矩阵论9
矩阵论9稿第4章
s c
（ c2 + s2 = 1 ）
[Tij (c , s ) ] −1 = [Tij (c , s ) ] T = Tij (c ,− s ) ,
det Tij = 1 .
⎧η i = cξ i + sξ j ⎡η 1 ⎤ ⎡ξ 1 ⎤ ⎪ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2． x = ⎢ M ⎥ , Tij x = ⎢ M ⎥ ⇒ ⎨η j = − sξ i + cξ j ⎪η = ξ ( k ≠ i , j ) ⎢ ⎢ k ⎦ ⎩ k ⎣η n ⎥ ⎦ ⎣ξ n ⎥
( )
(i = 3,4)
⎡1 ⎢0 1 L2 = ⎢ ⎢0 c 32 ⎢ ⎣0 c 42 ⎡a11 ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥, 1 ⎥ ⎥ 0 1⎦ a12 (1) a 22
⎡1 ⎢0 1 −1 L2 = ⎢ ⎢0 − c 32 ⎢ ⎣0 − c 42 a13 (1) a 23 a14 ⎤ (1) ⎥ Δ a 24 (2 ) ⎥ (2 ) ⎥ = A a 34 (2 ) ⎥ a 44 ⎦
1 (2 ) L− 3 A
矩阵论 9 稿（张凯院）
第四章
矩阵分解
4-2
1 −1 −1 ( 3) 即 L− ⇒ A = L1 L2 L3 A ( 3 = L1 L2 L3 = ⎢ ⎢c 31 ⎢ ⎣c 41
1 c 32 c 42
1 c 43
⎡1 1 ⎢ 0 T = T13T12 = 2⎢ ⎢ ⎣− 1
1 ⎤ ⎡ 3 4 0⎤ ⎡ 3 1 1 ⎢ ⎥ ⎢ 2 0⎥ ⎥ ⋅ 5 ⎢ − 4 3 0⎥ = 5 2 ⎢ − 4 2 ⎢ 0 1⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 0 0 5⎥ ⎦ ⎣ −3 0
Tx = 5 2e1
二、Householder 矩阵
矩阵论知识点范文
矩阵论知识点范文矩阵论是线性代数的一个分支，它研究矩阵的性质、运算和应用。
矩阵论广泛应用于各个学科领域，包括数学、物理、工程和经济等，是现代科学和工程领域中不可或缺的基础理论。
1.矩阵的基本概念矩阵是一个由数值排列成的矩形数组。
它的行数和列数分别定义了矩阵的维度。
矩阵的元素可以是实数或复数。
在矩阵中，每个元素都有一个唯一的位置，可以通过行和列的索引来定位。
2.矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法和乘法。
矩阵的加法和减法要求矩阵具有相同的维度，相应位置的元素进行运算。
矩阵的乘法是指将一个矩阵的每个元素与另一个矩阵相应位置的元素相乘，并将结果相加得到新的矩阵。
3.矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到新的矩阵。
转置可以改变矩阵的维度，但不会改变矩阵中元素的值。
矩阵的逆是指如果一个矩阵乘以它的逆矩阵，结果将得到单位矩阵。
只有方阵才能有逆矩阵，非方阵没有逆矩阵。
4.矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量，用于描述矩阵的性质。
行列式的计算涉及矩阵的元素和它们的排列。
行列式可以用于判断矩阵是否可逆，以及计算矩阵的特征值和特征向量等。
5.矩阵的秩和矩阵方程矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大数目。
秩可以用于判断矩阵的线性相关性和解矩阵方程的唯一性等。
矩阵方程是指将矩阵与向量或矩阵相乘得到一个新的矩阵，并求解出未知变量的值。
6.特征值和特征向量特征值是指矩阵与特征向量的线性组合等于特征值与特征向量的乘积。
特征值和特征向量可以用于描述矩阵的变换性质，如缩放、旋转和平移等。
7.矩阵的奇异值分解奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
奇异值分解可以用于矩阵压缩、数据降维和信号处理等方面。
8.矩阵的广义逆和广义特征值广义逆是指不可逆矩阵的逆矩阵。
广义逆可以用于解决线性方程组、最小二乘和正态方程等问题。
广义特征值是指矩阵与广义特征向量的线性组合等于广义特征值与广义特征向量的乘积。
9.矩阵的正交性和对称性正交矩阵是指矩阵的转置矩阵与原矩阵的乘积等于单位矩阵。
矩阵论 杨明 华中科技大学 课后习题解答
1.判断下列集合对指定的运算是否构成 R 上的线性空间
n
（1）V1 {A (aij )nn | aii 0}，对矩阵加法和数乘运算； i 1
（2）V2 {A | A Rnn , AT A}，对矩阵加法和数乘运算；
（3）V3 R3 ；对 R3 中向量加法和如下定义的数乘向量： R3 , k R, k 0 ；
x2 3 4 x3
x3 x4
分别取 x3 1, x4 0 和 x3 0, x4 1 ，求得齐次方程 AX 0 解空间的一组基
1 4 1 0T , 1 1 0 1T
所以 A 的零空间为
N(A ) L 1 4 1 T0 , 1 1 T0 1
8.在 R22 中，已知两组基
1
E1
0
A1, A2 , , Ar 线性无关矛盾，故
所以
dimN(A)=n-r dimR(A)+dimN(A)=n
1 1 3 0
7.设
A
2
1
2 1 ，求矩阵 A 的列空间 R(A)和零空间 N(A)。
1 1 5 2
解：通过矩阵的行初等变换将矩阵 A 化为行阶梯形
1 1 3 0 1 1 3 0
（4）V4 { f (x) | f (x) 0}，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为 R 上线性空间
（3）不是，由线性空间定义，对 0 有 1 = ，而题（3）中1 0 （4）不是，若 k<0，则 kf (x) 0 ，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间V {A Rnn | AT A}的维数和一组基。
由此，得过渡矩阵
0 1 1 1
C
1
0
1
1
1 1 0 1
南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲
《矩阵论》复习提纲与习题选讲Chapter1 线性空间和内积空间内容总结：z 线性空间的定义、基和维数；z 一个向量在一组基下的坐标；z 线性子空间的定义与判断；z 子空间的交z 内积的定义；z 内积空间的定义；z 向量的长度、距离和正交的概念；z Gram-Schmidt 标准正交化过程；z 标准正交基。
习题选讲：1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下的坐标；3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义3]x [R ， ∫−=11)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；3][x R （3）求与之间的距离；221x x ++2x 2x 1+−（4）证明：是的子空间；2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。
（1） 求22R ×的维数，并写出其一组基；（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；（4） 在W 中定义内积， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈求出W 的一组标准正交基；（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基；（7）写出子空间的一组基和维数。
矩阵论知识要点范文
矩阵论知识要点范文矩阵论（Matrix theory）是线性代数的一门重要分支，研究的是矩阵的性质、运算以及与线性方程组、线性变换等数学对象之间的关系。
矩阵论在多个领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
以下是一些矩阵论的重要知识要点：1.矩阵表示：矩阵由行、列组成，可以表示为一个矩形的数表。
矩阵的大小由行数和列数确定，常用的表示方法是用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。
2.矩阵运算：矩阵可以进行加法和乘法运算。
矩阵的加法是对应元素相加，矩阵的乘法是按照一定规则进行计算得到一个新的矩阵。
3.矩阵的转置：矩阵的转置是将矩阵按照主对角线进行镜像变换得到的新矩阵。
对于一个m×n的矩阵，转置后得到一个n×m的矩阵。
4.矩阵的逆：对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，满足AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
逆矩阵的存在与唯一性为解线性方程组提供了便利。
5.矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
秩是矩阵的一个重要性质，与矩阵的解空间、零空间等直接相关。
6.矩阵的特征值和特征向量：对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，其中λ为一个常数，则称常数λ为矩阵A的特征值，非零向量x称为对应于特征值λ的特征向量。
矩阵的特征值和特征向量可以用来描述线性变换的性质。
7.矩阵的相似性：如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵B与A相似。
相似矩阵具有一些相似的性质，如秩、迹、特征值等。
8.矩阵分解：矩阵分解是将一个复杂的矩阵表示分解为一些简单矩阵的乘积或和的形式，常见的分解方法有LU分解、QR分解、特征值分解等。
9. 矩阵的迹：矩阵的迹是主对角线上各个元素的和，记作tr(A)。
矩阵的迹与矩阵的特征值、秩等有一定的关系。
10.矩阵方程：矩阵方程是形如AX=B的方程，其中A、B为已知矩阵，X为未知矩阵。
矩阵方程的研究可以帮助解决线性方程组、线性变换等相关问题。
矩阵论华中科技大学课后习题答案
习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=而()()1212r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈由此，得21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
矩阵论课后习题答案
第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。
（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。
（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。
矩阵论(方保镕、周继东、李医民)习题4-9章
习题 4.11． 解：1,,21===∞αααn n .2． 解： α1=6,α2=14, α∞=3 ;β1=5,β2=13,β∞=3 .3． 证 ：（１）记 ‖α‖=max ( ‖α‖a , ‖α‖b ) , 则当α≠０时,‖α‖＞０；当α=０时‖α‖=０. ‖k α‖=max ( ‖k α‖a , ‖k α‖b )=max ( k ‖α‖a , k ‖α‖b )=k max ( ‖α‖a , ‖α‖b ) =k ‖α‖. ‖βα+‖=max ( ‖βα+‖a , ‖βα+‖b )≤max ( ‖α‖a +‖β‖a , ‖α‖b +‖β‖b ) ≤max ( ‖α‖a , ‖α‖b )+max ( ‖β‖a , ‖β‖b ) =‖α‖+‖β‖.所以‖α‖是n C 上的范数.（２）记 ‖α‖=k 1‖α‖a + 2k ‖α‖b , 则当α≠０时, ‖α‖＞０；当α=０时‖α‖=０. ‖k α‖=k 1‖k α‖a +k 2‖k α‖b= k (k 1‖α‖a +k 2‖α‖b )=k ‖α‖.‖βα+‖= k 1‖βα+‖a +k 2‖βα+‖b≤ k 1 (‖α‖a +‖β‖a )+k 2 (‖α‖b +‖β‖b ) = (k 1‖α‖a +k 2‖α‖b )+ (k 1‖β‖a +k 2‖β‖b ) =‖α‖+‖β‖.所以‖α‖是n C 上的范数.4． 证法提示：与上题类似.图形在第一象限的部分由1,121==x x 和()13221=+x x 所围成.5． 证：考虑()()T T 0,1,1,0==βα，则当21=p 时，4=+pβα，而2=+pp βα，显然pppβαβα+≤+不成立.6． 解：不是向量范数，因为不满足三角不等式，如取()T 1,0=α，()T 0,1=β,()1,1=+βα , ，而βαβα+=>=+2223.曲线1322321=+x x 在第一象限的图形如下所示.7． 证：（1）当()0=t f 时，()01=t f ；当()t f 不恒等于零时，由其连续性知()t f 必在[]b a ,的某个子区间[]11,b a 上不等于零，从而有()()()⎰⎰>≥=ba b a dt t f dt t f t f 1101对R k ∈，有()()()()⎰⎰===babat f k dt t f k dt t kf t kf 11对于()[]b a C t g ,∈，有()()()()()()()()111t g t f dtt g dt t f dt t g t f t g t f bababa+=+≤+=+⎰⎰⎰故()1t f 是C []b a ,中的向量范数.