直线与圆的最值问题讲课稿
新高考数学人教版必修2课件第2章 习题课 与圆有关的最值问题
内容索引
一、与距离有关的最值问题 二、与面积相关的最值问题 三、利用数学式的几何意义解圆的最值问题
随堂演练
课时对点练
一、与距离有关的最值问题
1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝ d－r ，最大 值＝ d＋r .
2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝ d-r ，最大值＝ d＋r .
解析 圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1， 由圆的性质可知，四边形的面积S＝2S△PBC， 又四边形PACB的最小面积是2， 则 S△PBC 的最小值为 S＝1＝12r|PB|min＝12|PB|min， 则|PB|min＝2，因为|PB|＝ |PC|2－r2＝ |PC|2－1，
解析 设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2. 当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦， |CA|＝ 2－32＋2－12＝ 2. ∴半弦长＝ r2－|CA|2＝ 4－2＝ 2. ∴最短弦长为 2 2.
二、与面积相关的最值问题
例2 已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则
√C. (－∞，－ 3]∪[ 3，＋∞) D. [－ 3， 3]
解析 将yx看作圆上动点(x，y)与原点 O(0,0)连线的斜率， 如图，可得 k≥ 3或 k≤－ 3.
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4.已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上， 则△PC1C2面积的最大值为_4___5_. 解析 因为C1(－2,2)，r1＝2，C2(2,0)，r2＝4， 所以|C1C2|＝ －2－22＋22＝2 5， 当 PC2⊥C1C2 时，△PC1C2 的面积最大，其最大值为12×2 5×4＝4 5.
《直线与圆的位置关系》说课稿(附教学设计)
《直线与圆的位置关系》说课稿一、教材的理解与处理本节课的内容是平面解析几何的基础知识，是对前面所学直线与圆的方程的进一步应用。
而解决问题的主要方法是解析法。
解析法不仅是定量判断直线与圆的位置关系的方法，更为后续研究直线与圆锥曲线的位置关系奠定思想基础，具有承上启下的作用。
本节课的教学目的是使学生掌握直线与圆的位置关系的判定方法，教材处理问题的方法主要是：用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d后与圆的半径r比较作出判断；类比利用直线方法求两条直线交点的方法，联立直线与圆的方程，通过解方程组，根据方程组解的个数判断直线与圆的位置关系。
考虑到圆的性质的特殊性，以及渗透给学生解决问题尽力选择简捷途径，以及学生的认知结构特征，课堂上师生着力用第一种方法来解决直线与圆的位置关系，对于第二种方法主要留给学生自主探究，教师做适当的点拨总结。
二、教学目标确定说明学生在初中已经学习了直线与圆的位置关系，也知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的大小比较两种方法判断直线与圆的位置关系，但是，在初中学习时，这两种方法都是以结论性的形式呈现，在高一学习了解析几何以后要求学生掌握用直线和圆的方程来判断直线与圆的位置关系，解决问题的主要方是解析法。
高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。
根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：（1）知识与技能目标：①理解直线与圆三种位置关系。
②掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法。
（2）能力目标：①通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考，自主探究，动手实践，合作交流的学习方式。
【公开课课件】圆中线段长的最值问题
C
6.已知E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，
满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交
AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长
度的最小值是
．
数学模型三：
一个点到圆上的各点中最小距离为3cm， 最大距离为8cm，则该圆的半径是（ ）.
7.点P在⊙O外，Q是⊙O上的动点，M是PQ 的中点，连接OP、OM．若⊙O的半径为2， OP=4，则OM长的最小值是（ ）．
12.已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2， D为AB的中点，将△CAD绕点C按逆时针方向 旋转角n得到△CEF，AE与DF相交于点M，当n 从90°变化到180°时，求点M运动的路径长。
13.在平面直角坐标系 O 中，矩形AOBD的顶点A为
（0，6 3），顶点B为（6，0），取OB、BD边上
N
8.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动
（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，
过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM
的最大值是
．
数学模型四： 直径是最长的弦
9.半径为2.5的⊙O中，直径AB的异侧有定点C和 动点P，BC=4，CA=3，点P在⊙O 上运动，过点 C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．求CQ 的最大值．
△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN， 连接A′C，求A′C长度的最小值．
15.已知A(-1，0),B(1，0),点P是以点C（1,4） 为圆心，1为半径的圆上一动点，求 PA2 PB2 的最大值
这节课解决问题的“工具” 是什么？
10.△ABC中，∠ABC=45°，BC=
，且BC>AC，
高考数学专题讲座 第11讲 直线与圆
