高中数学-几何证明选讲知识点汇总与练习(内含答案)

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高考数学总复习选修《几何证明选讲》

解析 ∵AE 为圆的切线， ∴由切割线定理，得 AE2＝EB· ED. 又 AE＝6，BD＝5，可解得 EB＝4. ∵∠EAB 为弦切角，且 AB＝AC， ∴∠EAB＝∠ACB＝∠ABC. ∴EA∥BC.又 BD∥AC， ∴四边形 EBCA 为平行四边形． ∴BC＝AE＝6，AC＝EB＝4.
由 BD∥AC，得△ACF∽△DBF， CF AC 4 ∴ ＝＝ . BF BD 5 8 又 CF＋BF＝BC＝6，∴CF＝ . 3 8 答案 3
(2)如图，连接 CE，因为∠CBE＝90° ，所以过 B，E，F，C 四点的圆的直径为 CE，由 DB＝BE，有 CE＝DC，又 BC2＝DB· BA＝ 2DB2，所以 CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2. 而 DC2＝DB· DA＝3DB2，故过 B， E， F， C 四点的圆的面积与△ ABC 1 外接圆面积的比值为 . 2

第一节
定及

相似三角形的判有关性质

[主干知识梳理]
一、平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．

二、平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段．成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 ( 或两边的延长线)所得的对应线段．成比例
如图，延长 AD、BC 交于点 P， ∵CD∥AB， PD CD 1 ∴ ＝＝， PA AB 2
DE 3 DE 3 又∵ ＝，∴ ＝ . EA 4 AD 7 PD 7 PD CD ∴ ＝ .又∵ ＝， PE 10 PE EF 10 20 ∴EF＝ ×CD＝ . 7 7

[规律方法]
比例线段常由平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而又必须转移比例时，常通过添加辅助平行线达到转移比例的目的．

高中数学-几何证明选讲知识点汇总与练习(内含答案)

高中数学-《几何证明选讲》知识点归纳与练习（含答案）一、相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2 :经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义岀发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。

所以我们曾经给岀过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1 ）两角对应相等，两三角形相似；（2 ）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3 ）三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。

判定定理1 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2 ）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

高考数学二轮专名师讲义：第25讲-几何证明选讲(含答案)

专题九高考数学附带选做题训练第 25 讲几何证明选讲江苏高考理科数学对理科选修附带部分知识的考察只需求认识与理解两个层次(在下表中分别用 A 、B 、 C 表示 )．几何证明是选做题之一，考试中属于简单题．A( 认识 )：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决有关的简单问题．B(理解 )：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有必定综合性的问题．考试说明：序号内容要求A BC1相像三角形的判断与性质定理√2射影定理√3圆的切线的判断与性质定理√4圆周角定理，弦切角定理√5订交弦定理、割线定理、切割线定理√6圆内接四边形的判断与性质定理√例 1 锐角三角形ABC内接于圆O，∠ABC＝60°，∠BAC＝40°，作OE⊥AB交劣弧于点E，连接 EC，求∠ OEC.解：连接OC.∵ ∠ ABC ＝ 60°，∠ BAC ＝40°，∴∠ ACB＝80° .︵∵ OE⊥ AB ，∴ E 为 AB 的中点，︵︵∴BE和 BC 的度数均为 80° .∴∠ EOC＝80°＋ 80°＝ 160° .∴ ∠ OEC＝ 10° .1如图，圆O 的两条弦AC 、 BD 相互垂直， OE⊥ AB ，垂足为点 E.求证： OE＝2CD.证明：作直径AF ，连接 BF 、CF，则∠ ABF ＝∠ ACF ＝ 90°.1又 OE ⊥AB ， O 为 AF 的中点，则 OE ＝2BF. ∵ AC ⊥BD ，∴ ∠DBC ＋∠ ACB ＝90°.又 AF 为直径，∠ BAF ＋∠ BFA ＝ 90°，∠ AFB ＝∠ ACB ， ∴ ∠ DBC ＝∠ BAF ，即有 CD ＝ BF.1进而得 OE ＝ 2CD.︵︵例 2如图，已知圆上的弧AC ＝BD ，过 C 点的圆的切线与BA 的延伸线交于E 点．证明：(1) ∠ ACE ＝∠ BCD ；(2) BC 2＝ BE ·CD.︵︵证明： (1) 由于 AC ＝BD ，所以∠ ABC ＝∠ BCD. 由于 EC 与圆相切于点 C ，故∠ ACE ＝∠ ABC ，所以∠ ACE ＝∠ BCD.(2) 由于∠ ECB ＝∠ CDB ，∠ EBC ＝∠ BCD ，所以 △ BDC ∽△ ECB ，故 BC ＝CD，即 BC 2＝ BE ·CD.BE BC如图， D 、 E 分别为 △ABC 边 AB 、AC 的中点，直线 DE 交 △ABC 的外接圆于 F 、 G 两点．若 CF ∥AB. 证明：(1) CD ＝BC ；(2) △ BCD ∽△ GBD.证明： (1) 如图，由于 D 、 E 分别为 AB 、AC 的中点，所以 DE ∥ BC.又 CF ∥AB ，故四边形 BCFD 是平行四边形，所以 CF ＝ BD ＝ AD.而 CF ∥AD ，连接 AF ，所以四边形 ADCF 是平行四边形，故 CD ＝ AF. 由于 CF ∥ AB ，所以 BC ＝ AF ，故 CD ＝BC.(2) 由于 FG ∥BC ，故 GB ＝CF.由(1) 可知 BD ＝ CF ，所以 GB ＝ BD.所以∠ BGD ＝∠ BDG.由 BC ＝CD 知，∠ CBD ＝∠ CDB. 又∠ DGB ＝∠ EFC ＝∠ DBC ，故△ BCD ∽△ GBD.例 3 如图， AB 是圆 O 的直径， C 、F 是圆 O 上的两点， OC ⊥AB ，过点 F 作圆 O 的切线 FD 交 AB 的延伸线于点 D. 连接 CF 交 AB 于点 E.求证： DE 2＝ DB ·DA.证明：连接 OF ，由于 DF 切圆 O 于 F ，所以∠ OFD ＝ 90°，所以∠ OFC ＋∠ CFD ＝ 90°.由于 OC ＝ OF ，所以∠ OCF ＝∠ OFC.又 CO ⊥ AB 于 O ，所以∠ OCF ＋∠ CEO ＝90°，所以∠ CFD ＝∠ CEO ＝∠ DEF ，所以 DF ＝ DE. 又 DF 是圆 O 的切线，所以 DF 2＝ DB ·DA ，即 DE 2＝ DB ·DA.如图，在 △ABC 中，已知 CM 是∠ ACB 的均分线，△ AMC 的外接圆交 BC 于点 N ，且 BN ＝ 2AM. 求证： AB ＝ 2AC.证明：在 △ABC 中，由于 CM 是∠ ACB 的均分线，所以AC ＝AM. ① BC BM由于 BA 与 BC 是圆 O 过同一点B 的割线，所以 BM ·BA ＝ BN ·BC ，即 BABC ＝ BM BN.又 BN ＝ 2AM ，所以BA ＝2AM.②BC BM由①②，得 AB ＝ 2AC.例 4 如图，四边形 ABCD 中，AB 、DC 的延伸线交于点 E ，AD 、BC∠ AED 、∠ AFB 的角均分线交于点 M ，且 EM ⊥ FM. 求证：四边形 ABCD的延伸线交于点内接于圆．F ，证明：连接 EF ，由于 EM 是∠ AEC 的角均分线，所以∠ FEC ＋∠ FEA ＝ 2∠FEM. 同理，∠ EFC ＋∠ EFA ＝ 2∠ EFM.而∠ BCD ＋∠ BAD ＝∠ ECF ＋∠ BAD＝ (180°－∠ FEC －∠ EFC) ＋ (180°－∠ FEA －∠ EFA)＝ 360°－ 2(∠ FEM ＋∠ EFM)＝ 360°－ 2(180°－∠ EMF) ＝ 2∠ EMF ＝ 180°，即∠ BCD 与∠ BAD 互补．所以四边形ABCD 内接于圆．如图，已知 AP 是圆 O 的切线， P 为切点， AC 是圆 O 的割线，与圆 O 交于 B、 C 两点，圆心O 在∠ PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点．(1)证明： A 、P、 O、 M 四点共圆；(2)求∠ OAM ＋∠ APM 的大小．(1)证明：连接 OP、 OM ，由于 AP 与圆 O 相切于点P，所以 OP⊥ AP.由于 M 是圆 O 的弦 BC 的中点，所以OM ⊥ BC.于是∠ OPA＋∠ OMA ＝ 180°，由圆心 O 在∠ PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角互补，所以 A 、 P、 O、 M 四点共圆．(2)解：由 (1) 得 A 、P、 O、 M 四点共圆，所以∠ OAM ＝∠ OPM. 由 (1) 得 OP⊥ AP.由圆心 O 在∠ PAC 的内部，可知∠ OPM ＋∠ APM ＝ 90°，所以∠ OAM ＋∠ APM ＝ 90° .1.(2013 江·苏卷 )如图， AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D、 C， AC 经过圆心 O，且 BC ＝2OC.求证： AC ＝ 2AD.证明：连接OD ，∵AB 、BC 分别与圆O 相切于点 D 、C，∴ ∠ ADO ＝∠ ACB ＝ 90°.∵ ∠ A＝∠ A ，∴Rt△ ADO ∽ Rt△ ACB ，BC AC∴OD＝AD .∵ BC ＝ 2OC＝2OD ，∴ AC ＝2AD. 2. 如图，在四边形 ABCD 中，△ ABC ≌△BAD. 求证： AB ∥ CD.证明：由△ABC ≌△ BAD ，得∠ ACB ＝∠ BDA ，故 A 、B 、 C、 D 四点共圆，进而∠ CAB ＝∠ CDB.再由△ ABC ≌△ BAD ，得∠ CAB ＝∠ DBA.所以∠ DBA ＝∠ CDB ，所以 AB ∥ CD.3.如图， AB 是圆 O 的直径， D 、E 为圆上位于 AB 异侧的两点，连接 BD 并延伸至点 C，使 BD ＝ DC ，连接 AC 、 AE 、 DE.求证：∠ E＝∠ C.证明：连接AD ，∵ AB 是圆 O 的直径，∴ ∠ ADB ＝ 90°，∴AD ⊥ BD.∵BD ＝ DC，∴AD 是线段 BC 的中垂线，∴AB ＝ AC，∴∠B＝∠ C.又 D 、E 为圆上位于 AB 异侧的两点，∴ ∠B＝∠ E.∴ ∠ E＝∠ C.(此题还可连接OD，利用三角形中位线来求证∠ B ＝∠ C)4.(2014 江·苏卷 )如图， AB 是圆 O 的直径， C、 D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点．证明：∠OCB＝∠ D.证明：由于 B 、 C 是圆 O 上的两点，所以OB ＝ OC.故∠ OCB ＝∠ B.由于 C、 D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点，故∠ B 、∠ D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠ B＝∠ D.所以∠ OCB＝∠ D.(此题模拟高考评分标准，满分10 分)(2014 ·州期末泰 )如图， AB 是圆 O 的一条直径，C、D 是圆 O 上不一样于 A 、B 的两点，过B 作圆 O 的切线与AD 的延伸线订交于点M ， AD 与 BC 订交于 N 点， BN ＝ BM. 求证：(1)∠ NBD ＝∠ DBM ；(2)AM 是∠ BAC 的角均分线．证明： (1) ∵ AB 是圆 O 的直径，∴∠ADB＝90° .而BN＝BM，∴ △ BNM为等腰三角形BD 为∠ NBM 的角均分线DBC ＝∠ DBM.(5 分 )∠DBM ＝∠ DAB(2) BM 是圆 O 的切线，∠ CBD ＝∠ CAD T DAB ＝∠ DAC T AM 是∠ CAB 的角∠ DBC ＝∠ DBM均分线． (10 分 )已知点 C 在圆 O 直径 BE 的延伸线上， CA 切圆 O 于 A 点，∠ ACB 的均分线分别交 AE 、AB 于点 F 、 D.(1) 求∠ ADF 的度数；(2) AC的值．若 AB ＝AC ，求 BC解： (1) ∵ AC 为圆 O 的切线， ∴ ∠B ＝∠ EAC.又 DC 是∠ ACB 的均分线， ∴ ∠ACD ＝∠ DCB ，∴ ∠B ＋∠ DCB ＝∠ EAC ＋∠ ACD ，即∠ ADF ＝∠ AFD.又 BE 为圆 O 的直径，∴ ∠ BAE ＝ 90°，1∴ ∠ ADF ＝ (180 °－∠ BAE) ＝ 45°.(2) ∵ ∠B ＝∠ EAC ，∠ ACB ＝∠ ACB ，∴ △ACE ∽△ BCA ，∴ AC ＝ AE .BC AB又 AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠ ACB ， ∴ ∠ B ＝∠ ACB ＝∠ EAC.由∠ BAE ＝90°及三角形内角和知∠ B ＝ 30°.AC AE3 ∴ 在 Rt △ ABE 中，＝＝ tanB ＝ tan30 °＝BC AB3 .。

高中数学几何证明选讲详解

【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所Ｔ１5）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝cm.
【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题
【思路点拨】条件
【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以
A. B. C. D.
【解析】设半径为 ,则 ,由得 ,从而 ,故 ,选A.
7.在中, 分别为上的点,且 , 的面积是 ,梯形的面积为 ,则的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.
5．（2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若 ,则的值为
【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。
【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。
【规范解答】由题意可知 ∽ 相似，
所以 ,由及已知条件
可得 ,又 , 。
【答案】
6．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD= ，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF=.
【答案】
7.（2010·广东高考理科·Ｔ14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD= ，∠OAP=30°，则CP＝______.
【命题立意】本题考察垂径定理及相交弦定理.
【思路点拨】由垂径定理得，算出，再由相交弦定理求出
【规范解答】因为为的中点，由垂径定理得，在中，，由相交弦定理得：，即，

高考数学(理)二轮配套训练【专题8】(1)几何证明选讲(含答案)