（2）当()0=t f 时，()0=∞t f ；当()t f 不恒等于零时，存在[]b a t ,0∈，使得()00≠t f ，从而有()[]()()0max 0,>≥=∈∞t f t f t f b a t对于R k ∈，有()[]()[]()t f k t kf t kf b a t b a t ,,max max ∈∈∞==()∞=t f k对于()[]b a C t g ,∈，有()()[]()()[]()()[][]()[]()()()∞∞∈∈∈∈∞+=+≤+≤+=+t g t f t g t f t g t f t g t f t g t f b a t b a t b a t b a t ,,,,max max max max故()∞t f 是[]b a C ,中的向量范数.8． 证：当θα=时，0=Aα；当θα≠时，由A 对称正定知，0>ααA T ，即0>Aα.对R k ∈，有()()A T T A k A k k A k k αααααα===. 再由A 对称正定知，存在正交阵Q ，使得 ()n T diag AQ Q λλλ,,,21 =，0>i λ 从而有T n n Q Q A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ11 令()T n Q diag B λλ,,1 =，则有()()222ααααααααB B B B B A TT T T A====对于n R ∈β，有()2222βαβαβαβαB B B B B A+≤+=+=+=A A βα+ 故A α是n中的向量范数.9． 解：11≤α即121≤+ξξ，如图1所示，12≤α，即12221≤+ξξ，如图2所示；1≤∞α，即{}1,max 21≤ξξ，如图3所示.10． 证：当θα=时， A θα=，B θα=，从而0=α；当θα≠时，01≥αA ，由B 可逆知 θα≠B ，从而02>αB ，故θα>，对于C k ∈，有()()()()ααααααααk B k A k B k A k k B k A k =+=+=+=212121333对于n C ∈β，有()()()()βαββααβαβαβαβαβα+=+++=+++≤+++=+212122112133333B A B A B B A A B A故α是n C 中的向量范数.11． 证：（1）由ββαββαα+-≤+-=，故βαβα-≥-，又αβαββα-≥-=-，从而βαβα-≥-.（2）同理可证.12． 证：设j e 为n 阶单位矩阵的第j 列，则n n e h e h e h +++= 2211β.由三角不等式有n n e h e h ++≤ 11β设n e e M ++= 1，则对于确定的范数∙，M 是常数.故i ih M max ⋅≤β.再由不等式βαβα-≤-则有i i h M m a x ⋅≤≤-+βαβα.对任给正数ε，取M εδ=，则当δ<i ih max 时，结论恒成立.13． 证：（1）设()n x x x ,,,21 =α，且01m a x i i ni x x =≤≤，则0i x =∞α；另方面又有∞∞=≤++==≥++=ααααn x n x x x x x i n i n 001111故有∞∞≤≤αααn 1（2）由22122212220∞==∞=≤==≤=∑∑αααλn x n x x x i nini ii 则有∞∞≤≤αααn 2（3）再由上面的两个结果可得 1211αααn n≤≤因此，向量范数α1，α2及α3两两等价.14． 证：设()T x x 21,=α，则有()22222221212221212322222αααα=+++≤++==x x x x x x x x A T A()()22222122122212αα=+≥+++=x x x x x x A故 223ααα≤≤A.15． 证：由柯西不等式()22,βαβαβα⋅≤=T 当且仅当βα,线性相关时，等号成立，即()22,βαβα⋅=又已知0≥βαT ，故()()22,,βαβαβαβα⋅===T .16． 证：（1）充分性.由C T C=I 及坐标变换公式βαC =可得==αααT 22()()()22βββββββ===T T T TC C C C ，即22βα=.必要性.由22βα=，知ββααT T =.利用坐标变换公式βαC =,可导出()ββββT T T C C =.令()n n ij T b C C B ⨯==，显然B 是实对称矩阵，且B 对应的二次型满足：()0≠=βββββT T B由于非零向量β的任意性（随)(x f 任意变化），故有B=C T C=I. （事实上，可以取()()x g x f i =，此时i εβ=，（即自然基向量，第i 个分量为1，其余为0），由ββββT T B =知()n i b ii ,,11 ==；又取()()()x g x g x f j i +=，此时()j i j i ≠+=εεβ，由ββββT T B =可得2=+++jj ji ij ii b b b b ，即()n j i j i b ij ,,1,,0 =≠=，故有B=I ，也就是C TC=I.） (2) 取正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=62310613121613121C 则使（1）成立的基（Ⅱ）为 )1(31)(),1(21)(221t t t g t t g -+=-=)21(61)(23t t t g ++=而且 )3,2,1,()()(=±≠j i t f t g j i .习题 4.21. 解：将A 看成是1×3的矩阵，则||A ||1={}.412|1|.21,2,1max =++-==-∞A 由谱范数的性质知[]6)(6maxmax 22====λλT TAA A A .{}43,02,1max 1=+++-=i i B {}61,32max =+++-=∞i i B⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1064642422i i i i B B H))1328()(1328((--+-=-λλλλB B I H 故13282+=B .2. 解：24,5,51===∞FAA A .028********=-+-=-λλλλA A I T先介绍三次一元方程032213=+++a x a x a x 求根的一般方法.作代换：令a y x +=消2x 项，得特殊三次方程03=++q py y ，其根为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+==)240cos(2)120cos(2cos 203303231θθθr y r y r y 其中 33⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p r ,⎪⎭⎫⎝⎛-=r q 2arccos 31θ .根据以上公式，令8+=y λ，得033323=-+y y ，即3-=p ，33+=q ；=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33p r 34.837，0577.202arccos 31=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=r q θ，代入得=1y 6.115 ，046.52-=y ，069.13-=y .故得115.14811=+=y λ，954.2822=+=y λ，931.6833=+=y λ.因而115.142=A ≈3.757.3. 解：由矩阵的从属范数（又称算子范数）的定义可得：1111)(maxmaxxP Ax P xAx A a a --≠≠==θθ11111)(maxAP P Ap P --≠==ββθβ即A 从属于11x P x -=的算子范数A 用矩阵AP P 1-的1范数来表示.4. 解：令),max(121hx x x h -=α，首先，它满足向量范数定义条件，故h α是向量范数.再者，易知∞=βαh，其中αβp =，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=h h p 1101.由从属于向量范数的矩阵范数（又称算子范数）的定义，可得： ∞-∞∞-≠∞∞≠≠====11maxmaxmaxPAP PAP P PA A A a hh a h ββααααθβθθ()∞⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---++=1222121122211212111a a a a a a h h a a a =).1,max(121122211222121211a a a a ha a a h a a --++-++5. 证：因为不满足矩阵范数定义的第四个条件，如取A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111， 则A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22222，但()1)(max )(max )(max 22,12,122,1=>=≤≤≤≤≤≤ij j i ij j i ij j i a a A ,所以不是范数. 6. 证： （1）当A =0时，0=A ；当0≠A 时，存在0i 与0j ，使得000≠j i a ，从而有000>≥j i a mn A .对C k ∈，有.)max (max A k a mn k ka mn kA ij ij ==⋅= 对于m an ij b B )(=，有()ij ij ij ij b a mn b a mn B A +≤+=+max max ()B A b a mn ij ij +=+≤max max .对于()nxs ij b B =，有kj ik nk b a ms AB ∑=⋅=1maxij ij kj ik n k b a n ms b a ms max max max 1⋅⋅⋅≤⎪⎭⎫⎝⎛⋅≤∑==()()B A b ns a mn ij ij =⋅⋅max max .因此，由（1）定义的A 是mxn C 中的矩阵范数.（2）同理可证非负性、齐次性及三角不等式成立.对于()nxs ij b B =，有{}{}⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≤⋅=∑∑=kj ik n k kj ik nk b a s m b a s m AB 11\max ,max max ,max{}ijij b a n s m max max ,max ⋅⋅⋅≤{}(){}()ijij b s n a n m max ,max max ,max ⋅⋅≤=B A ⋅.因此，由（2）定义的实数A 也是mxn C 中的矩阵范数.7. 证：当A =0时，0=A ；当0≠A 时，,01≠-AP P 从而0>A . 对C k ∈，有()A k APp k APp k P kA p kA MMM===---111)(.对于nxn C B ∈，有BA BPp APp BPp AS p PB A p A MMMM+=+≤+=+=+-----11111)(BMMBP P AP P PAB P AB ))(()(111---==B A BP P APP MM=⋅≤--11故A 是nxn C 中的矩阵范数.8. 证：非负性、齐次性及三角不等式显然成立.下面分别验 证第四个条件也成立.对于nxn C B ∈，有（1）{}{}s s M M s M B A B A AB AB AB ,max ,max ≤= {}{}B A B B A A s M s M =⋅≤,max ,max （2）s s M M s M B A B A AB AB AB ⋅+≤+=22 B A B B A A s M s M =++≤)2)(2( 因此，它们都是nxn C 中的矩阵范数.9. 证：因为)(max 2A A A H λ=，矩阵A A H 是Hermite 矩阵，其特征值是非负实数，记为01≥≥≥n λλ ，于是得12λ=A ，且)(A A t AHr F==∑=ni i1λ21A =≥λ另一方面，∑==ni iF A 1λ21A n n =≤λ，故有F FA A An≤≤2110. 证：（1）111==≥--I AA A A ，故有AA 11≥- （2）由1111)(-----=-B A B A B A 即得.11. 证：因为1<A ，所以由定理知I-A 可递.又由（I-A ）-I=-A ，两端右乘()1--A I ，可得()()11----=--A I A A I I ，故AA A I A A I A A I I -≤-≤--=-----1)()(1)(111.12. 证：设A 的属于特征值λ的特征向量为α，即λαα=A ，从而有αλαm m A =，则有αααλαλm m m mA A ≤==，即m mA ≤λ，也就是m m A ≤λ.13. 证：设对应λ的特征向量为α，即λαα=A ，从而αλα11=-A ，则ααλαλ111-==A α1-≤A ，即11-≤A λ，也就是11-≥Aλ.14. 证：设mxn ij a A )(=，=α,),,(21T n x x x 记ij E 为第i 行、第j 列的元素是1，其余元素是0的矩阵，则T j ij x E )0,,0,,0,0( =，且p pij x E ≤α，所以有pm i nj ij ij pm i nj ij ijpE a E aA ∑∑∑∑====≤=1111ααα∑∑===≤m i nj pm pij A a 111αα即1m A 与p α相容.15. 证：设=αT n x x x ),,(21 ，则有∑∑∑∑∑=====⋅≤=mi mi nj nj j ij nj j ij x a x a A 1111222122)(α∑∑∑====ni j m i nj ij x a 12121)(222max α⋅⋅≤ij ija mn 222αA =故有22ααA A ≤.