奥数最大公因数最小公倍数讲义及答案教学内容

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小学最大公因数和最小公倍数讲解指导及技巧辩认及实际习题操作人

小学最大公因数和最小公倍数讲解指导及技巧辩认及实际习题操作人一、必须要掌握的基本概念说到最大公因数（又叫最大公约数），必须要掌握质数和合数的概念，下面三点基本的内容要掌握：1、数字1既不是质数，也不是合数，是一个特殊的自然数2、如果一个数的约数只有1和它本身，这个数就是质数，例如2,3,5,7,11,13,17,19,23等，一定要注意2是唯一的一个既是偶数又是质数的数字。

3、如果一个数的约数含有1和它本身，除这两个之外还有其它的公因数，我们称这个数是合数，例如4,6,8,9等，最小的合数是4，因为他的因数包含1,2,3。

二、最大公约数的定义及求解方法最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

a,b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。

求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法和观察法等。

1、质因数分解法定义：把每个数分别进行质因数分解，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。

例1：求78和36的最大公因数，78=2x3x13,36=2x2x3x3,从这两个式子可以看出，他们的最大公因数是2x3=6例2：求234,78,39的最大公因数234=2x3x3x13,78=2x3x13,39=3x13从中可以看到它们三个数进行分解之后都含有3和13，因此它们的最大公因数是13。

2、短除法短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。

例3：求343和245的最大公约数343-245=98,245÷98=2......49,245÷49=5,所以最大公因数是493、观察法这种方法和第一种相似，第一种需要进行计算，这种需要对数字非常熟悉，一般来说要知道这些整除的概念：（1）、被2整除的数字尾数是偶数，例如32和36都是2的倍数，可以直接用2来进行整除。

第二讲—最大公因数和最小公倍数(教案)

练习1：1个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几？
练习2：把53块水果糖和49块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩3块，巧克力剩4块，这个组最多有几位同学？
重难点五：易混淆题型
例题1、把若干个长12厘米、宽9厘米的长方形拼成一个正方形，正方形边长至少是多少？至少需要多少个这样的长方形？
例题4从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆加上两端的两根一共是55根电线杆现在改成每隔60米安装一根电线杆除两端的两根不用移动外中途还有多少根不必移动
学生姓名：
科目：
年级
授课时间：2015年月日至
讲次：第讲
授课教师：老师
【教学目标】
1、认识和掌握公因数和公倍数的概念。
2、能准确求出几个数的最大公因数和最小公倍数。
重难点3：和公因数相关的应用题
例1、把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？
例题2、用某数去除218，170，290都余2，问某数最大是多少？
【巩固拓展】
1、把一张长72厘米，宽60厘米的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的正方形纸，纸无剩余，至少能裁多少张？
例题4、从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？
练习：学校操场长96米，从一端起到另一端每隔4米插有一面小红旗。现在要改成每隔6米插一面红旗。问可以不必拔出来的小红旗有多少面？
例题5、每筐梨，按每份两个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分4个，则筐里至少有多少个梨？
12和30 52和12 35和25 24和36 51和17 91和26

五年级奥数上册第四讲.最大公约数和最小公倍数

分类讨论
• • • • • • 如果d=1时：由d(a1－b1)=4得a1－b1=4；由d×da1b1=252可得a1b1=252 252=1×252=4×63=7×36=9×28 但此时都不满足a1－b1=4 所以d≠1
• • • • • • • • • • •
如果d=2时：由d(a1－b1)=4得 a1－b1=2；由d×da1b1=252可得 a1b1=63 63=1×63=7×9 此时63－1=62≠2不满足a1－b1=2 ， 9－7=2满足a1－b1=2 所以d=2并且a1=9、b1=7 所以a=18、b=14 答：这两个数为18和14。
（二）已知最大公约数和最小公倍数求两个数
• 例2、已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126。求着两个数的和是多少？ • 分析：思路1，由最大公约数与最小公倍数的积等于两个数的积可得到两个数的积为 • 21×126=2646， • 再利用分解质因数后重新组合即可 • 2646=2×3×3×3×7×7 • =(3×7×2)×(3×7×3)=42×63 • 或 =(3×7)×(3×7×2×3)=21×126
如果d =1则a1+b1=54 a1×b1－1=114 即a1×b1=115 115=1×115=5×23 但是1+115=116≠54 5+23=28≠54 d≠1 下面分别讨论d=2、3、6的情况得到： d=6是成立，此时a1=4,b1=5 a=6×4=24 b=6×5=30
• 例6、已知两个自然数的差为4，它们的最大公约数与最小公倍数的积为252，求这两个自然数 • 分析：差为4即a－b=4即d(a1－b1)=4 • 最大公约数与最小公倍数的积为252即 • d×da1b1=d×da1b1=252=2×2×3×3×7 • 所以d是6的约数，即d是4与6的公约数， d=1或2

