高中数学双曲线经典考点及例题讲解
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
高中数学精讲(4)双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,F F 叫做双曲线的 ， 两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ；2a >12F F 时，轨迹 ．2.双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点在x 轴） 其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．焦点在y 轴，标准方程是 。
思考：由双曲线的标准方程如何判定焦点的位置以及22,b a3. 典型例题例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式：已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为 ．例2：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x 轴上，4a =，3b =；（2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．例3：双曲线2255x ky +=的一个焦点是，那么实数k 的值为（ ）．A ．25-B ．25C ．1-D ．1练习：1．动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）．A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线2．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b =（ ）．A. 5B. 13C.3．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程为 ．4．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围 ．5.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上，a =，经过点(5,2)A -；（2）经过两点(7,A --，B ．双曲线的简单几何性质1.（1）双曲线22221x y a b-=的几何性质范围：x ： y ： 。
双曲线知识点归纳总结例题分析
双曲线知识点归纳总结例题分析双曲线基本知识点补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（⼀般⽽⾔是a=b ，但有些地区教材版本不同，不⼀定⽤的是a,b 这两个字母）；（2）其标准⽅程为x^2-y^2=C ，其中C≠0；（3）离⼼率e=√2；（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意⼀点到中⼼的距离是它到两个焦点的距离的⽐例中项；（6）等轴双曲线上任意⼀点P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P 所平分；（7）等轴双曲线上任意⼀点处的切线与两条渐近线围成三⾓形的⾯积恒为常数a^2；（8）等轴双曲线x^2-y^2=C 绕其中⼼以逆时针⽅向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。
所以反⽐例函数y=k/x 的图像⼀定是等轴双曲线。
例题分析：例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满⾜126PF PF -=，则点P 的轨迹⽅程为（）Ａ．221916x y -= Ｂ．221169x y -+=Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．221(3)169x y y -+=-≤同步练习⼀:如果双曲线的渐近线⽅程为34y x =±，则离⼼率为（）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54例2、已知双曲线2214x y k+=的离⼼率为2e <，则k 的范围为（）Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<<Ｄ．120k -<<同步练习⼆:双曲线22221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离⼼率为．例3、设P 是双曲线22219x y a -=上⼀点，双曲线的⼀条渐近线⽅程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为．同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准⽅程为。
双曲线知识点及例题
双曲线知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线的轨迹叫作双曲线..这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距两焦点的距离叫作双曲线的焦距. . 注意：注意：1. 1. 双曲线的定义中，常数双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；的一支；3. 3. 若常数若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。
的垂直平分线。
知识点二：双曲线与的简单几何性质标准方程图形性质焦点， ，焦距范围，，对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 轴长 实轴长=，虚轴长=离心率 渐近线方程1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长ab 222.2.等轴双曲线等轴双曲线等轴双曲线 : : :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b 时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。
其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为3.3.与双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y 轴上）轴上）4.4.焦点三角形的面积焦点三角形的面积2cot221qb SF PF =D ，其中21PF F Ð=q 5.5.双曲线的焦点到渐近线的距离为双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0(122<=+mn ny mx 7.7.椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据|MF 1|+|MF 2|=2a根据|MF 1|－|MF 2|=|=±±2aa ＞c ＞0， a 22－c 22=b 22（b ＞0）0＜a ＜c ， c 22－a 22=b 22（b ＞0）， ，（a＞b＞0）（a＞0，b＞0，a不一定大于b）典型例题1、已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（）D．A．B．C．试题分析：由题意可知，因为渐近线方程为 所以渐近线的方程为 2、已知分别是双曲线的左右焦点，过做垂直于轴的直线交双曲线于两点，若为钝角三角形，则双曲线的离心率的范围是A．B．C．D．试题分析：由题意为钝角三角形，则,所以,又，，所以，所以，所以．考点：双曲线离心率．3、已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线为，则它的离心率为（）A．B．C．D．试题分析：由已知得，又在双曲线中有，所以得到；故选A．4、若双曲线的两准线间的距离是焦距的，则双曲线的离心率为_________. 试题分析：双曲线的两准线的距离为：，两焦点间的距离为：，根据题意可由：化简为：解得：，所以答案为：. 5、双曲线的离心率 ．试题分析：双曲线即为，其中6、如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．4B．C．D．试题分析：因为为等边三角形，不妨设，为双曲线上一点，，为双曲线上一点，则，，由，则，在中应用余弦定理得：，得，则7、设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．试题分析：的一条渐近线方程与抛物线只有一个公共点，把代入中，得，由，，则8、过双曲线的右焦点F2的一条弦PQ，|PQ|=7，F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（）A．18B．C．D．试题分析：可化为；由双曲线的定义，得的周长为.9、双曲线的顶点到其渐近线的距离等于_________．试题分析：双曲线的顶点为，渐近线方程为，即；则顶点到其渐近线的距离为. 10、双曲线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：由题意知，又，∴，∴. 11、双曲线的实轴长是（）A．2B．2C．4D．4试题分析：双曲线方程可变形为，所以. 12、双曲线：的渐近线方程是（）A．B．C．D．试题分析：由双曲线的渐近线方程的公式可知的渐近线方程是．13、斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：如图,要使斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需即可,从而有所以有离心率,故选D. 14、过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．试题分析：双曲线的焦点在y轴上，通过双曲线的图象与性质可知当直线与双曲线有两交点时直线的斜率k>1或k<-1，因此答案选B。
双曲线知识点归纳与例题分析
双曲线知识点归纳与例题分析双曲线是解析几何中重要的曲线之一，它有着许多特殊的性质和应用。
本文将对双曲线的知识点进行归纳，并结合例题进行分析，帮助读者更好地理解和应用双曲线的相关概念。
一、基本概念双曲线是平面上满足特定几何性质的曲线，由平面上到两个给定的点的距离之差等于一个常数构成。
常见的双曲线方程有两种形式：椭圆型和双曲型。
椭圆型的方程形如：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$，而双曲型的方程形如：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$。
