卷积定理和相关定理.ppt
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信号与系统卷积定理
j
e
j
4 Sa 2 2 Sa
解：（ 2）法
利用傅里叶变换线性性
质求
f (t ) g 2 (t ) g 4 (t )
Eg ( t ) E Sa 2 即 g 2 ( t ) 2 Sa ， g 4 ( t ) 4 Sa 2
(t (t
2
f (t )
) )
E
0
2
2
2
t
利用卷积定理求其的频谱。
解法一 ：利用频域卷积定理
f ( t ) G ( t ) cos(
t
)
解法二：利用频移性质
解法三：用时域微分性质
（本题不是分段线性信号）
解法一 ：
2
时域
1
t cos
2
F ( j )
f (t ) e
j t
j t
dt
j t
e
2
1
dt
j t
2e
1
1
dt
j t 1
e
1
2
j t
dt
j t 2 1
e j
1
1
1 2
e j
e
2
1
1 j
e
e j
j 2
e
j 2
第八节 卷积定理
一、卷积定理
给定两个时间函数
f1 ( t ) 和 f 2 ( t )
f 1( t ) 揪 畐 F1( ) , f 2( t ) 揪 畐 F2( )
7.3 卷积与卷积定理
则
L f1 f2 (t) F1(s)F2(s),
或
例5: 设
f
(t )
(s2
1 4s
13)2
,
求 f (t).
解 运由行位下移面性质的MATLAB语句.
>>
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s1yms t
s2
s3
4s
设13F(s)
1
3
L [f((st)],2)则2
32
e2t
sin
3t.
>> F=1/(s^2+4*s+13)^2;f=ilaplace(F)
0
0
et (et 1) 1 et .
例2：求 t sin t
解：t sin t
t
sin(t )d t sin t.
0
二 、 拉氏变换的卷积定理
若 f1(t) F1(s), f2(t) F2(s), 则 f1(t) f2(t) F1(s)F2(s)
1 F1(s)F2(s) f1(t) f2(t)
注：这里的卷积定义和 Fourier 变换中给出的卷积定义 是一致的。今后如不特别声明，都假定函数在 t 0 时恒
为零。它们的卷积都按上式计算。
例1: 设函数 f1 t 1, f2(t) et , 求卷积 f1(t) f2 (t).
解:
f1(t) f2(t)
t 0
f1
f2
t
d
t1e(t )d et t e d
如果
F1(s) L [ f1(t)], F2(s) L [ f2(t)],
例4: 求
1
(
s
2
s2
1)2
卷积和相关 ppt课件
参与卷积的两个函数发生平移，卷积的结果也仅仅 发生平移，卷积结果的幅值和形式不变。
平移量等于两者的平移量之和。
ppt课件
12
8、函数 f (x, y) 与 d 函数的卷积
根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质,
有:
f (x) d (x) f ( )d (x )d f (x)
ppt课件
16
六.卷积运算举例(难点)
例1：设有二函数，分别为:
f
x
xstep x, h x
rect
x 1 2
求: g x f xhx
图1-3-3 例1中的二函数图形
ppt课件
17
图1-3-4 例1 一维卷积过程
ppt课件
18
分段计算结果：
(1)x≤0，
gx f xhx 0
(图a,b)
rect(t) 1
rect(t) 1
1.用哑元t画出 二个 rect(t)
t
-1/2 0 1/2
-1/2 0 1/2
2.将rect(t)折叠后不变;
1 rect(t)
3.将一个rect(-t)移位至给定的
x0, rect[-(t -x0)]= rect(x0 - t);
4.二者相乘;乘积曲线下
-1/2 0 1/2
f
x,
y
h
x,
y
f
,
h
x
,
y
d
d
h , f x , y d ppt课件 d h x, y f x, y 10
5、卷积符合结合律
f (x, y)h1(x, y)h2(x, y) f (x, y)h1(x, y)h2(x, y)
平移量等于两者的平移量之和。
ppt课件
12
8、函数 f (x, y) 与 d 函数的卷积
根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质,
有:
f (x) d (x) f ( )d (x )d f (x)
ppt课件
16
六.卷积运算举例(难点)
例1：设有二函数，分别为:
f
x
xstep x, h x
rect
x 1 2
求: g x f xhx
图1-3-3 例1中的二函数图形
ppt课件
17
图1-3-4 例1 一维卷积过程
ppt课件
18
分段计算结果：
(1)x≤0，
gx f xhx 0
(图a,b)
rect(t) 1
rect(t) 1
1.用哑元t画出 二个 rect(t)
t
-1/2 0 1/2
-1/2 0 1/2
2.将rect(t)折叠后不变;
1 rect(t)
3.将一个rect(-t)移位至给定的
x0, rect[-(t -x0)]= rect(x0 - t);
4.二者相乘;乘积曲线下
-1/2 0 1/2
f
x,
y
h
x,
y
f
,
h
x
,
y
d
d
h , f x , y d ppt课件 d h x, y f x, y 10
