毕奥-萨伐尔定律及毕奥-萨伐尔定律应用举例
毕奥-萨伐尔定律及其应用
sin d
0 I
4a
(cos1
cos2 )
若导线长度远大于点P到直导线的垂直距离（L a），则导 线可视为无限长。此时，θ1＝0 ， θ2＝π，P点的磁感应强度为
B 0I
a
上式表明，无限长载流直导线周围的磁场 B 1/ a。这一正 比关系与毕奥－萨伐尔的早期实验结果是一致的。
【例8-2】设在半径为R的圆形线圈上通有电流I，求载流圆 形线圈轴线上一点P的磁感应强度。
有电流元在P点的磁感应强度B的方向 都相同，所以P点的磁感应强度的大小 等于各电流元在P点产生的dB的大小 之和，即
B dB 0 Idl sin
L
L 4 r2
由上图所示可知有以下几何关系
r a
sin( )
l a cos( )
r a
sin
dl
a
sin2
d
于是可得
B
2 1
0 I
4a
但是应当注意的是，磁感应强度是矢量，上式的积分是
矢量积分。在进行具体积分运算时，要首先分析载流导线上 各电流元所产生的磁场dB的方向，若各个dB的方向不同，则 应先求出dB沿3个坐标轴的分量dBx、dBy、dBz，然后对其分 量进行积分，即
Bx L dBx
By L dBy
Bz L dBz
B
dBx
dB sin
0 Idl
4r 2
r
40IrR3 dl
设P点的坐标为（x，0，0），则
所以
r R2 x2
B
0 IR
dl
0 IR
2R 0IR2
4 R2 x2 3/2
4 R2 x2 3/2
2 R2 x2 3/2
毕奥-萨伐尔定律
1.若 ，（无限长的 无限长的） 1.若 l >>R ，（无限长的）螺线管的中心处
β1 = π , β2 = 0
2.若 在管端口处： 2.若 l >>R ，在管端口处：
B = µ0nI
1 B = µ0nI 2
µ 0 nI
2
β1 = π/2 , β2 = 0 ; β1 = π, β2 = π/2
B
µ 0 nI
第五章 稳恒电流的磁场
17
v r
P
v dB
v r
v dB
v dB
v Idl
r
v I vdl
磁场为： 对任何一载流导线在某点产生的磁场为：
v B=
v ∫ dB
v v ˆ µ0 Idl × er B=∫ 4π r 2 L
先化为分量式后分别积分。 先化为分量式后分别积分。
3 µ0I 2 π 3µ0I B2 = ⋅ = 2R 2π 8R
I 1 3
方向垂直纸面向外
B3 =
µ0I
4πR
3µ0I µ0I + 8R 4πR
方向垂直纸面向外
B = B1 + B2 + B3 =
方向垂直纸面向外
12
第五章 稳恒电流的磁场
例4：载流螺旋管在其轴上的磁场。 ：载流螺旋管在其轴上的磁场。 求半径为R，总长度 求半径为 ，总长度l ，导线电 流为I，单位长度上的匝数为n 流为 ，单位长度上的匝数为 的 螺线管在其轴线上一点的磁场？ 螺线管在其轴线上一点的磁场？ 解：采用“并排圆电流”模型简化。 采用“并排圆电流”模型简化。
4π r2
P
方向为垂直向里。且所有电流元在 点的磁感应强 方向为垂直向里。且所有电流元在P点的磁感应强 度方向相同（垂直向里）。 度方向相同（垂直向里）。
毕奥-萨伐尔定律及毕奥-萨伐尔定律应用举例
毕奥-萨伐尔定律及毕奥-萨伐尔定律应用举例一、毕奥-萨伐尔定律1.毕奥-萨伐尔定律:载流导线产生磁场的基本规律。
微分形式为：整个闭合回路产生的磁场是各电流元所产生的元磁场dB的叠加。
磁感应线的方向服从右手定则，如图。
二、毕奥-萨伐尔定律应用举例两种基本电流周围的磁感应强度的分布：载流直导线；圆电流。
例1.载流长直导线的磁场解：建立如图坐标系，在载流直导线上，任取一电流元Idz，由毕-萨定律得元电流在P点产生的磁感应强度大小为：方向为垂直进入纸面。
所有电流元在P点产生的磁场方向相同，所以求总磁感强度的积分为标量积分，即：（1）由图得：,即：此外：，代入（1）可得：讨论：（1）无限长直通电导线的磁场：（2）半无限长直通电导线的磁场：（3）其他例子例2:圆形载流导线轴线上的磁场：设在真空中，有一半径为 R ，通电流为 I 的细导线圆环，求其轴线上距圆心 O 为 x 处的P点的磁感应强度。