其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
二、性质与特点1. 焦点和准线：双曲线的焦点是曲线上到两个定点的距离之和等于常数的点，而准线是指到两个定点的距离之差等于常数的直线。
在椭圆型的双曲线中，焦点和准线位于曲线的长轴上，而在双曲型双曲线中，焦点和准线位于曲线的短轴上。
2. 渐近线：双曲线的两条渐近线是曲线的一种特殊性质。
渐近线与曲线的距离趋于无穷远，但始终不与曲线相交。
在双曲型的双曲线中，渐近线的斜率等于正负短轴与长轴之比。
而在椭圆型的双曲线中，渐近线的斜率等于正负长轴与短轴之比。
3. 对称性：双曲线具有关于x轴、y轴和原点的对称性。
即在曲线上一点(x, y)处，如果(x, -y)也在曲线上，那么曲线关于x轴对称；如果(-x, y)也在曲线上，那么曲线关于y轴对称；如果(-x, -y)也在曲线上，那么曲线关于原点对称。
三、例题分析下面通过几个例题来加深对双曲线的理解：例题1：已知双曲线的焦点为(2, 0)，离心率为2，求该双曲线的方程。
解析：根据离心率的定义可知，双曲线的离心率e满足$$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$$，其中a和b分别为双曲线椭圆型方程中长轴和短轴的长度。
因此，代入题目中的离心率2，可以得到2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。
解方程可得a=\sqrt{5}，再根据焦点所在的位置可知，椭圆型方程的焦点是位于横轴上的。
双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版 附详解答案)
双曲线常见题型与典型方法归纳考点一 双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。
（1）距离之差的绝对值.（2）当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
2双曲线的标准方程及几何性质标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图形性 质焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称顶点 （-a ，0）。
（a ，0） （0，-a ）（0，a ）轴 实轴长2a ，虚轴长2b离心率)1(>=e ace （离心率越大，开口越大） 准线ca x 2±=ca y 2±=通径22b d a=22b d a=渐近线x ab y ±= x bay ±=注意：等轴双曲线（1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线 （2）方程：222x y a -=或222y x a -= （3）离心率e =渐近线y x =±（4）方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为22(0)x y λλ-=≠ 【典例】 已知等轴双曲线经过点1)-，求此双曲线方程 3双曲线中常用结论（1）两准线间的距离: 22a c （2）焦点到渐近线的距离为b （3）通径的长是ab 22考点二 双曲线标准方程一 求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。
高中数学复习-双曲线的定义、方程及性质
）
解析：设｜ PF 2｜＝ m ，｜ PF 1｜＝3 m ，则｜ F 1 F 2｜＝
2 + 92 − 2 × 3 × × cos60° ＝ 7 m ，所以 C 的离心率 e
｜1 2 ｜
2
7
7
＝ ＝ ＝
＝
＝ .
2
2
2
｜1 |−|2 ｜
目录
高中总复习·数学
BE ｜＝1，｜ CD ｜＝｜ CF ｜，所以｜
CA ｜－｜ CB ｜＝5－1＝4.根据双曲线定
义，所求轨迹是以 A ， B 为焦点，实轴长为4
的双曲线的右支（右顶点除外），即 c ＝3，
a ＝2，又 c 2＝ a 2＋ b 2，所以 b 2＝5，所以顶
2
2
点 C 的轨迹方程为 － ＝1（ x ＞2）.
9 + 28 = 1，
经过点 P （3，2 7 ）， Q （－6 2 ，7），所以ቊ
72 + 49 = 1，
解得 ൞
＝ −
1
＝ .
25
1
，
75
2
2
故所求双曲线标准方程为 － ＝1.
25
75
目录
高中总复习·数学
双曲线的几何性质
考向1 双曲线的渐近线
【例3】
2
2
（1）已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1（ a ＞0， b ＞0）的焦距为
PF 2｜＝4 a ，∴｜ PF 1｜＝3 a ，｜ PF 2｜＝ a .在△ PF 1 F 2中，由余弦定
｜1 ｜2 ＋｜2 ｜2 −|1 2 ｜2
1
理的推论可得 cos 60°＝
，即 ＝
双曲线知识点及例题
双曲线知识点及例题一、双曲线的定义平面内到两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）的距离之差的绝对值等于常数\（2a\）（＼（0 ＜2a ＜｜F_1F_2|＼））的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离\（｜F_1F_2|＼）叫做焦距，记为\（2c\）。
二、双曲线的标准方程焦点在\（x\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2}＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
焦点在\（y\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2}＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
三、双曲线的几何性质1、范围焦点在\（x\）轴上的双曲线，＼（x\）的取值范围是\（x ＼leq a\）或\（x ＼geq a\）；＼（y\）的取值范围是\（R\）。
焦点在\（y\）轴上的双曲线，＼（y\）的取值范围是\（y ＼leq a\）或\（y ＼geq a\）；＼（x\）的取值范围是\（R\）。
2、对称性双曲线关于\（x\）轴、＼（y\）轴和原点都对称。
3、顶点焦点在\（x\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼）。
4、渐近线焦点在\（x\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{b}｛a}x\）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{a}｛b}x\）。
5、离心率双曲线的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（e ＞ 1\）），它反映了双曲线的开口大小。
四、例题解析例 1：已知双曲线的方程为\（＼frac{x^2}｛9} ＼frac{y^2}｛16} ＝1\），求其顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程和离心率。
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解44 双曲线(含解析)
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解考点44 双曲线一．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．二.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.三．双曲线的几何性质x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长A 1A 2＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长B 1B 2＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)四．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．考点题型分析考点题型一 双曲线的定义【例1-1】(2022·浙江省德清县第三中学)已知双曲线22:14x G y -=的左､右焦点分别为1F ､2F ，若点P 在G 的右支上，且21PF =，则1PF =( ) A ．3B ．5C ．251D ．251+【答案】B【解析】由题可知：双曲线方程为2214x y -=，所以2a =又212PF PF a -=，所以1245PF PF =+=故选：B【例1-2】．(2022·河北张家口市)已知12(6,0),(6,0)F F -，动点P 满足21|PF PF a -=∣，当a 分别为4和12时，点P 的轨迹分别为( ) A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线和一条射线 C ．双曲线的一支和一条射线 D ．双曲线的一支和一条直线【答案】C【解析】由题意，得1212F F =当4a =时，21124PF PF a F F -==<，可知点P 的轨迹为双曲线左支； 当12a =时，211212PF PF a FF -===，可知点P 的轨迹为以1F 为端点的一条射线.故选：C【例1-3】．(2022·全国课时练习)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221x y -=的左､右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|等于________. 【答案】4【解析】由双曲线方程知：12||2F F c == 在△PF 1F 2中，由余弦定理知：2222121212121212||||||2||||cos (||||)||||F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，∴21212||||8(||||)PF PF PF PF ⋅=--，而12||||||2PF PF -=， ∴12||||4PF PF ⋅=. 故答案为：4.【举一反三】1．(2022·上海普陀区)设P 是双曲线221169x y -=上的点，若1F ，2F 是双曲线的两个焦点，则12PF PF -=( )A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】C【解析】由双曲线221169x y -=可得4a = 根据双曲线的定义可得：2128PF F a P -== 故选：C2．