函数项级数收敛性定义

un ( ) u1 ( ) u2 ( ) u3 ( ) un ( ) (2)
n 1

收敛点 (ii)函数项级数 (1)的全体收敛点的集合 , 称为它的 收敛域 收敛区间
(i)若级数(2)收敛, 则称 是函数项级数(1)的
(iii)若收敛域 是一个区间 , 称为 此区间是函数项级数(1)的
n
点态收敛于S ( x)
S ( x) un ( x) u1 ( x) u2 ( x) u3 ( x) un ( x)
称S ( x)是函数项级数(1)在收敛域的
和函数
也就是说, 函数项级数的收敛性就是指它的部分和函数列的收敛性.
6、余和的定义
函数项
(几何级数,等比级数)
对于函数项级数 （ x）在I上连续， u（ n x）， 若每一项u n
n 1

且级数在X ） S （x） . I 上收敛 u（ n x
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问题： (1).S ( x)在X 上是否也连续 ?
(2).若每一项un ( x)在X I上可导, S ( x)在X I 上是否也可导?
(3).若S ( x)可导, 是否有S ( x) u n ( x)成立 ?
y s ( x)
y s( x )
之间.
y

o
yS （x） y S（ ） n x
y s( x )
I
x
1)在[-1 ,1- ](其中0 1)一致收敛,
x
n
x [1 ,1 ]
x
x
n
x
在[-1 ,1- ]一致收敛,
现在我们将级数概念从数推广到函数上去. 讨论一般项为函数的级数的有关知识.
1、函数项级数的定义
设 {un ( x)} 是定义在数集A上的一个函数列,即
u1 ( x) , u2 ( x) , u3 ( x) ,, un ( x) ,
将他们依次 用加号连接起来,即
(1)
u1 ( x) u2 ( x) u3 ( x) un ( x) (2)
(ii)若级数(2)发散, 则称级数 (1)
注意
函数项级数在某点x的收敛问题,
实质上是数项级数的收敛问题.
4、收敛域与收敛区间定义
un ( x) u1 ( x) u2 ( x) u3 ( x) un ( x) (1)
n 1
A,函数项级数(1)在处对应 一个数项级数(2)
从上例可以看出 , 这个函数项级数 x n 在(-1,1)非 一致收敛,
P33 14
二、一致收敛概念
1、有限个连续函数的和 仍是连续函数
2、有限个函数的和的导数 等于他们的导数的和
3、有限个函数的和的积分 等于他们的积分的和
问题:
1、有限个连续函数的和仍是连续函数 2、有限个函数的和的导数等于他们的导数的和
3、有限个函数的和的积分等于他们的积分的和
对于无限个函数的和是否具有这些性质呢？
(3)
u1 ( x) u2 ( x) u3 ( x) un ( x) (4)
函数项级数
本节讨论的函数项级数， 是在数项级数的基础上的一种推广形式， 即把数项级数的一般项由数推广到函数． 当函数取确定数值时它就是数项级数． 明确以上关系对于掌握相关概念 和理论是十分必要的．
n=1
I
(4).若S ( x)在 a, b可积, 是否有 S ( x)dx un ( x)dx？
b b a

答案： 都是不一定
n1
a
连续性
可积性与 可微 性
?
原因
一致收敛定义
设函数项级数 un ( x)在区间I收敛于和函数S ( x).

若 0, N N , n N (通用)，x I , 有
n 1
S ( x) Sn ( x) Rn ( x)
n 1
则称函数 项 级数 un ( x)在区间I
一致收敛
或
一致收敛于和函数 S ( x).
一致收敛的几何 意义
S ( x) Sn ( x) Rn ( x)
几何解释: 只要
在区间
充分大 上所有曲线
将位于两条曲线
un ( x) u1 ( x) u2 ( x) u3 ( x) un ( x) (1)
n 1

5、和函数的定义
函数项级数(1)在收敛域的每一点与其 所对应的数项级数的和对应，
这种对应法则构成定义 在收敛域上的函数，设 此函数是S ( x),即
或
n 1
lim S n ( x) S ( x)
n 1
函数项级数的前 n项 和
S n ( x) uk ( x) u1 ( x) u2 ( x) un ( x)
k 1 n
称为函数项级数的n项 部分和函数列
简称
部分和
3、在某固定点收敛定义
un ( x) u1 ( x) u2 ( x) u3 ( x) un ( x) (1)
称为定义在A上的函数项级数,简记为 un ( x) 或 n 1


un ( x)
un ( x) u1 ( x) u2 ( x) u3 ( x) un ( x)
n 1
2、部分和定义
un ( x) u1 ( x) u2 ( x) u3 ( x) un ( x) (1)
9.2 函数项级数
1、函数项级数的收敛域 2、一致收敛概念 3、一致收敛判别法 4、和函数的分析性质
一、函数项级数的收敛域
u1 , u2 , u3 ,, un ,
u1 u2 u3 un
(1)
(2)
数项级数
u1 ( x) , u2 ( x) , u3 ( x) ,, un ( x) ,
n 1
A,函数项级数(1)在处对应 一个数项级数(2)
un ( ) u1 ( ) u2 ( ) u3 ( ) un ( ) (2)
n 1

(i)若级数(2)收敛, 则称 级数 (1)
在点收敛 在点发散
称为函数项级数(1)的 收敛点