高数第七章(11)差分方程的概念.
差分方程模型的基本概念
预测经济趋势
通过建立差分方程模型，可以对 未来的经济趋势进行预测，帮助 决策者制定相应的经济政策。
评估经济政策
差分方程模型可以用来评估不同 经济政策的实施效果，为政策制 定者提供参考依据。
在物理学中的应用
描述振动现象
差分方程模型可以用来描述物体的振动规律，如弹簧振荡、单摆 等。
预Байду номын сангаас波动传播
在声学和波动理论中，差分方程模型可以用来描述波动传播的规 律，如声波、电磁波等。
可以采用动态模型来反映数据的变化趋势，减少时间滞后的影 响。
可以利用大数据技术来处理大规模的数据集，提高模型的预测 精度和稳定性。
可以尝试优化参数估计方法，例如采用全局优化算法或贝叶斯 推断等方法，以提高参数估计的准确性和稳定性。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
Python
使用Python的数值计算库，如NumPy和 SciPy，求解差分方程。
Mathematica
使用Mathematica的符号计算和数值计算功 能求解差分方程。
04 差分方程模型的应用
在经济学中的应用
描述经济周期
差分方程模型可以用来描述经济 活动的周期性变化，如经济增长、 通货膨胀、就业率等的时间序列 数据。
差分方程简介
k (1) Cn y x nk k 0 n k
,
!n ! ) k n ( !k
k n
C中 其 且规定0 yx yx f ( x)
由定义知， y f ( x)的n阶差分 是f ( x n), f ( x n 1),...f ( x 1), f ( x) 的线形组合，
(3)（ayx bzx） ayx bz x
(4)（yx zx） yx1zx zx yx yx zx zx1yx
yx z x y x y x z x (5)( ) (其中z x 0) zx z x z x1
二、差分方程
定义2 含有自变量，未知函数及未知函数差 分的方程，称为差分方程，其一般形式为
yx1 yx yx
yxn yx C yx C y ... C y yx
n
n1 n1 n x
C yx
k 0 k n k
n
由定义容易证明，差分具有以下性质
(1)(c) o(c为常数)
(2)（cyx） cyx (c为常数)
y x5 y x3 4 y x 2 y x e x 是五阶差分方程， 因为（x 5） x 5;
方程3 y x yx 1 0可转化为yx 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0， 因而是2阶差分方程
定义4 如果某个函数代入差分方程后能使差分方程 成为恒等式，则称此函数为该差分方程的解。
反之函数y f ( x)的各个函数值也可以 用y x f ( x)和它的各阶差分式表示 。即
差分方程
第七节 差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们称这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y .例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
高数第七章(11)差分方程的概念.
2.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构
定理 3 设 yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分方程
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f x 2
的一个特解, Yx 是与(2)对应的齐次方程(1)的通
解, 那么 yx Yx yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分
方程(2)的通解.
7.P(t ) 1 1 ,Q(t ) (1 1)2t
t
t
D. yx 2 yx1 3 yx2 4
解 由差分方程的定义有：A, D是差分方程.
B的 左 端
3yx
3( yx1
yx )
3 yx1
3
y
，
x
则 等 式 实 为 3 yx1 a x， 仅 含 一 个 时 期 的 函 数
值y
x
，
1
故
不
是
差
分
方
程.而C的
左
端2
yx
( yx1
yx)
yx1 yx
yx2
yx1 zx1 yx zx yx1 zx1 yx zx1 yx zx1 yx zx
yx1 yx zx1 yx zx1 zx
z x1Δ y x y xΔ z x
又证明（3）
yx zx
yx1 zx1 yx zx yx1 zx1 yx1 zx yx1 zx yx zx
解 ， 求 常 数α ，β .