(2022·上海市)已知两点()3,0M -和()3,0N ，动点P 满足6PM PN -=，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线C ．一条射线D ．双曲线的右支【答案】C【解析】由两点()3,0M -和()3,0N ，动点P 满足6PM PN MN -==， 所以动点P 的轨迹是一条射线.故选：C3．(2022·浙江省宁海中学高三月考)在平面直角坐标系中，()12,0F -，()22,0F ，12PF PF a -=(a ∈R )，若点P 的轨迹为双曲线，则a 的取值范围是( ) A ．()0,4 B ．(]0,4 C ．()4,+∞ D ．()()0,44,+∞【答案】A【解析】12PF PF a -=，由点P 的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义.则12124PF PF F F <=-，所以04a <<故选: A4．(2022·全国高三专题练习)已知1F 、2F 为双曲线22:13x C y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12PF F △的面积为____________【解析】双曲线22:13x C y -=，则223,1a b ==，所以2224c a b =+=，利用双曲线定义知，122PF PF a -==两边平方得221212||||122||||PF PF PF PF +=+⋅，且12||24F F c ==，1260F PF ∠=由余弦定理22212212121212||||||122||||161cos 2||||2||||2PF PF FF PF PF F PF PF PF PF PF +-+⋅-∠===⋅⋅， 解得：12||||4PF PF ⋅=，则121211||||sin 604222PF F S PF PF =⋅⋅∠=⨯⨯=考点题型二 双曲线的标准方程【例2-1】(2022·福建龙岩市)“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程22112x y m m +=+-表示双曲线，则(1)(2)0m m +-<，得12m -<<，则11m -<<能推出12m -<<，12m -<<不能推出11m -<<，“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A ．【例2-2】．(2022·全国课时练习)过点(1,1)，且ba=( ) A ．22112x y -=B ．22112y x -=C ．22112y x -= D ．22112x y -=或22112y x -=【答案】D【解析】由ba=222b a =. 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为222212x y a a -=，将点(1,1)代入可得212a =，则双曲线方程为22112x y -=.同理，焦点在y 轴上时，双曲线方程为22112y x -=.故选：D【举一反三】1．(2022·海原县第一中学)根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)焦点在x 轴上，2a =离心率52e =，求双曲线的标准方程； (2)11a c +=，3c a -=，焦点在y 轴上，求双曲线的标准方程．【答案】(1)224121x y -=；(2)2211633y x -=.【解析】(1)由题意可得252a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩，5c ∴=，b =因为双曲线的焦点在x 轴上，因此，双曲线的标准方程为224121x y -=； (2)由已知条件可得113a c c a +=⎧⎨-=⎩，解得74c a =⎧⎨=⎩，b ∴==因为双曲线的焦点在y 轴上，因此，双曲线的标准方程为2211633y x -= 2．(2022·浙江)已知曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，( )A ．若E 表示双曲线，则2m >B ．若12m <<，则E 表示双曲线C ．若E 表示椭圆，则2m >D ．若12m <<且32m ≠，则E 表示椭圆 【答案】D【解析】因为曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，当()()120m m -->解得2m >或1m <时曲线表示双曲线；当102012m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩即12m <<且32m ≠时曲线表示椭圆；故选：D3．(2022·江苏南通市)命题:p “34m <<”是命题:q “曲线22135x y m m-=--表示双曲线”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】命题:q “曲线22135x y m m-=--表示双曲线”，则()()350m m -->，即()()350m m --<， 解得35m <<由于命题p 能推出命题q ，命题q 不能推出命题p 则命题p 是命题q 的充分不必要条件 故选：C考点题型三 直线与曲线的位置关系【例3】(2022·全国课时练习)若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，求实数k 的取值范围． 【答案】22k -<<【解析】4x 2－y 2＝16渐近线方程为2y x =±，因为直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，所以k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由0∆>可得()241640k ⨯->，解得22k -<<.【举一反三】1．(2022·徐汇区·上海中学)已知直线()1y kx k =+∈R 与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？【答案】k =k =【解析】由22311x y y kx ⎧-=⎨=+⎩得()223220k x kx ---=，因为直线与双曲线有一个公共点，所以230k -=或()()()2223024320k k k ⎧-≠⎪⎨∆=----=⎪⎩，解得k =k =2．(2022·江苏南通市)直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有( )个 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390kx k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=，对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k =±不满足方程2724250k k +-=.综上所述，k 的取值有4个.故选：D.3．(2022·陕西宝鸡市)如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有( ) A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=， 若210k -=，即1k =±，1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，2k =±，此时方程组也只有一解． 方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条． 故选：D ．考点题型四 弦长【例4】(2022·全国高三专题练习)直线x ＋y ＝1与双曲线4x 2－y 2＝1相交所得弦长为( )A．3B．3CD【答案】B【解析】将直线1x y +＝代入2241x y -＝得23220x x +-=. 设两交点()()1122,,,A x y B x y ，则12122233x x x x +-=-＝，，123AB x ∴=-==.故选:B ． 【举一反三】1．(2022·辽宁朝阳市·高三月考)直线0x y -=与双曲线2222x y -=有两个交点为A ，B ，则AB =( ) A ．2 B ．C ．4D ．【答案】C【解析】由22220x y x y ⎧-=⎨-=⎩，得11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩4AB ==.故选：C ．2．(2022·全国高三专题练习)过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB |＝( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y＝k (x －4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k--＝8，解得k ＝1. 所以x 1x 2＝2232321012k k k -+--＝10. 所以|AB |.故选:D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -=， ① 222212x y -=. ② ①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1.则直线AB 的方程为y ＝x －2. 由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0， 所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |＝.故选：D考点题型五 离心率与渐近线【例3】(2022·浙江湖州市)双曲线2214y x -=的离心率是_______，渐近线方程是_______．(两条都写出)2y x=±【解析】由题可知1a=，2b=，故c=e==渐近线方程为：by xa=±即2y x=±.2y x=±【举一反三】1．(2022·浙江杭州市·学军中学)双曲线22143x y-=的渐近线方程是___________；离心率为___________.【答案】2y x=±2【解析】由双曲线方程得：2,a b==，则c=因此渐近线方程是2y x=±；离心率为2ca=故答案为：2y x=±；22．(2022·湖北高三一模)已知12,F F分别是双曲线C的左､右焦点，若双曲线C上存在一点M满足1212::12:13:5MF MF F F=，则该双曲线的离心率为___________.【答案】5【解析】设121212,13,5MF k MF k F F k===双曲线的离心率122125521312F Fc kea MF MF k k====--.故答案为：53．(2022·河北张家口市)已知椭圆221259x y+=和双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>有共同焦点12,,F F P是它们的一个交点，且123F PFπ∠=，则双曲线的离心率为_____________.【答案】13【解析】椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为a ， 根据椭圆及双曲线的定义：121210,2PF PF PF PF a +=-=， 所以125,5PF a PF a =+=-，12128,3F F F PF π=∠=， 由余弦定理可得，2264(5)(5)2(5)(5)cos 3a a a a π=++--+-，整理得213a =，13c e a ===..。