解：建立坐标系如图，任取电流元，由毕-萨定律得：，方向如图：，所有dB形成锥面。
将dB进行正交分解：，则由由对称性分析得：，所以有:，因为： ,r=常量，所以：，又因为：所以：，方向：沿x轴正方向，与电流成右螺旋关系。
讨论：（1）圆心处的磁场：x=0 ，。
（2）当即P点远离圆环电流时，P点的磁感应强度为：。
例3：设有一密绕直螺线管。
半径为 R ，通电流 I。
总长度L，总匝数N（单位长度绕有n 匝线圈），试求管内部轴线上一点 P 处的磁感应强度。
解：建立坐标系，在距P 点 x 处任意截取一小段 dx ，其线圈匝数为: 电流为：。
其相当于一个圆电流，它在P点的磁感应强度为：。
因为螺线管各小段在P点的磁感应强度的方向均沿轴线向右，所以整个螺线管在P点的磁感应强度的大小为：因为：代入上式得：所以：讨论：（1）管内轴线上中点的磁场:（2）当 L>>R时，为无限长螺线管。
此时,，管内磁场。
即无限长螺线管轴线上及内部为均匀磁场，方向与轴线平行满足右手定则。
7-4毕奥-萨伐尔定律
r
x
O
dB dB dB
P
， 所有 dB 形成锥面。
Idl
dB
X
§2. 毕奥-萨伐尔定律/二、应用举例/ 例2
§2. 毕奥-萨伐尔定律/二、应用举例/ 例2
若
由对称性分析得 所以有
dB dBII dB
B dB 0
0 m B 2x 3
等效圆电流（具有磁矩）
地球
22 2 大磁偶极子 磁矩为 m 8.0 10 A m
§2. 毕奥-萨伐尔定律/二、应用举例/ 例2
思考题：
1、求半径为 R ，载有电流为I 的细圆环在其圆心
处 O 点所产生的磁感强度。 解：任取电流元，由毕—萨定律，其在 O 点 的磁感强度大小为
Idl
I
B
R
r
x
I
O
dB dB dB
P
Idl
§2. 毕奥-萨伐尔定律/二、应用举例/ 例2
dB
X
讨论：
B
1在圆心处，x 0，则圆心处磁感应强度 为
0 IR2
2 2 3/ 2
2( R x )
B
0 I
2R
2当x R，即P点远离圆电流时，磁感 应强度为
0
§2. 毕奥-萨伐尔定律/二、应用举例/ 例1
3若P点在载流直导线的延长 线上，1 2则B 0。
解题关键在于确定
0 I cos 1 cos 2 B 4a
1 , 2
1与电流的起点相关， 2与电流的终点相关。
其他例子：
a
O
I
11-3毕奥-萨伐尔定律及应用
真空的磁导率: π×10 真空的磁导率:o=4π× -7 π× 点的距离. (2) r是电流元 到P点的距离. ) 是电流元Idl 点的距离 r是从电流元 指向 点的单位矢量. 是从电流元Idl 指向P点的单位矢量 点的单位矢量. 是从电流元
上页 下页
(3)磁场的大小: )磁场的大小:
o Idl sin θ dB = 2 θ是Idl与r 之间的夹角 与 之间的夹角. 4π r
在薄片中取弧长为dl的窄条, 在薄片中取弧长为 的窄条, 的窄条 其中通过的微元电流为: 其中通过的微元电流为:
I
I I dI = dl = dθ πR π
上页 下页
y
在俯视图上建立如图坐标, 在俯视图上建立如图坐标, 电流元在O点激发的磁感应 电流元在 点激发的磁感应 强度为: 强度为:
o
dB
θ
毕奥-萨伐尔定律及应用 §11-3 毕奥 萨伐尔定律及应用
毕奥-萨伐尔定律 一, 毕奥 萨伐尔定律
d 真空中,电流元 真空中,电流元Idl 在P点产 B 点产 生的磁场为
o Idl ×r dB = 2 4π r
说明
P
r
θ
I
Idl
上式称为毕奥 萨伐尔定律 上式称为毕奥-萨伐尔定律 毕奥
(1)公式中的系数是 制要求的. 制要求的. )公式中的系数是SI制要求的
x R
0 0 I dB = dI = 2 dθ 2πR 2π R
所以: 所以:
π
dθ
方向如图所示. 方向如图所示.
