任务二 正弦交流电路中的电压、电流及功率【 正弦交流电路的基本概念和基本定律】
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电路分析-第4章 正弦交流电路
I m ＝I m i 或
I ＝I i
－
U m U mu
或
U U u
一、电阻元件:u(t)=Ri(t) 电阻元件伏安特性的相量形式为：
I
u = i
相量图
U
U ＝R I
U RI u i
相量模型： U
＋ I －
电阻元件的电压和电流同频率、同相位。
φ1 > φ2 , U1超前u2
t
i i1 i2 0
u i u i
t 2 1
0
t
2
0
t
u i
1
2
(a)
(b)
(c)
(d)
同相
先到达某一确定状态为 超前，后到达者为滞后
反相
正交
五、 正弦量的有效值
1 、定义：正弦交流电的有效值是根据它的热效应确定的。
如某一交流电流和一直流电流分别通过同一电阻R, 在一
W L (t )
i
0
p dt
t
0
1 (t ) Li di Li 2
2
在动态电路中， 电感元件和外电路进行着磁场 能与其它能相互转换，本身不消耗能量。
4.4
三种元件伏安特性的相量形式
设 u(t)=Umsin(t+ u) i (t)=Imsin(t+ i) + i(t) u(t)
1 t iL (t ) iL ( t 0 ) uL (t )dt L t0
其中， t0为任选初始时刻，则iL(t0) 称为电感电流 的初始值，它体现了t0时刻以前电压对电流的贡献 ，所以电感电流对电压有记忆作用。
模块二、电工基础知识--正弦交流电
R
阻抗三角形
阻抗：
Z R2 (XL XC )2
arctg X L X C
R 阻抗角
所以p UI sin2ω t
同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
QC
UI
I 2XC
U2
XC
单位：乏（var）
例2: 电容器C=0.5μF，外加交流电压U=10V，
i
φ=30°，ω=106rad/s，求i。
+
解: （1）相量图法：先画相量图，
u
C
_
分别求I、 φ。
I
U
UI (1 cos2 t)dt
T0
UI I 2R U 2 / R
ωt
单位：瓦、千瓦 (W、kW)
电压与电流最大值的关系：
Im=URm/R
电压与电流有效值的关系：
I=UR/R
或 UR=IR
电路的功率
瞬时功率：瞬时电压与电流的乘积。 有功功率：瞬时功率的平均值。
P=URI=I2R=UR2/R
UR
R
U UL UC UR
电压三角形
电压与电流的相位差：
arctg U L UC arctg X L XC
UR
R
Z XL XC
R
阻抗三角形
阻抗：
Z R2 (XL XC )2
arctg X L X C
R 阻抗角
Z X XL XC
2.功率关系
由 u 2Usinω t
+
1
u
i 2U sin( ω t 90) (1) 瞬时功率 X C
_
p iu
阻抗三角形
阻抗：
Z R2 (XL XC )2
arctg X L X C
R 阻抗角
所以p UI sin2ω t
同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
QC
UI
I 2XC
U2
XC
单位：乏（var）
例2: 电容器C=0.5μF，外加交流电压U=10V，
i
φ=30°，ω=106rad/s，求i。
+
解: （1）相量图法：先画相量图，
u
C
_
分别求I、 φ。
I
U
UI (1 cos2 t)dt
T0
UI I 2R U 2 / R
ωt
单位：瓦、千瓦 (W、kW)
电压与电流最大值的关系：
Im=URm/R
电压与电流有效值的关系：
I=UR/R
或 UR=IR
电路的功率
瞬时功率：瞬时电压与电流的乘积。 有功功率：瞬时功率的平均值。
P=URI=I2R=UR2/R
UR
R
U UL UC UR
电压三角形
电压与电流的相位差：
arctg U L UC arctg X L XC
UR
R
Z XL XC
R
阻抗三角形
阻抗：
Z R2 (XL XC )2
arctg X L X C
R 阻抗角
Z X XL XC
2.功率关系
由 u 2Usinω t
+
1
u
i 2U sin( ω t 90) (1) 瞬时功率 X C
_
p iu
4正弦交流电路
−1
θ
Re 0 a
a = r cos θ b = r sin θ
r = a +b θ = arctg b a
2 2
②三角形式
A = r cos θ + jr sin θ
欧拉公式） e = cos θ + jsin θ（欧拉公式） jθ A = re = r cos θ + jr sin θ
jθ
③指数形式
u
波形图
U
T
m
ϕ
ωt
瞬时值
u = U m sin (ω t + ϕ )
& U
相量图
ϕu
复数 符号法
& = a + jb =U e jϕ ⇒ U ∠ϕ U
提示
计算相量的相位角时， 计算相量的相位角时，要注意所在 象限。 象限。如：
& U = 3 + j4
u = 5 2 sin(ω t + 53 ⋅1 )
两种正弦信号的关系
同 相 位
i2
ψ1 =ψ 2
ψ2 ψ1
i2
i1 i1
t
t
ϕ =ψ1 −ψ2 =0
i1
与
相 位 领 先 相 位 落 后
ϕ =ψ1 −ψ 2 > 0
i2同相位
ψ1 ψ2
i1
ψ2
ψ1
i1 领先于 i2
ϕ =ψ1 −ψ2 < 0
i2
t
i1 落后于 i2
三相交流电路：三种电压初相位各差120 三相交流电路：三种电压初相位各差120ο。
新问题提出： 新问题提出： 提出 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 故引入相量的复数运算法。 故引入相量的复数运算法。 相量的复数运算法 相量 复数表示法 复数运算
正弦交流电路的电压、电流
04
正弦交流电路的应用
照明电路Biblioteka 照明电路正弦交流电路在照明电路中广泛应用，如日光灯、LED灯等。由于正弦交流电能 够提供稳定的照明亮度，且能够节约能源，因此被广泛应用于家庭、办公室和公 共场所的照明。
节能灯
正弦交流电在节能灯中的应用尤为突出，节能灯在启动时需要一个高电压来激发 灯管内的气体，而正弦交流电能够提供这种高电压，使得节能灯能够快速启动并 稳定工作。