高考数学专题讲座 第11讲 直线与圆考纲要求：(1)理解直线斜率的概念,掌握两点的直线的斜率,掌握直线方程的点斜式\两点式\一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程.(2)掌握两条直线平行于垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.(3)了解二元一次不等式表示平面区域. (4)了解线性规划的意义,并会简单应用. (5)了解解析几何的基本思想,了解坐标法.(6)掌握圆的标准方程和一般方程.理解圆的参数方程. 基础达标1．若直线l 的倾斜角为π＋arctan(－12)，且过点(1，0)，则直线l 的方程为________________．x ＋2y －1=02．已知定点A （0，1），点B 在直线x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________________． （－12，12）3．已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数．当这两条直线的夹角在(0，π12)内变动时，a 的取值X 围是 ( C ) A ．(0，1)B ．(33，3)C ．(33，1)∪(1，3) D ．(1，3) 4．过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是 ( C )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝45．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0(θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z )的位置关系是 ( C )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定6．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4（a ＞0）及直线l ：x －y ＋3＝0．当直线l 被C 截得的弦长为23时，则a ＝ （ C ） A ． 2 B ．2－2C ．2－1 D ．2＋1 例题选讲例1．（1）过点M (2,1)作直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点．① 若△AOB 的面积取得最小值,求直线l 的方程，并求出面积的最小值；② 直线l 在两条坐标轴上截距之和的最小值；③若|MA |·|MB |为最小，求直线l 的方程．解：(1)①由于已知直线l 在坐标轴上的截距,故选用直线的截距方程:1=+bya x （i ） 由已知a ＞0,b ＞0.故S △AOB ＝21ab （ii ） 由已知,直线(i)经过点(2,1).故112=+b a ,就是a ＋2b ＝ab ,a ＝12-b b (∵b ≠1) (iii) ∵a ＞0, b ＞0, ∴a ＞1. 将(iii)代入(ii),得S ＝12-b b ＝1112-+-b b ＝b ＋1＋11-b ＝(b －1)＋11-b ＋2.当b ＞1时 S ≥211)1(-⋅-b b ＋2＝4. 等号当且仅当 b －1＝11-b 即b ＝2时成立.代入(iii)得a ＝4. ∴所求的直线方程为24yx +＝1,即x②解一：a ＋b ＝2b b －1＋b ＝2(b －1)＋2b －1＋b ＝ ＝ 2b －1＋b －1＋当b ＞1时 , a ＋b ≥2(2b －1)(b －1)等号当且仅当 b －1＝2b －1， 即解二：a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )(2a ＋1b )＝3等号当且仅当2b a ＝a b ，即a 2＝2b 2③由于直线l 绕点M 运动,故可选∠OAB 2θsin M y ＝1sin θ, |MB |＝θcos M x ＝2cos θ,|MA |·|MB |＝1sin θ×2cos θ＝4s in2θ，∴当sin2θ＝1时，|MA |·|MB |有最小值4， 此时tan θ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －3＝0.（2）已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P （x ，y ）为圆上任意一点．①求y －22x －2的最大值、最小值；②求x －2y的最大值、最小值．解：（1）令k ＝y －2x －1，则k 表示经过P 点和A （1，2）两点的直线的斜率，故当k 取最大值或最小值时，直线P A ：kx －y ＋2－k ＝0和圆相切，此时d ＝|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1，解得k ＝3±34，所以y －22x －2的最大值为3＋38，最小值为3－38；（2）方法一：令x －2y ＝t ，可视为一组平行线系，由题意，直线应与圆C 有公共点，且当t 取最大值或最小值时，直线x －2y －t ＝0和圆相切，则d ＝|－2－t |5＝1，解得t ＝－2±5，所以x －2y 的最大值为－2＋5，最小值为－2－5；方法二：因为P （x ，y ）为圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1上的点，令x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ，θ∈[0，2π)，所以x －2y ＝－2＋cos θ－2 sin θ＝－2＋5cos(θ＋φ)( φ＝arctan2)，当θ＋φ＝2π，即θ＝2π－arctan2时，cos(θ＋φ)＝1，x －2y 取到最大值为－2＋5，当θ＋φ＝π，即θ＝π－arctan2时，cos(θ＋φ)＝－1，x －2y 取到最大值为－2＋5；例2．已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55．求该圆的方程． 解：设圆P 的圆心为P (a ，b )，半径为γ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90º，知圆P 截x 轴所得的弦长为r 2．故r 2=2b 2又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，所以有 r 2＝a 2+1．从而得2b 2－a 2＝1．又因为P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为55，所以5552b a d -=， 即有 a －2b ＝±1， 由此有⎩⎨⎧=-=-121222b a a b ⎩⎨⎧-=-=-121222b a a b 解方程组得⎩⎨⎧-=-=11b a ⎩⎨⎧==11b a 于是r 2=2b 2=2，所求圆的方程是(x +1)2+(y +1)2=2，或(x －1)2+(y －1)2=2．思考：求在满足条件①、②的所有圆中，圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离最小的圆的方程．解法一:设圆的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为│b │， │a │． 由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截X 轴所得的弦长为r 2，故r 2=2b 2， 又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有 r 2=a 2+1．从而得2b 2－a 2=1．又点P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为52b a d -=，所以5d 2=│a －2b │2 =a 2+4b 2－4ab≥a 2+4b 2－2(a 2+b 2)=2b 2－a 2=1，当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2=1，从而d 取得最小值． 由此有⎩⎨⎧=-=12,22a b b a 解此方程组得⎩⎨⎧==;1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 由于r 2=2b 2知2=r ．于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2． 