2021年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟题03(学生版)
北京市东城区2021届新高考数学仿真第三次备考试题含解析
北京市东城区2021届新高考数学仿真第三次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若3SA ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．92D ．72【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC 之间的等量关系，再用,BE EC 表示出SED 的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥. 又AE ED ⊥，SA AE A ⋂=，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥.易知AE =ED =在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=， 即22233()x y x y +++=+，化简得3xy =.在Rt SED ∆中，SE =，ED ==.所以12SED S SE ED ∆=⋅=因为22108336x x +≥=，当且仅当x =，y =92SED S ∆≥=. 故选：C. 【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.2．若复数z 满足()134i z i +=+，则z 对应的点位于复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】利用复数模的计算、复数的除法化简复数z ，再根据复数的几何意义，即可得答案； 【详解】()55(1)5513451222i i z iz i i -+=+=⇒===-+， ∴z 对应的点55(,)22-，∴z 对应的点位于复平面的第四象限.故选：D. 【点睛】本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题. 3．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1- D ．()()1,00,1-【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果. 【详解】由题意知：()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++-，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()21ln 11f x x x=+-+， ()ln 1y x =+在[)0,+∞上单调递增，211y x =+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x 的取值范围为()(),11,-∞-+∞.故选：B . 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.4．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=，则()2AE AC +的最小值为（ ） A ．232B ．12C ．252D ．13【答案】C 【解析】 【分析】分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ⋅=，可求1x y +=，而222()(2)(2)AEAC xy，化简求解.【详解】解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，(0,2)y ∈，则(,)AE x y =，(2,2)AC =，由2AE AC ⋅=，即222x y +=，得1x y +=.所以222()(2)(2)AEAC xy 224()8x y x y22213x x =21252()22x，所以当12x =时，2()AEAC 的最小值为252. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.5．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【详解】解：∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m|＝|x ﹣m|； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小． 6．已知单位向量a ，b 的夹角为34π，若向量2m a =，4n a b λ=-，且m n ⊥，则n =（ ） A ．2 B ．2C ．4D ．6【答案】C 【解析】 【分析】根据m n ⊥列方程，由此求得λ的值，进而求得n . 【详解】由于m n ⊥，所以0m n ⋅=，即()23248282cos804a ab a a b πλλλ⋅-=-⋅=-⋅==，解得λ==-所以442n a b =+ 所以()2223442163223248322cos483244a ba ab b n π+=+⋅+=-==+=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.7．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，117DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）A ．321-B ．322-C ．251-D ．252-【答案】C 【解析】 【分析】把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由117DQ =知Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值． 【详解】如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面EFG 为截面EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC ，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，则//AC 平面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =可得平面1AD C //平面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在平面ABCD 上，∴P AC ∈． 正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∴1DQ ==，∴Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上， 显然M 关于直线AC 的对称点为E ，11PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-==，当且仅当,,,E P Q D 共线时取等号，∴所求最小值为1． 故选：C ． 【点睛】本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．8．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ） AB．C ．2D+1【答案】B 【解析】 【分析】以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可求出点2,b A c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭243b =，整理计算可得离心率. 【详解】解：以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取第一象限的解得2x b y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2b A c ⎫⎪⎪⎝⎭243b =， 整理得()()22229550c aca --=，则22519c a =<（舍去），225c a=，ce a∴==. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题. 9．命题“(0,1),ln x x e x -∀∈>”的否定是（ ） A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤ B ．000(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．000(0,1),ln x x e x -∃∈<D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可. 【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1)x ∀∈,ln x e x ->”的否定是：0(0,1)x ∃∈，00ln x e x -≤．故选D ． 【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.10．若1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85 B ．84C ．57D ．56【答案】A 【解析】 【分析】先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和. 【详解】解：31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数和为256 故2256n =，8n =88433188r r r rr r T C xxC x---+==要求展开式中的有理项，则258r =，，则二项式展开式中有理项系数之和为：258888++=85C C C 故选：A 【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题. 11．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．8B ．32C ．64D ．128【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解. 【详解】由题意，执行上述程序框图，可得第1次循环，满足判断条件，1,1S k ==； 第2次循环，满足判断条件，2,2Sk；第3次循环，满足判断条件，8,3S k ==； 第4次循环，满足判断条件，64,4S k ==； 不满足判断条件，输出64S =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ） A ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x -==-，可得21()1f x x '=+，0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，， 故不等式121(())xx f ef e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03(解析版)
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则 ，
即 ，即x≥﹣2且x≠1，
即函数的定义域为[﹣2，1）∪（1，+∞），
故选C．
3. 的值等于( )
A. 0B. C. D.－
【答案】B
【解析】原式 ．
故选：B.
4.已知 ， ，向量 与 平行，则实数k的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，即 ，
C. D.
【答案】A
【解析】 与 轴夹角为 与 轴夹角为
又
故选：
12.已知直线l过点（1，2），且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等பைடு நூலகம்直线方程不可以是下列（）选项.
A. 2x-y=0B.x+y=3C.x-2y=0D.x-y+1=0
【答案】C
【解析】解：由题意设所求直线的横截距为 ，
（1）当 时，由题意可设直线的方程为 ，将 代入可得 ，
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，得 ，所以 .
故选C
22.已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是（）
A.若l∥m，则必有α∥βB.若l⊥m，则必有α⊥β
C.若l⊥β，则必有α⊥βD.若α⊥β，则必有m⊥α
【答案】C
【解析】解：对于选项A，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A错误；
圆方程为 .
故选： .
8.下列关于棱柱的说法中，错误的是（）
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
D.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
【答案】D
【解析】三棱柱的底面为三角形，所以A正确；
2021年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03(原卷版)
第二部分解答题（共19分）
28.（本小题满分5分）
设常数 ，函数 ．
（1）若 为偶函数，求 的值；
（2）若 ，求方程 在区间 上的解．
29.（本小题满分5分）
在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为 的中点，且 ，平面 平面 .
（1）证明： 平面ABC；
（2）证明： .
30.（本小题满分5分）
17.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足 ，当 时， ，则 的值为（）
A. 2B.－1C. D. 1
18.已知 ，则 （）
A. B. C. D.
19.在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若 ， ，则△ABC的外接圆面积为（）
A. πB. 2πC. 4πD. 8π
20.已知△ABC中，满足 的三角形有两解，则边长a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
25.如图是某校高三某班甲､乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，若甲、乙两人的平均成绩分别是 、 ，则下列判断正确的是（）
A. ，甲比乙成绩稳定
B. ，乙比甲成绩稳定
C. ，甲比乙成绩稳定
D. ，乙比甲成绩稳定
26.在△ABC中， ， ， ，则k的值是（）
A. B.
C. D.
27.在一组样本数据中，1，4，m，n出现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本平均值为2.5，则 （）
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
D.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
9.圆心为(1,－1)且过原点的圆的一般方程是
A. B.
C. D.
2021年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷05(原卷版)
1 2021年北京市普通高中学业水平合格性考
试数学仿真模拟卷（五）
第一部分 选择题（每小题3分，共81分）
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1. 设集合{|28}x A x =≥，集合(){|lg 1}B x y x ==-，则A ∪B =（ ）
A.[1,3)
B. (1,3]
C.(1,+∞)
D. [3,+∞) 2. 若函数f （2x ）=x -3，则f （4）=（ ）
A. －1
B. 1
C. －5
D. 5 3. 已知函数()f x 的图象关于直线0x =对称，当210x x >≥时，
()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭
的x 的取值范围是（ ） A. 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 2,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
4. 下列关于棱柱的说法中，错误的是( )
A. 三棱柱的底面为三角形
B. 一个棱柱至少有五个面
C. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D. 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
5. 已知m ∈R ，过定点A 的动直线0mx y +=和过定点B 的动直线30x my m --+=交于点P
，则PA 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D. 6. 若a 、b 、c 为实数，则下列命题错误的是( )
A. 若22ac bc >，则a b >。
2021年北京十一学校高三三模数学(图片版含答案)
18．（本小题共 14 分） 随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称 App）获取新闻资讯．为了解用户对某款新
闻类 App 的满意度，随机调查了 300 名用户，调研结果如表：（单位：人）
14．若命题 p : x R ， x2 2ax a 0 是假命题，则实数 a 的一个值为____________.