第1讲几何证明选讲考情解读本讲主要考查相似三角形与射影定理，圆的切线及圆内接四边形的性质与判定定理，圆周角定理及弦切角定理，相交弦、切割线、割线定理等，本部分内容多数涉及圆，并且多是以圆为背景设计的综合性考题，考查逻辑推理能力．1．(1)相似三角形的判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．(2)相似三角形的性质①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方．(3)直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．2．(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．3．(1)圆内接四边形的性质定理①圆的内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 4．(1)圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径． (2)圆的切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (4)相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． (5)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 5．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．6．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．热点一相似三角形及射影定理例1 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ∶BD ＝9∶4，则AC ∶BC 的值为________．答案 3∶2解析方法一因为∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，所以由射影定理，得AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB . 所以(AC BC )2＝AD ·AB BD ·AB ＝AD BD .又AD ∶BD ＝9∶4，所以AC ∶BC ＝3∶2.方法二因为AD ∶BD ＝9∶4，所以可设AD ＝9k ，BD ＝4k ，k ∈R ＋. 又∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，由射影定理，得CD 2＝AD ·BD ，所以CD ＝6k .由勾股定理，得AC ＝313k 和BC ＝213k ，所以AC ∶BC ＝3∶2.思维升华含斜边上的高的直角三角形是相似三角形中的基本图形，本题中出现多对相似三角形，这为解决问题提供了许多可以利用的有效信息．另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的一个经典应用，在类似问题中应用射影定理十分简捷．如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，BE 的长为________．答案 4 2解析 ∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°， ∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128， ∴CD ＝8 2.又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AD ＝BE CD ，∴BE ＝AB ·CD AD ＝6×8212＝4 2. 热点二相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用例2 如图所示，AB 为⊙O 的直径，P 为BA 的延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ，且P A ＝4，PC ＝8，则tan ∠ACD 和sin P 的值为________．答案 12，35解析连接OC ，BC .因为PC 为⊙O 的切线，所以PC 2＝P A ·PB .故82＝4·PB ，所以PB ＝16.所以AB ＝16－4＝12. 由条件，得∠PCA ＝∠PBC ，又∠P ＝∠P ，所以△PCA ∽△PBC . 所以AC BC ＝PC PB.因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°. 又CD ⊥AB ，所以∠ACD ＝∠B .所以tan ∠ACD ＝tan B ＝AC BC ＝PC PB ＝816＝12.因为PC 为⊙O 的切线，所以∠PCO ＝90°. 又⊙O 直径为AB ＝12，所以OC ＝9，PO ＝10. 所以sin P ＝OC PO ＝610＝35.思维升华 (1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三角形中，利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数值，然后根据已知条件将这些比值转化为已知线段的比值． (2)线段成比例的证明，一般利用三角形相似进行转化，在圆中的相关问题，应注意灵活利用圆中的切割线定理、相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系．(2013·广东)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝____________.答案 2 3解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2，又AE AC ＝ACAD⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.热点三圆的有关性质的综合应用例3 如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E . 若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，则∠BAC 的大小为________．答案 90°解析由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .所以AB AE ＝AD AC ，即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝90°.思维升华高考中对几何证明的命题集中在圆和三角形、四边形相结合的综合性题目上，这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决．已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．同时注意四点共圆的判定及性质的应用．(2013·湖北)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CEEO 的值为________．答案 8解析易知△CDO ∽△CED ， ∴CD CE ＝CO CD，设圆O 半径为R ，则AD ＝23R ，OD ＝13R ，∴CD 2＝R 2－(13R )2＝89R 2，∴CE ＝CD 2CO ＝89R ，EO ＝19R ，故CEEO＝8.1．证明两角相等，关键是确定两角之间的关系，多利用中间量进行转化，可以通过证明三角形相似或全等，利用平行线的有关定理，如同位角相等、内错角相等等，也可利用特殊平面图形的性质，如利用等腰三角形的两个底角相等、圆中同弧或等弧所对的圆周角相等寻找中间量进行过渡．2．证明或寻找圆内接图形中的角之间的关系，除了注意平面图形中的垂直、平行关系之外，还应注意弦切角、同弧所对角等性质的灵活运用．真题感悟1．(2014·湖南)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．答案 32解析如图，延长AO 交圆O 于点D ，连接BD ，则AB ⊥BD . 在Rt △ABD 中，AB 2＝AE ·AD . ∵BC ＝22，AO ⊥BC ，∴BE ＝ 2. ∵AB ＝3，∴AE ＝1， ∴AD ＝3，∴r ＝32.2．(2014·广东)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝_________________________.答案 9解析在平行四边形ABCD 中，因为EB ＝2AE ，所以AE AB ＝13＝AE CD ，故CDAE ＝3.因为AE ∥CD ，所以△AEF ∽△CDF ，所以S △CDF S △AEF ＝(CD AE )2＝9.押题精练1.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________. 答案 a 2解析连接DE ，由于E 是AB 的中点，故BE ＝a2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，∴四边形EBCD 是矩形．在Rt △ADE 中，AD ＝a ， F 是AD 的中点，故EF ＝a2.2．(2014·陕西)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝____________. 答案 3解析 ∵∠A ＝∠A ，∠AEF ＝∠ACB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AC AE ＝BC EF ，∴2＝BCEF，∴EF ＝3.3．(2014·天津改编)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·F A ；③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是________．答案 ①②④解析对于①，∵BF 是圆的切线， ∴∠CBF ＝∠BAC ，∠4＝∠1. 又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.又∠2＝∠3，∴∠3＝∠4，即BD 平分∠CBF ，故①正确；对于②，根据切割线定理有FB 2＝FD ·F A ，故②正确；对于③，∵∠3＝∠2，∠BED ＝∠AEC ， ∴△BDE ∽△ACE . ∴AE BE ＝CEDE，即AE ·DE ＝BE ·CE ，故③错误；对于④，∵∠4＝∠1，∠BFD ＝∠AFB ， ∴△BFD ∽△AFB ，∴BF AF ＝BDAB ，即AF ·BD ＝AB ·BF ，故④正确．(推荐时间：40分钟)1．(2014·湖北)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B .过P A 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点．若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________.答案 4解析由切割线定理得QA 2＝QC ·QD ＝4，解得QA ＝2.则PB ＝P A ＝2QA ＝4.2．(2014·重庆)过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C .若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________. 答案 4解析由切割线定理得P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )，即62＝PB ·(PB ＋9)，解得PB ＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠P AB ＝∠PCA ，又∠APB ＝∠CP A ，故△APB ∽△CP A ，则AB CA ＝AP CP，即AB 8＝63＋9，解得AB ＝4.3．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB P A ＝12，PC PD ＝13，则BCAD的值为________．答案66解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠P AD ，∴△PCB ∽△PAD .∴PB PD ＝PC P A ＝BC AD .∵PB P A ＝12，PC PD ＝13，∴BC AD ＝66.4．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．答案 43解析因为AF ·BF ＝EF ·CF ，解得CF ＝2，所以34＝2BD ，即BD ＝83.设CD ＝x ，AD ＝4x ，所以4x 2＝649，所以x ＝43.5.如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，则BFFC 的值为______．答案 12解析过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点， ∴在△BDM 中，BF ＝FM ，又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12. 6．(2013·广东)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.答案 2 3解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2，又AE AC ＝ACAD⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.7.如图，P A 是圆O 的切线，切点为A ，P A ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R ＝________. 答案3解析由切割线定理可得P A 2＝PB ·PC ，即PC ＝P A 2PB ＝41＝4，所以BC ＝PC －PB ＝3，因为AC 是圆O 的直径，所以∠ABC ＝90°，所以AB 2＝BC ·BP ＝3，所以AC 2＝BC 2＋AB 2＝9＋3＝12，即AC ＝12＝23，所以2R ＝23，即R ＝ 3.8．如图，AB ，CD 是圆O 内的两条平行弦，BF ∥AC ，BF 交CD 于点E ，交圆O 于点F ，过A 点的切线交DC 的延长线于点P ，若PC ＝ED ＝1，P A ＝2，则AC 的长为________．答案2解析 ∵P A 是⊙O 的切线， ∴由切割线定理得P A 2＝PC ·PD . ∵P A ＝2，PC ＝1， ∴PD ＝4.又∵PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2，由题意知四边形ABEC 为平行四边形，∴AB ＝CE ＝2，连接BC ，如图， ∵P A 是⊙O 的切线， ∴∠P AC ＝∠CBA .∵AB ，CD 是圆的两条平行弦， ∴∠PCA ＝∠CAB ，∴△P AC ∽△CBA ，∴PC CA ＝CA AB ，∴AC 2＝PC ·AB ＝2，∴AC ＝ 2.9．如图，已知AD ＝5，DB ＝8，AO ＝310，则圆O 的半径OC 的长为________．答案 5解析由圆的割线定理得，AE ·AC ＝AD ·AB ，即(AO －OE )·(AO ＋OC )＝AD ·(AD ＋DB )，即(310－OC )·(310＋OC )＝5×(5＋8)，解得OC ＝5.10．如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°得到OD ，则PD 的长为________．答案7解析 ∵P A 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos ∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7.11．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P ，连接AD ，BD ，已知AD ＝BD ＝4，PC ＝6，则P A ·PB ＝________.答案 12解析由AD ＝BD ＝4，得∠P AD ＝∠B ，又∠B ＝∠C ，所以∠P AD ＝∠C ，又∠ADP ＝∠CDA ，所以△ADP ∽△CDA .又PC ＝6，设PD ＝x ，由CD AD ＝AD PD ，得6＋x 4＝4x ，解得x ＝2或x ＝－8(舍去)，即PD ＝2，由相交弦定理，得P A ·PB ＝PC ·PD ＝6×2＝12.12.如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC ＝________. 答案 2∶5解析设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴AC 2＝CD ·BC ，∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ，又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5.13.如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为________．答案 6解析过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt △DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10，由Rt △DFB ∽Rt △ENB ，知EN DF ＝BE BD，所以EN ＝31010，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6.14.如图，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F .若CD ＝2，则AB ＝________， EF ＝________.答案 3 233解析 ∵AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥BC .∵CD ⊥AB 于D ，∴由射影定理得CD 2＝AD ·BD .∵AD ＝2BD ，CD ＝2，∴(2)2＝2BD ·BD ，解得BD ＝1，∴AD ＝2BD ＝2，∴AB ＝AD ＋BD ＝2＋1＝3.在Rt △CDE 中，∵E 为AD 的中点，∴DE ＝12AD ＝1，又CD ＝2， ∴CE ＝CD 2＋DE 2＝3，又AE ＝DE ＝1，EB ＝2，由相交弦定理得EF ＝AE ·EB CE ＝233.15.如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于点D ，若AD ＝1，∠ABC ＝30°，则圆O 的面积是________．答案 4π解析 ∠ACD ＝∠ABC ＝30°， AC ＝AD sin ∠ACD＝2， AB ＝AC sin ∠ABC＝4，故圆O 的面积为π·22＝4π.。

