初等解析函数和多值函数.ppt
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对于根式函数来说，原点和无穷远点是其两个支点。
(III) 支割线 连接支点z=0和z=的任意一条射线，称为支割线。支割 线将z平面割开，并规定z连续变化时不得跨越支割线，这 就使得割开的z平面上任意闭合曲线都不包括原点，由此 根式函数只在一个单值分支上取值。
注：把一个多值函数划分为单值分支与支割线的选取密切 相关，不同的支割线选取方式使得单值分支的区域定义也 不相同。
I(0<Arg(w)< 2/3)，称为z=w3的单叶性区域。同理，区域 II和III也是z=w3的单叶区域，三个单叶区域再加上相邻处的 端边称为根式函数的三个单值分支。
(II) 支点
如图，在平面上任选一点z(r,)，
则利用第一个单值分支得：
w1
3
i0
re 3
若让z(r,)按逆时针方向沿一闭合
曲线连续变化，若曲线不包括原
sin(z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2
(iii) 正弦函数和余弦函数以2为周期；
(iv) sinz=0，则 z n , n 0, 1, cosz=0，则 z (n 1/ 2) , n 0, 1,
(v) 在复数域中，不能判定 cos(z) 1, sin(z) 1
z0 x iy z0
x iy
lim 1 xx yy i yx xy
r z0 2
x iy
x iy r2
x
1 iy
1 z
z0
所以：f ' (z) 1 , z 0 z
对数运算法则：
Ln(z1 z2 ) Ln(z1) Ln(z2 )
Ln(z1 / z2 ) Ln(z1) Ln(z2 )
所以：w l n z ln r iarg(z)
显然：w Lnz l n z i2n , n 0, 1,
如在w平面上用平行于实轴 的直线画出一个宽为2的条 带，例如图中的I，则z与w 为一一对应的关系。I为z=ew 的单叶性区域。
同样，对数函数也存在两个 支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。 支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：
bn zn
(2) 指数函数 w ez exeiy ex (cos y i sin y)
指数函数的性质：
(i) ez 0
(ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中
的定义一致。
(iii) ez1ez2 ez1z2
(iv) 指数函数处处解析，且：w' ez
(v) ezi2k ez
(vi) lim ez不存在。
z
证明：(iv) w' lim ezz ez
ez lim
ez 1
z0 z
z0 z
lim ez ex cos y i sin y 1
z0
z
lim ez 1 x1 iy 1 ez
z 0
z
(3) 三角函数 sin z 1 eiz eiz , cos z 1 eiz eiz
证明：(ii) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2
1 eiz1 eiz1 eiz2 eiz2 1 eiz1 eiz1 eiz2 eiz2
4
4
1 2
e e iz1z2
i z1 z2
cos(z1 z2 )
2、初等多值函数
(I) 根式函数：w n z , n 0,1, 2
2i
2
性质：
(i) 正弦函数和余弦函数处处解析，且：
d sin z cos z, d cos z sin z
dz
dz
(ii) 正弦函数为奇函数和余弦函数为偶函数，并遵循三角 公式：
sin2 z cos2 z 1
cos(z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2
点，则连续改变的幅角回到原来
的值，而w的值也回到w1。但如
果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而
是回到w2：
w re 3
i
0 3
2 3
2
我们称z=0为w 3 z 的支点。
定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数 w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点 为多值函数的支点。
根式函数的多值性
例如：w ei0
3
z
3
rei
0
3
2n
3
很显然，w与z的模一一对应，但幅角却不然，w的幅角有 三个不同的值与z的幅角对应：
3r
0
0
3
2n
3
,
n 0,1, 2
显然，对于同一个z值，有三个w与之对应，且三个值的幅
角相差2/3。
若规定，w只在I区域取值，则z的值域与w的I区域就建立起 了一一对应的关系。而对于其反函数z=w3来说，在区域I， 不同的w值对应于z平面上不同的z值，这样的区域
ln z ln r i 2k k
而这无穷多个单值函数皆是解析函数。
证明：f (z) ln z ln r i 2k k
考虑极限：
lim f (z) lim ln r i 2k
z0 z
z 0
x iy
lim ln r i lim ln x2 y2 wenku.baidu.comi arctan y x
§2.3 初等解析函数和多值函数
1、初等单值函数
(1) 幂函数 w zn , n 0,1, 2
幂函数在复平面上处处解析，同时可以证明多项式函数：
w a0 a1z
也处处解析。
an zn
而有理函数：w P(z) a0 a1z
点外解析。
Q(z) b0 b1z
anzn 除了 Q(z) 0
(IV) 对数函数：w Lnz, z 0
w L n z L n rei 2n ln r i 2n
显然：u(x, y) ln z ,v(x, y) 2n
很明显，对数函数是多值函数，一个z对应有无数个w，彼 此的虚部差2的整数倍。
若限定- <Arg(z)< 很明显，即- <v(x,y)< ，则z的对数 只有一个取值，我们称之为ln(z)的主值支，记做：ln(z)。
证明：z1 z2 r1 r2ei(12 ) rei ,
z1 r1 ei(12 ) rei z2 r2
Ln(z1 z2) ln(r) i 2k
