波函数与波动方程二

2
dr1 (r10, r2, rN ) dr2 drN
同样，在整个空间中找到这些粒子的概率
应为 1 。
所以，物质粒子的波动性本质上是与 经典波不一样的。经典波是指描述某种实
在的物理量在三维空间中的波动现象，而 物质粒子波函数是在多维空间（位形空间 ）中的概率波。
第三讲
第二章 波函数与波动方程 Ⅲ . 波函数的性质，态叠加原理 B. 位置和位能的平均值 C. 动量平均值 D. 态叠加原理
第二讲 回顾
Ⅲ. 物质粒子的波动性 A. 德布罗意假设 德布罗意认为物质微粒具有波动性，
他假设：粒子的动量与波长的关系为
h P
即
P
k（
k
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2
）
加上普朗克假设
E h
粒子的动力学变量
P， E
与 波的特征量
，
联系起来。
一个具有确定能量和动量的自由粒
子， 应由一个有确定的频率和波长（波
数）及一定的传播方向 P P 的平面波来
2dr 为 t 时刻，发现粒子在 r r dr 中的概率。但测量时，总是要发现粒子的
所以，在整个空间中，发现粒子的概率之
和应为 1 。
因此，一个真正的实在的波函数，应
该有
2
(r, t) dr 1
若波函数满足了上述条件，则称该波函 数为已归一化的波函数。
应该注意，只有当波函数归一化后，
才能说 (r, t) 2 dr 是概率。否则在区域
Ⅰ. 波粒二象性 从一个想象的实验事实中，我们得出：
a. 不能认为，波是电子将自己以一定
密度分布于空间形成的（因接收到的是一 个个电子），也不是大量电子分布形成的 （稀疏时，也有同样的现象）；
b′不能想像，电子通过 1 ，2 时，能像
经典电子（有轨道）那样来描述。因如有 轨道，则
P1 P2 P12
P1 1 2
P2 2 2
P12 1 2 2 1 2 2 2 (1*2 1*2 )
P1 P2 2 P1P2 cos δ 1 2
1, 2 称为波函数（描述粒子波动性 的函数称为波函数），也就是说，接收器 上某位置电子数的多少，将由波函数的模
的平方 2 来表征。 空间若有两个波，粒子数多少则应由波
◉ 有界：就是波函数平方可积。
即使有某些孤立奇点（对于 (r, t) ），只 要不违背波函数这一性质就行。
◉ 单值：实际上仅需 (r,t) 2 单值，即 (r, t) 单值。我们将在后面讨论。 3. 在位势有有限大小的间断处时，波函
数在该处的导数仍连续。
'(x0 0, t) '(x0 0, t)
2dsin n
一样，电子也满足布拉格衍射公式
2d sin n h P
而产生圆形衍射环 。
热中子试验也显示出热中子具有波动性。
中子在 Na 单晶体上的衍射
单电子双缝干涉
单电子双缝干涉
这些实验充分证明了粒子不仅具有微 粒性，也具有波动性。
第二章 波函数与波动方程
既然辐射和粒子都具有波动性和微粒 性，如何理解这两属性呢？
实验），若
a
sin
n
h
P
在 方向上有强的电子束出射，
假设，动量取分立值( 应用周期性边条
件 (Pi )nL 2n）。入射电子束含有二个动
量值 P1 和 P2 时，由于 P1 和 P2 对应不同
的 1 ，2 ，所以经镍晶体表面散射的角度 是不同的，而满足
asin 1
h P1
a sin 2
h P2
Ⅳ. 含时间的薛定谔方程 A. 薛定谔方程的建立 B. 对薛定谔方程的讨论 1．量子力学的初值问题； 2. 波包扩展的讨论； 3. 波函数随时间的演化 -Green函数
B. 位置和位能的平均值 既然波函数能给出体系的一切可能的
信息，它能预言测得某物理量可能值的概 率，那它应该能给出物理量的统计平均值 。但如何给出？
ni
nm
(xi ,t) 2dx
m
体系的波函数 (r, t) 给出了体系所有
信息（可能范围内的），它给于体系一个
完全的描述。可以说：
波函数描述了体系所处的量子状态
Ⅲ . 波函数的性质，态叠加原理
既然体系状态的波函数 (r, t) 给出了 体系有可能得到的信息，那么它有什么共 同性质呢？
A. 波函数的性质 1. 归一化条件：