0 I Bx = dBx = 2 ∫0 π R
即:
0 I dBx = dBsinθ = 2 sinθdθ 2π R
By = ∫ dB = 0
毕萨定律及其应用
B
∴B =
µ0I
2R
（下一页） 下一页）
载流圆弧： 载流圆弧：圆
θ
练 习
µ0 Iθ θ B= • = 2R 2π 4πR
圆 O
µ0 I
B
⊗
θ
I
Bo =
I
R
µ0 I
4R
I
B
I
I
O R • Bo ⊗
BO ⊗R o µ0 I µ0 I Bo = + 4πR 8 R
BO ⊗ o
I
R
I
µ0 I µ0 I Bo = + 2πR 4 R
r
α
p
µ0 Idl sinα dB = 4π r2
1） dB 与 Idl 成正比，与距离 ） 成正比，与距离r === 的平方成反比； 的平方成反比；
Idl
p1
2） dB与 r 和 Idl 的夹角的有关： ） 与 的夹角的有关： 在与电流元垂直的方向上，磁场最强； 在与电流元垂直的方向上，磁场最强； 在与电流元重合的方向上，磁场为零； 在与电流元重合的方向上，磁场为零； 2. 关于 的方向： 关于dB 的方向： 垂直于电流元和矢径构成的平面。 垂直于电流元和矢径构成的平面。
µ0 I 0 (cosα1 − cosα2 ) = 4πa 0
?
（下一页） 下一页）
•无限长载流直导线 无限长载流直导线
α1 = 0 α2 = π
µ0 I B= 2πa µ0 I B= 4πa
B
•半无限长载流直导线 半无限长载流直导线
讨 论
α1 = π 2 α2 = π
•直导线延长线上 直导线延长线上
（下一页） 下一页）
毕奥---萨伐尔定律的应用 二、 毕奥 萨伐尔定律的应用 计算各种电流分布产生的磁场的磁感强度 基本步骤： 基本步骤： p 1）任取电流元 ）任取电流元Idl, 求出其在 ==场点 P 产生的磁感 的 产生的磁感dB的 场点 dB p r ==大小与方向； 大小与方向； 大小与方向 α 2 ） 分 析 dB 方 向 是 否 变 化 : ==若不变,直接积分; Idl ===若变化 则要将 适当 若变化, 适当= 若变化 则要将dB适当 的分解, 对各分量分别积分, 的分解 对各分量分别积分 然后再合成起来. 然后再合成起来
11.2_毕奥-萨伐尔定律及应用
第十一章 稳恒磁场
B=
µ0 nI
2
(cos β 2 − cos β1 )
β1 = π − β 2
l/2
点位于管内轴线中点 （1）P点位于管内轴线中点 ） 点位于管内
cos β1 = − cos β 2
B = µ0 nI cos β 2 =
若
cos β2 =
(l / 2)
l
2
+ R2
µ0 nI
2
(l
2
毕奥—萨伐尔定律 11.2 毕奥 萨伐尔定律
毕奥—萨伐尔定律 一 毕奥 萨伐尔定律 (电流元在空间产生的磁场 电流元在空间产生的磁场) 电流元在空间产生的磁场
第十一章 稳恒磁场
Idl
dB
4π r µ0 Idl × r0 dB = 4π r2
−7 −2 真空磁导率µ0 = 4π ×10 N ⋅ A
dB =
µ0 Idl sin θ
2
r
dB
P *
I
r
θ
Idl
任意载流导线在点 P 处的磁感强度 磁感强度叠加原理
B = ∫ dB = ∫
µ0 I dl × r0
4π r
2
1
毕奥—萨伐尔定律 11.2 毕奥 萨伐尔定律
第十一章 稳恒磁场 毕奥—萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律
dB =
µ0 Idl × r0
4π
1
r
1 B = µ 0 nI 2
B=
µ0nI
2
(cos β2 − cos β1 )
B
1 µ 0 nI 2
µ0nI
x
24
O
毕奥—萨伐尔定律 11.2 毕奥 萨伐尔定律
毕奥-萨伐尔定律及应用
B x = ∫ dB x B y = ∫ dB y Bz = ∫ dBz
}Байду номын сангаас
⇒
v v v v B = Bx i + B y j + Bz k
设有长为L的载流直导 例1 载流长直导线的磁场 设有长为 的载流直导 线，其中电流为I。计算距离直导线为a处的 点的磁 其中电流为 。计算距离直导线为 处的P点的磁 处的 感应强度。 感应强度。 I 解：任取电流元 Idl 据毕奥-萨伐尔定律 萨伐尔定律， r 据毕奥 萨伐尔定律，此电 α Idl 流元在P 流元在P点磁感应强度dB为 r r L r
I dl
R
r
x
d B⊥
θ
θ
r dB
I
O
P
r d B//
µ0 I d l B = ∫ dB// = ∫ dB sin θ = ∫L r 2 sin θ L L 4π µ 0 I sin θ 2πR µ 0 I sin θ = 2 ∫0 d l = 4πr 2 2πR 4πr
µ0 I sin θ B= 2πR 2 4πr
单位矢量
真空中的磁导率
大小： 大小： dB =
4π
µ0 Idl sin θ
r2
Idl vθ
P
v B
方向： 方向：右螺旋法则
v r
r dB
r dB
r Id l
P
r r
α
r dl
I
电流元在给定点所产生的磁感应强度的大小与 I d l 成正比 ， 与到电流元的距离平方成反比 ，与电 r 成正比，与到电流元的距离平方成反比， r 流 元 r 矢 径 夹 角 的 正 弦 成 正 比 。 dB 方 向 垂 直 于 r 和 r r 组成的平面， 与 Idl 组成的平面，指向为由 Idl 经 α 角转向 r 时 右螺旋前进方向。 右螺旋前进方向。 r
大学物理9-4 毕奥-萨伐尔定律及其应用
如图所示,由毕—萨定律得
0 Idl sin 90
4 R
2 0
而 dl Rd
dB
0 IRd
4 R
2
0I
4 R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d
B dB
0I
4 R
0 d
0I
4 R
9 – 4 毕奥—萨伐尔定律及其应用 第九章 恒定电流的磁场
例9-6 载流长直导线的磁场.
