椭圆定义课件
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椭圆的定义PPT课件
2a=2c时, 线段 2a<2c时, 无轨迹
F1
F2
椭圆标准方程
M
F1
F2
x
椭圆的标准方程
椭圆标准方程
y
M M F1 O F2Fra bibliotekyF2
x
O
x
F1
椭圆的标准方程的形式：焦点随着分母
走，焦点在分母大的轴上。
例题精析
例1：已知椭圆的方程为： ，则
3 ，焦点坐标 a=_____ 4 ，c=_______ 5 ，b=_______
的标准方程为______________.
点评：求椭圆方程首先要判断焦点的位置
练习：若方程4x2+kY2=1表示的曲线是 焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。 解：由 4x2+ky2=1
可得 因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
即：0<k<4
所以k的取值范围为 0<k<4 .
例5、化简：
分析： |MF1|+|MF2|=10， 2a=10，2c=6， ∴a=5，c=3，b=4 ∴
M (x,y)
y
F2(0,3) O F1(0,-3)
x
小结：
1.椭圆的定义及焦点、焦距的概念。
2.椭圆的标准方程。
3. 标准方程的简单应用。
作业:
P96习题 8.1
第1,2,4题
(3)曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一 个焦点F2的距离等于_________，则三角形F1PF2的周 y 长为___________
F2 P O
x
F1
例3、求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）满足a=4, b=1，焦点在 x轴上的椭圆 的标准方程为_____________; （2）满足a=4, c= ，焦点在 y轴上的椭圆
《椭圆及其标准方程》课件
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THANKS
《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
椭圆及其标准方程ppt课件
F2
根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a
2
2
+ 2
=1
2
2
−
你可以在图中找出表示a，c，b的线段吗？
2 2
+ 2=1
2
M
F1
O
F2
二、椭圆的标准方程
椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，椭圆上任意一点M都满
足|MF1|+|MF2|=2a，则椭圆的标准方程为
M
2 2
LET’S START
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
具有何种几何特征才是椭圆呢？
具有何种几何特征才是椭圆呢？
b
1
a
一、椭圆的定义
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大
于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，
椭圆：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等
于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
|PF1|+|PF2|=2aLeabharlann > 2c椭圆的标准方程：
焦点在x轴：
其中，a>b>0，且a2=b2+c2
焦点在y轴：
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？
M
设M(x,y)，焦距|F1F2|=2c (c>0) 则F1(-c,0)，F2(c,0)
根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a
2 − = ( − )2 + 2
F1
O
F2
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？
椭圆的课件ppt
$y=bsintheta$。
对于长轴在y轴上的椭圆，参 数方程为：$x=bsintheta$,
$y=acostheta$。
其中，$theta$为参数，表示 椭圆上的点与长轴之间的夹角。源自05椭圆的作图方法
椭圆的基本作图方法
定义法
根据椭圆的定义，通过两个固定 点（焦点）和一根线段（焦距） 来绘制椭圆。
椭圆的任意两个不同点与椭圆中 心的连线形成的角为直角或锐角
。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$ 是参数。
该方程描述了椭圆上任意一点 $P$ 的坐标与参数 $theta$ 的 关系。
通过参数方程，可以方便地研 究椭圆的几何性质和运动轨迹 。
离心率与长短轴关系
离心率与长短轴之间存在反比关系，即长轴越短，离心率越大；短轴 越短，离心率越小。
椭圆的对称性
对称性定义
椭圆关于坐标轴和原点对 称。
对称轴
椭圆有两条对称轴，分别 是长轴和短轴所在的直线 。
对称中心
椭圆的中心称为对称中心 ，是椭圆上任意一点关于 对称轴的对称点。