高考数学大讲义第十三章几何证明选讲理

第十三章几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质对应学生用书P1711．平行线等分线段定理若是一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：通过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：通过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似(2)性质定理：内容性质定理1相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比性质定理2相似三角形的面积比等于相似比的平方结论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项12．在解决相似三角形的判定或应历时易显现对应边和对应角对应失误．[试一试]1．如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 别离交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，那么BE 的长为________．解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8. 答案：82．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，那么CD 的长为________．解析：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝AC CD ，∴CD ＝AC 2BC ＝8216＝4. 答案：41．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)假设只能找到一对对应角相等，那么判定相等的角的两夹边是不是对应成比例；(3)假设找不到角相等，就判定三边是不是对应成比例，不然考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判定三角形相似的方式(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观看其特点，找出相等的角或成比例的对应边．[练一练]1．如图，D ，E 别离是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2.∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，∴S △ADES 四边形DBCE ＝45. 答案：45 2．如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD ·AB ，那么∠ACB ＝______. 解析：在△ABC 与△CBD 中，由BC 2＝BD ·AB ，得BC BD ＝ABBC ，且∠B ＝∠B ，因此△ABC ∽△CBD .那么∠ACB ＝∠CDB ＝90°.答案：90°对应学生用书P172考点一平行线分线段成比例定理的应用1.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD于F ，那么BF ∶FD 等于________．解析：∵AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3，∴BE ∶AD ＝2∶5.∵AD ∥BC ，∴BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5.即BF ∶FD ＝25. 答案：252.(2021·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC＝3∶5，DE＝6，那么BF＝________.解析：由DE∥BC得DE BC＝AEAC＝35，∵DE＝6，又因为DF ∥AC ，因此BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25，即BF ＝4.答案：43.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，那么EF BC ＋FG AD ＝________.解析：由平行线分线段成比例定理得 EFBC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC，故EFBC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.答案：1[备课札记][类题通法]比例线段经常使用平行线产生，利用平行线转移比例是经常使用的证题技术，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.考点二相似三角形的判定及性质[典例] (2021·陕西高考)如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P .已知PD ＝2DA ＝2，那么PE ＝________.[解析] 由PE ∥BC 知，∠A ＝∠C ＝∠PED .在△PDE 和△PEA 中，∠APE ＝∠EPD ，∠A ＝∠PED ，故△PDE ∽△PEA ，那么PD PE ＝PE PA ，于是PE 2＝PA ·PD ＝3×2＝6，因此PE ＝ 6.[答案] 6 [备课札记]1．判定两个三角形相似要注意结合图形特点灵活选择判定定理，专门要注意对应角和对应边．2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．[针对训练](2021·佛山质检)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，那么BE ＝________.解析：由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，因此△ABE ∽△ADC ，从而得AB AD ＝AE AC ，解得AE ＝2，故BE ＝AB 2－AE 2＝4 2.答案：42考点三射影定理的应用 [典例] 如下图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC. [证明] 由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ， ①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC ， ②在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝AB BC. ③ 由①③得：DF AF ＝ABBC， ④ 由②④得：DF AF ＝AEEC .[备课札记]1．在利用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时经常使用的方式．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，假设BD ∶AD ＝1∶9，那么tan ∠BCD ＝________. 解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9，令BD ＝x ，那么AD ＝9x (x >0)．∴CD 2＝9x 2，∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13. 答案：13对应学生用书P172[课堂练通考点]1．如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，那么BC 的长为________ cm. 解析： ⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点．又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ，∴BC ＝2MC ＝24 cm.答案：242.如图，在△ABC 中，F 为边AB 上的一点，BF AF ＝mn (m ，n >0)，取CF 的中点D ，连结AD 并延长交BC 于点E .那么BE EC ＝________.解析：如图，作FG ∥BC 交AE 于点G ，那么FG CE ＝FD DC ＝1，BE FG ＝AB AF ＝m ＋n n .两式相乘即得BE EC ＝m ＋nn .答案：m ＋nn3．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，假设△AEF 的面积为6 cm 2，那么△ABC 的面积为________ cm 2.解析：令E ＝a ，EF ＝b ，那么12ab ＝6. 由题意知EB ＝2a .DF ＝3b .∴S △ABC ＝12·AB ·DE ＝12×3a ×4b ＝12×12ab ＝12×6＝72. 答案：724．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，假设S △BEC ＝1，S △ADE ＝3，那么S △CDE ＝________.解析：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ，∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ，∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED .∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝3. 答案：35．(2021·广东高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，求ED 的长________．解析：∵tan ∠BCA ＝BA BC ＝33，因此∠BCA ＝30°， ∠ECD ＝90°－∠BCA ＝60°.在Rt△BCE 中，CE ＝BC ·cos∠BCA ＝3cos 30°＝332.在△ECD 中，由余弦定理得ED ＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD ·cos∠ECD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3322＋32－2×332×3×12＝212.答案：21 2[课下提升考能]1.如图，已知▱ABCD中，G是DC延长线上一点，AG别离交BD和BC于E，F两点，证明：AF·AD＝AG·BF.证明：因为四边形ABCD为平行四边形，因此AB∥DC，AD∥BC.因此△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA.因此△ABF∽△GDA.从而有AFAG＝BFAD，即AF·AD＝AG·BF.2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，点D在BC上且CD＝1，假设∠CAD＝∠B，求BD的长．解：作出图形(如图)，依题意，有tan∠CAD＝tan∠B，即12＝21＋BD.故BD＝3.3.已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.证明：(1)∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，∴∠BFC＝∠CEB.又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE.(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ，∴EP FP ＝BP CP . 又∵∠EPF ＝∠BPC ， ∴△EFP ∽△BCP .4.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连结ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H .若是AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．解：∵AH ∥BE ，∴HFHE ＝AFAB .∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2.∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC .∵D 是AC 的中点，∴HDDE ＝1.∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.5．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE 的延长线交BC 于F ，求S △BEFS 四边形DEFC 的值．解：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ，因此BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ，因此S △BEF S △BDM ＝19，即S △BDM ＝9S △BEF ，又S △DMC S △BDM ＝23，即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，因此S 四边形DEFC ＝14S △BEF ，因此S △BEF S 四边形DEFC ＝114. 6.如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE交AC 于点F .假设AE AD ＝14，求AF AC的值．解：如图，过点A 作AG ∥BC ，交BF 的延长线于点G .∵AE AD ＝14，∴AE ED ＝13. 又∵△AGE ∽△DBE ，∴AG BD ＝AE ED ＝13.∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ，∴AG BC ＝16. ∵△AGF ∽△CBF ，∴AF FC ＝AG BC ＝16，∴AFAC ＝17. 7.如下图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F . (1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)假设△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAF ＝∠BCD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ，∴△ABF∽△CEB.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2，S△DEFS △ABF ＝(DE AB )2.又DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE .∴S △DEF S △CEB ＝(DECE )2＝19，S △DEFS △ABF ＝(DE AB )2＝14.∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8.∴平行四边形ABCD 的面积S ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.8.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证：(1)AB ·AC ＝BC ·AD ；(2)AD 3＝BC ·CF ·BE .证明：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .(2)Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得BD 2＝BE ·AB ，同理CD 2＝CF ·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC ，∴AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC ，又AB ·AC ＝BC ·AD .即AD 3＝BC ·CF ·BE .第二节直线与圆的位置关系对应学生用书P1731．圆周角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定判定定理：若是一个四边形的对角互补，那么那个四边形的四个极点共圆．推论：若是四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么那个四边形的四个极点共圆．3．圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于通过切点的半径．推论1：通过圆心且垂直于切线的直线必通过切点．推论2：通过切点且垂直于切线的直线必通过圆心．(2)判定定理：通过半径的外端而且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． (4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1．易混圆心角与圆周角，在利历时注意结合图形作出判定．2．在利用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易显现比例线段对应不成比例而失误．[试一试]1.如图，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PB 、PD ，PA ＝AB ＝5，CD ＝3，那么PC 等于________．解析：设PC ＝x ，由割线定理知PA ·PB ＝PC ·PD .即5×25＝x (x ＋3)，解得x ＝2或x ＝－5(舍去)．故PC ＝2.答案：22.如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，若是∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，那么∠BAD 等于________．解析：由已知，显然△EBC 为等腰三角形，因此有∠ECB ＝180°－∠E 2＝67°，因此∠BCD ＝180°－∠ECB －∠DCF ＝81°.而由A ，B ，C ，D 四点共圆，得∠BAD ＝180°－∠BCD ＝99°.答案：99°1．与圆有关的辅助线的五种作法(1)有弦，作弦心距．(2)有直径，作直径所对的圆周角．(3)有切点，作过切点的半径．(4)两圆相交，作公共弦．(5)两圆相切，作公切线．2．证明四点共圆的经常使用方式(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；(2)证明它的一个外角等于它的内对角；(3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各类性质都能够取得应用．3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应历时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，因此应注意代数法在解题中的应用．[练一练]1．(2021·荆州模拟)如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，过PA 的中点M 作割线交⊙O 于点B 和C ，假设∠BMP ＝110°，∠BPC ＝30°，那么∠MPB ＝________.解析：由切割线定理得，MA 2＝MB ·MC ，又MA ＝MP ，故MP 2＝MB ·MC ，即MB MP ＝MP MC ，又∠BMP ＝∠PMC .故△BMP ∽△PMC ，因此∠MPB ＝∠MCP ，因此30°＋∠MPB ＋∠MCP ＝∠AMB ＝180°－110°＝70°，因此∠MPB ＝20°.答案：20°2．(2021·长沙一模)如图，过圆O 外一点P 别离作圆的切线和割线交圆于点A ，点B ，且PB ＝7，C 是圆上一点，使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，那么AB ＝________.解析：由PA 为圆O 的切线可得，∠PAB ＝∠ACB ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，因此PB AB ＝AB BC，而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35，即AB ＝35. 答案：35对应学生用书P174考点一圆周角、弦切角和圆的切线问题1.(2021·天津高考)如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦，且BD ∥AC . 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD与BC 交于点F .假设AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝ 5，那么线段CF 的长为________．解析：因为AE 是圆的切线，且AE ＝6，BD ＝5，由切割线定理可得EA 2＝EB ·ED ，即36＝EB ·(EB ＋5)，解得EB ＝4.又∠BAE ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，因此AE ∥BC .又AC ∥BD ，因此四边形AEBC 是平行四边形，因此AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4.又由题意可得△CAF ∽△CBA ，因此CACB ＝CF CA ，CF ＝CA 2CB ＝166＝83. 答案：832．(2021·广东高考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .假设AB ＝6，ED ＝2，那么BC ＝________.解析：连结OC ，那么OC ⊥CE ，∠OCA ＋∠ACE ＝90°，∵∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OAC ＋∠ACE ＝90°.易知Rt △ACB ≌Rt △ACD ，那么∠OAC ＝∠EAC .∴∠EAC ＋∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，在Rt △ACD 中，由射影定理得：CD 2＝ED ·AD ①，又CD ＝BC ，AD ＝AB ，将AB ＝6，ED ＝2代入①式，得CD ＝12＝2 3，∴BC ＝2 3.答案：233.(2021·岳阳模拟)如下图，⊙O的两条切线PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A，B两点，C是⊙O上的一点，假设∠P＝70°，那么∠ACB ＝________.解析：如下图，连结OA ，OB ，则OA ⊥PA ，OB ⊥PB .故∠AOB ＝110°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝55°. 答案：55°[备课札记][类题通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两头作圆周角或弦切角.考点二圆内接四边形的性质及判定[典例] (2021·郑州模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H .(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆；(2)假设GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．[解] (1)证明：连结DB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ，又∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠AFE ，∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2) ⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE ·GF ＝GC ·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH 2＝GC ·GD ⇒GH 2＝GE ·GF ，又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5.[备课札记][类题通法]证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也能够证明它们与某必然点距离相等；如两点在一条线段异侧，那么证明它们与线段两头点连成的凸四边形对角互补．[针对训练]如下图，在四边形ABCP 中，线段AP 与BC 的延长线交于点D ，已知AB ＝AC 且A ，B ，C ，P 四点共圆．(1)求证：PC AC ＝PD BD ；(2)假设AC ＝4，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为点A ，B ，C ，P 四点共圆，因此∠ABC ＋∠APC ＝180°，又因为∠DPC ＋∠APC ＝180°，因此∠DPC ＝∠ABC ，又因为∠D ＝∠D ，因此△DPC ∽△DBA ，因此PC AB ＝PD BD ，又因为AB ＝AC ，因此PC AC ＝PD BD .(2)因为AB ＝AC ，因此∠ACB ＝∠ABC ，又∠ACD ＋∠ACB ＝180°，因此∠ACD ＋∠ABC ＝180°.由于∠ABC ＋∠APC ＝180°，因此∠ACD ＝∠APC ，又∠CAP ＝∠DAC ，因此△APC ∽△ACD ，因此AP AC ＝ACAD，因此AP ·AD ＝AC 2＝16. 考点三与圆有关的比例线段 [典例] 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE＝2AD；(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．[解] (1)证明：连结DE，因为四边形ACED是圆的内接四边形，因此∠BDE＝∠BCA，又∠DBE ＝∠CBA ，因此△BDE ∽△BCA ，因此BE BA ＝DE CA ，而AB ＝2AC ，因此BE ＝2DE .又CD 是∠ACB 的平分线，因此AD ＝DE ，从而BE ＝2AD .(2)由已知得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t (0<t <2)，依照割线定理得，BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，因此(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12，即AD ＝12. [备课札记][类题通法]1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理要紧用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．[针对训练](2021·郑州模拟)如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 的中点，连结AG 别离交⊙O ，BD 于点E ，F ，连结CE .求证：(1)AG ·EF ＝CE ·GD ；(2)GF AG ＝EF 2CE 2.证明：(1)连结AB ，AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD ＝90°.∵G 为弧BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GAB ＝∠ECF .∴△CEF ∽△AGD ，∴CE AG ＝EF GD ，∴AG ·EF ＝CE ·GD .(2)由(1)知∠DAG ＝∠GAB ＝∠FDG ，又∠G ＝∠G ，∴△DFG ∽△ADG ，∴DG 2＝AG ·GF .由(1)知EF 2CE 2＝GD 2AG 2，∴GFAG ＝EF 2CE 2.对应学生用书P175[课堂练通考点]1．(2021·惠州模拟)如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 通过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°取得OD ，那么PD 的长为________．解析：∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7.答案：7 2．(2021·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝45°，AD ＝1，那么BC ＝________.解析：连结AC .因为∠ABC ＝90°，因此AC 为圆的直径．又∠ACD＝∠ABD ＝30°，因此AC ＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝2.答案：2 3．(2021·广州模拟)如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，假设AP ＝4，PB ＝2，那么PC 的长是________．解析：如图，延长CP 交⊙O 于点D ，因为PC ⊥OP ，因此P 是弦CD 的中点，由相交弦定理知PA ·PB ＝PC 2，即PC 2＝8，故PC ＝2 2.答案：224．(2021·新课标卷Ⅰ)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．解：(1)证明：如图，连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，因此DE 为直径，那么∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，因此BG ＝32.设DE 的中点为O ，连结BO ，那么∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，因此CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32. [课下提升考能]1．(2021·辽宁高考)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连结AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2，从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，因此BC＝BF.类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，因此EF2＝AD·BC.2．(2021·江苏高考)如图，AB和BC别离与圆O相切于点D，C，AC通过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连结OD.因为AB和BC别离与圆O相切于点D，C，因此∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，因此Rt△ADO∽Rt△ACB.因此BCOD＝ACAD.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.3．(2021·哈师大模拟)如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线交于M.(1)求证：MD＝ME；(2)设圆O的半径为1，MD＝3，求MA及CE的长．解：(1)证明：连结OD，∵∠CEO＋∠ECO＝90°，∠MDE＋∠EDO＝90°，又∠EDO＝∠ECO，∴∠CEO＝∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME.(2)∵MD2＝MA·MB，∴3＝MA·(MA＋2)，∴MA＝1.∵在Rt△MDO中，MO＝2，MD＝3，∴∠MOD＝60°，∴∠COD＝150°，∴∠ECO＝15°，CE ＝OC cos ∠ECO ＝1cos 15°＝6－ 2.4．(2021·洛阳模拟)如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O 于A ，B 两点，∠APE 的平分线和AE ，BE 别离交于点C ，D .求证：(1)CE ＝DE ； (2)CA CE ＝PE PB . 证明：(1)∵PE 切⊙O 于点E ，∴∠A ＝∠BEP .∵PC 平分∠APE ，∴∠A ＋∠CPA ＝∠BEP ＋∠DPE .又∠ECD ＝∠A ＋∠CPA ，∠EDC ＝∠BEP ＋∠DPE ，∴∠ECD ＝∠EDC ，∴EC ＝ED .(2)∵∠PDB ＝∠EDC ，∠EDC ＝∠ECD ，∴∠PDB ＝∠PCE .又∠BPD ＝∠EPC ，∴△PBD ∽△PEC ，∴PE PB ＝PC PD . 同理△PDE ∽△PCA ，∴PC PD ＝CA DE ，∴PE PB ＝CA DE .又DE ＝CE ，∴CA CE ＝PEPB .5．如下图，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A ，B 两点，直线AF 交圆O 于点F (不与B 重合)，直线l 与圆O 相切于点C ，交直线AB 于点E ，且与AF 垂直，交AF 的延长线于点G ，连结AC .求证：(1)∠BAC ＝∠CAG ；(2)AC 2＝AE ·AF .证明：(1)连结BC ，因为AB 是直径，因此∠ACB ＝90°，因此∠ACB ＝∠AGC ＝90°.因为GC 切圆O 于点C ，因此∠GCA ＝∠ABC ，因此∠BAC ＝∠CAG .(2)连结CF ，因为EC 切圆O 于点C ，因此∠ACE ＝∠AFC .又∠BAC ＝∠CAG ，因此△ACF ∽△AEC ，因此AC AE ＝AF AC ，因此AC 2＝AE ·AF .6．(2021·新课标卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 别离为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)假设DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，因此∠DCB ＝∠A ，由题设知BC FA ＝DC EA ，故△CDB ∽△AEF ，因此∠DBC ＝∠EFA .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，因此∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.因此∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)如图，连结CE ，因为∠CBE ＝90°，因此过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE .由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，因此CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.。