（右手螺旋法则）
上式称为毕奥—萨伐尔定律
9 – 4 毕奥—萨伐尔定律及其应用 第九章 恒定电流的磁场 0 Id l er dB Id l dB 2 4π r 7 2 r I 0 4 π 10 N A 真空磁导率
dB
任意载流导线在点 P 处 的磁感强度
1 0
B
0I
4 π r0
（ cos 1 cos 2）
z D
I
2
2 π
B
0I
4 π r0
（ cos o cos ）
B
o
0I
2 π r0
B
x
C
1
P y
+
9 – 4 毕奥—萨伐尔定律及其应用 第九章 恒定电流的磁场 无限长载流长直导线的磁场
B
讨 论
B
0 nI
2
cos
2 cos 1
（1）P点位于管内轴线中点
cos 1 cos 2
cos 2
1 π 2
l/2
l / 2
l
2
R
2
高二物理竞赛毕奥-萨伐尔定律应用举例PPT(课件)
由右手螺旋关系可知每个电流元在圆心处产生的磁感 强度的方向相同。
◆ 在载流圆线圈轴线以外的空间，其磁感强度的分 布大致如下图所示：
I
思考2：
I
R o
B0
x
B0
0I
2R
I R o
B0
0I
4R
I
R o
B0
0I
8R
BA
0I 4d
d *A
I
R1
R2
*o
B0
讨 (1) 若线圈有 N 匝
论 二
B
N 0IR 2
2（x2 R2）3/ 2
xP x
(2) x 0，B 的方向不变 ( I 和 B 成右螺旋关系）
(3) x 0 , B 0I 圆环形电流中心的磁场
2R
思考1：圆弧形电流在圆心处的磁场为多少？
B 0I 2R 2
方向
I
R
O
提示：将该平面载流线圈在圆心处产生的磁感强度看
(3) 半无限长螺线管
B 0nI
或由 1 , 2 0 代入
B
0nI
2
cos2
c os 1
1
,
2
2
B
1 2
0nI
I
1 2
0
nI
B 0nI
O
x
磁感应线的绕向与电流满足右螺旋定则
在沿电流方向的延长线上任一点处，
引入磁矩：
（与磁场方向一致）
例2 圆形载流导线的磁场。
例3 载流直螺线管轴上的磁场
毕奥－萨伐尔定律应用举例
R 载流直导线延长线上任一点的磁感强度为零。
例3 载流直螺线管轴上的磁场 提示：将该平面载流线圈在圆心处产生的磁感强度看成是由 设把螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度。 设把螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度。
6. 3 毕奥——萨伐尔定律及其应用
或： 大小 B
B B B
2 x 2 y
2 z
标明方向！
关键是求出 d B
0 I d l r dB 4 r 3
(6-11)
——毕奥-萨伐尔定律
例： 判断下列各点磁感应强度的方向和大小. 1 方向如图示： 8
2
大小
7 R 6 5
Id l
3
4
0 I d l sin dB 4 r2 1、5 点 ： dB 0
真空的磁导率
I dl
r
Байду номын сангаасdB
d B 方向：I d l r 的 方 向 I d l 和 r 构成的平面
0 I d l r dB 4 r 3
4 r 0 = 4 107 NA2
I※ dl d B =?