双曲线知识点总结例题
（二）双曲线知识点及巩固复习1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F 1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2) 若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（1）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)1.等轴双曲线：特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直③离心率为2.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为例题在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支考点1、双曲线定义例1、已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程【例2】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（）A. B. C. D.【例3】已知双曲线与点M （5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使最小，则P 点的坐标为考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法1．定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a 、b 、c 即可求得方程． 2．待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法①与双曲线a2x2－b2y2＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2x2－b2y2＝t (t ≠0)；②若双曲线的渐近线方程是y ＝±a bx ，则双曲线的方程可表示为a2x2－b2y2＝t (t ≠0)；③与双曲线a2x2－b2y2＝1共焦点的方程可表示为a2－k x2－b2＋k y2＝1(－b 2＜k ＜a 2)； ④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为m x2＋n y2＝1(mn ＜0)；⑤与椭圆a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)有共同焦点的双曲线方程可表示为a2－λx2＋b2－λy2＝1(b 2＜λ＜a 2)．例4、求下列条件下的双曲线的标准方程．(1)与双曲线9x2－16y2＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)； (2)与双曲线16x2－4y2＝1有公共焦点，且过点(3，2)．1.在双曲线的标准方程中，若x 2的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2的系数是正的，那么焦点在y 轴上，且对于双曲线，a 不一定大于b .2．若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，以避免分类讨论．考点3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a 、b 、c 、e 的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程例5、(12分)双曲线C ：a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q (2a,0)，若C 上存在一点P ，使→AP ·→PQ ＝0，求此双曲线离心率的取值范围．例6、【活学活用】 3.(2012北京期末检测)若双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k =2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是 （ ）A .e >B.1<e <C.1<e <D.e >【例8】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）A ．B． C. D．【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.渐近线——双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例9】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.共轭双曲线——虚、实易位的孪生弟兄将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例10】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.设而不求——与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例： 【例11】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A.B.C.D.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：【例12】在双曲线上，是否存在被点M （1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：练习1．(2011安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 C ．4 D ．42．(2011山东高考)已知双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.5x2－4y2＝1B.4x2－5y2＝1C.3x2－6y2＝1D.6x2－3y2＝13.(2012嘉兴测试)如图，P 是双曲线4x2－y 2＝1右支(在第一象限内)上的任意一点，A 1，A 2分别是左、右顶点，O 是坐标原点，直线PA 1，PO ，PA 2的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则斜率之积k 1k 2k 3的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，81)C ．(0，41)D ．(0，21)4．(金榜预测)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B 在双曲线16x2－9y2＝1上，则|sin A －sin C|sin B为( )A.23B.32C.45D.545．P 为双曲线9x2－16y2＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．96．(2012南宁模拟)已知点F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.＋1B.＋1 C ．2 D ．27．方程2－m x2＋|m|－3y2＝1表示双曲线．那么m 的取值范围是________．8．(2012大连测试)在双曲线4x 2－y 2＝1的两条渐近线上分别取点A 和B ，使得|OA |·|OB |＝15，其中O 为双曲线的中心，则AB 中点的轨迹方程是________．9．双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是2，则3a b2＋1的最小值是________．10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1(－3,0)，一条渐近线的方程是 x －2y ＝0.(1)求双曲线C 的方程；(2)若以k (k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求k 的取值范围．11．(文用)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．12已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论13．已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
双曲线知识点总结例题
（二）双曲线知识点及巩固复习1. 双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F i，F2为两定点，P为一动点，⑴若||PF i|-|PF2||=2a①0<2a<|F 1F2I则动点P的轨迹是 _______________________________②2a=|F 1F2I则动点P的轨迹是________________________________③2a=0则动点P的轨迹是_________________________________⑵若|P F i|-|PF2|=2a① ______________________________________________________ 0<2a<|F i F2|则动点P的轨迹是_______________________________________________② ____________________________________________________ 2a=|F 1F2I则动点P的轨迹是_________________________________________________③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程 ________________________x,y的范围 __________________________________顶点__________ 焦点________________ 对称轴_______________ 对称中心实半轴的长 ____________ 虚半轴的长__________________ 焦距 _______________ 离心率e= _____ 范围_____________ e越大双曲线的开口越____ e越小双曲线渐近线焦半径公式|PF i|= |PF2|= ________________ (F l，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的(1)焦点在y轴上的双曲线标准方程 ________________________x,y的范围 __________________________________顶点 __________ 焦点________________ 对称轴_______________ 对称中心_____ 实半轴的长 ____________ 虚半轴的长_________________ 焦距 _______________ 离心率e= _____ 范围_____________ e越大双曲线的开口越____ e越小双曲线的开口越 ________准线 _________________ 渐近线______________________ 焦半径公式|PF i|= [PF2|= _______________________ (F i，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)1. 