解法二:同解法一，得52b a d -=∴d b a 52±=-得2225544d bd b a +±= ①将a 2=2b 2－1代入①式，整理得01554222=++±d db b②把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d 2－1)≥0，得 5d 2≥1．∴5d 2有最小值1，从而d 有最小值55． 将其代入②式得2b 2±4b +2=0．解得b =±1．将b =±1代入r 2=2b 2，得r 2=2．由r 2=a 2+1得a =±1． 综上a =±1，b =±1，r 2=2． 由b a 2-=1知a ，b 同号． 于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2．例3．在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于零．（1）求向量AB →的坐标；（2）求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线y ＝ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值X 围．[解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u OA AB OA AB v u AB 即则由得 },3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u AB OA OB v u v u 因为或 所以v －3>0,得v =8,故AB ={6，8}.（2）由OB ={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.21x y =由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10. 设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x,y ）则,31,231021223⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10. （3）设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则.23,022544,02252,,2252,202222222212212121212121>>-⋅-=∆=-++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+a aa a a ax a x x x a a x x ax x x x yy y y x x 得于是由的两个相异实根为方程即得 故当23>a 时，抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点.4．已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，（1）如果|AB |＝423，求直线MQ 的方程；（2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程． 解:（1）由324||=AB ，可得,31)322(1)2||(||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得 ,3|||,|||||2=⋅=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，故55-==a a 或， 所以直线AB 方程是;0525205252=+-=-+y x y x 或 （2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由点M ，P ，Q 在一直线上，得(*),22xy a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ⋅= 即(**),14)2(222=+⋅-+a y x 把（*）及（**）消去a ，并注意到2<y ，可得).2(161)47(22≠=-+y y x说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。
《直线和圆的方程》专题讲座
《直线和圆的方程》专题讲座一、 求最值问题若a i ＞0（i=1，2，…，n ），则有na a a n +++...21≥nn a a a ⋯⋯⋅21（1）当a 1+a 2+…+a n =s （常数）时，积a 1·a 2……a n 有最大值为(ns )n，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时取得.（2）当a 1·a 2……a n =p （常数）时，和a 1+a 2+…+a n 有最小值有n n p ，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时取得.利用此公式求最值，按大纲要求只需掌握n=2时的情形.同时在应用时需注意以下三点：（1）作和或作积的数必须都为正；（2）若求和的最小值，则它们的积必须是一个常数，而若求积的最大值，则它们的和必须是一个常数；（3）在允许范围内这几个数能达到相等。
【例1】求下列函数的最值. （1）y=432+x x； （2）y=434322+++-x x x x .分析 此类题一般用判别式求最值，其实，应用二元均值不等式也能予以解答。
解（1）当x=0时，y=0 ， 当x ≠0时，y =xx 43+=xx 43+≤43 ∴－43≤y ≤43 当且仅当x =x4( )，即x=±2时，等号成立. ∴y min =－43，y min =43 （2）易知函数的定义域是R.y=434322+++-x x x x =1－4362++x x .①当x ＞0时，1＞y=1－346++xx ≥1－3426+=71 即当x=2时，y=71； ②当x=0时，y=1； ③当x ＜0时，1＜y=1+3)(4)(6--+-x x≤3426+即当x=－2时，y=7. 综合以上知，y min =7，y min =71 说明 将函数解析式变形以出现“x+xa”是活用平均值不等式求最值的前提. 事实上，对于（2），若令x=2tan θ ，则有y=43143122+++-x x x x=θθ2sin 342sin 34+-. 由此确定这个三角函数的最值也很容易. 【例2】已知x ，y ∈R +，且2x+y=1，求证：x 1+y1的最小值为3+22. 分析 注意到条件中给出1+2x+y ，而所要求证的不等式左边x 1+y1中的也含有1，故可将已知条件作逆向代换，即把1换成2x+y ，可使问题得到巧妙的解决. 解∴x 1+y 1=x y x +2+ yy x +2 =2+x y +y x2+1 =2+x y +yx 2∵y ∈R + ∴x y +y x 2≥2yx x y 2⋅=22 ∴x 1+y 1≥3+22当且仅当x y =y x 2，即x=222-，y=2－1时取“=”.二、 判别式法的应用【例1】已知a ，b ，c ∈R ，a+b+c=0，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于23. 证明：∵abc=1＞0∴a ，b ，c 要么同正，要么有两个数为负，另一个数为正。
3直线和圆中的最值问题
3直线和圆中的最值问题3直线和圆中的最值问题直线和圆中的最值问题1、直线与原的焦点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径间的比较，或者利用方程有解的问题；2、圆上一点到直线距离的最值问题总是转化成求圆心到定直线的距离；3、有些最值问题要注意向函数问题转化；4、抓住式子的几何意义。