Bd dB LB
0 Ia d x 0I l arctan— l 4l ( x 2 a 2 ) = —— 2l a
4l x a
2
0 Ia d x 2 2 4l ( x 2 a 2 ) x a
a
B= — j (匀强场) 2
0
本题下去重做一下
四、运动电荷的磁场
+ + + + + + + + + + + +++ + + + + + + ++ ++++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ +++ + ++++ +++ + ++ + + + + + + + + + + + + ++ + + +++ ＋ ＋ ＋ +++ + ++++ + + + +++ + + + + + + + + + + + + + + ++ ++ + + + + + ++ ++ + + + + + ++ + + + + ++ v ＋ ＋ ＋ 设：导体单位体积内电荷数 n 0 I d l r dl 内电荷数 dN= n (Sdl) (6-11) dB 3 0 I d l 4 r sin 它们的合磁场 d B 每个电荷产生的磁场？ 4 r 2 q 的平均速度 v I = n(vS)q 矢量式 运动电荷 q 产生的磁场 0 qv r (6-13) B 0 3 d B 4 r B = —— dN 4 r 2 vq sin 和 1. 说明： 的方向垂直于 v B 方向与 d B 同向，仍为 I d l r 。 r 所确定的平面。
毕奥-萨伐尔定律
半无限长载流长直导线的磁场
1
π 2
2 π
BP
0I
4π r
I
o r *P
例2 圆形载流导线的磁场.
真空中 , 半径为R 的载流导线 , 通有电流I , 称圆
电流. 求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.
Idl
B
o
R
r
dB
pB
*
x
I
dB 0 Idl
4π r 2
解 根据对称性分析 B Bx dB sin
x2
x + + + + + + + + + + + + + + +
dB 0 2
R 2 Indx R2 x2 3/2
x Rcot
dx R csc2 d
B
dB 0nI
2
x2 x1
R2dx R2 x2 3/2
R2 x2 R2 csc2
B 0nI
2
2 R3csc2 d 1 R3 csc3 d
Idl
cos R r
R
r
dB r2 R2 x2
o
x
*p x
B 0I
4π
cosdl
l r2
dB 0
4π
Idl r2
dBx
0
4π
I cosdl
r2
B
0IR
4π r3
2π R
dl
0
B
0IR2
（2 x2 R2）32
I
R
ox
B
*x
B
0IR2
（2 x2 R2）32
(2) BS定律及其应用
β2 p d β1
+
•
β2 < 0
I
I
A
o
d
β1
v P V B
β1 < 0
β2 > 0
3.P点 位于导线上或者导线延长线 上， B=0
4、其他例子：
+
A
d
β2 P
例：在真空中有一无限长载流直导线，试 求：通过其右侧矩形线框的磁通量。 解： 建立如图所示的一维坐 标系 v B + 在距离原点O为x处，选取 I 宽为dx的窄条 µ I B= 0 d S = ld x 2πxv v a b dΦ = B ⋅ dS a +b µ I v v 0 O x dx ldx Φ = B ⋅ dS =
µ 0 I −1 a tg 2y πa
方向：沿x轴线(如图所示）
5
×
x
dx
θ
dBy P
θ
v dB
作业：
dI
y r
x o x dx
dBx dI
∴ dB x =
B = ∫ dB x = ∫
µ 0 Id θ 2π a µ Idθ 0
2π a
=
a
I
x
P385 9, 12, 13（提示：铁环有电阻）, 17
µ I tg −1 a 2 y = 0 ∫ −1 dθ 2π a − tg a 2 y
→
µ00 Idl sinα 4π r 22
I
R
O
x
θ
设:S = πR2
µ IS B= 0 2π R2 + x2 3 2
)
v pm m
32
v S
I
载流线圈的磁 磁矩： 若线圈有N匝：
大学物理(7.2.2)--毕奥-萨伐尔定律
大学物理
vv
or e
I
=
e T
=
ev 2πr
所以其对应磁矩大小为
m
=
IS
=
ev 2πr
gπ r2
=
evr 2
磁矩方向为垂直屏幕向里 ﾴ
理学院 物理系 ( 张建锋 )
大学物理
例 5 ：有有有有 a 有有有有有有有有有有有有 AB 有有有有 A 有有 b 有 O 有有有有有有有有有有有有有有有有有有有有有有 A 有有 O 有 有有有有有有有有有有有有有有 O 有有有有有有有有有有有有有
的(1)磁解矩法一、 运动电荷产生的场
v B
=
m0 4π
qvv ﾴ rv r3
\
Bo
=
m0 4π
evr r3
=
m0ev 4πr2
ﾴ
or
vv
e
解法二、 电子作圆周运动
载流圆线圈
等效电流
I
=
e T
=
ev 2πr
圆心处场强
Bo
=
m0 I 2r
=
m0ev 4πr2
方向也为 ﾴ
：
理学院 物理系 ( 张建锋 )
