2.4.2平面向量数量积的坐标表示,模,夹角(公开课课件)

变式:已知∆ABC为直角三角形， uu r uu r ° ∠C = 90 , AB=(1,3), AC=(2,k),求k值？ 解： uu uu uu uu r r r r o 若∠C = 90 ，则CA ⊥ CB, CA ∴ CB=0, -2×(−1)+(-k)(3-k)=0, ∴k=1或2.
练习
（4）垂直 a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ） r r r rr 设 a = (x1, y1), b = (x2 , y2 ),(a ≠ 0, b ≠ 0)则
r r a ⊥ b ⇔ x1x2 + y1 y2 = 0
) θ，若 a = (x1, y1), b = (x2 , y2那么 ， cosθ如何用坐 标表示？ 如何用坐 标表示？
(2)设 A x1, y1)、B(x2 , y2 ), 设 （ 则
uuu r 2 2 AB = （x2 − x1) + y2 − y1) （
（3）平行 ）
r r 设 a = x , y1), b = (x2 , y2 ), 则 （1 1 1 2 2 r r r r a / /b ⇔ x1 y2 − x2 y1 = 0,(b ≠ 0) 1 2 2 1
rr (5)设 a, b是两个非零向量，其夹角为 设 r 是两个非零向量， r
rr a b cosθ = r r = ab
x1x2 + y1 y2 x +y
2 1 2 1
x +y
2 2
2 2
例题讲解
例1：设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a·b及a、b间的 ： 求 及 、 间的 夹角θ(精确到 精确到1° 夹角 精确到 °) 解 a·b = 5×(-6)+(-7) ×(-4) = -30+28 = -2
小结
r r r r r r a ⋅ b = (x1i + y1 j ) ⋅ (x2i + y2 j )
= x1x2 + y1 y2
r r 2 2 2 2 a = x1 + y1 , b = x2 + y2 .
A、B两点间的距离公式:已知 A(x1, y1), B(x2 , y2 ),
AB = (x2 − x1) + ( y2 − y1) ,
(
)
知三角形函 数值求角时, 应注重角的 范围的确定
又0≤θ≤π
∴θ =
π
4
练习 已知a＝(３,４),b＝(４,３),求x，y的值使 ＝ ３４ ＝ ４３ 求 (xa+yb)⊥a,且｜xa+yb｜=1. 且 ｜
24 24 x = 35 x = − 35 和 y = − 5 y = 5 7 7
2 2
小结
cosθ =
x1x2 + y1 y2 x +y ⋅ x +y
2 1 2 1 2 2 2 2
a ⊥ b ⇔ x1x2 + y1y2 = 0
a // b ⇔x1y2 − x2 y1 = 0
2.向量的坐标运算沟通了向量与解析几 2.向量的坐标运算沟通了向量与解析几 何的内在联系，解析几何中与角度、 何的内在联系，解析几何中与角度、距 平行、垂直有关的问题， 离、平行、垂直有关的问题，可以考虑 用向量方法来解决. 用向量方法来解决.
探究（ 探究（一）：平面向量数量积的坐标表示
r r 1 i ⋅i = r r j ⋅r = j 1 r 0 i⋅ j =
r r r 则:a = x1i + y1 j,
y b a j o i x
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 已知两个非零向量 怎样用a与 的坐标表示 的坐标表示a·b? 怎样用 与b的坐标表示
练习
已知a = (2m − 1,2 + m ), 若 a ≤ 10 , 则m的取值 范围为[ B ]
A. (− 1,1) C. − 2 , 2 B. [− 1,1]
(
)
D. (- ∞,-1) U (1,+∞ )
练习
已知a = 1, 3 , b =
(
) (
3 + 1, 3 − 1 , 则a与b的夹角是多少？
a = 5 + 7 = 74 , b = (− 6 ) + (− 4 ) = 52 −2 cos θ = ≈ −0.03 74 × 52
2 2
2 2
θ ≈ 1.6rad = 92
o
r r 例2：已知向量 a = (1,2), b = (x,1).