03
椭圆的几何应用
椭圆在几何图形中的应用
当 $a > b$ 时，椭圆呈横向；当 $a < b$ 时，椭圆呈纵向。
该方程描述了一个平面上的二维椭圆 ，其中心位于原点，长轴位于x轴上。
椭圆的几何性质
椭圆是一个封闭的二维曲线，由 两个焦点和其上的所有点组成。
椭圆的两个焦点到任意一点 $P$ 的距离之和等于椭圆的长轴长度 ，即 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
01
椭圆在几何图形中可以作为椭圆 形的绘制基础，如椭圆形的车轮 、椭圆形的镜子等。
对于长轴在y轴上的椭圆，参 数方程为：$x=bsintheta$,
$y=acostheta$。
其中，$theta$为参数，表示 椭圆上的点与长轴之间的夹角。源自05椭圆的作图方法
椭圆的基本作图方法
定义法
根据椭圆的定义，通过两个固定 点（焦点）和一根线段（焦距） 来绘制椭圆。
椭圆的任意两个不同点与椭圆中 心的连线形成的角为直角或锐角
。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$ 是参数。
该方程描述了椭圆上任意一点 $P$ 的坐标与参数 $theta$ 的 关系。
通过参数方程，可以方便地研 究椭圆的几何性质和运动轨迹 。
离心率与长短轴关系
离心率与长短轴之间存在反比关系，即长轴越短，离心率越大；短轴 越短，离心率越小。
椭圆的对称性
对称性定义
椭圆关于坐标轴和原点对 称。
对称轴
椭圆有两条对称轴，分别 是长轴和短轴所在的直线 。
对称中心
椭圆的中心称为对称中心 ，是椭圆上任意一点关于 对称轴的对称点。
03
椭圆的几何应用
椭圆在几何图形中的应用
当 $a > b$ 时，椭圆呈横向；当 $a < b$ 时，椭圆呈纵向。
该方程描述了一个平面上的二维椭圆 ，其中心位于原点，长轴位于x轴上。
椭圆的几何性质
椭圆是一个封闭的二维曲线，由 两个焦点和其上的所有点组成。
椭圆的两个焦点到任意一点 $P$ 的距离之和等于椭圆的长轴长度 ，即 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
01
椭圆在几何图形中可以作为椭圆 形的绘制基础，如椭圆形的车轮 、椭圆形的镜子等。
椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
椭圆的定义课件(2023版ppt)
椭圆的离心率为e = c/a，
04 其中c为椭圆的焦距，a
为椭圆的长半轴
椭圆的图形表示
椭圆的图形特征
椭圆是一种封闭的曲线图形，由两个焦点和
01
一条长轴组成。
椭圆的形状可以根据长轴和短轴的长度比例来
02
变化，当长轴和短轴相等时，椭圆变为圆。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是常
03
数，这个常数叫做椭圆的焦距。
01
02
03
04
椭圆的性质与定理
椭圆的性质
椭圆的定义：平面 内到两个固定点的 距离之和等于常数 的点的轨迹
椭圆的焦点：椭圆 的两个固定点，决 定了椭圆的形状和 大小
椭圆的离心率：椭 圆焦点到椭圆中心 的距离与椭圆长轴 长度的比值，决定 了椭圆的扁平程度
椭圆的顶点：椭圆 与坐轴的交点， 决定了椭圆的位置 和方向
2
椭圆在物理学中 的应用：椭圆轨 道、椭圆振动等
3
椭圆在工程学中 的应用：椭圆形 建筑、椭圆形管
道等
4
椭圆在艺术设计 中的应用：椭圆 形构图、椭圆形
图案等
谢谢
椭圆的周长与面积可以通 过公式计算
椭圆的离心率决定了椭圆 的形状
椭圆的焦点决定了椭圆的 位置和方向
椭圆的方程
椭圆的标准方程：
x^2/a^2 + y^2/b^2 01
=1
椭圆的焦点在x轴和y轴
上的坐标分别为(a,0)和 03
(0,b)
椭圆的顶点坐标为(a,0) 05
和(0,b)
02
a和b分别表示椭圆的长 半轴和短半轴
椭圆的性质：椭圆具
2 有对称性、周期性、 可积性等性质，这些 性质在几何应用中具 有重要作用。
椭圆定义(公开课)ppt课件
x2
a2
y2 a2 c2
1
x2 a2
y2 b2
1
b2
a2 c2
（请大家比较一下上面两式的不同，独立思考后回答
椭圆的标准方程。）
椭圆的标准方程
y
M
焦点在x轴：
x2 a2
y2 b2
1a b 0
b2 a2 c2
F1 o F2 x
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a y
2.如果把细绳的两端拉 开一段距离，分别固定在图 板的两点处，套上铅笔，拉 紧绳子，移动笔尖，画出的 又是什么图形？这一过程中， 笔尖（动点）满足什么几何 条件？
数学实验
• (1)取一条细绳， • (2)把它的两端固定在板
上的两个定点F1、F2 • (3)用铅笔尖（M）把细
绳拉紧，在板上慢慢移 动看看画出的 图形
生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？
星系中的椭圆
——仙女座星系
——“传说中的”飞碟
♦ 动画演示：太阳系行星的运动
土星
金星 太阳
地球
p3
月亮
木星
一、合作探究，形成概念：
请同学们用事先准备好的学习用具小组内共同完成一下 任务，并思考相应问题。
1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点） 画出的轨迹是一个什么图形？笔尖（动点）满足什么几何条 件？