（注：推导中使用了不等式))((1212211∑∑==≤++ni i ni i n n b a b a b a ，i i b a ,常数）16. 证：设=α()T n x x x ,,,21 ，由上题的推导可得22222max αα⋅⋅≤ij a mn A {}2222)(max ),(max αij a n m ≤222αA =即22ααA A ≤ .j nk ik n k k ik n k k ik x a x a x a A max )(max max max 111⋅≤≤=∑∑∑===∞α{}∞∞∞=⋅≤⋅≤αααA a n m a n ij ij )max ,(max )max (.17. 证：分两步证：第一步，给定n C 中的非零列向量β和mxn C 中的矩阵范数M ∙，以m C 中的列向量α，定义实数MTαβα=验证α是m C 中的向量范数.事实上，当θα=时，00==M a ；当θα≠时，由θβ≠知0≠T αβ，从而0>=MTαβα.对于C k ∈，有MTMT MT k k k k αβαββαα===)()(=αk .对于mC ∈γ，有MTT MTγβαββγαγα+=+=+)(MT MTγβαβ+≤=γα+，故α是m C 中的向量范数.18. 解：取⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000000111 A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111 α，显然11=A ，1=∞α.但是()Tn A 0,,0, =α，从而n A =∞α.由于1>n ，故∞∞>αα1A A 即A 的1范数与向量α的∞范数不相容.19. 证：设B =),,(21n βββ ，利用222i i A A ββ≤可得222212nFA A ABββ++= )(2222122n A ββ++≤ =222FBA，即F F B A AB 2≤，另一方面利用上述不等式，有222)(B AABA B A B AB ABFFFHHFHH FHp==≤=因此题中结论成立.20. 证：对于矩阵A ，存在酉矩阵Q ，使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡***=n HAQ Q λλλ21=B 即上三角矩阵B 与A 相似，且有222222221F FH FA AQQ B==≤+++λλλ两端开平方即得证.21. 证：由算子范数定义以及“F A 与2x 相容”得：FF x x A x A Ax A =≤===)(max max 2121222.22. 解：因为不满足三角不等式，如取 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0100B 则谱半径0)(=A ρ，0)(=B ρ，但1)(=+B A ρ.23. 证：因为A ，B 对称，所以2)(A A =ρ，2)(B B =ρ， 故222)(B A B A B A +≤+=+ρ)()(B A ρρ+=.24. 证：∑=≤≤∞=≤4141max )(j ij i a A A ρ176,1,1,1max =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=.习题 51. 证：由于0lim lim )()(=-⇔=∞→∞→A A A A k k k k ,再利用矩阵范数的性质 A A A A k k -≤-)()(，所以有0lim )(=-∞→A A k k ，即A A k k =∞→)(lim .2. 证：因为=+-+)()()()(B A B A k k k k βαβα)()()()(B B A A k k k k ββαα-+-B B B B A A A A B B A A k k k k k k k k k k k k ββββααααββαα-+-+-+-=-+-≤)()()()(BB B A A A k k k k k k βββααα-+-+-+-≤)()(.利用0lim)(=-∞→A A k k ，0lim )(=-∞→B B k k ，以及0l i m =-∞→ααk k ，0lim =-∞→ββk k ，k α，k β有界，知)((lim )()(=+-+∞→B A B A k k k k k βαβα故有B A B A k k k k k βαβα+=+∞→)(lim)()(.3. 解：（1）由于9.01=A ，从而A 是收敛矩阵.（2）由于A 的特征值为651=λ，212-=λ，故165)(<=A ρ，故A 的收敛矩阵.4. 解：由于A 的特征值为a 21=λ，a -==32λλ于是a A 2)(=ρ，故当1)(<A ρ即21<a 或2121<<-a 时，A 为收敛矩阵.5. 证：记∑∞==0)(k k A S ， Q A P Q PA SNk k k N k N )(0)()(0)(∑∑==== ,于是)(0)(lim N N k k SQ PA∞→∞==∑∑∑∞==∞→===0)(0)()()lim (k k Nk k N QA P PSQ Q A P即∑∞=0)(k k Q PA 也收敛.如果∑∞=0)(k k A绝对收敛，则∑∞=0)(k k A 收敛.又由于)()()(k K k A Q A P Q PA τ≤≤其中τ是与k 无关的正数，由比较判别法知∑∞=0)(k k Q PA收敛，故∑∞=0)(k k Q A P 也绝对收敛.6. 解：（1） 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3171A 可求得A 的特征值为221-==λλ，所以2)(=A ρ，由幂级数∑∞=121k kx k的收敛半径为1)1(lim lim 221=+==∞→+∞→k k a a r k k k k . 因r A >=2)(ρ , 知矩阵幂级数∑∞=121k kA k发散. （2）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1281B ，可求得B 的特征值为31-=λ，52=λ，所以()5=B ρ.又因幂级数∑∞=06k kkx k 的收敛半径 6166lim lim 11=+==+∞→+∞→k k a a r k k k k k k 即有r B <)(ρ，故矩阵幂级数∑∞=06k kkB k 绝对收敛.7. 解：设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6.03.07.01.0A ，由于19.0<=∞A ，故矩阵幂级数∑∞=0k kA 收敛，且其和为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--937432)(1A I .8. 证：因A jI jI A )2()2(ππ=，所以有jI A jI A e e e ππ22=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++= 432)2(411)2(!31)2(!21)2(jI jI jI jI I e A ππππI j e A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-= 5342)2(!51)2(!312)2(!41)2(!211πππππ={}A A e I j e =+ππ2sin 2cos . 又因A I I A )2()2(ππ=，所以有)2sin(cos )2cos(sin )2sin(I A I A I A πππ+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+- 5342)2(!51)2(!312cos )2(!41)2(!21sin I I I A I I I A πππππ=I A I A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+- 5342)2(!51)2(!312cos )2(!41)2(!211sin πππππ=A A A sin 2sin cos 2cos sin =+ππ9. 证：因为()()()AA T T T TTA e e A A A I A A A I e T-==++++=⎪⎭⎫⎝⎛++++= 3232!31!21!31!21 所以有()I e e ee ee A A A ATA AT===⋅=-0.故A e 为正交阵.10. 证：因为()()()jA HjA HjA HjA e e e e -===, 于是有()I e e e e e jA jA HjAjA ===-0故jA e 为酉阵.11. 解 ：（1） ()23λλλλ-=-=A I f ；（2）由Cayley-Hamilton 定理知 ()023=-=A A A f ，即A 3=A 2 从而有A 4=A 3·A=A 3=A 2 A 5=A 4·A=A 3=A 2 …………………故 ++++++=n A A n A A A I e !1!31!2132 ()222!1!31!21A e A I n A A I -++=⎪⎭⎫⎝⎛++++++=()() ++-+++-=+1253!1211!51!31sin k k A k A A A A()()()2211sin !1211!51!31A A k A A k-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++-+=12. 解：()()()0211=--+=-λλλλA I求得A 的特征值为11-=λ，12=λ，23=λ，于是存在可逆阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=013013111C ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-246330110611C使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-2111AC C .再根据矩阵函数值公式为 ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++---==--------111112122121133330333303234661,,e e e e e e e e e e e e e e e C e e e Cdiag e A ()12,,--=C e e e Cdiag e t t t tA⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++---=------t t tt t t t t t t t tt t te e e e e e e e e e e e e e e 33330333303234661222 ()()12sin ,1sin ,1sin sin --=C Cdiag A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--01sin 601sin 6001sin 42sin 21sin 22sin 42sin 6113. 解：（1）对A 求得C ，使得J AC C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-11111111，所以有 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⋅=-012131001210001000ln ln 1JC C A（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21J J A ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=20121J ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10112J 于是有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=2ln 0212ln ln 1J ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010ln 2J⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010002ln 00212ln ln ln ln 21J J A .14. 解：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=--------t t t t t t tt Ate e ee e e e e e22222222； （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-41541541510141401101111015253253253632tt tAte e e e ； （3）()()()t Ate t t t t t t t t t t t t t t t e 222222211223245812442112122-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-----++--+++=； （4）tt t At e te e e 322020010050000000360120000151---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=. 