b1
B
=
m0nI
2
(
cos b2
cos b1 )
讨论
理学院 物理系 ( 张建锋 )
大学物理
1) 无限长的螺线管
B = m0nI
2) 半无限长螺线管
B = m0nI / 2
b1 = π, b2 = 0
b1
=
π 2
, b2
=
第十九讲：§6.3 毕奥—萨伐尔定律及其应用
第十九讲： §6.3 毕奥—萨伐尔定律及其应用引课：大家知道通电导线周围有磁场，那某一点的磁场如何来求解？ 一、稳恒电流的磁场：通过实验来确定1、表述：电流元 Id 在空间某一点（P 点）处产生的磁场 的强度dB 与Id 成正比；与θsin 成正比； 与r 2成反比。
2、Id 在P 点产生的磁场：2sin dB r Id θ∝20sin 4rId dB θπμ =⇒标量式 204re Id B d r⨯=πμ矢量式 3、任意载流导线的磁场：204B r e Id B d r⨯==⎰⎰πμ二、运动电荷的磁场 1、Id 与其他量的关系nSd q υ==S d j Id ⎪⎭⎫ ⎝⎛===υυqn S S qn dS I2、 Id 在P 点处产生的磁场202020444r qdN r qnSd r Id d rr r ⨯=⨯=⨯=υπμυπμπμ3、单个运动电荷产生的磁场204rq dN d r⨯==υπμ 讨论：①o B ⇒0q 满足右手螺旋关系②o B ⇒0q 满足左手螺旋关系三、载流线圈的磁矩（磁偶极矩m ）：表示载流线圈磁场性质的物理量。
如任意电流回路的磁场：IS I m == 对任意形状的载流回路都是适用的。
若是N 匝线圈，其面积是一样的，则：N N IS I m ==四、毕奥—萨伐尔定律及其应用 例题1：载流直导线的磁场Id ：20sin z 4r Id dB θπμ=⇒CD ：()120020DCD Csin -sin a 4Id cos a 4I zsin 4B B 21ββπμββπμθπμββ====⎰⎰⎰rId d 讨论：① 无限长：2-1πβ→22πβ+→ 00r 2IB πμ=②半无限长： 01→β 22πβ+→0r 4IB πμ=ββββd a dz a z a z 2sec tan tan =⇒=⇒=ββsec sec a r ar=⇒= βθcos sin =例题2：圆电流在其轴线上的磁场Id ：204rId dBπμ=⇒ ()0901sin ==θθ， 圆电流：()23222203020x 2d r 4IR r R 4dBcos B B XRIR r Id d R +=====⎰⎰⎰⎰μπμπμαπ讨论：①0X = R2IB 0μ=②R X320XR 2B I μ= 课堂练习：练习1：RIR I 8241B 00μμ== ⊙练习:2：RIR I πμμ22B 00-= ×练习3：R I R Iπμμ42221B 00+= ⊙小结：电流P 点处产生磁场公式—毕-萨定律作业：P253预习：§6.4磁场的安培环路定理第十九讲： §6.3 毕奥—萨伐尔定律及其应用 作业：P253：6-1 由毕—沙定律30d 4r rl I B d⨯=πμ可得 ),,(o o a 点，k a l I i j a l I B20204d )(4d d πμπμ-=⨯=),,(o a o 点，0)(4d d 20=⨯=j j al I Bπμ),,(a o o 点，i a l I k j a l I B20204d )(4d d πμπμ-=⨯=),,(a a 点，)()2(4d d 020a j a l I B ⨯=μ k a l I j i j a Idl202016d 2)(228πμπμ-=+⨯=),,(a o a 点，)(22)2(4d d 20k i j a l I B+⨯=πμ )(16d 220k i a l I-=πμ6-2 在X 轴上P 点的磁感应强度如图示，可得i x d I i r r I i B B)(d d 22cos 22201101+=⨯⨯==πμπμα 显然x =0处为B 的最大值d0πμIB m =6-4 2002104422R IlR I B B B πμπμ+⨯=+= ⎪⎭⎫⎝⎛+=+=ππμαπμ4324)2(400R I R L )38(160ππμ+=RI方向垂直纸面向外。
毕奥-萨伐尔定律介绍
0I
4πr
6
无限长载流长直导线的磁场
B 0I
2πr
I B
I XB
电流与磁感强度成右手螺旋关系
7
例2 圆形载流导线轴线上的磁场.
解 分析点P处磁场方向得：B Bx dBsin
Idl
cos R r
R
o
r
dB
r2 R2 x2
x
*p x
dB
0
4π
Idl r2
I
dBx
0
4π
I
cosdl
r2
Idl
2
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
8
2
×
7
Idl × 3
R
6
×
4
dB
5
0
4π
Idl
r
r3
1、5点 ：dB 0
3、7点
：dB
0 Idl
4π R2
2、4、6、8 点 ：
dB
0 Idl
4π R2
sin
450
毕奥－萨伐尔定律
3
二 毕奥－萨伐尔定律应用举例
例1 载流长直导线的磁场.