结论：若常数大于|F1F2|,则点M的轨迹是（椭圆 ）
若常数等于|F1F2|，则点M的轨迹是（ 线段F1F2） 若常数小于|F1F2|，则点M的轨迹（ 不存在 ）
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
椭圆的定义和标准方程PPT课件
2
2
y x 1 9 4
2
2
设F1、 F2为椭圆 P为椭圆上一点，与
x2 y2 1 的焦点， 25 9
构成一个
F1、 F2
PF 1F 2
的周长？
三角形，求
解：
Y
P
周长 PF F F PF PF 1F 2 1 1 2 2
PF1 PF2 F1F2
x y 25 9
| F1F2|=2c
(c>0)
a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y
(a 2 -c2 )x 2 +a 2 y2 =a 2 (a 2 -c2 )
b2 a 2 c 2
(b>0)
常数 =2a a>c
(a>0)
b2 x 2 +a 2 y2 =a 2b2
焦点在X轴的椭圆的标准方程：
|MF1|+|MF2|= 2a
(a>0)
|MF1|+|MF2|= 2a
(a>0)
(x+c) 2 +y 2 + (x-c) 2 +y 2 =2a
x 2 +(y+c) 2 + x 2 +(y-c) 2 =2a
(a 2 -c 2 )x 2 +a 2 y 2 =a 2 (a 2 -c 2 ) b a -c (b 0)
1
c 1
1
2c 2
2
F (1,0), F (1,0) 焦点为： F (0, 2 焦点为： 焦距为： 焦距 4 2 2 为：
2c 4 2
2), F2 (0,2 2)
椭圆ppt课件
02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔 和画板，通过细线两端分别绕两 个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别 用圆规画出两个相交的圆，连接 两个交点得到椭圆的长短轴，再 绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆 。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦 点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时， 椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀 ，节省材料，常用于石油 、化工等行业的聚焦于一点，应用于望 远镜、卫星天线等光学设 备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示 在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常 用椭圆函数形式来描述消费者在无 差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆 上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画 布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实 现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例
3.1.2椭圆的简单几何性质课件(人教版)
x2 a2
y2 b2
1，
（4）
由此可知，点M的轨迹是椭圆，方程（1）是椭圆
的参数方程，在椭圆的参数方程（1）中，常数a、
b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
6、椭圆的参数方程
椭圆 x2 a2
y2 b2
1 （a
b
0），的参数方程是
x
y
a cos b sin
（为参数）
7、椭圆的焦半径公式
P（x0，y0）是椭圆
c2
b2，就可化
成：x a
2 2
y2 b2
（1 a
b 0）.
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、 短轴长分别为2a、2b的椭圆.
5、椭圆的第二定义
平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的
距离的比是常数：e c （0＜e＜1）时，这个 a
点M的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线 叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．
长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法
画出它的图形．
解：把已知方程化成标准方程： x 2 52
y2 42
1，
这里，a 5，b 4，所以：c 25 16 3，
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是：2a 10
和 2b 8，离心率 e c 3，两个焦点分别是 a5
F1 （ 3，0）和F2 （3，0），椭圆的四个顶点是 A（1 5，0）、A（2 5，0），B（1 0， 4）和B（2 0，4）.