15. 解：（1）()()()Ae I eA A A I A A 1,1sin sin ,11cos cos 2-+==-+=（2）()I A 1cos cos =，()I A 1sin sin =，eI e A =2； （3）I A =cos ，A A =sin ，I e A =2.16. 解：（1）100010005445I A A I A -+-=； （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---++--=e e e e e e e e e e A 311333331313；（3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--=336332636364arcsin ππA ； （4）()A A A I 105,17885211211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+-. 17. 解：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=t t t t t A dt dsin cos cos sin ()()()1,0,sin cos cos sin 1==⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-t A dtdt A dt d t t t t t A dt d .18. 解：2=m 时取()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t t A 02，则 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=t t t t t A dt d t t t t t A 20234,023222342 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=t t t t t A dt dt A 20224223 可见，()()()t A dtdt A t A dt d 22≠.19. 解：两边对t 求导数，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---+---+=t t t t t t t t t t t t t t t t t t At A cos 35cos 5cos 25cos 10cos 5cos 5cos 5cos 5cos 25cos 10cos 5cos 5cos 5cos 5cos 25cos 10cos 35cos 541cos 令t=0，并注意到I =0cos ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221131122A .20. 解：这是数量函数对矩阵变量的导数.设()mxn ij a A =，则()2FAA f ==()∑∑===m s Tnt st A A tr a 112. 又因为()n j m i a a fij ij,,2,1;,,2,12 ===∂∂，所以 ()A a a f dA df n m ij nm ij22==⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⨯⨯ .21. 解：由于()AX AX X dXdT 2=，再由n n T x y x y x y X Y +++= 2211，知()Y X Y dx d T =，而0=dX dc ，因此()Y AX dXx df -=2.22. 证：（1）设()()m n ij n m ij x X b B ⨯⨯==,，则mm n k kj ik x b BX ⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑1，于是有()∑∑∑===++++=nk nk nk km mk kj jk k k x b x b x b BX tr 11111()()m j n i b x BX t jiijr ,,2,1;,,2,1 ===∂∂()()Tmn n m B b b b b BX tr dXd =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= 1111 注意到BX 与（BX ）T =X T B T 有相同的迹，所以()()()()TTT B BX tr dXdB X tr dXd==（2）设()()()AX X tr f x X a A T m n ij n n ij ===⨯⨯,, 则有⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑====km nk nk nk k nk nk km k nk k k nm mn T x a x a x a x a AX x x x x X 111111111111,∑∑∑∑∑∑======++++=nk nk km ek ne em kj nk ek ne ej k ek ne e x a x x a x x a xf 11111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=∂∂∑∑==kj nk ek n e ej ij ij x a x x x f 11 =∑∑∑===⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ne n k kj ek ij ej n k kj ek ij ej x a x x x a x x 111=∑∑==+nk ej ek kj n k jk x a x a 11().X A A X A AX x f dX df T T mn ij+=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⨯23. 证：设()()u X A u X f T --=，因为A A T =，所以()Au u X Au AX X f T TT +-=2利用第21题的结果可得()u X A Au AX dXdf-=-=222.24. 证：设()n n ij a A ⨯=，记ij a 的代数等子式为ij A ，将detA 按第i 行展开，得in in ij ij i i A a A a A a A ++++= 11det ，所以()n j i A a fij ij,,2,1, ==∂∂，从而有()()()()()TTTn n ij A A A A adjA A dAdf 11det det --⨯====其中adjA 是A 的伴随矩阵.25. 解：设()n n ij b B ⨯=，()m n ij a A ⨯=.由于A T BA 的第k 行第k 列元素为tk ns st nt sk a b a ∑∑==11，所以()()∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛==mk tk n s st n t sk Ta b a BA A tr A f 111()()tjnt nt nj tj n t it ij mk nt tjt j tk n s st n t sk mk n s tjst nt sj tk n s st n t sk a b a a b a a b a a b a a b a a b a j k j k ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===========++++⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=≠≠1111111111111故∑∑∑==++=--+=+++⎪⎭⎫⎝⎛++++=∂∂ns sjbi tj nt it ni nj ii j i ij ij tj n t it i i j i i j ij a b a b b a b a b a a b b a b a a f 11,1,11,1,111最后得X B BX a b a b a fdA df T m n n s sj si m n tj n t it m n ij+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⨯=⨯=⨯∑∑11特别地，当B 是对称矩阵时，BA dAdf2=；当A 为列向量时，BA A f T =，且A B BA dAdfT +=.26. 解：设 ()n m ij a A ⨯=，()T n x x x X ,,,21 =, 由于,,,)()(,,)(111111Tnk k mk nk k k T Tnk k mk k n k k x a x a AX X G x a x a AX X F ⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑∑∑====所以()()()T mn n m Tn mi i iTmi i ia a a a x Fx F dX dF a a x Ga a x F ,,,,,,,,,,,,,,1111111 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂=∂∂故A a aa a x F x FdX dF mn m n n T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂= 11111,, T mn n m Tn A a a a a x G x G dX dG =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂= 11111,,27. 解：因为()()()b b AX b b A X AX A X b AX b AX bAX x f T T T T T T T+--=--=-=22故由上两题的结果得 ()()b A AX A A b b A AX A dXdfT T T T T T -=--=2228. 解：因为()i Tni i Ti ii a a n x fx f x f α==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂,,,,11 故有()Tn Tn x fx f dX df αα,,,,11=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=.29. 解： ()()⎰⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-++-+=-33323122322221133121122331121c c ct c c e c e c t c e t c e dt t A t tt t()()⎰⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-0023011311121212e e e dt t A ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰00302222422202222t e et e t e t dx x A dt d t t t tt30. 解：设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1221A ，A 的特征值为231i±=λ，相应的两个特征向量为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=2311i α，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=2311i β作矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=23123111i iP利用欧拉公式x i x e ix sin cos +=，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=--t t t t t t Pe e P e it it At3sin 313cos 3sin 323sin 323sin 313cos 00133 故()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t e t x At 3sin 313cos 3sin 3210.31. 解：设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3553A ，它的特征值为i 53±=λ，对应的两个线性无关的特征向量为()()T T i i 1,,,1==βα，作可逆矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11i i P ，从而有 ()()tt i ti A e t t t t i i e e i i e 353535cos 5sin 5sin 5cos 1121011⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+ 故()()()()其中,5cos 5sin 5sin 5cos 5cos 5sin 5sin 5sin 5cos 5cos 5cos 5sin 010*******t t t t tt t A Ate t b t a e t t d e t t t t e t t e d e e e t X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---⎰⎰τττττττττ ()()()()()()t t t e t t t e t b t t t e t t t e t a t t t t 5cos 4155cos 55sin 4415sin 4145sin 55cos 4415sin 4155cos 55sin 4415cos 4145sin 55cos 4414444⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=----32. 