等轴双曲线：®特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直'丄；③离心率为 _____2. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线的共轭双曲线是6.双曲线系(1)共焦点的双曲线的方程为2,c为半焦距)(2)共渐近线的双曲线的方程为例题在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支考点1、双曲线定义例1、已知动圆M与圆C1 : (x + 4)2 + y2= 2外切,内切，求动圆圆心M的轨迹方程与圆C2: (x - 4)2 + y2 = 2= l(m> 0)与双曲线a白F2, P是两条曲线的一个交点,则|PF i| |PF2|的值是A.m-aS °)有相同的焦点F i,)J±=l例3】已知双曲线与点M (5 , 3)F为右焦点，若双曲线上有一点最小，则P点的坐标为考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法1.定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程.2 •待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法一x2 y2 x2 y2①与双曲线a2 —b2 = 1有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2 —b2 = t(t工0)；②若双曲线的渐近线方程是y=±a x,则双曲线的方程可表示为a2—y2=t(t却)；一x2 y2 x2 y2③与双曲线a2 —b2 = 1共焦点的方程可表示为a2- k—b2 + k = 1(—b2V k V a2);一x2 y2④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为m + n = 1(mn V0);一x2 y2 x2 y2⑤与椭圆a2 + b2 = 1(a > b > 0)有共同焦点的双曲线方程可表示为a2 -入+ b2 -U1(b2v 入V a2).例4、求下列条件下的双曲线的标准方程.x2 y2(1)与双曲线9 —16 = 1有共同的渐近线，且过点(一3，2);(2)与双曲线16 — 4 = 1有公共焦点,且过点(3, 2).1•在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.2. 若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2 + ny2 = 1(mn v 0)，以避免分类讨论.考点3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程x2例5、(12分)双曲线C: a2 —y2b2 = 1(a >0，b >0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0),若C上存在一点P，AP PQ使T f=0，求此双曲线离心率的取值范围.x2例6、活学活用】3.（2012北京期末检测）若双曲线a2的两个焦点分别为F i 、F 2, P 为双曲线上一点，且|PF i |二3|PF 2|,则该双曲线的 离心率e 的取值范围是 _________的右焦点，斜率k =2.若'与双曲线的两个交点分别在左右两支上,则双曲线的离心率e 的范围是评注】解题中发现△ PF 1F 2是直角三角形，是事前 不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能 临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维=1(a >0, b > 0)例7】直线！过双曲线口' 沪 B.1<e < 门C.1< e < 乓^-―=1p 卩例8】设尸为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点，若I 叭I I 布」° ,则“陋的面积为（C.】2人D. 24能力，这正是命题人的高明之处. 渐近线一一双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开 .双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交 ，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围 由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中设而不求一一与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求 请看下例：设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤 ，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：例9】过点（1，3）且渐近线为 的双曲线方程是以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.共轭双曲线一一虚、实易位的孪生弟兄—2 --j —1将双曲线 ' 的实、虚轴互易，所得双曲线方程为 .这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不例10】两共轭双曲线的离心率分别为证明：例11】双曲线的一弦中点为 （2，1），则此弦所在的直线方程为评注】在双曲线 即为其渐近线.根据这一点，可-1例12】在双曲线- 上,是否存在被点M （1，1 ）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用设而不求”的手段，会有如下解法练习1. （2011安徽高考）双曲线2X2—y2= 8的实轴长是（）A. 2B. 2C. 4D. 4x2 y2 o o2. （2011山东高考）已知双曲线a2 —b2 = 1（a> 0, b > 0）的两条渐近线均和圆C: x2+ y2—6X+ 5 = 0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2A. 5 —4 = 1B.4 —5 = 1C.3 —6 = 1D. 6 —3 = 1x23. （2012嘉兴测试）如图，P是双曲线4 —y2= 1右支（在第一象限内）上的任意一点，A，A2分别是左、右顶点，O是坐标原点，直线PA1，PO，PA>的斜率分别为k1, k2，k3,则斜率之积k j k2k3的取值范围是（）1 1 1A. （0,1）B. （0，8）C. （0，4）D. （0，2）4. （金榜预测）在平面直角坐标系xOy中，已知△ ABC的顶点A（—5,0）和C（5,0），顶点Bx2 y2 sin B在双曲线16 —9 = 1上，则|sin A —sin C|为（）3 2 5 4A.2B.3C.4D.5x2 y25. P为双曲线9 —16 = 1的右支上一点，M、N分别是圆（X+ 5）2+ y2= 4和（X—5）2+ y2=1上的点，则|PM|—|PN|的最大值为（）A. 6B. 7C. 8D. 96 . （2012南宁模拟）已知点F i, F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若厶PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（）A. + 1B.+ 1C. 2D. 2x2 y27.方程2 —m + |m| —3 = 1表示双曲线.那么m的取值范围是& （2012大连测试）在双曲线4x2—y2= 1的两条渐近线上分别取点A和B,使得|OA| OB|= 15,其中0为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是______________x2 y2 b2 + 19.双曲线a2 —b2 = 1(a> 0 , b >0)的离心率是2,贝U 3a的最小值是_____________10（2012肇庆模拟）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（—3,0）, 一条渐近线的方程是x—2y= 0.（1）求双曲线C的方程；⑵若以k（k丸）为斜率的直线I与双曲线C相交于两个不同的点M , N ,且线段MN的一81垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求k的取值范围.11.(文用)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).⑴求双曲线C的方程；(2)若直线：y= kx+ m(k丸,m丸)与双曲线C交于不同的两点M、N ,且线段MN的垂直平分线过点A(0，- 1),求实数m的取值范围.12已知中心在原点，顶点A i、A2在x轴上，离心率e=' 的双曲线过点P(6 , 6) (1)求双曲线方程.(2)动直线丨经过△ A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线I,使G平分线段MN ,证明你的结论■13 .已知双曲线，问过点A （1 , 1）能否作直线*，使'与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线I的方程，若不存在，说明理由di14已知点N （1，2），过点N的直线交双曲线工于A、B两点，求直线AB的方程；（2）若过N的直线丨交双曲线于C、D两点，且⑵ D四点是否共圆？