初等解析函数和多值函数.ppt
初等函数及其分类讲解
指数函数 函指数数函（数a是常数且a>0,a? 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(? ,函+?数)。 （a是常数且a>0,a? 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(因?为,对+?于)。任何实数值x，总有 ，又 ，所以指数函数的图形，总在x轴 的因上为方对，于且任通何过实点数(0,值1)x。，总有 ，又 ，所以指数函数的图形，总在x轴 若的a>上1，方指，数且函通数过点是(单0,调1)增。加的。 若若0<aa><11，，指指数数函函数数 是是单单调调增减加少的的。。 由若于0，<a所<1以，的指图数形函与数的是图单形调是减关少于的y。轴对称的。
初初等等代代数数函函数数
有有理理整整函函数数
初等函数
基本初等 函数
无无理理函函数数
有有理理函函数数 有有理理分分函函数数
初初等等超超越越函函数数
初等代数函数：由初等函数f1(x)=x和f2(x)=1 经过有限次代数运算得到的初等函数，称为 初初等等代代数数函函数数。：（由或初代等数函显数函f1数(x）)=x和f2(x)=1
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1．三角函数 正1弦．函三数角和函余数弦函数都是以2p 为周期的周期函数，它们的定义域都是区间 (-?正,+弦?函)，数值和域余都弦是函必数区都间是[-以1,21p]。为周期的周期函数，它们的定义域都是区间 正(弦-?函,+数? 是)，奇值函域数都，是余必弦区函间数[-是1,1偶]。函数。 正正切弦函函数数和是余奇切函函数数，都余是弦以函p 为数周是期偶的函周数期。函数，它们都是奇函数
正切函数和余切函数都是以p 为周期的周期函数，它们都是奇函数 返回
2.3初等函数
类似地，连续变动k周回到z1时，
辐角arg z1变为arg z1＋2k (k 1, 2, ).
(4) 当z从z1开始按照逆时针方向 沿着C \{0}内一条围绕z0( 0,) (不围绕原点)的简单闭曲线L3连续 变动一周，回到z1时，arg z1不变.
设F (z)是区域( C )上的一个多值函数， z0 C.若在z0的某个充分小的邻域内，存在 一条包围z0的简单闭曲线L，当动点z沿L旋转 一周，回到起点时，F (z)的函数值发生变化， 则z0称为多值函数F (z)的支点.
连接多值函数F (z)的支点，用来剪开z平面， 借以分出多值函数F (z)的单值分支的割线，称为 多值函数F ( z)的支割线.
1 ln 13 i(arc tan 3 2k ), (k ),
2
2
ln(2 3i) ln | 2 3i | i arg(2 3i)
如果ez1 ez2，那么z1 z2 2k i，反之亦真.
(5) z C, ez 0, ez eRez ,
Argez Im z 2k (k Z );
2. 三角函数
由Euler公式，对x R,
eix cos x i sin x, eix cos x i sin x.
所以
cos x eix eix , sin x eix eix .
sin z
cos z
sin z
二、初等多值函数
1. 辐角函数
辐角函数F(z) Argz是C \{0}上的一个多值函数. 将辐角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数， 每一个单值连续函数称为辐角函数在这个区域内 的一个单值连续分支.