详细描述
根据欧姆定律，电流（I）等于电压（V） 除以电阻（R），即 I = V/R。在正弦交流 电路中，电压和电流都是正弦波，其有效 值分别为电压和电流的最大值除以根号2。
电流的测量
总结词
电流的测量可以通过使用电流表来完成。
详细描述
电流表是一种测量电路中电流大小的仪表，其工作原理基于安培环路定律。在 正弦交流电路中，可以使用交流电流表来测量电流的大小和方向。
电压的计算公式
在正弦交流电路中，电压的计算公式为U=Umsin(ωt+φu)，其中Um为电压的最大值，ω为角频率， φu为初相角。
电压与电流的关系
在正弦交流电路中，电压和电流之间存在相位差，即电流滞后于电压一定的角度。因此，可以通 过测量电路中的电压和电流来计算相位差。
电压的测量
在电路中，可以使用电压表来测量电压。测量时，将电压表并联在电路中需要测量的两点之间， 即可读出电压值。
正弦交流电的参数
总结词
正弦交流电的主要参数包括频率、幅值、相位和初相角。
详细描述
频率是正弦交流电每秒变化的周期数，单位为赫兹（Hz）。幅值或峰值是正弦波的最大值，表示电压或 电流的大小。相位是电压和电流之间的时间差，而初相角则是正弦波在某一特定时刻与时间轴之间的角度 差。这些参数对于分析正弦交流电路的特性和行为至关重要。
正弦交流电路知识点总结
正弦交流电路知识点总结一、正弦交流电路的基本概念正弦交流电路是指由正弦波形状的电压或电流组成的电路。
在正弦交流电路中，电压或电流随时间呈周期性变化，其波形为正弦曲线。
正弦交流电路中，频率、振幅、相位等是重要的参数。
二、正弦交流电路中的元件1. 交流源：提供正弦波形状的电压或电流。
2. 电阻：阻碍电流通过的元件。
3. 电感：储存磁能量并抵抗变化的元件。
4. 电容：储存电能量并抵抗变化的元件。
三、正弦交流电路中的基本定律1. 欧姆定律：U=IR，其中U为电压，I为电流，R为阻值。
2. 基尔霍夫定律：任意一个节点上所有进入该节点和离开该节点的支路所构成的代数和等于零。
3. 诺依曼定理：在任意一个闭合回路中，沿着这个回路方向绕一圈所得到所有增加量之和等于所有减少量之和。
四、串联和并联1. 串联：将多个电阻、电感、电容依次连接在一起，即为串联。
串联后的总阻值为各元件阻值之和。
2. 并联：将多个电阻、电感、电容同时连接在一起，即为并联。
并联后的总阻值等于各元件倒数之和的倒数。
五、交流电路中的功率交流电路中的功率分为有功功率和无功功率两部分：1. 有功功率：指交流电路中被转化成有用能量的功率。
2. 无功功率：指交流电路中被转化成储存于元件中的能量或者从元件中释放出来但不能做有用工作的能量。
六、交流电路中的相位相位是指两个正弦波形状的信号之间时间上的差异。
在正弦交流电路中，相位是一个重要参数。
不同元件间存在着不同相位差，而且相位差随频率变化。
七、滤波器滤波器是指通过对信号进行滤波，去除不需要或者干扰信号来得到所需信号的设备。
根据滤波器对信号处理方式不同，可以将其分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。
八、交流电路中的共振共振是指在交流电路中，当电容和电感与外部信号频率相等时，电路中的阻抗达到最小值。
在共振状态下，电路中的能量传输效率最高。
九、交流电路中的谐波谐波是指在交流电路中，除了基频信号之外产生的频率为整数倍于基频信号频率的信号。
电路 第二章 正弦交流电路(1)
11
所以交流电的有效值就是与它热效应相等的直流电的数值， 它们之间的关系由焦耳－楞次定律确定。为了区别，交流电 流、电压和电动势的有效值分别用大写字母I、U、E表示。 设正弦电流i＝Imsin(ωt+ψ)，通过计算可知，正弦电流的有 效值是其最大值的1/√2倍，如图2—9(c)所示，即 I＝Im/√2 ＝0.707Im (2—9) 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为 U＝Um/√2 ; E＝Um/√2 在工程上，主要使用有效值，今后不加特别声明，交流电 的大小均指有效值。从交流电流表和电压表上读取的数值也 是有效值。电气设备所标明的交流电压、电流数值也都是有 效值。可以证明有效值为正弦量在一个周期内的方均根值， 即它不随时间变化，因此，和最大值比较，有效值更为实用。
15
相量也可以用复平面上的有向线段来表示。如图所示。这种 用来表示相量的图形，叫相量图，相量图与力学和物理学中 的向量图相似。但是，相量表示的是随时间作正弦变动的函 数，而向量指的是力、电 场强度等空间向量。 2 因为实际工程中，常采用正弦量的有效值，而且最大值与 有效值之间有着固定的 2关系，所以有效值相量应用较多。 它等于最大值相量除以 2 ，即 U=Um/ 2 同理 I＝Im/ 2
上式表明，为了保证电动势的频率稳定，必须保 持发电机转速稳定。 周期T、频率f及角频率ω反映了正弦量随时间作 ω 周期性交变的快慢。各国在电力工业上所用交流 电的频率都规定了各自的标准。我国和有些国家 电力工业的标准频率为50Hz，称为工频。一般我 们讲交流电时，如果不加说明，指的就是50Hz的 工频。还有一些国家工频采用60Hz。
采用适当的磁极形状，使电枢表面的磁感应强度B 沿圆周按正弦规律分布，如图 (a)所示。由于铁芯 的磁导率远大于空气的磁导率，故磁力线的方向 与铁芯表面垂直。在磁极之间的分界面O～O',B＝ 0，称为磁中性面。在磁极的轴线上，磁感应强度 具有最大值Bm 。设线圈的一条有效边AA'(切割磁 力线的部分)和转轴所组成的平面，与磁中性面的 夹角为α，则AA'边所处位置的磁感应强度为(见图 2—2) B＝Bmsinα 当电枢被原动机拖动，在磁场中以逆时 针方向作 等速旋转时，电枢线圈有效 边因切 割磁力线而产生感 应电动势。其表达式为 e＝Emsinωt (2—1)