5、卷积符合结合律
f (x, y)h1(x, y)h2(x, y) f (x, y)h1(x, y)h2(x, y)
信号与系统7-2卷积定理课件
一般的求法：f (t) f (t) y(t)，先求 y(t)的频谱Y ( j)
t y(t)dt Y ( j) Y (0) ()
j
其中：
Y (0)
y(t)dt f (t)dt f (t) f () f ()
t y(t)dt Y ( j) [ f () f ()] ()
3
时域微分和积分性质
时域微分性质
df (t) jF ( j)
dt
时域积分性质
f (n) (t) ( j)n F( j)
当 F(0) F( j) f (t)dt 0 时，
0
t f ( )d F( j)
j
f (n) (t) 1 F ( j ) ( j)n
4
时域微积分性质的公式
已知：
G
(t
)
Sa(
2
)
，根据对偶性：
Sa(
t
2
)
2
G
(
)
将
换成2c，得：
C
Sa(Ct)
G2c
( )
又已知： cos0t [ ( 0 ) (
Sa(Ct)
0 )]
C
G2c
( )
根据频域卷积定理：
f
(t)
1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
C
G2C
() [ (
0 )
(
0 )]
f
(t)
2C
[G2C
(
0 )
G2C
(
0 )]
cos
2
t
[
(
2
)
(
2
)]
根据频域卷积定理：
1
cos
卷积定理
补充：卷积定理
2.7 卷积
2.7 卷积
一、卷积的定义
根据前面分析，任意信号可以分解为单位冲激信号的线 性组合。
ft )
0 t 2t
kt (k 1)t
t
f (t ) f ( ) (t )d f (t ) * (t )
2.7 卷积
1
h(t ) 1
x( )
1 3 t 1 , t 2 （3）当 ，即当 1 t 时 2 2
t-2 -1/2
1 t
1 重合区间 ( ,1) 2 3 3 1 1 y (t ) 1 1 (t )d t 4 16 2 2
1 x( )
-1/2 t-2 1
首先，进行变量替换，画出 f1 ( ), f 2 ( ) 的波形
f1( )
f2 ( )
1
0
1
0
f2 ( )
1 0
对 f 2 ( ) 进行反转，画出波形
（1）当 t < 0 时
f1( ) 与 f2 (t ) 图形没有相遇
则 s(t) = 0 （2）当 t > 0 时
f2 (t )
卷积积分计算——图解方法
（1）先将x(t)和h(t)的自变量t 改成 ，即：
f1 (t) f2 ( ), f2 (t) f2 ( )
f 2 ( ) f 2 ( ) （2）将其中的一个信号反褶，即 反褶
（3）时移： 时移 f 2 ( ) f 2 (t ) f2 [( t)] ，t>0时， 图形右移，t<0时，图形左移。 （4）相乘： 相乘 f1 ( ) f2 (t ) （5）对乘积后的图形积分： 积分 f1 (t) f2 (t)
2.7 卷积
2.7 卷积
一、卷积的定义
根据前面分析，任意信号可以分解为单位冲激信号的线 性组合。
ft )
0 t 2t
kt (k 1)t
t
f (t ) f ( ) (t )d f (t ) * (t )
2.7 卷积
1
h(t ) 1
x( )
1 3 t 1 , t 2 （3）当 ，即当 1 t 时 2 2
t-2 -1/2
1 t
1 重合区间 ( ,1) 2 3 3 1 1 y (t ) 1 1 (t )d t 4 16 2 2
1 x( )
-1/2 t-2 1
首先，进行变量替换，画出 f1 ( ), f 2 ( ) 的波形
f1( )
f2 ( )
1
0
1
0
f2 ( )
1 0
对 f 2 ( ) 进行反转，画出波形
（1）当 t < 0 时
f1( ) 与 f2 (t ) 图形没有相遇
则 s(t) = 0 （2）当 t > 0 时
f2 (t )
卷积积分计算——图解方法
（1）先将x(t)和h(t)的自变量t 改成 ，即：
f1 (t) f2 ( ), f2 (t) f2 ( )
f 2 ( ) f 2 ( ) （2）将其中的一个信号反褶，即 反褶
（3）时移： 时移 f 2 ( ) f 2 (t ) f2 [( t)] ，t>0时， 图形右移，t<0时，图形左移。 （4）相乘： 相乘 f1 ( ) f2 (t ) （5）对乘积后的图形积分： 积分 f1 (t) f2 (t)
积分变换第4讲卷积定理与相关函数
解 ：F（si n w 0 t
• u(t )） F（e iw0t
e iw0t 2i
• u(t)）
1 {F（e iw0t • u(t )） F (e iw0t • u(t )）}
2i
1{1 2i iw
d（w）} |www0
1{1 2i iw
d（w）} |www0
例4 利用傅氏变换的性质, 求d(tt0),
ejw0t ,以及tu(t )的傅氏变换 解：因F (d (t)) 1,由位移性质得
F (d (t t0)) e jt0w F (d (t)) e jt0w 由 F (1) 2d (w),得
F (ejw0t ) 2d (w w0)
w0t
•
e t u(t )）
F
（ eiw0t
eiw0t 2
•
e t u(t )）
1 {F （eiw0t • e tu(t)） F (eiw0t • u(t)）}
2
1 2
{ iw
1
}
|w
w
w0
1 2
{ iw
1
}
|w
w
w0
1 2
{ i
w
1 w0
2n
t
Dt
n