15．向量集合 S a | a (x, y), x, y R，对于任意 ， S ，以及任意 (0,1) ，都有 (1 ) S ，则称 S 为
“ C 类集”，现有四个命题：
北京十一学校 2020-2021 学年度高三综合练习第 6 页（共 21 页）
A． 8
B． 8 2
C．12 2
D．12
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由长为 3，宽为 2，高为 2 的长方体，在长方体的
两头挖去两个半圆柱组成的不规则的几何体；
故V 2 3 2 12 2 12 2 ． 故选： C ．
①若 S 为“ C 类集”，则集合 M 3a | a S 也是“ C 类集”；
②若 S ， T 都是“ C 类集”，则集合 M a b | a S,b T 也是“ C 类集”；
③若 A1 ， A2 都是“ C 类集”，则 A1 A2 也是“ C 类集”；
④若 A1 ， A2 都是“ C 类集”，且交集非空，则 A1 A2 也是“ C 类集”．
④甲同学成绩数据比较集中，方差小，乙同学成绩数据比较分散，方差大．
正确的说法是③④．
故选： A ．
2021-2022学年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03(解析版)
2022年6月北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03 第一部分 （选择题 共60分）一．选择题（共20小题，每小题3分，共60分） 1．已知集合{|22}A x x =-<，{|13}B x x =<，则(A B = )A ．[2-，2)B ．[2-，3)C ．[1，2)D ．[1，2]【答案】C 【详解 】{|22}A x x =-<，{|13}B x x =<，[1AB ∴=，2)，故选：C ．2．已知复数z 满足2iz i =+，则z 的虚部为( ) A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-【答案】B【详解 】复数z 满足2iz i =+， 则212iz i i+==-， 即z 的虚部为2-， 故选：B ．3．函数()(2)f x ln x -的定义域为( ) A ．[0，2) B ．(,2)-∞ C ．[0，)+∞ D ．(0,2)【答案】A【详解 】()(2)f x ln x =-，∴020x x ⎧⎨->⎩，解得02x <，∴函数的定义域是[0，2)，故选：A ．4．在ABC ∆中，已知1cos 3A =，a =3b =，则(c = )A ．1BC ．2D ．3【答案】D【详解 】因为在ABC ∆中，已知1cos 3A =，a =3b =，所以由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得21129233c c =+-⨯⨯⨯，整理可得2230c c --=，则解得3c =或1-（舍去）． 故选：D ．5．角θ的终边过点(2,4)P ，则tan()(4πθ+= )A ．13-B ．3-C ．13D ．3【答案】B【详解 】因为角θ的终边过点(2,4)P ， 所以4tan 22θ==， 则tan 121tan()341tan 12πθθθ+++===---．故选：B ．6．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图．该样本数据的55%分位数大约是( )A ．220B ．224C ．228D ．230【答案】C【详解】由直方图的性质可得：(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=， 解得0.0075x =，由已知，设该样本数据的55%分位数大约是a ，由(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.55a ++⨯+⨯-=，解得228a =， 故选：C ．7．已知平面向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且a 与b 的夹角为23π，则||(a b += )A B C D ．3【答案】A【详解 】21||||cos21()132a b a b π⋅=⋅=⨯⨯-=-， 所以222||||2||42(1)13a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=， 所以||3a b +=． 故选：A ．8．某中学高一年级有200名学生，高二年级有260名学生，高三年级有340名学生，为了了解该校高中学生完成作业情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高二年级抽取的人数为( ) A ．10 B ．13 C ．17 D ．26【答案】B【详解 】根据题意，抽取样本的比例是40120026034020=++， ∴从高二学生中应抽取的人数为12601320⨯=． 故选：B ．9．若函数()f x 是奇函数，当0x >时，4()log f x x =，则1()(2f -= )A ．2B ．2-C ．12 D ．12-【答案】C【详解 】函数()f x 是奇函数，当0x >时，4()log f x x =， 则41111()()log 2222f f -=-=-=，故选：C ．10．下列函数中，定义域与值域均为R 的是( ) A ．y lnx = B ．x y e =C ．3y x =D ．1y x=【答案】C【详解 】:A y lnx =的定义域为(0,)+∞，值域为R ，A ∴错误，:x B y e =的定义域为R ，值域为(0,)+∞，B ∴错误，3:C y x =的定义域与值域均为R ，C ∴正确，1:D y x=的定义域与值域均为(-∞，0)(0⋃，)+∞，D ∴错误． 故选：C ．11．已知(0,)a ∈+∞，则“1a >”是“12a a+>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解 】由(0,)a ∈+∞，且1a >，可得a 和1a是正数，且不相等，故有12a a +>=，即有12a a+>，故充分性成立． 由有12a a +>，可得a 和1a是正数，且不相等，即0a >且1a ≠，不能推出1a >，故必要性不成立， “1a >”是“12a a+>”的充分而不必要条件， 故选：A ．12．函数()f x 的图像与函数2log y x =的图像关于y 轴对称，则(2)(f -= ) A ．2 B ．12C ．4D ．1【答案】D【详解 】由函数()f x 的图像与函数2log y x =的图像关于y 轴对称， 可得2()log ()f x x =-， 则2(2)log 21f -==， 故选：D ．13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为BC 上一点，则三棱锥11B AC E -的体积为( ) A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】D 【详解 】如图，1111111111326B AC E A B C E V V --==⨯⨯⨯⨯=．故选：D ．14．在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为( ) A ．322B ．18C ．223D ．112【答案】B【详解 】墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，基本事件总数3242024n C ==， 这3个节气中含有“立春”包含的基本事件个数12123253m C C ==， 则这3个节气中含有“立春”的概率为253120248m P n ===． 故选：B ．15．已知函数23,0,()2,0.x x f x x x ⎧-=⎨-<⎩若()1f m =-，则实数m 的值为( )A ．2-B ．12C ．1D ．2【答案】C【详解 】根据题意，函数23,0,()2,0.x x f x x x ⎧-=⎨-<⎩若()1f m =-，则有0231m m ⎧⎨-=-⎩或021m m <⎧⎨-=-⎩，解可得1m =； 故选：C ．16．若0ab >，且a b <，则下列不等式一定成立的是( )A ．22a b <B ．11a b< C ．2b aa b+> D ．2a b+>【答案】见解析【详解 】对于A ：当2a =-，1b =-时，选项A 错误； 对于11:0b aB a b ab--=>，故11a b >，故B 错误；对于C ：由于0ab >，所以2222()20b a b a ab a b a b ab ab+--+-==>，故C 正确；对于D ：当a 和b 都为负值时，选项D 错误． 故选：C ．17．某公司一年需要购买某种货物4800吨，每次购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是( ) A ．20 B ．30 C ．45 D ．60【答案】D【详解 】由题可得共需购买4800x次， 则一年的总运费与总存储费用之和为480014400144003442480x x x x x⋅+=+， 当且仅当144004x x=即60x =时取“=”， 即每次购买60吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小， 故选：D ．18．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥； ②若//m n ，//n α，则//m α； ③若//m n ，n β⊥，//m α，则αβ⊥； ④若mn A =，//m α，//m β，//n α，//n β，则//αβ．其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【详解 】对于①，假设n β⊂，l αβ=，因为//n α，所以//n l ，又m α⊥，所以m l ⊥，而//n l ，所以m n ⊥，正确；对于②，若//m n ，//n α，则//m α或m α⊂，故错误；对于③，若//m n ，n β⊥，则m β⊥，又//m α，所以在平面α内一定存在一条直线l ，使//m l ，而m β⊥，所以l β⊥，l α⊂，则αβ⊥，正确；对于④，由面面平行的判定定理，可以判断出是正确的． 故真命题有3个． 故选：C ．19．在ABC ∆中，1AB AC ==，D 是AC 的中点，则BD CD ⋅的取值范围是( ) A ．31(,)44-B ．1(,)4-∞C ．3(,)4-+∞D ．13(,)44【答案】A【详解 】()BD DA AB =-+，设(0,)CAB απ∠=∈，所以21111()[()]cos()2242BD CD DA AB DA CA CA AB πα⋅=-+⋅=-+⋅=---1131(cos )(,)4244α=--∈-．故选：A ．20．太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点纬度，ϕ为当地纬度值，那么这三个量满足90||θϕδ=︒--．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值(ϕ取正值），选择春分当日(0)δ=︒测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：组别 甲组 乙组 丙组 丁组 木杆影长度（米)0.820.800.830.85A ．甲组B ．乙组C ．丙组D ．丁组【答案】D【详解 】如图所示，地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点纬度，ϕ为当地纬度值，那么这三个量满足90||θϕδ=︒--．当0δ=︒且ϕ为正值，可得90θϕ=︒-，即90ϕθ=︒-， 设木杆的影长为m ，得到1tan mθ=， 因为为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，得到影长分别为0.82，0.80，0.83，0.85，所以当0.85m=时，θ取得最小值，此时ϕ取得最大值，所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是丁组．故选：D．第二部分（非选择题共40分）二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分）21．函数(1)()2lg xf xx+=+的定义域是．【答案】(1,)-+∞【详解】根据题意，由1020xx+>⎧⎨+≠⎩，得1x>-，所以函数(1)()2lg xf xx+=+的定义域为(1,)-+∞，故答案为：(1,)-+∞，22．下表记录了某地区一年之内的月降水量．月份123456789101112月降水量/mm58485346565651715653646656；．【答案】56；64【详解】把表中数据按照从小到大顺序排列为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71；计算中位数是1(5656)562⨯+=；因为1280%9.6⨯=，所以80%分位数是第10个数据，是64．故答案为：56；64．23．已知向量AB，CD在正方形网格中的位置如图所示．若网格上小正方形的边长为1，则AB CD ⋅= ．【答案】5【详解 】建立如图所示的坐标系， 所以(2,1)AB =，(1,3)CD =， 则235AB CD ⋅=+=． 故答案为：5．24．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1//A P 平面GEF ，则下面的4个判断①点P 的轨迹是一段长度为2的线段； ②线段1A P 的最小值为52； ③11A P AC ⊥；④1A P 与1B C 一定异面． 其中正确判断的序号为 ．【答案】①③【详解 】分别连接BD ，1A B ，1A D ，11//BD B D ∴， 11//B D EG ，//BD EG ∴，同理1//A D EF ，1BD A D D =，EG EF E =，∴平面1//A BD 平面GEF ，1//A P 平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，∴点P 在BD 上，∴点P 的轨迹是一段长度为2BD =的线段，故①正确；当P 为BD 中点时，1A P BD ⊥，线段1A P 最小，最小值为2221126()2()222A P BD -=-=，故②错误；在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ， 又1A P ⊂平面1A BD ，11A P AC ∴⊥，故③正确； 当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，故④错误． 故答案为：①③．三．解答题（共4小题，每小题7分，共28分） 25．已知函数()cos()3f x x π=-．（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）求不等式1()2f x 的解集． 【答案】见解析【详解 】（1）()f x 的最小正周期为2π． 令223k x k ππππ-+-，k Z ∈，解得22233k x k ππππ-++，k Z ∈． 故()f x 的单调递增区间为2[2,2]()33k k k Z ππππ-++∈． （2）因为1()2f x ， 所以1cos()32x π-，则22333k x k πππππ-+-+，k Z ∈，解得2223k xk πππ+，k Z ∈． 故不等1()2f x 的解集为2[2,2]()3k k k Z πππ+∈． 26．