所以交流电的有效值就是与它热效应相等的直流电的数值， 它们之间的关系由焦耳－楞次定律确定。为了区别，交流电 流、电压和电动势的有效值分别用大写字母I、U、E表示。 设正弦电流i＝Imsin(ωt+ψ)，通过计算可知，正弦电流的有 效值是其最大值的1/√2倍，如图2—9(c)所示，即 I＝Im/√2 ＝0.707Im (2—9) 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为 U＝Um/√2 ; E＝Um/√2 在工程上，主要使用有效值，今后不加特别声明，交流电 的大小均指有效值。从交流电流表和电压表上读取的数值也 是有效值。电气设备所标明的交流电压、电流数值也都是有 效值。可以证明有效值为正弦量在一个周期内的方均根值， 即它不随时间变化，因此，和最大值比较，有效值更为实用。
15
相量也可以用复平面上的有向线段来表示。如图所示。这种 用来表示相量的图形，叫相量图，相量图与力学和物理学中 的向量图相似。但是，相量表示的是随时间作正弦变动的函 数，而向量指的是力、电 场强度等空间向量。 2 因为实际工程中，常采用正弦量的有效值，而且最大值与 有效值之间有着固定的 2关系，所以有效值相量应用较多。 它等于最大值相量除以 2 ，即 U=Um/ 2 同理 I＝Im/ 2
上式表明，为了保证电动势的频率稳定，必须保 持发电机转速稳定。 周期T、频率f及角频率ω反映了正弦量随时间作 ω 周期性交变的快慢。各国在电力工业上所用交流 电的频率都规定了各自的标准。我国和有些国家 电力工业的标准频率为50Hz，称为工频。一般我 们讲交流电时，如果不加说明，指的就是50Hz的 工频。还有一些国家工频采用60Hz。
采用适当的磁极形状，使电枢表面的磁感应强度B 沿圆周按正弦规律分布，如图 (a)所示。由于铁芯 的磁导率远大于空气的磁导率，故磁力线的方向 与铁芯表面垂直。在磁极之间的分界面O～O',B＝ 0，称为磁中性面。在磁极的轴线上，磁感应强度 具有最大值Bm 。设线圈的一条有效边AA'(切割磁 力线的部分)和转轴所组成的平面，与磁中性面的 夹角为α，则AA'边所处位置的磁感应强度为(见图 2—2) B＝Bmsinα 当电枢被原动机拖动，在磁场中以逆时 针方向作 等速旋转时，电枢线圈有效 边因切 割磁力线而产生感 应电动势。其表达式为 e＝Emsinωt (2—1)
单向正弦交流电路中的电压、电流及功率
+
R
R
R
u
R Imsin ω t 2 I sin ω t
_
频率: 相同
相位差 ：
大小关系：U RI
I U R
u i 0
相位关系 ： u、i 相位相同
一、单一参数的交流电路
1．电阻元件的正弦交流电路
电压与电流关系 设 u Umsinω t 2Usinω t
i
i u Umsinω t 2U sinω t
. I
X
C
)]
I
.
IR
j L
i
+
.
U
.
+
U
-
R
+
.
U
L
-
j 1 C
-
+.
UC
-
+ u _
Z
由KVL：
. U
...
.
UR UL UC R I
[R j(L 1 )]I C
.
jL I j
1
C
[R j(XL
. I
XC
)]I
(R jX ) I
Z
U I
R
jL
j1
C
R
jX
Z z
Z
U I
Q UI sin 220 4.4 sin(53)var
-774.4 var (电容性) S UI 2204.4 968VA
任务二
正弦交流电路中的电压、电流及功率
一、单一参数的交流电路
1．电阻元件的正弦交流电路
电压与电流关系 设 u Umsinω t 2Usinω t
i
i u Umsinω t 2U sinω t
正弦交流电路的功率
正弦交流电路的功率1)．基本概念在一个二端网络上加正弦交流电压u(t)和电流i(t)若根据功率的计算公式可求瞬时功率：设，则上式可写作可见，瞬时功率是随时间变化的，有时为正，有时可能是负。
瞬时功率为正时表示此时电路消耗功率；为负时表示此时电路向电源输送功率。
为了表征电路实际消耗的平均功率，一般用在一个周期内消耗功率的平均值来表示，称为有功功率，用P表示，即有功功率的单位为瓦（W）。
电路的有功功率为电压和电流有效值的积乘以cosφ。
cosφ称为功率因数，φ称为功率因数角。
一般功率因数用λ表示，即λ=cosφ从瞬时功率表达式中可以看出，第一项表示电路的功率消耗，第二项表示电路与电源能量交换，其交换的最大速率为UIsinΦ,一般称它为无功功率，用Q表示，即Q=UIsinΦ无功功率的单位为乏（var）。
为了便于求解有功功率和无功功率的表示式，引入了复功率的概念。
所谓复功率就是电压的相量与电流相量的共扼复数的乘积，一般用表示，即可见，复功率是一个复数，表示出了有功功率（实部）和无功功率（虚部），一般将复功率的模用S表示，称作视在功率，它等于电压和电流有效值的的积，即视在功率的单位为伏安（VA）。
不难看出，如果是纯电阻电路，它只消耗功率，视在功率与有功功率相等。
如果是由R、L、C组成的电路，电路不仅有消耗功率还有能量交换，则视在功率要大于有功功率。
同时，由视在功率和有功功率可以求出功率因数，即可见功率因数表示了电路实际消耗功率（有功功率）所占视在功率的比例。
功率因数愈大，电路实际消耗功率的比例愈大。
以上概念和公式要孰记。
2)．例题分析已知电压分别加在电阻、电感和电容两端，又知，f=50Hz，R=1KW, L=10mH, C=100mF。
试求:各元件上的功率及其物理意义?解:（1）电阻中电流为电阻吸收有功功率p=100mW, 无功功率Q=0, 功率因数为1。
（2）电感中电流为：电感吸收有功功率p=0, 吸收无功功率Q=31.8var, 功率因数为cos90°=0, 所以不消耗有功功率,只消耗无功功率。
正弦交流电路的基本概念和基本定律例题分析
正弦交流电路的基本概念和基本定律例题分析任务一 认识正弦交流电[例4-1] 有一吊扇，要选用一个1.8μF 电容器作为启动电容，问需选用电容的额定电压应为多大？解：电器设备在过压和欠压的情况下都有可能使电器设备不能正常工作，假如所加电压过高或过低都有可能烧毁电器。
所以使用电器时必须按用电器要求的额定值加电压。
因吊扇的额定工作电压为220V ，所以接入相电压为220V 的电网。
但电网电压是波动的，其波动常常是因电网负载出现了较大的增加或减少而引起的。
例如在用电高峰时电压往往偏低，有设备停机时电压往往偏高。
在电力系统非正常状况下，用户受电端的电压最大允许偏差不应超过额定值±10％。
所以在使用中，应考虑家用电器的工作电压为220V±10%，则其最大值为311V±31V 。
由于电容损坏很多是被击穿的，原因多数是过电压引起的，所以选择时为了可靠，一般选择耐压500V 的电容。
当然耐压400V 的电容也能用。