则g(t)
f
(t
)
1
Dt
e
j
2n
t
Dt
n
G(w)
1
Dt
F (w nDw)
n
(Dw
2 Dt
)
33
卷积
卷积应用(1张)介绍一个实际的概率学应用例子。假设需求到位时间的到达率为poisson(λ)分布，需求的 大小的分布函数为D(.)，则单位时间的需求量的分布函数为 F(x)：
其中 D(k)(x)为k阶卷积。
卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。castlman的书对卷积讲 得很详细。
如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。
简介
简介
卷积（又名褶积）和反卷积（又名反褶积）是一种积分变换的数学方法，在许多方面得到了广泛应用。用卷 积解决试井解释中的问题，早就取得了很好成果；而反卷积，直到最近，Schroeter、Hollaender和Gringarten 等人解决了其计算方法上的稳定性问题，使反卷积方法很快引起了数学界的广泛注意。有专家认为，反卷积的应 用是试井解释方法发展史上的又一次重大飞跃。他们预言，随着测试新工具和新技术的增加和应用，以及与其它 专业研究成果的更紧密结合，试井在油气藏描述中的作用和重要性必将不断增大 。
对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析 的Peter-Weyl定理。
应用
应用
卷积在工程和数学上都有很多应用：
统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概 率密度函数的卷积。光学中，反射光可以用光源与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。电子工程与信号处 理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。物理学中，任 何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。
卷积
数学算子
01 简介
目录
其中 D(k)(x)为k阶卷积。
卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。castlman的书对卷积讲 得很详细。
如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。
简介
简介
卷积（又名褶积）和反卷积（又名反褶积）是一种积分变换的数学方法，在许多方面得到了广泛应用。用卷 积解决试井解释中的问题，早就取得了很好成果；而反卷积，直到最近，Schroeter、Hollaender和Gringarten 等人解决了其计算方法上的稳定性问题，使反卷积方法很快引起了数学界的广泛注意。有专家认为，反卷积的应 用是试井解释方法发展史上的又一次重大飞跃。他们预言，随着测试新工具和新技术的增加和应用，以及与其它 专业研究成果的更紧密结合，试井在油气藏描述中的作用和重要性必将不断增大 。
对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析 的Peter-Weyl定理。
应用
应用
卷积在工程和数学上都有很多应用：
统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概 率密度函数的卷积。光学中，反射光可以用光源与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。电子工程与信号处 理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。物理学中，任 何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。
卷积
数学算子
01 简介
目录
圆周卷积
The Discrete Fourier Transform ( DFT )
五. 圆周卷积定理 （ Circular convolution ）
1. 圆周卷积和的定义：
两个长度为 N 的序列 的如下计算称为圆周卷积和，用 符号 N 表示： （N表示圆周卷积的点数）
x1(n)
N
x2
(n)
N 1 m0
将 Y (k) 周期延拓： Y~(k) X~1(k)X~2(k)
则有： ~y (n) IDFS Y~(k)
N 1
~x1 (m)
~x2
(n
m)
m0
N 1
x1((m))N x2 n mN m0
在主值区间 0 m N 1, x1((m)) N x1(m) ，所以：
y(n) ~y(n)RN (n)
其中
k e j
k
z
z e j
1 zN
N (1WNk z 1) ze j
1 N
1 e jN
j k 2
1 e N
k e j
1 N
1 e jN e j 2k
j k 2
1 e N
1 1 e j (N 2k ) j k 2
N 1e N
j N 2k
N
1
W (mn N
)
k
k 0
x(n rN ) r
利用性质
N 1 j 2 pk N ，p rN
eN
k 0
0
，其他
p
由 ~xN (n) x(n rN ) 可知： r ~xN (n) 是 x(n) 以 N 为周期的周期延拓； 也就是说： 频域抽样造成时域周期延拓。
3. 频域抽样定理：
x1
五. 圆周卷积定理 （ Circular convolution ）