如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，//AD BC ，2AD BC =，点E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：//CE 平面PAB ；（Ⅱ）求证：AD ⊥平面PAB ．【答案】见解析【详解 】（1）证明：取PA 中点F ，连接EF ，BF ，因为E 为PD 中点，F 为PA 中点， 所以//EF AD ，且12EF AD =． 又因为//BC AD ，且12BC AD =， 所以//EF BC ，且EF BC =．所以四边形BCEF 为平行四边形，所以//CE BF ，因为CE ⊂/平面PAB ，BF ⊂平面PAB ，所以//CE 平面PAB ．（2）因为PB ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PB AD ⊥，又因为AB BC ⊥，//AD BC ，所以AD AB ⊥，又AB PB B =，AB 、PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ．27．在ABC ∆中，5a =，2225b bc c -+=．（Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC ∆存在且唯一确定，求ABC ∆的面积．条件①：7b =；条件②：3sin B =； 条件③：AC 边上的高92BE =． 【答案】见解析【详解 】（Ⅰ）因为5a =，2225b bc c -+=，所以222b c bc a +-=，所以222b c a bc +-=， 由余弦定理知2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 因为(0,)A π∈，所以3A π=．（Ⅱ）若选①，7b =，则227725c c -+=，即27240c c -+=，因为△2(7)424470=--⨯=-<，所以方程无解，不符合题意；若选②，3sin B =，由正弦定理可知sin sin a b A B =33=，解得103b =， 所以221010()2533c c -+=，即29301250c c --=，解得10106c +=，10106-， 所以1110106103253752sin 223ABC S bc A ∆++===； 若选③，AC 边上的高92BH =， 在Rt ABH ∆中sin BH A AB =，所以9233sin 3BH AB A ===33c =所以2332725b b -+=，即23320b b -+=，解得33192b +=，或33192-， 所以ABC ∆存在两解，不符合题意．28．已知函数2()4()f x x ax a R =++∈．（Ⅰ）若f （1）0=，求不等式()0f x 的解集； （Ⅱ）若f （1）2=，求()f x 在区间[2-，2]上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的x 值；（Ⅲ）若对任意(0,)x ∈+∞，不等式()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【详解 】（Ⅰ）因为2()4f x x ax =++且f （1）0=，所以50a +=，解得5a =-， 所以2()54f x x x =-+，由()0f x ，得2()540f x x x =-+，即(4)(1)0x x --，解得14x ， 即原不等式的解集为[1，4]； （Ⅱ）因为f （1）2=，所以52a +=，所以3a =-，所以2237()34()24f x x x x =-+=-+， 因为[2x ∈-，2]，所以函数在[2-，3]2上单调递减，在3(2，2]上单调递增， 所以当32x =时函数取得最小值37()()24min f x f ==；当2x =-时函数取得最大值()(2)14max f x f =-=； （Ⅲ）因为对任意(0,)x ∈+∞，不等式()0f x >恒成立， 即对任意(0,)x ∈+∞，不等式240x ax ++>恒成立， 即4a x x -<+对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 因为4424x x x x +⋅=，当且仅当4x x=，即2x =时取等号；所以4a>-，-<，即4a所以(4,)a∈-+∞．。
北京市门头沟区2021届新高考数学三月模拟试卷含解析
北京市门头沟区2021届新高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知平面向量,,a b c r r r ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+r r r r r r 且21λμ+=，若对每一个确定的向量a r，记||c r 的最小值为m ，则当a r变化时，m 的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.令,OP a OB b ==u u u r r u u u r r OC c =u u u r r.E 为OB 中点.由1a b +=r r 即可求得P 点的轨迹方程.将c a b λμ=+r r r变形,结合21λμ+=及平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线.由圆切线的性质可知||c r的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值,且当PE 与圆M 相切时,m 有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m 的最大值. 【详解】根据题意,||2,b =r设()(),,2,0OP a x y OB b ====u u u r r u u u r r ,(),1,0OC c E =u u u r r则2b OE =r u u u r由1a b +=r r代入可得()2221x y ++=即P 点的轨迹方程为()2221x y ++=又因为c a b λμ=+r r r ,变形可得22b c a λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭rr r ,即2OC OP OE λμ=+uuur uuu r uuu r ,且21λμ+=所以由平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线,如下图所示:所以||c r的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值根据圆的切线性质可知,当PE 与圆M 相切时,m 有最大值 设切线PE 的方程为()1y k x =-,化简可得kx y k 0--=由切线性质及点M1=,化简可得281k =即4k =±所以切线方程为044x y --=或044x y +-= 所以当a r变化时, O 到直线PE 的最大值为13m ==即m 的最大值为13故选:B 【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.2．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m=+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．15C ．13D ．18【答案】D 【解析】 【分析】设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值； 【详解】解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my m --=，∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.又由24x my y x=⎧⎨=⎩，得240y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ，∵||3||BD OA =， ∴)()()224212(191616my y m m +-=+，又∵()()22212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18m =. 故选：D 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题. 3．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】对函数()f x 化简可得π()sin(2)6f x x ω=+，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】因为2π2ππ()12cos ()cos(2)sin(2)336f x x x x ωωω=-+=-+=+，所以周期2ππ2T ωω==. 对于①，因为12min 1π2x x T -==，所以ππ2T ω==，即12ω=，故①错误；对于②，函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的函数为ππsin(2)36y x ωω=-+，其图象关于y 轴对称，则ππππ()362k k ω-+=+∈Z ，解得13()k k ω=--∈Z ，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，所以②错误；对于③，令π()sin(2)06f x x ω=+=，可得π2π6x k ω+=()k ∈Z ，则ππ212k x ωω=-，因为π(0)sin06f=>，所以()f x在[]0,2π上第1个零点1>0x，且1ππ212xωω=-，所以第7个零点7ππππ3π41π321221212x Tωωωωωω=-+=-+=，若存在第8个零点8x，则8ππ7ππ7π47π2122212212x Tωωωωωω=-+=-+=，所以782πx x≤<，即2π41π47π1212ωω≤<，解得41472424ω≤<，故③正确；对于④，因为π(0)sin6f=，且ππ0,64⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ2662πππ2462ωω⎧⎛⎫-+≥-⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⨯+≤⎪⎩，解得23ω≤，又0>ω，所以23ω<≤，故④正确.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.4．在ABC∆中，点D是线段BC上任意一点，2AM AD=u u u u r u u u r，BM AB ACλμ=+u u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（）A．12-B．-2 C．12D．2【答案】A【解析】【分析】设BD k BC=u u u r u u u r，用,AB ACu u u r u u u r表示出BMu u u u r，求出,λμ的值即可得出答案.【详解】设BD k BC k AC k AB==-u u u r u u u r u u u r u u u r由2AM AD=u u u u r u u u r()112222k kBM BA BD AB AC AB∴=+=-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1222k kAB AC⎛⎫=--+⎪⎝⎭u u u r u u u r，1,222k kλμ∴=--=，12λμ∴+=-.故选：A 【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.5．已知直线l 20y ++=与圆O ：224x y +=交于A ，B 两点，与l 平行的直线1l 与圆O 交于M ，N 两点，且OAB V 与OMN V 的面积相等，给出下列直线1l 0y +-=20y +-=，③20x -+=0y ++=.其中满足条件的所有直线1l 的编号有（ ） A ．①② B ．①④C ．②③D ．①②④【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心O 到直线l 的距离为：112d r ==，得出120AOB ∠=︒，根据条件得出O 到直线1l 的距离1d '=或.【详解】解：由已知可得：圆O ：224x y +=的圆心为（0,0），半径为2， 则圆心O 到直线l 的距离为：112d r ==， ∴120AOB ∠=︒，而1//l l ，OAB V 与OMN V 的面积相等， ∴120MON ∠=︒或60︒，即O 到直线1l 的距离1d '=或 根据点到直线距离可知，①②④满足条件. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.6．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可； 【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞）， 因为f′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ， 可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．7．已知()()11,101,012x f x f x x x ⎧--<<⎪+⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是( )A ．{}()81,-⋃+∞B ．{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦C ．{}()18,12,2⎡⎤-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦D ．{}[]()321,24,-⋃⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】求出()f x 的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出a 的范围即可． 【详解】解：令10x -<<，则011x <+<， 则1(1)2x f x ++=， 故21,101(),012x x f x x x ⎧--<<⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩…，如图示：由()21f x ax a -=-， 得()(21)1f x a x =+-，函数(21)1y a x =+-恒过1(2A -，1)-，由1(1,)2B ，(0,1)C ，可得1121112ABk +==+，2OA k =，11412AC k +==，若方程()21f x ax a -=-有唯一解， 则122a <…或24a >，即1a 12<…或2a >； 当22111ax a x +-=-+即图象相切时， 根据0∆=，298(2)0a a a --=， 解得16(0a =-舍去）， 则a 的范围是{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦， 故选：B ．【点睛】本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题． 8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．643B ．64C ．323D ．