一、到圆心距离的最值问题例1：已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA , PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线, A , B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值。
二、到圆上一点距离的最值问题例2：已知P 是圆x 2+y 2=1上一点，Q 是直线l :x +2y -5=0上一点，求PQ 的最小值。
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题例3：已知定点A (-1,0), B (1,0)和圆(x -3)+(y -4)=4上的动点P ，求使PA +PB 最值时点P 的坐标。
P , ⎪时, x 2+y 2最大为100 ⎪55⎪练习1：求实数x , y 满足x 2+(y -1) 2=1, 求下列各式的最值：（）13x +4y （2）x +y （3x +1(1)最大值为9，最小值为-1,(2)最大值为4，最小值为0,(3)小值为，无最大值四、与圆半径有关的最值问题例4：设x ，y 满足⎪y ≥x 求(x -1)+(y -3)25⎪4x +3y ≤12练习2：已知圆C ：x 2+y 2+2x -4y +3=0(1). 若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距相等，求切线的方程；(2). 从圆C 外一点P (x , y )向圆引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，且PM求使PM 最小的点P 的坐标。
y =2±x , x +y +1=0或x +y -3=0，P -, ⎪(练习3：已知∆ABC 三个顶点坐标A (0,0), B (4,0), C (0,3)，点P 是它的内切圆上一点，求以PA , PB , PC 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。
直线与圆的位置关系说课稿
直线与圆的位置的关系尊敬的各位老师，大家上午/下午好,我是高中数学组XX号考生我抽到的说课题目是《直线与圆的位置关系》，接下来开始我的说课对于本节课我以教什么、怎样教、为什么这样教为思路从教材分析、学情分析、教学目标、教学过程等几个方面来加以说明。
(一）说教材首先教材分析是上好一堂课的重要前提，接下来谈一谈我对教材的理解，《直线与圆的位置关系》选自人教 A 版高中数学必修二。
本节课的主要内容是利用两种方法判断直线与圆的位置关系。
它是在学生已经学习了直线与圆的位置关系的基础上展开教学的，本节课的学习也为后面学习平面解析几何打下了坚实的基础，起到了承上启下的作用。
(二）说学情除了教材分析，合理地把控学情也是上好一节课的重要前提，接下来我来谈一谈学生的实际情况。
本阶段的学生已经具备了一定的知识基础，但是对于独立分析问题、解决问题的能力还是有所欠缺。
所以在教学过程中要注意深入浅出，适时引导。
(三)说教学目标基于以上对教材和学情的分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征以及高中核心素养的要求，我制定了如下教学目标:1.熟练运用直线与圆的方程去判断两者之间的位置关系2.培养探究能力以及分析问题、解决问题的能力。
3.激发好奇心和求知欲，培养学习数学的兴趣，感受学习数学的乐趣。
(四)教学难点基于以上对教材和学情的分析以及教学目标的制定，我确定本节课的教学重难点为:教学重点:掌握两种用直线与圆的方程去判断两者位置关系的方法。
教学难点:利用这两种方法去解决数学中的实际问题。
（五）教学方法为了更好地完成教学目标，突出重点，突破难点，本节课我将采用以讲授法、自主探究法、小组讨论法为主的教学方法。
(六）教学过程接下来我来重点说一下我的教学过程，为了更好地贯彻新课程标准以学生为主的教学理念，本节课我将从导入新课、新课讲授、巩固提高和小结作业这四个环节来展开我的教学。
[导入新课]首先是导入环节，我将采用温故导入的方式引出本节课的课题，上课之初我会带领学生回忆前面学习过的两种用直线和圆的方程判断两者位置关系的方法。
直线与圆的最值问题-讲义
直线与圆的最值问题1 最值模型(1)三点共线模型(三角形三边的关系)(i)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则(AP+BP)min=AB′(当点A、P、B′共线时取到)，点B′是点B关于直线l的对称点.(ii)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max=AB(当点A、P、B共线时取到).(iii)点A、B在直线l异侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max=AB′(当点A、P、B共线时取到)，点B′是点B关于直线l的对称点.(2)某点M到圆⊙O上点N的距离(i)若点M在圆内，则MN min=MN1=r−OM，MN max=MN2=r+OM；(ii)若点M在圆外，则MN min=MN1=OM−r，MN max=MN2=r+OM；(3)圆上一点到圆外一定直线的距离最值若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PE min=P1F=d−r，PE max=P2F=d+r.2 圆的参数方程圆的标准方程(x −a )2+(y −b )2=r 2，圆心为(a ,b)，半径为r ，它对应的圆的参数方程：{x =rcosθ+a y =rsinθ+b(θ是参数). 理解：如图，易得rcosθ=有向线段HM =x −a ⇒x =rcosθ+a ，rsinθ=有向线段HP =y −b ⇒y =rsinθ+b .Eg 圆(x +1)2+(y −2)2=9的参数方程为{x =3cosθ−1y =3sinθ+2.【题型一】几何法处理最值问题情况1 三点共线模型【例题1】P 是直线L ：3x −y −1=0上一点，求(1)P 到A(4 ,1)和B(0 ,4)的距离之差的最大值；(2)P 到A(4 ,1)和C(3 ,5)的距离之和的最小值．情况2 斜率型最值【例题1】如果实数x ,y 满足条件：(x −2)2+y 2=3，那么y x 的最大值是 .情况3 两点距离型最值【例题1】已知点M(a ,b)在直线l ：3x +4y =25上，则a 2+b 2的最小值为 ．【例题2】已知点P， Q分别在直线l1：x+y+2=0与直线l2：x+y−1=0上，且PQ⊥l1，点A(−3 ,−3)，B(32 ,12)，则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为.情况4 圆外一定点到圆上点距离最值【例题1】已知x、y满足(x−1)2+y2=1，则S=x2+y2+2x−2y+2的最小值是.【例题2】已知点P(7 ,3)，圆M：x2+y2−2x−10y+25=0，点Q为在圆M上一点，点S 在x轴上，则|SP|+|SQ|的最小值为.情况5 圆上一点到圆外一定直线的距离最值【例题1】已知两点A(−1,0)、B(0,2)，若点P是圆(x−1)2+y2=1上的动点，则△ABP面积的最大值和最小值之和为．课堂练习1 已知x2+y2=1，则y−1的取值范围是．x+22 已知点P(x ,y)在圆x2+y2=1上，则√(x−1)2+(y−1)2的最大值为．3 已知圆x2+(y−2)2=1上一动点A，定点B(6 ,1)；x轴上一点W，则|AW|+|BW|的最小值等于．4 已知两个同心圆的半径分别为3和4，圆心为O．点P、Q分别是大圆、小圆上的任意一点，线段PQ的中垂线为l．