1. 圆周卷积和的定义：
两个长度为 N 的序列 的如下计算称为圆周卷积和，用 符号 N 表示： （N表示圆周卷积的点数）
x1(n)
N
x2
(n)
N 1 m0
将 Y (k) 周期延拓： Y~(k) X~1(k)X~2(k)
则有： ~y (n) IDFS Y~(k)
N 1
~x1 (m)
~x2
(n
m)
m0
N 1
x1((m))N x2 n mN m0
在主值区间 0 m N 1, x1((m)) N x1(m) ，所以：
y(n) ~y(n)RN (n)
其中
k e j
k
z
z e j
1 zN
N (1WNk z 1) ze j
1 N
1 e jN
j k 2
1 e N
k e j
1 N
1 e jN e j 2k
j k 2
1 e N
1 1 e j (N 2k ) j k 2
N 1e N
j N 2k
N
1
W (mn N
)
k
k 0
x(n rN ) r
利用性质
N 1 j 2 pk N ，p rN
eN
k 0
0
，其他
p
由 ~xN (n) x(n rN ) 可知： r ~xN (n) 是 x(n) 以 N 为周期的周期延拓； 也就是说： 频域抽样造成时域周期延拓。
3. 频域抽样定理：
x1
卷积和相关
注意这里积分变量为 t ，而结果是 的函数。
1 2 * R12 ( ) T f1 (t ) f 2 (t )dt ，其中星号表示复共轭。 T 2
卷积和相关
如果 f 1 ( t ) 和 f 2 ( t ) 是两个不同的函数，则称为 互相关函数, 表示为
R12 ( ) ，如果 f 1 ( t ) 和 f 2 ( t ) 是同一个函数，则称为自相关函数， 表示为 R( ), Rxx ( ) 等。
f ( t ) f1 ( ) f 2 ( t )d f1 ( t ) f 2 ( t )
卷积和相关
任何函数与冲激函数卷积得出函数f(t)本身
f (t ) * (t ) f ( ) (t )d f (t )
f (t ) * (t T ) f (t T )
R ( ) R ( ) f ( t ) f ( t ) 12 21 注意： 1 ， 2 次序一般不可交换。可证
当
f 1 ( t ) ， f 2 ( t ) 为实函数时，有 R12 ( ) R21( )
R( ) R* ( )
R( ) R ( )
相关定理：
R( ) lim
FT ( )
S ( )
卷积和相关
自相关函数的性质： * R ( ) R ( ) ，实部为 的偶函 1、复对称性： 数，虚部为 的奇函数 2 R ( 0 ) f ( t ) dt E 能量 2、对于能量信号： T 1 2 2 对于功率信号： R(0) T f (t ) dt 平均功率 T 2 3、 R(0) R( ) 4、周期信号自相关也是同周期的周期函数
1 2 * R12 ( ) T f1 (t ) f 2 (t )dt ，其中星号表示复共轭。 T 2
卷积和相关
如果 f 1 ( t ) 和 f 2 ( t ) 是两个不同的函数，则称为 互相关函数, 表示为
R12 ( ) ，如果 f 1 ( t ) 和 f 2 ( t ) 是同一个函数，则称为自相关函数， 表示为 R( ), Rxx ( ) 等。
f ( t ) f1 ( ) f 2 ( t )d f1 ( t ) f 2 ( t )
卷积和相关
任何函数与冲激函数卷积得出函数f(t)本身
f (t ) * (t ) f ( ) (t )d f (t )
f (t ) * (t T ) f (t T )
R ( ) R ( ) f ( t ) f ( t ) 12 21 注意： 1 ， 2 次序一般不可交换。可证
当
f 1 ( t ) ， f 2 ( t ) 为实函数时，有 R12 ( ) R21( )
R( ) R* ( )
R( ) R ( )
相关定理：
R( ) lim
FT ( )
S ( )
卷积和相关
自相关函数的性质： * R ( ) R ( ) ，实部为 的偶函 1、复对称性： 数，虚部为 的奇函数 2 R ( 0 ) f ( t ) dt E 能量 2、对于能量信号： T 1 2 2 对于功率信号： R(0) T f (t ) dt 平均功率 T 2 3、 R(0) R( ) 4、周期信号自相关也是同周期的周期函数
《复变函数》教学课件-卷积
9
02
1 e2t (sin 3t 3t cos 3t ). 54
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例5 若F (s) ebs , 其中b 0，求f (t ). s(s a)
解 法一：因为 1 1 (1 1 ), s(s a) a s s a
所以，L -1[ 1 ] 1 (1 eat ) (t 0), s(s a) a
一 般 地 ， 若fk (t )满 足Laplace变 换 存 在 定 理 的 条 件, 且L [ fk (t )] Fk (s),(k 1,2,, n),则 有
L [ f1(t)* f2(t)** fn(t)] F1(s) F2 (s) Fn (s).
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三、典型例题
第三节 卷积
一、卷积的概念 二、卷积定理 三、典型例题 四、小结与思考
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一、卷积的概念
f1(t ) f2 (t )
t
0 f1( ) f2 (t )d .