奥数最大公约数与最小公倍数例题、练习及答案

最大公约数与最小公倍数（一）教学目标：1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。

2．通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。

3．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。

教学过程：一、基本概念知识1.公约数和最大公约数①如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12; 18的约数有：1，2，3，6，9，18。

自然数的最大公约数通常用符号（）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。

（8，12）=4，（6，9，15）=3。

　2.公倍数和最小公倍数　③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，… 18的倍数有：18，36，54，72，90，…自然数的最小公倍数通常用符号[]表示，例如12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

[8，12]=24，[6，9，15]=90。

3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求个数的最大公约数：（1）必须每次都用个数的公约数去除；（2）一直除到个数的商互质（但不一定两两互质）；（3）个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。

求个数的最小公倍数：（1）必须先用（如果有）个数的公约数去除，除到个数没有除去1以外的公约数后，在用个数的公约数去除，除到个数没有除1以外的公约数后，再用个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到个数的商两两互质为止；（3）个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。

五年级奥数第24讲——最大公因数与最小公倍数

学生课程讲义最大公因数与最小公倍数是小学数学的基本内容，求几个数的最大公因数或最小公倍数的基本方法有因数分解法、短除法、辗转相除法等，在课外活动及竞赛中经常出现这两个概念及用其求解方法处理的问题，a1，a2,...an这n个数的最大公因数用记号（a1，a2,...an）表示，最小公倍数用[a1，a2,...an]表示。

【例1】求2520，14850，819的最大公因数和最小公倍数。

随堂练习1求35，98，112的最大公因数和最小公倍数，（用因数分解法）【例2】求36，108，126的最大公因数和最小公倍数。

随堂练习2求403，527，713的最大公因数和最小公倍数。

【例3】夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走，小龙每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印，那么这条小路长（）米。

随堂练习3甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？【例4】a=36,b=54，证明（a,b）×[a,b]=a×b随堂练习4设a=108，b=720,验证：（a,b）×[a,b]=a×b 【例5】现有4个不同的自然数，它们的和是1111，如果要使这4个数的公因数尽可能大，那么，这4个数的公因数最大是（）随堂练习5有很多方法可以将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不同）的和，对于每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公因数，那么这些最大公因数最大值是多少？【例6】某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以。

5年级奥数讲义(最大公约数最小公倍数)

第五讲最大公因数与最小公倍数（教师版）例1、437与323的最大公约数是多少？基本概念：1、公约数和最大公约数几个数公有的约数．．．．．．．．，叫做这几个数的公约数．．．．．．．．．．；其中最大的一个．．．．．．．，叫做这几个数的最大公约数．．．．．．．．．．．．。

例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。

12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。

一般地我们用（a,b ）表示a,b 这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。

如果（a,b ）=1,则a,b 两个数是互质数。

2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，… 18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和 18的最小公倍数。

一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b 的最小公倍数，如[12，18]=36。

3、最大公约数与最小公倍数的求法A ．最大公约数求两个数的最大公约数一般有以下几种方法（1）分解质因数法（2）短除法（3）辗转相除法（4）小数缩倍法（5）公式法前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。

当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。

B ．最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法：（1）分解质因数法（2）短除法（3）大数翻倍法（4）a×b =（a,b ）×[a,b]上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。

例2、24871和3468的最小公倍数是多少？练习254216933的最简分数是多少？例3、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。

五年级奥数最小公倍数讲座及练习答案

五年级奥数最小公倍数讲座及练习答案回忆：1、什么叫公倍数及最小公倍数？2、自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1时，[a、b]=a某b。