动量平均值能否仍按上述表示给出呢？即
P *(x, y, z, t)P(x, y, z)(x, y, z, t)dxdydz
原则上讲，这是完全错的。一般而 言，一个波函数 (r, t) 是由很多不同波长的 平面波叠加而成的。在某一点（ x, y,z ） 处，其波长不是一个，而是有很多不同大
小的波长，即在（ x, y, z）处并不是有确定
L3
实际上，镍晶体就是一制备仪器，制 备一个体系的状态是以这一波函数来描述 的。这才是描述散射后，一个电子的波函 数。 而电子动量为 P1 的概率是
1．位置平均值 设： (x, y,z, t) 是归一化波函数。由 于测得 x 值在 xi xi xi 的概率为
2
xi (xi , y j, zk ,t) y jzk
j,k
从平均值的定义，则 x 的平均值应表为
x
lim
xi
xi
(
(xi
,
y
j
,
zk
,
t)
2
y
jzk
)
xi 0 i
j,k
y j0
1. 戴维孙-革末实验 当可变电子束（ 30 600eV ）照射到 抛光的镍单晶上，发现在某角度 方向有 强的反射（即有较多电子被接收），而 满足
asin nh P
这证实了，电子入射到晶体表面，发 生干涉散射，所以电子具有波动性.
而相应波长为 h P
2. G.P.Thomson 的电子衍射实验 电子通过单晶粉末，出现衍射图象。正 象 x 射线照到单晶粉末压成的金箔上，满足
2
(r,t) dr
r it
e 2a
e
r 2a
it
r
2drd
e
r
ar
2dr
4
0
8a3
得到归一化波函数
(r, t)
1 (8a3 )1
2
r it
e 2a
而在 r0 r0 dr中的概率为
r02
r0
e a dr
2a 3
在 0 0 d 中的概率为
1 2
s
in
0d
在 0 0 d 中的概率为 1 d 2
4. 多粒子体系波函数的形式 N 个粒子体系的波函数为
(r1,r2, rN, t)
2
(r1,r2, rN, t) dr1 drN
是描述粒子 1 处于 r1 r1 dr1，， N 粒子 处于 rN rN drN 的概率。
现指的 N 个粒子是不同粒子。
粒子 1 处于 r10 r10 dr1 的概率为
zk 0
2
x (x,y,z,t) dxdydz
x *(r, t)x(r, t)dr
2．位能平均值（假设位能表示中不依赖
动量）
V lim V(xi , y j, zk ) (xi , y j, zk ,t) 2 xiy jzk xi 0 ijk y j 0 zk 0 2 V(x,y,z) (x,y,z,t) dxdydz V *(r, t)V(r)(r, t)dr
a. 波粒二象性 E h P k
具有确定动量的自由粒子被一平面波 来描述
Aei(krt) Ai(PrEt ) 这从经典物理学来看，是不可思议的。
b. 物理量取值不一定是连续的 辐射体辐射的能量取值
E nh n 0,1,2,
氢原子的能量
En
e2 80a0n2
a0
4 02 mee2
x2 , ，而在 x1 x1 dx 中发现粒子的概 率为
(x1, t0 ) 2 dx
也就是说， (x, t0) 2 在某 x 处越大，则 在 t0 时刻测得粒子在该处的机会越多。 （这表明，我们讲的是能预言到什么，但我 们不能确定测量的结果）。
当对足够多的同样的体系进行测量 后，那发现粒子在 xi xi dx 处的概率为
描述 Aei(krt )
Aei(PrEt)
k＝P
＝E
这一平面波称为德布罗意波（物质波）
通常物质微粒不显示出波动性，而电 子在通常情况下也不显示，仅在原子尺度 下才显示。
我们给出了波长的计算公式
2 197.3MeV fm [Ek (Ek 2m0c2 )]1 2
B. 物质粒子波动性的实验证据
r r dr 中，发现粒子的概率为
(r, t) 2 dr
2
(r ', t) dr '
若
(r,
t)
2
dr
A2
则归一化的波函数为
(r, t)
1 A
(r,
t)
（可差一相因子
ei ，
为实数）
这时 (r, t) 2 dr 才代表在 r r dr 区域中