考虑沿负实轴(包括原点0)剪开复平面而得到的
第2章、解析函数
第二章 解析函数本章介绍复变函数中一个重要的概念：解析函数，并给出一个重要的判定方法：柯西黎曼条件。
最后分别介绍一些重要的单值初等解析函数及多值初等函数的分支解析。
第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼条件1、复变函数的导数：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且，0z D ∈。
如果极限()000()lim z z f z f z z z →-- 存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0()f z '，或0z z dw dz =。
2、解析函数：定义：如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数。
解析函数的导（函）数一般记为)('z f 或z z f d )(d 。
注1、 此定义也用εδ-语言给出。
注2、 可导必连续注3、解析必可导性，在一个点的可导不一定解析，可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；解析函数的四则运算：()f z 和()g x 在区域D 内解析，那么)()(z g z f ±，)()(z g z f ，)(/)(z g z f （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：(()())()()f z g x f z g z '''±=±[()()])()()()()f zg x f z g z f z g z ''=+2()()()()()()(()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''-'=≠复合求导法则：设)(z f =ζ在z 平面上的区域D 内解析，)(ζF w =在ζ平面上的区域1D 内解析，而且当D z ∈时，1)(D z f ∈=ζ，那么复合函数)]([z f F w =在D 内解析，并且有z z f F z z f F d )(d d )(d d )]([d ζζ=求导的例子：（1）如果()f x a =（常数），那么；()0df z dz= （2）z 的任何多项式 n n z a z a a z P +++=...)(10在整个复平面解析，并且有 121...2)('-+++=n n z na z a a z P（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z 是实变量时相同。
数学物理方法第一章解析函数1.4初等函数
1.4 初等解析函数
二、初等多值函数
例1 讨论
w ( z a)( z b) 的支点
y
za
1
1.4 初等解析函数
答：支点为a,b
a oΒιβλιοθήκη z z b2b
x
思考： 函数 w 3 z 2 4 z 2 1 是几值函数？ 有何支点？
答：6值，支点
1,2,
二、初等多值函数
2.对数函数
（1）定义
若z
1.4 初等解析函数
主值支： ln z ln z i arg z , 0 arg z 2
ew
则
w Lnz
（2）多值性的体现 z的幅角和w的虚部的对应关系 （3）支点 0 , （4）单值分枝 Lnz ln z i(arg z 2k ) , k 0,1,2,
Q( z) 0
1.4 初等解析函数
一、初等单值函数
1. 幂函数（图）
w z
3
一、初等单值函数
2.指数函数 （1）定义
1.4 初等解析函数
w e z e x iy e x (cos y i sin y)
复平面
z1 z2 z1 z 2
（2）解析区域
z
（3）与实函数相同的性质
（5）支割线 （6）黎曼面 （7）解析性 （8）性质 连接 0 , 割开z平面的线 无穷多叶 每一单值支均解析
Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2
二、初等多值函数
2.对数函数（图） 问：
1.4 初等解析函数
Lnz Lnz ？ 2Lnz N Ln( z z )？ Lnz Lnz ？ 0 N
复变函数《初等解析函数》课件
12
幂函数的解析性
(1) 幂函数 zn 在复平面内解析,(zn ) nzn1.
1
(2) 幂函数 zn 是多值函数，具有 n 个分支. 它的各 个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析,
21
5. 反三角函数和反双曲函数
设 z cos w, 那么称 w 为 z 的反余弦函数, 记作 w Arc cos z.
由 z cos w eiw eiw , 2
得 e2iw 2zeiw 1 0,
方程的根为eiw z z2 1, 两端取对数得
Arccos z iLn(z z2 1).
§2.3 初等函数
一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数 四Δ、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数
1
1. 指数函数
定义 设 z x iy，则复变数 z 的指数函数定义为 exp(z) e x (cos y i sin y)
显然
Re(exp(z)) ex cos y Im(exp(z)) e x sin y exp(z) e x
证：令u ex cos y, v ex sin y,
u e x cos y, x v e x sin y, x
u e x sin y,
y
四个偏导数
v e x cos y, 均连续 y
即 u v , u v . x y y x
故 f (z) 在复平面内处处可导, 处处解析.
且 f (z) ex (cos y i sin y) f (z).w LnzBiblioteka ln z i arg z 2k
2.3初等多值函数
arg z arg z0 L Argz
z 0 点并指定初值arg z0 的前提下,终值 arg z 唯一,即辐角函数可单值化，
必须使辐角改变量仅与起点和终点有关而与曲线的形状无关.
L1 Argz L2 Argz L L Argz 0 (即原点在闭曲线 L1 L2 的外部). 1 2
1 i L Argz n
,
k
| z |e
n
e
i L Argz n
（4 ） z G : arg z , k Z .
,
或
wk
z
n
k
n | z|e
i
arg z 2 k n
z G : arg z , k Z .
（6）
,
（5 ）
定理2 在上述区域内各单值分值函数 ( n z ) k 解析, 且 d n 1 ( n z )k k 0,1,, n 1 . z k dz n z
2.2 由已知的某单值解析分支的初值求终值
2.2 由已知的某单值解析分支的初值求终值
wk
或
z
n
k
（4） n | z |e i arg w0 e , z G : arg z , k Z .
w n z n | z |e
i
Argz n
, z 0, .