Laplace变换的卷积
Laplace变换的卷积同Fourier变换的卷积定义一致.
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例1 求f1(t ) t与f2 (t ) sint的卷积.
解 根据卷积的定义
t
t * sint 0 f1( ) f2 (t )d
| t
t
cos (t ) cos (t )d
0
0
t sint.
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卷积运算满足：
(1)交换律 f1(t )* f2 (t ) f2 (t ) * f1(t ); (2)结合律 f1(t )*[ f2 (t )* f3 (t )]
卷积及其性质ppt课件
则积分
S (t) f1( ) f2 (t )d
称为f1(t)和f2 (t)的卷积， 记为 f1(t) f2 (t)
对于S(t)
f1( ) f2 (t )d
i) 若t 0, f1(t) 0，即
S(t) 0
f1( ) f2 (t )d
；.
1
§2.7 卷积及其性质
ii) 若t 0, f2 (t)＝0，那么对于f2 (t ),t 0, f2(t ) 0
因为
[ (n 2) (n 1) (n) (n 1) (n 2)]
(n)* (n m) (n m)
于是
y(n) (n 4) 2 (n 3) 3 (n 2) 4 (n 1) 5 (n)
4 (n 1) 3 (n 2) 2 (n 3) (n 4)
3, 卷积和的求取方法
（1）直接用解析式求
（2）借助图形求
观察 x1(n) * x2 (n) x1(m)x2 (n m) ， 同样分四步求： m
第一步，改变求和变量,x1(n) x1(m), x2 (n) x2 (m)
第二步, x2 (m)反转 x2 (m)
第三步，x2 (m) x2 (n m)
第四步，相承与求和
x1(m)x2 (n m)
m
举例说明。
；.
15
§2.7 卷积及其性质
例，已知两个序列
1, 0 n N 1
an (0 a 1), n 0
x(n) 0, others
, h(n) 0, n 0
求卷积和 y(n) x(n) h(n)
解：
（1）当 n 1 时，y(n) 0；
；.
8
§2.7 卷积及其性质
推论
f1(t) f2 (t) (i) f1(t)( j) f2 (t)(i j)
第五章 图像卷积PPT课件
结合律
f (g h) ( f g) h
§5.2卷积运算的性质
■平滑性质 是指两个函数卷积的结果使得每个函数的精细结构都 会被平滑，一些尖峰和峡谷都趋于圆滑；
■扩散性质 指的是卷积结果的区间扩大性：两个只在有限区间有 定义的函数之卷积，卷积结果的区间线度等于两个函数区 间线度之和。若结果表示光能量分布的话，分布范围的增 加就意味着能量分布的扩散。
f (u, v)g(x u, y v)dudv
§5.1.1.5卷积定理的特例—相关定理
相关用 f (x）○ 表示，定义如下:
f
(x）g○(x)g(x)
f
(a)g(x
a)da
描述的是两个函数图形的相似程度， 当完全相同时，相关函数就会出现 一个相关峰值。
§5.1.1.5卷积定理的特例—相关
相关定理：
§5.3卷积的应用
■ 去卷积
我们可以用一个卷积去除另一个卷积影响的技术叫作去卷 积。即去除不需要的，但已对图像施加了的线性系统的影 响。一个实例即利用卷积恢复由于透镜系统或运动所造成 的模糊，这两种影响都认为是由线性系统带来的。
■ 去除噪声
即去掉线性叠加在图像上的噪声信号。
■ 特征增强 以消弱景物中的其它为代价来增强指定特征
(a)
g(2x1-)
(c)
(d)
f (x)* g(x)
1/ 2
-x1 0
1
x1 2x1 3x14x1 5x1
2
g(3x1-)
(e)
g(4x1-)
(f)
g(5x1-)
(g)
5
可编辑课件PPT
§5.1.1.3卷积的物理意义
线性系统
线性（linearity) 对同时作用的几个激励（输入）的响应（输出）， 恒等于每个激励单独 引起的响应之和，这种现象称为线性。
卷积与相关函数
2、与奇异信号的卷积 f (t ) (t ) f (t )
函数的筛选性质
f ( x) ( x x0 )dx f ( x0 )
f (t ) (t ) f ( ) (t )d f (t )
f (t ) (t )
卷积与相关函数
一、卷积 1、卷积的定义 函数 f1 (t ) 和 f 2 (t )的卷积运算为
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
卷积的意义：一个函数与另一个函数折叠后之
积的曲线下的面积，又称折积积分。
函数 f ( )绕纵轴折叠后为 f ( )