解： 设 ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=121,101024012t e t b A ，()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1110x ， ()()A I -=λλϕdet =23λλ- , 由C-H 定理知A 3=A 2，A 4=A 2，A 5=A 2，……，从而有()()()() +++++=432!41!31!21At At At At I e At()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+--=--++=⎪⎭⎫⎝⎛+++++=tt t t e t e e t t t t tA t e tA I A t t t tA I 121040211!41!31!2122432 故{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=+=⎰⎰-dt o x e d b e o x e t x t At t A At00021)()()()(τττ = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡t At e t t t e )1(1102111 .习题 61. 解：（1）⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-000520010000511A ；（2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-031032310313100312A .2. 证：因为1100--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=T S I P A r，所以 1111000000----⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=T S I PP L I T T S I P AGA rrrA T S I P T S I L I S I P rrr r=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=----111100000000故G 是A 的减号逆.当0=L 时，有 G P I T P I T T S I PP I T GAG rrrr=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--0000000000011 从则G 是A 的自反减号逆.3. 解：所有m n ⨯矩阵是A 的减号逆；只有m n ⨯零矩阵是A 的自反减号逆.4. 解：设m n ij g G ⨯=)(，满足100=i j g ，其余元素任意的矩阵G 是A 的减号逆；而满足100=i j g ，)(00j k g ki ≠和)(00i k g k j ≠任意，),(0000i t j s g g g t j si st ≠≠=的矩阵G 是A 的自反减号逆.5. 证：因为nB B =2，所以由计算可知： []A B b n a b a b A AGA =-+-+=-)1()(1 即G 是A 的减号逆.6. 证：经计算易知A a a a A )(2322213++-=，所以 A A a a a AGA =++-=-31232221)(故G 是A 的减号逆.7. 解：经若干次初等行变换和列变换，将A 化成前面第2题中提到的Hermite 标准形=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00S I H r⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---000002001011001 即容易求得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=416101102P ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000000010010000000100100T使得A 与T 相抵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==000002001011001H PAT 那么，由第2题知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-33322211132146101461024600000001000100c c c c c c c c c P c c c T P L I T A r令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==0000L ，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-000101000102000r A .8. 解：11b X A =的通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+=2121515252525451c c c c X22b X A =的通解为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+---+++---+=432432321421323131313131313132313131313132c c c c c c c c c c c c X （c 任意取值）.9. 解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-c cc c A 011100110001⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-c c c c A r 011100110001；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=+311333111331113381A .10. 解：可求得A 的满秩分解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==11101101412001FG A 于是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==--+036214111125181)()(11T T T T F F F GG G A .11. 解 ： （1）取[]01=A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11B ，则[]1=AB ，[]1)(=+AB ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+01A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+2121B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=++21A B ，可见+++≠A B AB )(. (2)取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011A ，可求得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+010121A ，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==++010121)(2A A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+010141)(2A ，可见22)()(++≠A A . （3）取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011A ，则A 的特征值为1和0，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+010121A 的特征值为21和0.（4）取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1011P ，[]1=Q ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12PAQ ，[]1251)(=+PAQ ，[]012111=-+-P A Q可见11)(-+-+≠P A Q PAQ .12. 解：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-025100151m A ，11b X A =的最小范数解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=215151X . （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111448341091981541m A ，22b X A =的最小范数解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1323141X .13. 解：（1）由上面第10题已求得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=+036214111125181A , 由于 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+1101A b AA =b ≠⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-303，所以b AX =不相容，它的极小范数最小二乘解为T b A X )1,1,0,1(0-==+.14. 证：设Gb X =0，则Gb X =为b AX =最小二乘解.充分性：若AGb AX =，则b AX b AGb b AX -=-=-0，故X 为最小二乘解.必要性：若X 为最小二乘解，即b AX b AX -=-0，则2002b AX AX AX bAx -+-=-=)()()()(00002020AX AX b AX b AX AX AX b AX AX AX H H --+--+-+- 由及b AX b AX -=-0()()b AGb A G b X b AGb AGb AX b AX AX AX H H H H H H --=--=--)()()()(00=[]b A AGA G b X H H H H H --)()(=0 .注意：H H H A AGA AG AG ==)(,)(）,[]0)()()()(0000=--=--HH H b AX AX Ax AX AX b AX 得020=-AX AX ，即AGb AX AX ==0.15. 解：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-147174111e A ，不相容方程组 11b X A =的最小二乘解为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=74111X ； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-410252010610352010251e A ，不相容方程组22b X A =的最小二乘解为T X )6,3,9,3(251-=.16. 解：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+228456215621221A ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12121X ； （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+4446771401111106421A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=275211X .17. 证：充分性. 若b b AA =+及)(b A rank rankA =，则后一条件表明b AX =相容，显然b A X +=为方程组的解.必要性.设方程组有解X .即b AX =0，显然有)(b A rank rankA =，且b AX AX AA b AA ===++00.18. 证（1）：由PAQ PAQ P A Q PAQ =---))()((11 , 知----∈)(11PAQ P A Q ;（2）如取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1011P ，[]1=Q ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12P A Q ，[]1251)(=+PAQ ，[]102111=-+-P A Q ，可见11)(-+-+≠P A Q PAQ .19. 