2011年江苏高考数学试题及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

参考公式：

（1）样本数据12,,,n x x x …的方差()2

2

1

1n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．

（2）直棱柱的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 为高． （3）棱柱的体积V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．

． 1．已知集合{1,1,2,4}A =-，{1,0,2}B =-，则A

B = ▲ ．

2．函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 ▲ ．

3．设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 为虚数单位），则z 的实部是 ▲ ． 4．根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值为 ▲ ．

5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 ▲ ．

6．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差2

s = ▲ ． 7．已知tan()24

x π

+

=，

则x

x

2tan tan 的值为 ▲ ．

8．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x

x f 2

)(=

的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长

的最小值是 ▲ ．

9．函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，

0A >，0ω>）

的部分图象如图所示，则(0)f 的值是 ▲ ． 10．已知1e ，2e 是夹角为

π3

2

的两个单位向量，122a e e =-，12b ke e =+，若0a b ⋅=

，

则实数k 的值为 ▲ ． 11．已知实数0≠a ，函数⎩⎨

⎧≥--<+=1

,21

,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为

▲ ．

12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x

的图象上的动点，该

图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 ▲ ．

13．设1271a a a =≤≤≤…，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差

为1的等差数列，则q 的最小值是 ▲ ． 14．设集合{(,)|

A x y =222(2)2

m

x y m ≤-+≤，},x y R ∈，{(,)|B x y =2m x y ≤+≤21m +，},x y R ∈，若A B ≠∅， 则实数m 的取值范

围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,． （1）若sin()2cos 6

A A π

+=，求A 的值；

（2）若1

cos 3

A =，3b c =，求C sin 的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面

ABCD ，AB AD =，60BAD ∠=，,E F 分别是

,AP AD 的中点．

求证：（1）直线//EF 平面PCD ；

（2）平面BEF ⊥平面PAD ．

P E

F

A

B

C

17．（本小题满分14分）

请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x （cm ）． （1）某广告商要求包装盒的侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？

（2）某厂商要求包装盒的容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，,M N 分别是椭圆12

42

2=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于,P A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ．设直线PA 的斜率为k ．

C

D

P

（1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当2k =时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意0k >，求证：PA PB ⊥．

19．（本小题满分16分）

已知,a b 是实数，函数3()f x x ax =+，2

()g x x bx =+，)(x f '和)(x g '是()f x 和

()g x 的导函数．若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致．

（1）设0>a ，若)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致，求实数b 的取值范围； （2）设0a <且b a ≠，若)(x f 和)(x g 在以,a b 为端点的开区间上单调性一致，求

||a b -的最大值．

20．（本小题满分16分）

设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项的和为n S ，已知对任意整数k M ∈，当n k >时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立． （1）设{1}M =，22=a ，求5a 的值； （2）设{3,4}M =，求数列}{n a 的通项公式．