[例4-2] 已知两正弦量的解析式为)V 03(sin 251︒+=ωt u ， )V 021(sin 102︒+=ωt u ，， )mA 02(sin 61︒+-=ωt i ，)mA 07cos(282︒+=ωt i 。
求每个正弦量的有效值和初相位。
解：)V 03t sin(251︒+=ωu 其有效值：52251==U V初相位：︒=301u ψ)021(sin 102︒+=ωt u )360021(sin 10︒-︒+=ωt )150(sin 10︒-=ωt V其有效值：07.72102==U V初相位：︒-=1502u ψmA )160sin(6)18020sin(6)20sin(61︒-=︒-︒+=︒+-=t t t i ωωω其有效值：24.4261==I A初相位：︒-=1601i ψ 因为)016t ωsin(28)07t ωcos(28i 2°+=°+=mA 所以其有效值为：82282==I mA初相位：︒=160i ψ[例4-3] 已知)50143(sin 2220︒+=t u V ，)02143(sin 23︒-=t i A ，求电压u 与电流i 的相位差。
正弦交流电路_单一参数的正弦交流电路
电压超前于电流90°
iL
+
uL
L
−
u 波 形 图0
i
U•
相
t
量 图
I• 0°
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（2）大小关系
uL L Im sin( t 90 ) U m sin( t 90 )
最大值： U m L I m 有效值： U ω L I
定义： X L L ——感抗
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）相量关系 I I 0 U U 9 0 X L I 90 0 X L 90 I 0 jX L I
U jX L I j L I
u
i
0
t
第二章 正弦交流电路
2.功率 （1）瞬时功率
p ui
U m I m s in t s in t 90
（能量的吞吐）。
0
t
p
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）无功功率 为了同电感的无功功率相
p u i UI sin 2t
比较，设电流 i I m s in t
u
i
为参考量，则： u U m sin( t 90 )
p uHale Waihona Puke U I sin 2 t0
t
储放 储放储放 能能 能能能能
p
0
t
u
i
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
2. 功率
平均功率（有功功率） P 1 T pdt U I I 2 R U 2
T0
R
平均功率衡量电路 中所消耗的电能， 也称有功功率。
iL
+
uL
L
−
u 波 形 图0
i
U•
相
t
量 图
I• 0°
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（2）大小关系
uL L Im sin( t 90 ) U m sin( t 90 )
最大值： U m L I m 有效值： U ω L I
定义： X L L ——感抗
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）相量关系 I I 0 U U 9 0 X L I 90 0 X L 90 I 0 jX L I
U jX L I j L I
u
i
0
t
第二章 正弦交流电路
2.功率 （1）瞬时功率
p ui
U m I m s in t s in t 90
（能量的吞吐）。
0
t
p
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）无功功率 为了同电感的无功功率相
p u i UI sin 2t
比较，设电流 i I m s in t
u
i
为参考量，则： u U m sin( t 90 )
p uHale Waihona Puke U I sin 2 t0
t
储放 储放储放 能能 能能能能
p
0
t
u
i
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
2. 功率
平均功率（有功功率） P 1 T pdt U I I 2 R U 2
T0
R
平均功率衡量电路 中所消耗的电能， 也称有功功率。
电工学 第二章正弦交流电路
e = Em sin (wt + j e )
(1-2)
. 一、正弦量的三要素
二、同频率正弦量的相位差
三、正弦量的有效值
(1-3)
一、正弦量的三要素
i = Im sin (wt + j ) i
Im
j
wt Im：电流幅值（最大值）
三要素
w： 角频率（弧度/秒）
.
U Z = I
j = j u - ji
结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比， 而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。
(1-46)
Z 和电路性质的关系
Z = R+ j (XL－ XC )
阻抗角
j = ju－ ji = arctg
(1-39)
以电流为 参考量时
正 误 判 断
在电阻电路中：
瞬时值
有效值
U I= R
？
U i= R
？
u ？ i = R
(1-40)
正 误 判 断
在电感电路中：
u i= XL
？
U I= ωL
u i= ωL
？
？
& U = XL & I
U = jω L I
？
？
(1-41)
第四节
RLC串、并联电路及功率因数的提高 一、RLC串联的正弦交流电路
& I U=&R
& I & U
(1-25)
相量图
总结功率关系
因为：
i= Im sinwt u =Ri=R Im sinwt p=u·=R·2=u2/R i i
小写，瞬时值功率
所以：
i
u
wt
(1-2)
. 一、正弦量的三要素
二、同频率正弦量的相位差
三、正弦量的有效值
(1-3)
一、正弦量的三要素
i = Im sin (wt + j ) i
Im
j
wt Im：电流幅值（最大值）
三要素
w： 角频率（弧度/秒）
.