jt
dt
f1 ( ) f 2 (t ) d ]e
dt
f1 ( )[
f 2 (t )e
j
j t
dt]d
f1 ( )[ F2 ( )e f1 ( )e
j
]d
[
d ]F2 ( ) F1 ( ) F2 ( )
1 f1 (t ) f 2 (t ) [ F1 ( ) F2 ( )] 2
1 f (t ) 2
1
F ( )e
jt
d
1 1 2 F { [ F1 ( ) F2 ( )]} ( ) [ F1 ( ) F2 ( )] e jt d 2 2 1 2 ( ) [ F1 ( ) F2 ( ) d ] e jt d 2 1 2 ( ) F1 ( )d [ F2 ( ) e jt d ] 2 1 1 j t j t F ( ) d [ f ( t ) e ] [ F ( ) d e ] f 2 (t ) 1 2 1 2 2 f1 (t ) f 2 (t )
《信号与系统》课程讲义3-4
t 2
1
§3.4卷积定理和相关定理
二、相关定理
1．能量信号与功率信号
①能量与能量信号
∫ i)能量 E =
+∞
|
f
(t) |2dt
−∞
ii)能量信号E<+ ∞，例 f (t) = EGτ (t)
∫ ②iii功))功功率率率与P信功=号率Tl→iPm信+<∞+号T1∞−T22T
f (t 例f
) 2 dt (t) =
) )
f f
2 2
(t (τ
−τ −t
)dt )dτ
③ ⇒ f1(t) * f2 (−t) = R12 (t)
§3.4卷积定理和相关定理
[例3]：已知 f1(t) = G2 (t)，f2 (t) = (−t + 2)R2 (t) 求① f1(t) * f2 (t)
② R12 (t) = f1(t) * f2 (−t)
t+2 -1
1τ
§3.4卷积定理和相关定理
⎧0
∫⎪
⎪
t+2 2dτ
−1
∫ f1 (t )
*
f2 (t)
=
⎪ ⎨
⎪
∫⎪
⎪⎩
+21dτ
−1
12dτ
t−2
0
t < −3 ⎧ 0
− 3 ≤ t < −1 −1≤ t <1
=
⎪⎪⎪⎨2(t 4+
3)
1 ≤ t < 3 ⎪⎪2(3 − t)
t>3
⎪⎩ 0
t < −3 − 3 ≤ t < −1 −1≤ t <1
§3.4卷积定理和相关定理
3.8 卷积特性(卷积定理)
)
f1 (t ) f (t )
1
1
T (t )
1
f (t )
n
( t nT
1
1
n
28
f ( t nT 1 )
f1 (t )
1
1
n
f (t nT )
1
29
信号的时域与频域呈 抽样（离散）与周期（重复）对应关系
为 T1 , 用符号 T ( t ) 表示周期单位
1
冲激序列 , 即 : T ( t ) 列的傅里叶级数与傅里
n
( t nT
叶变换 .
jn1t
) , 如图所示 , 求周期单位冲激序
T (t )
Fn 1 T1
n
Fn e
t 0 T1
n
P ( n
n
n n
s
)
)
F ( ) 2
P ( n
n
s
n
P F ( n
n
s
)
Fs ( )
n
P F ( n
s
)
18
1、矩形脉冲抽样 “自然抽样”
Fs ( )
f (t )
2 T1 2
f 0 (t )e
j t
T1
dt
2 T1 2
f (t )e
j t
dt
10
求周期性三角脉冲序列的傅里叶级数的系数Fn
f (t )
Fn
1 T1
F0 ( ) n
§3.8 卷积特性(卷积定理)
返回
二．卷积定理的应用
用时域卷积定理求频谱密度函数。 例3-8-1 用时域卷积定理求频谱密度函数。
的傅里叶变换。 求∫ f (τ ) dτ的傅里叶变换。
t −∞
∫ f (τ )dτ = ∫ f (τ )u(t −τ )dτ
t
∞
1 F(ω) ∫−∞ f (τ )dτ ↔F(ω) ⋅ πδ(ω) + jω =π F(0)δ (ω) + jω 求系统的响应。 求系统的响应。 f (t) g(t )
•频域卷积定理 若 f1 (t ) ↔ F (ω), f2 (t ) ↔ F2 (ω) 1 1 则 f1(t ) ⋅ f2 (t ) ↔ F (ω) ∗ F2 (ω) 1 2 π 1 π 时间函数的乘积 ↔各频谱函数卷积的 2 倍。 卷积定理揭示了时间域 频率域的运算关系 时间域与 的运算关系， 卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。
t
−∞
−∞
= f (t ) ∗ u(t )
h(t )
g(t ) = f (t ) ∗h(t )
G(ω) = F(ω)H(ω) ↔ g(t ) = F−1[G(ω)]
返回
将时域求响应，转化为频域求响应。 将时域求响应，转化为频域求响应。
时域卷积定理的证明
f1(t ) ∗ f2 (t ) = ∫ f1(τ ) f2 (t −τ ) dτ