3、两个数的最大公约数某最小公倍数=两数的乘积例1：一块砖长20厘米，宽12厘米，高6厘米，要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？分析：把若干个长方体堆成正方体，它的棱长是长方体长、宽、高的公倍数，现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长方体长、宽、高的最小公倍数。

要多少块砖，即用正方休的体积除以长方体的体积。

[20，12，6]=6060某60某60÷（20某12某6）=150（块）答：至少需要这样的砖头150块。

【巩固练习】：用长9厘米，宽6厘米，高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？解：用长9厘米，宽6厘米，高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，要求至少需要用这样的长方体多少块，也就是求9、7、6的最小公倍数是多少。

[9、6、7]=126.答：至少需要用这样的长方体126块.。

例2：甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？分析：甲跑一圈需要600÷3=200（秒）乙跑一圈需要600÷4=150（秒）丙跑一圈需要600÷2=300（秒）。

要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一不定期是200、150、300的最小公倍数，[200、150、300]=600，所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。

【巩固练习】：一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米，至少经过几分钟后三人再次从原出发点同时出发？解：一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8米，那么骑完一圈需240÷8=30（秒）乙每秒行6米，骑完一圈需240÷6=40（秒）丙每秒行5米，骑完一圈需240÷5=48（秒），求至少经过几分钟后三人再次从原出发点同时出发，就是求30、40、48的最小公倍数是多少。

-最大公因数最小公倍数应用讲义

例三：六年级同学参加环保宣传活动。9人一组多6人，8人一组多5人，10人一组多7人，参加宣传活动的同学有多少人？
练习：已知某小学六年级学生超过100人，而不足140人，将他们按每组12人分组，多3人，按每组8人分，则少5人。该校六年级有学生多少人？
练习：有一车苹果，每3箱一数，剩1箱；每5箱一数，剩1箱；每7箱一数，盛1箱。这车苹果至少多少箱？
有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三个人的年龄乘积是1620，这三个学生的年龄是多少岁？
巩固作业：
1.在（）内填入适当的质数。
10＝（）＋（）
10＝（）×（）
20＝（）＋（）＋（）
8＝（）×（）×（）
2、填空
所有自然数的公因数为（）。
如果m和n是互质数，那么它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
课题
最大公因数、最小公倍数应用
教学目标
1、学求两个数的最大公因数。
2、能够运用关于最大公因数的应用题。
3、提高自己对两质数积的敏感性，便于质因数的分解。
重点、难点
重点：学求两个数的最大公因数。
难点：能够运用关于最大公因数的应用题。
考点及考试要求
1、学求两个数的最大公因数。
2、能够运用关于最大公因数的应用题。
教学内容
知识框架
1、两个数的最大公因数的方法。
2、关分解。
考点一：最大公因数、最小公倍数的应用
典型例题：
例一：已知A=2×2×3×5，B=2×3×3×5，C=3×5×7，则A、B的最大公因数是（），最小公倍数是（）；B、C的最大公因数是（），最小公倍数是（）；A、C的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
考点三：综合拓展辨析
两个质数的和一定是偶数。（）

小学奥数公因数和公倍数完整版

小学奥数公因数和公倍数HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】第三讲：公因数和公倍数一、公约数的概念与最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

0被排除在约数与倍数之外。

例如：12的约数有：1,2,3,4,6,1218的约数有：1,2,3,6,9,1812和18的公约数有：1,2,3,6，其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=61．求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15．2．最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．二、公倍数的概念与最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

六年级上册第23讲最大公因数和最小公倍数讲义

【学习目标】1、掌握公约数、公倍数的概念与算法；2、会应用最大公约数与最小公倍数的观点解决实际问题；3、掌握最大公约数与最小公倍数之间的关系。

【知识与方法】【经典例题】【例1】一条街道为AC ，在AC 中的B 处转弯。

AB 长630米，BC 长560米。

在这条街道一侧等距离装路灯，A 、B 、C 三点必须各装一盏路灯，这条街道最少装多少盏路灯？【例2】一张长方形的纸，长96cm ，宽60cm ，把它裁成同样大小、且边长为整数厘米的正方形（裁完后纸无剩余），问至少可以裁多少张？练一练：一块长方形地长90米，宽48米，要在它四周种树，（四角都种）相邻的两棵树中间距离相等，最少要种几棵树？相邻两棵树中间的距离是多少？【例3】有一根铁丝，长度分别是12厘米、18厘米和24厘米。

