2020年高考数学(理)之数列 专题07 数列的求和(错位相减法求和)(解析版)

数列

07 数列的求和（错位相减法求和）

一、具体目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法.

考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述：求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：11()(1)

22

n n n a a n n S na d +-=

=+； 等比：11(1)(1)

(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪

=-⎨≠⎪-⎩

公比是字母时需要讨论.

(理)无穷递缩等比数列时， （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式：

()2

1321+=

++++n n n Λ；n n n +=++++2

2642Λ； 2531n n =++++Λ；

()()61213212222++=++++n n n n Λ；()2

3

33321321⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡+=++++n n n Λ

q

a S -=

11

【考点讲解】

（3）倒序相加法求和：如果一个数列

{}n

a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，

那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法.

（4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么

这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =⋅，其中{}n a 、

{}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.

2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.

（5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.

形如：n n b a +其中⎪⎩⎪⎨

⎧是等比数列

是等差数列n

n b a ，()()⎩⎨⎧∈=∈-==**

N k k n n g N k k n n f a n ,2,,12, （6）合并求和：如求2

2222212979899100-++-+-Λ的和.

（7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项：

111;(1)1n n n n =-++ 1111;(21)(21)22121n n n n ⎛⎫

=- ⎪-+-+⎝⎭ 1111

(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦

；n n n n -+=++11

1.

【错位相减法例题解析】 1.【2018优选题】求和：n n n S 2

1

813412211⨯++⨯+⨯+⨯

=Λ 【解析】由n n n S 21

813412211⨯++⨯+⨯+⨯=Λ

得：()n

n n n n S 21

21121321211132⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=-Λ（1）

14322

1

21)1(2132122121+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S Λ（2） 将（1）—（2）得：231111111

222222

n n n S n +=++++-⨯L

整理得：12n S 11111221212

n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭

=-⨯-，所以求得：111222n n n S n -=--⨯()n N *∈.

关注：参与相减的项.

【变式】求和：n n n S 21)12(815413211⨯-++⨯+⨯+⨯=Λ . 【解析】由n n n S 2

1

)12(815413211⨯-++⨯+⨯+⨯=Λ

得：

)n n n S 2

1

1)32(1⨯--+=Λ（1）

两边同乘以

1

2得，)12

11)32(121+⨯--+=n n n S Λ（2） 将（1）—（2）得：

()2311111

112212222

22n n n S n +⎛⎫=++++--⨯ ⎪⎝⎭L 12n S ()211111112222112212

n n n -+⎛⎫

- ⎪⎝⎭

=+⨯

--⨯-

12n S ()1131121222

n n n -+=---⨯ 所以可得：()211

32122

n n n S n -=---⨯()n N *∈.

1.【2019年高考天津卷文数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知

1123323,,43a b b a b a ====+.

（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）设数列{}n c 满足2

1n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数,，为偶数.求*

112222()n n a c a c a c n +++∈N L .

【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 依题意，得2

332,3154,q d q d =+⎧⎨

=+⎩解得3,3,d q =⎧⎨=⎩故133(1)3,333n n

n n a n n b -=+-==⨯=.

所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3n n b =.

（2）112222n n a c a c a c +++L ()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++L L

123(1)36(6312318363)

2n n n n n -⎡

⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎣⎦

L ()2123613233n n n =+⨯+⨯++⨯L .

记1213233n n T n =⨯+⨯++⨯L ,①则231

313233n n T n +=⨯+⨯++⨯L ,②

②−①得，()1231

1

313(21)33

23333

3

133

2

n n n n n n n T n n +++--+=---⨯=-

+⨯=

--+-L . 所以，12

2

112222(21)3336332n n n n n a c a c a c n T n +-++++=+=+⨯L ()22(21)369

2

n n n n +*-++=∈N . 【答案】（1）3n a n =，3n

n b =；（2）22(21)369

()2

n n n n +*-++∈N

【真题分析】