7、 已 知y1 (t ) 2t , y2 (t ) 2t 3t是 方 程yt1 P(t ) yt Q(t ) 的 两 个 特 解 ， 求P(t)，Q(t)．
练习题答案
1.a x (a 1);2.2;3.C;4.C;
6.(1)α
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
高考数学中的差分方程及相关概念
高考数学中的差分方程及相关概念在高中数学中，我们学习了许多数学知识，其中差分方程是一个比较重要的概念，在高考中也经常出现。
那么差分方程是什么？有什么用处呢？一、什么是差分方程差分方程，也叫离散微积分方程，是指用有限差分代替导数的微分方程，其本质是一种递推式。
差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n], y[n-1], ... , y[n-k])，其中y[n]是第n个离散点的函数值，y[n-k]是第n-k个离散点的函数值。
差分方程是一种离散的动态系统，可以用来描述各种离散事件的演化。
它广泛应用于数学、物理、工程、经济等领域中各种动态系统的建模与分析。
二、差分方程的分类根据差分方程的阶数及系数对n的依赖关系，差分方程可以分为以下几类：1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为y[n+1] = ay[n] + b，其中a和b 是常数。
这种差分方程的解可以用递推公式y[n] = ay[n-1] + b求得。
2.二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为y[n+2] + ay[n+1] + by[n] = f[n]，其中a、b是常数，f[n]是已知函数。
这种差分方程的解可以用特征根法或借助于已知解求得通解。
3.非线性差分方程非线性差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n])，其中f(y[n])是非线性函数。
这种差分方程的解一般需要运用迭代法或数值解法求解。
三、差分方程的应用差分方程是一种用来描述具有离散状态的系统演化的工具，它在许多领域中都有着广泛的应用，例如：1.物理学差分方程在物理学中应用广泛，例如：在天体物理学中，用差分方程描述行星运动的轨迹、研究宇宙星系的演化等；在量子力学中，用差分方程描述粒子的运动状态等。
2.经济学差分方程在经济学中也有着广泛的应用，例如：在货币政策分析中，用差分方程描述货币供应量、利率与物价水平等的变化；在经济增长模型中，用差分方程描述经济增长的变化趋势等。
差分方程基本概念和方法
差分方程基本概念和方法考察定义在整数集上的函数，(),,2,1,0,1,2,n x f n n ==--函数()n x f n =在n 时刻的一阶差分定义为：1(1)()n n n x x x f n f n ∆+=-=+-函数()n x f n =在n 时刻的二阶差分定义为一阶差分的差分：21212n n n n n n x x x x x x ∆∆∆+++=-=-+同理可依次定义k 阶差分k n x ∆定义1．含有自变量n ,未知函数n x 以及n x 的差分2,,n n x x ∆∆的函数方程, 称为常差分方程，简称为差分方程。
出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。
k 阶差分方程的一般形式为(,,,,)0k n n n F n x x x ∆∆=其中(,,,,)k n n n F n x x x ∆∆为,,,k n n n n x x x ∆∆的已知函数，且至少k n x ∆要在式中出现。
定义2．含有自变量n 和两个或两个以上函数值1,,n n x x +的函数方程，称为（常）差分方程，出现在差分方程中的未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。
k 阶差分方程的一般形式为1(,,,,)0n n n k F n x x x ++=其中1(,,,,)n n n k F n x x x ++为1,,,n n n k n x x x ++的已知函数，且n x 和n k x +要在式中一定要出现。
定义3．如果将已知函数()n x n ϕ=代入上述差分方程，使其对0,1,2,n =成为恒等式，则称()n x n ϕ=为差分方程的解。