若光线从点O射出，经直线l(入射光线与直线l的公共点为A)反射后经过点Q，则|OA|−|AQ|的取值范围是．5 已知点A(−2 ,0) ,B(0 ,2)，若点P在圆(x−3)2+(y+1)2=2上运动，则△ABP面积的最小值为．6 过动点P作圆：(x−3)2+(y−4)2=1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=|PO|(O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是．7 已知直线l：x−y+4=0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|的最小值为．8 已知圆(x−a)2+(y−b)2=1经过原点，则圆上的点到直线y=x+2距离的最大值为．9如图，设圆C1：(x−5)2+(y+2)2=4，圆C2：(x−7)2+(y+1)2=25，点A、B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线y=x上的动点，则|PA|+|PB|的最小值为．【题型二】代数法处理最值问题【例题1】 已知圆C 的圆心在直线x −2y =0上，且经过点M(0 ,−1)，N(1 ,6)．(1)求圆C 的方程；(2)已知点A(1 ,1)，B(7 ,4)，若P 为圆C 上的一动点，求|PA |2+|PB |2的取值范围．【例题2】 已知直线l ：y =x ，圆C ：x 2+y 2−4x +3=0，在l 上任意取一点A ，向圆C 作切线，切点分别为M ,N ，则原点O 到直线MN 的距离d 的最大值为 ．【例题3】 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2−4x +1=0．(1)求y −x 的最大值和最小值；(2)求x 2+y 2的最大值和最小值；(3)求y x+1的取值范围．【例题4】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为4，E(0 ,1)，点F 是正方形边OC 上的一个动点，点O 关于直线EF 的对称点为G 点，当|GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时，直线GF 的方程为 .课堂练习1 若实数x ,y 满足x 2+y 2+4x －2y －4=0，则√x 2+y 2的最大值是( )A ．√5+3B ．6√5+14C ．−√5+3D ．－6√5+14 2 [多选题]若实数x ,y 满足条件x 2+y 2=1，则下列判断正确的是( )A ．x +y 的范围是[0 ,√2]B ．x 2－4x +y 2的范围是[－3 ,5]C ．xy 的最大值为1D ．y−2x+1的范围是(−∞ ,−34] 3 [多选题]已知点P(2 ,4)，若过点Q(4 ,0)的直线l 交圆C ：(x −6)2+y 2=9于A ,B 两点，R 是圆C 上动点，则( )A ．|AB|的最小值为2√5B ．P 到l 的距离的最大值为2√5C ．PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PR⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为12－2√5 D ．|PR|的最大值为4√2+3 4 已知点A(1 ,1) ,B(2 ,2)，点P 在直线y =12x 上，求|PA |2+|PB |2取得最小值时P 点的坐标．5 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x −2)2+y 2=1，M 为圆C 的圆心，过原点O 的直线l 与圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 两点均不在x 轴上)．求△ABM 面积的最大值．6 已知直线l 过定点P(−2 ,1)，且交x 轴负半轴于点A 、交y 轴正半轴于点B ，点O 为坐标原点．(1)若△AOB 的面积为4，求直线l 的方程；(2)求|OA|+|OB|的最小值，并求此时直线l 的方程；(3)求|PA|⋅|PB|的最小值，并求此时直线l的方程．7 在平面直角坐标系xOy中．已知圆C经过A(0 ,2)， O(0 ,0) ， D(t ,0)(t>0)三点，M是线段AD上的动点，l1 ,l2是过点B(1 ,0)且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P ,Q两点．(1)若t=PQ=6，求直线l2的方程；(2)若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ的面积的最小值．。
“与圆有关的最值问题”教案(最新)
“与圆有关的最值问题”教学案例余浩平 教学背景：由于在初中学习中接触过圆的一些基本知识，因而课前安排了两道有关圆的最值问题让学生练，为后面的教学奠定了基础。
在随后的教学中，采取变式教学、一题多解、自主探索的教学方式，培养学生研究性学习。
教学目标：依据数学思维规律，提出恰当的富于启发性的问题，去启迪和引导学生积极思维，同时采用多种方法，引导学生通过观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法，主动地发现问题和提出问题。
重点与难点：教学过程：一、 引入新课练习：已知圆0122822=+--+y x y x 内一点)0,3(A ，求经过点A 的最长弦和最短弦所在的直线方程。
二、 新课例: 已知圆的方程222=+y x 及一点P(2,4)，求圆上的动点与点P 连线斜率的最值？题变: 将上面例题中的点P(2,4)改为)4,0(P ，则圆上的动点与点P 连线斜率的最值是否存在？若存在求出最值，若不存在，请说明理由。
讨论问题1： 已知圆的方程222=+y x 及一点P(2,4)试试看： 根据以上条件，你还能设计出哪些与圆有关的最值问题？讨论问题2： 已知圆的方程422=+y x 及一条直线05=--y x试试看： 根据以上条件，你能设计出哪些与圆有关的最值问题？三、 练习1、 从直线y=3上找一点,向圆1)2()2(22=+++y x 作切线，切线长度的最小的值是多少？2、实数满足01422=+-+y y x ，求（1）x y 的取值范围。
（2）x y 2-的取值范围四、 小结最值问题常见的解法有两种:几何法和代数法.若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形来解决,这就是几何法——数形结合的方法;若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值.五、 思考题过点M （3，0）作直线l 与圆1622=+y x ，交于A,B 两点， 求: 直线l 的倾斜角θ，使△AOB 面积最大，并求此最大值（O 为坐标原点）。
高中数学_直线与圆说课稿
问题1 问题2 问题 3 练习1 练习2 小结作业
过程分析 探索研究、解决问题
设计意图
通过展示学生解决 问题的方法，揭示知识 之间的内在联系，培养 学生的语言表达能力和
⑶合作交流 几何法：
圆心(0, 0)到直线x＋2y－80＝0 的距离d为
几何知识来解决这一问题吗？
画图方法： 港口
O
轮船
结论：这艘轮船不改变航线，
不会受到台风的影响．
问题1 问题2 问题 3 练习1 练习2 小结作业
过程分析 切入主题、提出课题
设计意图
这样设计，让学 生充分参与，自己动 手画图，建立数学模 型，引导学生主动回 顾初中所学直线与圆 的三种位置关系及判 断方法．学生可能通 过准确画图的方法， 找到问题的结论．或 者利用勾股定理解决 问题.
