高二数学选修2-2第一章 导数及其应用测试题及答案

（数学选修2-2） 第一章 导数及其应用
一、选择题
1．若()sin cos f x x α=-,则'
()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+
D ．2sin α
2．若函数2
()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'
()f x 的图象是（ ）
3．已知函数1)(2
3--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的
取值范围是（ ）
A ．),3[]3,(
+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(-
4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'
(1)()0x f x -≥，则必有（ ）
A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.
(0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>
5．若曲线4
y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数
)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）
a
b
x
y
)
(x f y ?=O
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
1．若函数2
f x
x x c 在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；
2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。

3．设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则ϕ=__________ 4．设3
2
1()252
f x x x x =-
-+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。

5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和的公式是 三、解答题
1．求函数3
(1cos 2)y x =+的导数。

2．求函数y =
3．已知函数3
2
()f x x ax bx c =+++在2
3
x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间
(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2
()f x c <恒成立，求c 的取值范围。

4．已知23()log x ax b
f x x
++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列
两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由.
（数学选修2-2）第一章 导数及其应用
参考答案
一、选择题
1．A '
'
()sin ,()sin f x x f αα== 2．A 对称轴'0,0,()22
b
b f x x b -
><=+，直线过第一、三、四象限 3．B '2
()3210f x x ax =-+-≤在),(+∞-∞
恒成立，2
4120a a ∆=-≤⇒≤4．C 当1x ≥时，'()0f x ≥，函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；当1x <时，'
()0f x ≤，
()f x 在(,1)-∞上是减函数，故()f x 当1x =时取得最小值，即有 (0)(1),(2)(1),f f f f ≥≥得(0)(2)2(1)f f f +≥
5．A 与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4
y x =在某一点的导数为
4，而34y x '=，所以4y x =在(1,1)处导数为4，此点的切线为430x y --=
6．A 极小值点应有先减后增的特点，即'
'
'
()0()0()0f x f x f x <→=→> 二、填空题
1．6 '
2
2
'
2
()34,(2)8120,2,6f x x cx c f c c c =-+=-+==或，2c =时取极小值 2．(,)-∞+∞ '
2cos 0y x =+>对于任何实数都成立
3．
6
π
''
()))f x ϕϕϕ=-++=+
()())3f x f x π
ϕ'+=++
要使()()f x f x '+为奇函数，需且仅需,32
k k Z ππ
ϕπ+=+∈，
即：,6k k Z πϕπ=+∈。

又0ϕπ<<，所以k 只能取0，从而6
π
ϕ=。

4．(7,)+∞ ]2,1[-∈x 时，max ()7f x = 5．1
2
2n +- ()()/
112
22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，
令0x =，求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012n
y n =+，所以
21
n n
a n =+，则数列1n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和()
12122212n
n n S +-==--
三、解答题
1．解：3
2
3
6
(1cos 2)(2cos )8cos y x x x =+==
'5'548cos (cos )48cos (sin )y x x x x =⋅=⋅-
548sin cos x x =-。

2．解：函数的定义域为[2,)-+∞，'
y =
=当2x ≥-时，'
0y >，即[2,)-+∞是函数的递增区间，当2x =-时，min 1y =- 所以值域为[1,)-+∞。

3．解：（1）3
2
'
2
(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++
由'
2124()0393f a b -=
-+=，'(1)320f a b =++=得1
,22
a b =-=-
'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，函数的单调区间如下表：
所以函数()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是2
(,1)3
-；
（2）3
21()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222()327
f c -=+
为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2
(),[1,2]f x c x <∈- 恒成立，则只需要2
(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或。

4．解：设2()x ax b
g x x
++=
∵()f x 在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函数 ∴()g x 在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函数.
∴⎩⎨⎧==3)1(0)1('g g ∴⎩⎨⎧=++=-3101b a b 解得⎩
⎨⎧==11
b a
经检验，1,1a b ==时，()f x 满足题设的两个条件.。