如果差分方程的解中含有k 个独立的任意常数，则称这样的解为差分方程的通解，而通解中给任意常数以确定值的解，称为差分方程的特解。
例如： 设二阶差分方程 21n n n F F F ++=+，可以验证12nnn F c c =+⎝⎭⎝⎭是其通解，其满足条件121F F ==的特解为：n n n F ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦。
差分方程的定义
差分方程的定义差分方程的定义差分方程是一种数学方程，用于描述离散化的动态系统。
它可以被视为微分方程的离散版本，通常用于模拟和预测离散时间下的自然现象和工程问题。
一、差分方程的基本概念1.1 差分方程的定义差分方程是一种数学方程，描述一个序列在相邻时间点之间如何变化。
它通常采用递推公式表示，其中当前时刻的值是前一时刻值和其他参数的函数。
1.2 差分方程的分类根据差分方程中所涉及到变量的类型，可以将其分类为一阶差分方程、二阶差分方程等。
此外，还可以根据其递推公式中所包含的项数进行分类。
1.3 差分运算符在差分方程中，通常使用差分运算符来表示序列在相邻时间点之间发生了什么变化。
最常见的两个运算符是前向差分运算符和后向差分运算符。
二、解差分方程2.1 差分方程求解方法求解差分方程需要使用递推法或转换法等方法。
其中递推法是最基本也是最常见的方法，它通过逐个计算序列中每个时间点的值来得到整个序列的解。
2.2 初始条件和边界条件在求解差分方程时，需要给出初始条件和边界条件。
初始条件是指序列在起始时刻的值，而边界条件则是指序列在某些时间点上的限制。
三、应用领域3.1 差分方程在物理学中的应用差分方程广泛应用于物理学中，例如描述运动物体的速度、加速度等问题。
此外，在热力学和电磁学等领域也有广泛的应用。
3.2 差分方程在经济学中的应用差分方程在经济学中也有广泛的应用，例如描述市场需求和供给之间的关系、货币政策对通货膨胀率的影响等问题。
3.3 差分方程在工程学中的应用差分方程在工程学中也有广泛的应用，例如描述机器人运动轨迹、控制系统稳定性等问题。
四、总结差分方程是一种重要的数学工具，在模拟和预测离散时间下自然现象和工程问题时具有重要作用。
其基本概念包括差分方程定义、分类以及差分运算符等。
求解差分方程需要使用递推法或转换法等方法，并给出初始条件和边界条件。
差分方程在物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。
差分方程基本概念和方法
差分方程基本概念和方法差分方程是一种描述离散系统行为的数学模型，与微分方程类似。
差分方程的解描述了系统的演化过程，这使得差分方程在多个领域中有广泛的应用，如物理、生物、经济学等。
差分方程的基本概念：1.序列：差分方程的解是一个序列，即有序数字集合。
通常用{x_n}表示，其中n是自然数。
2.差分算子：在差分方程中，通常使用差分算子△来表示序列的递推关系。
差分算子△的作用是将序列中的元素转化为下一个元素。
3.初始条件：差分方程还需要初始条件。
初始条件是差分方程的一个边界条件，用来确定序列的起点。
差分方程的一般形式为：x_{n+1}=f(x_n)其中，x_{n+1}是序列中的下一个元素，f是一个给定的函数。
差分方程的解法可以分为两种方法：定解条件法和递推法。
1.定解条件法：此方法适用于已知一些递推关系的问题。
定解条件法的基本思想是找到满足差分方程的序列，并给出初始条件来解决方程。
步骤如下：a.先猜测一个可能的递推关系，并将其代入差分方程中。
b.解得的递推关系与给定的初始条件进行比较，如果相符，则该递推关系为差分方程的解。
c.如果猜测的递推关系与初始条件不符，可以再次猜测一个新的递推关系，继续以上步骤，直到找到满足条件的递推关系。
2.递推法：此方法适用于无法直接找到递推关系的情况。
递推法的基本思想是通过已知的序列元素来逐步计算下一个元素，以构造出满足差分方程的序列。
步骤如下：a.给出初始条件，即序列的前几项。
b.根据初始条件计算出序列的下一项，再利用这一项计算出下下一项，以此类推。
c.最终得到满足差分方程的序列。
需要注意的是，差分方程的解不一定存在，且可能存在多个解。
此外，解的形式可能是递推公式、闭式公式或者一个序列。
总之，差分方程是一种离散系统行为的数学模型，差分方程的解描述了系统的演化过程。
通过定解条件法和递推法，我们可以解决差分方程问题并得到满足条件的解。
差分方程课件
例3 求 yt t 2 3t 的差分.