32【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积. 【详解】由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4， 故()16444433V =⨯⨯⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题. 9．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性可排除选项A,C ，当0x +→时，可分析函数值为正，即可判断选项. 【详解】sin ln ||cos ln ||2y x x x x π⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭Q ,cos()ln ||cos ln ||x x x x ∴---=-,即函数为偶函数， 故排除选项A,C ，当正数x 越来越小，趋近于0时，cos 0,ln ||0x x -<<， 所以函数sin ln ||02y x x π⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭，故排除选项B, 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.10．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，方程()22211k x y k -+=-．即222111y x k k -=-+，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型． 【详解】解：∵k ＞1，∴1+k>0，k 2-1＞0，方程()22211k x y k -+=-，即222111y x k k -=-+，表示实轴在y 轴上的双曲线，故选C ． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为222111y x k k -=-+是关键．11．函数()f x =）A ．{2x x ≤或}3x ≥ B ．{3x x ≤-或}2x ≥- C ．{}23x x ≤≤ D ．{}32x x -≤≤-【答案】A 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域. 【详解】由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥. 因此，函数()y f x =的定义域为{2x x ≤或}3x ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）A ．5B ．4C ．2D ．22【答案】D 【解析】 【分析】先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度. 【详解】根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：由三视图知：2AD = ，3,2,CE SD ==所以2SC DC ==， 所以222222,22SA SDADSB SCBC=+==+=所以该几何体的最长棱的长为22 故选：D 【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市房山区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析
北京市房山区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点KPF ∠的平分线与x 轴交于(,0)m ，则m 的最大值为( ) A ．322- B．233-C ．23-D ．22-【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，211(1)4mmx x-=+++， 求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解． 【详解】解：由题意可得，焦点F （1，0），准线方程为x ＝−1， 过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x ＋1， 记∠KPF 的平分线与x 轴交于(m,0),(1m 1)H -<<根据角平分线定理可得||||||=||||||PF PM FH PK PK KH =， 211(1)4mmx x-=+++， 当0x =时，0m =，当0x ≠21242(1)4112x xx x⎫=⎪⎪++⎣⎭+++，110321m m m-≤<⇒<≤-+综上：03m ≤≤- 故选：A ． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．2．已知集合{}{}3,*,2,*nM x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（ ） A ．1194 B ．1695 C ．311 D ．1095【答案】D 【解析】 【分析】确定{}n c 中前35项里两个数列中的项数，数列{2}n 中第35项为70，这时可通过比较确定{3}n中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和． 【详解】35n =时，23570,370,3n n ⨯=<≤，所以数列{}n c 的前35项和中，{}3n有三项3，9，27，{}2n 有32项，所以123353231 (3927322210952)c c c c ⨯++++=+++⨯+⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前n 项和公式是解题基础．解题关键是确定数列{}n c 的前35项中有多少项是{2}n 中的，又有多少项是{3}n中的．3．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ）A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=.()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯，故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=,故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.4．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题5．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ） A 3B ．3 C ．12D ．12-【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质和已知可得623a π=，即可得到9343a a π+=，代入由诱导公式计算可得．【详解】解：由等差数列的性质可得1611632a a a a π++==，解得623a π=， 963324a a a π+==∴， ()3943sin sin s si in 333n a a ππππ∴⎛⎫=+=-= =⎪⎝+⎭故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题． 6．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（ ）A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A <B ．()()22sinC sin sin sin f B f B C< C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A >D ．()()22cosC sin sin cos f B f B C >【答案】D 【解析】 【分析】 根据()()2'f x f x x >的结构形式，设()()2f x g x x =，求导()()()32xf x f x g x x'-'=，则()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数，再根据在ABC ∆中，34A π∠=，得到04π<∠<B ，04π<∠<C ，利用余弦函数的单调性，得到cos sin ∠>∠C B ，再利用()g x 的单调性求解. 【详解】 设()()2f x g x x=， 所以 ()()()32xf x f x g xx'-'=，因为当0x >时，()()2'f x f x x>， 即()()20xf x f x x'->，所以()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数， 在ABC ∆中，因为34A π∠=，所以04π<∠<B ，04π<∠<C ， 因为cos sin 4π⎛⎫∠=+∠⎪⎝⎭C B ，且042ππ<∠<+∠<B B ，所以sin sin 4π⎛⎫∠<+∠ ⎪⎝⎭B B ，即cos sin ∠>∠C B ， 所以()()22cos sin s sin f C f B co CB>，即()()22cosC sin sin cos f B f B C > 故选：D 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．已知非零向量a ，b 满足()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得a 与b 的夹角.【详解】根据平面向量数量积的垂直关系可得()2220a b a a a b -⋅=-⋅=，()2220b a b b a b -⋅=-⋅=，所以222ab a b ==⋅，即a b=，由平面向量数量积定义可得22cos ,a a b a b=⋅，所以2cos ,2a b =，而[],0,a b π∈， 即a 与b 的夹角为4π. 故选：B 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题.8．若(1＋2ai)i ＝1－bi，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B ．CD ．5【答案】C 【解析】试题分析：由已知，－2a ＋i ＝1－bi ，根据复数相等的充要条件，有a ＝－12，b ＝－1 所以|a ＋bi|=，选C 考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模9．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（ ）A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x > D ．{2x x <或}4x >【答案】C 【解析】 【分析】简单判断可知函数关于1x =对称，然后根据函数()2f x x x =-的单调性，并计算210x xx ⎧-=⎪⎨⎪≥⎩，结合对称性，可得结果. 【详解】由()()11f x f x -=+， 可知函数()f x 关于1x =对称 当1x ≥时，()2f x x x=-， 可知()2f x x x=-在[)1,+∞单调递增 则2120x x xx ⎧-=⎪⇒=⎨⎪≥⎩ 又函数()f x 关于1x =对称，所以()01f = 且()f x 在(),1-∞单调递减，所以20x +<或22x +>，故2x <-或0x > 所以()}{21x f x +>={2x x <-或}0x > 故选：C 【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：()()11f x f x -=+，()()110f x f x -++=，考验分析能力，属中档题.10．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．2C 3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为2，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．11．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2430x y --= B ．2430x y +-= C ．4230x y +-= D ．2430x y -+=【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，根据复数的几何意义得到x 、y 的关系式，即可得解； 【详解】 解：设z x yi =+∵|2||1|z i z -=+，∴2222(2)(1)x y x y +-=++，解得2430x y +-=. 故选：B 【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.12．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A．6+ B．6+C ．8D ．6【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2133e e +，结合基本不等式即可求解.【详解】设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1ce a=，2c e a ='，设2PF m =由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122mPF PF a a c ''-=⇒=-则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭68≥+=当且仅当73a c =时，取等号. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市2021届高三数学第二次普通高中学业水平合格性考试试题(含解析).doc
A. B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
将点代入函数解析式中计算出 的值即可.
【详解】因为 图象经过点 ，所以 ，所以 且 且 ，解得： ，
故选：C.
【点睛】本题考查根据对数函数图象所过点求解函数解析式，难度较易.通过函数图象所过点求解函数解析式的问题，可考虑直接将点代入函数解析式中求解参数值.
26.在 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如果 ， ， 的面积 ，那么a等于（）
A. B.7C. D. 17
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据面积公式计算出 的值，然后利用 以及余弦定理求解 的值.
【详解】因为 ，所以 ；
又因为 ，所以 ，所以 ，
故选：A.
【点睛】本题考查三角形面积公式的应用以及利用余弦定理解三角形，难度较易.解三角形时常用的面积公式有三个，解答问题时要根据题意进行选择.
根据向量垂直对应的坐标关系计算出 的值.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
故选：C.
【点睛】本题考查向量垂直对应的坐标表示，难度较易.已知 ， ，若 ，则有： .
6.直线 与直线 的交点坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
联立二元一次方程组求解交点坐标.