为什么？（二）双曲线知识点及巩固复习1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，⑴若||PR|-|PF2||=2a①______________________________________________________ 0<2a<|F1F2I则动点P的轨迹是___________________________________________② 2a=|F 则动点P 的轨迹是 ___________________________________ ③ 2a=0则动点P 的轨迹是 _________________________________ ⑵若 |P F i |-|PF 2|=2a①0<2a<|F 1F 2I 则动点P 的轨迹是 _________________________________ ②2a=|F 1F 2I 则动点P 的轨迹是 ________________________________ ③ 2a=0则动点P 的轨迹是3. 双曲线的性质（1）焦点在x 轴上的双曲线 标准方程 ________________________x,y 的范围 ___________________________________顶点 ___________ 焦点 _______________ 对称轴 ________________ 对称中心 实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= _____ 范围 ____________ e 越大双曲线的开口越 ____ e 越小双曲线[PF 2F ___________________________ （F i ，F 2分别为双曲线的左右两焦点，P 为椭圆上的2.双曲线的标准方程焦半径公式|PF i |=渐近线（2）焦点在y轴上的双曲线标准方程________________________x,y的范围___________________________________顶点___________ 焦点 ________________ 对称轴 _______________ 对称中心_____ 实半轴的长_____________ 虚半轴的长 ________________ 焦距________________ 离心率e= _____ 范围 ____________ e越大双曲线的开口越____ e越小双曲线的开口越_________准线__________________ 渐近线 ______________________ 焦半径公式|PF i|= [PF2|= _______________________ （F i, F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点）3. 等轴双曲线：° V-WF特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直F一'*③离心率为 _____4. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线的共轭双曲线是6.双曲线系(3)共焦点的双曲线的方程为（0<k<c 2,c为半焦距）y3(4) 共渐近线的双曲线的方程为考点1。
高二数学双曲线知识点及例题
高二数学双曲线知识点及例题一知识点1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。
2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。
3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的：x ay ba b 2222100()，（2）焦点在y 轴上的：y ax ba b2222100()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。
注：c 2＝a 2＋b24. 双曲线的几何性质：（）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：11002222x x ay ba b ()yxF 1F 2A 2A 1O1范围：，或x a x a<2>对称性：图形关于x 轴、y 轴，原点都对称。
<3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0）线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。
41离心率：ec a e()e 越大，双曲线的开口就越开阔。
5渐近线：y b a x=62准线方程：xac5．若双曲线的渐近线方程为：xa b y则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：)0(2222by ax 【典型例题】例1.选择题。
121122.若方程表示双曲线，则的取值范围是（）x m ym m A m B m m ..2121或C m mD m R..21且2022.abax byc 时，方程表示双曲线的是（）A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件322.s i n s i nc o s 设是第二象限角，方程表示的曲线是（）x y A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线416913221212.双曲线上有一点，、是双曲线的焦点，且，xyP F F F PF 则△F 1PF 2的面积为（）A B C D (9)633393例2. 已知：双曲线经过两点，，，，求双曲线的标准方程P P 12342945例3.已知B （-5，0），C （5，0）是△ABC 的两个顶点，且sin sin sin BCA 35，求顶点A 的轨迹方程。
高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)
圆锥曲线第2讲 双曲线【知识要点】 一、双曲线的定义 1. 双曲线的第一定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长a 2（2120F F a <<）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1：在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作a 2），不但要小于这两个定点之间的距离21F F （记作c 2），而且还要大于零，否则点的轨迹就不是一个双曲线。
具体情形如下：（ⅰ）当02=a 时，点的轨迹是线段21F F的垂直平分线； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是两条射线； （ⅲ）当c a 22>时，点的轨迹不存在； （ⅳ）当c a 220<<时，点的轨迹是双曲线。
特别地，若去掉定义中的“绝对值”，则点的轨迹仅表示双曲线的一支。
注2：若用M 表示动点，则双曲线轨迹的几何描述法为aMF MF 221=-（c a 220<<，cF F 221=），即2121F F MF MF <-。
2. 双曲线的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （1>e ）的点的轨迹叫做双曲线。
二、双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是12222=-b y a x （0>a ，0>b ）；（2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是12222=-b x a y （0>a ，0>b ）.注：若题目已给出双曲线的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看实半轴跟谁走。
若实半轴跟x 走，则双曲线的焦点在x 轴；若实半轴跟y 走，则双曲线的焦点在y 轴。
2. 等轴双曲线当双曲线的实轴与虚轴等长时（即b a 22=），我们把这样的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为λ=-22y x （0≠λ） 注：若题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，则我们可设该等轴双曲线的方程为λ=-22y x （0≠λ），再结合其它条件，求出λ的值，即可求出该等轴双曲线的方程。
高中数学-双曲线-经典例题-分类指导
ABCP Oxy例题 定义类1，已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，的轨迹是双曲线的右支.其方程为 2双曲线的渐近线为，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，，；当焦点在y 轴上时，， 3 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．[解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 上， 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线依题意得a=680, c=1020，用y=－x 代入上式，得，∵|PB|>|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”4 设P 为双曲线上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．B ．12C ．D ．24解析： △12(5,0),(5,0)F F -P 21,F F P )0(116922>=-x y x x y 23±=23=a b 213=e 23=b a 313=e 12222=-by a x 13405680340568010202222222222=⨯-⨯=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为5680±=x 10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即m 1068011222=-y x 363122:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由又△ 由△、△解得直角三角形，故选B 。
高考数学 双曲线及其性质 讲解
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例2 (2022广东茂名调研三,14)若双曲线经过点(1, 3 ),其渐近线方程为y
=±2x,则双曲线的方程是
.