解 由差分的运算性质，有
yt (t 3 ) 3 t (t 1) (3 )
2 t t 2 2 t
3 (2t 1) (t 1) 2 3 3 (2t 6t 3)
t 2 t t 2
.
1 差分方程的概念
差分满足以下性质： （1） （2） （3）
(Cyt ) Cyt (C为常数)
（yt zt ) yt zt
（yt zt ) zt yt yt 1zt
yt zt yt yt zt ( zt 0) （4） （ ) zt zt 1 zt
引例1： Fibonacci （斐波那契）数列
问题 13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一 个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份
幼兔 成兔
0
1 0
1
引例2：日常的经济问题中的差分方程模型
1）. 银行存款与利率 假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, …, an,… 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型 是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,…
yt t
( n)
t (t 1)(t 2) (t n 1) ，则
yt (t 1)( n) t ( n) (t 1)t (t 1) (t 1 n 1)
高等数学中的差分方程相关知识点详解
高等数学中的差分方程相关知识点详解在高等数学中，差分方程是一个非常重要的数学工具，它被广泛应用于各种科学领域，如物理、化学、工程学等。
差分方程与微分方程不同，在处理离散数据时更加方便，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
接下来，我们将详细介绍差分方程的相关知识点。
1.差分方程的定义差分方程是一种用递推关系式描述离散变量间数值关系的数学工具，通常表示为：$a_n=F(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k})$其中，$a_n$表示一个数列的第$n$项，$k$为正整数，$F$为给定的函数。
差分方程起始值$a_0,a_1,...,a_{k-1}$也是给定的。
2.差分方程的求解方法求解差分方程的过程与求解微分方程的过程类似，需要先求出差分方程的通解，然后根据初始条件得到特解。
（1）求通解对于一个$k$阶差分方程，我们可以猜测一个$k$次线性递推数列$\{b_n\}$，即$b_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n$，其中$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$是$k$个根。
将猜测的线性递推数列带入差分方程中得到：$c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n=F(c_1\la mbda_1^{n-1}+c_2\lambda_2^{n-1}+...+c_k\lambda_k^{n-1},c_1\lambda_1^{n-2}+c_2\lambda_2^{n-2}+...+c_k\lambda_k^{n-2},...,c_1\lambda_1^{n-k}+c_2\lambda_2^{n-k}+...+c_k\lambda_k^{n-k})$整理得到：$c_1(\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k}))+c_2(\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k}))+...+c_k(\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k}))=0$由于$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，因此需要使方程的每个系数都等于$0$，也就是：$\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k})=0$$\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k})=0$...$\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k})=0$将上述$k$个方程写成矩阵的形式，即可解得$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$。
差分方程pdf
差分方程pdf差分方程是数学中的一种重要概念，广泛应用于各个领域，如物理学、经济学、生物学等。
本文将从引言概述、正文内容和总结三个部分来详细阐述差分方程的相关知识。
引言概述：差分方程是一种离散形式的微分方程，它描述了变量之间的差异或变化率。
与微分方程相比，差分方程更适用于描述离散的变化过程。
差分方程通常以递推关系的形式表示，其中每个变量的值都依赖于前面的一个或多个变量的值。
差分方程的解可以通过递推关系逐步计算得到。
正文内容：1. 概念与分类1.1 差分方程的概念差分方程是一种数学方程，它描述了变量之间的离散关系。
差分方程通常用于描述离散的时间或空间中的变化过程，而微分方程则用于描述连续的变化过程。
1.2 差分方程的分类差分方程可以分为线性差分方程和非线性差分方程两类。
线性差分方程中的未知函数及其导数或高阶导数之间的关系是线性的，而非线性差分方程则不满足这一条件。
2. 解法与性质2.1 差分方程的解法差分方程的解可以通过递推关系逐步计算得到。
常见的解法包括特征根法、变量分离法、Z变换法等。