【详解】据题意有： ，解得： ，所以交点坐标为 ，
二解答题
28.某同学解答一道三角函数题：“已知函数 ，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值及相应x的值．”
该同学解答过程如下：
解答：（Ⅰ）因为 ，所以 ．因为 ，
所以 ．
3合格考模拟试卷解析版-2021北京市普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷
021北京市普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷03英语一、听力理解（共25小题，25分。
每小题1分）略二、完形填空（共15小题，15分。
每小题1分）阅读下面短文，从各题A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳答案。
About a year ago, I had to spend a week in a hospital, because of the deadly food poisoning. There I met an elderly woman, who __1__ to be a professional musician. That time when I met her, the idea of learning to sing didn't __2__ my mind. I thought it was something __3__ and not meant for me, like being an airplane pilot.And only recently, I suddenly decided to learn singing. I was __4__ my dog early in the morning. I sang __5__ to myself and it made me feel so wonderful. At that moment I __6__ I had known more good songs and how to control my __7__ better. And then I thought, why didn't I take any singing lessons? Of course, it was not a practical skill that I could use at work, but not everything in this life is about actual __8__ and income.It was easy to find that woman. I remembered her name and there was only one __9__ college in our city. I was afraid she would reject me because I was a terrible amateur. But she took my request very __10__. She understood how important music was __11__ one's soul. In my first lesson, she sat at the gorgeous big piano and __12__ some rising notes that I had to repeat. At first I was terrified to make a sound because I feared being judged and criticized. But my teacher was kind and professional. However，she was strict when she knew I could do better.Learning to sing was like learning to walk. It was like __13__ that all your life you had some superpower but were not aware of its __14__. Singing taught me more than just being able to take some high or low __15__. Most importantly, it taught me to be braver about expressing myself and my opinions.1．A.turned out B．ran out C．went on D．called on2．A.lose B．cross C．change D．slip3．A.realistic B．fashionable C．unavailable D．worthless4．A.sorting B．owning C．evolving D．walking5．A.jokingly B．painfully C．lightly D．properly6．A.planned B．wished C．heard D．regretted7．A.sound B．hope C．talk D．voice8．A.benefit B．damage C．habits D．dates9．A. literary B. architectural C．medical D．musical10．A.casually B．seriously C．rudely D．uniquely11．A.from B．under C．for D．during12．A.wrote B．left C．played D．kept13．A.giving out B．admitting to C．belonging to D．finding out14．A.existence B．contents C．purpose D．forms15．A.words B．notes C．noises D．spirits 本文是记叙文，主要讲述了一年前作者住院的时候认识了一位音乐家老太太，他当时对学习音乐毫无兴趣。
北京市房山区2021届新高考数学三月模拟试卷含解析
北京市房山区2021届新高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．56【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积. 【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中截去四棱锥1B ABCD -所形成的几何体， 该几何体的体积为321211133V =-⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.2．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则m β⊥的一个充分条件是（ ） A ．αβ⊥且m α⊂ B ．//m n 且n β⊥ C ．αβ⊥且//m α D ．m n ⊥且//n β由//m n 且n β⊥可得m β⊥，故选B.3．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413B ．21313C ．926D ．31326【答案】A 【解析】 【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可． 【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒所以13DF AB =. 所以所求概率为24=1313DEF ABC S S ∆∆=. 故选A. 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题． 4．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论． 【详解】对于函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令22,3x k k Z ππ+=∈，解得,23k x k Z ππ=-∈， 当1,0,1k =-时，函数的对称轴为65x π=-，3x π=-，6x π=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题． 5．已知01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是（ ） A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∨⌝是真命题 D ．()p q ∧⌝是假命题【答案】D 【解析】 【分析】举例判断命题p 与q 的真假，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】当01x >时，102log 0,x <故p 命题为假命题；记f （x ）＝e x ﹣x 的导数为f′（x ）＝e x -１， 易知f （x ）＝e x ﹣x 在（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增， ∴f （x ）＞f （0）＝１＞0，即,x x R e x ∀∈>，故q 命题为真命题； ∴()p q ∧⌝是假命题 故选D 【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题． 6．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 7．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案. 【详解】1()ln1xf x x x +=-定义域为：(1,1)- 11()ln ln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f => ，排除D 故选B 【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧. 8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，若()6,m c a b =-u r ，(,6n a b c =-r，且//m n u r r，则ABC ∆的面积为（ ） A ．3 B ．3C ．33D ．33【分析】由//m n u r r ，可得2()(a b c c -=+，化简利用余弦定理可得2221cos 322a b c abπ+-==，解得ab ．即可得出三角形面积． 【详解】解：Q ()m c a b =-u r ，(,n a b c =-+r ，且//m n u r r，2()(a b c c ∴-=，化为：22226a b c ab +-=-．222261cos 3222a b c ab ab ab π+--∴===，解得6ab =．11sin 622ABC S ab C ∆∴==⨯=故选：C ． 【点睛】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ）A ．2B ．3C ．12D ．2【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得sin b A 的值. 【详解】sin sin sin sin b c a b A A B C ++=+-Q，由正弦定理得b c a ba ab c++=+-，整理得222a c b ac +-=， 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，0B Q π<<，3B π∴=.由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin 1sin 3b A a B π==⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等①当0a =时，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-； ②当3a ≥时，函数()f x 在(–1,1)上为单调递减函数； ③若函数()f x 在(–1,1)上不单调，则0<<3a ； ④当12a =时，()f x 在[–4,5]上的最大值为1． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析选项，①根据函数3y x =的对称中心判断；②利用导数判断函数的单调性；③先求函数的导数，若满足条件，则极值点必在区间()1,1-；④利用导数求函数在给定区间的最值. 【详解】①3y x =为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-，正确．②由题意知2()3f x x a '=-．因为当–11x <<时，233x <，又3a ≥，所以()0f x '<在(1,1)-上恒成立，所以函数()f x 在(1,1)-上为单调递减函数，正确． ③由题意知2()3f x x a '=-，当0a ≤时，()0f x '≥，此时()f x 在(–),∞+∞上为增函数，不合题意，故0a >．令()0f x '=，解得3x =±．因为()f x 在(1,1)-上不单调，所以()0f x '=在(1,1)-上有解，需013<<，解得0<<3a ，正确． ④令2()3120f x x '=-=，得2x =±．根据函数的单调性，()f x 在[–4,5]上的最大值只可能为(2)f -或(5)f ．因为(2)15f -=，(5)64f =，所以最大值为64，结论错误． 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.【解析】 【分析】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，进而分别求出展开式中2x 的系数及展开式中3x 的系数，令二者之和等于10-，可求出实数a 的值. 【详解】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，则展开式中2x 的系数为1255105C aC a +=+，展开式中3x 的系数为32551010C aC a +=+，二者的系数之和为(105)(1010)152010a a a +++=+=-，得2a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 12．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】71log 30a >=>，13log 70b =<，0.731c =>得解．【详解】71log 30a >=>，13log 70b =<，0.731c =>，所以b a c <<，故选D【点睛】比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市大兴区2021届新高考数学三月模拟试卷含解析
北京市大兴区2021届新高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】点P 不在直线l 、m 上，∴若直线l 、m 互相平行，则过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，即必要性成立，若过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，则直线l 、m 互相平行成立，反证法证明如下：若直线l 、m 互相不平行，则l ，m 异面或相交，则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键． 2．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记ii S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1 B ．1C ．32-D ．32【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312S S S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出1122PA PB PC++=，根据平面向量基本定理可求得12x y==，从而可求得结果. 【详解】如图所示：因为EF是△ABC的中位线，所以P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，所以12312S S S S==+，由此可得22232322322()1216S SS S SSS S S Sλλ+=⨯=≤=，当且仅当23S S=时，即P为EF的中点时，等号成立，所以0PE PF+=，由平行四边形法则可得2PA PB PE+=，2PA PC PF+=，将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF++=+=，所以1122PA PB PC++=，又已知0PA xPB yPC++=，根据平面向量基本定理可得12x y==，从而132122x y+=+=.故选：D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.3．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：①若mαβ=，n⊂α，n m⊥，则αβ⊥；②若mα⊥，mβ⊥，则//αβ；③若//m n，mα⊂，//αβ，则βn//；④若mα⊥，nβ⊥，m n⊥，则αβ⊥其中正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．②④【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根据面面垂直的判定定理可判断④. 【详解】 对于①，若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，α，β两平面相交，但不一定垂直，故①错误；对于②，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，故②正确；对于③，若//m n ，m α⊂，//αβ，当n β⊂，则n 与β不平行，故③错误； 对于④，若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，故④正确； 故选：D 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.4．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】B 【解析】 【分析】计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果. 【详解】由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=， 样本在[)20,40的数据个数为459+=，因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915. 故选：B. 【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.5．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．2C 3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为2，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 2，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．6．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．43【答案】A 【解析】 【分析】本道题绘图发现三角形周长最小时A,P 位于同一水平线上，计算点P 的坐标，计算斜率，即可． 【详解】结合题意，绘制图像要计算三角形PAF 周长最小值，即计算PA+PF 最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN ，所以PF PA PA PN AN AG +=+≥≥，故当点P 运动到M 点处，三角形周长最小，故此时M 的坐标为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以斜率为1041314k -==--，故选A ． 【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等．7．下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（ ） A ．1y x =+B ．21y x =-C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2log y x =【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，进而可得出结果. 【详解】对于A 选项，函数1y x =+()0,∞+上为增函数；对于B 选项，函数21y x =-在区间()0,∞+上为增函数；对于C 选项，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上为减函数； 对于D 选项，函数2log y x =在区间()0,∞+上为增函数. 故选：C. 【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.8．己知a =544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c a b >>【答案】B 【解析】 【分析】先将三个数通过指数，对数运算变形104661a ==>=，2.95544411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫=<=<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭再判断. 【详解】因为104661a ==>=， 2.95544411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫=<=<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以a c b >>， 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.9．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( ) A． B． CD ．25-【答案】A 【解析】 【分析】设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβ，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2225sin 12β 依题有OA OB ⊥,则90αβ，所以25cos cos(90)sin αββ， 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.10．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 【答案】B 【解析】 【分析】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将13BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA=-代入化简即可. 【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-2()3BA BC BA AQ =+-+1233BA BC =+-⨯13AC 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28 B ．14C ．7D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得1774()772a a S a +==，即可求出结果． 【详解】因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =， 所以17747()7142a a S a +===， 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题． 12．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A ．18B ．24C ．36D ．72【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a aS ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，∴163465766636222a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷04(解析版)
11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且 ，则下列结论中正确的是（）
A.线段B1D1上存在点E、F使得 B. 平面ABCD
C. 的面积与 的面积相等D.三棱锥A-BEF的体积不为定值
【答案】B
【解析】如图所示，AB与 为异面直线，故AE与BF也为异面直线，A错误；2021年北京市普通高中学业水合格性考试数学仿真模拟卷（四）
第一部分选择题（每小题3分，共81分）
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1.设集合 ，则集合P的非空真子集的个数是（）
A. 2B. 3C. 7D. 8
【答案】A
【解析】集合 ,即 ，
集合 的非空真子集有 ，
共2个.
故选： .
故选：D．
13.sin300°=（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由三角函数的定义即可得到答案。
故选:A.
14.已知向量 满足 ， ，则 ( )
A. (4,4)B. (2,4)C. (2,2)D. (3,2)
【答案】A
【解析】由题得 .