x2 y2
13
解析 ①若双曲线的焦点在x轴上,则设 a2 - b2 =1(a>0,b>0),则 a2 - b2 =1且
b
1
a =2,联立解得a= 2 ,b=1,则双曲线的方程为4x2-y2=1;
③若Δ<0,则l与C相离.
综合篇
考法一 求双曲线的标准方程 1.定义法:由已知条件,若所求轨迹满足双曲线的定义,则利用双曲线的定 义求出参数a,b的值,从而得到所求的轨迹方程,求轨迹方程时,满足条件 “|PF1|-|PF2|=2a(0<2a<|F1F2|)”的轨迹为双曲线的一支,应注意合理取舍; 2.待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标 准方程,利用题目条件构造关于a,b的方程(组),解得a,b的值,即可求得方 程. 方程的常见设法:
高考 数学
专题九 平面解析几何
9.3 双曲线及其性质
基础篇
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.定义
把平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a(0<2a<|F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线.
2.标准方程
焦点在x轴上: x2 - y2 =1(a>0,b>0);
a2 b2
焦点在y轴上: y2 - x2 =1(a>0,b>0).
双曲线C的渐近线方程为y=±
bx.∵
a
F1B·F2 B=0,∴F1B⊥F2B,
∴点B在☉O:x2+y2=c2上,如图所示,不妨设点B在第一象限,
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双曲线考纲解读 1.根据双曲线的定义和性质求标准方程；2.根据双曲线的标准方程求双曲线的性质：离心率、渐近线等；3.利用双曲线定义及性质解决简单的直线与双曲线的关系问题．[基础梳理]1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F2|＝2c>0)为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程与几何性质x2y2y2x2[三基自测]1．双曲线x 23－y 22＝1的焦距为( )A ．32 B.5 C ．2 5 D ．45答案：C2．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3 答案：B3.x 22＋m －y 2m ＋1＝－1表示双曲线，则m 的范围为________． 答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 4．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为________． 答案：y ＝±3x考点一 双曲线定义及应用|易错突破[例1] (1)已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A ．x ＝0 B.x 22－y 214＝1(x ≥2) C.x 22－y 214＝1 D.x 22－y 214＝1或x ＝0 (2)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，求△F 1PF 2的面积．[解析] (1)动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都外切；②动圆M 与两圆都内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切；④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r － 2.故得|MC 1|－|MC 2|＝22；在④的情况下，同理得|MC 2|－|MC 1|＝2 2. 由③④得|MC 1|－|MC 2|＝±2 2.已知|C 1C 2|＝8，根据双曲线定义，可知点M 的轨迹是以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点的双曲线，且a ＝2，c ＝4，b 2＝c 2－a 2＝14，其方程为x 22－y 214＝1.(2)由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，故三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.[答案] (1)D[易错提醒][纠错训练]1．(2018·陕西师大附中模拟)设过双曲线x 2－y 2＝9右焦点F 2的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，F 2为双曲线的右焦点．若|PQ |＝7，则△F 2PQ 的周长为( )A ．19B ．26C ．43D ．50解析：如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ， ①|QF 2|－|QF 1|＝2a ， ②①＋②得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ | ＝4a ＋|PQ |＋|PQ |＝4×3＋2×7＝26.答案：B2．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左，右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，求|AP |＋|AF 2|的最小值．解析：由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5.考点二 双曲线的方程及性质|方法突破命题点1 求双曲线的方程[例2] (1)已知焦点在y 轴上的双曲线C 的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则双曲线C 的标准方程为( )A.y 29－x 23＝1 B.x 29－y 23＝1 C.y 24－x 26＝1 D.x 24－y 26＝1 (2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________。
(3)(2018·成都模拟)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．[解析] (1)设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线C 的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，双曲线C 的一条渐近线为y ＝3x ，设双曲线的一个焦点为(0，c )，则其到直线l 的距离为|3c |12＋(3)2＝3c2＝3.∴c ＝2 3.由双曲线的一条渐近线为y ＝3x ，可知a b ＝ 3.∵a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝9，b 2＝3.故双曲线的方程为y 29－x 23＝1. (2)设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ.因为双曲线过点(3，2)，所以λ＝2－99＝1.所以双曲线的方程为y 2－x 29＝1. (3)法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0,3)和(0，－3)，∴双曲线的焦距为2c ＝6. 由双曲线的定义得(15)2＋(4＋3)2－(15)2＋12＝8－4＝4＝2a . ∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5， 双曲线方程为y 24－x 25＝1.法二：设双曲线的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1， 解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)． 故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.[答案] (1)A (2)y 2－x 29＝1 (3)y 24－x 25＝1 [方法提升]求双曲线的标准方程方法[跟踪训练]1．(2018·秦皇岛模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 解析：由题意知，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝2x ，所以ba ＝2，即b 2＝4a 2.又双曲线的一个焦点是直线l 与x 轴的交点，所以该焦点的坐标为(－5,0)，所以c ＝5，即a 2＋b 2＝25，联立得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝4a 2，a 2＋b 2＝25，解得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线的方程为x 25－y 220＝1.答案：A命题点2 双曲线的性质及应用[例3] (1)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点(B 在C 的上方)．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±2(2)(2018·郑州模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．(3)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac，则该双曲线的离心率的取值范围是________．[解析] (1)由题易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a .因为A 1B ⊥A 2C ，所以b 2ac ＋a ·－b 2a c －a＝－1，整理得a ＝b .