其中，特征根法适用于线性差分方程，而变量分离法和Z 变换法适用于一般的差分方程。
2.2 差分方程的稳定性差分方程的稳定性是指解的性质是否随着时间的推移而趋于稳定。
稳定性分为有界稳定和渐近稳定两种情况，其中有界稳定是指解的值在某个有界区间内波动，而渐近稳定是指解的值随着时间的推移趋于某个固定值。
2.3 差分方程的周期性差分方程的周期性是指解在某个时间间隔内重复出现相同的模式。
周期性可以通过解的性质和递推关系的周期性来判断。
3. 应用领域3.1 物理学中的应用差分方程在物理学中广泛应用于描述离散的物理过程，如粒子运动、电路分析等。
通过建立差分方程模型，可以对物理系统的变化进行预测和分析。
3.2 经济学中的应用差分方程在经济学中常用于描述经济系统的变化过程，如经济增长、通货膨胀等。
通过差分方程模型，可以对经济系统的发展趋势和影响因素进行研究。
差分方程的概念
微积分Calculus差分方程的概念一差分的概念1定义()y f x =的增量1x x xy y y +∆=− 称为函数()y f x =在点x 的一阶差分，x y ∆记为。
当自变量从变到时，函数x 1x + (1)x a a =−()(1)n n nx x x ∆=+-分别求()x a ∆与()n x ∆由定义知：1()x x xa a a +∆=-例解2()0c ∆= （1）（为常数）c ()x x cy c y ∆=∆（为常数）c （2）由定义容易证明，差分具有以下性质：()x x x x ay bz a y b z ∆+=∆+∆（3）（为常数）,a b 11()x x x x x x x x x y z y z z y y z z y ++∆=∆+∆=∆+∆（4）1()(0)x x x x xx x x x y z y y z z z z z +⋅∆−⋅∆∆=≠⋅（5）113[cos(1)cos ]cos (33)x x x x x x ++=+−+−13cos(1)3cos x x x x+=+−求的一阶差分3cos x y x =(3cos )xx y x ∆=∆13(cos )cos 3x xx x +=∆+⋅∆按照差分的定义，我们可以继续求二阶及其它各阶差分。
例解二阶差分：x x x x y y y y ∆−∆=∆∆=∆+12)()(112x x x x y y y y −−−=+++x x x y y y +−=++122xx x x y y y y 21223)(∆−∆=∆∆=∆+三阶差分：32(2)x x x y y y ++=−+xx x x y y y y −+−=+++1233321(2)x x x y y y ++−−+反之x x x y y y ∆+=+1x x x x y y y y 222∆+∆+=+xx x x x y y y y y 32333∆+∆+∆+=+22x =−2()x x y y ∆=∆∆(22)x =∆−2()(2)2x =∆−∆=32()x x y y ∆=∆∆0312+−+=x 已知231y x x =−+，求x y ∆2x y ∆3和2()3()(1)x y x x ∆=∆−∆+∆(2)0=∆=例解二差分方程的概念含有自变量、未知函数及未知函数差分的方程称为差分方程。
差分方程详解
差分方程百科内容来自于:差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。
基本概念一、差分的概念设函数yt=f(t)在t=…，-2，-1，0，1，2，…处有定义,对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。
依此定义类推，有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)，Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，………………一阶差分的性质(1) 若yt=C(C为常数)，则Dyt=0；(2) 对于任意常数k，D(kyt)=kDyt；(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。
函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．依此定义类推，有D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3-Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，………………类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt，D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1，………………一般地,k阶差分(k为正整数)定义为这里二、差分方程含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt，D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。
n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，Dyt，…，Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…，Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。
含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。
差分方程简介
它的通解是 y x Cx A （ A 是任何实常数）. ( 3) y x Pn1 ( x ) ( n 1次多项式) 通解 y x Pn ( x ) ( n次多项式 ）
４ ｎ y x ０
通解 y x是n 1次多项式.