故选：A
15.已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（ ）
A．a⊥α且a⊥βB．a⊥γ且β⊥γ
C．a⊂α，b⊂β，a∥bD．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β
【答案】A
【解析】解：选项A，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可知正确；
选项B，α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β相交，所以B不正确；
选项C，a⊂α，b⊂β，a∥b，α与β可能相交，故不正确；
选项D，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，如果a∥b推出α、β相交，所以D不正确；
2021-2022学年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02(解析版)
2022年6月北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02 第一部分 （选择题 共60分）一．选择题（共20小题，每小题3分，共60分）1．若全集U R =，{|1}A x x =<，{|1}B x x =>-，则( ) A ．A B ⊆ B ．B A ⊆ C ．UB A ⊆D ．UA B ⊆【答案】D 【详解】{|1}RA x x =，{|1}RB x x =-，R A B ∴⊆，故选：D ． 2．若复数2a ii+的实部与虚部相等，则实数(a = ) A ．1- B ．1 C ．2- D ．2【答案】A 【详解】复数2()1122222a i i a i ai ai i i +-+-===--的实部与虚部相等， ∴122a=-，解得1a =-． 故选：A ．3．22log 8log 4-等于( ) A ．1 B ．2 C ．5 D ．6【答案】A【详解】22228log 8log 4log 214log -===． 故选：A ．4．下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是( ) A ．3()2f x x =-+ B ．12()log ||f x x =C ．3()3f x x x =-D ．()sin f x x =【答案】C【详解】3:()2A f x x =-+为非奇非偶函数，不符合题意； 12:()log ||B f x x =为偶函数，不符合题意；3:()3()C f x x x f x -=-+=-即()f x 为奇函数，2()330f x x '=-<在(0,1)上恒成立，故()f x 在(0,1)上单调递减，符合题意，:sin D y x =在(1,1)-上单调递增，不符合题意．故选：C ．5．已知角α以x 轴正半轴为始边，其终边在射线4(0)3y x x =-上，则sin cos (αα+= )A ．75-B ．15-C ．15D ．75【答案】C【详解】角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，其终边在射线4(0)3y x x =-上，取点(3,4)P -，则||9165r OP ==+=， 所以4sin 5y r α==，3cos 5x r α==-， 所以1sin cos 5αα+=．故选：C ．6．在ABC ∆中，若9a =，6b =，4A π=，则cos (B = )A ．73B ．73±C ．223±D ．223【答案】A【详解】由正弦定理得sin sin a bA B=，得26sin 22sin 93b B B a ⨯===， a b >，A B ∴>，即4B π<，则22277cos 1()13993B =-=-==， 故选：A ．7．如图所示的时钟显示的时刻为3:30，此时时针与分针的夹角为(0)2παα<．若一个扇形的圆心角为α，弧长为10，则该扇形的面积为( )A ．256πB ．2512πC ．240πD ．120π【答案】D【详解】时钟显示的时刻为3:30，此时时针与分针的夹角为(0)2παα<，15226612πππα∴=⨯+⨯=， 一个扇形的圆心角为α，弧长为10l =，设其半径为r ， 则51012r r πα==⋅， 24r π∴=，∴该扇形的面积11241201022S lr ππ==⨯⋅=， 故选：D ．8．在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点3(5，4)5，则tan()πθ+的值为( ) A ．43B ．34 C ．43-D ．34-【答案】A【详解】角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点3(5，4)5，445tan 335θ∴==，4tan()tan 3πθθ∴+==． 故选：A ．9．sin69cos9sin 21sin9(︒︒-︒︒= ) A．B ．12-C D ．12【答案】C【详解】sin 69cos9sin 21sin9cos21cos9sin 21sin9cos30︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=︒=． 故选：C ．10．若0b a <<，则下列不等式正确的是( )A ．11a b> B ．2ab a < C ．||||a b > D ．2b aa b+> 【答案】D【详解】根据题意可令2b =-、1a =-， 则11a b<，2ab a >，||||a b <，ABC ∴ 错； 0b a <<，∴0a b >，0b a >且a b b a≠， ∴22b a b aa b a b+>⋅=，D ∴对． 故选：D ．11．“||1x <”是“2230x x --<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【详解】||1x <，11x ∴-<<， 2230x x --<，13x ∴-<<， (1-，1)(1-，3)，||1x ∴<是2230x x --<的充分不必要条件，故选：A ．12．某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校3000名学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委从这3000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图：则选取的学生中参加机器人社团的学生数为( ) A ．50 B ．75C ．100D ．125【答案】B【详解】由条形统计图得抽到50名同学演讲， 由扇形统计图片得抽到的学生中演讲同学占10%，∴一共抽取的学生数为：5050010%n ==（人)， ∴抽到的学生中合唱学生占：200100%40%500⨯=， ∴选取的学生中参加机器人社团的学生数为：500(140%10%15%20%)75----=（人)．故选：B ．13．函数()23f x lnx x =+-的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)【答案】A 【详解】()23f x lnx x =+-在(0,)+∞上是增函数，f （1）20=-<，f （2）210ln =+>，f ∴（2）f ⋅（1）0<，根据零点存在性定理，可得函数()23f x lnx x =+-的零点所在区间为(1,2)． 故选：A ．14．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若m α⊂，则m β⊥ B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊂/，m β⊥，则//m α D ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥【答案】C 【详解】不妨设l αβ=，对于A ，若m α⊂且//m l ，则//m β，故A 错误；对于B ，若m ，n 与l 相交且不垂直，交点分别为M ，N ，显然m 与n 不一定垂直，故B 错误；对于C ，若m β⊥，则m α⊂或//m α，又m α⊂/，故//m α，故C 正确； 对于D ，由面面垂直的性质可知当n β⊂时才有n α⊥，故D 错误． 故选：C ．15．已知不等式240x ax ++的解集为R ，则a 的取值范围是( ) A ．[4-，4]B ．(4,4)-C ．(-∞，4][4-，)+∞D ．(-∞，4)(4-⋃，)+∞【答案】见解析【详解】不等式240x ax ++的解集为R ， 所以△24140a =-⨯⨯，解得44a -；所以a 的取值范围是[4-，4]． 故选：A ．16．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是棱11A B 上任意一点，四棱锥S ABCD - 的体积与正方体1111ABCD A B C D -的体积之比为( )A ．12B ．13C ．14D ．不确定【答案】B【详解】由题意可得，1//AA 平面11BDD B ，所以点P 到平面11BDD B 的距离为点A 到平面11BDD B 的距离， 因为AC BD ⊥，1AC BB ⊥，1BD BD B =，BD ，1BB ⊂平面11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B ，设正方体的棱长为a ，则正方体的体积3V a =，四棱锥11P BB D D -的体积为11231111223263BB D D V S AC a a a '=⋅=⨯⨯=，所以1:3V V '=．故四棱锥S ABCD -的体积与正方体1111ABCD A B C D -的体积之比为13．故选：B ．17．一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件A =“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件A 互斥而不互为对立的是( ) A ．都是黑球 B ．恰好有1个黑球 C ．恰好有1个红球 D ．至少有2个红球【答案】B【详解】从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球， 在A 中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故A 错误，在B 中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故B 正确， 在C 中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故C 错误， 在D 中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，是对立事件，故D 错误． 故选：B ．18．某学校高二年级选择“史政地”、“史政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210、90和60．若采用分层抽样的方法从中随机抽取12名学生，则从“史政生”组合中抽取的学生人数为( ) A ．7 B ．6 C ．3 D ．2【答案】C【详解】由题意可知，“史政地”、“电政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210，90和60，故“史政生”所占的比例为90121090604=++，由分层抽样是按比例抽取可得，“史政生”组合中抽取的学生人数为11234⨯=． 故选：C ．19．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+，则λμ-的值为()A ．3B ．2C ．1D ．3-【答案】D【详解】由题意，因为E 为DC 的中点，所以1()2AE AD AC =+，所以2AD AE AC =-，即2AD AC AE =-+，所以1λ=-，2μ=， 所以3λμ-=-；故选：D ． 20．大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡” 2(,11/)Pa Pa N m =，大气压强()p Pa 随海拔高度()h m 的变化规律是10(0.000126)kh p p e k m --==，0p 是海平面大气压强．已知在某高山1A ，2A 两处测得的大气压强分别为1p ，2p ，1212p p =，那么1A ，2A 两处的海拔高度的差约为( )（参考数据：20.693)ln ≈ A ．550m B ．1818m C ．5500m D ．8732m【答案】C【详解】设1A ，2A 两处的海拔高度分别为1h ，2h ， 则12120.0001260.000126()010.0001262012h h h h p e p e p p e---===， 2110.000126()20.6932h h ln ln ∴-==-≈-，得210.69355000.000126h h m -=-=-．1A ∴，2A 两处的海拔高度的差约为5500m ．故选：C ．第二部分 （非选择题 共40分）二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 21．函数()2f x x lgx =-+的定义域是 ． 【答案】(0，2] 【详解】由题意得： 200x x -⎧⎨>⎩，解得：02x <， 故函数的定义域是(0，2]， 故答案为：(0，2]．22．已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置，如图所示，则()a b c +⋅= ．【答案】6【详解】由题意向量(2,1)a =-，(2,2)b =，(1,2)c =，(4,1)a b +=，则()426a b c +⋅=+=． 故答案为：6．23．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 【答案】甲【详解】若甲正确，则乙、丙均错误，故丙是第一名，乙是第二名，甲是第三名，与“甲说：我不是第三名”正确相矛盾， 故甲错误，因此，甲为第三名； 于是乙、丙中必有一人正确，一人错误．若丙错误（则乙正确），即丙是第一名，而甲是第三名，故乙是第二名，与乙正确“我是第三名”矛盾，故丙正确，即丙不是第一名，为第二名； 故答案为：甲．24．设棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E 是AD 中点，点M 、N 分别是棱AB 、11C D 上的动点，给出以下四个结论： ①存在1//EN MC ； ②存在MN ⊥平面1ECC ； ③存在无数个等腰三角形EMN ；④三棱锥C MNE -的体积的取值范围是2[3，4]3．则所有结论正确的序号是 ． 【答案】③④【详解】对于①：取BC 中点P ，当点N 在11D C 上移动时，直线EN ⊂平面11EPC D ， 同时当点M 在直线AB 上移动时1MC ⊂平面11ABC D ， 因为111111EPC D ABC D C D =，故EN 与1MC 不可能平行，①错误．