(2)
2.1分出根式函数 w n z 的单值解析分支
(1) w n z 在某区域 D 内可单值化的充要条件及单值化方法 定理1 多值函数F z 可单值化的充要条件是对任意简单闭曲线L, 有
L n z 0.
L F z 0
第3节：初等函数
第3节 初等函数
一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数
一、指数函数
f ( z) e x (cos y i sin y) 在复平面上处处解析，而且 f ( z) f ( z)
且当 y=0时, f (z)=ex与实指数函数一致, 故 1、定义
e iy e iy cos y , 2
e iy e iy sin y . 2i
e iz e iz e iz e iz cos z ; sin z ; 2 2i 正弦函数 余弦函数
iz e Eular公式的复数形式： cos z i sin z
2、三角函数的性质
(3) (shz ) chz , (chz ) shz ,
(4) shiy i sin y , chiy cos y , ch(x iy ) chx cos y ishx sin y , sh(x iy ) shx cos y i chx sin y ,
[书P52]
e
b (ln a iArg a )
e
b (ln a 2 k i )
当k=0时, 取到主值:
e
blna
e
b (ln a i arg a )
当a为正实数，b为实数时，其主值与实乘幂的定义一 致。
a e
b
bLna
e
b (ln a 2 k i )
e
b[ln a i (arg a 2 k )]
(4) sin z sin z, cos z cos z,
(5) sin z , cos z 不是有界函数. sin z =0 z k ( k 0, 1, 2,
函数及其图像(课堂PPT)
集合：A，B，C…表示；元素：a，b，c…表示
函数与极限
4
2.实数与数轴
实数R有理数Q分 整数 数(Z12负非, 整 负86 ,数 整)（ 数（1,自2然,数集nN,：0）,1，2， )
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故定义域是[-3, -1].
函数与极限
28
例3 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
所示,写出电压U与时间t(t 0)的函数关系式.
解 当 t [0, ]时, 2
U
E
t
2E t;
2 当 t ( , ]时,
2. 函数中根式,要求负数不能开偶次方
3. 函数中有对数式,要求真数必须大于零
4. 函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域
5. 若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域
的交集
函数与极限
20
例1 求下列函数的定义域
(1()1(y)1y)y44411x1x22x2 xxx222; ;
((22()2)y)yylglgxlxg11;x; 1 ; x x22x 2
2
U
( , E)
2
E
o
(,0) t
2
单三角脉冲信号的电压
U 0
(t )
E
0
2
即U 2E (t )
函数与极限
29
当 t (,) 时, U 0.
U
( , E)
2
初等多值函数
|z1|
i1
)
相应地连续变动到
e e m(ln n
z1
2
n
)
m n
ln
z1
也即第一次回到了它从
z1
出发时的值。这时，我 m
们称原点和无穷远点是 w z n 的n-1阶支点，
也称n-1为阶代数支点。
无穷阶支点:
（2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点
是 w z a 的无穷阶支点。
2 e e e 1i
(1i ) Ln2
(1i)[ln 2i(arg 22k )]
(1i)[ln 22ki)]
e e ln 22kii ln 22k
(ln 22k )i(ln 22k )
2e2k (cosln 2 i sin ln 2) (k 0,1,2, ,)
幂函数的基本性质：
6、当是无理数或复数时，幂函数是无穷
多值函数；事实上，当是无理数时，有
z e e e
Lnz
[ln|z|i(arg z2k )]
ln zi 2k
当 a bi(b 0)时，有
z e e e
Lnz
[ln|z|i(arg z2k )]
5、当是有理数时，即
p q
(
p与q为互素
的整数，q 0）：
z e e e p q
p q
Lnz
qp[ln|z|i(arg z2k )]Leabharlann p qlnz
1 q
i
2
pk
由于p与q为互素，所以不难看到，当k取 0，1，2， ,q 1时，得到q个不同的值，即这
时幂函数是一个q值的函数；
课件(PPT版)2.3_初等函数
六、反双曲函数
定义 反双曲正弦函数 Arsh z Ln (z z2 1 );
P 44
反双曲余弦函数 Arch z Ln (z z2 1 );
反双曲正切函数 Arth z 1 Ln 1 z ; 2 1 z
反双曲余切函数 Arcoth z 1 Ln z 1 . 2 z1
i Lni
i ( i2kπi)
2
( 2kπ)
2
,
(k 0, 1, 2,) .