U Z = I
j = j u - ji
结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比， 而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。
(1-46)
Z 和电路性质的关系
Z = R+ j (XL－ XC )
阻抗角
j = ju－ ji = arctg
(1-39)
以电流为 参考量时
正 误 判 断
在电阻电路中：
瞬时值
有效值
U I= R
？
U i= R
？
u ？ i = R
(1-40)
正 误 判 断
在电感电路中：
u i= XL
？
U I= ωL
u i= ωL
？
？
& U = XL & I
U = jω L I
？
？
(1-41)
第四节
RLC串、并联电路及功率因数的提高 一、RLC串联的正弦交流电路
& I U=&R
& I & U
(1-25)
相量图
总结功率关系
因为：
i= Im sinwt u =Ri=R Im sinwt p=u·=R·2=u2/R i i
小写，瞬时值功率
所以：
i
u
wt
第七章--正弦交流电路
φ＝（ωt＋φi1）－（ωt＋φi2）＝φi1－φi2 可见，相位差＝初相位之差。
若 φ＞0，φi1＞φi2，i1超前i2； φ＝0，φi1＝φi2，i1与i2同相位； φ<0，φi1＜φi2，i1滞后i2；
i1 i2
i2 i1
φi2 φi1
i1超前i2
φi2 φi1
i1滞后i2
7.2 周期交流电量的有效值
UR RIR
瞬时功率: p iRuR 2U R IR sin2 (t )
URIR[1 cos 2(t )]
平均功率
P 1 T
T URiRdt UI I 2R
0
P
it
u.
IR
.
.
UR
. IR R
UR
2）电感元件
时域表达式 iL 2IL sin ωt
uL
L
diL dt
iL UL
交流电路:电压或电流是时间的周期性函数,一周期内平均值为零. 正弦交流电路:电压或电流是时间的正弦函数.
1)正弦交流电流描述 (电流参考方向如图所示)
瞬时值 i
瞬时表达式 i＝Imsin(ωt＋i)
电流波形图
iR
i
瞬时表达式需规定参考方向!
Im
t
2)正弦交流电的三要素
瞬时表达式 i＝Imsin(ωt＋i)
IR
UL U sin θ 100 0.8 80V ,
UR UL cos θ 80 0.6 48V
XC
UR IC
48 3
16Ω
.
U
.
IC θ
R UR 48 12Ω IR 4
XL
UL IL
80 5
16Ω
正弦交流电的基本概念
UN IN
=
220 2.27
= 96.9
W = PN t = （500×1）W·h= 0.5 kW·h
18
第3章 交流电路
二、纯电感电路
1.电压、电流 的关系 (1) 频率关系: 同频率的正弦量;
(2) 大小关系: Um =ωL Im
U =ωL I
感抗 : XL =ωL = U / I U = XL I
+i
+
R
uR
+
uL
uL
+
C
uC
│Z│
X
UX = UL + UC 阻抗三角形
U =│Z│I
UC
R
UR I
0＜ ＜ 90°
UR = R I
感性电路
UX = X I = (XL XＣ) I
27
第3章 交流电路
UL UC UC
U UR
＝0
电路呈阻性
UL
I UC UL
UR
I
UX= UL+ UC
U
90＜ ＜90
(3) 相位关系: ψu = ψi + 90°
ui
(4) 相量关系：U = j XL I
(5) 波形图:
O
ωt
90°
(6) 相量图：如 ： I = I 0 则：U = U 90
19
U I
第3章 交流电路
2.功率关系
ui
(1) 瞬时功率
p=ui
= Umcosωt Im sinωt
O
ωt
= U I sin 2ωt
R2 + (XL XC )2 = R2 + XL2
第四章： 正弦交流电路
= 2U sin (t+90)
i
【小结】电感两端电压和电流关系：
O
ωt
① 两者频率相同；
90
② 电压超前电流90，即相位差为：
= u i 90
③ 大小关系：U=I·L=I· XL ； XL为感抗；
20
i(t)= 2I sin t
u(t)= 2IL sin (t+90)
2. 感抗：Ω
∵ 有效值：U =I L
u
i
o
ωt
i
i
i
i
+
--
+
u uuu
-
++-
p(t)
+ p <0 + p <0
o
p >0
p >0
∵ 储存能量和释放能量交替
进行 ∴ 电感L是储能元件。
【结论】纯电感不消耗能量， 只和电源进行能量交换（能量 的吞吐)。
ωt
储能 释能 储能 释能
24
(3)无功功率Q：
用以衡量电感电路中与电源交换能量的瞬时最大值即振幅 称作~。即：
正确写出幅、角的值。如：
+j
B 4
A
A 3 j4
第一象限
4 A 5 arctan
3
-3 0 C -4
B 3 j4
第二象限
4 B 5(180 arctan )
+1
3
3
C 3 j4
第三象限
4 C 5(arctan 180)
3
D
D 3 j4
第四象限
4 D 5( arctan )
3
式中的j 称为旋转因子，复数乘以j相当于在复平面上逆
正弦交流电路的基本概念
返节目录
电路分析基础
正弦交流电解析式与波型图
电压或电流的大小和方向均随时间变化时，称为交
流电，最常见的交流电是随时间按正弦规律变化正弦电
压和正弦电流。表达式为：
波形图为：
u、i
u U m sin(t u )
i I m sin(t i )
t 0
返节目录
电路分析基础
3.1.1 正弦量的三要素
瞬时值 正弦量对应第一时刻的数值，通常用解析式表示：
u 311 sin(t 45)V i 7.07 sin(t 60)A
最大值 正弦量在一个周期内振荡的正向最高点： u
Um
0
t
返节目录
电路分析基础
3.1.1 正弦量的三要素
有效值 指与交流电热效应相同的直流电数值。
例 iR
IR
i t 时间内在R上产生的热量为Q I通过Rt 时间内也产生Q热量
相位
初相
u、i 的相位差为： (t u ) (t i )
t u t i
u i
显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的 初相之差。
返节目录
电路分析基础
3.1.2 相位差
介绍几个有关相位差的概念：
u u1
u3 u4 u2
ωt
u1与u2反相，即相位差为180°；
