P 0 1
2
/12
/1(2) 当 X = 2 时，Y 只可能取 0 与 1. 将表中第三列数据代入下式
)2(==X j Y P ,9
/2)
,2(j Y X P ===1
,0=j 得Y 的条件分布
解 例2 已知一射手每次击中目标概率为 p ( 0 < p < 1 ), 射击进行到击中两次为 止. 令 X 表示首次击中目标所需射击次
数, Y 表示总共射击次数. 求
的联 合分布律、条件分布律 和 边缘分布律. ),(Y X ,)(~p G X 由题设知 故 X 与Y 的边缘分布律分别为
,
)1(1
--m p p ==)(m X P ,2,1=m ),2(~p P Y )(n Y P =
,3,2=n ,)1()1(2
2---=n p p n
22)
1(--=n p p )
()(m X n Y P m X P ==== ,3,2;1,,2,1=-=n n m )
,2,1;,2,1( ++==m m n m 的联合分布律为
),(Y X 1
1)1()1(----⋅-=m n m p p p p )
,(n Y m X P ==
律为
)
(),()(n Y P n Y m X P n Y m X P ====
==1
,,2,1-=n m 1
1)1()1()1(222
2
-=---=--n p p n p p n n 当 时, X 的条件分布
),3,2( =n n Y =
)
(),(m X P n Y m X P ====
11
22)1()
1()1(-----=--=m n m n p p p p p p
,2,1++=m m n )(m X n Y P ==律为
当 时, Y 的条件分布 ),2,1( =m m X =