2021-2022年高考数学总复习选做01几何证明选讲试题含解析

2021年高考数学总复习选做01几何证明选讲试题含解析【三年高考全收录】1. 【xx高考江苏】如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．（2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2. 【xx 高考江苏】如图，在ABC 中，∠ABC =90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点. 求证：∠EDC =∠ABD .【答案】详见解析【解析】试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质，再由，与互余，与互余，得，从而得证. 试题解析：证明：在和中，因为90,,ABC BD AC A ∠=⊥∠为公共角，所以∽，于是.在中，因为是的中点，所以，从而.所以.【考点】相似三角形【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：(1)找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．3．【xx 江苏高考，21】如图，在中，，的外接圆圆O 的弦交于点D求证：∽【答案】详见解析【考点定位】相似三角形4．【xx 高考天津理数】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.【答案】【解析】AB CE DO（第21——A 题）试题分析：设，则由相交弦定理得，，又，所以，因为是直径，则，，在圆中，则，1x =，解得考点：相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．5．【xx高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(I)证明：直线AB与O相切；(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.OD CBA【答案】(I)见解析(II)见解析【解析】试题分析：(I)设是的中点,先证明,进一步可得,即到直线的距离等于圆的半径,所以直线与⊙相切．(II) 设是四点所在圆的圆心,作直线,证明,．由此可证明．试题解析：（Ⅰ）设是的中点,连结,因为,所以,．在中,,即到直线的距离等于圆的半径,所以直线与⊙相切．EO'D COBA（Ⅱ）因为,所以不是四点所在圆的圆心,设是四点所在圆的圆心,作直线．由已知得在线段的垂直平分线上,又在线段的垂直平分线上,所以．同理可证,．所以．考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.6．【xx高考新课标2理数】选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且，过点作，垂足为．(Ⅰ) 证明：四点共圆；(Ⅱ)若，为的中点，求四边形的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）证再证可得即得四点共圆；（Ⅱ）由由四点共圆，可得，再证明根据四边形的面积是面积的2倍求得结论.（II ）由四点共圆，知，连结，由为斜边的中点，知,故因此四边形的面积是面积的2倍，即 111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=考点：三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．7．【xx 高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，中的中点为，弦分别交于两点．（I ）若，求的大小；（II ）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件可证明与是互补的，然后结合与三角形内角和定理，不难求得的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知四点共圆，然后根据用线段的垂直平分线知为四边形的外接圆圆心，则可知在线段的垂直平分线上，由此可证明结果．试题解析：（Ⅰ）连结，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,. 因为，所以，又，所以.又180,2PFD BFD PFB PCD ∠+∠=︒∠=∠，所以，因此.（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，又也在的垂直平分线上，因此．考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等．8．【xx 高考湖北，理15】如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线，且，则 .【答案】【解析】因为是圆的切线，为切点，是圆的割线，由切割线定理知，)(2BC PB PB PC PB PA +=⋅=，因为，所以，即，由∽，所以.9.【xx 高考新课标2，理22】如图，为等腰三角形内一点，圆与的底边交于、两点与底边上的高交于点，与、分别相切于、两点．AP B C（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若等于的半径，且，求四边形的面积．【解析】（Ⅰ）由于是等腰三角形，，所以是的平分线．又因为分别与、相切于、两点，所以，故．从而．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，故是的垂直平分线，又是的弦，所以在上．连接，，则．由等于的半径得，所以．所以和都是等边三角形．因为，所以，．因为，，所以．于是，．所以四边形的面积221103313163 ()(23)232223⨯⨯-⨯⨯=．10．【xx高考陕西，理22】如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．（I）证明：；（II）若，，求的直径．GAE FONDB CM【xx年高考命题预测】纵观近几年高考试题，高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测xx年高考可能以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说, “几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.【xx年高考考点定位】几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.【考点1】相似三角形的判定与性质【备考知识梳理】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：【规律方法技巧】1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．5.．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若，则①；②；③；④；⑤；⑥.7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．【考点针对训练】1. 如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连接ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H .如果AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．【解析】∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AFAB.∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2.∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC.∵D 是AC 的中点，∴HDDE＝1.∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2. 2. 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证： (1)AB ·AC ＝BC ·AD ； (2)AD 3＝BC ·CF ·BE .【解析】(1)在Rt△ABC 中，AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .(2)Rt△ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得, BD 2＝BE ·AB ，同理CD 2＝CF ·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又在Rt△BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC ，∴AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC ，又AB ·AC ＝BC ·AD . 即AD 3＝BC ·CF ·BE . 【考点2】圆的有关问题【备考知识梳理】 1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质：定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)判定：判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆． 3.圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d 与圆的半径r 的关系相交两个 d ＜r 相切一个d ＝r相离无d ＞r(2) 圆的切线性质及判定定理性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△ACP∽△DBP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝PB·PC；(2)△PAB∽△PCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一；(2)求解AB、AC割线定理PAB、PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△PAC∽△PDB(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD；(2)应用相似求AC、BD(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【规律方法技巧】1. 与圆有关的比例线段： (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．(3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．2. 弦切角定理及推论的应用(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向．【考点针对训练】1. 如图，⊙为四边形的外接圆，且，是延长线上一点，直线与圆相切．求证：．【解析】连结．是圆的切线，∴．，∴． ∴．圆是四边形的外接圆，∴． ∴．2. 如图，点C 是⊙O 直径BE 的延长线上一点，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，∠ ACB 的平分线CD 与AB 相交于点D ，与AE 相交于点F ．（I ）求的值；（11）若AB=AC ，求的值．【解析】（Ⅰ）∵AC 是⊙O 的切线，∴，又∵是的角平分线，, ∴+DCB B ACD EAC ∠∠=∠+∠,∴，又∵是的直径，∴,∴ (Ⅱ) ∵，∴，由（I ）得，，∴ ,∴, ∵,,∴∽,∴03tan 30AC AE BC AB ===．【两年模拟详解析】1. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）xx届高三年级第三次调研考试】选修4-1：几何证明选讲如图，圆的弦，交于点，且为弧的中点，点在弧上，若，求的度数.【答案】45°【解析】连结，．因为为弧的中点，所以．而，所以，即．又因为，所以，故．2. 【xx学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】选修4-1：几何证明选讲如图，直线切圆于点，直线交圆于，两点，于点，且，求证：.【答案】见解析【解析】解：连结，设圆的半径为，，则，.在中，，，即，①又直线切圆于点，则，即，②，代入①，，，，.3. 【南京市、盐城市xx届高三年级第一次模拟】（选修4-1：几何证明选讲）如图，是半圆的直径，点为半圆外一点，分别交半圆于点.若，，，求的长.【答案】4. 【xx年第二次全国大联考江苏卷】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，过点作圆的割线与切线，为切点,连接，的平分线与分别交于，其中．求的大小．【解析】由为的平分线得,由弦切角定理得,因为,CDE PED EPD DCE PAC APC ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，所以，因此1803075.2PCE -∠== …………10分 5. 【xx 年第三次全国大联考江苏卷】如图，⊙O 的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为⊙O 上一点，，求证：．PE B ODAC【解析】，为直径，，POC OAC OCA OAC OAC EAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠，又，．6. 【xx 年第一次全国大联考江苏卷】如图，四边形是圆的内接四边形，的延长线交的延长线于点求证：平分.【解析】因为四边形是圆的内接四边形，所以,DAE BCD FAE BAC BDC ∠=∠∠=∠=∠ 因为，所以，所以，所以平分.……………10分7. 【xx 年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】如图，是圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线于点．若，求证：．【解析】连接因为是圆的直径，所以--------（3分）因为是圆的切线，所以，-----------------------（6分）又因为，所以，于是，从而，即，得．-----------------------------------（10分）8. 【xx年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】如图，是⊙O上的点，过E点的⊙O的切线与直线交于点，的平分线和分别交于点.求证：(1) ；(2) ．【答案】证明见解析．9.【江苏省苏中三市xx届高三第二次调研测试】如图，AB是圆的直径，C为圆外一点，且，BC交圆于点D，过D作圆切线交AC于点E.求证：【答案】详见解析【解析】证明：连结，因为，所以．由圆知，所以．从而，所以.又因为为圆的切线，所以，又因为，所以．10．【南京市、盐城市xx届高三年级第二次模拟考试】如图，在Rt△ABC中，AB＝BC．以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE BC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F．求证：BE⋅CE＝EF⋅EA．【答案】详见解析11．【江苏省南京市xx届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】如图，△ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP // AC，交AB于点E，交圆O在A点处的切线于点P．求证：△PAE∽△BDE．【答案】详见解析【解析】证明：因为PA是圆O在点A处的切线，所以∠PAB＝∠ACB．因为PD∥AC，所以∠EDB＝∠ACB，所以∠PAE＝∠PAB＝∠ACB＝∠BDE．又∠PEA＝∠BED，故△PAE∽△BDE．12．【南京市xx届高三年级第三次模拟考试】如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A，H是OC的中点，AH⊥BC．（1）求证：AC是∠PAH的平分线；（2）求PC的长．【答案】（1）详见解析（2）2(2)因为H是OC中点，半圆O的半径为2，所以BH＝3，CH＝1．又因为AH⊥BC，所以AH2＝BH·HC＝3，所以AH＝．在Rt△AHC中，AH＝，CH＝1，所以∠CAH＝30°．由(1)可得∠PAH＝2∠CAH＝60°，所以PA＝2．由PA是半圆O的切线，所以PA2＝PC·PB，所以PC·(PC＋BC)＝(2)2＝12，所以PC＝2．13．【苏锡常镇四市xx届高三教学情况调研（二）数学试题】已知△内接于，是的直径，是边上的高．求证：．【答案】详见解析【解析】证明：连结．∵是的直径，∴．∴．又∵，∴△∽△．∴，∴．14．【江苏省苏北三市xx 届高三最后一次模拟考试】如图，是圆的直径，弦的延长线相交于点，过作的延长线的垂线，垂足为，求证：2AB BE BD AE AC =•-•.【答案】详见解析【解析】试题分析：证明：连接，因为为圆的直径，所以，又，则四点共圆，所以．…………………………………………………………………5分又△∽△，所以，即，所以2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=．15．【南通市xx届高三下学期第三次调研考试数学试题】在中，的平分线交于点，的平分线交于点.求证：.【答案】详见解析16．【盐城市xx 届高三年级第三次模拟考试】如图，是圆的直径，弦的延长线相交于点，垂直的延长线于点，连结.求证：.【答案】详见解析【解析】证明：连结，是圆的直径，，,又，，所以四点共圆，.【一年原创真预测】1. 如图，是的一条切线，切点为，直线，，都是的割线，已知.（Ⅰ）求证：；(II)若,求的值. A BO · FCDE 第21题（A ）图【入选理由】本题考查圆的切割线定理、三角形相似，四点共圆的性质等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力. 切割线定理、三角形相似、四点共圆的性质，是高考重点考查知识点，本题由切割线定理入手，得出三角形相似，结合四点共圆的性质，得出角相等，本题构思巧妙，难度不大，故选此题.2. 如图所示, 为圆的切线, 为切点,交圆与两点，，的角平分线与和圆分别交于点和.（1）求证（2）求的值.【解析】（1）∵为圆的切线, 又为公共角,，，所以.【入选理由】本题考查弦切角定理，三角形相似，切割线定理，勾股定理等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维能力.本题第一问由弦切角入手，得三角形相似，从而得结论，第二问由切割线定理入手，结合勾股定理，像这种题型考查知识基础，综合性强，是高考出题方向，故选此题.3. 如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧的中点，连结AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F ，连结CE ．（Ⅰ）求证：为⊙O 的直径.（Ⅱ）求证：.；【解析】(Ⅰ)连结，∵为⊙M 的直径∴在⊙中，︒=∠=∠=∠90ABD AEC ABC∴为⊙O 的直径.(Ⅱ) ∵ ∴∵点G 为弧的中点∴在⊙中, ∴∽∴【入选理由】本题考查圆周角定理、三角形相似等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑· ·AB C D G E F O M · ·AB C D G E F O M思维能力. 圆周角定理是圆内判断三角形相似的重要方法，也是高考考查的热点，故选此题.。

高中数学平面几何证明题练习及参考答案2023

高中数学平面几何证明题练习及参考答案2023在高中数学学习中，平面几何是一个重要的分支，它研究平面内的点、线、面及其相互关系。

而证明题是平面几何的核心内容之一，通过证明题的练习，可以巩固和提高学生的思维逻辑能力。

下面将为大家提供一些高中数学平面几何证明题的练习及参考答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 证明：垂直平分线能够将一条线段垂直平分。

证明：假设有一条线段AB，垂直平分线为CD。

首先，连接AC和BD两条线段，并延长它们相交于点E。

根据垂直平分线的定义，CE和DE与线段AB相交于点F和G，并且AF=FB，AG=GB。

由于三角形ACD与三角形BDC的两边分别相等，所以根据三角形的SSS（边边边）判定准则，可知ACD≌BDC。

又因为∠ACD=∠BDC=90°，所以根据SSS判定准则，可知四边形ACDF与四边形BDCG全等。

又由全等可知，CF=CG，所以CD垂直平分线段AB。

2. 证明：构成一个等腰三角形的两条边必须相等。

证明：假设有一个三角形ABC，AC=BC，需要证明∠ACB=∠ABC。

首先，连接AB，延长AB至点D。

根据三角形全等的条件，有∠ACB=∠ADC。

又因为∠ACB=∠ADC，所以∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠ADC。

根据角平分线的定义，点D在线段AC的角平分线上。

因此，∠ACB=∠ADC=∠ABC。

3. 证明：等腰三角形的底角相等。

证明：假设有一个等腰三角形ABC，AB=AC，需要证明∠BAC=∠ABC。

首先，连接AB和AC。

根据等腰三角形的性质，有∠BAC=∠BCA。

又因为∠BAC=∠BCA，所以∠BAC=∠ABC。

通过以上的证明题练习，相信大家对平面几何的证明题有了更深入的理解和掌握。

平面几何证明题的解题思路主要是基于几何定理和性质进行推导和论证，需要善于运用基本的几何知识和证明方法。

总结：高中数学平面几何证明题是数学学习中的重要内容，通过练习这类题目可以提高我们的逻辑思维能力和分析问题的能力。

高中数学第十一章几何证明选讲(选修4-1)