d
A a B b C A2 B2
与半径比较作出判断： 若d＜r，则直线与圆相交；
到数学学习的快乐和成
就感．
若d＝r，则直线与圆相切； 若d＞r，则直线与圆相离．
问题1 问题2 问题 3
练习1
练习2
小结作业
过程分析 新知应用、深化理解
设计意图
练习1： 已知直线 l ：
3x＋y―6＝0和圆心为C 的圆x2＋y2－2y－4＝0， 判断直线l与圆的位置关
目标分析
1．知识与技能目标
⑴在教师引导下，能将直线、圆的位置关系的实际 问题坐标化，进一步培养学生“用数学”的意识； ⑵能根据给定直线、圆的方程判断直线、圆的位置 关系，通过观察、验证、推理与交流等数学活动， 找到判断直线、圆的位置关系的一般方法； ⑶能利用直线、圆的位置关系解决有关的简单问题，
与直线、圆有关的最值问题 课件
方法提炼
常见的数形结合点是直线方程、 圆的方程、过两点的斜率公式、平面 内两点间距离公式、直线在y轴上的 截距等。
课堂演练
1、已知实数x、y满足 y 1 x2 则 (x 2)2 ( y 3)2 的最大值是
21:48:42
课堂演练
变式21、：直线l:y=x+b与曲线C: y 1 x2
有有一两公个共公点共，点则，b则的b取的值取范值围范是围是
21:48:42
课堂演练
2、已知x+y-3=0,则 (x 2)2 ( y 1)
的最小值是？
3、一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到
圆 (x 2)2 ( y - 3)2 1 上的最短距
典例精讲
与直线、圆有关的最值问题 例2 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求
(2) y-x的最大值和最小值；
原方程化为(x-2)2+y2=3，表示以(2,0)为 圆心， 3为半径的圆 .
典例精讲
与直线、圆有关的最值问题 例2 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求
(3) x2 y2 最大值和最小值.
与直线、圆有关的最值问题
能充分利用几何性质判断代数 表达式赋予的几何意义，将问题转 化为求此几何量的最值问题，熟练 地运用数形结合的数学思想方法， 提升运算和推理能力.
典例精讲
与直线、圆有关的最值问题
例1
圆x22+y22-4x-4y-10=0上的点到点直(线-4,-4)的
最x+大y-距14离=0与的最最小大距距离离的与差最是小距离的差是
2024年九年级数学下册第29章直线与圆的位置关系29.2直线与圆的位置关系说课稿(新版)冀教版
教学步骤：
1.导入新课：复习圆的基本概念，引导学生关注直线与圆之间的位置关系。
2.基本概念：讲解直线与圆的位置关系（相交、相切、相离），让学生通过观察和思考，理解并掌握这些概念。
3.判别方法：介绍判别直线与圆位置关系的方法，包括图形判断、方程判断等。
计算得到d=√5。
因为圆的半径为5，所以直线与圆相切。
切点为直线y=-2x+1与圆心(2,-3)连线的延长线上，距离圆心√5的位置。
计算得到切点坐标为(2+√5, -3-√5)。
教学反思
本次课程是关于直线与圆的位置关系，这个章节在数学教学中是一个比较重要的部分，因为它涉及到很多几何图形的基本性质和判定方法，能够帮助学生建立起对几何图形的直观认识，培养他们的空间想象能力和逻辑推理能力。
4.点到直线的距离公式
-点P(x0, y0)到直线Ax + By + C = 0的距离公式为：
d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)
5.直线与圆的交点、切点的性质
-交点：直线与圆的交点满足圆的方程和直线方程。
-切点：切点处的切线与圆相切，且垂直于半径。
6.直线与圆位置关系在实际问题中的应用
4.案例分析：
a.通过具体例子，分析直线与圆相交、相切、相离的情况。
b.引导学生运用垂径定理和点到直线的距离公式解决问题。
5.练习与巩固：
a.布置一些典型例题，让学生独立完成，检查对知识点的掌握程度。
b.学生互相讨论，教师巡回指导，解答学生疑问。
6.总结与拓展：
a.对本节课所学内容进行总结，强化学生对直线与圆位置关系的理解。
直线和圆的参数方程名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
即x x0 , y y0 tcos,sin ,
所以 x x0 t cos , y y0 t sin ,
即 x x0 t cos , y y0 t sin ,
所以,经过点 M 0 x0 , y0 ,倾斜角为 的直线
l 的参数 方程是为
x x0 t cos , y y0 t sin .
t2 2
0, 即
cos 2sin 0,于是直线l的斜率为
1
k tan 2 .
因此,
直线l的方程是y
1
1 2
x
2,
即 x 2 y 4 0.
思考 例2的解法对一般圆锥曲线 适用吗?把 "中点"改为"三等分点",直线l的方程怎样求 ?
例5 当前台风中心 P 在某海滨
城市O向东 300km处生成, 并以40
到A，B两点旳距离之积．
解：(1)直线旳参数方程是
x＝1＋
3 2t
y＝1＋12t
(t 是参数)．
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 A1＋ 23t1，1＋12t1，B1＋ 23t2，1＋21t2. 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4， 整理得到 t2＋( 3＋1)t－2＝0.① 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
方向向量 e 的方向总是向上.此时,若 t 0, 则 M 0M 的方向向上;若t 0,则 M 0M 的方 向向下;若 t 0,则点M与点M 0重合.