可见，i i是正实数，它的主值是
e
2
.
例 求 1 2 的值。
解 1 2 e 2 Ln1 e 2[0i(02k )] e2 2kπi
cos (2 2 kπ) i sin (2 2 kπ) , (k 0, 1, 2,).
(w)
一、指数函数
性质 (7) 映射关系： 由 w ez ex (cos y i sin y) ex ei y , 有
|w| ex,
Arg w y 2kπ ,
(k 0, 1, 2,)
由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。
How beautiful the sea is!
u ln r ln| z|,
v
Arg z .
由 z 的模得到 w 的实部 ； 由 z 的辐角得到 w 的虚部 。
即 w Ln z ln| z | i Arg z
ln| z | i arg z 2kπi , (k 0, 1, 2,).
其中，m 与 n 为互质的整数，且 n 1.
此时，za 除原点与负实轴外处处解析， 且 (za ) a za 1.
初等函数
p p exp ln a i (arg a 2k ) q q
e
p ln a q
p arg a 2kpπ p arg a 2kpπ i sin cos q q
a b具有q 个值, 即取 k 0,1,2,, (q 1)时相应的值.
Re(e z ) e x cos y .
( x iy )2
( 2) e
z2
e
e
x 2 y 2 2 xyi
,
e
z2
e
x2 y2
;
( 3) e e
1 z
1 z
1 x yi
e
x y i 2 2 x2 y2 x y
,
Re(e ) e
x x2 y2
y cos 2 . 2 x y
练习：找出下列方程的全部解
(1)sin z 0
提示：e iz e iz 0 e 2 iz 1 z k
(2)cos z 0
提示： cos z sin( z )
2
(3)sin z cos z 0
sin 提示： z cos z 2 sin( z ) 4
第二章
解析函数
§3 初等函数 Elementary Functions
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一、单值函数
1.指数函数
e z exp z e x (cos y i sin y)
性质：
| exp z | e x , 1)
Arg(exp z ) y 2k ,
(4)arg(e 34i )
Arge 34i 4 2k, arg e 34i 4 2;
第二章第三节：初等多值解析函数
arg a 2k arg a 2k | a | cos i sin n n
n
a,
其中k 0,1, 2, , ( n 1). 所以, 如果a z为一复变数, 就得到一般的幂 1 函数w z ;当b n与 时, 就分别得到通常的 n
b
幂函数w z n , 及w z
1 n
n
z.
3、幂函数的解析性 zn在复平面内是单值解析函数, (zn)'=nzn-1.
由于 Argz 为多值函数, 所以对数函数 w f ( z )也是多值函 数, 并且每两值相差 2πi的整数倍. 如果将 Lnz ln z iArgz 中 Argz 取主值arg z , 那末 Lnz 为一单值函数， 记为 ln z， 称为 Lnz 的主值.
w Lnz e z e re u e r , v 2k (k Z ) u ln r (实对数), v 2k (k Z ) Argz w Lnz ln r i( 2k ) (k Z ) 即Lnz ln | z | iArgz ln | z | i(arg z 2k ) (k Z )
5. w Lnz的支点和支割线
简单曲线可作为其支割线.
ห้องสมุดไป่ตู้
w Lnz 以 z 0与z 为支点，连接 0与 的任一（广义）
例1 设 w Lnz 定义在沿负实轴割破的平面上，且
w(1) 3 i（是下岸相应点的函数值）求 w(i)的值.
解：
wk (Lnz)k ln z i(arg z 2k ) ( arg z )
原点及负实轴的平面内的某一单值分支.
