线性代数 5-2 第5章2讲-特征值与特征向量(2)

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有关特征向量的性质
注1 k重特征值最多有k个线性无关的特征向量.
注2 属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍为特征向量. A1 1，A2 2 A(k11 k22 ) k1 A1 k2 A2 A(k11 k22 ) k11 k22 A(k11 k22 ) (k11 k22 )
(5) A可逆，则 A 为A 的特征值；
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有关特征向量的性质
定理5.1 n阶矩阵A 的相异特征值1，2， ，m所对应的特征向量1,2 , ,m 线性无关；
推论 n 阶矩阵A 的相异特征值为1，2， ，m ,i1,i2 , ,iri 是特征值i 所对应
m
的线性无关的特征向量，则 ri个特征向量11,12 , ,1r1 ,21,22 , ,2r2 i 1 ，m1,m2 , ,mrm 线性无关.
故应填 4
3
有关特征值的性质
性质5.2 矩阵A与AT 有相同的特征值.
证 AT E ( A E)T A E 性质5.3 设A 是n 阶可逆矩阵， 为其特征值，则(1) 0; (2) 1 是A1 的特征值.
证 (1) 假设 0，则由定义知A 0 0.
而矩阵A可逆，故上式两端同时左乘A1 得 A10 0.
把Ax1 1x1、Ax2 2 x2带入上式得1x1 2 x2 x1 x2 (1 )x1 (2 )x2 0
由1 2知x1、x2线性无关 1 2 这与1 2矛盾
故x1 x2不是A 的特征向量.
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有关特征值的性质
0 0 1
例6
设A
x
1
y
有三个线性无关的特征向量，则x
设矩阵A aij nn ，称a11 a22 ann为矩阵A 的迹.
ann.
7 4 1
例1
已知三阶矩阵A
4
7 1 有特征值1 2 3，3 =12，则x ______ .
4 4 x
解 1 2 3 a11 a22 a33， 即3 3 12 7 7 x，
解得x 4.
这与特征向量 0矛盾，故 0.
(2) 由条件知有非零向量 满足A ，两边左乘以A1 得 A1
因 0，于是有 A1 1 ①
所以 1 为A1的特征值.
4
有关特征值的性质
性质5.4 若是A 的特征值，则f ()是f ( A) 的特征值.
代数多项式 f (x) am xm am1xm1 a1x a，0 矩阵多项式 f ( A) am Am am1Am1 a1A a0E. 例2 已知三阶矩阵A 的特征值 1，1，2，求 A3 5A2 .
和y
应满足的条件为 ____ .
1 0 0
0 1
解 E A x 1 y 2 ( 1) ( 1) ( 1)2 ( 1) 0
1 0
得特征值 1 1(二重)，2 1.
欲使1 1有二个线性无关的特征向量 矩阵r(E A) 1
1 0 1 1 0 1 1 0 1
E A x
0
y
x
0
y
0
0
x
y
1 0 1 0 0 0 0 0 0
故应填 x y 0
于是得 x y 0.
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有关特征值的性质
例7
设A为二阶矩阵，1，2为线性无关的二维列向量，A1
0，A2
21
，
2
则A 的非零特征值为 .
解
解法一
A(21 2 ) 2 A1 A2
0
A2
21
，
2
故应填 1
则1,2 =0，1.所以A的非零特征值为1.
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有关特征值的性质
设A为二阶矩阵，1，2为线性无关的二维列向量，A1
0，A2
21
，
2
则A 的非零特征值为 .
线性代数（慕课版）
第五章 矩阵的特征值源自文库特征向量
第二讲 特征值与特征向量(2)
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本讲内容
特征值与特征向量的性质
有关特征值的性质
性质5.1 定义5.2
设矩阵A aij nn 的特征值为1, 2 , , n，则
(1) 12 n A ; (2) 1 2 n a11 a22
知 21 2 是A的关于特征值1的特征向量，1是A 的非零特征值.
解法二
由A(1，
2
)
(
A1，A
2
)
(0，21
2
)
(1，
2
)
0 0
2 1 .
即P
(1，2 )，由1，2线性无关知P
可逆，从而P 1 AP
0
0
2
1
B
所以A与B有相同的特征多项式和特征值，而 E B = 2 =( 1). 0 1
解 若为矩阵A 的特征值， 即A (2A) (2)，
又E 1 (2A E) (2 1) 所以2 1是B 2A E 的特征值
于是A 的特征值为1, 1, 2，则B 的特征值为3, 1和5.
n 阶单位矩阵E 的特征值为1 2 n 1
任意n 维非零列向量均为n 阶单位矩阵E的特征向量
注3 属于不同特征值的特征向量的线性组合不是特征向量.
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有关特征值的性质
例5 设1, 2为n 阶方阵A 的特征值，且1 2 , 而x1, x2 分别为对应的特征
向量. 试证明：x1 x2不是A 的特征向量.
证 反证法
设x1 x2是A 的属于特征值 的特征向量，即A(x1 x2 ) (x1 x2 ) Ax1 Ax2 x1 x2
解 设f (x) x3 5x2，则f ( A) A3 5A2， 由性质5.4知f ( A) 的全部特征值为 f (1) 6，f (1) 4，f (2) 12， 故 A3 5A2 (6) (4) (12) 288.
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有关特征值的性质
例3 已知三阶矩阵A 的特征值为1, 1, 2，则矩阵B 2A E(E 为三阶单位阵) 的特征值为 ______ .
f ()为f ( A)的特征值；
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有关特征值的性质
例4 设为n 阶方阵A 的特征值，证明 2 为A2 的特征值.
证
A A2 A ( A ) A ( ) ( A ) 2
拓展 设 为n 阶方阵A 的特征值，则 m 为Am 的特征值.
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有关特征值的性质
总结
抽象矩阵求特征值的公式 设为A 的特征值，则 (1) k为kA 的特征值； A (kA) (k) (2) m 为Am 的特征值； (3) f () 为f ( A) 的特征值； (4) A 可逆，则 1 为A1 的特征值；