【基本题型】
例1．直线 l 经过点 M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线
直线与圆中的最值问题分类解析
数学部分•知识结构与拓展高一使用 2020年12月直线与圆是解析几何的重要内容，与最值问题相关的题型是其重要 题型，下面就这类问题，进行分类解析，供同学们学习与参考。
—、与位置有关的最值问题例1 若曲线C 1 ： x 2+ y 2 —2x = 0 与曲线 C 2：y(y — mx — m )= 0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 。
解：C 1 ：(x — 1 )2 + y 2 = 1 表示圆心为(1,0),半径为1的圆，C 2表示 两条直线,即y = 0和直线ly =m(x + 1),其中直线l 过定点(一1 ,0)。
易知y = 0与C 1有两个交点。
因此直线l 与C 1也应有两个交点,即直线l 与C 1必相交，所以圆C 1的圆心到直线 l 的距离d =|m （1 + 1）—0| ,--------,------VrVm 2 + 1又当m = 0时，直线l 与■孙运娜直鳞身圜事銅最嗔闻题一舔•#»»3 = 0重合，这时只有两个交点，不符合题意评析：判断直线l 与圆C 1有两个交点是解答本题的关键二、切线长的最值问题例2 由直线y =x + 1上的一点向圆C ：x 2 + y 2 — 6x + 8 = 0引切线，则切线长的 最小值为 。
解：易知圆C 的圆心坐标为C (3,),半PC 取得最小值即可。
易得其最小值为圆心到直线的距离，即径r =1 ,如图1所示。
yk /在Rt. △PBC 中，要使切线长PB 最小，只需圆心与直线y =x + 1上的点之间的距离图1PC mn = 2 2,所以切线长的最小值为 BP mn = ^ (22) 2 — 12 =拧。
评析：此类问题主要是连接圆心和切点,构造直角三角形来解决。
三、弦长的最值问题例3 直线y = kx + 3与圆(x —2) 2+ (y — 3) 2 =4 相交于 M ,N 两点，若MN >2 3,则k 的取值 范围是 。
圆的专题复习说课稿——直线与圆的位置关系
圆的专题复习课——直线与圆的位置关系各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的内容是“圆的专题复习——直线与圆的位置关系”。
下面我就从教材分析、教法学法分析、教学过程分析、教学评价、教学设计说明这几个方面来对这节课实行说明。
一、教材分析1、教材的地位和作用《圆》是学习了直线图形的相关性质的基础上来研究的曲线图形。
圆作为一种常见的图形，圆的相关性质定理是进一步学好几何等数学知识的基础。
直线和圆的位置关系是本章中的第二节的第二部分内容。
从知识体系上来看，直线与圆的位置关系，切线的判定定理、性质定理及切线长定理是衔接直线形和圆形之间联系的重要纽带，常用它来解决与直线形相关的计算和证明；从数学思想方法层面上看，它揭示了数量关系与位置关系的内在联系，体现了数形结合，数量关系与位置关系之间相互转化的数学思想。
布鲁纳说过，掌握数学思想能够使数学更容易理解和记忆。
所以把直线与圆的位置关系作为圆的专题复习课就很有必要了。
2、目标及目标解析：根据教材的地位和作用，我制定了如下的教学目标：一是掌握直线和圆的位置关系，切线的判定定理、性质定理及切线长定理的基本方法的使用。
切线的判定定理、性质定理、切线长定理是研究直线和圆的相关问题常用的定理。
直线形和圆形的相关计算和证明都是通过直线和圆的位置相关的定理来完成的，所以就要掌握其基本的使用。
二是能通过切线的判定定理、性质定理及切线长定理实行相关证明和计算的综合使用。
通过自主探究，让学生体验建立基本数学模型，形成基本的求解模型。
仅仅掌握切线的判定定理和性质定理的使用是不够的，还要掌握位置关系与数量关系互相转化的数学思想及其知识的综合使用，增强解决问题的水平。
3、重难点：本节课是一节专题复习课，复习更注重数形结合及数量关系与位置关系相互转化的思想。
而且本节课的主要知识点有着广泛的应用。
所以本节课的重点是使用切线的判定定理，性质定理及切线长定理实行计算和证明。
难点是切线的判定定理、性质定理及切线长定理的综合使用及其对转化思想的领悟。
新人教九年级上册第24章《直线和圆的位置关系》说课稿
新人教九年级上册第24章《直线和圆的位置关系》说课稿今天我说课的内容是人教版九年级上册第二十四章第二节《直线和圆的位置关系》（第一课时）．下面我从教材分析、教学方法和手段、教学过程的设计、版面设计四个方面进行阐述：一、教材分析：1、教学内容：本节课主要学习（1）直线和圆相交、相切、相离的有关概念（2）直线和圆三种位置关系的判定与性质（3）相关应用。
2、教材的地位和作用：直线和圆的位置关系是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，为后面的圆与圆的位置关系作了铺垫．起着承上启下的作用．3、教学目标：根据课程标准的要求和本节教材的特点，结合九年级学生已有的认知的基础、空间观念和逻辑思维能力，我确定如下目标：（1）知识目标：a 、理解直线和圆相交、相切、相离的有关概念b 、直线和圆三种位置关系的判定与性质c、能运用以上知识解决相关问题（2）能力目标：渗透类比、转化、数形结合的数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和看图能力。
（3）德育目标：在用运动的观点揭示直线和圆位置关系的过程中向学生渗透世界上的一切事物都是变化着的辩证唯物主义观点。
4、重点和难点：本节课的教学重点是：直线和圆的位置关系的判定和性质。
本节课的难点是直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用。
二、教学方法和手段本节课我采用了自主探究、合作交流相结合的教学方法，并适时利用多媒体电化教学手段．三、教学过程的设计：1、复习提问:(一分钟)点和圆的位置关系有几种?点到圆心的距离与半径的有怎样的大小关系?2、创设情景，引出课题：（两分钟）课件展示清晨一轮红日离开海平面喷薄而出的画面，引导学生通过观察抽象出数学图形并进行描述，揭示直线和圆存在着不同的位置关系导入新课。
３、实验观察，总结归纳：(五分钟)让学生在练习本上画一个圆，把直尺当作直线，移动直尺，观察直线和圆的位置，然后我用课件演示直线和圆的相对运动，并指导学生从直线和圆公共点的个数来区分，得出了直线和圆的三种位置关系。
高三数学说课稿之直线和圆位置关系
高三数学说课稿之直线和圆位置关系各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢高中各科目的学习对同学们提高综合成绩非常重要，大家一定要认真掌握，精品小编为大家整理了高三数学说课稿之直线和圆的位置关系，希望同学们学业有成!教学目的〖知识目标〗1.掌握直线与圆相交、相切、相离三种位置关系，并会求圆的切线方程及与弦长等有关直线与圆的问题。
