直线与圆的最值问题讲课稿

直线与圆的最值问题

题型一：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．

例1：.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为

m ，最小弦长为n ，则m －n 等

于

解析圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 所以圆心为(2，－3)，半径长为 5.

因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，

所以点(－1,0)在已知圆的内部，

则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10.

当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小

. 弦心距d ＝2＋12＋－3－02＝32，

所以最小弦长为

2r 2－d 2＝225－18＝27，所以m －n ＝10－27.

变式训练

1：1y kx 与圆C 2214x y 相交于,A B 两点，则AB 的最小值是多

少？解：直线1y kx 过定点1,0M ，当MC AB 时，AB 取最小值，由

2222l

d r ，可知，222d R l ，2MC d ，故2

2222d R l 变式训练

2：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝

0(m ∈R). (1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；

(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的

l 的方程. (1)证明因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m(2x ＋y －7)＝0(m ∈R)，

所以2x ＋y －7＝0，

x ＋y －4＝0，解得x ＝3，y ＝1，

即l 恒过定点A(3,1).

因为圆心为C(1,2)，|AC|＝5<5(半径)，

所以点A 在圆C 内，

从而直线l 与圆C 恒交于两点.

(2)解由题意可知弦长最小时，l ⊥AC.

因为k AC ＝－12

，所以l 的斜率为 2. 又l 过点A(3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0.

方法总结：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最大值为圆的直径，最小值为垂直于直

径的弦.

题型二：圆外一点与圆上任一点间距离的最值

直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值

．例2：求点

A ）（0,2到圆C 122y x 的距离的最大值和最小值？解：AC d 2，故距离的最大值为

3r d ，最小值为1r d 变式训练1：圆122y x 上的点到直线2x

y 的距离的最大值？解:圆心到直线的距离为222

d ，

则圆上的点到直线2x

y 的最大值为12r d 则圆上的点到直线2x y 的最小值为1-2-r

d 方法总结：圆外一点与圆上任一点间距离的最大值为r

d ，最小值为r d 直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最大值为r d ，最小值为r d

题型三：切线问题

例3由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT(T 为切点)，当PT 最小的时候P 的坐标？

解析根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知PT ＝PC 2－1，故PT 最小时，即PC

最小，此时

PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程

y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．

变式训练1：点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，PA ，PB 与圆x 2＋y 2＝4分别相切于A ，B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为________．

解析：如图所示，因为S 四边形PAOB ＝2S △POA .又OA ⊥AP ，

所以S 四边形PAOB ＝2×1

2|OA|·|PA|

＝2|OP|2－|OA|2＝2|OP|2－4.

为使四边形PAOB 面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O 到直线2x ＋y ＋10＝0的距离：

|OP|min ＝10

22＋12＝2 5.故所求最小值为2252－4＝8.

题型五：两圆相离，两圆上点的距离的最值