对于②：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，所以(1E ，0，0)，(0C ，2，0)，1(0C ，2，2)， 设(0N ，a ，2)(02)a <<，(2M ，b ，0)(02)b <<， 所以1(1,2,0),(0,0,2),(2,,2)EC CC NM b a =-==--， 设平面1ECC 的法向量为(n x =，y ，)z ，则100n EC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2020x y z -+=⎧⎨=⎩，令1y =，得2x =，0z =，所以(2,1,0)n =，所以40NM n a b ⋅=+-≠，故MN 与平面1ECC 不垂直，②错误．对于③：令||||NE NM =，即222222(10)(0)(02)(20)()(02)a b a -+-+--+-+-，化简得2230b ab -+=，即332,2(0,4),23a b a b b b=+∈+，因为234，所以该式在02a <<，02b <<的范围中存在无数组解， 故说明有无数组a 与b 可使||||NE NM =，故③正确． 对于④：根据等体积性质可知C NME N CME V V --=， 所以该三棱锥高可以看作1CC ，所以体积的取值范围即底面积CME S ∆ 的取值范围， 根据点M 位置的变化可知，当点M 在A 点时CME S ∆最小， 当点M 在B 点时CME S ∆最大，计算得[1CME S ∆∈，2]，11233N CME CME CME V CC S S -∆∆=⋅=，所以24[,]33N CME V -∈，故④正确．故答案为：③④．三．解答题（共4小题，每小题7分，共28分） 25．已知函数1()f x x x=-． （Ⅰ）用函数单调性的定义证明()f x 在区间(0,)+∞上是增函数； （Ⅱ）解不等式1()2f t >． 【答案】见解析【详解】（Ⅰ）证明：任取1x ，2(0,)x ∈+∞，令12x x <， 则1212121212111()()()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=---=-+， 因为1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 所以120x x -<，12110x x +>， 所以12()()0f x f x -<， 即12()()f x f x <，所以()f x 在区间(0,)+∞上是增函数； （Ⅱ）因为1()f x x x=-， 所以1()2f t >， 即112t t ->，整理得2220t t t-->，等价于2(22)0t t t -->，0t <<或t >，所以不等式的解集为，0)⋃，)+∞．26．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，BD DC ⊥，PCD ∆为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）证明：//AP 平面EBD ； （2）证明：BE PC ⊥．【答案】见解析【详解】证明：（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ， 四边形ABCD 为平行四边形，且ACBD O =，O ∴为AC 的中点，又在PAC ∆中，E 为PC 的中点，//AP EO ∴． EO ⊂平面EBD ，AP ⊂/平面EBD ， //AP ∴平面EBD ；（2）平面PCD ⊥平面ABCD ，且平面PCD ⋂平面ABCD DC =， BD DC ⊥，BD ⊂平面ABCD ，BD ∴⊥平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，BD PC ∴⊥，PCD ∆为等边三角形，且E 为PC 的中点，DE PC ∴⊥，又BD DE D =，BD ，DE ⊂平面BDE ，PC ∴⊥平面BDE ，BE ⊂平面BDE ，BE PC ∴⊥．27．已知函数()sin()12f x x π=+．（Ⅰ）求3()4f π，()3f π；（Ⅱ）求()f x 在区间[4π-，2]3π上的最大值和零点． 解：（Ⅰ）335()sin()sin 44126f ππππ=+== ① ；()sin()sin()331264f πππππ=+=+= ； （Ⅱ）因为[4x π∈-，2]3π，所以[126x ππ+∈-，3]4π， 所以当12x π+= ；即x = 时，()f x 取得最大值，为 ；由()0f x =和[126x ππ+∈-，3]4π得012x π+=，12x π=-， 所以()f x 在区间[4π-，2]3π上的零点为 ．【详解】函数()sin()12f x x π=+．（Ⅰ）3351()sin()sin 441262f ππππ=+==；()sin()sin()sin cos cos sin 3312646664f πππππππππ=+=+=+=． （Ⅱ）()sin()12f x x π=+．因为[4x π∈-，2]3π，所以[126x ππ+∈-，3]4π， 所以当122x ππ+=；即512x π=时，()f x 取得最大值，为1； 由()0f x =和[126x ππ+∈-，3]4π得012x π+=，12x π=-，所以()f x 在区间[4π-，2]3π上的零点为12π-． 故答案为：①A ；②B ；③B ；④A ；⑤B ．28．科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I （单位：瓦/平方米）有关．在实际测量时，常用L （单位：分贝）来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I 满足关系式：0(IL a lga I =⋅是常数），其中120110I -=⨯瓦/平方米．如风吹落叶沙沙声的强度11110I -=⨯瓦/平方米，它的强弱等级10L =分贝．（Ⅰ）a = 10 ；（Ⅱ）已知生活中几种声音的强度如表：；（Ⅲ）为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I 的最大值． 【答案】见解析【详解】（Ⅰ）将120110I -=⨯ 瓦/平方米，11110I -=⨯ 瓦/平方米代入0IL a lgI =⋅， 得111211010,10110a lg a a --⨯=⋅==⨯；（Ⅱ）由10121101020110L lg --⨯=⋅=⨯，则20m =；（Ⅲ）由题意知，121050110I L lg-=⋅⨯，解得710I -， 所以I 的最大值为710-瓦/平方米．。
2021年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷01(原卷版)
2021年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷（一）第一部分 选择题（每小题3分，共81分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知全集U =R ，集合2{|340}A x x x =-->，{|0}5x B x x =<-，那么集合()U C A B ⋂=（ ） A. {}14x x -≤≤ B. {}04x x <≤ C. {}05x x << D. {}15x x -≤< 2.在等腰梯形ABCD 中，2AB CD =-.M 为BC 的中点，则AM =（ ） A. 1122AB AD + B.3142AB AD + C. 3144AB AD + D. 1324AB AD + 3.已知直线1l ：40x y --=和直线2l ：280mx y -+=平行，则实数m 的值为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 24.已知幂函数()y f x =的图象过点1(3，则3log (81)f 的值为（ ） A. 12 B. 12- C. 2 D. 2-5.已知幂函数图像经过点(2,8)，则该幂函数的解析式是（ ）A. 3x y =B. x y =C. 3y x =D. y x = 6.若平面α与β的法向量分别是(2,4,3),(1,2,2,)a b =-=-，则平面α与β的位置关系是（ ）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定7.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ） A. 118 B. 19 C. 16 D. 1128.某全日制大学共有学生5600人，其中专科生有1300人，本科生有3000人，研究生有1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取( )人.A. 65,150,65B. 30，150，100C. 93,94,93D. 80,120,809.已知sin -2πα⎛⎫⎪⎝⎭＝35 ，则cos (π＋α)的值为( ) A. 45 B. －45 C. 35 D. －3510.点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值是（ ）A. 1B.C. 2D. 11.已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+，()21d a b λ=+-，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为（ ）A. 1B. 12-C. 1或12-D. －1或12-12.已知直线l 经过()()1,1,2,3A B 两点，则l 的斜率为（）A. 2B. 23C. 43D. 1213.已知直线41x y a b +=()0,0a b >>过点(1,1)，则a b +的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 9 14.函数()2ln f x x x =-的零点所在的区间为（ ） A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)15.下列函数中是偶函数，且在(－∞,0)上单调递增的是（ ）A. ()23f x x = B. ()2x f x =C. ()21log 1f x x =+D. ()1f x x x=- 16.广场上有一盏路灯挂在高9米的电线杆顶上，记电线杆的底部为A ，把路灯看作一个点光源，身高1.5米的女孩站在离A 点5米的点B 处，女孩以5米为半径绕着电线杆走一个圆圈，人影扫过的面积约是（π取3.14）（ ）A. 230.166mB. 231.4mC. 234.54mD. 235.56m 17.如果角α的终边过点(2sin30,2cos30)︒-︒，则sin α的值等于（ ）A. 12B. 12-C. 3-D. 3-18.若将函数()sin 2f x x x =图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ）A. 6πB. 3πC. 512πD. 56π 19.俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039cm 的小洞，则0.000000039用科学记数法可表示为（ ）A. 3.9×10﹣8B. ﹣3.9×10﹣8C. 0.39×10﹣7D. 39×10﹣9 20.设α，β表示平面，l 表示直线，A ，B ，C 表示三个不同的点，给出下列命题：①若∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈，则l α⊂；②若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则AB αβ=；③若l α⊄，∈A l ，则A α∉；④若,,A B C α∈，,,A B C β∈，则α与β重合.其中，正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个21.圆的方程为222100x y x y +++-=，则圆心坐标为（ ）A. (1,－1)B. 1(,1)2-C. (－1,2)D. 1(,1)2-- 22.已知函数21,0()1,0x x x f x a x ->⎧=⎨+≤⎩，若(1)3f -=，则不等式()5f x ≤的解集为（ ）． A.[－2,1] B.[－3,3] C. [－2,2] D. [－2,3]23.已知函数f(x)为奇函数，且当0x >时，()22f x x x=+，则()1f -=（ ） A. －2 B. 2 C. －3D. 324.在△ABC 中，60A ︒=，4AC =，BC =△ABC 的面积为（）A. B. 4 C. D.25.在四棱锥P ﹣ABCD 中，2,2PA PB PC PD AB AD BC CD ========，则四棱锥P ﹣ABCD 的体积为（ ）A. B. C. D. 326.在△ABC 中，90A ∠=，()2,2AB k →=-，()2,3AC →=，则k 的值是（ ）A. 5B. 5-C. 32D. 32- 27.若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对一切实数都有f (2＋x ) ＝ f (2－x )则( ) A. f (2)<f (1)< f (4) B. f (1)<f (2)< f (4)C. f (2)<f (4)< f (1)D. f (4)<f (2)< f (1) 第二部分 解答题（共19分）28.（本小题满分5分）函数()()ππsin 0022ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭，，f x A x A 的部分图象如图所示.（1）求函数f (x )的解析式；（2）若()f x =324x ππ<<，求cos2x . 29.（本小题满分5分） 如图，矩形ACMN 所在平面与菱形ABCD 所在平面互相垂直，交线为AC ，AC BD O =，E 是MN 的中点.（1）求证：//CE 平面NBD ；（2）若点F 在线段CM 上，且OF NO ⊥，求证：NO ⊥平面FBD .30.（本小题满分5分）已知圆C 经过()1,5A -，()5,5B ，()6,2D -三点．（1）求圆C 的标准方程；（2）求经过点()3,2E -且和圆C 相切的直线l 的方程．31.（本小题满分4分）已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠），且()31f =.（1）求a 的值，并写出函数f (x )的定义域；（2）若不等式()()42x x f t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.。
合格性考试 2021北京高中合格考数学(第一次)含答案
（Ⅰ）写出 的值；
（Ⅱ）若待检测的总人数为 ，采用“二分检测方案”，经过 轮共 次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；