一 毕奥－萨伐尔定律
(电流元在空间产生的磁场)
dB
0
4π
Idl sin
r2
dB
0
4π
Idl
r
r3
真空磁导率 0 4 π107 N A2
r
dB
P*r
Idl
dB
Idl
I
1
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
磁感强度 叠加原理
B dB
0I
dl
毕奥萨伐尔定律的应用
毕奥萨伐尔定律的应用
毕奥萨伐尔定律是一个广泛应用于物理学和工程学的原理，以下是一些其应用的例子：
1. 电动机理论：毕奥萨伐尔定律可以用来确定电动机所产生的力矩和电流之间的关系。
这可以用于电动机的设计和性能优化。
2. 磁共振成像（MRI）：MRI利用了毕奥萨伐尔定律，通过物体中的原子核自旋与外加磁场之间的相互作用来产生图像。
由此可以用于医学成像、生命科学、材料科学等方面。
3. 电力工程：毕奥萨伐尔定律可以用于变压器和发电机的设计。
通过探索磁场的作用，我们可以优化电力系统的性能和效率。
4. 磁选分离技术：通过应用毕奥萨伐尔定律来制造强磁场，在该磁场中将由特定元素组成的粒子分离出来，以帮助提取或清洁物质。
这种技术可以应用于生产、环保和化学制药等领域。
5. 磁浮列车：使用毕奥萨伐尔定律可以制造出磁浮飞行的草图。
由于磁场中的气垫，磁浮列车可以悬浮在轨道上，并以高速运行，相比于传统的火车安全和效率相对提高。
6. 鸽派派论争：在哲学中，毕奥萨伐尔定律常用于指导对归因于自然色素或者文化习俗的某些现象占主导地位的讨论。
总而言之，毕奥萨伐尔定律不仅是一个理论上有趣的原则，而且在科学，工程和医学方面具有非常广泛的应用。
132 毕奥-萨伐尔定律
引入磁矩 引入磁矩
m = IS = ISn
m µ0 B= 2π (R 2 + x 2 )3 / 2
例题3、 例题 、载流螺旋管在其轴上的磁场 l
求半径为R， 求半径为 ，总长度 L，单 ， 位长度上的匝数为n的螺线 位长度上的匝数为 的螺线 管在其轴线上一点的磁场。 管在其轴线上一点的磁场。 解：长度为dl内的各匝圆线圈 长度为 内的各匝圆线圈 的总效果， 的总效果，是一匝圆电流线圈 的ndl 倍。 选坐标如图示
L 1
∫ [R
R2 In ⋅ dl + (x − l) ]
2 3 2
2
B=
B=
µonI
2
µonI
2
∫β sin β ⋅ dβ
1
β2
演示
(cos β1 − cos β2 ) 磁场的方向
磁场方向与电流满足右手螺旋法则。 磁场方向与电流满足右手螺旋法则。
B
β1 = 0, β2 = π B = µ nI o β1 = 0, β2 = π / 2
2 1
磁感应强度B的方向，与电流成右手螺旋关系， 磁感应强度 的方向，与电流成右手螺旋关系，拇指表示电流 的方向 方向，四指给出磁场方向。 方向，四指给出磁场方向。
当θ1=0,θ2=π时， 时
µo I B= 2πro
若场点在导线的延长线上， 若场点在导线的延长线上，则有
B
I
演示
B=0
例题2、 例题 、载流圆线圈在其轴上的磁场
r
µ 0 Idl × r0 µ0 Idl × r dB = dB = 2 3 4π r 4π r −7 −2 µ 0 = 4π × 10 N ⋅ A 称为真空磁导率
3、 叠加原理 、 任一电流产生的磁场
大学物理7.2 毕奥―萨伐尔定律
µ 0 Idl ∴ dB = 4π R 2
µ 0 I1dl µ 0 I1l1 ∴ B1 = ∫ 2 = 2 1 4π R 4π R
µ 0 I 2dl µ 0 I 2 l2 B2 = ∫ 2 = 2 4π R 4π R 2 U U ∵I = = R ρl s I1 l2 ∴ = I 2 l1
∴ B = B1 − B2 = 0
由于圆形电流具有对称性， 由于圆形电流具有对称性，各垂直分量 dB⊥ 相互抵消， 相互抵消，所以总磁感强度 B 的大小为各个平 行分量 dB// 的代数和为
B = ∫ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdB// = ∫ dB cosα
∵ cos α = R r
µ 0 IR µ 0 IR = dl = ∴B = 3 ∫0 3 4π r 2r
B
B
Idl
l
θ2
θ
∵ l = − r0 cot θ
r = r0 sinθ
r0 dθ ∴ dl = 2 sin θ
o
µ 0 θ 2 I sinθ dθ ∴B = 4π ∫ θ 1 r0
µ0 I (cosθ 1 − cosθ 2 ) = 4π r0
θ1
r r0
dB
A
特例：无限长导线： 特例：无限长导线： 1 = 0, θ 2 = π θ µ0 I B= 2πr0 圆形电流的磁场． 例2 圆形电流的磁场．有一半径为 R 的载流 圆环， 圆环，电流强度为 I ，求它轴线上任一点 P 的 磁感应强度 B ． Idl µ 0 Idl sinθ dB⊥ dB θα 解 ∵ dB = r 2 4π r R α o x θ = 900 P dB// x dB′ µ 0 Idl ∴ dB = 4π r 2 Idl ′
7.2 毕奥 萨伐尔定律及其应用 毕奥-萨伐尔定律 萨伐尔定律
毕萨定律及其应用
Idl
p1
2） dB与 r 和 Idl 的夹角的有关： 在与电流元垂直的方向上，磁场最强； 在与电流元重合的方向上，磁场为零； 2. 关于dB 的方向： 垂直于电流元和矢径构成的平面。
（下一页）
二、 毕奥---萨伐尔定律的应用 计算各种电流分布产生的磁场的磁感强度 基本步骤： p 1）任取电流元Idl, 求出其在 ==场点 P 产生的磁感dB的 dB p r ==大小与方向； α 2 ） 分 析 dB方 向 是 否 变 化 : ==若不变,直接积分; Idl ===若变化, 则要将dB适当= 的分解, 对各分量分别积分, 然后再合成起来.