u3超前u190°，或说u1滞后u390°，二者为正交的相位关系。
电路分析基础
本章的学习目的和要求
正弦交流电路的基本理论和基本分析方法是 学习电路分析的重要内容之一，应很好掌握。 通过对本章的学习，要求能够正确理解正弦交 流电的基本概念；熟悉正弦交流电的几种表示 方法；深刻理解相量的概念，牢固掌握单一参 数上电压、电流关系及功率的关系；初步掌握 多参数组合的串、并联正弦交流电路的分析与 计算方法。
电路分析基础
正弦交流电解析式与波型图
电压或电流的大小和方向均随时间变化时，称为交
流电，最常见的交流电是随时间按正弦规律变化正弦电
压和正弦电流。表达式为：
波形图为：
u、i
u U m sin(t u )
i I m sin(t i )
t 0
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电路分析基础
3.1.1 正弦量的三要素
瞬时值 正弦量对应第一时刻的数值，通常用解析式表示：
u 311 sin(t 45)V i 7.07 sin(t 60)A
最大值 正弦量在一个周期内振荡的正向最高点： u
Um
0
t
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电路分析基础
3.1.1 正弦量的三要素
有效值 指与交流电热效应相同的直流电数值。
例 iR
IR
i t 时间内在R上产生的热量为Q I通过Rt 时间内也产生Q热量
相位
初相
u、i 的相位差为： (t u ) (t i )
t u t i
u i
显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的 初相之差。
返节目录
电路分析基础
3.1.2 相位差
介绍几个有关相位差的概念：
u u1
u3 u4 u2
ωt
u1与u2反相，即相位差为180°；
u3超前u190°，或说u1滞后u390°，二者为正交的相位关系。
电路分析基础
本章的学习目的和要求
正弦交流电路的基本理论和基本分析方法是 学习电路分析的重要内容之一，应很好掌握。 通过对本章的学习，要求能够正确理解正弦交 流电的基本概念；熟悉正弦交流电的几种表示 方法；深刻理解相量的概念，牢固掌握单一参 数上电压、电流关系及功率的关系；初步掌握 多参数组合的串、并联正弦交流电路的分析与 计算方法。
正弦交流电路
2. 平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值
i
P=UI
=I2R=i U2/2RI
sint
Uu =IRR
u 2U sint
P1 Tpd t1Tuidt
T0
T0
大写 1 T 2UIsin2t dt
T0
1
T
UI(1cos2t)dtUI
T0
§ 3.4 理想电感元件上的正弦稳态响应
一、电压电流关系
即：瞬时值和相量满足基尔霍夫定律，有效值不满足
I1I2I30
I1
I3
I1-I2+I3= 0
I2
U 3
U 4
U 2 U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 0 U 1
U 5
U 6
例： i162si nt (3)0
i282si nt (6)0
求i=i1+i2
i
解： I 1 6 3 0 5 .1 9 j3 6
Im[Ime ji e jt ]
复指数函数中的一个复常数
复常数定义为正弦量的相量，记
为
Im
相量 的表示
Im 为“最大值”相量
Im Im eji Im i
I 为“有效值”相量 IIeji Ii
相量是一个复数
注意
1）相量可以代表一个正弦量，但不等于该
正弦量。
U 50ej15° 50
2
sin(
实部是余弦量 虚部是正弦量
则 I[ m Im e j( t i)] Im sitn ( i)
正弦量可以用上述形式复数函数描述
I[ m Im e j( t i)] Im sitn ( i)
正弦量可以用上述形式复数函数描述
正弦交流电路的基本概念
03
正弦交流电路的分析方法
相量法
相量法是一种将正弦交流电的时 域表示转换为复数表示的方法， 通过引入相量来简化正弦交流电
路的分析。
相量表示法将正弦交流电的幅度 和相位信息整合到一个复数中， 简化了正弦函数的运算，使得电
路分析更为简便。
相量法的应用范围广泛，适用于 线性时不变电路的分析，尤其在 处理复杂正弦交流电路时表现出
等危险情况。
可靠性
经济性
高效性
选用高质量的元件和材 料，保证电路的稳定性
和可靠性。
在满足功能和安全性的 前提下，尽量降低成本。
优化电路设计，提高能 量转换效率和设备性能。
实践中的正弦交流电路设计案例
家用电器中的正弦交流电路
如电冰箱、空调、洗衣机等家用电器中的电机驱动电路，利用正弦交流电的特性 实现高效稳定的运行。
电力系统中的正弦交流电路
用于传输和分配电能，通过变压器、发电机和输电线路等设备将电能转换为适合 用户需求的电压和频率。
新型正弦交流电路的发展趋势
数字化控制
利用微处理器和传感器实现正弦 交流电路的数字化控制，提高电
路的智能化和自适应性。
高频化技术
通过改进开关器件和磁性元件，实 现正弦交流电路工作频率的提高， 从而减小电路体积和重量，提高能 量转换效率。
无功功率
表示电路中交换的能量，用于维持 磁场和电场，单位为乏（var）。
视在功率与功率因数
视在功率
表示电路中电压和电流的有效值的乘 积，单位为伏安（VA）。
功率因数
表示有功功率与视在功率的比值，用 于评估电路的效率。
电能的转换与传
电能转换
在正弦交流电路中，电能可以转换为机械能、光能等其他形 式的能量。
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UI sin2 ωt
u i
o
ωt
平均功率P
P 1
T
p dt
To
p + p <0 + p <0
1
T
UI sin (2ω t)dt 0
o p >0
To
p >0
ωt
充电 放电 充电 放电
18
瞬时功率 p： p UI sin2 ω t
平均功率P： P 0
无功功率 Q QC U I I 2 XC U 2 XC
u
C uC
-
-
+
.
U
.
+
U
-
R
+
.
UL
-
j 1 C
-
+.
UC
-
由KVL：
. U
. UR
[R
. UL
j(L
. UC
1
C
. RI
)]I
jL
[R
. I j
1
C
j(XL
. I
X
C
)]I 28
.
IR
j L
i
+
.
U
.
+
U
-
R
+
.
