数理逻辑习题部分解答

一、命题逻辑

3．将下列命题符号化。

（3）如果公用事业费用增加或者增加基金的要求被否定，那么当且仅当现有计算机设不适用的时候，才需购买一台新计算机；

（5）虽然天气很好，老王还是不来；

（7）停机的原因在于语法错误或程序错误；

解：（3）设P：公用事业费用增加；Q：要求增加基金；

R：现有计算机设备适用；S：购买一台计算机；

则命题可符号化为：()()

P Q R S

∨⌝→⌝↔。

（5）设P：天气很好；Q：老王来；

则命题可符号化为：P Q

∧⌝。

（7）设P：停机的原因在于语法错误；Q：停机的原因在于程序错误。

则命题可符号化为：P Q

∨。

4．设命题P：这个材料很有趣；Q：这些习题很难；R：这门课程使人喜欢。将下列句子符号化。

（4）这个材料很有趣意味着这些习题很难，反之亦然；

（5）或者这个材料很有趣，或者这些习题很难，并且两者恰具其一。

解：（4）P Q

↔（5）()()

P Q P Q

∧⌝∨⌝∧或者()()

P Q P Q

∨∧⌝∨⌝

12．用基本等价公式的转换方法验证下述论断是否有效。

（1）P→Q,R∧S,┐Q⇒P∧S；

（2）┐(P∧┐Q),┐Q∨R,┐Q⇒┐P；

（3）P,Q→R,R∨S⇒Q→S。

解：（1）()()()(()())()

P Q R S Q P S P Q R S Q P S

→∧∧∧⌝→∧=⌝⌝∨∧∧∧⌝∨∧

()()1

P Q R S Q P S P Q R S

=∧⌝∨⌝∨⌝∨∨∧=∨∨⌝∨⌝≠

（2）(()())()()

P Q Q R Q P P Q Q R Q P

⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝→⌝=∧⌝∨∧⌝∨∨⌝

()()()1

P Q Q P P Q P Q

=∧⌝∨∨⌝=∧⌝∨⌝∧⌝=

（3）(()())()()()()

P Q R R S Q S P Q R R S Q S

∧→∧∨→→=⌝∨∧⌝∨⌝∧⌝∨⌝∨

(())()1

P R Q S Q S P R Q S

=⌝∨⌝∧∨⌝∨⌝∨=⌝∨⌝∨⌝∨≠

14．符号化下列论断，并用演绎法验证论断是否正确。

（1）有红、黄、蓝、白四队参加足球联赛。如果红队第三，则当黄队第二时，蓝队第四；

或者白对不是第一，或者红队第三；事实上，黄队第二。因此，如果白队第一，那

么蓝队第四；

证明：设P：红队第三；Q：黄队第二；R：蓝队第四；S：白队第一。

则上述句子可符号为：()

P Q R

→→，S R

⌝∨，Q S R

⇒→

①S P

⌝∨

②S

③P

④()

P Q R

→→⑤Q R

→

⑥Q

⑦R

⑧S R

→P

P（附加前提）T，①，②，I P

T，③，④，I P

T，⑤，⑥，I CP，②，⑦

（2）如果6是偶数，则2不能整除7；或者5不是素数，或者2整除7；5是素数。因

此，6是奇数；

证明：设P：6是偶数；Q：2整除7；R：5是素数则上述句子可符号化为：P Q

→⌝，R Q

⌝∨，R P

⇒⌝

①()P

⌝⌝

②P

③P Q

→⌝④Q

⌝

⑤R Q

⌝∨

⑥R

⌝

⑦R

⑧R R

⌝∧P（附加前提）T，①，E

P

T，②，③，I P

T，④，⑤，I P

T，⑥，⑦，I

（3）若今天是星期二，那么我要考计算机科学或经济学；若经济学教授病了，就不考经济学；今天是星期二，并且经济学教授病了。所以，我要考计算机科学；

证明：设P：今天是星期二；Q：我要考计算机科学；R：我要考经济学；S：经济学教授病了。

则上述句子可符号化为：()

P Q R

→∨，S R

→⌝，P S

∧Q

⇒

①P S

∧

②S

③S R

→⌝

④R

⌝

⑤()

P Q R

→∨

⑥P

⑦Q R

∨

⑧Q P

T，①，I P

T, ②,③,I P

T, ①,I T, ⑤,⑥,I T, ④,⑦,I

二、谓词逻辑

1．用谓词和量词，将下列命题符号化。

（4）会叫的狗未必会咬人；

（5）每个人的外祖母都是他母亲的母亲；

（6）任何金属均可溶解于某种液体之中；

解：（4）设：D(x)：x是会叫的狗，R(x)：x是会咬人的狗。

则上述句子可符号化为：()(()())

x D x R x

∃∧⌝

（5）设H(x)：x是人，G(x,y)：x是y的外祖母，M(x,y)：x是y的母亲。则上述句子可符号化为：()()(()()(,)()(()(,)(,)))

x y H x H y G x y z H z M x z M z y

∀∀∧∧→∃∧∧（6）设：P(x)：x是液体，G(x)：x是金属，R(x,y)：x溶解y。

则上述句子可符号化为：()(()()(()(,)))

x G x y P y R y x

∀→∃∧

8．求下述公式的前束范式和Skolem范式。

（1）(∀y) (P(x)→(∃y)Q(x, y))；

（3）(∃x) P(x,y)↔(∀z)Q(z)；

（5）(∃y)(∀x)(∀z)(∃u)(∀v)P(x, y, z, u, v)。

解：（1）求前束范式

()(()()(,))()(()()(,))()()(()(,))

x P x y Q x y x P x y Q x y x y P x Q x y

∀→∃=∀⌝∨∃=∀∃⌝∨

求Skolem范式

()(()()(,))()()(()(,))()(,())

x P x y Q x y x y P x Q x y P x Q x f x

∀→∃=∀∃⌝∨=⌝∨