函数项级数收敛性定义
数学分析2课件：13-1函数项级数及其一致收敛性
x(1,1) 1 x n 1
n1
而右端极限为，
故原级数在(-1,1)不一致收敛。
但限制x [a,a],a 1,则
sup
x(a,a )
|
sn( x)
s( x) |
sup
x(a,a )
| 1 xn 1 x
1 1
x
|
sup | xn | an , x(a,a) 1 x 1 a
[( xn ) 0,单调增] 1 x
故 un( x)在数集D上一致收敛。
n1
证毕。
注1 在这个定理的条件下，可得| un( x) | 也一致收敛。
n1
注2 不是每个收敛级数都有优级数。
例8
sin n
nx
p
,
cos n
nx
p
,(
p
1)在(,)一致收
敛。
优级数均为
1 np
.
(1)n sin nx的优级数为 np
1， np
一致收敛。
xn在[a,a](a 1)的优级数为 an，一致收敛。
an为绝对收敛级数，则 an sin nx, an cos nx
n1
n1
n1
在(,)一致收敛，且| an | 就是其优级数。
n1
全体收敛点的集合称为收敛域。
un( x) s( x)
n1
——和函数。
例5
xn 1 x x2 x3
n0
lim
n
sn( x)
lim
n
1 xn 1 x
1 , 1 x 发散，
| x | 1 | x | 1
xn在（ 1，1）内收敛于s( x)
1
.
n0
(整理)函数项级数的一致收敛性.
第三节 函数项级数的一致收敛性本节将讨论函数项级数有关性质。
定义 1 设 )(1x u ，)(2x u ，……，)(x u n ，……，是集合E 上的函数列，我们称形为)(1x u +)(2x u +……+)(x u n +……为E 上的函数项级数，简记为∑∞=1)(n nx u。
其中)(x u n 称为第n 项.)(x u k +)(1x u k ++……+)(x u n +……也记为∑∞=kn n x u )(. 记号中n 可以用其它字母代之.同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。
定义 2 设∑∞=1)(n nx u是集合E 上的函数项级数，记∑==ni i n x u x S 1)()(=)(1x u +)(2x u +……+)(x u n ，它称为级数∑∞=1)(n nx u的部分和函数（严格地说是前n 项部分和函数）. {})(x S n 称为∑∞=1)(n nx u的部分和函数列。
如果{})(x S n 在0x 点收敛，我们也说∑∞=1)(n nx u在0x 点收敛或称0x 为该级数的收敛点。
如果|)(|1∑∞=n nx u在0x 点收敛，我们称∑∞=1)(n n x u 在0x 点绝对收敛。
非常容易证明绝对收敛一定收敛。
{})(x S n 的收敛域也称为该级数的收敛域。
如果{})(x S n 在0x 点不收敛，我们说∑∞=1)(n nx u在0x 点发散。
如果{})(x S n 在D 上点态收敛于)(x S ，我们称∑∞=1)(n nx u在D 上点态收敛于)(x S . )(x S 称为该级数的的和函数。
)()()(x S x S x R n n -=称为该级数关于前n 项部分和的余项.{})(x R n 称为该级数的余项函数列.如果{})(x S n 在D 上一致收敛于)(x S ，我们称∑∞=1)(n nx u在D 上一致收敛于)(x S ，或∑∞=1)(n nx u在D 上一致收敛. 如果{})(x S n 在D 上内闭一致收敛于)(x S ，我们称∑∞=1)(n n x u 在D 上内闭一致收敛.用N -ε的进行叙述将是： 设∑∞=1)(n nx u是D 上函数项级数，)(x S 是D 上函数。
函数列及其一致收敛性
函数列 nx(1 x )n }在区间 0,1]非一致收敛. { [
函数列及其一致收敛性
2 sup | f n ( x ) f ( x ) | . 1 n x[0,1]
显然， sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0. lim{
n x[0,1]
nx 函 数 列 { }在 区 间0， 一 致 收 敛 [ 1] . 1 n x
2){nx(1 x)n }
1 n0 n0 1 | f n0 ( x0 ) f ( x0 ) | [( ) ] 0 . 3 3 即函数列x n }在区间0,1)非一致收敛 { [ .
1
1
函数列 f n ( x ) 一致收敛于 f ( x ) 的 y
y f ( x)
几何意义：
0, N N , 对于序号大于N
成 立 ， 解 得n
l n l n , 取N [ ] lnx lnx
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
1 , 证 明 其 在0,1)收 敛. ( 例2 设f n ( x ) n x 1 证 ：x (0,1), 有 lim 0, n n x
1 1 1 | f n ( x ) f ( x ) || 0| 0, 要使不等式 n x n x n
即 0, N N , n N , x I , 有 | f n ( x) f ( x) |
sup | f n ( x ) f ( x ) | .
xI
即lim{sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0.
n xI
充分性 lim{sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0.