4. 分出w=Lnz的单值解析分支
初等解析函数及其基本性质
§2 初等解析函数及其基本性质一、基本初等函数1.指数函数()y i y e z x sin cos exp +=加法定理 ()2121exp exp exp z z z z +=⋅。
z e z =exp ，即()y i y e e e e e x yi x yi x z sin cos +=⋅==+。
周期性 ze 是周期为()Z ∈k i k π2的周期函数。
2.对数函数定义2 满足()0≠=z z e w 的函数()z f w =称为复变量z 的对数函数，记为Lnz w =。
关于Lnz w =的表达式：令θi re z iv u w =+=,，则πθθk v r e re e e eu i iv u ivu 2,+==⇒==+，即Argz v z r u ===,ln ln 。
从而注：Lnz 是多值函数，Argz 是多值函数。
当Argz 取主值z arg 时，Lnz 为单值函数，称其为Lnz 的主值，记为z ln ，即z i z z arg ln ln +=⇒i k z Lnz π2ln +=注：当0>=x z 时，x x i x z ln arg ln ln =+=——实对数函数。
例2 证明对数运算性质：⑴2121Lnz Lnz z Lnz +=⋅；⑵2121Lnz Lnz z z Ln -=。
证明⑴ 由对数定义表达式，212121ln z iArgz z z z Lnz +=⋅()2121ln Argz Argz i z z ++⋅=2211ln ln iArgz z iArgz z +++=21Lnz Lnz +=；同理可证⑵式。
例3 求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--i Ln 2321,3ln 及主值。
解 ()()i i π+=-+-=-3ln 213arg 3ln 3ln ； i k i i i i Ln π22321arg 2321ln 2321+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+- i k i k i πππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=3122321ln ；主值：i i i ππ32321ln 2321ln =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-。
第3节：初等函数解析
是无穷多值的.
2
例4. 求1 2 , ii和 i 3 的值及其主值.
解 1 2 e 2Ln1 e 2(ln12k i ) e2 2k i
主值为：1
(k 0,1,2, ).
i i eiLni ei(lni2k i )
ei
2
i 2 k
i
e
2
2
k
(k
0,1,2,
).
主值为：e
解析，且 (L n z) 1 z
例3. 设ez 2i，求z.
三、乘幂与幂函数
1. 乘幂定义 设a,b为复数, 且 a 0, 定义乘幂 多值
a e e e b
bLna
b[ln a i (arga2k )]
b(ln a iArg a )
eb(lna2k i )
当k=0时, 取到主值:
e e blna
eu r z , v 2k Arg z,
u ln r ln z , v 2k Arg z,
w Ln z ln z iArg z.
由于Arg z 是多值的，所以对于每个非零 z，复对 数 Ln z 也是多值的。
若Arg z 取主值 arg z ，则取到 Ln z 的某一单值函 数，记作 ln z ，称为Ln z 的主值：
p q
时,
其中p,q
为互质整数,
且q>0, 则 ab 有q个值：
p[ln a i (arg a2k )]
ab eq
(k 0,1,2, ,q 1);
e
p q
ln
a
[cos(
p
arg
a
p 2k ) i sin(
p arg a
p 2k )]
初等解析函数和多值函数的解析分支
初等解析函数和多值函数的解析分⽀定义2.4.1 \ (多值函数的连续分⽀) Ω区域, F(z)为Ω上的多值函数, 若f(z)在Ω上连续, 且对于任意的z∈Ω, f(z)∈F(z), 则称f(z)为F(z)在区域Ω上的连续分⽀.定义2.4.2 \ (多值函数的解析分⽀) Ω区域, F(z)为Ω上的多值函数, 若f(z)在Ω上解析, 且对于任意的z∈Ω, f(z)∈F(z), 则称f(z)为F(z)在区域Ω上的解析分⽀.例2.4.3 指数函数的性质(1) ∀z=x+iy∈C,e z=e x(cos y+i sin y).(2) z=x∈R, e z与通常实指数函数的定义⼀致.(3) |e z|=e x>0.(4) e z在z平⾯上解析, 且(e z)′=e z.(5) e z1+z2=e z1e z2.