二、一阶常系数线性差分方程
形如： y x 1 ay x f ( x ) 齐次方程： y x 1 ay x 0
y x ( x 2 ) ( x 1)2 x 2 2 x 1
2 y x 2 ( x 2 ) (2 x 1) 2( x 1) 1 ( 2 x 1) 2
3 y x ( 2 y x ) ( 2) 2 2 0
x n x( x 1)( x 2)( x n 1) , x 0 1
例2 设 求 x n
解： x n ( x 1)n x n
( x 1) x( x 1)( x 1 n 1) x( x 1)( x n 1) [( x 1) ( x n 1)]x( x 1)( x n 2) nx n1
2. 差分方程 有某种商品 t 时期的供给量St与需求 一个例子： 量Dt都是这一时期价格Pt 的线性函数：
St a bPt (a , b 0) , Dt c dPt (c, d 0)
设 t 时期的价格Pt由 t –1时期的价格 Pt 1与供给量 及需求量之差 St 1 Dt 1 按如下关系确定.
Pt Pt 1 ( St 1 Dt 1 )
（ 为常数），
即
Pt [1 (b d )]Pt 1 (a c )
这样的方程就是差分方程.
差分方程的概念与定义
差分方程的概念与定义差分方程是一种描述离散时间变量之间关系的数学方程，它在许多领域中发挥着重要作用，如物理学、经济学、生物学和工程学等。
差分方程的研究不仅有助于了解系统的动态行为，还可以预测未来的趋势和进行系统的控制和优化。
差分方程的定义可以理解为，给定一个递推序列{x_n}，其中n表示时间的离散变量，差分方程描述了序列中相邻两个时间点的关系。
一般来说，差分方程可以表示为：x_{n+1}=f(n,x_n)其中x_{n+1}表示下一个时间点的值，f(n,x_n)是一个给定的函数，描述了当前时间点和上一个时间点之间的关系。
这个函数可以是线性的、非线性的、离散的或连续的，具体取决于问题的特性和所研究系统的动态行为。
差分方程有两种常见的形式：一阶差分方程和高阶差分方程。
一阶差分方程是指只涉及到一个变量的差分方程，通常可以表示为：x_{n+1}=f(n,x_n)这种形式的差分方程描述了序列中每个时间点的值如何由前一个时间点的值计算而得。
高阶差分方程涉及到多个变量，可以表示为：x_{n+k}=f(n,x_n,x_{n-1},...,x_{n-k+1})这种形式的差分方程描述了序列中每个时间点的值如何由前面k个时间点的值计算而得。
高阶差分方程通常用于描述更复杂的系统，其中多个变量之间存在相互作用和依赖关系。
差分方程的解可以通过迭代和递推来获得。
给定一个初始条件x_0，根据差分方程的定义，我们可以通过递推计算出序列中的其他时间点的值。
这种递推计算可以用来分析系统的长期行为和稳定性，预测未来的发展趋势，并进行系统的控制和优化。
差分方程是离散时间系统的重要数学工具，它可以描述和分析许多实际问题。
例如，在经济学中，差分方程可以用来描述经济变量之间的关系，如消费、投资和就业等。
在物理学中，差分方程可以用来描述粒子在离散时间点上的位置和速度的变化。
在生物学中，差分方程可以用来描述种群数量的变化和生物进化等现象。
总之，差分方程的概念与定义为我们研究和理解离散时间系统的动态行为提供了重要的数学工具。
高数 差分方程
高数差分方程1. 差分方程的概念差分方程是一种数学表达式，用于描述数列中相邻项之间的关系。
它通过将连续的变量按照某个固定的差值进行离散化，从而将微分方程转化为离散的数学问题。
差分方程广泛应用于控制系统、金融模型、生物学、物理学等领域。
差分方程一般形式为：y[n] = f(y[n-1], y[n-2], ..., y[n-k])其中 y[n] 代表第 n 项的值，k 是差分方程的阶数。
2. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程是指阶数为1 的差分方程。