现在要把它们截成相等的小段，每根都不许有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段？【例4】今有香蕉42千克，苹果112千克，橘子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到三种水果各多少千克？【例5】某学校召开代表大会，有教师代表32人，学生代表40人，职工代表24人，要编成若干组进行讨论，编组使每组各方代表人数要相同，最多能编几组？每组各方代表各有多少人？练一练：现在有一个长54厘米，宽27厘米，高18厘米的长方体木块，要想切割成大小相同的正方体，并且切割后不许有剩余，那么正方体的棱长最多是多少？【例6】一段长90厘米的绳子，每隔2厘米点一个点，再每隔3厘米点一个点，最后在有点的地方将绳子剪断，共剪成了多少段？【例7】现有39支钢笔、40只计算器，平均奖给四、五年级评出的优秀学生，结果钢笔多出3支，计算器少2只，问评出的优秀学生最多有几人？【例8】幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班的小朋友，结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个，这个大班的小朋友最多有多少人？练一练：有36支铅笔盒40本练习本，平均奖给若干个三好学生，结果铅笔多出1支，练习本缺2本，得奖的三好学生有多少人？。

《最大公因数》讲义

《最大公因数》讲义一、什么是最大公因数在数学的世界里，最大公因数就像是两个或多个数字之间的一个特殊“纽带”。

当我们谈到最大公因数时，它指的是能够同时整除一组数的最大整数。

比如说，对于数字 12 和 18，它们的因数分别有：12 的因数是 1、2、3、4、6、12；18 的因数是 1、2、3、6、9、18。

可以看到，它们共有的因数是1、2、3、6，其中最大的那个就是6，所以 12 和 18 的最大公因数就是 6。

为了更清晰地理解这个概念，我们可以想象有一堆相同大小的积木要分别放进几个盒子里，而最大公因数就是能够整除这几个盒子里积木数量的最大数。

二、如何找最大公因数（一）列举法这是最直接也是最基础的方法。

就像前面提到的 12 和 18，我们分别把它们的因数一一列举出来，然后找出共同的因数，再从中确定最大的那个。

这种方法对于较小的数字比较好用，但当数字较大时，列举因数就会变得繁琐且容易出错。

（二）分解质因数法我们把一个数分解成几个质数相乘的形式，比如 12 ＝ 2×2×3，18 ＝ 2×3×3。

然后找出它们公有的质因数，将这些公有的质因数相乘，得到的积就是最大公因数。

对于 12 和 18，公有的质因数是 2 和 3，所以最大公因数就是 2×3 ＝ 6。

（三）短除法短除法是一种比较高效的方法。

我们用这组数除以它们的一个公因数，然后将除数和商继续除以公因数，直到所得的商互质为止。

最后把所有的除数相乘，得到的就是最大公因数。

例如，求 24 和 36 的最大公因数，先用 24 和 36 同时除以 2，得到12 和 18；再除以 2，得到 6 和 9；接着除以 3，得到 2 和 3，此时 2 和3 互质。

所以 24 和 36 的最大公因数就是 2×2×3 ＝ 12。

三、最大公因数的性质（一）两个数的最大公因数是它们公因数的倍数比如 12 和 18 的公因数有 1、2、3、6，而最大公因数 6 恰好是这些公因数的倍数。

初中六年级数学第二课时最大公因数和最小公倍数(含答案)

初中六年级数学第二课时最大公因数和最小公倍数学习目标1.理解和掌握公因数与最大公因数的概念，并会求得两个数的最大公因数；2.理解和掌握互素的概念，掌握互素的两个数的特点；3.理解和掌握公倍数和最小公倍数的概念，并会求得两个数的最小公倍数；4.理解和掌握求三个数最小公倍数的方法.核心知识一、公因数与最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

2、如果2个整数只有公因数1，那么这两个数互素。

两数互素是指两个数的最大公因数是1这样一种关系。

它和素数、素因数是不同的概念，不要混淆。

判断：只有2个数都是素数才能互素，对吗？错。

比如：4和9。

两数互素，这两个数一般有以下四种情况；（1）素数和素数（19和23）；（2）素数和合数（13和14）；（3）合数和合数（21和22）；（4）1和任何正整数（1和100）3、求两个数最大公因数的常用方法有：列举法、分解素因数法、短除法。