练习
一、选择题
1、椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆
的中心到其准线的距离是（D ）
A、8 5 5
B、 4 5 5
C、8 3 3
D、 4 3 3
2、椭圆 9x2 25 y 2 225 上有一点P，它到右准
椭圆的课件ppt
椭圆的焦点性质与离心率性质的应用
焦点性质
椭圆焦点位置决定了椭圆形状，当两个焦点距离越大，椭圆越扁平；当两个焦点 距离越小，椭圆越圆。
离心率性质的应用
离心率可以用于计算椭圆形状的变化，离心率越小，椭圆越圆；离心率越大，椭 圆越扁平。
椭圆的焦点三角形与离心率三角形
焦点三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为焦点三角形。
椭圆的范围与顶角
01
椭圆的范围是指椭圆上任一点到 椭圆中心的距离范围。对于标准 椭圆，这个范围是从-a到a的，其 中a是椭圆的长半轴长度。
02
椭圆的顶角是指椭圆上与两个焦 点相连的线段之间的夹角。对于 标准椭圆，这个夹角是90度。
椭圆的性质在生活中的应用
椭圆性质在生活中的应用广泛，例如在物理 学中，椭圆运动轨迹经常出现，如篮球投篮 、行星运动等；在工程学中，椭圆形状也经 常被用于建筑设计、汽车制造等方面。
转化方法
通过一些数学变换，可以将椭圆的参数方程或极坐标方程转化为另一种形式， 从而方便解的焦点与离心率
椭圆的焦点与离心率定义
椭圆焦点
椭圆的两个焦点位于长轴的端点，与椭圆中心距离相等，连 接两个焦点的线段称为焦距。
离心率定义
椭圆的离心率是指椭圆焦点到椭圆中心的距离与椭圆长轴长 度的比值。
离心率三角形
以椭圆中心为顶点，以两个焦点为侧顶点的三角形称为离心率三角形。
CHAPTER 04
椭圆的性质与运用
椭圆的对称性
椭圆的对称性是指椭圆关于坐标轴和原点都是对称的。这意味着无论从哪个方向开始，沿着坐标轴方 向移动，椭圆上的点都会以相同的形状和大小出现。
在椭圆中，与两个焦点距离之和等于定值的点构成的图形。这个定值是椭圆的长轴长度，与两个焦点 之间的距离之差等于短轴长度。
《椭圆的定义》课件
《椭圆的定义》ppt课件
• 椭圆的定义 • 椭圆的几何意义 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的焦点与离心率 • 椭圆的面积与周长 • 椭圆的扩展知识
01
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴。
当 $a = b$ 时，椭圆变为圆；当 $a > b$ 时，椭圆为扁平椭圆；当 $a < b$ 时，椭圆为长椭圆。
这个方程描述了一个椭圆，其形状由 半长轴 $a$ 和半短轴 $b$ 的大小决 定。
椭圆的基本性质
椭圆是封闭的曲线，它有两个焦点， 分别位于长轴的端点。
椭圆上任意一点到焦点的距离与该点 到椭圆中心的距离之比是一个常数， 这个常数等于半短轴 $b$ 与半长轴 $a$ 的比值，记作 $e$，即 $e = frac{c}{a}$。
椭圆是平面内到两定点距离之差等于常数的点的轨迹：这个常数小于两定点之间的 距离。
椭圆是平面内到两定点距离之积等于常数的点的轨迹：这个常数大于两定点之间的 距离。
椭圆在日常生活中的应用
01
02
03
04
天文学
行星和卫星的轨道通常呈现椭 圆形形状，这是因为它们受到
太阳的引力作用。
物理学
粒子在磁场中的运动轨迹可能 是椭圆形。
椭圆和双曲线有一个共同的焦点 ：两点的中点。
椭圆和双曲线都可以由平面截取 圆锥面得到：一个平面与圆锥面 的母线形成的角为锐角得到椭圆 ，形成的角为直角得到双曲线。
THANKS
感谢观看
$S = pi ab$，其中a和b分别是椭圆长轴和 短轴的半径。
应用场景
• 椭圆的定义 • 椭圆的几何意义 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的焦点与离心率 • 椭圆的面积与周长 • 椭圆的扩展知识
01
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴。
当 $a = b$ 时，椭圆变为圆；当 $a > b$ 时，椭圆为扁平椭圆；当 $a < b$ 时，椭圆为长椭圆。
