工科数学分析18-2

类似的 : 如果S由 x x( y, z)给出, 则有
P( x, y, z)dydz P[x( y, z), y, z]dydz
S
D yz
如果S由 y y(z, x)给出, 则有
Q( x, y, z)dzdx Q[x, y(z, x), z]dzdx
S
Dzx
注意: 必须注意曲面所取的侧.
(P
S
cos r
Q
cos r
R)dxdy
不同坐标平面第二型曲面积分之间的换算关系
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
(P cos Q cos R cos )dS
S
cos cos
S
(
P
Q
cos
R
cos
)
cos
dS
cos cos
S
(
P
Q
cos
R
cos
)dydz
推论1：设 ：z f x, y , x, y D为光滑曲面，
v( x, y, z) (P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z))
S是流速场中的一有向曲面, P( x, y, z), Q( x, y, z),
R( x, y, z)在S上连续, 求单位时间内流经曲面S
的流量?
z
S
o
y
x
1. 分割
把曲面S分成n小块Si ,
Si z ni
Dyz
② ydzdx
1 : y z x2 , z 1;
2 : y z x2 , z 1;
ydzdx z x2dzdx z x2 dzdx
Dxz
Dxz
2
z x2 dzdx 2
1
dx
1
z x2 dz 4
1
1 x2
3
2 dx
Dxz
1
x2
3 1
2
③ x2 y2 dxdy x2 y2 dxdy
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
S
或 Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
S
S
若用 S表示曲面S的另一侧, 则
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
Pdydz Qdzdx Rdxdy.
S
3. 计算
定理1 设R是定义在正则曲面 S : z z( x, y), ( x, y) Dxy
：
Dxy
2
d
1 3d
0
0
2
x u,v
定理2 : r u,v y u,v ,u,v 为光滑曲面
z u, v
F P x, y, z ,Q x, y, z , R x, y, z 在上连续
R
x
,
y,
z
dxdy
R
x
u,
v
,
y
u,
v
,
z
u,
v
x, u,
y v
dudv，
5
例4 计算 x2dydz y2dzdx x 1 yzdxdy，
: z R2 x 12 y 12 ,上侧.
x 1 R cos cos
解： y z
1 R cos R sin
sin
,
,
0,
2
0,
2
D.
i
j
n = R sin cos R sin sin
P,Q, R在以及边界： 上连续.则
Pdydz
D
P
x,
y,
f
f x
dxdy
Qdzdx
D
Q
x,
y,
f
f y
dxdy
证明： Pdydz P x, y, zcosdS
设F x, y, z z f x, y
∴
切平面的法向量为
f x
,
f y
,
1
cos
f
x
,cos
1
f x
2
k R cos
R cos sin R cos cos 0
R2 cos2 cos , R2 cos2 sin , R2 sin cos
R2 sin cos 0 cos r （ 0 定理2的公式取负号）
x 2dydz
D
1
R
cos
cos
2
y,,z dd
R2
cos
cos
dS
yz x
yz x
cos dS
dxdy
x2 y2
x2 y2
两次使用第一型曲面和第二型曲面积分互换公式
y zdydz z xdzdx x ydxdy
解 : 此时 F ( x, y, z), n ( x , y , z ), 因此 aaa
A F ndS 1 ( x2 y2 z2 )dS
S
aS
a dS a(S) 4a3 .
S
例6 计算 y z dydz z x dzdx x y dxdy，
为锥面z x2 y2 , z h的外侧.
上的连续函数, 指定上侧为积分曲面S的侧, 则有
R( x, y, z)dxdy R[x, y, z( x, y)]dxdy,
S
Dxy
如取下侧, 则有
R( x, y, z)dxdy R[x, y, z( x, y)]dxdy.
S
Dxy
分析 :
n
S
R( x, y, z)dxdy
lim
||T || 0
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
S
S1
S2
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
Dxy
Dxy
2 xy 1 x2 y2dxdy
Dxy
2 r 2 sin cos 1 r 2rdrd 2 .
Dxy
15
例2
x2 y dydz ydzdx x2 y2 dxdy
i 1
P ( i
,i
,
i
)S i yz
lim
||T ||0
i 1
Q(i ,i
,
i
)Siz x
n
lim
||T ||0
i 1
R( i
,i
,
i
)Sixy
存在, 且与分割T 和 (i ,i , i ) (i 1,2,, n)
的取法无关, 则称此 极限为P,Q, R在曲面S所
指定的一侧上的第二型曲面积分. 记为
注意定理2正负号选区：法线的方向余弦与曲面的侧一致为正
例3 计算 x3dydz,
S
S为椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1的上半部并选取外侧.
解 : 把曲面表示成参数方程
x a sin cos , y bsin sin , z c cos
cos =
(0 ,0 2 )
2
1 ( x, y) = ba sin cos 且S取外侧,
i 1
R( i
,i
,
i
)(Sixy
)
n
lim
d 0
i 1
R( i
,i
,
z( i
,i
))(Sixy
)
? R[x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy
||
T
||
max{
1in
Si的直径}
0
d
max{
1 i n
S
i
xy
的直径}
0
R在S上连续, z在Dxy上连续,
故R( x, y, z( x, y))在Dxy上连续.
§18.2 第二型曲面积分
一、曲面的侧
1. 双侧曲面
曲面法向量的指向决定曲面的侧.