第十一章⎪⎪⎪几何证明选讲(选修4－1)第一节相似三角形的判定及有关性质1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． (3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3．相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4．直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：由⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点，又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm. ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.(教材习题改编)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：451．在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．3．射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．[小题纠偏]1.(2016·鞍山模拟)如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为________．解析：因为AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3，所以BE ∶AD ＝2∶5，因为AD ∥BC ，所以BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5，所以BF ∶FD 的值为25.答案：252.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC 为________．解析：设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ， ∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ，又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5. 答案：2∶5考点一平行线分线段成比例定理的应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的值．解：∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58.∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15.2．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC 的值．解：如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.[谨记通法]平行线分线段成比例定理及推论的应用的一个注意点及一种转化(1)一个注意点：利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)一种转化：解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题．考点二相似三角形的判定及性质 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ，则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°，得∠EFC ＝90°，故EF ⊥BC .(2)由(1)得EF ＝FC AC ·AB ＝2a ，故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝AD BF， ∴△ADE ∽△FBE ，所以∠ADE ＝∠EBC .[由题悟法]证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等．(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例． (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．[即时应用]如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB.所以△ABC ∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM . 因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.考点三直角三角形中的射影定理 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，F ，G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE . 证明：因为CD 垂直平分AB ，所以∠ADC ＝∠BDC ＝90°，AD ＝D B.在Rt △ADC 中，因为DF ⊥AC ，所以AD 2＝AF ·AC . 同理BD 2＝BG ·BE . 所以AF ·AC ＝BG ·BE .[由题悟法]对射影定理的理解和应用(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影．(2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用．[即时应用]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，求tan ∠BCD 的值．解：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9，令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.1.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD 的值．解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ，故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.2.如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．解：设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ，所以x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.故△DEF 的边长为43.3.如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值．解：∵AD ∥BC ， ∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN ， ∴AF AF ＋CF ＝AEAE ＋CN.∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ， ∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6， ∴AF AC ＝22×2＋6＝15.4.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中，因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠BFG ＝90°，所以△AFH ∽△GFB ，所以HF BF ＝AF GF ，所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，所以DF 2＝AF ·BF . 所以DF 2＝GF ·HF .5.(2016·大连模拟)如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，求AE 的长．解：因为AE ∥BC ，D 为AC 的中点，所以AE ＝CF ，AE BF ＝AG BG ＝13.设AE ＝x ，又BC ＝8，所以x x ＋8＝13，所以x ＝4. 所以AE ＝4.6.(2016·大连模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .(1)求BFFC 的值；(2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值．解：(1)过点D 作DG ∥BC ，并交AF 于点G ，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE . 又因为∠EBF ＝∠EDG ，∠BEF ＝∠DEG ，所以△BEF ≌△DEG ，则BF ＝DG ，所以BF ∶FC ＝DG ∶FC .又因为D 是AC 的中点，则DG ∶FC ＝1∶2，则BF ∶FC ＝1∶2，即BF FC ＝12.(2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底，则由(1)知BF ∶BC ＝1∶3，又由BE ∶BD ＝1∶2，可知h 1∶h 2＝1∶2，其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高，则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16，则S 1∶S 2＝1∶5. 故S 1∶S 2的值为15.7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.(1)求证：PC AC ＝PDBD ；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为∠CPD ＝∠ABC ，∠PDC ＝∠PDC ，所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD . 又AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为∠ABC ＋∠APC ＝180°，∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∠ABC ＝∠ACB ，所以∠ACD ＝∠APC .又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ，所以AP AC ＝AC AD. 所以AP ·AD ＝AC 2＝9.8.△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于点P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE .证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF ，有PF PE ＝AMAE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF. 对△MBN ，有AB AM ＝BDDN ，因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN . 对△ADC ，有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF . 所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE .第二节直线与圆的位置关系1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角； ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设垂足为D ，⊙O 的半径等于R ， ∵AB ，BC 是⊙O 的两条弦， AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22， ∴AD ＝1，∴R 2＝2＋(R －1)2， ∴R ＝1.5.故⊙O 的半径为1.5. 答案：1.52.如图，AC 为⊙O 的直径，OB ⊥AC ，弦BN 交AC 于点M .若OC ＝3，OM ＝1，则MN 的长为________．解析：由题意得： CM ＝CO ＋OM ＝3＋1， AM ＝AO －OM ＝3－1， BM 2＝OB 2＋OM 2＝4，BM ＝2，根据相交弦定理有CM ·AM ＝BM ·MN ，代入数值可解得MN ＝CM ·AM BM ＝(3＋1)(3－1)2＝1.答案：13.如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝________ cm.解析：连接OC ，则OC ⊥PC .又OC ＝3，∠CPA ＝30°， ∴CP ＝OCtan 30°＝3 3.答案：3 31．解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，角之间关系易于混淆导致错误．2．使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用．[小题纠偏]1.如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC ＝2，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析：设圆O的半径为r，过B作⊙O的直径BA，连接AC，则∠ACB＝90°.又由弦切角定理得∠CAB＝∠BCD＝30°，∴AB＝2BC＝4.∴r＝2，∴S＝πr2＝4π.答案：4π2.如图所示，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为________．解析：设⊙O的半径为r.由割线定理得PA·PB＝PC·PD,3×7＝(PO－r)(PO＋r)，即21＝25－r2，∴r2＝4，∴r＝2.答案：2考点一圆周角、弦切角和圆的切线问题(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.(2016·黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，求∠AFD的大小．解：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，得∠B＝∠EAC.又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD.根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD.因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，所以△ADF是等腰直角三角形．所以∠ADF＝∠AFD＝45°.2．(2015·广东高考改编)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，求OD的长．解：由题意得OP ＝12BC ＝12，OA ＝2，于是PA ＝CP ＝22－⎝⎛⎭⎫122＝152. 因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ，故PD PA ＝PCPO，即PD ＝15212×152＝152，所以OD ＝152＋12＝8.[谨记通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．考点二圆内接四边形的性质及判定 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·昆明模拟)如图所示，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2的另一交点为G .(1)求证：A ，E ，G ，F 四点共圆；(2)若AG 切⊙O 2于G ，求证：∠AEF ＝∠ACG . 证明：(1)如图，连接GD ，四边形BDGE ，四边形CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2， ∴∠AEG ＝∠BDG ， ∠AFG ＝∠CDG ，又∠BDG ＋∠CDG ＝180°， ∴∠AEG ＋∠AFG ＝180°，∴A，E，G，F四点共圆．(2)∵A，E，G，F四点共圆，∴∠AEF＝∠AGF，∵AG与⊙O2相切于点G，∴∠AGF＝∠ACG，∴∠AEF＝∠ACG.[由题悟法]证明四点共圆的常用方法(1)若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆．(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．[即时应用](2016·吉林实验中学)如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.(1)求证：BC∥DE；(2)若D，E，C，F四点共圆，且AC＝BC，求∠BAC.解：(1)证明：因为DE为圆的切线，所以∠EDC＝∠DAC.又因为∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，所以∠EDC＝∠DCB，所以BC∥DE.(2)因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED，由(1)知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF.设∠DAC＝∠DAB＝x，因为AC＝BC，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，在等腰△ACF中，180°＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x≈25.7°，所以∠BAC＝2x≈51.4°.考点三与圆有关的比例线段 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2015·陕西高考)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA;(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径，所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED.又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝ADCD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.[由题悟法]与圆有关的比例线段解题思路(1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理． (2)见到圆的两条割线就要想到割线定理． (3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．[即时应用]1．(2015·天津高考改编)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，求线段NE 的长．解：由题意可得CM ·MD ＝AM ·MB ，则2×4＝2AM 2，AM ＝2. 又CN ·NE ＝AN ·NB ，即3NE ＝4×2，解得NE ＝83.2．(2015·湖北高考改编)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，求ABAC的值．解：因为PA 是圆的切线， A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知PA 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )，因为BC ＝3PB ，所以PA 2＝4PB 2，即PA ＝2PB. 由弦切角定理，得∠PAB ＝∠PCA ，又∠APB ＝∠CPA ，故△PAB ∽△PCA ，所以AB AC ＝PB PA ＝12.1．(2015·重庆高考改编)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，求BE 的长．解：由切割线定理，知PA 2＝PC ·PD ，即62＝3PD ，解得PD ＝12，所以CD ＝PD －PC ＝9，所以CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理，知AE ·EB ＝CE ·ED ，即9BE ＝6×3，解得BE ＝2.2．(2016·兰州双基测试)如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)P ，D ，C ，E 四点共圆； (2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，知：△ABD ≌△BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， ∴P ，D ，C ，E 四点共圆．(2)连接DE ，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°，由正弦定理知∠CED ＝90°，由P ，D ，C ，E 四点共圆知，∠DPC ＝∠DEC ， ∴AP ⊥CP .3．(2016·陕西一检)如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD.(1)求证：l 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径OA ＝5，AC ＝4，求CD 的长．解：(1)证明：连接OP ， ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴AC ∥BD.又OA ＝OB ，PC ＝PD ， ∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l .∵点P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线． (2)由(1)可得OP ＝12(AC ＋BD )，∴BD ＝2OP －AC ＝10－4＝6. 过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，则BE ＝BD －AC ＝6－4＝2. ∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝102－22＝4 6. ∴CD ＝4 6.4.(2015·全国卷Ⅰ)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC交⊙O 于点E .(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小．解：(1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB. 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°，所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线． (2)设CE ＝1，AE ＝x .由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2. 由射影定理可得AE 2＝CE ·BE ，所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0. 解得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.5．(2015·沈阳一模)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的两个点，CE ⊥AB 于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，CF ＝FG .(1)求证：C 是劣弧BD 的中点； (2)求证：BF ＝FG .证明：(1)∵CF ＝FG ，∴∠CGF ＝∠FCG . ∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝π2.∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝π2.∵∠CBA ＝π2－∠CAB ，∠ACE ＝π2－∠CAB ，∴∠CBA ＝∠ACE .∵∠CGF ＝∠DGA ，∠DGA ＝∠ABC ， ∴π2－∠DGA ＝π2－∠ABC ， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∴C 为劣弧BD 的中点．(2)∵∠GBC ＝π2－∠CGB ，∠FCB ＝π2－∠GCF ，∴∠GBC ＝∠FCB ，∴CF ＝FB ，∴BF ＝FG .6．(2016·贵州七校联考)如图，⊙O 1和⊙O 2的公切线AD 和BC 相交于点D ，A ，B ，C 为切点，直线DO 1交⊙O 1于E ，G 两点，直线DO 2交⊙O 2于F ，H 两点．(1)求证：△DEF ∽△DHG ；(2)若⊙O 1和⊙O 2的半径之比为9∶16，求DEDF 的值．解：(1)证明：∵AD 是两圆的公切线， ∴AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ， ∴DE ·DG ＝DF ·DH ，∴DE DH ＝DF DG ，又∵∠EDF ＝∠HDG ， ∴△DEF ∽△DHG .(2)连接O 1A ，O 2A ， ∵AD 是两圆的公切线， ∴O 1A ⊥AD ，O 2A ⊥AD ， ∴O 1，A ，O 2共线，∵AD 和BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线， DG 平分∠ADB ，DH 平分∠ADC ， ∴DG ⊥DH ，∴AD 2＝O 1A ·O 2A .设⊙O 1和⊙O 2的半径分别为9x 和16x ，则AD ＝12x ， ∵AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ，∴144x 2＝DE (DE ＋18x )，144x 2＝DF (DF ＋32x )， ∴DE ＝6x ，DF ＝4x ， ∴DE DF ＝32.7．(2016·沈阳模拟)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A ，B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D.(1)求证：C ，P ，B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，PA ，PB ，BO 2，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC＝90°.连接O1O2必过点P，∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴设∠BAP＝∠ACP＝α，∴∠AO1P＝2α.由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α.又∠ABP＋∠O2BP＝90°，∴∠ABP＋∠BAP＝90°，∴C，P，B三点共线．(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB.在△ABC中，∠CAB＝90°，又∵AP⊥BC，∴CA2＝CP·CB，故CD＝CA.8．(2015·全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形．因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.。

《几何证明》高中文科数学专题复习

B1B C1A CA1D 高考复习专题《几何证明》17分知识点1：线面平行线面平行判定定理：线面平行性质定理：基础练习：1. 三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若D 为BB 1上一点， M 为AB 的中点，N 为BC 的中点.求证：MN ∥平面A 1C 1D ；2、如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P —ABCD 中，点 E 是 PD 的中点. 求证：PB//平面 AEC ；3．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD ；4．在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面PAD ；第4题第5题ABC DE Py P AB C D M NAB C D E FP 5、如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 是 AC 的中点。

求证：AB 1//平面DBC 16、如图，在正方体ABCD ——A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 对角线的交点.求证：C 1O//平面AD 1B 1.第6题第7题7．正四棱锥S ABCD -中，E 是侧棱SC 的中点.求证：直线SA //平面BDE8. 已知四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．求证：AF//平面PEC第8题第9题9 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M ，N 分别是CC 1，AB 的中点．求证：CN //平面AB 1M ．10．ABCD-A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，E 是棱BC 的中点。

求证：BD 1//平面C 1DE第10题第11题11.在三棱柱111ABC A B C -中， D 为BC 中点.求证：1//A B 平面1ADC ；ABCD C 1A 1B 1N M C 1B 1A 1CB A知识点2：面面平行面面平行的判定面面平行的性质基础练习：1.如图，已知四棱锥P-ABCD 中,地面ABCD 为平行四边形,点M,N,Q 分别为PA,BD,PD 上的中点,求证:平面MNQ ∥平面PBA第1题第2题 2.在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 、E 1、F 1分别是AB 、CD 、A 1B 1、C 1D 1的中点．求证：平面A 1EFD 1∥平面BCF 1E 1.3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、P 、Q 、R 分别是所在棱AB 、BC 、BB '、A 'D '、D 'C '、DD '的中点，求证：平面PQR ∥平面EFG 。