运用规律法：规律：两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果这两个数互素，那么他们的最大公因数就是 1.如果两个数满足上面的规律，便可直接运用规律求出它们的最大公因数。

辗转相除法：求36和84的最大公因数3 36 84 236 720 12上面式子的意思是：84除以36，商是2（写在右边），36×2=72（写在被除数84下方），余数是12，再用36除以12，商是3（写在左边），12×3=36（写在被除数36下方），余数是0，这样，最后的除数12就是36和84的最大公因数。

像上面这种求两个数的最大公因数的方法就是辗转相除法。

求：280和160的最大公因数。

1 280 160 1160 1203 120 40120所以，280和160的最大公因数是40.求三个数的最大公因数：用一个数去除18、24、60都能整除，这个数最大是多少？你能用几种方法求解？你觉得哪种方法更快捷呢？用短除法求解可得：18、24、60的最大公因数是2×3=6，所以这个数最大是6.4、求几个正整数的最大公因数，只要把它们所有的公有素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。

最大公因数与最小公倍数讲义

中小学1对1课外辅导专家武汉龙文教育学科辅导讲义授课对象授课教师授课时间2013-03-16 授课题目最大公因式与最小公倍数课型新授课使用教具教学目标1.掌握最大公因数和最小公倍数的求法；2.会解有关最大公因数和最小公倍数的应用题；3.培养学生的思维能力。

会求最大公因数和最小公倍数，掌握它们之间的关系，并能应用解决相关问题是热门考点。

教学重点和难点重点：掌握最大公因数和最小公倍数的求法；难点：能熟练运用最大公因数和最小公倍数解应用题。

参考教材教学流程及授课详案家一、课本知识复习：1、公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数、互质数的概念复习；4、2个自然数的最大公因数、最小公倍数的求法：观察比较法、短除法5、3个自然数的最大公因数、最小公倍数的求法：可以先求其中任意两个的数的最大公因数（最小公倍数），再求这个公因数（公倍数）与另外一个数的最大公因数（最小公倍数），这样求下去，直至求得最后结果。

6、（1）求12和18的最大公因数； 6（2）求10、16和24的最小公倍数；240（3）有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。

现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段长多少厘米？一共可以截成多少段？分析：∵要截成相等的小段，且无剩余，时间分配及备注∴每段长度必是120、180、300的公约数。

解：∵30︳120 180 3002︳4 6 102 3 5又∵每段要尽可能长∴要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数（120,180,300）=30×2=60∴每小段最长60厘米2+3+5=10（段）答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。

（4）加工某种机器零件，要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时可加工3个，第二道工序每个工人每小时可加工5个，第三道工序每个工人每小时可加工10个。

要使流水线正常生产，各道工序安排几个工人最合理？家分析：要使流水线正常生产，不浪费人力和时间，加工零件的个数应是3、5、10的最小公倍数。

小学奥数五年级上第15讲《公因数与公倍数进阶》教学课件

例题讲解
mathematics
练习3：两个数的最大公因数是10，最小公倍数是300，如果这两个数相差70，那么较小的数是多少? 答案：30
例题讲解
mathematics
例题4：甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是126，请问：甲数是多少? 分析：这道题只告诉了三个数中每两个数的最小公倍数，能否通过分解质因数，然后比较
五年级上第15讲
公因数与公倍数进阶
• Culture
知识树
mathematics
• Culture
知识树
mathematics
• Culture
知识树
mathematics
数学知识点
mathematics
• Culture
1.知识精讲 3.极限挑战
2.例题讲解 4.巩固提升
数学知识点
mathematics
两数的最大公因数乘最小公倍数等于两数乘积注意，这个性质只在两个数的时候有效，如果数更多就不成立，同学们可以尝试举例说明. 性质虽然好用，但它要求给出最大公因数、最小公倍数和两数中的一个才能求出另一个，如果只给出最大公因数和最小公倍数，能不能把原来的两个数都求出来呢?
例题讲解
例题1：
mathematics
例题讲解
mathematics
练习1： (1)两个互质的自然数的最小公倍数是432，求这两个数. (2)若两个不成倍数关系的自然数，最大公因数是45，最小公倍数是900，求这两个数. 答案：（1）16和27；（2）180和225
数学知识点
mathematics
知识精讲通过前面例题的学习，我们知道，如果知道两个数的最大公因数，就可以把这两个数表示出来，比如说两数的最大公因数是12，那么这两个数都是12的倍数，可以设为12a和12b，而且a和b互质，那么这两个数的最小公倍数、和、差以及乘积就都可以用a和b表示出来了.