这个方程描述了一个椭圆，其形状由 半长轴 $a$ 和半短轴 $b$ 的大小决 定。
椭圆的基本性质
椭圆是封闭的曲线，它有两个焦点， 分别位于长轴的端点。
椭圆上任意一点到焦点的距离与该点 到椭圆中心的距离之比是一个常数， 这个常数等于半短轴 $b$ 与半长轴 $a$ 的比值，记作 $e$，即 $e = frac{c}{a}$。
椭圆是平面内到两定点距离之差等于常数的点的轨迹：这个常数小于两定点之间的 距离。
椭圆是平面内到两定点距离之积等于常数的点的轨迹：这个常数大于两定点之间的 距离。
椭圆在日常生活中的应用
01
02
03
04
天文学
行星和卫星的轨道通常呈现椭 圆形形状，这是因为它们受到
太阳的引力作用。
物理学
粒子在磁场中的运动轨迹可能 是椭圆形。
椭圆和双曲线有一个共同的焦点 ：两点的中点。
椭圆和双曲线都可以由平面截取 圆锥面得到：一个平面与圆锥面 的母线形成的角为锐角得到椭圆 ，形成的角为直角得到双曲线。
THANKS
感谢观看
$S = pi ab$，其中a和b分别是椭圆长轴和 短轴的半径。
应用场景
椭圆的定义PPT教学课件
举出实例:
M
椭圆的定义： F1
F2
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常 数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
F1、F2 ——焦点 |F1F2 | ——焦距（一般用2c表示）
|MF1|+ |MF2| = 2a
设∣F1F2∣= 2c, ∣MF1∣+∣MF2∣= 2a，则
c=0时,圆 M
2a>2c时, 椭圆
(3)曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一
个焦点F2的距离等于___2__5___3_，则三角形F1PF2的周
y
长为_2__5___2_____
F2 P
O
x
F1
例3、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）满足a=4, b=1，焦点在 x轴上的椭圆 的标准方程为__1x_62___y_2___1___;
解：由 4x2+ky2=1
x2
y2
可得
1 11
4k
因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
所以 1 1 k4
即：0<k<4
所以k的取值范围为 0<k<4 .
例5、化简：
x2 ( y 3)2 x2 ( y 3)2 10
分析： |MF1|+|MF2|=10， 2a=10，2c=6， ∴a=5，c=3，b=4 ∴ y2 x2 1
• 父：聪明吾儿，那你再看这平坦的大地又像什么？ • 女：（略思索）像方正的木板． • 父：对，正如书中所云：“天圆如张盖，地方如
棋局”。
背景：两千多年前的我国周代
天圆地方---盖天说
古希腊数学家毕达哥拉斯
古希腊著名科学家 亚里士多德
太阳光
M
椭圆的定义： F1
F2
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常 数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
F1、F2 ——焦点 |F1F2 | ——焦距（一般用2c表示）
|MF1|+ |MF2| = 2a
设∣F1F2∣= 2c, ∣MF1∣+∣MF2∣= 2a，则
c=0时,圆 M
2a>2c时, 椭圆
(3)曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一
个焦点F2的距离等于___2__5___3_，则三角形F1PF2的周
y
长为_2__5___2_____
F2 P
O
x
F1
例3、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）满足a=4, b=1，焦点在 x轴上的椭圆 的标准方程为__1x_62___y_2___1___;
解：由 4x2+ky2=1
x2
y2
可得
1 11
4k
因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
所以 1 1 k4
即：0<k<4
所以k的取值范围为 0<k<4 .