证：必要性 . 因为C AXB =，所以有 C AXB B B AXB AA B CB AA ===----)(充分性 . 设对某个-A 和-B ，有C B CB AA =--，则--CB A 显然是解，且对任何p n C Z ⨯∈ ，)(-----+=AZBB A Z CB A X 都是解.设Y 为任一解，令Z Y =就有-----+=B A y B A y CB A Y )(，即任一解Y 也满足)(-----+A Z B B A Z CB A 的形式.习题 71. 解：对B 不能进行LU 分解，对C 可以.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=2300313201231211310131001C .2. 解：（1）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=532325112153211211A ; （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=311272333121651211231B .3. 解：A 的Doolittle 分解为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=7002100152510042512501254001520001A ； crout 分解为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=1021005210054521725001524005120005A .4. 解：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=15251545251525451525A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=15251425155115245125 .5. 解：（1）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=151100102015651115100102101A ； （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=121115311321112511124123121A .6. 解：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=15.115.025.01941615.15.0125.01A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-332214332214；（2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=15312121153252153211211153121211532312512A .7. 解：（1）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1231094111311211L ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2800118011211D ; （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=720154120334156132131321211L .8. 证：由于矩阵r A 的各阶顺序主子式0det ≠k A ),,2,1(r k =，所以有三角分解r r r U L A =，其中r L 和r U 是可逆的下三角矩阵和上三角矩阵.将A 分块为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222112A A A A A r，由r rankA rankA r ==，知A 的后r n -行可由前r 行线性表示，即存在r r n ⨯-)(矩阵K ，使得),(),(122221A A K A A r =， 于是r KA A =21，1222KA A =，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=----r n r rrr r rr n rrrrI A L U KL L A L U I KL L KA KA A A A 0000001211211212 即得到A 的三角分解LU A =，且其中的L 或U 为可逆阵.。
(课件)矩阵论
=
aB 11 1
+
(a12
−
a 11
)
B 2
+
( a 21
−
a 12
)
B 3
+
( a 22
−
a
21
)
B 4
坐标为
β
=
(a11
,
a 12
−
a 11
,
a
21
−
a 12
,
a 22
− a21 )Τ
[注] 一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同．
例如：
A
=
E 22
在上述两个基下的坐标都是 (0,
0,
(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一 元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律： k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律： (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律： k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数：单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．
mn
∑ ∑ (2) A = (ai j )m×n =
ai j Ei j ．
i=1 j=1
故 Ei j (i = 1,2,L, m ; j = 1,2,L, n) 是 R m×n 的一个基, dimR m×n = mn .
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
5
2．坐标：给定线性空间V
n
的基
x 1
解 采用中介法求过渡矩阵.
矩阵论课件
第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。
比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。
实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。
1．线性空间的定义：设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其元素用k,l,m等表示。
如果V满足[如下8条性质，分两类]（I）在V中定义一个“加法”运∈时，有唯一的和算，即当x,y V+∈（封闭性），且加法运算x y V满足下列性质（1）结合律()()++=++；x y z x y z（2）交换律 x y y x +=+；（3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =；（4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）。
则有()x x +-= o 。
（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律()+=+；k x y kx ky（6）分配律()+=+；k l x kx lx（7）结合律()()=；k lx kl x=；（8）恒等律1x x [数域中一定有1]则称V为数域K上的线性空间。
注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。
（2）两种运算、八条性质数域K中的运算是具体的四则运算，而V中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。
（3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。
唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。
《矩阵论》习题答案
第一章第一章第6题实数域R 上的全体n 阶对称（反对称）矩阵，对矩阵的加法和数量乘法。
解：实数域R 上的全体n 阶矩阵，对矩阵的加法和数量乘法构成R 上的线性空间nn R ⨯,记{}{}A A R A A W A A R A A V T n n T n n -=∈==∈=⨯⨯,/;,/ 以为，对任意的,,,,B B A A V B A T T ==∈则(),B A B A T+=+即V B A ∈+,所以V 对加法运算是封闭的；对任意的A A R k V A T =∈∈,,,则(),,V kA kA kA T∈=即所以V 对数乘运算封闭；所以，V 是nn R⨯的一个线性子空间，故V 构成实数域R 上的一个线性空间。
同理可证，W 也是一个线性空间。
P41第一章第8题(参考P10例题 1.2.5) 证明：存在1k ,2k ,3k ,4k 使得112233440k k k k αααα+++=即11111k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+21101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+31110k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+41011k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0 解12341231341240000k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ 得12340k k k k ====所以1α，2α，3α，4α线性无关P42第1章第12题解：因为A=x 1α1+x 2α2+x33α+x 4α4即x 1+x 2+x 3+x 4=1x 1+x 2+x 3=2x 1+x 3+x 4=-2x 1+x 2+x 4=0⇒x 1=-2x2=3x 3=1 x 4=-1所以A 的坐标为[x 1,x 2,x 3,x 4]T=[-2,3,1,-1]TP42第一章第13题 答案 f(x)=3+1-n 2x( 泰勒展开))(f x '=2(n-1)2-n x(x)f ''=2(n-1)(n-2)3-n x …… )1(f -n (x)=2(n-1)! )(f n (x)=0f(1)=5 )1(f '=2(n-1) (1)f ''=2(n-1)(n-2) …… )1(f -n (1)=2(n-1)!f(x)=f(1)+ )1(f '(x-1)+!21(1)f ''2)1(-x +……+)!1(1-n )1(f -n (1)1)1(--n x =5+2(n-1)(n-2)+!2)2)(1(2--n n 2)1(-x +……+)!1()1(2--n n ！1)1(--n x=5+211-n C (x-1)+221-n C 2)1(-x +……+211--n n C 1)1(--n x取f(x)=3+1-n 2x在基1, (x-1), 2)1(-x , ……,1)1(--n x 下的坐标为（5 , 211-n C , 221-n C ,…… , 211--n n C T)教材P42习题14：求基T)0,0,0,1(1=α，T)0,0,1,0(2=α，T )0,1,0,0(3=α，T)1,0,0,0(4=α，到基T )1,1,1,2(1-=β，T )0,1,3,0(2=β，T )1,2,3,5(3=β，T )3,1,6,6(4=β的过度矩阵，确定向量T x x x x ),,,(4321=ξ在基1β，2β，3β，4β，下的坐标，并求一非零向量，使它在这两组基下的坐标相同。
矩阵论
行最简形
最简方程组
x1 x3 4 x 2 x3 3 x 4 3
( B5 )
17
2012年11月1日1时41分
令
x1 x2 x3 k 得 x3 x 4
k4 k3 k 3
x1 1 4 x2 1 3 或 (1) 的通解为 k x3 1 0 x 0 3 4
3
2012年11月1日1时41分
第一章 矩阵的基础知识
§1.1 基础知识
例
求解线性方程组
2 x1 x 2 x 3 x1 x 2 2 x 3 4 x 1 6 x 2 2 x 3 3 x 6 x 9 x 2 3 1 x 4 2, x 4 4, 2 x 4 4, 7 x 4 9. ① ② ③ ④
工程数学（上）
—《矩阵论》
同济大学数学系 吴群
1
2012年11月1日1时41分
课程概述
《矩阵论》是工程硕士研究生数学课程教学的重要
组成部分。
《矩阵论》的内容是根据国家教委课程指导委员会
关于工程硕士研究生数学课程教学的基本要求编写 而成。 《矩阵论》介绍的理论是数学模型的重要基础。
《矩阵论》是工程硕士研究生必备的基础知识，是
20
2012年11月1日1时41分
若矩阵 A 经过有限次初等变换变成 B，则称 A 与 B 等价，记作 A ≌ B . 矩阵的等价关系满足： (i) 反身性 A A ； (ii) 对称性 若A ≌B ，则B ≌ A ； (iii) 传递性 若A ≌ B ， B ≌ C ，则A ≌ C 。
矩阵论知识要点
证明 必要性显然，下面证明充分性.