(6) e z以2iπ为基本周期.定义2.4.4 规定对数函数是指数函数的反函数, 即若z≠0,∞,满⾜z=e w的复数w称为z的对数值, z的⼀切对数值的集合称为z的对数, 记作Lnz.具体地, Lnz={ln|z|+i arg z+i2kπ,k∈Z}.若把ln|z|+i arg z称为主值, 记作ln z, 则Lnz={ln z+i2kπ,k∈Z}.注:若把z看作⾮零复数, Lnz的定义域为C−{0}.Ln(z1z2)=Lnz1+Lnz2,Ln(z1z2)=Lnz1−Lnz2.定理2.4.5 \ (解析函数的对数解析分⽀) Ω单连通区域, f(z)在Ω中解析且处处⾮零, 则Lnf(z)在Ω上有解析分⽀g(z), 满⾜e g(z)=f(z),且Lnf(z)在Ω上的所有解析分⽀⼀定是g(z)+2ikπ,k∈Z,即Lnf(z)={g(z)+i2kπ,k∈Z}.从⽽Lnf(z)在Ω上有⽆穷多个解析分⽀, 且任意两个解析分⽀相差2π的整数倍.注：(1)定理2.4.5 表明, 若Lnf(z)在单连通区域Ω上的任意两个解析分⽀在z0∈Ω上的值相等, 则这两个解析分⽀恒相等.(2) 为⽅便, Lnf(z)在Ω上的解析分⽀g(z)有时简记为ln f(z), 若强调是特定的⼀⽀, 要给定z0∈Ω, 确定出ln f(z)在z0的值.例2.4.6 (对数函数的解析分⽀) \ Ω单连通区域, z0∉Ω,则Ln(z−z0)在Ω上有解析分⽀lnΩ(z−z0), 满⾜e lnΩ(z−z0)=z−z0, 且Ln(z−z0)在Ω上所有的解析分⽀⼀定是lnΩ(z−z0)+2kπi,k∈Z.证明：令f(z)=z−z0, 则f(z)在Ω上解析, 处处不为零, 由定理2.4.5, 成⽴.例2.4.7 (多值辐⾓函数的连续分⽀) Ω单连通区域, z0∉Ω, 则Arg(z−z0)在Ω内有连续分⽀argΩ(z−z0), 在Ω上, 对x,y有各阶偏导数, 且Arg(z−z0)={argΩ(z−z0)+2kπ,k∈z}.从⽽Arg(z−z0)在Ω中有⽆穷多连续分⽀, 任意两个相差2π的整数倍.注：arg(z−z0)不解析.注：设Γ:z=γ(t),t∈[a,b]是⼀条分段光滑的有向曲线(简称路径), 若0∉Γ, 即γ(t)在[a,b]上不取零值, 则存在ρ(t)=|γ(t)|,θ(t),t∈[a,b],分段光滑实函数, 使得γ(t)=ρ(t)e iθ(t).定理2.4.8 (解析函数的n⽅根的解析分⽀) 设n≥2, Ω单连通区域, f(z)在Ω内解析, 处处不为零, 则(f(z))1/n在区域D内有解析分⽀g(z), 且(f(z))1/n的所有解析分⽀是g(z)e2kπi/n,k=0,1,...,n−1的形式.定理2.4.9 (连续函数为n⽅根的解析分⽀的判定定理) n≥2是整数, Ω区域, f(z)在Ω中解析且处处不为零, g(z)为(f(z))1/n的连续分⽀,z∈Ω, 则g(z)为(f(z))1/n在Ω上的解析分⽀.例2.4.10 证明多值函数(z2(1−z)3)1/5在z-平⾯上割去线段[0,1]的区域D上可以分出5个解析分⽀. 求出在(0,1)的上沿取正值的那个单值解析分⽀g0(z)在点z=−1处的值g0(−1)以及g′0(−1),g0″.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js。
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(vi) lim ez不存在。
z
证明：(iv) w' lim ezz ez
ez lim
ez 1
z0 z
z0 z
lim ez ex cos y i sin y 1
z0
z
lim ez 1 x1 iy 1 ez
z 0
z
(3) 三角函数 sin z 1 eiz eiz , cos z 1 eiz eiz
点，则连续Байду номын сангаас变的幅角回到原来
的值，而w的值也回到w1。但如
果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而
是回到w2：
w re 3
i
0 3
2 3
2
我们称z=0为w 3 z 的支点。
定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数 w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点 为多值函数的支点。
bn zn
(2) 指数函数 w ez exeiy ex (cos y i sin y)
指数函数的性质：
(i) ez 0
(ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中
的定义一致。
(iii) ez1ez2 ez1z2
(iv) 指数函数处处解析，且：w' ez
(v) ezi2k ez