U
L
-
j 1 C
-
+.
UC
-
+ u _
Z
由KVL：
. U
...
.
UR UL UC R I
R
Imsin ω t 2 I sin ω t_Biblioteka 频率: 相同相位差 ：
大小关系：U RI
I U R
u i 0
相位关系 ： u、i 相位相同
3
一、单一参数的交流电路
1．电阻元件的正弦交流电路
电压与电流关系 设 u Umsinω t 2Usinω t
i
i u Umsinω t 2U sinω t
[R j(L 1 )]I C
.
jL I j
1
C
[R j(XL
. I
XC
)]I
(R jX ) I
Z
UI R
jL
j1
C
R
jX
Z z
29
Z
UI
R
jL
j1
C
R
jX
Z
z
Z— 复阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)；
|Z|—复阻抗的模；z —阻抗角。
转换关系：
阻抗三角形
+
R
R
R
u
R
Imsin ω t 2 I sin ω t
_
相量图
I
频率: 相同
U
相量关系： U RI
大小关系：U RI
相位关系 ： u、i 相位相同
I I0 U U0 RI0 RI
4
功率关系
i
+
u
R
_
瞬时功率 p：
瞬时电压与瞬时电流的乘积
ui
iu
O
ωt
i 2 I sin ω t u 2 U sin ω t
UI sinωt cosωt
UI sin2 ωt
u i
o
ωt
平均功率P
P 1
T
p dt
To
p + p <0 + p <0
1
T
UI sin (2ω t)dt 0
o p >0
To
p >0
ωt
充电 放电 充电 放电
11
瞬时功率 p： p UI sin2 ω t
平均功率P： P 0
无功功率 Q QL U I I 2 X L U 2 X L
（2）当 f = 5000Hz 时
X L 2fL 2 3.14 50001 31400Ω
U
220
I
0.007 A 7mA
X L 31400
电感元件具有通低频阻高频特性
10
功率关系
i 2I sinω t
瞬时功率 p： u 2U sin ( ω t 90 )
p i u 2UI sinωt sin( ωt 90)
|Z
|
R2 X 2
X
φz arctg R
或
R=|Z|cosz X=|Z|sinz
|Z| X
z
R
Z U I
z u i
30
R、L、C 串联阻抗：
（1）Z=R+j(L-1/C) =R+jX =|Z|∠z为复数，
故称复阻抗
（2）L > 1/C ，X>0， z>0，电路为感性，电压领先电流；
.
33
例1：i R
L
+ + uR - + uL -
u
C
-
已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,
u 5 2 sin(t 60)
+ uC
f 3104 Hz
-
求 i, uR , uL , uC .
解： 其相量模型为：
.
I R j L
•
U 560 V XL L 2 3104 0.3103 56.5Ω
解： (1) 当 f = 50Hz 时 I 0.7A
Q UI 220 0.7 154Var
（2）当 f = 5000Hz 时 I 0.007A 7mA
Q UI 220 0.007 1.54Var
13
3．电容元件的正弦交流电路
电压与电流关系 设 u 2 U sin ω t
根据关系式： i
求容抗XC与电容流过电流I，如保持U不变，而电源 f = 5000Hz, 这时容抗XC与电容流过电流I为多少？
解： (1) 当 f = 50Hz 时
XC
1
2fC
1 2 3.14 50 0.510-6
6370
I U 220 0.0345A X C 6370
（2）当 f = 5000Hz 时
dt
dt
U=RI
U=LI
UC
1 C
I
U RI
U&
jLI&
U&C
j 1 C
I&
21
相量图 波形图
单一元件电压电流的波形图和相量图
R
U I
L
U I
C
I U
u i
t
u、i同相
u i t
u超前i 90°
iu t
i超前 u 90°
22
单一元件的功率
元件
瞬时功率
平均功率 或有功功率
R p ui UI UI cos2t P UI I 2R \ U 2
C15
容抗:
U 1 I U j 1 I
C
C
XC
1
C
容抗的物理意义：
称为容抗，单位为 (欧姆)
(1) 表示限制电流的能力； (2) 容抗和频率成反比；
|XC|
0， |XC| 直流开路(隔直)
，|XC|0 高频短路(旁路作用)
相量表达式:
U
jX C I
j
1
C
I
j
1
2fC
I
16
例3：把一个0.5F的电容接到 f=50Hz, U=220V的正弦电源上，
(4)
XL
UUIILL
Um Im
(6) UL j LIL
(7) u CL di dt
24
作业
25
电路与电工技术项目教程
——教、学、做一体化
26
项目4 正弦交流电路的基本
概念和基本定律
27
任务二 正弦交流电路中的电压、电流及功率
二、RLC串联电路
1．电压与电流关系
iR
L
.
I R j L
+ + uR - + uL - +
I R j L
等效电路
+
.
.
+
U
-
R
+
.
UL
-
U
-
.
U
z
.
I
31
Z=R+j(L-1/C)=R+jX=|Z|∠z
（3） L<1/C， X <0， z <0，电路为容性，电压滞后电流；
.
IR
.
等效电路 +
.
U
-
+
.
U
-
R
j 1
C
+.
UC
-
z
.
U
I
（4） L=1/C ，X=0， z=0，电路为阻性，电.压与电流同相。
UL
等效电路
+.
U
UC
UR U
I
-
I
+.
R -U R
32
由 R、L、C 串联电路得出：
.
I R j L
+
.
U
.
+
U
-
R
+
.
UL
-
j 1 C
-
+.
UC
-
（1）当L 1 时，X > 0， 0 ，电路呈感性。 C
（2）当L 1 时，X < 0， 0 ，电路呈容性。 C
（3）当L 1 时，X = 0， 0 ，电路呈电阻性。 C
u i
o
ωt
平均功率P
P 1
T
p dt
To
p + p <0 + p <0
1
T
UI sin (2ω t)dt 0
o p >0
To
p >0
ωt
充电 放电 充电 放电
18
瞬时功率 p： p UI sin2 ω t
平均功率P： P 0
无功功率 Q QC U I I 2 XC U 2 XC
u
C uC
-
-
+
.