例5、化简：
x2 ( y 3)2 x2 ( y 3)2 10
分析： |MF1|+|MF2|=10， 2a=10，2c=6， ∴a=5，c=3，b=4 ∴ y2 x2 1
• 父：聪明吾儿，那你再看这平坦的大地又像什么？ • 女：（略思索）像方正的木板． • 父：对，正如书中所云：“天圆如张盖，地方如
棋局”。
背景：两千多年前的我国周代
天圆地方---盖天说
古希腊数学家毕达哥拉斯
古希腊著名科学家 亚里士多德
太阳光
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（大于 | F1F2 ）| 的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 注：若| PF1| | PF2 || F1F2 |,则P点的轨迹为椭圆.
若 | PF1 | | PF2 || F1F2 |,则P点的轨迹为线段. 若| PF1 | | PF2 || F1F2 |,则P点的轨迹不存在.
F1
c O
F2
x
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
2.椭圆的标准方程
例:已知点F1 、F2 为椭圆两个焦点,P为椭圆上任意一 点,且| F1F2 | 2c，| PF1 | | PF2 | 2a ,其中 a c 0 ,求椭圆方程
一般步骤: (1) 建系设点 (2) 写出点的集合
点拨:怎样建系可以 使方程尽可能简 单?
情感、态度与价值观:通过经历椭圆方程的化简,增 强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、 对称美.通过讨论椭圆方程推导的等价性养成学生 扎实严谨的科学作风.
1.3 教学重点和难点
重点:椭圆的定义及椭圆的标准方程 难点:推导椭圆的标准方程 关键:含有两个根式的等式化简
二.教学策略
2.1教学方法与学法设计: “引导探究式教学” 2.2教学手段设计: 多媒体
析、概括问题的能力并用联系与发展的观点看问题
联系生活:
情境1.生活中,你见过哪些类似椭圆的图形或物体?
情境2.让学生观察倾斜的圆柱形水杯的水面边界线，并 从中抽象出数学模型.
情境3.观看天体运行的轨道图片.
设计意图:渗透科学源于生活,圆锥曲线 在生产和技术中有着广泛的应用.
2.椭圆的标准方程
a2 cx a x c2 y2
讨论平方的 等价性
a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2
b2x2 a2y2 a2b2
xxc2y2 xc2y22a
x c2 y2 4a 2 4a x c2 y2 x c2 y2
a 2 c x a x c2 y 2 a 2 c2 x 2 a 2 y2 a 2 a 2 c2
b2x 2 a 2y2 a 2b2
x2 a2
y2 b2
1a b 0
2
a2
y2 b2
1a b 0
<1>对于给定条件,是否只有一种建系方法?
<2>不推导,你能写出另一种椭圆的标准方程吗?
<3>如何由方程,辨别两种不同的建系方法呢?
椭圆及其标准方程
教教 教 教
教
学学 法 学 板 学
背目 学 程 书 评
景标 法 序 设 价
分设 分 设 计 设
析计 析 计
计
一、教学背景分析
1、教材的地位与作用
椭圆及其标准方程是求曲线方程的深化和巩固，是学习 圆锥曲线的基础，对本章的学习具有导向和引领作用，具有 承前启后的作用．
2、学生现状分析
<1>将一条细绳的两端分别固定在平面内的两个 定点 、 F1 F2 上,用笔尖将细绳拉紧并运动, 在纸上 你得到了怎样的图形?
<2>如果调整细绳两端点F1、F2 的相对位置,细绳的 长度不变,猜想你的椭圆会发生怎样的变化?
<3>同样方式的操作为什么得到不同的结果?
活动形式:操作--交流--归纳--演示--联系生活 设计意图:准确理解椭圆的定义;培养学生观察、辨
例:已知点F1 、F2 为椭圆两个焦点,P为椭圆上任意一 点,且| F1F2 | 2c，| PF1 | | PF2 | 2a ,其中 a c 0 ,求椭圆方程
一般步骤: (1) 建系设点 (2) 写出点的集合
点拨:怎样建系可以 使方程尽可能简 单?