ln(r1 r2) i 1 2 2k
ln(r1) i 1 2k1 ln(r2) i 2 2k2
(III) 支割线 连接支点z=0和z=的任意一条射线，称为支割线。支割 线将z平面割开，并规定z连续变化时不得跨越支割线，这 就使得割开的z平面上任意闭合曲线都不包括原点，由此 根式函数只在一个单值分支上取值。
注：把一个多值函数划分为单值分支与支割线的选取密切 相关，不同的支割线选取方式使得单值分支的区域定义也 不相同。
I(0<Arg(w)< 2/3)，称为z=w3的单叶性区域。同理，区域 II和III也是z=w3的单叶区域，三个单叶区域再加上相邻处的 端边称为根式函数的三个单值分支。
(II) 支点
如图，在平面上任选一点z(r,)，
则利用第一个单值分支得：
w1
3
i0
re 3
若让z(r,)按逆时针方向沿一闭合
曲线连续变化，若曲线不包括原
sin(z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2
(iii) 正弦函数和余弦函数以2为周期；
(iv) sinz=0，则 z n , n 0, 1, cosz=0，则 z (n 1/ 2) , n 0, 1,
(v) 在复数域中，不能判定 cos(z) 1, sin(z) 1
z0 x iy z0
x iy
lim 1 xx yy i yx xy
r z0 2
x iy
x iy r2
x
1 iy
1 z
z0
所以：f ' (z) 1 , z 0 z
对数运算法则：
Ln(z1 z2 ) Ln(z1) Ln(z2 )
Ln(z1 / z2 ) Ln(z1) Ln(z2 )
所以：w l n z ln r iarg(z)
显然：w Lnz l n z i2n , n 0, 1,
如在w平面上用平行于实轴 的直线画出一个宽为2的条 带，例如图中的I，则z与w 为一一对应的关系。I为z=ew 的单叶性区域。
同样，对数函数也存在两个 支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。 支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：
bn zn
(2) 指数函数 w ez exeiy ex (cos y i sin y)
指数函数的性质：
(i) ez 0
(ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中
的定义一致。
(iii) ez1ez2 ez1z2
(iv) 指数函数处处解析，且：w' ez
(v) ezi2k ez
(vi) lim ez不存在。
z
证明：(iv) w' lim ezz ez
ez lim
ez 1
z0 z
z0 z
lim ez ex cos y i sin y 1
z0
z
lim ez 1 x1 iy 1 ez
z 0
z
(3) 三角函数 sin z 1 eiz eiz , cos z 1 eiz eiz
证明：(ii) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2
1 eiz1 eiz1 eiz2 eiz2 1 eiz1 eiz1 eiz2 eiz2
4
4
1 2
e e iz1z2
i z1 z2
cos(z1 z2 )
2、初等多值函数
(I) 根式函数：w n z , n 0,1, 2
2i
2
性质：
(i) 正弦函数和余弦函数处处解析，且：
d sin z cos z, d cos z sin z
dz
dz
(ii) 正弦函数为奇函数和余弦函数为偶函数，并遵循三角 公式：
sin2 z cos2 z 1
cos(z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2
点，则连续改变的幅角回到原来
的值，而w的值也回到w1。但如
果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而
是回到w2：
w re 3
i
0 3
2 3
2
我们称z=0为w 3 z 的支点。
定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数 w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点 为多值函数的支点。
根式函数的多值性
例如：w ei0
3
z
3
rei
0
3
2n
3
很显然，w与z的模一一对应，但幅角却不然，w的幅角有 三个不同的值与z的幅角对应：
3r
0
0
3
2n
3
,
n 0,1, 2
显然，对于同一个z值，有三个w与之对应，且三个值的幅
角相差2/3。
若规定，w只在I区域取值，则z的值域与w的I区域就建立起 了一一对应的关系。而对于其反函数z=w3来说，在区域I， 不同的w值对应于z平面上不同的z值，这样的区域
ln z ln r i 2k k
而这无穷多个单值函数皆是解析函数。
证明：f (z) ln z ln r i 2k k
考虑极限：
lim f (z) lim ln r i 2k
z0 z
z 0
x iy
lim ln r i lim ln x2 y2 wenku.baidu.comi arctan y x
§2.3 初等解析函数和多值函数
1、初等单值函数
(1) 幂函数 w zn , n 0,1, 2
幂函数在复平面上处处解析，同时可以证明多项式函数：
w a0 a1z
也处处解析。
an zn
而有理函数：w P(z) a0 a1z
点外解析。
Q(z) b0 b1z
anzn 除了 Q(z) 0
(IV) 对数函数：w Lnz, z 0
w L n z L n rei 2n ln r i 2n
显然：u(x, y) ln z ,v(x, y) 2n
很明显，对数函数是多值函数，一个z对应有无数个w，彼 此的虚部差2的整数倍。
若限定- <Arg(z)< 很明显，即- <v(x,y)< ，则z的对数 只有一个取值，我们称之为ln(z)的主值支，记做：ln(z)。
证明：z1 z2 r1 r2ei(12 ) rei ,
z1 r1 ei(12 ) rei z2 r2
Ln(z1 z2) ln(r) i 2k
ln(r1 r2) i 1 2 2k
ln(r1) i 1 2k1 ln(r2) i 2 2k2