函数项级数一致收敛性判别及应用
函数项级数一致收敛性判别及应用函数项级数是由一系列函数的和组成的级数，通常用于描述函数的展开式或泰勒级数。
对于某些函数项级数，我们希望判断其在一定的条件下是否具有一致收敛性，这对于分析和解决问题具有很大的价值。
本文将介绍一些函数项级数一致收敛性的判别方法及其应用。
一、函数项级数收敛的定义设 $f_n$ 为定义在区间 $I$ 上的函数序列，如果存在函数 $f$ 使得$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ 对于所有 $x\in I$ 成立，则称函数序列$\{f_n\}$ 在 $I$ 上逐点收敛于函数 $f$，并记为 $f_n\to f$（$n\to\infty$）。
二、Weierstrass 判别法Weierstrass 判别法是判断函数项级数一致收敛性的重要方法之一。
它通常用于非负函数项级数。
证明如下：设 $s_N(x)=\sum_{n=1}^{N}f_n(x)$ 为前 $N$ 项和函数，$s(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ 为级数的和函数。
由于 $|f_n(x)|\leq M_n$，所以对于 $m>n$，有 $|s_m(x)-s_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|f_k(x)|\leq \sum_{k=n+1}^{m}M_k$。
三、Abel 判别法1. 证明 Riemann 积分的线性性如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，则它们的线性组合$\alpha f(x)+\beta g(x)$ 也在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，并且$$\int_a^b(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int_a^bf(x)dx+\beta\int_a^bg(x)dx$$如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续，则它们的线性组合也在$[a,b]$ 上一致连续。
函数列及其一致收敛性
对每一个x I， 0，N N ,n N , 有 | fn ( x) f ( x) | .
例1 设fn ( x) xn , 证明其在(0,1)收敛.
证：x (0,1),有 lim xn 0, n 0,要使不等式
| fn ( x) f ( x) || xn 0 | xn
成立， 解得n ln , 取N [ ln ]
lim{sup |
n xI
fn(x)
f
( x) |} 0.
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
证：必要性 函数列{ fn ( x)}在区间I一致收敛于极限函数f ( x)
即 0, N N ,n N ,x I , 有 | fn ( x) f ( x) |
sup | fn( x) f ( x) | .
的所有曲线 y fn( x) (n N ),
都落在曲线 y f ( x) 与
y f (x) 所夹的带状区域内. O
y f (x) y f (x)
a
y f (x) y fn(x)
bx
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
定理1 (函数列的柯西一致收敛准则) 函数列{ fn( x)}
2) 0
1 3
0, N
N , n0
N , x0
(
1
)
1 n0
3
[0,1), 有
|
fn0 ( x0 )
f
(
x0
)
|
[(
1 3
)
1 n0
]n0
1 3
0.
即函数列{ xn }在区间[0,1)非一致收敛.
函数列 fn( x) 一致收敛于 f ( x) 的 y
函数项级数收敛性
函数项级数收敛性函数项级数是指由函数项按照一定规则排列组成的级数。
在研究级数的收敛性时，我们通常关注的是序列的部分和序列，即部分和序列的极限是否存在。
在本文中，我们将介绍函数项级数的收敛性及其相关概念。
1. 函数项级数的定义考虑一个函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$，其中$\displaystyle a_{n} ( x)$为关于变量$\displaystyle x$的函数。
对于任意固定的$\displaystyle x$，元素$\displaystyle a_{n} ( x)$称为级数的通项。
部分和序列$\displaystyle S_{n} ( x)$定义为$\displaystyle S_{n} ( x) =\sum _{k=1}^{n} a_{k} ( x)$。
2. 函数项级数的收敛性函数项级数的收敛性与序列的收敛性密切相关。
函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$在某一点$\displaystylex$收敛，即当$\displaystyle n$趋于无穷时，部分和序列$\displaystyleS_{n} ( x)$的极限存在，记为$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x) =S( x)$。
如果对于所有$\displaystyle x$都有$\displaystyle S( x) \neq\infty ,S( x) \neq -\infty$，则称级数在$\displaystyle x$上绝对收敛。