(3) 写出代数方程 (4) 化简方程
点拨:化简的目的是什 么?有怎样的方法?
直接 平方
x c2 y2 x c2 y2 2a
移项平方
x c2 y2 4a2 4a x c2 y2 x c2 y2
a2 cx a x c2 y2
y
b2 a2 c2
a b 0 a2 c2 x2 a2y2 a2 a22b2
(3) 写出代数方程 (4) 化简方程 (5) 证明
点拨:为化简方程, 你将如何处理?
活动形式:点拨----板演---点评
设计意图:掌握椭圆标准方程及推导方法;培养
学生战胜困难的意志品质
x c2 y2 x c2 y2 2a
x c2 y2 4a2 4a x c2 y2 x c2 y2
高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃， 又有了相应知识基础，所以他们乐于探索、敢于探究。但高 中生的逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待 于训练提高．
3、重点:椭圆定义的理解及标准方程的推导．
难点:推导椭圆的标准方程．
二、教学目标设计
知识与技能: 准确理解椭圆的定义,掌握椭圆标准方程及其推导.
3.2讲授新课阶段
1.椭圆的定义 平面内与两个定点 F1、F2的距离的和等于常数
（大于 | F1F2 ）| 的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 注：若| PF1| | PF2 || F1F2 |,则P点的轨迹为椭圆.
若 | PF1 | | PF2 || F1F2 |,则P点的轨迹为线段. 若| PF1 | | PF2 || F1F2 |,则P点的轨迹不存在.
三．教学过程
3.1 复习引入阶段
（1）圆的定义是什么?圆的标准方程的形式怎样？ （2）如何推导圆的标准方程呢？
活动形式:师问生答(教师作必要的补充、纠正) 设计意图:激活学生已有的认知结构;为本课推导椭
圆的标准方程提供了方法与策略.
3.2讲授新课阶段
1.椭圆的定义 平面内与两个定点 F1、F2的距离的和等于常数
过程与方法:培养学生动手、观察、辨析、归纳问题的能力.
情感、态度与价值观:通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难 的意志品质并体会数学的简洁美、对称美.通过讨论椭圆方程推导 的等价性养成学生扎实严谨的科学作风.
1.2 教学目标
知识与技能: 准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的标 准方程及其推导.
过程与方法:通过引导学生亲自动手尝试画图、发 现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学 生观察、辨析、归纳问题的能力.
若 | PF1 | | PF2 || F1F2 |,则P点的轨迹为线段. 若| PF1 | | PF2 || F1F2 |,则P点的轨迹不存在.
F1
c O
F2
x
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
2.椭圆的标准方程
例:已知点F1 、F2 为椭圆两个焦点,P为椭圆上任意一 点,且| F1F2 | 2c，| PF1 | | PF2 | 2a ,其中 a c 0 ,求椭圆方程
一般步骤: (1) 建系设点 (2) 写出点的集合
点拨:怎样建系可以 使方程尽可能简 单?
情感、态度与价值观:通过经历椭圆方程的化简,增 强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、 对称美.通过讨论椭圆方程推导的等价性养成学生 扎实严谨的科学作风.
1.3 教学重点和难点
重点:椭圆的定义及椭圆的标准方程 难点:推导椭圆的标准方程 关键:含有两个根式的等式化简
二.教学策略
2.1教学方法与学法设计: “引导探究式教学” 2.2教学手段设计: 多媒体
析、概括问题的能力并用联系与发展的观点看问题
联系生活:
情境1.生活中,你见过哪些类似椭圆的图形或物体?
情境2.让学生观察倾斜的圆柱形水杯的水面边界线，并 从中抽象出数学模型.
情境3.观看天体运行的轨道图片.
设计意图:渗透科学源于生活,圆锥曲线 在生产和技术中有着广泛的应用.
