信号和系统第5章习题答案解析

第5章 连续时间信号的抽样与量化

5.1 试证明时域抽样定理。

证明： 设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为

∑∞

-∞

=-=

n s

T nT t t )()(δδ

由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：

[])()(21

)(ωδωπ

ωT s F F *=

()[]∑∞

-∞

=-=

n s

s

n F T ωω1

式中)(ωF 为原信号)(t f 的频谱，)(ωδT 为单位冲激序列)(t T δ的频谱。可知抽样后信号的频谱)(ωs F 由)(ωF 以 s ω为周期进行周期延拓后再与s T 1相乘而得到，这意味着如果

m s ωω2≥，抽样后的信号)(t f s 就包含了信号)(t f 的全部信息。如果m s ωω2<，即抽样

间隔m

s f T 21

>

，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建原信号。 因此必须要求满足m

s f T 21

≤

，)(t f 才能由)(t f s 完全恢复，这就证明了抽样定理。 5.2 确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔： （1）)50(t Sa

（2）)100(2

t Sa

（3） )100()50(t Sa t Sa +

（4）)60()100(2

t Sa t Sa +

解：抽样的最大间隔m s f T 21=称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率m s f f 2=称为奈奎斯特速率，最低采样频率m s ωω2=称为奈奎斯特频率。 （1）)]50()50([50

)50(--+↔

ωωπ

u u t Sa ，由此知s rad m /50=ω，则π

25

=

m f ，

由抽样定理得：最低抽样频率π

50

2=

=m s f f ，奈奎斯特间隔50

1π

==

s s f T 。 （2）)200

1(100

)100(2

ω

π

-

↔

t Sa 脉宽为400，由此可得s rad m /200=ω，则π

100

=

m f ，由抽样定理得最低抽样频率

π

200

2=

=m s f f ，奈奎斯特间隔200

1π

=

=

s s f T 。 （3）)]50()50([50

)50(--+↔

ωωπ

u u t Sa ，该信号频谱的s rad m /50=ω

)]100()100([100

)100(--+↔

ωωπ

u u t Sa ,该信号频谱的s rad m /100=ω

)100()50(t Sa t Sa +信号频谱的s rad m /100=ω,则π

50

=

m f ，由抽样定理得最低

抽样频率π

100

2==m s f f ，奈奎斯特间隔100

1π

=

=

s s f T 。 （4）)]100()100([100

)100(--+↔

ωωπ

u u t Sa ,该信号频谱的100=m ω

)120

1(60

)60(2ω

π

-

↔

t Sa ，该信号频谱的s rad m /120=ω 所以)60()100(2t Sa t Sa +频谱的s rad m /120=ω, 则π

60

=m f ，由抽样定理得最

低抽样频率π

120

2=

=m s f f ，奈奎斯特间隔120

1π

=

=

s s f T 。 5.3 系统如题图 5.3所示，)1000()(1t Sa t f π=，)2000()(2t Sa t f π=，

∑∞

-∞

=-=

n nT t t p )()(δ，)()()(2

1

t f

t f t f =，)()()(t p t f t f s =。

（1）为从)(t f s 中无失真地恢复)(t f ，求最大采样间隔max T 。

（2）当max T T =时，画出)(t f s 的幅度谱)(ωs F 。

题图 5.3

解：

（1）先求)(t f 的频谱)(ωj F 。

)]1000()1000([1000

1

)()1000()(11πωπωωπ--+=

⇒=u u j F t Sa t f )(1t f

)(t f

时域相乘

时域抽样

)(2t f

)(t p

)(t f s

)]2000()2000([2000

1

)()2000()(22πωπωωπ--+=

⇒=u u j F t Sa t f )]}

3000()1000()[3000()]1000()1000([2000)]1000()3000()[3000{(1041)]2000()2000((20001))1000()1000((10001[21)()(21

)(621πωπωπωπωπωππωπωπωππωπωπωπωπωωπ

ω---+-+--+++-++⨯⨯=--+*--+=

*=-u u u u u u u u u u j F j F j F

由此知)(ωj F 的频谱宽度为π6000，且s rad m /3000πω=，则Hz f m 1500=，抽样

的最大允许间隔s f T m 3000

1

21max ==

（2）∑∞

-∞

=-=

n nT t t p )()(δ，所以为用冲激序列对连续时间信号为)(t f 进行采样，设原输

入信号)(t f 的频谱密度为)(ωF ，而单位冲激序列的频谱密度为：

∑∞

-∞

=-=

n s n T

p )(2)(ωωδπω 其中

T

s πω2=

则根据频域卷积定理得抽样信号)(t f s 的频谱为：

∑∞

-∞

=-==n s s n F T p F F )(1)](*)([21)(ωωωωπω

而max T T =，则s rad T s /6000230002max

πππ

ω=⨯==，幅度谱如下图所表示。

5.4 对信号)()(t u e t f t

-=进行抽样，为什么一定会产生频率混叠效应？画出其抽样信号的频谱。

解： 由第三章知识知，该单边指数信号的频谱为：

ω

ωj j F +=

11

)(

其幅度频谱和相位频谱分别为