f1(t )
E
Eτ
F (ω) 1
−
τ
2
O
τ
2
t
−
2π 0
E2τ
f1(t ) ∗ f1(t )
τ
E2τ 2
二．卷积定理的应用
用时域卷积定理求频谱密度函数。 例3-8-1 用时域卷积定理求频谱密度函数。
的傅里叶变换。 求∫ f (τ ) dτ的傅里叶变换。
t −∞
∫ f (τ )dτ = ∫ f (τ )u(t −τ )dτ
t
∞
1 F(ω) ∫−∞ f (τ )dτ ↔F(ω) ⋅ πδ(ω) + jω =π F(0)δ (ω) + jω 求系统的响应。 求系统的响应。 f (t) g(t )
•频域卷积定理 若 f1 (t ) ↔ F (ω), f2 (t ) ↔ F2 (ω) 1 1 则 f1(t ) ⋅ f2 (t ) ↔ F (ω) ∗ F2 (ω) 1 2 π 1 π 时间函数的乘积 ↔各频谱函数卷积的 2 倍。 卷积定理揭示了时间域 频率域的运算关系 时间域与 的运算关系， 卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。
t
−∞
−∞
= f (t ) ∗ u(t )
h(t )
g(t ) = f (t ) ∗h(t )
G(ω) = F(ω)H(ω) ↔ g(t ) = F−1[G(ω)]
返回
将时域求响应，转化为频域求响应。 将时域求响应，转化为频域求响应。
时域卷积定理的证明
f1(t ) ∗ f2 (t ) = ∫ f1(τ ) f2 (t −τ ) dτ
f1(t )
E
Eτ
F (ω) 1
−
τ
2
O
τ
2
t
−
2π 0
E2τ
f1(t ) ∗ f1(t )
τ
E2τ 2
7.3 卷积与卷积定理
1 F1(s)F2(s) f1(t) f2(t)
例3:
若 F(s)
s2Leabharlann 1 (1 s2)
,
求
f (t)
1[F (s)].
解 运令行F1下(s)面的s12MAF2T(sL)AB1语1s句2 ,. 则
>f>1(st)ym s t1s[F1(s)] t, f2(t) 1[F2(s)] sin t.
>> F=1/(s^2*(1+s^2));f=ilaplace(F)
故根据 卷积定理
f=
及设例f12(t，)和有f2(t ) 满足Laplace变换
t-s存i1n[F在(t)(的s)条] 件，1即[F存1(在s)tMF2s(isn0)t]和 s0tf1s0in, (f使t2得(t))dx t sin t. 0 ft1(t)sinMt es0t ,t fs2i(nt)t. Mes0t .
解:
f1(t) f2(t)
t 0
f1
f2
t
d
t1e(t )d et t e d
0
0
et (et 1) 1 et .
例2：求 t sin t
解：t sin t
t
sin(t )d t sin t.
0
二 、 拉氏变换的卷积定理
若 f1(t) F1(s), f2(t) F2(s), 则 f1(t) f2(t) F1(s)F2(s)
一、卷积概念
若函数 f1(t), f2 (t) 在 t 0 时都恒为零, 则
t
f1(t) f2 (t) 0 f1( ) f2(t )d .
注：这里的卷积定义和 Fourier 变换中给出的卷积定义 是一致的。今后如不特别声明，都假定函数在 t 0 时恒
例3:
若 F(s)
s2Leabharlann 1 (1 s2)
,
求
f (t)
1[F (s)].
解 运令行F1下(s)面的s12MAF2T(sL)AB1语1s句2 ,. 则
>f>1(st)ym s t1s[F1(s)] t, f2(t) 1[F2(s)] sin t.
>> F=1/(s^2*(1+s^2));f=ilaplace(F)
故根据 卷积定理
f=
及设例f12(t，)和有f2(t ) 满足Laplace变换
t-s存i1n[F在(t)(的s)条] 件，1即[F存1(在s)tMF2s(isn0)t]和 s0tf1s0in, (f使t2得(t))dx t sin t. 0 ft1(t)sinMt es0t ,t fs2i(nt)t. Mes0t .
解:
f1(t) f2(t)
t 0
f1
f2
t
d
t1e(t )d et t e d
0
0
et (et 1) 1 et .
例2：求 t sin t
解：t sin t
t
sin(t )d t sin t.
0
二 、 拉氏变换的卷积定理
若 f1(t) F1(s), f2(t) F2(s), 则 f1(t) f2(t) F1(s)F2(s)
一、卷积概念
若函数 f1(t), f2 (t) 在 t 0 时都恒为零, 则
t
f1(t) f2 (t) 0 f1( ) f2(t )d .