2.椭圆的标准方程
a2 cx a x c2 y2
讨论平方的 等价性
a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2
b2x2 a2y2 a2b2
xxc2y2 xc2y22a
x c2 y2 4a 2 4a x c2 y2 x c2 y2
a 2 c x a x c2 y 2 a 2 c2 x 2 a 2 y2 a 2 a 2 c2
b2x 2 a 2y2 a 2b2
x2 a2
y2 b2
1a b 0
2
a2
y2 b2
1a b 0
<1>对于给定条件,是否只有一种建系方法?
<2>不推导,你能写出另一种椭圆的标准方程吗?
<3>如何由方程,辨别两种不同的建系方法呢?
椭圆及其标准方程
教教 教 教
教
学学 法 学 板 学
背目 学 程 书 评
景标 法 序 设 价
分设 分 设 计 设
析计 析 计
计
一、教学背景分析
1、教材的地位与作用
椭圆及其标准方程是求曲线方程的深化和巩固，是学习 圆锥曲线的基础，对本章的学习具有导向和引领作用，具有 承前启后的作用．
2、学生现状分析
<1>将一条细绳的两端分别固定在平面内的两个 定点 、 F1 F2 上,用笔尖将细绳拉紧并运动, 在纸上 你得到了怎样的图形?
<2>如果调整细绳两端点F1、F2 的相对位置,细绳的 长度不变,猜想你的椭圆会发生怎样的变化?
<3>同样方式的操作为什么得到不同的结果?
活动形式:操作--交流--归纳--演示--联系生活 设计意图:准确理解椭圆的定义;培养学生观察、辨
例:已知点F1 、F2 为椭圆两个焦点,P为椭圆上任意一 点,且| F1F2 | 2c，| PF1 | | PF2 | 2a ,其中 a c 0 ,求椭圆方程
一般步骤: (1) 建系设点 (2) 写出点的集合
点拨:怎样建系可以 使方程尽可能简 单?
(3) 写出代数方程 (4) 化简方程
点拨:化简的目的是什 么?有怎样的方法?
直接 平方
x c2 y2 x c2 y2 2a
移项平方
x c2 y2 4a2 4a x c2 y2 x c2 y2
a2 cx a x c2 y2
y
b2 a2 c2
a b 0 a2 c2 x2 a2y2 a2 a22b2
(3) 写出代数方程 (4) 化简方程 (5) 证明
点拨:为化简方程, 你将如何处理?
活动形式:点拨----板演---点评
设计意图:掌握椭圆标准方程及推导方法;培养
学生战胜困难的意志品质
x c2 y2 x c2 y2 2a
x c2 y2 4a2 4a x c2 y2 x c2 y2
高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃， 又有了相应知识基础，所以他们乐于探索、敢于探究。但高 中生的逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待 于训练提高．
3、重点:椭圆定义的理解及标准方程的推导．
难点:推导椭圆的标准方程．
二、教学目标设计
知识与技能: 准确理解椭圆的定义,掌握椭圆标准方程及其推导.
3.2讲授新课阶段
1.椭圆的定义 平面内与两个定点 F1、F2的距离的和等于常数
（大于 | F1F2 ）| 的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 注：若| PF1| | PF2 || F1F2 |,则P点的轨迹为椭圆.
若 | PF1 | | PF2 || F1F2 |,则P点的轨迹为线段. 若| PF1 | | PF2 || F1F2 |,则P点的轨迹不存在.
三．教学过程
3.1 复习引入阶段
（1）圆的定义是什么?圆的标准方程的形式怎样？ （2）如何推导圆的标准方程呢？
活动形式:师问生答(教师作必要的补充、纠正) 设计意图:激活学生已有的认知结构;为本课推导椭
圆的标准方程提供了方法与策略.
3.2讲授新课阶段
1.椭圆的定义 平面内与两个定点 F1、F2的距离的和等于常数
过程与方法:培养学生动手、观察、辨析、归纳问题的能力.
情感、态度与价值观:通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难 的意志品质并体会数学的简洁美、对称美.通过讨论椭圆方程推导 的等价性养成学生扎实严谨的科学作风.
1.2 教学目标
知识与技能: 准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的标 准方程及其推导.
过程与方法:通过引导学生亲自动手尝试画图、发 现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学 生观察、辨析、归纳问题的能力.