3. 收敛性判定准则对于函数项级数的收敛性判定，有以下几个准则:3.1 Cauchy准则函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$在某一点$\displaystyle x$处收敛的充分必要条件是，对于任意正数$\displaystyle \varepsilon$，存在一个正整数$\displaystyle N$，使得当$\displaystyle m,n>N$时，$\displaystyle \left| \sum _{k=n}^{n+m} a_{k} ( x)\right|<\varepsilon$。
函数的级数和收敛性
函数的级数和收敛性函数的级数是数学中的重要概念之一，它在分析学中具有广泛的应用。
级数是由一系列函数项按照一定的规律相加而得到的，而级数的收敛性则是指级数是否能够趋向于一个有限的值。
在本文中，我们将探讨函数的级数以及它的收敛性。
一、级数的定义函数的级数可以表示为：S = f(1) + f(2) + f(3) + ...其中，f(n)是一个函数项，n是一个自然数。
二、级数的收敛性级数的收敛性与函数项的和是否有限有关。
如果函数项的和有限，那么级数是收敛的；如果函数项的和是无限的，那么级数是发散的。
三、级数的收敛判别法有多种方法可以判断一个级数的收敛性，下面介绍其中几种常见的方法。
1. 比较判别法比较判别法是通过将给定级数与一个已知的级数进行比较来判断级数的收敛性。
如果已知级数收敛且比较级数的函数项的绝对值小于等于已知级数的函数项的绝对值，那么该级数也是收敛的。
2. 比值判别法比值判别法使用级数的函数项的绝对值之间的比值来判断级数的收敛性。
如果函数项的绝对值之间的比值随着n的增大而趋于0，那么该级数是收敛的。
3. 根值判别法根值判别法使用级数的函数项的绝对值的n次方根来判断级数的收敛性。
如果函数项的绝对值的n次方根随着n的增大而趋于0，那么该级数是收敛的。
四、级数的应用级数在数学中具有广泛的应用，其中一些常见的应用包括：1. 泰勒级数泰勒级数是一种将一个函数表示为无限项的级数的方法。
通过泰勒级数，我们可以将复杂的函数表示为简单的级数，从而更容易进行计算和近似。
2. 无穷级数无穷级数是一个有无限个项的级数。
无穷级数的研究对于了解数列和函数的性质以及数学分析的发展具有重要意义。
3. 特殊函数许多特殊函数，如正弦函数、余弦函数和指数函数，都可以通过级数展开来表示。
这些特殊函数在数学和物理学中广泛应用。
结论函数的级数和收敛性是数学中重要的概念，对于数学分析和应用领域具有重要作用。
通过对级数的研究，我们可以更好地理解各种函数的性质和行为，为数学和科学领域的进一步发展提供基础。
10.1 函数项级数
(2)有限个可导函数的和仍是可导函数，
且和函数的导数等于导函数的和; (3)有限个可积函数的和仍是可积函数， 且和函数的积分等于积分函数的和;
问题
无限个函数的和（函数项级数）是否具有这些性 质呢？
再考察例1：
研究级数 u n ( x ) x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
x a
S ( t )dt
x a
x un t dt un ( t )dt a n 1 n 1
定理5(和函数的可导性)
设un C 1 ( I )( n N ), 若级数 un 在I上处处
n 1
收敛于函数S : I R , u 在I上一致收敛于 n
当 z 1 时, 加绝对值后的级数收敛 原级数收敛 当 z 1 时, 加绝对值后的级数发散
用的比值法
原级数发散
1 当 z 1 时, 取 模 后 的 级 数 2 收 敛 原 级 数 收 敛 n n 1
收敛域为z 1
1 ( 2) (cos x ) n n 1 3 4 n
函数项级数
一、函数项级数基本概念
定义1 设un ( z )是定义在区域 上的复变函数列, D
称表达式 : u1 u2 un 或
u
n 1
n
为区域D上的复函数项级数 简称 , 函数项级数，un ( z )称为它的通项. 前 n 项之和S n ( z ) uk ( z )
设un C ( I )( n N ), 若函数项级数 un 在
n 1
I上一致收敛于 : I R , 则和函数S C ( I ). S
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函数项级数的前 n项 和
S n ( x) uk ( x) u1 ( x) u2 ( x) un ( x)
k 1 n
称为函数项级数的n项 部分和函数列
简称
部分和
3、在某固定点收敛定义
un ( x) u1 ( x) u2 ( x) u3 ( x) un ( x) (1)
P33 14
二、一致收敛概念
1、有限个连续函数的和 仍是连续函数
2、有限个函数的和的导数 等于他们的导数的和
3、有限个函数的和的积分 等于他们的积分的和
问题:
1、有限个连续函数的和仍是连续函数 2、有限个函数的和的导数等于他们的导数的和
3、有限个函数的和的积分等于他们的积分的和
对于无限个函数的和是否具有这些性质呢？
称为定义在A上的函数项级数,简记为 un ( x) 或 n 1
un ( x)
un ( x) u1 ( x) u2 ( x) u3 ( x) un ( x)
n 1
2、部分和定义
un ( x) u1 ( x) u2 ( x) u3 ( x) un ( x) (1)
n 1
A,函数项级数(1)在处对应 一个数项级数(2)
un ( ) u1 ( ) u2 ( ) u3 ( ) un ( ) (2)
n 1
(i)若级数(2)收敛, 则称 级数 (1)
在点收敛 在点发散
称为函数项级数(1)的 收敛点
对于函数项级数 （ x）在I上连续， u（ n x）， 若每一项u n
n 1
且级数在X ） S （x） . I 上收敛 u（ n x
n 1 上是否也连续 ?