设 A = ( aij )m n ，把 A 用列向量表示为
A ( a1 , a 2 , , a n ) ,
a1T a1Ta1 a1Ta2 a1Tan T T T T a2 a2 a1 a2 a2 a2 an T A A (a1, a2 ,, an ) , aT a T a aT a a T a n n n n 1 n 2
序言 • 矩阵论是一门经典的数学学科，也是一门繁 琐的、但有广泛应用价值的数学课程。 • 矩阵理论和方法是现代科技领域中处理有限 维空间形式与数量关系的强有力的不可缺少 的工具。 • 尤其是计算机的普及，更为矩阵论的应用提 供了广阔的应用舞台，如系统工程、控制工 程、最优化方法、管理工程等。
问题一 线性方程组的求解
4) 行列式 |A| 的各元素的代数余子式 Aij 所 构成的方阵
A11 A21 A12 A22 * A A A 2n 1n
叫做方阵 A 的伴随矩阵.
An1 An 2 , Ann
伴随矩阵具有重要性质: AA* = A*A =|A|E.
(1)
( A B) A B ;
H H H
(2) (A)
H
A ;
H
(3)
(4)
( AB) B A ;
H H H
(A ) A
H H
3)设 A (aij ) Cnn ，如果 AH A ，则称 是Hermite矩阵，如果 A 是反Hermite矩阵。
H
A
A ，则称 A
(iii) (A-1)-1 = A; (A)-1 = 1/ A-1 ( 0 );
Removed_矩阵论矩阵分解9
R rij nn rij 0，i＞ j ．将 A，L 和 R 进行分块，得
Ak
A21
A12 A22
Lk L21
O Rk
L22
O
R12
R22
这里 Ak ， Lk 和 Rk 分别是 A，L 和 R 的 k 阶顺序主子阵，且 Lk 和 Rk 分别是上三角矩
______2__4_1______3___2_1_“_”__________________4__2__40__12_“_”0__12__03__“2_•_”042_“_0•__”83__“0_”_0_7_1__3—2__0__—1__45__80_1_42__84__42“__”56_l“_”4_0_“3”_0_5_0_28“_”01“_”07_“9”0_“0”2“2”•30”“0”“”093124820302130
关于三角分解的存在性有如下一些结论．
定理 4.1
设
A
Cnn n
，则
A
可以作三角分解的充分必要条件是
k≠0 (k=1，2，…，n－1)，其中 k det Ak 为 A 的 k 阶顺序主子式，而 Ak 为 A 的 k 阶
顺序主子阵。
证
必要性．已知 A 可以作三角分解，即 A＝LR，其中 L＝ lij nn lij 0，＜ i j ，
设
A
Cnn r
，且
A
的前
r
个顺序主子式不为零，即
k ≠0
(k=1，2，…，r)，
见 A 可以作三角分解．
1
证 由定理 4.1 知， Ar 可以作三角分解，即 Ar Lr Rr ，且 Lr 和 Rr 分别是可逆的上三
角矩阵和下三角矩阵．将矩阵 A 分块为
矩阵论(华中科技大学)课后习题答案
习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩L L L ⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r αααL 为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββL 为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=L L而()()1212r r C αααβββ=L L ，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈L L L L L L由此，得21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
矩阵论-9-线性无关、基、维数
矩阵论-9-线性⽆关、基、维数线性⽆关、基、维数线性⽆关 Independence假定有 m ×n 的矩阵 A ，以列向量形式表⽰：v 1v 2⋯v n 。
如果 Ac =0 只有零解 c =0（即 A 零空间中有且仅有 0 向量），则各向量线性⽆关。
如果矩阵 A 的列向量为线性⽆关，则 A 所有的列均为主元列，没有⾃由列，矩阵的秩为n 。
rank (A )=n 。
如果存在⾮零向量 c 使得 Ac =0，则存在线性相关向量。
若 A 的列向量为线性相关，则矩阵的秩⼩于n ，并且存在⾃由列。
rank (A )<n 。
例⼦：在 R 2 空间中，两个向量只要不在⼀条直线上就是线性⽆关的。
在 R 3 空间中，三个向量线性⽆关的条件是它们不在⼀个平⾯上。
张成空间 Spanning a space当⼀个空间是由向量 v 1, v 2, ⋯, v k 的所有线性组合组成时，我们称这些向量张成了这个空间。
例如矩阵的列向量张成了该矩阵的列空间。
如果向量 v 1, v 2, ⋯, v k 张成空间 S ，则 S 是包含这些向量的最⼩空间。
基与维数 Basis and dimension向量空间的基（basis）是具有如下两个性质的⼀组向量 v 1, v 2, ⋯, v d ：他们线性⽆关；他们可以张成（span ）该向量空间。
空间的基告诉我们了空间的⼀切信息。
对于向量空间 R n ，如果 n 个向量组成的矩阵为可逆矩阵，则这 n 个向量为该空间的⼀组基，⽽数字 n 就是该空间的维数（dimension）。
对于任何矩阵 A 均有：矩阵的秩r=矩阵主元列的数⽬=列空间的维数例⼦：对于 A =123111211231，A的列向量线性相关，其零空间中有⾮零向量，所以 rank (A )=2=主元存在的列数=列空间维数。
可以求得 Ax =0 的两个解，即x 1=−1−110,x 2=−1001特解的个数就是⾃由变量的个数，所以n −rank (A )=2=⾃由变量存在的列数=零空间维数所以有：列空间维数 dimC (A )=rank (A )，零空间维数 dimN (A )=n −rank (A )总结线性⽆关与线性相关：线性⽆关：Ax =0 只存在 x =0 的解线性相关：Ax =0 存在解⾮ 0 解对于向量空间 R n ，如果 n 个向量组成的矩阵为可逆矩阵，则这 n 个向量为该空间的⼀组基，⽽数字 n 就是该空间的维数（dimension ）。
矩阵论课件
P 是数域， 若 n是正整数， 则系数属于 P 而未知元为 x 的
所有次数不超过 n 的多项式的集合，此集合连同零多 项式在内按通常多项式的加法及数与多项式的乘法， 构成数域 P 上的一个线性空间全体记作： Pn [ x ].
4 December 2014 河北科技大学
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, t 可以由1 , 2 ,
, s 线性表
, t 线性相关.
推论1 若 1 , 2 ,
, t 可 以 由 1 , 2 ,
, s 线 性 表 示 ， 且
1 , 2 , , t 线性无关，则 t s .
推论2 若 1 , 2 ,
, t 与 1 , 2 , , s 等 价 ，且 均 线性 无
实数域 R 上的线性空间简称为实线性空间； 复数域 C 上的线性空间简称为复线性空间.
下面看几个线性空间的例子.
4 December 2014
河北科技大学
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矩阵论
例1 若 P= 是数域，V 是分量属于 P= 的 n元有序数组的集合
V a1 , a2 ,
, an | ai P，i 1, 2,
矩阵论
例4 所有定义在区间 a , b a t b 上的实值连续
函数全体构成的集合， 按照函数的加法及数与函数 的数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性空间，记 作： R a , b .
例5 实（复）系数齐次线性方程组 Ax 0（ A R mn
或 C mn ； x R n 或 C n ；行向量和列向量不做区别） 的解空间 S 构成 R 或C 上的一个线性空间.