五年级奥数最大公因和最小公倍数

课题：最大公因数和最小公倍数专题简析1：最大公因数几个公有的因数叫这几个数的公因数,其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数;我们可以把自然数a、b的最大公因数记作a、b,如果a、b=1,则a、b互质;求几个数的的最大公因数可以用列举法、分解质因数法和断除法等方法;例1 求下面每组数的最大公因数;45和18 51和17 28和96 24、38和1860和36 180和240 72和60 60、36和72 例2 120的因数有多少个例3 一张长方形的纸,长7分米5厘米、宽6分米;现在要把它裁成一块块正方形,而且正方形边长为整厘米数,有几种裁法如果要使裁得的正方形面积最大,可以裁多少块例4 有三根小棒,长分别是12厘米,14厘米,16厘米,要把它们都裁成同样长的小棒,不许有剩余,每根小棒最长能有多少厘米例5 一个数除200余4；除300余6；除500余10.求这个数最大是多少举一反三1、将一块长80米、宽60米土地划分成面积相等的小正方形;问：小正方形的面积最大是多少2、一个长方体木块,长2.7米,宽18分米、高15分米;要把它切成大小相等的正方体木块,不许有剩余;、,正方体的棱长最大是多少分米3、一个数除150余6,除250余10,除350余14,这个数最大是多少4、有一个三角形花圃,三边的长度分别是56米、36米、24米;现在这三条边上等距离栽菊花,并且每两株菊花之间的距离尽量大;问：一共栽多少株菊花5、一块三角形地,要在三条边上按等距离插红旗三个顶点必须各插一面,要使插的面数最少,应该准备多少面红旗甲48米 72米乙 54米丙专题简析2：最小公倍数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个公倍数,叫做这几个数的最小公倍数;自然数a、b的最小公倍数可以记作〔a、b〕,当a、b=1时,〔a、b〕=a×b;两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积即a、b×〔a、b〕= a×b要解答求最小公倍数的问题,关键要根据题目中的已知条件,对问题作全面的分析,若要求的数对已知条件来说,是处于被除数的地位,通常就是求最小公倍数,解题时要避免和最大公因数问题混淆;例1 两个数的最大公因数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少例2两个自然数的积是360,最小公倍数是120,这两个数各是多少例3 三位朋友每人隔不同的天数到图书馆去看书,甲3天去一次,乙4天去一次,丙5天去一次;一个星期一,他们三人在图书馆相遇,至少再过多少天他们又在图书馆相遇相遇时是星期几例4 一块砖长20厘米,宽12厘米,厚6厘米;要堆成正方体至少需要这样的转多少块例5 有一个自然数,被10除余7,被7除余4,被4除余1.这个自然数最小是多少同步练习1、两个数的最大公因数是9,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少2、已知两个数的积是3072,最大公因数是16,求这两个数;3、1路、2路和5路车都从东站发车,1路车每隔10分钟发一辆,2路车每隔15分钟发一辆,而5路车每隔20分钟发一辆;当这三种路线的车同时发车后,至少要经过多少分钟这三种路线的车有同时发车4、用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体,至少需要用这样的长方体多少块5、一个数能被3、5、7整除,但被11除余1.这个数最少是多少6、插一排红旗共26面;原来每两面之间的距离是4米,现在改为5米;如果起点一面不移动,还可以有几面移动同步测试1、求下面各组数的最大公因数和最小公倍数;15和12 90和45 42和70 39和652、一块长方体木料,长72厘米,宽60厘米,高36厘米,请你把它锯成同样大小的正方体木块,且木块的体积要最大,木料又不能剩;算一算可以锯成几块3、排练团体操,要求队伍变成10行、15行、18行、24行时队伍能成为矩形,问至少要多少人参加排练4、将长、宽、高分别为6㎝、4㎝、8㎝的长方体积木,叠成最小的正方体,最少要积木多少块5、用96朵红花和72朵白花做成花束,如果各花束里红花的朵数相同,白花的朵数也相同,每束花里最少有几朵花6、在一根长100厘米的木棍上,自左至右每隔6厘米染上一个红点,同时自右至左每隔5厘米染上一个红点,染后沿红点将木棍逐段锯开,那么长度是1厘米的短木棍有多少根7、兄弟三人在外工作,大哥6天回家一次,二哥8天回家一次,小弟12天回家一次,兄弟三人同时在十月一日回家,下一次三人再见面要再过多少天8、教师节那天,某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨,用来慰问退休的教职工;问用这些果品,最多可以分成多少份同样的礼物同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等在每礼物中,苹果、桔子、鸭梨各多少个9、一张长方形的纸,长为96厘米,宽为60厘米,把它裁成同样大小且边长为整厘米数的正方形而无剩余,问至少可以裁多少张10、一块长方形地面,长120米,宽60米,要在它的四周和四角种树,每两棵之间的距离相等,最少要种树苗多少棵每相邻两棵之间的距离是多少米11、加工机器零件,要经过三道工序;第一道工序每个工人每小时完成3个,第二道工序每个工人每小时完成12个,第三道工序每个工人每小时完成5个,要使生产顺利进行,又不浪费人力、时间,三道工序至少各分配几人12、在一张长60厘米的纸条上,从左端起,先每隔3厘米画一个红点,在从左端起,每隔4厘米画一个红点;纸条的两端都不画;最后,纸条上共有多少个红点。