高中几何证明选讲课后练习及答案解析

高中几何证明选讲课后练习及答案解析1、[选修4-1：几何证明选讲]如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：①BE=EC;②AD·DE=2PB2.证明：①∵PC=2PA，PD=DC，∴PA=PD，△PAD为等腰三角形.连接AB，那么∠PAB=∠DEB=β，∠BCE=∠BAE=α，∵∠PAB+∠BCE=∠PAB+∠BAD=∠PAD=∠PDA=∠DEB+∠DBE，∴β+α=β+∠DBE，即α=∠DBE，即∠BCE=∠DBE，所以BE=EC.②∵AD·DE=BD·DC，PA2=PB·PC，PD=DC=PA，BD·DC=(PA-PB)PA=PB·PC-PB·PA=PB·(PC-PA)，PB·PA=PB·2PB=2PB2.2、[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为y=2+2sinα(x=2cosα)(α为参数)，M为C1上的动点，P点满足→(OP)=2→(OM)，点P的轨迹为曲线C2.①求C2的参数方程;②在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=3(π)与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.解：①设P(x，y)，那么由条件知M2(y).由于M点在C1上，所以=2+2sinα(y)，即y=4+4sinα(x=4cosα).从而C2的参数方程为y=4+4sinα(x=4cosα)(α为参数).②曲线C1的极坐标方程为=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为=8sinθ.射线θ=3(π)与C1的交点A的极径为1=4s in3(π)，射线θ=3(π)与C2的交点B的极径为2=8sin3(π).所以|AB|=|2-1|=2.3、 [选修4-5：不等式选讲]函数f(x)=|x-m|+|x+6|(m∈R).①当m=5时，求不等式f(x)≤12的解集;②假设不等式f(x)≥7对任意实数x恒成立，求m的取值范围.解：①当m=5时，f(x)≤12即|x-5|+|x+6|≤12，当x<-6时，得-2x≤13，即x≥-2(13)，所以-2(13)≤x<-6;当-6≤x≤5时，得11≤12成立，所以-6≤x≤5;当x>5时，得2x≤11，即x≤2(11)，所以5故不等式f(x)≤12的解集为2(11).②f(x)=|x-m|+|x+6|≥|(x-m)-(x+6)|=|m+6|，由题意得|m+6|≥7，那么m+6≥7或m+6≤-7，解得m≥1或m≤-13，故m的取值范围是(-∞，-13]∪[1，+∞).三道题让你快速“吃透”几何选讲，你还在等什么呢?更多数学资讯，尽在数学网。

「精选」人教版最新高中数学高考总复习几何证明选讲习题及详解及参考答案-精选文档

高中数学高考总复习几何证明选讲习题(附参考答案)一、选择题1．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D[解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案] C[解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12×4×3＝6，∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6.3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( )A ．3 B.15 C ．3 2 D ．3 5 [答案] D[解析] 由切割线定理知：PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45， ∴PN ＝3 5.4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD BD ＝，则斜边AB 上的中线CE 的长为( )A ．5 6 B.562 C.15 D.3102[答案] B[解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56，∴CE ＝12AB ＝562.5．已知f (x )＝(x －2010)(x ＋2009)的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，20102009) D ．(0，20092010) [答案] A[解析] 由题意知圆与x 轴交点为A (2010,0)，B (－2009,0)，与y 轴交点为C (0，－2010×2009)，D (0，y 2)．设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，此方程两根为2010和－2009，∴F ＝－2010×2009 令x ＝0得y 2＋Ey －2010×2009＝0 ∴－2010×2009×y 2＝－2010×2009 ∴y 2＝1，故选A.[点评] 圆与x 轴交点A (2010,0)，B (－2009,0)与y 轴交点C (0，－2010×2009)，D (0，y 2)，∵A 、C 、B 、D 四点共圆，∴AO ·OB ＝OC ·OD ， ∴OD ＝1，∴y 2＝1.6．设平面π与圆柱的轴的夹角为β (0°<β<90°)，现放入Dandelin 双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )A.12B.22C.33D.32[答案] B[解析] ∵Dandelin 双球与平面π的两切点是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，∴2b ＝2c ，∴e ＝c a ＝c b 2＋c 2＝c 2c ＝22.二、填空题7．如图，PT 切⊙O 于点T ，P A 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝________.[答案] 15[解析] 由相交弦定理得DC ·DT ＝DA ·DB ，则DT ＝9.由切割线定理得PT 2＝PB ·P A ，即(PB ＋BD )2－DT 2＝PB (PB ＋AB )．又BD ＝6，AB ＝AD ＋BD ＝9，∴(PB ＋6)2－92＝PB (PB ＋9)，得PB ＝15.8．(09·天津)如图，AA 1与BB 1相交于点O ，AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1.若△AOB 的外接圆的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为______________．[答案] 2[解析] ∵AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1，∴△AOB ∽△A 1OB 1，∴两三角形外接圆的直径之比等于相似比，∴△A 1OB 1的外接圆直径为2.9．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的度数是________．[答案] 99°[解析] 连接OB 、OC 、AC ，根据弦切角定理得， ∠EBC ＝∠BAC ，∠CAD ＝∠DCF ，可得∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.[点评] 可由EB ＝EC 及∠E 求得∠ECB ，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD ，由圆内接四边形对角互补求得∠A .10．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，P AB 为割线，PC ＝4，PB ＝8，∠B ＝30°，则BC ＝________.[答案] 4 3[解析] (1)由切割线定理 PC 2＝P A ·PB ， ∴P A ＝2，∠ACP ＝∠B ＝30°，在△P AC 中，由正弦定理2sin30°＝4sin ∠P AC ，∴sin ∠P AC ＝1，∴∠P AC ＝90°，从而∠P ＝60°，∠PCB ＝90°， ∴BC ＝PB 2－PC 2＝82－42＝4 3.11．(2010·重庆文)如图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等，设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cosα13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝____________.[答案] －12[解析] 如图，O 1、O 2、O 3为三个圆的圆心，A 1、A 2、A 3分别是每两个圆的交点，则∠A 1P A 2＋∠A 2P A 3＋∠A 3P A 1＝12(α1＋α2＋α3)＝2π，∴α1＋α2＋α3＝4π，∴cos α13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝cos α1＋α2＋α33＝cos 4π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π3 ＝－cos π3＝－12.12．(2010·广东中山市四校联考)如图，P A 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为________．[答案]7[解析] 由图可知，P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )＝3，∴P A ＝3，∴∠AOP ＝60°，又∠AOD ＝60°，∴∠POD ＝120°，∵PO ＝2，OD ＝1， ∴cos ∠POD ＝22＋12－PD 22×2×1＝－12，∴PD ＝7.三、解答题13．(2010·南京市调研)如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 与⊙O 相切于点C ，PC ＝AC ＝1，求⊙O 的半径．[解析] 连接OC .设∠P AC ＝θ.因为PC ＝AC ，所以∠CP A ＝θ，∠COP ＝2θ. 又因为PC 与⊙O 相切于点C ，所以OC ⊥PC . 所以3θ＝90°.所以θ＝30°.设⊙O 的半径为r ，在Rt △POC 中， r ＝CP ·tan30°＝1×33＝33. 14．(2010·江苏盐城调研)如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．[解析] 连结OC 、BE 、AC ，则BE ⊥AE .∵BC ＝4，∴OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形，∴∠CBO ＝∠COB ＝60°，又直线l 切⊙O 于C ， ∴∠DCA ＝∠CBO ＝60°，∵AD ⊥l ，∴∠DAC ＝90°－60°＝30°，而∠OAC ＝∠ACO ＝12∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝12AB ＝4.15．(2010·辽宁实验中学)如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4，(1)求PF 的长度．(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度． [解析] (1)连结OC ，OD ，OE ，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝∠AOC ，又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ，从而∠PFD ＝∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ， ∴PF PC ＝PDPO，由割线定理知PC ·PD ＝P A ·PB ＝12，故PF ＝PC ·PD PO ＝124＝3.(2)若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ，因为OF ＝2－r ＝1，即r ＝1，所以OB 是圆F 的直径，且过P 点的圆F 的切线为PT ，则PT 2＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT ＝2 2.。

高中数学选修4-1几何证明选讲知识点及练习含答案(精品)

相似三角形的判定及有关性质知识点1：比例线段的相关概念比例线段：对于四条线段a b c d 、、、，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a cb d=（或:=a b c d :）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注意：⑴在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．⑵当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．⑶比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．知识点2：比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=．合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=．发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等．等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ΛΛ，那么ban f d b m e c a =++++++++ΛΛ．知识点3：比例线段的有关定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.（三角形中位线定理的逆定理）推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.（梯形中位线定理的逆定理）平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．知识点:4：黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=0.618AB ≈．知识点5：相似图形1、相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）2、相似三角形的判定方法预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理的基本图形语言：数学符号语言表述是：BC DE //Θ∴ADE ∆∽ABC ∆．判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似.判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法. 3、相似三角形的性质定理：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形的周长比等于相似比；（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方；（4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆． (2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 5、相似直角三角形引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的线段成比例，那么这两条直线平行于三角形的第三边.（与三角形的中位线定理类似）定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似.定理：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.定理：如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 6、直角三角形的射影定理从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型知识点6：与位似图形有关的概念1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.2、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.3、画位似图形⑴画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）；③根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置；④顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.⑵位似中心的选取：①位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外；②位似中心可取在多边形的一条边上；③位似中心可取在多边形的某一顶点上.说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小.圆的章节知识点总结一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合；轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇔d r <⇔点C 在圆内；2、点在圆上⇔d r =⇔点B 在圆上；3、点在圆外⇔d r >⇔点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇔d r >⇔无交点；2、直线与圆相切⇔d r =⇔有一个交点；3、直线与圆相交⇔d r <⇔有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇔ 无交点 ⇔d R r >+；外切（图2）⇔ 有一个交点⇔d R r =+；AD相交（图3）⇔ 有两个交点⇔R r d R r -<<+；内切（图4）⇔ 有一个交点⇔d R r =-；内含（图5）⇔ 无交点 ⇔d R r <-；五、垂径定理弦：连接圆上任意两点之间的线段叫做弦.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧.推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论.即：AB 是直径;②AB CD ⊥;③CE DE =;④ 弧BC =弧BD ( );⑤ ;中任意2个条件推出其他3个结论. 推论4：圆的两条平行弦所夹的弧相等.即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理圆心角的定义：顶点在圆心且两边与圆相交的角叫做圆心角.圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数. （同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等——也称一推三定理）即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论也即：①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =;③图4图5»»BCBD =»»AC AD =DB AB AOOC OF=;④推论1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；推论2：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等；推论3：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等；七、圆周角定理圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等且都等于它所对的圆心的角的一半.符号语言：①∵在Oe中，C D∠∠、都是弧AB所对的圆周角∴C D∠=∠②∵AOB∠和ACB∠是弧AB所对的圆心角和圆周角∴2AOB ACB∠=∠图形语言：推论1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；（90︒的圆周角所对的弧是半圆，所对的弦是直径）符号语言：∵在Oe中，AB是直径∴=90C︒∠;或∵=90C︒∠∴AB是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形符号语言：在△ABC中，∵OA OB OC==∴△ABC是直角三角形或=90C︒∠八、圆内接四边形圆内接四边形：如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.圆的内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补，圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.»»BA ED=符号语言：∵在O e 中，四边形ABCD 是内接四边形 ∴180180C BAD B D DAE C ︒︒∠+∠=∠+∠=∠=∠，，图形语言：圆的内接四边形的判定定理1：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆.符号语言：∵在四边形ABCD 中，180180C BAD B D ︒︒∠+∠=∠+∠=， ∴A B C D 、、、四点共圆圆的内接四边形的判定定理2：如果四边形的一个外角等于它内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.符号语言：∵在四边形ABCD 中，DAE C ∠=∠ ∴A B C D 、、、四点共圆九、切线的性质与判定定理1、切线的定义：当直线和圆有且只有一个公共点时，我们把这条直线叫做圆的切线. （1）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.符号语言：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是O e 的切线图形语言：（2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经经过圆心.2、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，该点和切点之间的线段的长叫做该点到圆的切线长.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等且该点和圆心的连线平分两条切线的夹角.符号语言：∵PA PB 、是的两条切线 ∴=PAPB 且PO 平分APB ∠图形语言：3、弦切角：顶点在圆上，且一边和圆相交而另一边和圆相切的角叫做弦切角.(弦与切线的夹角叫做弦切角)弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.符号语言：∵BAC ∠是圆的一个弦切角 ∴BAC APC ∠=∠4、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等. 符号语言： ∵在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，∴PA PB PC PD ⋅=⋅ 图形语言：推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项. 符号语言：∵在⊙O 中，直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅5、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.符号语言：∵在⊙O 中，PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅6、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.符号语言：∵在⊙O 中，PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅图形语言：PO DC BA OE DCBADEC BPAO十、圆内正多边形的计算（1）正三角形：在O e 中，△ABC 是正三角形，有关计算在Rt △BOD 中进行，::2OD BD OB =（2）正四边形：同理，四边形的有关计算在Rt △OAE 中进行，::OE AE OA =（3）正六边形：同理，六边形的有关计算在Rt △OAB 中进行，::2AB OB OA =十一、圆的有关概念1、三角形的外接圆、外心. →用到：线段的垂直平分线及性质2、三角形的内切圆、内心. →用到：角的平分线及性质3、圆的对称性。

高考数学(精讲+精练+精析)专题14_1 几何证明选讲试题理(含解析)

