几何的五大模型ppt课件

2）翅膀面积之和：尾巴面积=翅骨：尾骨
（SΔABG+ SΔACG）： SΔBGC=AG:GE
3） BECFAD1 CE AF BD
6
例题：等积变换
例题1：一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形 面积的15%，黄色三角形面积是21cm2。问：长方形的面积是 多少平方厘米？
分析：SΔ黄+SΔ绿=S长方形÷2（=宽×长÷2）
D
EbF
C
可以假设最小的三角形面积为1份。想想？其它各部分所占的份数
4、 ∵ a：b=3:1，∴S2=S4=3份，S1=9份
5、 想想？正方形ABCD中，还有哪些没有包块进去，及与份数之间的关系
6、SΔADE =S2+S3，S ΔBCF =S4+S3 想想？为什么，用了什么模型
积比等于对应交（相等或互补角）两夹边 的乘积之比
AC
E
B
3、SΔABC： SΔFCE=BC×CA：CE×AF
D
SΔFCE=8 SΔABC=8
同理可知： SΔFAD=6，SΔDBE=3
所以： SΔFDE=18
思考？共角模型可以用等积变换模型推导出来，请用等积变换模型试试 关键点：添加辅助线
12
例题：梯形蝴蝶定理模型
几何问题 --五大模型
风子编辑
1
概念
1、等积变换模型
1）等底等高的两个三角形面积相等 2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比 如图1 S1：S2=a：b 3）夹在一组平行线之间的等积变形，如图2 SΔACD= SΔBCD 反之，如果SΔACD= SΔBCD，则有直线AB//CD
AB
S1 S2
a
b
CD
图1
图2
2
概念
2、鸟头定理（共角定理）模型
1）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形
2）共角三角形的面积比等于对应交（相等或互补角）两夹边的乘积之比
D
E
A
D
A
A
E D
BC
E
B
CB
C
如图，在ΔABC中，D、E分别是AB、AC上的点，或D是BA延长线上， E在AC上，则有SΔABC ： SΔADE=(AB×AC)：(AD×AE)
8
例题：一半模型
例题3：如图ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘 米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米。
分析：阴影部分是一个个三角形，矩形CDEF中阴影 A
B
部分的三角形底边长度为矩形的长，高与矩 E
F
形宽相等，根据面积公式可知S阴影=SEDCF÷2
D
C
思考：一半模型是什么意思？
9
例题：燕尾定理模型
例题4：如图E在AD上，AD⊥BC，AD=12cm，DE=3cm，求SΔABC是
SΔEBC的几倍？
A
分析： 根据燕尾定理模型，S翅膀：S尾巴=AE:ED
SΔABC= S翅膀+S尾巴
B
SΔEBC= S尾巴 SΔEBC÷ SΔEBC= 12÷3=4
翅E 膀
尾巴
C D
例题5：如图，A、B、C都是正方形边的中点， ΔCOD比ΔAOB大15平方厘米的面积， ΔAOB的面积是多少平方厘米。
例题4：如图，面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E、F是DC边上的
三等分点，求阴影部分的面积。 分析： 1、看下图形，回忆下梯形蝴蝶定理模型
A
a
B
S1
2、S2=S4，S1：S3=a2：b2
O
S2 S4
S1：S3：S2：S4=S3=a2：b2：ab：ab
S3
3、蝴蝶定理模型，把梯形肢解模块化，我们
思考：怎样用等积变换模型来证明这个模型
3
概念
3、蝴蝶定理模型（任意四边形中的比例关系）
1）不规则四边形
a A
S1
S2 O
D S4
S1：S2=S4：S3 AO：OC=(S1+S2)：(S3+S4)
S3
B b
C
1）梯形
A
a
D
S1
S1：S3=a2：b2
S2
S4 O
S1：S3：S2：S4=S3=a2：b2：ab：ab
11
例题：鸟头（共角）模型
例题4：如图，已知三角形ABC面积为1，延长至D，使BD=AB，延长BC 至E，使CE=2BC，延长至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积
分析： 1、想想？∠ACB与∠FCE、 ∠CAB与∠FAD、
∠ABC与∠DBC是什么关系
F 2、互补。在共角模型中，共角三角形的面
分析： 正方形的各条边边长相等，都为12，E、F、G为
三等分点，想想？可采用什么模型
A
6
HD
从图可知，存在等积等高，那试试等积变换模型 怎么变换呢？先画几条符合该模型的辅助线
5
1G
2
E
43
B
C
F
想想？ΔHBE与ΔHAB、 ΔHBF与ΔHBC、 ΔHDG与ΔHCD之间的比例关系
都存在1:3的关系
所以：S阴影是S正的三分之一，即S阴影=12×12÷3=48
分析： 1、连接AE、BD，作两条平行线
2、PD//BC ，根据等积变换模型 S ΔPBD= S ΔPCD AB//ED ,根据等积变换模型S ΔAEP= S ΔPDB
F
E
APD
B
C
3、根据如此等积变换，阴影部分面积与三角形ADE相等，即： S阴影=SADEF÷2=3.18
思考：几何问题经常要用到添加辅助线，这比较关键。
S3
B b
S梯形的对应份数为（a+b）2
C
4
概念
4wenku.baidu.com相似模型
A
D
FE
B
G
C
金字塔模型
E FD A
B
G
C
沙漏模型
1）相似三角形线段关系 2）相似三角形面积关系
AD:AB=AE:AC=DE:BC=AF:AG SΔADE ： SΔABC=AF2：AG2
5
概念：
5、燕尾定理模型
A
D
F
G
B
E
C
1）翅膀之比等于尾巴之比 SΔABG： SΔACG= SΔBGE： SΔCGE =BE:CE SΔBGA： SΔBGC= SΔGAF： SΔGCF =AF:CF SΔAGC： SΔBGC= SΔAGD： SΔBGD =AD:BD
黄色三角形面积21cm2，占长方形面积比例
黄
50%-15%=35% 因此，长方形面积=21÷35%=60cm2
红
红
绿
7
例题：等积变换
例题2：图中ABCD是个直角梯形，以AD为一边向外作长方形ADEF， 其面积为6.36平方厘米，连接BE交AD于P，再连接PC，则图 中阴影部分的面积是多少平方厘米？
分析： ΔABD 的高是ΔCBD的一半，而底边相同 SΔCOD-SΔAOB=SΔCBD -SΔABD= SΔABD =15cm2 SΔAOB= SΔABD ÷2=7.5cm2
C
A
O
E
B
D 10
例题：等积变换模型
例题4：图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正 方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？