才成立，称 x1 , x2 ,
矩阵论简明教程整理全PPT课件
k
ei
e
H j
E ei , ej , k
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Remark
det E u,v, det In uvH det 1 vHu
1 vHu (由n Im AB m In BA 得到）
第46页/共188页
四、其他特殊矩阵
1幂零矩阵：Ak 0, k : 某正整数; 2幂等矩阵：A2 A; 3 实对称正定矩阵：
a a jn 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
第13页/共188页
二、块矩阵的行列式
1、设A Cmm , B Cmn , C Cnm , D Cnn , 则
1 A
0A
BA
0 AD
0D 0D CD
2 A B 1mn C D 1mn B A
CD
AB
DC
3 A B m A B
minrank A, rank B
第30页/共188页
推论1
设ACmn , B Cnk ,且AB 0,则
rank A rank B n
第31页/共188页
§1.4 特殊矩阵
一、 几类基本的特殊矩阵
1、零矩阵，单位矩阵 2、对角矩阵
a11
D
a22
diag
a11
,
a22
,
ann
第50页/共188页
§2.1 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 1、定义 定义1
设ACnn ,若存在数 C和x Cn , x 0使得 Ax x
则称是A的特征值，x称为A属于的特征向量。
第51页/共188页
2、特征多项式 定义2
设ACnn , 称In A为A的特征矩阵，称detIn A 为A的特征多项式,称detIn A 0为A的特征方程。
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eiA cos( A) i sin( A)
cos A i sin A
eiA eiA cos A 2
eiA eiA sin A 2i
eA
矩阵理论第9讲-14
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵函数在矩阵分析中的应用 – 常用矩阵函数的性质 设 A, B C nn，且 AB BA 充要条件
矩阵理论第9讲-12
矩阵函数在矩阵分析中的应用 – 离散时间系统
x(n)
离散时间系统
y(n)
m(n) Gm(n 1) Hx(n)
y(n) Cm(n) Dx(n)
假设上述方程组的初始条件为 x(t0 ) x0 或 x(0) x0
先考察u(t) = 0时， x Ax Bu 的解，这时状态方程组简化为 x Ax
f : C nn C nn
称此映射为矩阵函数，它是以矩阵为变量（更为确切地，以方阵为变 量）且取值为矩阵（方阵）的一类函数。
S 称S为A在映射f下的象，记作： f ( A)
zk z z k (1 z ) 1 (r 1) k 0 k 0 k ! e (r ) (1)k 2 k 1 k 0 (2k 1)! z sin z (r ) k k ( 1) (1) z k 1 ln(1 z ) (r 1) z 2 k cos z (r ) k 0 k 1 k 0 (2k )!
nn 若 A C ，1 , 2 , n 是A的特征值，则矩阵函数 f ( A) 的特 征值为 f (1 ), f (2 ), f (n )
n 由Jordan定理，P Cn n ，使得
1 1 2 ( 1 or 0) P 1 AP J i n 1 n
由于幂级数 k 0 kz 的收敛半径为r = 1
兰州大学信息科学与工程学院
k k 0 6k
1 8 2 1
k
绝对收敛
矩阵理论第9讲-6
矩阵的幂级数 – Neumann级数收敛充要条件
nn 设 A C ，称矩阵幂级数 k 0 Ak 为Neumann级数
当 ( A) r 时，l r
n 由Jordan定理，P or 0) P 1 AP J i n 1 n
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矩阵理论第9讲-4
矩阵的幂级数 矩阵幂级数
兰州大学信息科学与工程学院
sin 2 A 2 sin A cos A
cos 2 A cos2 A sin 2 A
矩阵理论第9讲-15
矩阵函数在矩阵分析中的应用 – 常用矩阵函数的性质 设 A C nn
e0 I det e A etr A (e A )1 e A
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第9讲-10
矩阵函数 相应地，根据矩阵幂级数的收敛准则，将矩阵幂级数
Ak k 0 k !
(A C nn )
(1)k A2 k 1 k 0 (2k 1)!
(A C nn ) (A C nn )
( ( A) 1)
1 k 1 A )( k 0 B k ) k! k! 1 I ( A B) ( A2 2 AB B 2 ) 2! 1 ( A3 3 A2 B 3 AB 2 B 3 ) 3!
sin( A B) sin A cos B cos A sin B cos( A B) cos A cos B sin A sin B
k
取 0
( A) 1
0 1 ( A) : C nn R
I A 可逆
A ( A) 1
由于 S ( n ) ( I A) I A A2 An
A A2 An An1
k
判断矩阵幂级数 k 0 A 的敛散性，若收敛，求其和
解：norm(A,1) ans = 0.9000
即 A 1 0.9 1 ，所以 k 0 A 绝对收敛
k
inv(eye(size(A))-A) ans =
2.0000
3.1429 1.4286
1.0000
4.4286 1.7857
ak A k k 0
: Cnn R
也发散。
( A) A
nn
– 推论
设幂级数 k 0 ak z 的收敛半径为r，A C
k k
使得 A r ，则矩阵幂级数 k 0 ak A 绝对收敛
兰州大学信息科学与工程学院
nn 。若 : C R
ak J k k 0
的对角线元素为
k l
由于 k 0 ak 发散，从而矩阵幂级数 k 0 ak J 发散
k
ak jk k 0
( j 1, , n)
由于矩阵幂级数
(k ) A 与 k 0 PA Q k 0 (k )
具有相同的敛散性，可知
这相当于求系统的零输入响应
当矩阵A为数a时，其解为 x(t ) e
a (t t0 )
x0 n nn At 可以设想，当 x C 而 A C 时，x Ax Bu 的解含有 e 1 t R ，可以证明 k 0 ( At ) k 都是收敛的，因而其和是有意义的 k!
I An1
S ( n ) ( I A)1 An1 (I A)1
n A是收敛矩阵 lim A 0 n
S lim S ( n ) ( I A)1
n
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矩阵理论第9讲-8
矩阵的幂级数 – 举例 设
0.2 0.1 0.2 A 0.5 0.5 0.4 0.1 0.3 0.2
ak Ak绝对收敛 0 k k 时，方阵幂级数 ak A 发散 k 0
时，方阵幂级数
证明： 1. ( A) r
0 r ( A) ，取 0
( A) r
A m ( A) r
m : C nn R，使得
(1)k 2 k k 0 (2k )! A
Ak k 0
(1) k k 1 k 0 k 1 A
( ( A) 1)
的和分别记为下列矩阵函数
e A , sin A, cos A, ( I A)1, ln( I A)
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矩阵理论第9讲-11
1.0000
3.0000 2.5000
矩阵理论第9讲-9
k 0 Ak
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矩阵函数 – 定义： 矩阵函数的定义基于收敛的矩阵幂级数 k 0 ak Ak。
ak Ak 收敛于一个唯一的矩阵，即此矩阵幂级数的和S。这样，矩 k 0 阵幂级数在矩阵 C nn 与 C nn 之间建立了一个映射：
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Ak eA k 0 k !
(A C nn )
矩阵理论第9讲-13
矩阵函数在矩阵分析中的应用 – 矩阵函数 cos A、 A 及 e A 满足代数三角函数的性质Euler公式 sin
sin( A) sin A cos( A) cos A
e( A B) e A eB eBe A
e Ae B ( k 0
e A B k 0
1 ( A B)k k! 1 I ( A B) ( A2 AB BA B 2 ) 2! 1 ( A3 ABA BA2 B 2 A A 2 B AB 2 BAB B 3 ) 3!
矩阵函数在矩阵分析中的应用 许多工程问题，常常化为求解一阶常系数微分方程组的问题 – 由线性元件构成的网络状态方程组及输出方程组 R1 u(t) iL C
x Ax Bu
L
iC
R2
y Cx Du
– 其它动态系统或受控系统
F(t)
x Ax Bu
m y(t)
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ik k e k 0 A k! k (1) k ( 1) 2k k 0 A i k 0 A2 k 1 (2k )! (2k 1)! cos A i sin A
iA
e cos A i sin A
A
eiA eiA cos A 2 eiA eiA sin A 2i
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矩阵理论第9讲-3
矩阵的幂级数
ak A
k m
ak A
k m
a k A m a k ( ( A) ) k
k
由于幂级数
k 0
ak ( ( A) )k
收敛，根据正项级数的比较审敛法知矩阵幂级数
ak A k k 0
绝对收敛 2. 由于 ( A) max j ，设 l max j ，则 ( A) l
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矩阵理论第9讲-16
矩阵函数在矩阵分析中的应用
k 再设 f ( A) k 0 ak A ，可得如下矩阵幂级数
矩阵理论第9讲-5
矩阵的幂级数 – 举例 判断矩阵幂级数
k 1 8 k 0 6k 2 1
的敛散性
解：令
k
1 1 8 A 6 2 1
>> eig(A)
ans = 0.8333