专题14.1 几何证明选讲【三年高考】1. 【2016高考天津】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.【答案】23 32.【2016高考新课标1卷】如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,12OA为半径作圆.(I)证明：直线AB与O相切；(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.OD CBAEO'DCO BA3．【2016高考新课标2】如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ． (Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【解析】（I ）因为DF EC ⊥,所以,DEF CDF ∆~∆则有,,DF DE DGGDF DEF FCB CF CD CB∠=∠=∠==所以,DGF CBF ∆~∆由此可得,DGF CBF ∠=∠由此0180,CGF CBF ∠+∠=所以,,,B C G F 四点共圆.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=4．【2016高考新课标3】如图，O 中AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点．（I ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小；（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG CD ⊥．【解析】（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,.因为AP BP =，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠.又180,2PFD BFD PFB PCD ∠+∠=︒∠=∠，所以3180PCD ∠=︒，因此60PCD ∠=︒.（Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=︒，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，又O 也在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥．5.【2015高考新课标2，】如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．（Ⅰ）证明：//EF BC ；（Ⅱ）若AG 等于O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积．【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O 的弦，所以O 在AD上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为23AE =，所以4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，132DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，1033AB =．所以四边形EBCF 的面积221103313163()(23)232223⨯⨯-⨯⨯=．6．【2015高考陕西，】如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C 2B =，求O 的直径．7.【2015高考新课标1】如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于E .（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（Ⅱ）若3OA CE =，求∠ACB 的大小.【解析】（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，在Rt △AEC 中，由已知得DE =DC ，∴∠DEC =∠DCE ，连结OE ，∠OBE =∠OEB ，∵∠ACB +∠ABC =90°，∴∠DEC +∠OEB =90°，∴∠OED =90°，∴DE 是圆O 的切线.（Ⅱ）设CE =1，AE =x ,由已知得AB =23，212BE x =-，由射影定理可得，2AE CE BE =， ∴2212x x =-，解得x =3，∴∠ACB =60°.8.【2015高考湖南】如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（1）180MEN NOM ∠+∠=；（2）FE FN FM FO ⋅=⋅【解析】（1）如图a 所示， ∵M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，∴OM AB ⊥，ON CD ⊥，即90OME ∠=， 90ENO ∠=，180OME ENO ∠+∠=，又四边形的内角和等于360，故180MEN NOM ∠+∠=；（2）由（I ）知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE FN FM FO ⋅=⋅9. 【2014高考辽宁第22题】如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （Ⅰ）求证：AB 为圆的直径；（Ⅱ）若AC =BD ，求证：AB =ED .【解析】（Ⅰ）因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA, 又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF垂直EP，所以∠PFA=90°，于是∠BDA=90°，故AB是直径.(Ⅱ)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA,AC=BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是Rt△BDA与∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB.由于ED是直径，由（Ⅰ）得ED=AB.10. 【2014高考全国2第22题】如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：（Ⅰ）BE=EC；PB（Ⅱ）AD DE=2211. 【2014高考全国1第22题】如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =. （Ⅰ）证明：D E ∠=∠；（Ⅱ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE ∆为等边三角形.【解析】（I ）由题设知,,,A B C D 四点共圆，所以D CBE ∠=∠．由已知得E CBE ∠=∠，故D E ∠=∠．（II ）设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB MC =知MN BC ⊥，故O 在直线MN 上．又AD 不是O的直径，AD 的中点为M ，故OM AD ⊥，即MN AD ⊥．所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠．又CBE E ∠=∠，故E A ∠=∠．由（1）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出, 高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2017年高考还会以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说,“几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.【2017年高考考点定位】几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.【考点1】相似三角形的判定与性质【备考知识梳理】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：内容性质定理1相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比性质定理2相似三角形的面积比等于相似比的平方结论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项【规律方法技巧】1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．5.．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若a cb d=，则①a bc d=；②ad bc=；③a b c db d++=；④a b c db d--=；⑤a b c da b c d++=--；⑥a a cb b d+=+.7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．【考点针对训练】1.【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺四】如图所示，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N作割线NAB，交圆O于A，B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连接PB交圆O 于点D，若MC=BC.（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形.2.【2016年山西省右玉一中高考冲刺压轴卷三】如图，已知⊙O 和⊙M 相交于B A 、两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 中点，连结AG 分别交⊙O 、BD 于点F E 、，连结CE .（Ⅰ）求证：GD CE EF AG ⋅=⋅；（Ⅱ）求证：22CEEF AG GF =. 【解析】（Ⅰ）连结AC AB ,，∵AD 为⊙M 的直径，∴ 90=∠ABD ，∵AC 为⊙O 的直径，∴AGD CEF ∠=∠，∵CFE DFG ∠=∠，∴GDF ECF ∠=∠，∵G 为弧BD 中点，∴GDF DAG ∠=∠，∵BAG ECB ∠=∠，∴ECF DAG ∠=∠，∴AGD CEF ∆∆~，∴GDAGEF CE =，∴GD CE EF AG ⋅=⋅. （Ⅱ）由（Ⅰ）知GDF DAG ∠=∠，G G ∠=∠，∴ADG DFG ∆∆~，∴GF AG DG ⋅=2，由（Ⅰ）知2222AG GD CE EF =，∴22CE EF AG GF =. 【考点2】圆的有关问题【备考知识梳理】 1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质：定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定：判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．3.圆的切线(1)直线与圆的位置关系性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△ACP∽△DBP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝PB·PC；(2)△PAB∽△PCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一；(2)求解AB、AC割线定理PAB、PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△PAC∽△PDB(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD；(2)应用相似求AC、BD(1)(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【规律方法技巧】1. 与圆有关的比例线段：(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．(3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条． 2. 弦切角定理及推论的应用(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向．【考点针对训练】1.【2016届湖北七市教研协作体高三4月联考】已知ABC ∆中，AB AC =，D 是ABC ∆外接圆劣弧AC 上的点（不与点,A C 重合），延长BD 至E ，延长AD 至F .（1）求证：ABC EDF ∠=∠；（2）若75ABC ∠=，ABC ∆中BC 边上的高为23+，求ABC ∆外接圆的面积.【解析】（1）如图，由AB AC =得ABC ACB ∠=∠，∵ACB ∠与ADB ∠都是同弧AB 所对的圆周角， ∴ACB ADB ∠=∠且ADB EDF ∠=∠，故ABC EDF ∠=∠.（2）设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H ，则AH BC ⊥，连接OC ，由题意易得030BAC ∠=，015OAC OCA ∠=∠=，且075ACB ∠=，∴060OCH ∠=，设圆半径为r ，则3232r r +=+，解得2r =，故外接圆面积为4π.2.【2016届陕西省高三下学期教学质检二】如图，已知圆1O 与2O 相交于,A B 两点，过点A 作圆1O 的切线交圆2O 于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交圆1O 、圆2O 于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P . （Ⅰ）求证：ADEC ；（Ⅱ）若AD 是圆2O 的切线，且6,2,9PA PC BD ===，求AD 的长.【解析】（Ⅰ）连接BA ．∵AC 是圆1O 的切线，∴BAC D ∠=∠.又∵BAC E ∠=∠，∴D E ∠=∠，∴AD EC .（Ⅱ）证明：设,BP x PE y ==，∵6,2PA PC ==，∴12xy =.又∵AD EC ，∴PD APPE PC=，∴962x y +=.又∵0,0x y >>，联立上述方程得到3,4x y ==，∴916DE x y =++=.∵AD 是圆2O 的切线，∴2916AD DB DE =⋅=⋅.∴12AD =.【应试技巧点拨】 1．辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．2．比例的性质的应用相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若a cb d =，则①a bcd =；②ad bc =；③a b c d b d ++=；④a b c d b d --=；⑤a b c da b c d++=--；⑥a a cb b d+=+. 3．同一法：先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立．4.证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．5.与圆有关的比例线段(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．二年模拟1. 【2016年山西榆林高三二次模考】如图所示，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于点E ，2AB AC =.（1）求证：2BE AD =；（2）当1,2AC EC ==时，求AD 的长.【解析】（1）连接DE ，因为四边形ACED 是圆内接四边形，所以BDE BCD ∠=∠，所以DBE CBA ∆∆，即有BE DEBA CA=，又2AB AC =，所以2BE DE =，又CD 是ACB ∠的平分线，所以AD DE =，从而2BE AD =;（2）由条件得22AB AC ==，设AD t =，根据割线定理得：BD BA BE BC =，即()()22AB AD BA AD AD CE -=+，所以有()()22222t t t -⨯=+，解得：12t =，所以12AD =. 2. 【2016年湖北八校高三四次联考】如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 与边,BC AC 另外的交点分别为,D E ，且DF AC ⊥于F ．（Ⅰ）求证：DF 是O ⊙的切线；（Ⅱ）若3CD =，7=5EA ，求AB 的长．EFDOC B3. 【2016年安徽安庆二模】如图,以ABC ∆的边AB 为直径作圆O ,圆O 与边BC 的交点D 恰为BC 边的中点,过点D 作DE AC ⊥于点E ．（I ）求证：DE 是圆O 的切线；（II ）若30B ∠=,求AEDC的值．4.【2016年江西高三九校联考】如图所示，AC 为O 的直径，D 为BC 的中点，E 为BC 的中点．（1）求证：//DE AB ；（2）求证：·2?AC BC AD CD ＝．【解析】（Ⅰ）连接OE ，因为D 为BC 的中点，E 为BC 的中点，所以OED 三点共线．因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点，所以//OE AB ，故//DE AB .（Ⅱ）因为D 为BC 的中点，所以BAD DAC ∠∠＝，又,BAD DCB DAC DCB ∠∠∠∠＝＝．又因为,AD DC DE C DAC ECD ⊥⊥∆∆，∽． ··A AC AD C D CD A D CEC CE =∴＝, 22AD CD AC CE ⋅⋅＝, 2AD CD AC BC ⋅⋅＝．5. 【2016年安徽淮北一中高三模考】如图，,A B 是圆O 上的两点，P 为圆O 外一点，连结,PA PB 分别交圆O 于点,C D ，且AB AD =，连结BC 并延长至E ，使PEB PAB ∠=∠．（1）求证：PE PD =；（2）若1AB EP ==，且0120BAD ∠=，求AP ．【解析】（1）连结DC ，因为,PCE ACB ADB PCD ABD ∠=∠=∠∠=∠，又因为AB AD =，所以ABD ADB ∠=∠，所以PCE PCD ∠=∠，由已知,PEB PAB PDC PAB ∠=∠∠=∠，所以PEC PDC ∠=∠，且PC PC =，所以PEC PDC ∆≅∆，所以PE PD =．（2）因为,ACB PBA BAC PAB ∠=∠∠=∠，所以ABCAPB ∆∆，则()2AB AP AC AP AP PC ==-，所以()22AP AB AP PC PD PB PD PD BD -===+，又因为,1PD AB AB ==，所以2223AP AB AB BD -==，所以223AP =+，所以262AP +=．6. 【2016年江西南昌高三一模】如图，圆M 与圆N 交于A ， B 两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于C 、D 两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ．已知BC=5， DB=10. (I)求AB 的长；（II ）求CF DE . 【解析】（Ⅰ）根据弦切角定理，知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠，∴△ABC ∽△DBA ，则AB BC DB BA=，故250,52AB BC BD AB =⋅==. （Ⅱ）根据切割线定理，知2CA CB CF =⋅，2DA DB DE =⋅，两式相除，得22CA CB CF DA DB DE =⋅（*）.由△ABC ∽△DBA ，得522102AC AB DA DB ===，2212CA DA =，又51102CB DB ==，由（*）得1CF DE =． 7. 【2016年河南八市高三三模】已知，ABC ∆内接于圆，延长AB 到D 点，使得2,DC DB DC =交圆于E 点.（1）求证：2AD DE =；（2）若AC DC =，求证：DB BE =.【解析】(1）如图，连结··DB DA DE D B C E=．．DB DE DC DA ∴=．又22DC DB DA DE =∴=，．（2）AC DC D A BED A BED D BD BE =∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=，．，．．8.【2016届河北省石家庄市高三二模】如图，ABC RT ∆内接于⊙O ， 90=∠C ，弦BF 交线段AC 于E ，E 为AC 的中点，在点A 处作圆的切线与线段OE 的延长线交于D ，连接DF .（I ）求证：EB FE EO DE ⋅=⋅；（II ）若45=∠CEB ，⊙O 的半径r 为52，求切线AD 的长.9. 【2016届陕西省高三高考全真模拟四】如下图,,AB CD 是圆O 的两条互相垂直的直径,E 是圆O 上的点,过E 点作圆O 的切线交AB 的延长线于F .连结CE 交AB 于G 点.（1）求证：2FG FA FB =；（2）若圆O 的半径为23,3OB OG =,求EG 的长.【解析】（1）证明：连接,OE DE ,由弦切角定理知,90,90FEG D C D C FEG ∠=∠∠+∠=∴∠+∠=，又90,,90,C CGO CGO FGE C FGE FGE FEG ∠+∠=∠=∠∴∠+∠=∴∠=∠,即FG FE =.由切割线定理得2FE FA FB =,所以2FG FA FB =.（2）由323OB OG ==知，2OG =.在Rt OCG ∆中，由23,2OC OG ==得，4,30CG C =∠=.在Rt CDE ∆中，由43,30CD C =∠=得6CE =，于是642EG CE CG =-=-=.10.【2016届山西右玉一中高三下学期模拟】已知如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，对角线,AC BD 交于点E ，直线AP 是圆O 的切线，切点为A ，PAB BAC ∠=∠.（1）若5,2BD BE ==，求AB 的长；（2）在AD 上取一点F ，若FED CED ∠=∠，求BAF BEF ∠+∠的大小.【解析】（1）∵AP 是圆O 的切线，∴PAB ADB ∠=∠，由PAB BAC ∠=∠，∴ADB BAC ∠=∠.又ABD EBA ∠=∠，∴ABD ∆∽EBA ∆，∴AB BD EB AB=.又5BD =，2BE =，∴210AB BD BE =•=，∴10AB =. （2）由（1）知，BAD BEA ∠=∠，∵BEA CED FED ∠=∠=∠，∴BAD FED ∠=∠，∴180BAF BEF BAD BEF FED BEF ∠+∠=∠+∠=∠+∠=.11. 【2015届陕西西安西北工大附中高三下学期5月模拟】如图，O 和'O 相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于,C D 两点，连结DB 并延长交O 于点E ．证明：（Ⅰ）AC BD AD AB ⋅=⋅；（Ⅱ）=AC AE ．【解析】（1）由AC 与O 相切于A ，得=CAB ADB ∠∠，同理=ACB DAB ∠∠，所以ACB DAB ∆∆从而=AC AB AD BD ，即=AC BD AD AB （2）由AD 与O 相切于A ，得=AED BAD ∠∠，又=ADE BDA ∠∠，得EAD ABD ∆∆ 从而=AE AD AB BD，即=AE BD AD AB ，综合（1）的结论，=AC AE 12.【2015届陕西省西工大附中高三下学期模拟考试一】如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,AE ＝AC ,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB ,（Ⅰ）求PF 的长度．（Ⅱ）若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度【解析】（Ⅰ）连结,,OC OD OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得CDE AOC ∠=∠,又CDE P PFD ∠=∠+∠,AOC P OCP ∠=∠+∠,从而PFD OCP ∠=∠,故PFD ∆∽PCO ∆,∴PF PD PC PO =, 由割线定理知12PC PD PA PB ⋅=⋅=,故1234PC PD PF PO ⋅===．（Ⅱ）若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ，因为21OF r =-=即1r =，所以OB 是圆F 的直径，且过P 点圆F 的切线为PT ，则2PT 248PB PO =⋅=⨯=，即PT 22= .13.【2015届吉林省吉林市高三第三次模拟考试】如图，在△ABC 中，90B ∠=，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于E ，AE 交⊙O 于点F ．（Ⅰ）证明：E 是BC 的中点；（Ⅱ）证明：AD AC AE AF ⋅=⋅.14.【2015届辽宁省师大附中高三模拟考试】如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F ．（1）求证：DE BC //;（2）若F C E D ,,,四点共圆，且弧AC 与弧BC 相等，求BAC ∠15.【2015届陕西省西安市第一中学高三下学期自主命题二】如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线，ADC ∆的外接圆交BC 于点E ，2AB AC =． ED CA B（Ⅰ）求证：2BE AD =；（Ⅱ）当3AC =，6EC =时，求AD 的长．【解析】（Ⅰ）连接DE ，因为ACED 是圆内接四边形，所以,BCA BDE ∠=∠又,CBA DBE ∠=∠DBE ∆∴∽CBA ∆，即有BE DE BA CA=，又因为2AB AC =，可得2BE DE =因为CD 是ACB ∠的平分线，所以AD DE =，从而AD BE 2=（Ⅱ）由条件知62==AC AB ，设t AD =，则62,2+==t BC t BE ，根据割线定理得BC BE BA BD ⋅=⋅，即),62(26)6(+⋅=⨯-t t t 即018922=-+t t ，解得32t =或6-（舍去），则32AD =． ED CA B拓展试题以及解析1. 如图，ABC ∆内接于⊙O ，弦AE 交BC 于点D ，已知2AD BD DC =⋅，°60ADC ∠=，OD =1,BC OE ⊥. （Ⅰ）求ODG ∠；（Ⅱ）求ABC ∆中BC 边上的高．【解析】（Ⅰ）由于2AD BD DC =⋅，所以D 为AE 中点，那么AE OD ⊥，ODE ∆为直角三角形， ∵BC OE ⊥，∴DGE ∆∽ODE ∆，则DOE EDG ∠=∠，又EDG ADC ∠=∠(对顶角)，∴°°°60,906030ADC DOE ODG ∠=∠=∴∠=-=.（Ⅱ）作AF ⊥BC 于点F ，连接OA ，由(1)得3π=∠=∠DOE AOD ，在直角AOD ∆与直角ADF ∆中，AF =AD sin 3π=OE sin 23π=32，即BC 边上的高为32．【入选理由】本题主要考查平面几何的相关知识，同时考查考生的逻辑推理能力.高考对平面几何的考查主要是通过三角形全等或三角形相似进行边角转化，并综合运用圆的切割线定理、相交弦定理等进行证明计算．以圆为背景是基本不变的，因而灵活应用圆的几何性质，找准有关的对应三角形、对应边和对应角是解题的关键.本题构思巧妙，难度不大，故选此题.2．如图，过圆O 外一点P 作圆的切线PC ，切点为C ，割线PAB 、割线PEF 分别交圆O 于A 与B 、E 与F ．已知PB 的垂直平分线DE 与圆O 相切．（1）求证：DE BF ；（2）若23PC =，1DE =，求PB 的长．【解析】（1）证明：连结BE ，∵DE 与圆O 相切，∴BED BFE ∠=∠．又DE 为PB 的垂直平分线，∴BED PED ∠=∠，∴PED BFE ∠=∠，∴DE BF ．（2）由（1）知DE BF 且D 为PB 的中点，∴E 为PF 的中点，且90FBP EDP ∠=∠=︒，∴BE PE EF ==．∵PC 为圆O 的切线，∴2PC PE PF =，∴2(23)2PE PE =，∴6PE =222222225PB BD BE DE PE DE ==-=-=【入选理由】本题考查圆的切割线定理，弦切角定理等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力. 切割线定理、三角形相似、四点共圆的性质，是高考重点考查知识点，本题难度不大，故选此题.3.如图，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A 、B ，直线AF 交圆O 于F （不与B 重合），直线l 与圆O 相切于C ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连接AC ．求证：（Ⅰ）CAG BAC ∠=∠；（Ⅱ）AF AE AC ⋅=2．。