B
dB
L
L
0 Idl r 4 r 3
（下一页）
例1. 直电流的磁场 已知：真空中, I、1、 2、a 求 p点的磁感强度. 建立坐标系OXY
Y
I
2
dl l
O
1
r
dB
任取电流元 Idl
0 Idl sin 大小: dB 2 4 r
m Pm NISn
S
n
大小： B
0 IR 2
2( R 2 x 2 )3 2
则 B 0m 3 2x
方向： 右手螺旋法则
（下一页）
2.） 圆心处： x
0 IR B 2( R 2 x 2 )3 2 0 I B 2R
2
0
0 Idl sin =900 Bx dBx I 2 = R2 4 r 0 I 0 IR 0 IR d dl Rd 3 3 4R 2 4R 2R 4R 2
I
0 I 0 I Bo 2R 4 R
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
毕奥-萨伐尔定律及毕奥-萨伐尔定律应用举例
一、毕奥-萨伐尔定律
1.毕奥-萨伐尔定律:载流导线产生磁场的基本规律。
微分形式为：
整个闭合回路产生的磁场是各电流元所产生的元磁场dB的叠加。
磁感应线的方向服从右手定则，如图。
二、毕奥-萨伐尔定律应用举例
两种基本电流周围的磁感应强度的分布：载流直导线；圆电流。
例1.载流长直导线的磁场
解：建立如图坐标系，在载流直导线上，任取一电流元Idz，由毕-萨定律得元电流在P点产生的磁感应强度大小为：方向为垂直
进入纸面。
所有电流元在P点产生的磁场方向相同，所以求总磁感强度的积分为标量积分，即：（1）由图得：,即：此外：，代入（1）可得：
讨论：（1）无限长直通电导线的磁场：
（2）半无限长直通电导线的磁场：
（3）其他例子
例2:圆形载流导线轴线上的磁场：设在真空中，有一半径为 R ，通电流为 I 的细导线圆环，求其轴线上距圆心 O 为 x 处的P点的磁感应强度。
解：建立坐标系如图，
任取电流元，由毕-萨定律得：，方向如图：，所有dB形成锥面。
将dB进行正交分解：，则由由对称性分析得：，
所以有:，因为： ,r=常量，
所以：，又因为：
所以：，方向：沿x轴正方向，与电流成右螺旋关系。
讨论：（1）圆心处的磁场：x=0 ，。
（2）当即P点远离圆环电流时，P点的磁感应强度为：。
例3：设有一密绕直螺线管。
半径为 R ，通电流 I。
总长度L，总匝数N（单位长度绕有n 匝线圈），试求管内部轴线上一点 P 处的磁感应强度。
解：建立坐标系，在距P 点 x 处任意截取一小段 dx ，其线圈匝数为: 电流为：。
其相当于一个圆电流，它在P点的磁感应强度为：。
因为螺线管各小段在P点的磁感应强度的方向均沿轴线向右，所以整个螺线管在P点的磁感应强度的大小为：
因为：
代入上式得：
所以：
讨论：
（1）管内轴线上中点的磁场:
（2）当 L>>R时，为无限长螺线管。
此时,，管内磁场。
即无限长螺线管轴线上及内部为均匀磁场，方向与轴线平行满足右手定则。
（3）半无限长螺线管左端面（或右端面），此时:
因此：，即其端面中心轴线上磁感应强度的大小为管内的一半。