因为渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±x ，所以渐近线的斜率为±1.(2)由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，所以2×2b 2a ＝3×2c ，又因为b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝⎛⎭⎫c a 2－3·c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－12(舍去)． (3)在△PF 1F 2中，由正弦定理知|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，又sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝a c ，所以|PF 2||PF 1|＝a c ，所以P 在双曲线右支上，设P (x 0，y 0)，如图，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a 2c －a .由双曲线几何性质知|PF 2|>c －a ，则2a 2c －a>c －a ，即e 2－2e －1<0，所以1<e <1＋ 2.[答案] (1)C (2)2 (3)(1,1＋2) [方法提升]求 离心率的方法[跟踪训练]2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F 2(c,0)，设A ，B 是双曲线上关于原点对称的两点，AF 2，BF 2的中点分别为M ，N ，已知以MN 为直径的圆经过原点，且直线AB 的斜率为377，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．22 C. 3D.5解析：(构造法)由题意得AF 2⊥BF 2，所以AB ＝2c .设A (x ，y )，则x 2＋y 2＝c 2，x 2＋9x 27＝c 2，x 2＝716c 2，将y ＝377x 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得x 2a 2－9x 27b 2＝1，x 2⎝⎛⎭⎫1a 2－97b 2＝1，所以7c 216⎝⎛⎭⎫1a 2－97b 2＝1，7e 216－9e 216(e 2－1)＝1,7e 4－32e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝47(舍)．因为e >1，所以e ＝2.故选A.答案：A3．双曲线x 24－y 212＝1的离心率为________．解析：(直接法)由双曲线方程，得a ＝2，b ＝23，所以c ＝a 2＋b 2＝4，故e ＝ca ＝2.答案：24．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则此双曲线的离心率为________．解析：(公式法)∵双曲线的渐近线bx ±ay ＝0与圆相切， ∴圆心到渐近线的距离为|2b |a 2＋b 2＝ 3.∴b 2a 2＝3.∴e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.答案：2考点三 直线、双曲线综合问题|思维突破[例4] (1)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则双曲线E 的方程为________．(2)已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P 和Q .且△F 1PQ 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________．[解析] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.(2)法一：设F 2(c,0)(c >0)，P (c ，y 0)， 代入方程得y 0＝±b 2a .∵PQ ⊥x 轴，∴|PQ |＝2b 2a .在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°， ∴|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝3·b 2a.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2或2a 2＝－3b 2(舍去)， ∵a >0，b >0，∴ba＝ 2.故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 法二：∵在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2|PF 2|.由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 2|＝2a ，由已知易得|F 1F 2|＝3|PF 2|，∴2c ＝23a ，∴c 2＝3a 2＝a 2＋b 2，∴2a 2＝b 2， ∵a >0，b >0，∴ba＝2，故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . [答案] (1)x 24－y 25＝1 (2)y ＝±2x[思维升华][跟踪训练]1．(2018·保定模拟)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于( )A.103B.52C. 5D.343解析：设F (c,0)，则过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作斜率为－1的直线为y＝－(x －c )，而双曲线的渐近线方程是y ＝±ba x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c －x ，y ＝－b a x ，得B ⎝⎛⎭⎫ac a －b ，－bca －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c －x ，y ＝ba x ，得A ⎝⎛⎭⎫ac a ＋b ，bc a ＋b ，AB →＝⎝⎛⎭⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2，AF→＝⎝⎛⎭⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ，又AB →＝－3AF →，则2abc a 2－b 2＝－3·bca ＋b， 即b ＝53a ，则c ＝a 2＋b 2＝343a ，则e ＝c a ＝343.答案：D2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝52，点A (0,1)与双曲线上的点的最小距离是2305，则该双曲线的方程为( )A.x 22－y 2＝1 B.x 23－y 2＝1 C.x 24－y 2＝1 D.x 24－y 22＝1 解析：由c ＝a 2＋b 2，知c a ＝a 2＋b 2a ＝52，解得a ＝2b ，所以双曲线的方程为x 24b 2－y 2b2＝1，即为x 2－4y 2＝4b 2.设B (x ，y )是双曲线上任意一点，故|AB |2＝x 2＋(y －1)2＝4b 2＋4y 2＋(y －1)2＝5⎝⎛⎭⎫y －152＋4b 2＋45，当y ＝15时，|AB |取得最小值 4b 2＋45＝2305，解得b ＝1，所以该双曲线的方程为x 24－y 2＝1.答案：C1.[考点二](2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52 ①，又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9 ②，根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，所以选B.答案：B2.[考点一、二](2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32解析：法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12·|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP →＝(1,0)，PF →＝(0，－3)，所以AP →·PF →＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF ||AP |＝12×3×1＝32.故选D. 答案：D3.[考点二](2017·高考全国卷Ⅱ)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( ) A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2) 解析：依题意得，双曲线的离心率e ＝ 1＋1a2，因为a >1，所以e ∈(1，2)，选C. 答案：C4.[考点一](2016·高考全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3) 解析：由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.答案：A5.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax ，所以a ＝5. 答案：56.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅰ改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，求C 的离心率．解析：双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a2＝ab c ，因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝ab c ，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233.。