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高中数学-《几何证明选讲》知识点归纳与练习(含答案)一、相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。

所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。

判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

相似三角形的性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

二、直线和圆的位置关系圆周定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。

圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形的性质与判定定理定理1：圆的内接四边形的对角互补。

定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

第1题图第6题图数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.如图4所示,圆O 的直径AB =6,C 为圆周上一点,BC =3过C 作圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则∠DAC =( )A .15︒B .30︒C .45︒D .60︒【解析】由弦切角定理得60DCA B ∠=∠=︒,又AD l ⊥,故30DAC ∠=︒, 故选B .2.在Rt ABC ∆中,CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线,是该图中共有x 个三角形与ABC ∆相似,则x =( )A .0B .1C .2D .3【解析】2个:ACD ∆和CBD ∆,故选C .3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( )A .11cmB .33cmC .66cmD .99cm【解析】设另一弦被分的两段长分别为3,8(0)k k k >,由相交弦定理得381218k k ⋅=⨯,解得3k =,故所求弦长为381133k kk +==cm .故选B .4.如图,在ABC ∆和DBE ∆中,53AB BC AC DB BE DE ===,若ABC ∆与 DBE ∆的周长之差为10cm ,则ABC ∆的周长为( )A .20cm B .254cm C .503cm D .25cm【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案D .5.O e 的割线PAB 交O e 于,A B 两点,割线PCD 经过圆心,已知226,12,3PA PO AB ===,则O e 的半径为( )A .4B .614C .614+D .8【解析】设O e 半径为r ,由割线定理有226(6)(12)(12)3r r ⨯+=-+,解得8r =.故选D . 6.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D ,且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2tan 2θ＝( )A .13 B .14C .423-D .3ABC D E第4题图PCABQ 第11题图PMN CABQ第10题图第9题图【解析】设半径为r ,则31,22AD r BD r ==,由2CD AD BD =⋅得3CD =,从而3πθ=,故21tan 23θ=,选A .7.在ABC ∆中,,D E 分别为,AB AC 上的点,且//DE BC ,ADE ∆的面积是22cm ,梯形DBCE 的面积为26cm ,则:DE BC 的值为( )A .3B .1:2C .1:3D .1:4【解析】ADE ABC ∆∆:,利用面积比等于相似比的平方可得答案B .8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.A .2B .3C .4D .5【解析】一共可作5个,其中均外切的2个,均内切的1个,一外切一内切的2个,故选D . 9.如图甲,四边形ABCD 是等腰梯形,//AB CD .由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形, 则四边形ABCD 中A ∠度数为 ( )A .30︒B .45︒C .60︒D .75︒【解析】6360A ∠=︒,从而60A ∠=︒,选A .10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑直径为10mm ,若所用钢珠的直径为26 mm ,则凹坑深度为( ) A .1mm B .2 mm C .3mm D .4 mm 【解析】依题意得222OA AM OM =+,从而12OM mm =,故13121CMmm =-=,选A .11.如图,设,P Q 为ABC ∆内的两点,且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,AQ u u u r ＝23AB u u u r ＋14AC u u ur ,则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为( )A .15 B . 45 C . 14 D . 13【解析】如图,设25AM AB =u u u u r u u u r ,15AN AC =u u u r u u u r ,则AP AM AN =+u u ur u u u u r u u u r .由平行四边形法则知//NP AB ,所以ABP ANABC AC∆=∆u u u ru u u r ＝15,•第 14 题图O CDB A第15题图第17题图同理可得14ABQ ABC ∆=∆．故45ABP ABQ ∆=∆,选B . 12.如图,用与底面成30︒角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率为 ( )A ．12 B 3 C 3D ．非上述结论【解析】用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念,考虑椭圆所在平面与底面成30︒角,则离心率1sin 302e =︒=.故选A . 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.一平面截球面产生的截面形状是_______;它截圆柱面所产生的截面形状是________ 【解析】圆;圆或椭圆.14.如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,∠C ＝720,⊙O 过A 、B 两点且与BC 相切于点B ,与AC 交于点D ,连结BD ,若BC ＝15-, 则AC ＝【解析】由已知得BD AD BC ==,2()BC CD AC AC BC AC =⋅=-g ,解得2AC =.15.如图,AB 为O e 的直径,弦AC 、BD 交于点P ,若3,1AB CD ==,则sin APD ∠= 【解析】连结AD ,则sin ADAPD AP∠=,又CDP BAP ∆∆:, 从而1cos 3PD CD APD PA BA ∠==,所以2122sin 1()3APD ∠=-=. 16.如图为一物体的轴截面图,则图中R 的值是【解析】由图可得22230()(180135)2R R =+--,解得25R =. 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)第12题图135R18030第16题图A CPDOE F B 第18题图A C PDOE F B 第20题图如图:,EB EC 是O e 的两条切线,,B C 是切点,,A D 是O e 上两点,如果46,32E DCF ∠=︒∠=︒,试求A ∠的度数.【解析】连结,,OB OC AC ,根据弦切角定理,可得1(180)6732992A BAC CAD E DCF ∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒+︒=︒.18.(本小题满分12分)如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,»»AE AC =,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB , 求PF 的长度.【解析】连结,,OC OD OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件»»AE AC =可得CDE AOC ∠=∠,又CDE P PFD ∠=∠+∠, AOC P C ∠=∠+∠,从而PFD C ∠=∠,故PFD ∆:PCO ∆,∴PF PDPC PO=, 由割线定理知12PC PD PA PB ⋅=⋅=,故1234PC PD PF PO ⋅===.19.(本小题满分12分)已知:如右图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ＝DC ,过点D 作AC 的平行线DE ,交BA 的延长线于点E ．求证：(1)△ABC ≌△DCB (2)DE ·DC ＝AE ·BD ．【解析】证明：(1) ∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝DB∵AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△BCD(2)∵△ABC ≌△BCD ，∴∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB ∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，∠EAD ＝∠ABC∵ED ∥AC ，∴∠EDA ＝∠DAC ∴∠EDA ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB ∴△ADE ∽△CBD ∴DE:BD ＝AE:CD ， ∴DE ·DC ＝AE ·BD. 20.(本小题满分12分)如图,△ABC 中,AB=AC ,AD 是中线,P 为AD 上一点,CF ∥AB ，BP 延长线交AC 、CF 于E 、F ,求证: PB 2=PE •PF ．【解析】连结PC ,易证,PCPB ABP ACP =∠=∠解答用图AB CE D第19题图第21题图C∵//CF AB ∴F ABP ∠=∠,从而F ACP ∠=∠又EPC ∠为CPE ∆与FPC ∆的公共角, 从而CPE FPC ∆∆:,∴CP PE FP PC=∴2PC PE PF =⋅ 又PC PB =, ∴2PB PE PF =⋅,命题得证.21.(本小题满分12分)如图,A 是以BC 为直径的O e 上一点,AD BC ⊥于点D 过点B 作O e 的切线,与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点F , 延长AF 与CB 的延长线相交于点P .(1)求证:BFEF =；(2)求证:PA 是O e 的切线；(3)若FG BF =,且O e的半径长为求BD 和FG 的长度. 【解析】(1)证明：BC ∵是O e 的直径，BE 是O e 的切线，EB BC ⊥∴．又AD BC ⊥∵，AD BE ∴∥．易证BFC DGC △∽△，FEC GAC △∽△．BF CF EF CFDG CG AG CG==∴，．BF EF DG AG =∴． G ∵是AD 的中点，DG AG =∴．BF EF =∴．(2)证明：连结AO AB ，．BC ∵是O e 的直径，∠∴．在Rt BAE △中，由（1），知F 是斜边BE 的中点，AF FB EF ==∴．FBA FAB ∠=∠∴．又OA OB =∵，ABO BAO ∠=∠∴．BE ∵是O e 的切线，90EBO ∠=∴°．90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∵°，PA ∴是O e 的切线．(3)解：过点F 作FHAD ⊥于点H ．BD AD FH AD ⊥⊥∵，，FH BC ∴∥．由(1)，知FBA BAF ∠=∠，BF AF =∴．由已知，有BFFG =，AF FG =∴，即AFG △是等腰三角形．FH AD ⊥∵，AH GH =∴．DG AG =∵，2DG HG =∴，即12HG DG =． 90FH BD BF AD FBD ∠=∵∥，∥，°，∴四边形BDHF 是矩形，BD FH =．CFH BC ∵∥，易证HFG DCG △∽△．FH FG HG CD CG DG ==∴，即12BD FG HG CD CG DG ===．O e ∵的半径长为32，62BC =∴．1262BD BD CD BC BD BD ===--∴．解得22BD =．22BD FH ==∴．12FG HG CG DG ==∵，12FG CG =∴．3CF FG =∴．在Rt FBC △中，3CFFG =∵，BF FG =，由勾股定理，得222CF BF BC =+．222(3)(62)FG FG =+∴．解得3FG =（负值舍去）．3FG =∴．［或取CG 的中点H ，连结DH ，则2CG HG =．易证AFC DHC △≌△，FG HG =∴，故2CG FG =，3CF FG =．由GD FB ∥，易知CDG CBF △∽△，2233CD CG FG CB CF FG ===∴．由622362BD -=，解得22BD =．又在Rt CFB △中，由勾股定理，得 222(3)(62)FG FG =+，3FG =∴（舍去负值）．］22.(本小题满分14分)如图1,点C 将线段AB 分成两．部分,如果AC BCAB AC=,那么称点C 为线段AB 的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为1S ,2S ,如果121S S S S =,那么称直线l 为该图形的黄金分割线. (1)研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2),则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗?为什么?(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ,再过点D 作直线DF CE ∥,交AC 于点F ,连接EF (如图3),则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．(4)如图4，点E 是ABCD Y 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF是ABCD Y 的黄金分割线.请你画一条ABCD Y 的黄金分割线,使它不经过ABCD Y 各边黄金分割点.【解析】(1)直线CD 是ABC △的黄金分割线.理由如下:设ABC △的边AB 上的高为h ．第22题图E M （第22题答图1）E M （第22题答图2）12ADC S AD h =g △,12BDC S BD h =g △,12ABC S AB h =g △,所以ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADCS BD S AD =△△ 又因为点D 为边AB 的黄金分割点，所以有AD BDAB AD=．因此ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△．所以，直线CD 是ABC △的黄金分割线.(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时1212s s s ==,即121s ss s ≠，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.(3)因为DF CE ∥,∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等,所以有DEC FCE S S =△△ 设直线EF 与CD 交于点G ．所以DGE FGC S S =△△．所以ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形．又因为ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，所以BEFCAEF ABC AEFS S S S =四边形△△△. 因此，直线EF 也是ABC △的黄金分割线． (4)画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB ,DC 于M ,N 点,则直线MN 就是ABCD Y 的黄金分割线．画法二:如答图2,在DF 上取一点N ,连接EN ,再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是ABCD Y 的黄金分割线．。

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