发现粒子的概率。
例：
r it
(r, t) e 2a
而实验得 P1 P2 P12
c. 不能认为衍射可能是通过缝后，电 子相互作用所导致（稀疏时，也有同样现 象）。
总之，电子（量子粒子）不能看作经 典粒子，也不能用经典波来描述（经典波 是物理量在空间分布）。
电子的双缝干涉
水波有这种类似的干涉现象
类似水波通过双缝后的描述，电子的 双缝干涉的现象也可用 1, 2 函数来 描述（它们一般应是复函数）
P(x)dx (x) 2 dx
的大小有关；
② 当发射电子稀疏到一定程度时，接
收器上接收到的电子几乎是“杂乱无章”
的，但当时间足够长时，接收到的电子数
分布为
P(x) (x) 2
这表明，电子出现在接收器上的各个 位置是具有一定的概率的。当足够多的电 子被接收后。在接收器上的电子分布正显
示了这一概率分布（电子到接收器上是一 个个的，但分布又类似波，即概率波）。
P(x) (x) 2
P(x)dx 1
是电子出现在 x 附近的概率密度. 电子通过双缝的描述，尽管类似水波
那样用一波函数来描述 。但本质是不同的 ，(r, t) 是描述一个电子的概率密度幅。
玻恩概率诠释：
如果在 t 时刻，对以波函数 (r,t)
描述的粒子进行位置测量，测得的结果可 以是不同的；而在一小区域 r r dr 中发现该粒子的概率为
函数 1 2 的模的平方 1 2 2来描述。
但是，这种描述没有回答， 电子是一个个出现的问题；
也没有回答， 空间电子稀疏时，但时间足够长
后，干涉花纹照样出现。
Ⅱ. 波函数的玻恩概率诠释—概率波
从上面分析可以看到，如电子用一波 函数 (x)来描述，则
① 在 x x dx 范围内，接收到电子多 少是与
P(r, t)dr (r, t) 2 dr
（ P(r, t)dr 1）
注意两点： ① (r, t) 不是对物理量的波动描述。 它有意义的是，在体积元 r r dr 中发现 粒子的 概率为 (r, t) 2dr ，所以它不代表 物理实体，仅是一概率波； ② 粒子是由波函数 (x, t) 来描述，但波 函数并不能告诉你 t0 时刻测量时，粒子在 什么位置。粒子位置可能在 x1 ，可能在
（系数是为了使它们归一化到 (P P') ） 所以，以单色平面波来描述粒子时，
则粒子具有完全确定的动量，而平均值就 是确定的值 P 。
一般而言，描述粒子是由一波包来实 现(局限于空间某一区域，所以是由许多平 面波叠加而成），即动量有一分布，可由 实验来定。
一束具有动量 P 的电子束垂直入射
到抛光的镍金属晶体上（即戴维孙和革末
当然，也可计算 x0 x0 dx 中的概率
1
4a 2
a x0
e x0 / adx
2. 波函数的自然条件： 一般而言，波函数必须连续，有界，单 值。
◉ 连续：由于 (r, t) 2 dr 是粒子处于 r r dr 中的概率。所以在 r 0 和 r 0 处概率当然应该相等。因此， 在任何条件下 (r, t) 都应连续；
的动量值.
h P(x, y,z) (x, y,z)
因此不能仿上述平均值来表示。
C. 动量平均值 根据 de Broglie 关系，具备一定动量 和能量的自由粒子，其波长,频率
h P
ω E
即以一平面波来描述
P(r, t)
1 (2 )3
2
e i ( kr t )
1 (2 )3
2
ei(PrEPt)
当比较远时，两束电子分开，所以分 别收集到动量为 P1 ，P2 的电子束（在 1 ， 2 方向）
这时镍晶体好似一谱分离器，可认为
1
CP1 (t)
1 eiP1r L3
2
CP2 (t)
1 eiP2r L3
因此，在远处接收到动量为 P1 的电子
数目
N1(1) CP1 (t)
1 eiP1r L3
2
2
CP1 (t) L3
收集到动量为 P2 的电子数目
N2(2) CP2 (t)
1 eiP2r L3
2
2
CP2 (t) L3
（而这正反映了入射到镍晶体表面前电子动
量为 P1 和 P2 的数目的分布） 这表明，散射后，整个空间的波函数
的描述应为
CP1 (t)eiP1r CP2 (t)eiP2r