r r r r （1） 当 a + 2b与 a − b平行时,求x? r r 2r r 2 （2） 当 a + 2b与 a − b垂直时,求x? r r r r 解： + 2br= (1 + 2 x, 4), 2ar− b = (2 − x,3) a r r 则 (1)若a + 2b与2a − b平行， 1 3(1 + 2 x) − 4(2 − x) = 0, 得x = 2 r r r r 则 (2)若a + 2b与 a − b垂直， 2
)
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及|a||b|，再结合夹 ， ， 角θ的范围确定其值. 0≤θ≤π
解 a = (1, 3 ), b = ( 3 + 1, 3 − 1)
a • b = 3 +1 + 3 3 −1 = 4 a = 2, b = 2 2
记a与b的夹角为θ
cos θ = a•b 2 = ab 2
3.平面向量的表示方法有几何法和坐标 3.平面向量的表示方法有几何法和坐标 向量的坐标表示，对向量的加、 法，向量的坐标表示，对向量的加、减、 数乘运算带来了很大的方便. 数乘运算带来了很大的方便.若已知向量 a与b的坐标，则其数量积是唯一确定的， 的坐标， 与 的坐标 则其数量积是唯一确定的， 因此， 因此，如何用坐标表示向量的数量积就 成为我们需要研究的课题. 成为我们需要研究的课题.
一复习引入
→ →
1.非零向量a 与b的数量积的定义是什么？ 几何意义是什么？
→→ → → r r a =| a || b | cosθ, 其中θ是a 与b的夹角 b
r b
o r
θபைடு நூலகம்
B
| b | cosθ
B 1
→
a
A
2.平面向量的数量积满足的运算律？ 2.平面向量的数量积满足的运算律？ 平面向量的数量积满足的运算律 （1）a·b＝b·a； （2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； （3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c； 3.设向量 与b都是非零向量，则 3.设向量a与 都是非零向量， 设向量 r 都是非零向量 r r r (1) a ⊥ b ⇔ a b = 0; r r r 2 r r r ( 2 ) a a = a 或 a = a a ; r r r r (3) a b ≤ a b .
r r r b = x2i + y2 j
r r r r r r a ⋅ b = (x1i + y1 j) ⋅ (x2 i + y2 j) r2 rr rr r2 = x1x2 i + x1 y2 i ⋅ j + x2 y1i ⋅ j + y1 y2 j r2 r r r2 因 i =1 i ⋅ j = 0, j =1 为 ,
7 (1+ 2x)(2 − x) + 4⋅ 3 = 0, 得x=-2或 2
r r 例3 (1) 已知a = (−1, 3), b = (1,1), r r a与的夹角θ, 求cosθ b
r r a⋅b 6− 2 cosθ = r r = . 4 ab
变式： ，－2) 变式：已知向量 a＝(λ，－2)， ＝(λ，－2)， b＝(－3，5)，若向量 与b的夹角为钝 5)，若向量a ＝ 的夹角为钝 的取值范围. 角，求λ的取值范围.
→
→
→
→
→
变式： 变式：已知向量 a = (2, −3), b = (x,2x),
4 且a = , 则x= b 3
1 3
探究（ 探究（二）：向量的模和夹角的坐标表示
r r r2 r r r a⋅ a = a 或 a = a⋅ a ；
(1)向量的模 向量的模
→
r2 2 2 r 设 a = (x, y), 则 a = x + y , 或 a = x2 + y2
积是否为零, 积是否为零, 证明:QAB = (2是判断相应 = (1,1) −1,3 − 2) 的两条线段 AC = (−2或直线是否 (−3,3) −1,5 − 2) = 垂直的重要 方法之一 ∴AB⋅ AC =1×(−3) +1×3 = 0
∴AB⊥ AC
x 0
∴∆ABC是直角三角形 .
思考： 思考：还有 其他证明方 法吗？ 法吗？
已知i=(1,0),j=(0,1),与2i+j垂直的向量是[ B ]
A. 2i-j C. 2i+j
B . i-2j D . i+2j
已知a=(λ,2),b=(-3,5),且a和b的夹角是钝角,则λ的 范围是[ ] A
10 A. λ > 3 10 C. λ < 3 10 B. λ ≥ 3 10 D. λ ≤ 3
10 6 6 (, ) U( , + ) 3 5 5
已知A(1 2)，B(2，3)，C(- 5)， A(1， 例4 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)， 试判断∆ABC的形状 并给出证明. 的形状， 试判断∆ABC的形状，并给出证明. 向量的数量
y C(-2,5)
B(2,3) A(1,2)
作业
课本第121页习题2.4A组题6,7,8
r r 所 a ⋅ b = x1x2 + y1 y2 以
两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和. 乘积的和
练习1： 练习 ：已知向量 a = (3, −1), b =(1,-2) 求:(1) a b
→ →
→
→
→ →
(2) (a+ b) a− b) (
→ →
→
→
a = 5 b
→
→ →
(a+ b) a− b) = 5 (