2. 单侧曲面 莫比乌斯带
二、第二型曲面积分的概念与计算
1. 流量问题
流向曲面一侧的流量
(1)
流速场为常向量
v
,有向平面区域
A,
求单位时间流过 A的v流 体的流量.
A n
v cos A v nA.
(2) 流速场
(P
cos
Q
R
cos
) cos dS
S
(
P
cos cos
Q
R
cos cos
)dxdz
不同坐标平面第二型曲面积分之间的换算关系
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
(P cos Q cos R cos )dS
S
来自百度文库
cos cos
(P
S
cos r
Q
cos r
R)cos dS
cos cos
的一侧作分割T , 把S分成n个小曲面S1, S2 ,, Sn ,
分割T的细度 ||T
||
max{
1in
S
i的直径},
Siyz ,
Sizx ,
Sixy 分别表示Si在三个坐标面上的投影区域
的面积, 它们的符号由Si的方向来确定,
任取 (i ,i , i ) Si , 若极限
n
n
lim
||T ||0
cos
zy
,
1
z
2 x
z
2 y
cos 1 .
1
z
2 x
z
2 y
注意符号变化的规律！
R( x, y, z)dxdy R[x, y, z( x, y)]dxdy
S
D
R( x, y, z)cosdS R[x, y, z( x, y)]dxdy
S
D
所以 R( x, y, z)dxdy R( x, y, z)cosdS
R(i ,i , i )Sixy
3.取极限 || T || 0 得到流量的精确值.
Siyz Si cosi Sizx Si cos i Sixy Si cos i
Si的指定侧在坐标面yz上 投影区域的面积的近似值; zx
xy
2. 定义
设P,Q, R为定义在双侧曲面 S上的函数, 在S指定
f y
2
1
1
f x
2
f y
2
Pdydz P cosdS
P
f x
cos
dS
P
f x
dxdy
D
P
x,
y,
f
x,
y
f x
dxdy.
使用第一型曲面和第二型曲面积分互换公式
例5 计算A xdydz ydzdx zdxdy, 其中 S是
S
中心在原点,半径为a的球面, 正向为外法线方向.
2. 求和 通过 S 流向指定侧的流量
n vi ni Si i 1 n [P(i ,i , i ) cosi Q(i ,i , i ) cos i i 1
R(i ,i , i ) cos i ]Si
n
[P(i ,i , i )Siyz Q(i ,i , i )Sixz i 1
vi
(i ,i , i )
Si 表示Si的面积,
S
•
任取 (i ,i , i ) Si ,
o
y
则 该点的流速
x
vi
(P(i ,i , i
), Q(i ,i , i ),
R(i ,i , i
)),
单位法向量
ni
(cosi ,cos i ,cos i ),
通过 Si 流向指定侧的流量 vi niSi .
例 1 计算 xyzdxdy
z
S
其中 S 是球面 x2 y2 z2 1 在 x 0, y 0的部分,取外侧.
S1
y
解 把S分成S1和S2两部分
x S2
S1 : z1 1 x2 y2 , S2 : z2 1 x2 y2 , 它们在xy平面上的投影区域都是 单位圆在第一 象限的部分.
2 d
0
2 0
R4
sin2
cos
2
cos
1 2
R
cos
sin
2
d
0
x2dydz y2dzdx x 1 yzdxdy 8 R3.
3
三、两类曲面积分之间的联系
设曲面S由 z z( x, y), ( x, y) D给出,
其单位法向量的方向余弦为 :
cos
zx
,
1
z
2 x
z
2 y
: z x2 y2 , z 1 外侧
，
解：① x2 y dydz
：
，
1, x z y2 , z 1;
2 , x z ， y2 , z 1
yz 1, 2 在
平面投影为 D yz
x2 y dydz z y2 y dydz z y2 y dydz 0
Dyz
Q
x
,
y
,
z
dzdx
Q
x
u,
v
,
y
u,
v
,
z
u,
v
z, u,
x v
dudv，
P
x
,
y,
z
dydz
P
x
u,
v
,
y
u,
v
,
z
u,
v
y, u,
z v
dudv
.
cos ,cos ,cos
1 y, z z, x x, y EG F 2 u, v , u,v , u,v
EG F 2 ( , )
EG F 2
因此定理2公式取正号，( y, z) bc sin2 cos , ( , )
x3dydz a3 sin3 cos3 bc sin2 cosdd
S
a3bc sin5 cos4 dd
a3bc
2 sin5 d
2 cos4 d
0
0
2a3bc.
2 d
2 1 R cos cos 2 cos2 cos d
0
0
2R3
2
cos3
d
4R3
.
0
3
x2dydz 4R3 .
3
x 1 yzdxdy
R2
cos
cos
1
R
cos
sin
sin
x, ,
y
dxdy
R4 sin2 cos2 cos R cos sin cos D
S
S
对曲面的两侧均成立.
两类曲面积分之间的联系
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
(P cos Q cos Rcos )dS
S
不同坐标平面第二型曲面积分之间的换算关系
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
(P cos Q cos R cos )dS
S
cos
cos
S
解： 外侧的法线方向为
zx , zy , 1
x ,
x2 y2
y
, 1
x2 y2
y
z
dydz
y
z
cos
dS
y
z
cos
cos
cos
dS
x y z
x y z
cos dS
dxdy.
x2 y2
x2 y2
z
x
dzdx
z
x
cos dS
z
x
cos