A. 0.08B.0.18C. 0.25D. 0.72
14.在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则b＝（）
A. B. C. D.
15.不等式x（x－1）＜0的解集为（）
A. B.
C. 或 D. 或
16.在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，则c＝（）
A. 2B. C. 4D. 6
17.函数 的最大值为（）
参考公式：锥体的体积公式V＝ Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
第一部分（选择题共60分）
一、选择题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知集合 ，则A B＝（）
A. {－1，0，2} B. {0，1，2} C. {－1，0，1}D. {－1，0，1，2}
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
11. sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝（）
A. B. C. D. 1
12.如图，在长方体 中，AB＝AD＝2， ，则四棱锥 的体积为（）
A. 3B.4C. 6D. 9
13.已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则两人都命中的概率为（）
2021北京高中合格考数学
（第一次）
考生须知：
1．考生要认真填写考场号和座位序号．
高中数学学业水平合格性考试模拟试题三 试题
普通高中2021年高中数学学业程度合格性考试模拟试题三本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三局部，一共4页。
时量90分钟，满分是100分一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题4分，一共40分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1.以下几何体中，正视图、侧视图和俯视图都一样的是2.集合M ＝{0，1，2}，N ＝{1，x}，假设M ∩N ＝{1，2}，那么x 的值是3.向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，4)，假设a//b ，那么实数x 的值是C.－2D.－84.a>b ，c>d ，那么以下不等式恒成立的是A.a ＋c>b ＋dB.a ＋d>b ＋cC.a －c>b －dD.a －b>c －d1，A 2，A 3和2个白球B 1，B 2的盒子中，随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率为 A.35 B.510 C.25 D.3106.函数y ＝x(x －a)的图象如下图，那么不等式x(x －a)<0的解集为A.{x|0≤x ≤2}B.{x|0<x<2}C.{x|x ≤0或者x ≥2}D.{x|x<0或者x>2}7.为了得到函数y ＝sin(x －3π)的图象，只需将y ＝sinx 的图象 133π个单位长度133个单位长度 8.函数f(x)＝a x (a>0且a ≠1)，f(1)＝2，那么函数f(x)的解析式是A.f(x)＝4x Bf(x)＝(14)x C.f(x)＝2x D.f(x)＝(12)x 9.如图，长方形的面积为2，将50颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有30颗豆子落在阴影局部内，那么用随机模拟的方法可以估计图中阴影局部的面积为A.23 B.45 C.65 D.43 1：(x －1)2＋y 2＝1上的动点，点Q 是圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，那么线段|PQ|长的最小值为10101010二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题4分，一共20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。
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1
B. 一个棱柱至少有五个面
C. 五棱柱有 5 条侧棱、5 个侧面，侧面为平行四边形
D. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
9. 圆心为(1,－1)且过原点的圆的一般方程是
A. x2 y2 2x 2y 1 0
B. x2 y2 2x 2y 1 0
C. x2 y2 2x 2y 0
B. 0
C. 1
D. 2
22. 已知直线 l，m 与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 l∥m，则必有α∥β
B. 若 l⊥m，则必有α⊥β
C. 若 l⊥β，则必有α⊥β
D. 若α⊥β，则必有 m⊥α
23. 设 m, n 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
C. x-2y=0
D. x-y+1=0
1 cos 2
13.
已知倾斜角为
的直线 l 过定点 (0, 2) ，且与圆 x2
( y 1)2
1
相切，则
cos
2
的值为（ ）
A. 4 2 3
B. 4 2 3
C. 2 3
D. 4 2 或 4 2
3
3
14. 函数 f（x）=（x2+2x）e2x 的图象大致是( )
A. y ln x 1
B. y ln x
C. y x2 x
D. y x3
17. 已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f (x 2) f (x) ，当 x 0,1 时，f (x) 4x 1，
则 f (5.5) 的值为（ ）
A. 2
B. －1
C. 1
D. 1
2
18.
已知
cos
得五鹿.欲以爵次分之，问各得几何.”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代
五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这 5 人分成两组（一组 2
人，一组 3 人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（
1
A.
5
2
B.
5
3
C.
5
）
1
D.
10
25. 如图是某校高三某班甲､乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，若甲、乙两人的平均
A. 3 或
B. 0
3
1
C.
D. 3
3
7. 设 A2，1，B 4，1，则以线段 AB 为直径的圆的方程是（ ）
A. (x 3)2 y2 2
B. (x 3)2 y2 8
C. (x 3)2 y2 2
D. (x 3)2 y2 8
8. 下列关于棱柱的说法中，错误的是（ ） A. 三棱柱的底面为三角形
20. 已知△ABC 中，满足 b 2, B 600 的三角形有两解，则边长 a 的取值范围是（ ）
A 3 a2 2
B. 1 a 2 2
3
C. 2 a 4 3 3
D. 2 a 2 3
21.
已知向量 a
(m,3) ， b
(3,
n)
，若
a
2b
(7,1) ，则 mn （
）
A. －1
中， AB
2 ，C
6
，则
AC
3BC 的最大值为（
）
A. 7
B. 2 7
C. 3 7
1
D. －
2
）
1
D.
3
D. 4 7
6. 已知点 A(2,1) 和点 B 关于直线 l : x y 1 0 对称，斜率为 k 的直线 m 过点 A 交 l 于点
C，若△ABC 的面积为 2，则 k 的值为( )
1
D. x2 y2 2x 2 y 0
10. 与直线 3x 4 y 5 0 关于坐标原点对称的直线方程为（ ）
A. 3x 4 y 5 0
B. 3x 4 y 5 0
C. 3x 4 y 5 0
D. 3x 4 y 5 0
11.Leabharlann 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， OA
6
1 3
，则
sin
2 3
（
）
4
1
5
A.
B.
C.
D.
9
3
9
5 9
19. 在△ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c，若 sin2 A sin2 B sin2 C sin B sin C ，
a 3 ，则△ABC 的外接圆面积为（ ）
A. π
B. 2π
C. 4π
D. 8π
成绩分别是 x1 、 x2 ，则下列判断正确的是（ ）
A. x1 x2 ，甲比乙成绩稳定 B. x1 x2 ，乙比甲成绩稳定
4
C. x1 x2 ，甲比乙成绩稳定
D. x1 x2 ，乙比甲成绩稳定
26.在△ABC
中，
A
90
，
AB
2
k,
2
，
AC
2, 3
，则
k
的值是（
）
A. 5
B. 5
3
C.
2
）
A. ,1 1, B. 2,
C. 2,1 1, D. 1，
3. cos 24cos 36 sin 24cos 54 的值等于( )
A. 0
1
B.
C. 3
2
2
4.
已知
a
1,
0
，
b
2,1
，向量
k
a
b
与
a
3b
平行，则实数
k 的值为（
11
A.
7
B. 11 7
C. 1 3
5.
在△ABC
3 2
,
1 2
，若
OA
绕点
O
逆时针旋转
60°
得到向量 OB ，则 OB （ ）
A. (0,1)
C.
3 2
,
1 2
B. (1,0)
D.
1 2
,
3 2
12. 已知直线 l 过点（1，2），且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等的直线方程不可以 是下列（ ）选项.
A. 2x-y=0
B. x+y=3
2021 年北京市普通高中学业水平合格性考 试数学仿真模拟卷（三）
第一部分 选择题（每小题 3 分，共 81 分） 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1. 集合 A x Z 2 x 2 的子集个数为（ ）
A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
2. 函数 f x
x
2
1 x 1
的定义域是（
2
A.
B.
C.
D.
15. 在平面直角坐标系 xOy 中，将点 A(2,1) 绕原点 O 逆时针旋转 90°到点 B，设直线 OB 与 x 轴正半轴所成的最小正角为 ，则 sin 等于（ ）
A. 2 5 5
B. 5 5
C. 5 5
D. 2 5 5
16. 下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数的是（ ）
A. 若 m / / , n 且 ，则 m n
B. 若 m , n 且 m n ，则
C. 若 , m / /n 且 n ，则 m / /
D. 若 m , n 且 m // n ，则 / /
24. 《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎
D. 3 2
27. 在一组样本数据中，1，4，m，n 出现的频率分别为 0.1，0.1，0.4，0.4，且样本平均值