学而思奥数5年级秋季班：第4讲《最大公因数与最小公倍数》讲义

五年级秋季
基础
3
例7
小琦的新居还有一个正方形储物室专门用来摆放芭比娃娃．有一天，爸爸买回了一些 3dm 5dm 的地砖，地砖按照一个方向铺，刚好把这个储物室的地面铺满．请问正方形储物室的边长可能是多少分米？最小是多少分米？【解析】储物室的边长必须是 3dm 的倍数，也必须是 5dm 的倍数，所以必须是 3 5 的倍数，边长可能是：15dm 、 30dm 、 45dm …最小是15 分米．边长是 3 与 5 的公倍数，公倍数中最少的一个称为最小公倍数．
例8
（2011 年中大附中入学测试题）中大附中学生会的同学们到郊外野炊，生活部部长到老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领 55 个，老师又问“多少人吃饭？”他说： “一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗． ”请你算一算，有多少人吃饭？【解析】取1、2 、3 的最小公倍数 6 ，如果有 6 个人，那么他们一共需要饭碗 6 个、菜碗 3 个、汤碗 2 个，合计 6 3 2 11(个), 所以总人数为 55 11 6 30 （人）．
第 4 讲
第四讲
例1
最大公因数与最小公倍数
⑴写出 30 以内的所有质数：_________________________． ⑵写出所有比10 小与10 互质的数：__________________． 72 =_____________； 240 =_____________． ⑶分解质因数：【解析】 ⑴ 30 以内所有质数： 2 、 3 、 5 、 7 、11、13 、17 、19 、 23 、 29 ； ⑵比10 小与10 互质的数：1、 3 、 7 、 9 ； ⑶ 72 23 32 ， 240 23 3 5 ．