(2).若每一项un ( x)在X I上可导, S ( x)在X I 上是否也可导?
(3).若S ( x)可导, 是否有S ( x) u n ( x)成立 ?
un ( ) u1 ( ) u2 ( ) u3 ( ) un ( ) (2)
n 1
收敛点 (ii)函数项级数 (1)的全体收敛点的集合 , 称为它的 收敛域 收敛区间
(i)若级数(2)收敛, 则称 是函数项级数(1)的
(iii)若收敛域 是一个区间 , 称为 此区间是函数项级数(1)的
n 1
S ( x) Sn ( x) Rn ( x)
n 1
则称函数 项 级数 un ( x)在区间I
一致收敛
或
一致收敛于和函数 S ( x).
一致收敛的几何 意义
S ( x) Sn ( x) Rn ( x)
几何解释: 只要
在区间
充分大 上所有曲线
将位于两条曲线
从上例可以看出 , 这个函数项级数 x n 在(-1,1)非 一致收敛,
(ii)若级数(2)发散, 则称级数 (1)
注意
函数项级数在某点x的收敛问题,
实质上是数项级数的收敛问题.
4、收敛域与收敛区间定义
un ( x) u1 ( x) u2 ( x) u3 ( x) un ( x) (1)
n 1
A,函数项级数(1)在处对应 一个数项级数(2)
9.2 函数项级数
1、函数项级数的收敛域 2、一致收敛概念 3、一致收敛判别法 4、和函数的分析性质
一、函数项级数的收敛域
u1 , u2 , u3 ,, un ,
u1 u2 u3 un
(1)
(2)
数项级数
u1 ( x) , u2 ( x) , u3 ( x) ,, un ( x) ,
y s ( x)
y s( x )
之间.
y
o
yS （x） y S（ ） n x
y s( x )
I
x
1)在[-1 ,1- ](其中0 1)一致收敛,
x
n
x [1 ,1 ]
x
x
n
x
在[-1 ,1- ]一致收敛,
un ( x) u1 ( x) u2 ( x) u3 ( x) un ( x) (1)
n 1
5、和函数的定义
函数项级数(1)在收敛域的每一点与其 所对应的数项级数的和对应，
这种对应法则构成定义 在收敛域上的函数，设 此函数是S ( x),即
或
n 1
lim S n ( x) S ( x)
n
点态收敛于S ( x)
S ( x) un ( x) u1 ( x) u2 ( x) u3 ( x) un ( x)
称S ( x)是函数项级数(1)在收敛域的
和函数
也就是说, 函数项级数的收敛性就是指它的部分和函数列的收敛性.
6、余和的定义
函数项
(几何级数,等比级数)
n=1
I
(4).若S ( x)在 a, b可积, 是否有 S ( x)dx un ( x)dx？
b b a
答案： 都是不一定
n1
a
连续性
可积性与 可微 性
?
原因
一致收敛定义
设函数项级数 un ( x)在区间I收敛于和函数S ( x).
若 0, N N , n N (通用)，x I , 有
(3)
u1 ( x) u2 ( x) u3 ( x) un ( x) (4)
函数项级数
本节讨论的函数项级数， 是在数项级数的基础上的一种推广形式， 即把数项级数的一般项由数推广到函数． 当函数取确定数值时它就是数项级数． 明确以上关系对于掌握相关概念 和理论是十分必要的．
现在我们将级数概念从数推广到函数上去. 讨论一般项为函数的级数的有关知识.
1、函数项级数的定义
设 {un ( x)} 是定义在数集A上的一个函数列,即
u1 ( x) , u2 ( x) , u3 ( x) ,, un ( x) ,
将他们依次 用加号连接起来,即
(1)
u1 ( x) u2 ( x) u3 ( x) un ( x) (2)