注：这里的卷积定义和 Fourier 变换中给出的卷积定义 是一致的。今后如不特别声明，都假定函数在 t 0 时恒
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|
f
(t)
|2dt
ii)能量信号E ，例 f (t) EG (t)
②功率与功率信号
i)功率P lim 1
T T
T
2 T
2
f (t) 2 dt
ii) 功率信号 P ，例f (t) sin t, f (t) sin tu(t)
③既非功率又非能量：例如 f (t) et2
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3．利用频域卷积定理求傅立叶变换
[例1]：f
(t
)
G2
(t)
cos(
2
t)的傅立叶变换
解：ℱ[
f
(t)]
1
2
ℱ[cos
2
t]
ℱ[G2
(t)]
1 [ ( ) ( )] 2Sa()
2
2
2
sa( ) sa( )
2
2
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R21( ) f1(t ) f2 (t)dt f1(t) f2 (t )dt
iii) 性质：R12 ( ) R21( ), R12 ( ) R21( )
iv) 若 f1(t) f2 (t) f (t) 定义自相关函数：
f1(t) f2 (t)
f1
(
)
f
2
(t
)d
e
jt
dt
f1
(
)
f
2
(t
)e
jt
dt
d
时移特性
Байду номын сангаас
f1( )F2 ()e j d
F2 ()
f1( )e j d
F1()F2 ()
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2．频域卷积定理 f1(t) F1(), f2 (t) F2 ()
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2．相关系数与相关函数：比较两个信号波 形是否相似，给出相似程度的统一描述
参见P343图
①相关系数：表征两个信号 f1(t)与 f2 (t)的相似程度
i) 用 C12 f2 (t)逼近 f1(t) (设 f1(t), f2 (t)为能量有限信号)
能量误差： 2
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相对 能量 误差
2
f12 (t)dt
1
[
f1(t) f1(t)2 dt
f2 (t)dt]2
f
2 2
(t
)dt
1
2 12
相关系数
ii)定义：12
f1(t) f2 (t)dt
f12 (t)dt
f
2 2
(t
)dt
f1(t), f2 (t) f1(t) 2 f2 (t) 2
iii) 1 12 1
f1(t) f2 (t)dt
f12 (t)dt
f
2 2
(t
)dt
1/
2
iv) 12 0 正交
柯西-施瓦茨不等式
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[
f1
(t)
C12
f2
(t)]2
dt
d 2 dC12 0 C12
f1(t) f2 (t)dt
f
2 2
(t
)dt
2
f1(t)
f2 (t)
f1(t) f2 (t)dt
f22 (t)dt
2
dt
f1(t)2 dt
f1 (t )
2
f
2
(t
)dt
f22 (t)dt
f1(t) 2 f2 (t) 2
R12 ( )
f1(t) 2 f2 (t) 2
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ii)定义互相关函数：f1(t),f2(t)是能量有限信号且为实信号
R12 ( ) f1(t) f2 (t )dt f1(t ) f2 (t)dt
②相关函数(研究两信号时移过程中的相关性)
i)
雷达
目标2
g(t)
f2 (t )
f1 (t )
g (t )
目标1
无时差时相关系数：12
f1(t), f2 (t) f1(t) 2 f2 (t) 2
R12 (0) f1(t) 2 f2 (t) 2
有时差时相关系数：12 ( )
f1(t), f2 (t )
0
t2
2d
f1(t)
f2 (t)
1 1
2d
1
1 2d
t2
0
t 3
0
3 t 1 1 t 1
2(t
4
3)
1t 3 t 3
2(3 t) 0
t 3 3 t 1 1 t 1
1t 3 t 3
F() F1()F2 () 4Sa() 4Sa(2) 16Sa()Sa(2)
4．利用时域卷积定理求傅立叶变换
[例2]：① f1(t) 2G2 (t), f2 (t) G4 (t), 求 f1(t) f2 (t) 图及频谱
解：
2 2G2(t)
G4(t) 1
-1 0 1 t -2 0
2t
t-2
t+2 -1
1
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[例2]：② f1(t) G2 (t), f2 (t) G2 (t), 求 f1(t) f2 (t) 图及频谱
解：
0
t 1
f1(t) *
f2
(t)
1 1
d
d
t 1
0
t 2 0
2 t 0 0t 2
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3.4 卷积定理和相关定理
• 卷积定理 • 相关定理（6.6、6.7节）
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一、卷积定理
1．时域卷积定理 f1(t) F1(), f2 (t) F2 ()
证明：
ℱ
f1(t) f2 (t) F1()F2 ()
f1(t) f2 (t)
1
2
F1() F2 ()
证明:
ℱ-1[ 1
2
F1() F2 ()]
1
2
1
2
F1
(
)
F2
(
)d
e
jt
d
1
2
F1
(
)
1
2
F2
(
)e
jt
d
d
频移特性
1
2
F1
(
)
f
2
(t
)e
jt
d
f2 (t) f1(t)
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t 2 2 t
t 2 0
t 2 2 t 0 0t2
t2
2 f1(t) f2 (t)
F () Sa()Sa() Sa2 ()
-2 0
2t
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二、相关定理
1．能量信号与功率信号
①能量与能量信号
i) 能量E