讲课最大公因数与最小公倍数课件

03
最大公因数与最小公倍数的关系
最大公因数与最小公倍数的定义
最大公因数
两个或多个整数共有的最大的正整数因子。
最小公倍数
两个或多个整数的最小的公倍数。
最大公因数与最小公倍数的关系
互为逆运算
最大公因数和最小公倍数是互为逆运算的关系，即两个数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积。
唯一性
练习题
题目1
求18和24的最大公因数。
题目2
求30和45的最小公倍数。
题目3
已知A=2×3×5， B=2×3×7，求A和B的最大公因数和最小公倍
数。
题目4
已知C=3×5×7， D=2×3×5，求C和D的最大公因数和最小公倍
数。
答案解析
题目1解析
最大公因数是两个或多个整数共有的最大的正整数因子。对于18和24，它们的最大公因数是6。
辗转相除法
用较大的数除以较小的数，再用除数除以得到的余数，如此反复，直到余数为0，此时除数即为最大公因数。
02
最小公倍数
最小公倍数的定义
最小公倍数
两个或多个整数的最小正整数倍数。
举例
对于整数2和3，它们的最小公倍数是6，因为6是2和3的最小正整数倍数。
最小公倍数的性质
互质关系
如果两个整数互质（最大公因数为1 ），则它们的最小公倍数等于它们的乘积。
最大公因数的性质
互质关系
如果两个数的最大公因数为1，则这两个数互质。
整除性质
如果两个数的最大公因数为G，那么存在整数a和b，使得G|a和G|b，即G能够整除a和b。
最大公因数的求法
质因数分解法
欧几里得算法

小学奥数五年级上第14讲《公因数与公倍数初步》教学课件

巩固提升
mathematics
作业5：将一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板，剪成面积相等的小正方形而无剩余，问至少可以剪出多少块小正方形? 答案：105块
下节课见！
心有花种，静候花开！
巩固提升
mathematics
作业3：计算： (1085，1178)，[1085，1178]；(3553，3910，1411) 答案：31，41230；17
巩固提升
mathematics
作业4：有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟既响铃又亮灯，问：下一次既响铃又亮灯是几点钟. 答案：下午3点
51÷17=3……0
17
0
(272，323)=17
例题讲解
例题1：用短除法计算：
mathematics
（1）(54，90)，[54，90]；（2）(45，75，90)
分析：熟练掌握短除法即可.
答案：（1）18，270；（2）15
例题讲解
mathematics
练习1：用短除法计算：（1）(36，48)，[36，48]；（2）(28，42，70) 答案：（1）12，144；（2）14
33 × 54 32 × 54 33 × 5 32 × 5
最小公倍数最大公因数
数学知识点
mathematics
知识精讲如果两个数都比较大，不容易看出来它们的质因数，那我们还有第三种方法：辗转相除法.
• Culture
272
323
323÷272=1……51
272
51
272÷51=5……17
17
51
极限挑战
mathematics
例题5：计算(1573，1547，1859) 分析：这些数看上去都不好分解质因数，那我们不妨利用辗转相除法来求最大公因数，

奥数最大公因数最小公倍数讲义及答案

奥数最⼤公因数最⼩公倍数讲义及答案数的整除（3）最⼤公因数、最⼩公倍数教室姓名学号【知识要点】1、⼏个数公有的因数，叫做这⼏个数的公因数；其中最⼤的⼀个叫做这⼏个数的最⼤公因数。

⾃然数a、b的最⼤公因数记作（a，b）。

2、⼏个数公有的倍数，叫做这⼏个数的公倍数；其中最⼩的⼀个叫做这⼏个数的最⼩公倍数。

⾃然数a、b的最⼩公倍数记作［a，b］。

3、两个⾃然数的最⼤公因数和最⼩公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b与b的最⼤公因数就等于a与b的最⼤公因数。

（3）a+b与b的最⼤公因数，等于a与b的最⼤公因数。

【典型例题】例1.甲数是24，甲、⼄两数的最⼩公倍数是168，最⼤公因数是4，求⼄数。

解：由性质（1）得到⼄数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘⽶，宽为42厘⽶的长⽅形铁⽪剪成边长是整厘⽶数，⾯积相等的正⽅形铁⽪，恰⽆剩余，问⾄少剪成多少块？解：把长⽅形铁⽪剪成边长是整厘⽶数，⾯积相等的正⽅形，则正⽅形的边长应是长⽅形的长和宽的公因数，⼜要求所剪正⽅形铁⽚块数最少，因此正⽅形边长是长⽅形长与宽的最⼤公因数。

（90，42）=6.⾄少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例 3.马鹏和李虎计算甲、⼄两个⾃然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的⼗位数字看错了，得乘积407，那么甲、⼄两数的乘积应是多少？解：473与407的最⼤公因数是11，⽽11是质数，所以⼄数是11，⼜473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲⼄两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有⼀种⾃然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种⾃然数中除1以外，最⼩数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最⼩是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最⼩公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最⼩数是：420+1=421。