U
.
+
U
-
R
+
.
UL
-
j 1 C
-
+.
UC
-
由KVL：
. U
. UR
[R
. UL
j(L
. UC
1
C
. RI
)]I
jL
[R
. I j
1
C
j(XL
. I
X
C
)]I 28
.
IR
j L
i
+
.
U
.
+
U
-
R
+
.
U
L
-
j 1 C
-
+.
UC
-
+ u _
Z
由KVL：
. U
...
.
UR UL UC R I
R
Imsin ω t 2 I sin ω t_Biblioteka 频率: 相同相位差 ：
大小关系：U RI
I U R
u i 0
相位关系 ： u、i 相位相同
3
一、单一参数的交流电路
1．电阻元件的正弦交流电路
电压与电流关系 设 u Umsinω t 2Usinω t
i
i u Umsinω t 2U sinω t
[R j(L 1 )]I C
.
jL I j
1
C
[R j(XL
. I
XC
)]I
(R jX ) I
Z
UI R
jL
j1
C
R
jX
Z z
29
Z
UI
R
jL
j1
C
R
jX
Z
z
Z— 复阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)；
|Z|—复阻抗的模；z —阻抗角。
转换关系：
阻抗三角形
+
R
R
R
u
R
Imsin ω t 2 I sin ω t
_
相量图
I
频率: 相同
U
相量关系： U RI
大小关系：U RI
相位关系 ： u、i 相位相同
I I0 U U0 RI0 RI
4
功率关系
i
+
u
R
_
瞬时功率 p：
瞬时电压与瞬时电流的乘积
ui
iu
O
ωt
i 2 I sin ω t u 2 U sin ω t
UI sinωt cosωt
UI sin2 ωt
u i
o
ωt
平均功率P
P 1
T
p dt
To
p + p <0 + p <0
1
T
UI sin (2ω t)dt 0
o p >0
To
p >0
ωt
充电 放电 充电 放电
11
瞬时功率 p： p UI sin2 ω t
平均功率P： P 0
无功功率 Q QL U I I 2 X L U 2 X L
（2）当 f = 5000Hz 时
X L 2fL 2 3.14 50001 31400Ω
U
220
I
0.007 A 7mA
X L 31400
电感元件具有通低频阻高频特性
10
功率关系
i 2I sinω t
瞬时功率 p： u 2U sin ( ω t 90 )
p i u 2UI sinωt sin( ωt 90)
|Z
|
R2 X 2
X
φz arctg R
或
R=|Z|cosz X=|Z|sinz
|Z| X
z
R
Z U I
z u i
30
R、L、C 串联阻抗：
（1）Z=R+j(L-1/C) =R+jX =|Z|∠z为复数，
故称复阻抗
（2）L > 1/C ，X>0， z>0，电路为感性，电压领先电流；
.
33
例1：i R
L
+ + uR - + uL -
u
C
-
已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,
u 5 2 sin(t 60)
+ uC
f 3104 Hz
-
求 i, uR , uL , uC .
解： 其相量模型为：
.
I R j L
•
U 560 V XL L 2 3104 0.3103 56.5Ω
解： (1) 当 f = 50Hz 时 I 0.7A
Q UI 220 0.7 154Var
（2）当 f = 5000Hz 时 I 0.007A 7mA
Q UI 220 0.007 1.54Var
13
3．电容元件的正弦交流电路
电压与电流关系 设 u 2 U sin ω t
根据关系式： i
求容抗XC与电容流过电流I，如保持U不变，而电源 f = 5000Hz, 这时容抗XC与电容流过电流I为多少？
解： (1) 当 f = 50Hz 时
XC
1
2fC
1 2 3.14 50 0.510-6
6370
I U 220 0.0345A X C 6370
（2）当 f = 5000Hz 时
dt
dt
U=RI
U=LI
UC
1 C
I
U RI
U&
jLI&
U&C
j 1 C
I&
21
相量图 波形图
单一元件电压电流的波形图和相量图
R
U I
L
U I
C
I U
u i
t
u、i同相
u i t
u超前i 90°
iu t
i超前 u 90°
22
单一元件的功率
元件
瞬时功率
平均功率 或有功功率
R p ui UI UI cos2t P UI I 2R \ U 2
C15
容抗:
U 1 I U j 1 I
C
C
XC
1
C
容抗的物理意义：
称为容抗，单位为 (欧姆)
(1) 表示限制电流的能力； (2) 容抗和频率成反比；
|XC|
0， |XC| 直流开路(隔直)
，|XC|0 高频短路(旁路作用)
相量表达式:
U
jX C I
j
1
C
I
j
1
2fC
I
16
例3：把一个0.5F的电容接到 f=50Hz, U=220V的正弦电源上，
(4)
XL
UUIILL
Um Im
(6) UL j LIL
(7) u CL di dt
24
作业
25
电路与电工技术项目教程
——教、学、做一体化
26
项目4 正弦交流电路的基本
概念和基本定律
27
任务二 正弦交流电路中的电压、电流及功率
二、RLC串联电路
1．电压与电流关系
iR
L
.
I R j L
+ + uR - + uL - +
I R j L
等效电路
+
.
.
+
U
-
R
+
.
UL
-
U
-
.
U
z
.
I
31
Z=R+j(L-1/C)=R+jX=|Z|∠z
（3） L<1/C， X <0， z <0，电路为容性，电压滞后电流；
.
IR
.
等效电路 +
.
U
-
+
.
U
-
R
j 1
C
+.
UC
-
z
.
U
I
（4） L=1/C ，X=0， z=0，电路为阻性，电.压与电流同相。
UL
等效电路
+.
U
UC
UR U
I
-
I
+.
R -U R
32
由 R、L、C 串联电路得出：
.
I R j L
+
.
U
.
+
U
-
R
+
.
UL
-
j 1 C
-
+.
UC
-
（1）当L 1 时，X > 0， 0 ，电路呈感性。 C
（2）当L 1 时，X < 0， 0 ，电路呈容性。 C
（3）当L 1 时，X = 0， 0 ，电路呈电阻性。 C