一般形式为：y[n] = a * y[n-1] + b其中 a 和 b 是常数，y[n-1] 是第 n-1 项的值。
例如，给定一个一阶线性差分方程 y[n] = 2 * y[n-1] + 3，已知初始条件 y[0] = 1，我们可以通过递推求解该差分方程。
首先代入初始条件，得到 y[1] = 2 * y[0] + 3 = 2 * 1 + 3 = 5。
然后再代入 y[1]，得到 y[2] = 2 * y[1] + 3 = 2 * 5 + 3 = 13。
继续进行递推，我们可以得到 y[3]、y[4]、y[5] 等等。
3. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程是指阶数为2 的差分方程。
一般形式为：y[n] = a * y[n-1] + b * y[n-2] + c其中 a、b 和 c 是常数，y[n-1] 和 y[n-2] 分别是第 n-1、n-2 项的值。
同样以一个例子来说明，给定一个二阶线性差分方程 y[n]= 2 * y[n-1] + 3 * y[n-2] + 1，已知初始条件 y[0] = 1 和 y[1] = 2。
首先代入初始条件，得到 y[2] = 2 * y[1] + 3 * y[0] + 1 = 2 *2 +3 * 1 + 1 = 9。
然后再代入 y[1] 和 y[2]，得到 y[3] = 2 * y[2] + 3 * y[1] + 1= 2 * 9 + 3 * 2 + 1 = 24。
差分方程的
差分方程的
差分方程是数学中一个重要的概念，它是描述通过求解数学模型和实验推断特定物理系统的方法。
差分方程可以用来表示和求解科学问题中出现的变化，它可以更有效地分析系统中的问题。
因此，对于很多科学家来说，差分方程在实际应用中是十分重要的。
差分方程的定义是一个线性的，无穷维的常微分方程，可以用一系列有限的差分运算来描述某个物理系统的特性，它可以把类比模型转换为数学模型，帮助理解多变量之间的关系，从而对系统进行分析。
差分方程有着广泛的应用，例如建模金融、天气、投资等问题，用差分方程可以更精确的模拟和分析其中的复杂变化以及其他细节
问题。
在生物学和医学方面，差分方程也有很多应用。
例如，差分方程可以用来模拟神经元的传导性活动，以及脑海的秩序性连接，其目的是为了探寻对人脑结构的影响。
此外，差分方程在机器学习中也有广泛的应用，例如强化学习，它可以将机器学习任务转换为一系列差分方程，使机器学习者能够更深入地理解机器学习任务，以实现较高的性能。
由于差分方程可以更好地理解和描述实际系统，使科学家能够对复杂的系统进行更有效的研究和分析，因此，它在众多科学领域有着广泛的应用。
差分方程的应用非常广泛，它们可以帮助我们更好地理解世界，从而更好地处理和解决工程问题。
总之，差分方程是数学的一个重要概念，它的应用非常广泛，可以更有效地分析系统中的问题。
差分方程可以用来描述系统变化，帮
助人们更好地探索现实问题，从而更好地处理和解决问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高阶差分：二阶及二阶以上的差分.
例 1 求( x2 ), 2 ( x2 ), 3 ( x2 ).
解 设y x 2，则
yx ( x2 ) ( x 1)2 x2 2x 1 2 yx 2( x2 ) (2x 1)
D. yx 2 yx1 3 yx2 4
解 由差分方程的定义有：A, D是差分方程.
B的 左 端
3yx
3( yx1
yx )
3 yx1
3
y
，
x
则 等 式 实 为 3 yx1 a x， 仅 含 一 个 时 期 的 函 数
值y
x
，
1
故
不
是差分方来自程.而C的左端2
yx
( yx1
yx)
yx1 yx
yx2
y0，y1，y2， ，y x，y x1 ,
称 函 数 的 改 变 量y x1
y
为
x
函
数y的
差
分
，
也 称 为 一 阶 差 分 ， 记 为Δ y x y x1 y x .