所以：w l n z ln r iarg(z)
显然：w Lnz l n z i2n , n 0, 1,
如在w平面上用平行于实轴 的直线画出一个宽为2的条 带，例如图中的I，则z与w 为一一对应的关系。I为z=ew 的单叶性区域。
同样，对数函数也存在两个 支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。 支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：
(IV) 对数函数：w Lnz, z 0
w L n z L n rei 2n ln r i 2n
显然：u(x, y) ln z ,v(x, y) 2n
很明显，对数函数是多值函数，一个z对应有无数个w，彼 此的虚部差2的整数倍。
若限定- <Arg(z)< 很明显，即- <v(x,y)< ，则z的对数 只有一个取值，我们称之为ln(z)的主值支，记做：ln(z)。
sin(z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2
(iii) 正弦函数和余弦函数以2为周期；
(iv) sinz=0，则 z n , n 0, 1, cosz=0，则 z (n 1/ 2) , n 0, 1,
(v) 在复数域中，不能判定 cos(z) 1, sin(z) 1
对于根式函数来说，原点和无穷远点是其两个支点。
(III) 支割线 连接支点z=0和z=的任意一条射线，称为支割线。支割 线将z平面割开，并规定z连续变化时不得跨越支割线，这 就使得割开的z平面上任意闭合曲线都不包括原点，由此 根式函数只在一个单值分支上取值。
注：把一个多值函数划分为单值分支与支割线的选取密切 相关，不同的支割线选取方式使得单值分支的区域定义也 不相同。
证明：z1 z2 r1 r2ei(12 ) rei ,
z1 r1 ei(12 ) rei z2 r2
Ln(z1 z2) ln(r) i 2k
ln(r1 r2) i 1 2 2k
ln(r1) i 1 2k1 ln(r2) i 2 2k2
证明：(ii) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2
1 eiz1 eiz1 eiz2 eiz2 1 eiz1 eiz1 eiz2 eiz2
4
4
1 2
e e iz1z2
i z1 z2
cos(z1 z2 )
2、初等多值函数
(I) 根式函数：w n z , n 0,1, 2
I(0<Arg(w)< 2/3)，称为z=w3的单叶性区域。同理，区域 II和III也是z=w3的单叶区域，三个单叶区域再加上相邻处的 端边称为根式函数的三个单值分支。
(II) 支点
如图，在平面上任选一点z(r,)，
则利用第一个单值分支得：
w1
3
i0
re 3
若让z(r,)按逆时针方向沿一闭合
曲线连续变化，若曲线不包括原
z0 x iy z0
x iy
lim 1 xx yy i yx xy
r z0 2
x iy
x iy r2
x
1 iy
1 z
z0
所以：f ' (z) 1 , z 0 z
对数运算法则：
Ln(z1 z2 ) Ln(z1) Ln(z2 )
Ln(z1 / z2 ) Ln(z1) Ln(z2 )
2i
2
性质：
(i) 正弦函数和余弦函数处处解析，且：
d sin z cos z, d cos z sin z
dz
dz
(ii) 正弦函数为奇函数和余弦函数为偶函数，并遵循三角 公式：
sin2 z cos2 z 1
cos(z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2
根式函数的多值性
例如：w ei0
3
z
3
rei
0
3
2n
3
很显然，w与z的模一一对应，但幅角却不然，w的幅角有 三个不同的值与z的幅角对应：
3r
0
0
3
2n
3
,
n 0,1, 2
显然，对于同一个z值，有三个w与之对应，且三个值的幅
角相差2/3。
若规定，w只在I区域取值，则z的值域与w的I区域就建立起 了一一对应的关系。而对于其反函数z=w3来说，在区域I， 不同的w值对应于z平面上不同的z值，这样的区域
§2.3 初等解析函数和多值函数
1、初等单值函数
(1) 幂函数 w zn , n 0,1, 2
幂函数在复平面上处处解析，同时可以证明多项式函数：
w a0 a1z
也处处解析。
an zn
而有理函数：w P(z) a0 a1z
点外解析。
Q(z) b0 b1z
anzn 除了 Q(z) 0
ln z ln r i 2k k
而这无穷多个单值函数皆是解析函数。
证明：f (z) ln z ln r i 2k k
考虑极限：
lim f (z) lim ln r i 2k
z0 z
z 0
x iy
lim ln r i lim ln x2 y2 i arctan y x