2.在解决直线与圆的位置关系的问题时,常通过”数”与”形”的结合,充分利用圆心的几何性质、简化运算.如利用圆心到直线的距离讨论直线与圆的位置关系,利用过切点的半径、弦心距及半径构成的三角形去解决与弦长有关的问题.〖能力目标〗培养数形结合的思想、多方位多渠道解决问题能力。
教学重点与难点重点：三种位置关系的判断方法、过一点的圆的切线的求法以及弦长问题的解决方法，即圆心到直线的距离在圆与直线关系问题中的运用。
难点：利用数形结合的思想分析问题、解决问题。
教学过程:一、课堂引入：前面我们复习了圆的方程、点与圆的位置关系，这课我们复习用圆的方程来解决直线与圆的位置关系。
请先做以下练习、判断直线4x-3y=5与圆x+y=25的位置关系、求圆x+y=25的过点P的切线方程.、求圆x+y=25的过点P的切线方程.、求圆x+y=25被直线4x-3y-20=0所截得的弦长。
二、知识梳理:提出问题:直线与圆有几种位置关系,用什么方法来判断?1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.①Δ>0，直线和圆相交.②Δ=0，直线和圆相切.③ΔR，直线和圆相离.2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.先判断点与圆的位置关系，再用切线的性质求方程。
1)若点p在圆上，则圆x+y=r：的切线方程为xx+yy=r,圆+=r的切线方程为+=r2)若点p在圆外：利用圆心到直线的距离等于半径将切线的斜率求出来，再写出切线的方程.3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.小编为大家整理的高三数学说课稿之直线和圆的位置关系就到这里了，希望同学们认真阅读，祝大家学业有成。
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直线与圆的最值问题
题型一：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．
例1：.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为
m ，最小弦长为n ，则m －n 等
于
解析圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 所以圆心为(2，－3)，半径长为 5.
因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，
所以点(－1,0)在已知圆的内部，
则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10.
当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小
. 弦心距d ＝2＋12＋－3－02＝32，
所以最小弦长为
2r 2－d 2＝225－18＝27，所以m －n ＝10－27.
变式训练
1：1y kx 与圆C 2214x y 相交于,A B 两点，则AB 的最小值是多
少？解：直线1y kx 过定点1,0M ，当MC AB 时，AB 取最小值，由
2222l
d r ，可知，222d R l ，2MC d ，故2
2222d R l 变式训练
2：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝
0(m ∈R). (1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的
l 的方程. (1)证明因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m(2x ＋y －7)＝0(m ∈R)，
所以2x ＋y －7＝0，
x ＋y －4＝0，解得x ＝3，y ＝1，
即l 恒过定点A(3,1).
因为圆心为C(1,2)，|AC|＝5<5(半径)，
所以点A 在圆C 内，
从而直线l 与圆C 恒交于两点.
(2)解由题意可知弦长最小时，l ⊥AC.
因为k AC ＝－12
，所以l 的斜率为 2. 又l 过点A(3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0.
方法总结：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最大值为圆的直径，最小值为垂直于直
径的弦.
题型二：圆外一点与圆上任一点间距离的最值
直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值
．例2：求点
A ）（0,2到圆C 122y x 的距离的最大值和最小值？解：AC d 2，故距离的最大值为
3r d ，最小值为1r d 变式训练1：圆122y x 上的点到直线2x
y 的距离的最大值？解:圆心到直线的距离为222
d ，
则圆上的点到直线2x
y 的最大值为12r d 则圆上的点到直线2x y 的最小值为1-2-r
d 方法总结：圆外一点与圆上任一点间距离的最大值为r
d ，最小值为r d 直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最大值为r d ，最小值为r d
题型三：切线问题
例3由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT(T 为切点)，当PT 最小的时候P 的坐标？
解析根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知PT ＝PC 2－1，故PT 最小时，即PC
最小，此时
PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程
y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．
变式训练1：点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，PA ，PB 与圆x 2＋y 2＝4分别相切于A ，B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为________．
解析：如图所示，因为S 四边形PAOB ＝2S △POA .又OA ⊥AP ，
所以S 四边形PAOB ＝2×1
2|OA|·|PA|
＝2|OP|2－|OA|2＝2|OP|2－4.
为使四边形PAOB 面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O 到直线2x ＋y ＋10＝0的距离：
|OP|min ＝10
22＋12＝2 5.故所求最小值为2252－4＝8.
题型五：两圆相离，两圆上点的距离的最值。