函 数y f ( x)的 二阶 差分 为函 数y的 一阶 差分 的 差 分,即
Δ2 y x Δ(Δ y x ) Δ( y x1 y x ) ( yx2 yx1 ) ( yx1 yx ) yx2 2 yx1 yx
2( x 1) 1 (2x 1) 2
3 yx 3 ( x2 ) 2 2 0
例 2 求下列函数的差分
(1)y loga x;
(2)y sinax
解 (1)yx yx1 yx
loga ( x 1) loga x
1
loga (1
); x
(2)Δ y x sina( x 1) sinax 2cos a( x 1 ) sin a . 22
解 yx ( x 1)(n) x(n) ( x 1)x( x 1) ( x 1 n 1) x( x 1) ( x n 2)( x n 1)
( x 1) ( x n 1)x( x 1) ( x n 2)
nx(n1) （公式）
2.差分的四则运算法则
例3 求y x! 的一阶差分，二阶差分.
解 yx yx1 yx
( x 1)! x!
x x!
2 yx yx x x!
x 1 x 1! x x!
x 2 x 1 x!
例4 设y x(n) x( x 1)(x 2) ( x n 1), x(0) 1，求Δ y x (即Δ( x(n) )).
由于该方程可以化为 yx3 3 yx2 3 yx1 1 0因此它是二阶差分方程， 事实上，作变量代换t x 1，即可写成 yt2 3 yt1 3 yt 1 0.
例 7 下列等式是差分方程的有( ).
A.2yx yx x
B. 3yx 3 yx a x
C .2 yx yx2 2 yx1 yx
(x(3) 3x(2) x(1) )
[3 x(2) 6 x(1) x(0) ]
[3x(2) 6x(1) 1]
6x(1) 6x(0) 6.
例6 设y e 2 x，求Δ2 y x .
解 yx yx1 yx
e2x1 e2x
e2x e2 1 ;
2 yx yx e2x e2 1
2 yx1
y
，
x
恰 好 等 于 右 端 ， 故 不 是差 分 方 程.
例 8 确定下列方程的阶 (1) yx3 x 2 yx1 3 yx 2
(2) yx2 yx4 yx2
解 (1) x 3 x 3，
第六节 差分与差分方程的概念 常系数线性差分方程解的结构
一、差分的概念
二、差分方程的概念
三、常系数线性差分方程解的结构 四、小结
一、差分的概念
1.差分的定义
设 函 数y f ( x).当x取 非 负 整 数 时 ， 函 数 值 可 以 排 成 一 个 数列 :
f (0)，f (1)， ，f ( x)，f ( x 1)， 将之简记为
yx1 zx1 yx zx yx1 zx1 yx zx1 yx zx1 yx zx
yx1 yx zx1 yx zx1 zx
z x1Δ y x y xΔ z x
又证明（3）
yx zx
yx1 zx1 yx zx yx1 zx1 yx1 zx yx1 zx yx zx
或G( x, yx , yx1, , yxn ) 0 (n 1)
方程中未知数下标的最大值与最小值的差 称为差分方程的阶.
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换。
如yx5 4 yx3 3 yx2 2 0是三阶差分方程；
3 yx yx 1 0，虽然含有三阶差分， 但 实 际 上 是 二 阶 差 分 方程 ，
yx1 zx1 zx yx1 yx zx
y x1Δ z x z xΔ y x
例5 设y x 3，求Δ3 y x .
分 析
y x3
x( x 1)(x 2) 3x( x 1) x
x3 3x2 x1
借助公式 x(n) nx(n1) 和差分的运算法则可求
解 3 yx (yx )
(1)(Cyx ) Cyx (C为常数) (2)( yx zx ) yx zx
3 yx zx yx1zx zxyx yxzx zx1yx
4
yx zx
zxyx yxzx zx zx1
zx1yx yx1zx zx zx1
参照导数的四则运算法则学习
证明（3）
yx zx
e2 1 e2x e2x e2 1 2 .
二、差分方程的概念
1.差分方程与差分方程的阶
定义1
含有未知函数的差分Δ yx ,Δ2 yx , 的函数方程 称 为 差 分 方 程.
形式：F ( x, yx , yx , 2 yx , , n yx ) 0
定义2
含 有 未 知 函 数 两 个 或 两个 以 上 时 期 的 符 号 yx , yx1 , 的方程，称为差分方程. 形式：F ( x, yx , yx1, , yxn ) 0